В чем состоит принцип гюйгенса френеля. Принцип Гюйгенса — Френеля

Что такое Дифракция света

Дифракцией называется совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородностями и связанных с отклонениями от законов геометрической оптики.

Дифракция световых волн определяет качество оптических приборов, в частности их разрешающую способность.

Огибание препятствий звуковыми волнами (т. е. дифракция звуковых волн) наблюдается постоянно в обыденной жизни. Для наблюдения дифракции световых волн необходимо создание специальных условий. Это обусловлено малостью длин световых волн. Мы знаем, что в пределе при l→ 0 законы волновой оптики переходят в законы геометрической оптики. Следовательно, отклонения от законов геометрической оптики при прочих равных условиях оказываются тем меньше, чем меньше длина волны.

Принцип Гюйгенса Френеля.

Проникновение световых волн в область геометрической тени может быть объяснено с помощью принципа Гюйгенса. Однако этот принцип не дает сведений об амплитуде, а следовательно и об интенсивности волн, распространяющихся в различных направлениях. Френель дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн, т.е по Френелю все вторичные источники когерентны между собой. Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет найти амплитуду результирующей волны

Рис.8.3

в любой точке пространства. Развитый таким способом принцип Гюйгенса получил название принципа Гюйгенса - Френеля.

Согласно принципу Гюйгенса - Френеля каждый элемент волновой поверхности S (рис8.3) служит источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна величине элемента dS. Амплитуда сферической волны убывает с расстоянием г от источника по закону 1/г (Следовательно, от каждого участка dS волновой поверхности в точку Р, лежащую перед этой поверхностью, приходит колебание

В этом выражении - фаза колебания в месте расположения волновой поверхности S, k - волновое число, г - расстояние от элемента поверхности dS до точки Р. Множитель определяется амплитудой светового колебания в том месте, где находится dS. Коэффициент К зависит от угла j между нормалью n к площадке dS и направлением от dS к точке Р. При j =0 этот коэффициент максимален, при j =p/2 он обращается в нуль.

Результирующее колебание в точке Р представляет собой суперпозицию колебаний, взятых для всей волновой поверхности S:

Эта формула является аналитическим выражением принципа Гюйгенса - Френеля.

Сказанное означает, что при вычислении амплитуды колебания, порождаемого в точке Р световой волной, распространяющейся от реального источника, можно заменять этот источник совокупностью вторичных источников, расположенных вдоль волновой поверхности. А в этом и состоит суть принципа Гюйгенса - Френеля.

Так как вторичные источники когерентны между собой, то дифракционная картина будет представлять собой перераспределение интенсивности светового потока. Между интерференцией и дифракцией нет существенного физического различия. Оба явления заключаются в перераспределении светового потока в результате суперпозиции волн. По историческим причинам перераспределение интенсивности, возникающее в результате суперпозиции волн, возбуждаемых конечным числом дискретных когерентных источников, принято называть интерференцией волн. Перераспределение интенсивности, возникающее вследствие суперпозиции волн, возбуждаемых когерентными источниками, расположенными непрерывно, принято называть дифракцией волн. Наблюдение дифракции осуществляется обычно по следующей схеме. На пути световой волны, распространяющейся от некоторого источника, помещается непрозрачная преграда, закрывающая часть волновой поверхности световой волны. За преградой располагается экран, на котором возникает дифракционная картина.

Различают два вида явления дифракции в зависимости от расстояния точки наблюдения до препятствия или неоднородности, а также от вида волнового фронта в точке наблюдения. Если точка наблюдения расположена достаточно далеко от препятствия и в точку наблюдения после взаимодействия с неоднородностью приходит плоская волна, то говорят о дифракции Фраунгофера. В остальных случаях говорят о дифракции Френеля.

В качестве примера рассмотрим взаимодействие светового потока от источника с непрозрачной плоской преградой, в которой прорезано отверстие произвольной формы. При дифракции Френеля (рис. 8.4а) в точку наблюдения , расположенную на экране на конечном расстоянии от преграды, приходят сферические волны от источника, расположенного на конечном расстоянии от преграды, и от точек контура, ограничивающего отверстие. При дифракции Фраунгофера (рис. 8.4b) световой волны от источника , бесконечно удалённого от преграды, в точку наблюдения , также бесконечно удалённую от преграды, приходят плоские волны.

Рис.8.4

Отсюда следует, что дифракция Френеля проявляется в виде интерференции сферических (цилиндрических) волн, приходящих в точку наблюдения от неоднородности, с которой взаимодействует электромагнитная волна (свет). Интерференция цилиндрических волн, представляющая собой частный случай интерференции сферических волн, имеет место в том случае, когда и световая волна и неоднородность среды распространения обладают общей осью симметрии, вследствие которой поле волны и параметры неоднородности одинаковы в любом сечении, перпендикулярном оси симметрии.

Дифракция Фраунгофера обусловлена интерференцией параллельных, плоских волн (лучей), приходящих в точку наблюдения от неоднородности, с которой взаимодействует электромагнитная волна (свет). С помощью линзы 2 (рис. 8.5)

Рис.8.5

дифракцию Фраунгофера можно наблюдать на экране, расположенном на конечном расстоянии от преграды, с которой взаимодействует свет (электромагнитная волна). Линза 1 (рис. 8.6), в фокусе которой расположен источник , используется для освещения отверстия в преграде плоской волной.

Зоны Френеля

Как следует из принципа Гюйгенса- Френеля амплитуда волны в точке наблюдения (рис. 8.3), создаваемая источником монохроматической электромагнитной волны в точке , может быть найдена как суперпозиция амплитуд сферических волн, испускаемых вторичными источниками на произвольной замкнутой поверхности , охватывающей точку в соответствии с выражением (8.2).

Вычисления по формуле (8.2) представляют собой в общем случае очень трудную задачу. Однако, как показал Френель, в случаях, отличающихся симметрией, нахождение амплитуды результирующего колебания может быть осуществлено простым алгебраическим или геометрическим суммированием.

Чтобы понять суть метода, разработанного Френелем, амплитуду светового колебания, возбуждаемого в точке Р сферической волной, распространяющейся в изотропной, однородной среде из точечного источника S (рис. 8.6). Волновые поверхности такой световой волны симметричны относительно прямой линии SP. Воспользовавшись этим, разобьем изображенную на рисунке волновую поверхность на кольцевые зоны, построенные так, что расстояния от краев каждой, зоны до точки Р отличаются на l/2. Обладающие таким свойством зоны носят название зон Френеля.

Рис.8.6

Из рис. 8.6 видно, что расстояние b m от внешнего края m-й равно

(8.3)

(b - расстояние от вершины волновой поверхности О до точки Р). Колебания, приходящие в точку Р от аналогичных точек двух соседних зон (т. е. от точек, лежащих в середине зон, или у внешних краев зон и т. д.), находятся в противофазе. Поэтому и результирующие колебания, создаваемые каждой из зон в целом, будут для соседних зон отличаться по фазе на p.

Вычислим радиус зон Френеля. Так, граница - ой зоны Френеля () отстоит от прямой (рис. 8.6) на расстоянии , называемом радиусом - ой зоны Френеля. Найдём радиус - ой зоны Френеля. Как следует из геометрических соображений (рис. 8.7):

где - расстояние вдоль прямой от источника до центра волнового фронта; - расстояние вдоль прямой от центра волнового фронта до точки наблюдения.

Из 8.4, пренебрегая , для не очень больших найдём :

(8.5)

С помощью этого соотношения из (8.4) найдём

(8.6)

Рис8.7

В частном случае бесконечно удалённого источника от точки наблюдения () волновой фронт является плоскостью и радиус m-ой зоны Френеля определяется формулой

Принимая во внимание (рис. 8.5), находим площадь сферического сегмента радиуса и высоты

и получаем, что площадь - ой зоны Френеля :

не зависит от .Это значит, что в каждой зоне Френеля находится одинаковое число вторичных источников, а, следовательно, суммарную амплитуду вторичных источников можно заменить амплитудой зоны Френеля.

Итак, площади зон Френеля примерно одинаковы. Расстояние b m от зоны до точки Р медленно растет с номером зоны m Угол j между нормалью к элементам зоны и направлением на точку Р также растет с m. Все это приводит к тому, что амплитуда E m колебания, возбуждаемого m-й зоной в точке Р, монотонно убывает с ростом m. Таким образом, амплитуды колебаний, возбуждаемых в точке Р зонами Френеля, образуют монотонно убывающую последовательность:

E 1 >E 2 >E 3 > E m >E m + n

Фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами, отличаются на p.

Действительно, пусть - амплитуды, создаваемые первой, второй и т.д. зонами Френеля. Тогда искомая амплитуда в точке , создаваемая всеми зонами Френеля в точке наблюдения, равна

Тогда из выражения (8.10) получим:

Итак, амплитуда результирующего колебания, получающегося вследствие взаимной интерференции света, идущего в точку Р от различных участков сферической волны, меньше амплитуды первой зоны Френеля. Так, как в однородной изотропной среде интенсивность распространяющегося света определяется только амплитудой первой зоны Френеля, то можно оценить радиус того цилиндрического канала, по которому распространяется свет: пусть а=b=1м, l=0,5мкм, тогда r 1 =0,5мм. Следовательно, распространение света от точки S к точке P происходит в узком канале, т.е. прямолинейно, что соответствует законам геометрической оптики. Таким, образом, теория зон Френеля не противоречит законам геометрической оптики.

Учитывая, что интенсивность волны пропорциональна квадрату модуля электромагнитных векторов, можно заключить, что интенсивность поля , создаваемого первой зоной Френеля, в четыре раза больше интенсивности волны источника в точке наблюдения, создаваемой всеми вторичными источниками на поверхности :

Зонные пластинки.

Мы нашли выражение для радиусов зон Френеля сферических световых волн

(8.13)

Используя, это выражение, можно приготовить экран, состоящий из последовательно чередующихся прозрачных и непрозрачных колец, радиусы которых удовлетворяют условию 8.13 для заданных значений a, b и l. Приготовленная таким образом пластинки носит название амплитудной зонной пластинки. Колебания от четных и нечетных зон Френеля находятся в противофазе и, следовательно, взаимно ослабляют друг друга. Если поставить на пути световой волны приготовленную пластинку, которая перекрывала бы все четные или нечетные зоны, то интенсивность света в точке Р резко возрастает. Такая пластинка действует подобно собирающей линзе.

Рис.8.8

На рис. 8.8 изображена пластинка, перекрывающая четные зоны.

Еще большего эффекта можно достичь, не перекрывая четные (или нечетные) зоны, а изменяя фазу их колебаний на p. Это можно осуществить о помощью

прозрачной пластинки, толщина которой в местах, соответствующих четным или нечетным зонам, отличается на надлежащим образом подобранную величину. Такая пластинка называется фазовой зонной пластинкой. По сравнению с перекрывающей зоны амплитудной зонной пластинкой, фазовая дает дополнительное увеличение амплитуды в два раза, а интенсивности света - в четыре раза.

Для фазовой пластинки результирующую амплитуду светового вектора можно записать следующим образом.

Каждую точку на пути распространения волны можно считать источником вторичных волн.

Представьте себе волну на поверхности водоема. Проще всего, казалось бы, описать волновое движение воды чисто механически - рассчитать силы гидродинамического давления, действующие на частицы водной поверхности снизу, и противодействующие им силы гравитационного притяжения, суммарное воздействие которых и приводит к тому, что поверхность ритмично колышется вверх-вниз. Однако в конце XVII века голландский физик Христиан Гюйгенс представил себе волновую картину несколько по-иному и вывел, благодаря этому, мощный принцип, в равной мере применимый к любым волнам - начиная от волн на водной поверхности и заканчивая гамма-излучением далеких галактик.

Смысл принципа Гюйгенса проще всего понять, если представить себе, что гребень волны на водной поверхности на мгновение застыл. Теперь представьте, что в этот миг вдоль всего фронта волны в каждую точку гребня брошено по камню, в результате чего каждая точка гребня становится источником новой круговой волны. Практически всюду вновь возбужденные волны взаимно погасятся и не проявятся на водной поверхности. И лишь вдоль фронта исходной волны вторичные маленькие волны взаимно усилятся и образуют новый волновой фронт, параллельный предыдущему и отстоящий от него на некоторое расстояние. Именно по такой схеме, согласно принципу Гюйгенса, и распространяется волна.

Так почему столь парадоксальный, казалось бы, взгляд на столь обычное природное явление, как распространение волн, оказывается полезен ученым? Представьте, что будет при столкновении волны с препятствием на пути ее распространения. Вернемся к примеру волны на водной поверхности и представим, что волна ударилась о бетонный волнорез под углом к нему. Согласно принципу Гюйгенса, из тех точек волнового фронта, которые пришлись на волнорез, вторичные волны распространяться не будут, а из остальных будут. В результате волна продолжит свой путь и восстановится позади волнореза. То есть, фактически, при столкновении с препятствием волна спокойно огибает его, и любой моряк вам это подтвердит. (Это свойство волн называется дифракцией.)

Имеется и целый ряд других полезных применений принципа Гюйгенса при рассмотрении волновых явлений - порой весьма неожиданных. Он широко используется в волновой оптике и в телекоммуникационной инженерии, где волны (световые и радио- соответственно) регулярно сталкиваются с препятствиями на пути их распространения и огибают их.

К этому открытию Гюйгенса привели занятия астрономией, для развития которой он сделал немало, в частности, став в 1655 году первооткрывателем Титана - самого большого спутника Сатурна. Автоматическая космическая станция НАСА «Кассини» в 2004 году должна достигнуть Сатурна и отправить на поверхность Титана спускаемый аппарат для исследования состава его атмосферы и грунта. Этот спускаемый аппарат называется «Гюйгенс». Так наука чтит своих основателей.

Принцип Гюйгенса объясняет распространение волн, согласующееся с законами геометрической оптики, но не может объяснить явлений дифракции. Огюстен Жан Френель в 1815 году дополнил принцип Гюйгенса, введя представления о когерентности и интерференции элементарных волн, что позволило рассматривать на основе принципа Гюйгенса - Френеля и дифракционные явления.

Принцип Гюйгенса-Френеля формулируется следующим образом:

Каждый элемент волнового фронта можно рассматривать как центр вторичного возмущения, порождающего вторичные сферические волны, а результирующее световое поле в каждой точке пространства будет определяться интерференцией этих волн.

Густав Кирхгоф придал принципу Гюйгенса строгий математический вид, показав, что его можно считать приближенной формой теоремы, называемой интегральной теоремой Кирхгофа.

Фронтом волны точечного источника в однородном изотропном пространстве является сфера. Амплитуда возмущения во всех точках сферического фронта волны, распространяющейся от точечного источника, одинакова.

Дальнейшим обобщением и развитием принципа Гюйгенса является формулировка через интегралы по траекториям, служащая основой современной квантовой механики.

Использованы материалы: Энциклопедия Джеймса Трефила «Природа науки. 200 законов мироздания».

Комментарии: 0

Волны - один из двух путей переноса энергии в пространстве (другой путь - корпускулярный, при помощи частиц). Волны обычно распространяются в какой-то среде (например, волны на поверхности озера распространяются в воде), однако направление движения самой среды не совпадает с направлением движения волн. Представьте себе поплавок, покачивающийся на волнах. Поднимаясь и опускаясь, поплавок повторяет движения воды, в то время как волны проходят мимо него. Явление интерференции происходит при взаимодействии двух и более волн одинаковой частоты, распространяющихся в различных направлениях.

Основы явления дифракции можно понять, если обратиться к принципу Гюйгенса, согласно которому каждая точка на пути распространения светового луча может рассматриваться как новый независимый источник вторичных волн, и дальнейшая дифракционная картина оказывается обусловленной интерференцией этих вторичных волн. При взаимодействии световой волны с препятствием часть вторичных волн Гюйгенса блокируется.

Что заставляет взаимодействовать все в нашей Вселенной? Ускоряются ли тела или замедляются, меняют свое направление или мчатся вперед – почему они ведут себя именно так? Какие законы являются общими и для малейших частиц и для Галактик? С чего все началось, как развивается и как работает? Эти и другие вопросы волновали человека с самых древних времен… Где же ключ к пониманию тайн механической Вселенной? США, 1985 год.

Вам, наверняка, хоть раз в жизни доводилось стоять у дороги, по которой проносится машина со спецсигналом и включенной сиреной. Пока вой сирены приближается, его тон выше, затем, когда машина поравняется с вами, он понижается, и, наконец, когда машина начинает удаляться, он понижается еще, и получается знакомое: ййййииииээээЭААААОоооуууумммм - такой примерно звукоряд. Сами того, возможно, не сознавая, вы при этом наблюдаете фундаментальнейшее (и полезнейшее) свойство волн.

Имеется целый ряд типов электромагнитного излучения, начиная с радиоволн и заканчивая гамма-лучами. Электромагнитные лучи всех типов распространяются в вакууме со скоростью света и отличаются друг от друга только длинами волн.

Дифракцией называется отклонение света от прямолинейного распространения, огибание волнами препятствий. Дифракция заметна, если размеры препятствий сравнимы с длиной волны. Дифракция света всегда сопровождается интерференцией - чередованием светлых и темных мест для монохроматического света и цветных (все цвета радуги) - для белого света. Дифракция объясняется на основе принципа Гюйгенса-Френеля : каждая точка, до которой дошло возмущение, сама становится источником вторичных волн; вторичные волны когерентны; волновая поверхность в любой момент времени является результатом интерференции вторичных волн.

Различают два частных случая дифракции. Дифракцией Френеля называют дифракцию в сходящихся и расходящихся пучках. Дифракция Фраунгофера наблюдается в параллельных лучах. Условие параллельности падающих и дифрагированных лучей можно выполнить, помещая источник света и экран, на котором наблюдается картина дифракции, на большом удалении от препятствия, либо используя линзу, которая может преобразовать расходящийся пучок света в параллельный.

В 1690 г. Гюйгенсом был предложен способ находить положение волнового фронта1 в последующие моменты времени по его положению в данный момент.

Этот способ известен как принцип Гюйгенса и может быть сформулирован следующим образом: каждую точку волнового фронта можно рассматривать как источник вторичных элементарных сферических волн, распространяющихся в переднюю часть полупространства; новое положение волнового фронта совпадает с огибающей элементарных волн.

В качестве простого примера применения принципа Гюйгенса рассмотрим волновой фронт АВ на рис. 6. Условимся считать, что среда изотропна, т. е. скорость волн одинакова по всем направлениям. Чтобы найти положение волнового фронта спустя короткий промежуток времени Dt после того, как он занимал положение АВ, проведем окружности радиусом . Центры этих окружностей лежат на исходном волновом фронте АВ, а сами окружности представляют собой элементарные волны Гюйгенса. Огибающая этих элементарных волн - линия CD – определяет новое положение волнового фронта. На рис.6в показано искривление волнового фронта при прохождении волны с плоским фронтом через малое отверстие. В результате дифракции волна заходит в область геометрической тени.

Принцип Гюйгенса позволяет лишь качественно изобразить картину дифракции. Френель дополнил принцип Гюйгенса положением о когерентности вторичных волн. Он предложил учитывать также мощность излучения вторичных источников. Принципом Гюйгенса-Френеля называют совокупность следующих утверждений.

1. Любой реальный источник света S 0 можно заменить системой фиктивных вторичных источников и возбуждаемых ими вторичных волн. В качестве этих источников можно выбрать малые участки волновой поверхности, охватывающей источник.

2. Вторичные источники, эквивалентные одному и тому же источнику S 0 , когерентны.

3. Мощности равных по площади вторичных источников, расположенных на волновой поверхности, одинаковы.

4. Каждый вторичный источник излучает свет преимущественно в направлении внешней нормали к поверхности. Амплитуды вторичных волн в других направлениях тем меньше, чем больше угол между нормалью и данным направлением, и равны нулю при угле, равном p/2.

Для упрощения расчета картин дифракции Френелем был предложен метод зон. Сущность метода зон Френеля рассмотрим на примере определения амплитуды электрического поля сферической волны, возбуждаемой точечным источником S 0 (рис. 7). Френель предложил разбивать сферическую волновую поверхность на кольцевые зоны так, чтобы расстояния от краев каждой зоны до точки наблюдения Р отличались на половину длины волны (напомним, что на волновой поверхности колебания происходят в одинаковой фазе). При таком разбиении каждому малому участку одной зоны найдется соответствующий участок соседней зоны, расстояния которых до точки наблюдения будут отличаться на l/2, и волны от этих участков будут приходить в точку наблюдения в противофазе и ослаблять друг друга. Поэтому и результирующие колебания, создаваемые в точке Р соседними зонами, будут противофазными, т.е. отличаться на p . Несложный расчет позволяет найти выражения для радиусов зон Френеля в зависимости от длины волны l , радиуса волновой поверхности а и расстояния b от волновой поверхности до точки наблюдения (рис. 7):

, (3)

где m – номер зоны Френеля.

Изменение фазы на противоположную можно представить как изменение знака амплитуды на противоположный, поэтому если амплитуду волны, пришедшей в Р от первой зоны Френеля, обозначить через Е 1 , то амплитуде волны, пришедшей от второй зоны, нужно приписать знак минус и обозначить ее как – Е 2 . Знак амплитуды волны от третьей зоны нужно снова сменить на противоположный. Таким образом, амплитуда результирующей волны в точке Р может быть найдена как алгебраическая сумма амплитуд волн от всех зон Френеля:

Как показывает расчет, площади построенных таким образом кольцевых зон примерно одинаковы. Однако из-за увеличения угла между нормалью к участкам поверхности зон и направлением на точку наблюдения абсолютные значения амплитуд монотонно уменьшаются с возрастанием номера зоны: Если записать предыдущее выражение в виде:

, (5)
то, считая, что выражения в скобках равны нулю, а число зон велико, получим, что результирующая амплитуда волны в точке наблюдения равна половине амплитуды волны от первой зоны:

Отсюда следует кажущийся парадоксальным вывод: если на пути света поставить экран Э с малым отверстием, открывающим только первую зону, то амплитуда волны в точке наблюдения возрастет в 2 раза, а интенсивность - в четыре1. Если отверстие в экране Э открывает две зоны, то в точке наблюдения произойдет наложение в противофазе волн от первой и второй зон и амплитуда будет очень малой. Таким образом, при дифракции Френеля на круглом отверстии в центре геометрической тени будет максимум или минимум в зависимости от числа открываемых этим отверстием зон Френеля (рис. 8).

Если на пути света поставить кольцевой экран, который закрывал бы четные зоны Френеля (на рис. 7 они заштрихованы), то амплитуда результирующей волны в точке Р резко возрастет. Действительно, в этом случае амплитуды от четных зон будут равны нулю, выбрасывая их из формулы (4), получаем: . Такой экран называют зонной пластинкой .

Если на пути луча света поставить непрозрачный диск , закрывающий не очень большое целое число зон Френеля, то в центре геометрической тени всегда будет максимум - светлое пятно, независимо от того, какое число зон закрыто - четное или нечетное. Действительно, если записать для данного случая результирующую амплитуду в т. Р (рис.7) в виде, аналогичном формуле (8), начиная с амплитуды m -ной зоны, получим: . На рис. 9 представлена тень от малого диска, освещаемого лазером. В центре наблюдается светлое пятно (пятно Пуассона). Видно также, что за пределами геометрической тени наблюдаются светлые и темные кольца. Это также результат дифракции на различных участках диска.

Отметим, что описываемые выше явления наблюдаются только при выполнении некоторых условий: свет должен быть монохроматическим; центр отверстия (диска) должен находиться на прямой, соединяющей источник с точкой наблюдения; края преграды должны быть гладкими (царапины должны быть меньше ширины ближайшей открытой зоны). Для выполнения последнего условия на отверстии (диске) должно укладываться небольшое число зон Френеля, так как ширина кольцевой зоны уменьшается с увеличением ее номера.

Метод зон позволил Френелю объяснить в рамках волновой теории прямолинейное распространение света. Как следует из формулы (3), размер первой зоны Френеля тем меньше, чем меньше длина волны. При а=b= 1 м и l=0,5 мкм радиус первой зоны равен 0,5 мм. Для того чтобы размещение на пути света экрана с отверстием не изменяло бы интенсивность в точке наблюдения, размер отверстия должен быть меньше размера первой зоны. В этом случае свет от источника в точку наблюдения распространяется как бы в пределах очень узкого канала, т.е. практически прямолинейно

Рис. 5.7

Пусть на щель шириной b нормально падает параллельный пучок света (рис. 5.7), имеющий плоскую волновую поверхность. Для определения результирующей амплитуды пучка, распространяющегося за щелью, будем разбивать открытую часть волновой поверхности, расположенной в плоскости щели на ряд параллельных полосок - зон. При угле дифракции j =0 волны от всех зон будут распространяться в одинаковой фазе, поэтому при j =0 наблюдается максимум. При некотором другом угле дифракции j , таком, что волновую поверхность можно будет разбить на две зоны так, что разность хода волн от краев (левых на рис. 5.7) соседних зон D будет равна l/2 , волны от этих зон будут взаимно гасить друг друга и при данном угле дифракции будет минимум. Значение угла j найдем из треугольника АВС : ВС/АВ= sinj или: . Отсюда получим условие первого минимума: b sinj=l. При значении угла дифракции, определяемом соотношением: , волновую поверхность можно разбить на три одинаковых по ширине зоны, так что разность хода от краев соседних зон будет равна l/2 . При этом волны от двух зон полностью погасят друг друга, а волна от третьей зоны будет не погашена и даст небольшой максимум. Нетрудно получить условие этого максимума: b sinj=3(l/2).

Таким образом, при увеличении угла дифракции можно последовательно разбивать площадь щели на четное и нечетное число зон. Общее условие максимумов (кроме нулевого) при дифракции от щели имеет вид:

, (5.3)

а условие минимумов:

J - угол дифракции, - период дифракционной решетки (расстояние между центрами соседних щелей), - число щелей, приходящихся на единицу длины решетки.

Дифракционная решетка разлагает белый свет в спектр. С ее помощью можно производить очень точные измерения длины волны

1 волновой фронт – это поверхность, разделяющая области пространства, до которых еще не дошло волновое возбуждение, от областей, вовлеченных в волновой процесс. Волновая поверхность – геометрическое место точек, колебания в которых происходят в одной фазе. По сути, волновой фронт – это самая первая волновая поверхность.

1 Ограничение светового пучка малым отверстием приведет к затемнению плоскости, в которой находится т. Р. Увеличение амплитуды происходит лишь в т. Р и в малой области вблизи нее.

Принцип Гюйгенса

Обосновывая волновую теорию света, Гюйгенс предложил принцип, который позволял наглядно решать некоторые задачи распространения и преломления света. Смысл его в том, что: Если в какой - либо момент времени известен световой волновой фронт, то для того, чтобы определить его положение через некоторый промежуток времени равный $\ \triangle t$, то каждую точку фронта следует рассматривать как источник сферической волны, построить вокруг такого вторичного источника волн сферу, имеющую радиус $c\triangle t$, где $c$ - скорость света в вакууме. При этом поверхность, которая огибает вторичные сферические волны, будет являться фронтом исходной волны через заданный промежуток времени $\triangle t$.

По физическому содержанию принцип Гюйгенса выражает взгляд на свет как непрерывный процесс в пространстве. При использовании принципа Гюйгенса можно объяснить почему, волны света попадают в область геометрической тени.

Основной проблемой принципа Гюйгенса является то, что он не учитывает явления интерференции света. Этот принцип не дает сведений об амплитуде и интенсивности волн.

Принцип Гюйгенса - Френеля, его аналитическое выражение

Определение 1

Френель развил принцип Гюйгенса, и это положение стало формулироваться так: Любая точка, принадлежащая волновому фронту, превращается в источник вторичных волн (это из принципа Гюйгенса), при этом вторичные источники являются когерентными между собой и испускаемые ими вторичные волны интерферируют. Для поверхности, совпадающей с волновой поверхностью, мощности вторичного излучения равных по площади участков одинаковы. Причем свет, распространяющийся от каждого вторичного источника идет в направлении внешней нормали.

Рэлей обобщил вышеназванный принцип:

Окружим все $S_1,S_2,S_3,\dots $ замкнутой поверхностью $(F)$ произвольной формы. При этом любую точку поверхности $F$ можно считать вторичным источником волн, которые распространяются по всем направлениям. Данные волны когерентны, так как возбуждены одними и теми же первичными источниками. Световое поле, которое появляется, как результат их пространственной интерференции, за пределами поверхности $F$ совпадает с полем реальных источников света.

Так, реальные источники света можно заменить светящейся поверхностью, которая их окружает. Причем, по всей этой поверхности как бы непрерывно распределены когерентные вторичные источники световых волн. Отличие этой гипотетической поверхности в том, что она прозрачна относительно любого излучения.

Предположим, что источник света монохроматический, среда однородная и изотропная. Таким образом, в соответствии со скорректированным принципом каждый элемент поверхности волны $S$ (рис.1) является источником вторичной сферической волны, имеющей амплитуду пропорциональную размерам данного элемента ($dS$).

Рисунок 1.

От любого участка $dS$ волновой поверхности в точку $А$ (рис.1), которая находится перед поверхностью $S$, приходит колебание, которое можно описать следующим уравнением:

где $\left(\omega t+{\alpha }_0\right)$ - фаза колебаний в месте нахождения поверхности $S$, $k$ - волновое число, $r$ - расстояние от элемента поверхности ($dS)$ до точки $A$, $a_0$ - амплитуда колебания света в месте нахождения элемента $dS$. $K$ - коэффициент, зависящий от угла $\varphi $ между нормалью $\overrightarrow{n}$ к площадке $dS$ и направлением от нее к точке $4А$. Если $\varphi =0,\ $то мы имеем $K=K_{max}$, при$\ \ \varphi =\frac{\pi }{2}$ $K=0.$

Суммарное колебание в точке А находится как суперпозиция колебаний, которые берутся для всей волновой поверхности $S$, то есть:

Формула (2) является интегральной формулировкой принципа Гюйгенса - Френеля.

Трактовка принципа Гюйгенса - Френеля

Френель искусственное предположение Гюйгенса об огибающей вторичных волн, заменил четким физическим положением, по которому вторичные волны, складываясь, интерферируют. При этом свет виден в максимумах интерференции, там, где волны взаимно гасят друг друга, имеется темнота. Так, объяснен физический смысл огибающей. К огибающей вторичные волны подходят в одинаковых фазах, поэтому интерференция вызывает большую интенсивность света. Принцип Гюйгенса - Френеля поясняет отсутствие обратной волны. Вторичные волны, которые распространяются от волнового фронта вперед, идут в свободное от возмущения пространство. При этом они интерферируют только между собой. Вторичные волны, которые идут назад, попадают в пространство, где уже присутствует прямая волна, так вторичные волны гасят прямую волну, следовательно, после прохождения волны пространство на ней не имеет возмущений.

В формулировке Рэлея рассматриваемый принцип означает, что волна, которая отделилась от своего источника, далее существует автономно, не зависит от присутствия источников.

Принцип Гюйгенса - Френеля позволяет объяснить явление дифракции.

Пример 1

Задание: Запишите выражение для напряженности электрического поля ($E$) в волне, если считать, что волна сферическая и распространяется свободно.

Решение:

Рисунок 2.

Рассмотрим свободное распространение сферической волны в однородной среде (рис.2), его можно описать, используя уравнение:

Вспомогательной волновой поверхностью в нашем случае является поверхность S, имеющая радиус $r_0$. По утверждению Френеля каждый элемент этой поверхности ($dS$) испускает вторичную сферическую волну. При этом волновое поле, испускаемое элементом $dS$ в точке $А$ найдем как:

Используя гипотезу Френеля имеем:

где $K\left(\alpha \right)$ - функция, зависящая от длины волны и угла между нормалью к фронту волны и направлением распространения вторичной волны (рис.2).

Полное волновое поле в точке $А$ представим интегралом:

Примем в качестве элемента $dS$ площадь кольца, которое вырезается из волнового фронта двумя бесконечно близкими концентрическими сферами центры которых находятся в точке $А$ (рис.2). В таком случае, можно записать, что:

В качестве переменной интегрирования примем расстояние $r_1.$ Величины $r_0$ и $r$ считаем постоянными. Из треугольника $DOA$ найдем:

\[{r_1}^2={r_0}^2+{\left(r_0+r\right)}^2-2r_0\left(r_0+r\right)cos\beta \left(1.6\right).\]

Продифференцируем выражение (1.6), имеем:

Подставим выражение (1.7) для $dS$ в формулу (1.4), получим:

где функцию $K\left(\alpha \right)\ \ рассматриваем\ как$ функцию $r_1$. При этом $r_{max}=r+2r_0.$

Ответ: $E=\frac{2\pi A_0}{\left(r_0+r\right)}e^{i\left(\omega t-kr_0\right)}\int\limits^{r_{max}}_r{K\left(r_1\right)e^{-ikr_1}}dr_1.$

Пример 2

Задание: Как используя принцип Гюйгенса - Френеля объяснить явление дифракции?

Решение:

Допустим, что плоская волна падает на экран перпендикулярно отверстию в нем. Согласно принципу Гюйгенса - Френеля каждая точка участка, волнового фронта, который выделяется отверстием в экране, становится источником вторичных волн. Если среда является однородной и изотропной вторичные волны являются сферическими. При построении огибающей вторичных волн для фиксированного момента времени получится, что фронт волы заходит в область геометрической тени, что означает, что волна огибает отверстие.

Дифракция Волн - явление огибания волнами препятствий и проникновение их в область геометрической тени. Явление дифракции можно качественно объяснить применением принципа Гюйгенса к распространению волн в среде при наличии преград.

Рассмотрим плоскую преграду ab (рис. 69). На рисунке показаны построенные по принципу Гюйгенса волновые поверхности позади преграды. Видно, что волны действи-

тельно загибаются в область тени. Но принцип Гюйгенса ничего не говорит об амплитуде колебаний в волне за преградой. Ее можно найти, рассматривая интерференцию волн, приходящих в область геометрической тени. Распределение амплитуд колебаний позади преграды называетсядифракционной картиной . Полный вид дифракционной картины позади преграды зависит от соотношения между длиной волны Л, размером преграды d и расстоянием L от преграды до точки наблюдения. Если длина волны Л больше размеров преграды d, то волна его почти не замечает. Если длина волны Л одного порядка с размером преграды d, то дифракция проявляется даже на очень малом расстоянии L, и волны за преградой лишь чуть-чуть слабее, чем в свободном волновом поле с обеих сторон. Если, наконец, длины волн много меньше размеров препятствия, то дифракционную картину можно наблюдать только на большом расстоянии от преграды, величина которой зависит от Л и d.

Принцип Гюйгенса - Френеля является развитием принципа, который ввёл Христиан Гюйгенс в 1678 году: каждая точка фронта (поверхности, достигнутой волной) является вторичным (т.е. новым) источником сферических волн. Огибающая фронтов волн всех вторичных источников становится фронтом волны в следующий момент времени.

Принцип Гюйгенса - Френеля формулируется следующим образом:

Метод зон Френеля Френель предложил метод разбиения фронта волны на кольцевые зоны, который впоследствии получил название метод зон Френеля .

Пусть от источника света S распространяется монохроматическая сферическая волна, P - точка наблюдения. Через точку O проходит сферическая волновая поверхность. Она симметрична относительно прямой SP.

Разобьем эту поверхность на кольцевые зоны I, II, III и т.д. так, чтобы расстояния от краев зоны до точки P отличались на l/2 - половину длины световой волны. Это разбиение было предложено O. Френелем и зоны называют зонами Френеля.

Возьмем произвольную точку 1 в первой зоне Френеля. В зоне II найдется, в силу правила построения зон, такая соответствующая ей точка, что разность хода лучей, идущих в точку P от точек 1 и 2 будет равна l/2. Вследствие этого колебания от точек 1 и 2 погасят друг друга в точке P.

Из геометрических соображениях следует, что при не очень больших номерах зон их площади примерно одинаковы. Значит каждой точке первой зоны найдется соответствующая ей точка во второй, колебания которых погасят друг друга. Амплитуда результирующего колебания, приходящего в точку P от зоны с номером m, уменьшается с ростом m, т.е.