Да започнем с любимия ни квадрат.
Пример 9
Квадратура на комплексно число
Тук можете да отидете по два начина, първият начин е да пренапишете степента като продукт на фактори и да умножите числата според правилото за умножение на полиномите.
Вторият начин е да използвате добре познатата училищна съкратена формула за умножение:
За комплексно число е лесно да извлечете своя собствена съкратена формула за умножение:
Подобна формула може да се изведе за квадрата на разликата, както и за куба на сбора и куба на разликата. Но тези формули са по-подходящи за сложни проблеми на анализа. Ами ако комплексното число трябва да се повиши до, да речем, 5-та, 10-та или 100-та степен? Ясно е, че в алгебрична форма е почти невъзможно да се направи такъв трик, наистина, помислете как ще решите пример като?
И тук на помощ идва тригонометричната форма на комплексно число и т.нар Формулата на Де Моавр: Ако комплексното число е представено в тригонометрична форма, тогава когато се издигне до естествена степен, формулата е валидна:
Само за позор.
Пример 10
Дадено комплексно число, намерете.
Какво трябва да се направи? Първо трябва да представите това число в тригонометричен вид. Проницателните читатели ще забележат, че вече сме направили това в Пример 8:
След това, според формулата на De Moivre:
Не дай Боже, не е нужно да се разчита на калкулатор, но в повечето случаи ъгълът трябва да се опрости. Как да опростя? Образно казано, трябва да се отървете от допълнителните завои. Един оборот е радиан или 360 градуса. Разберете колко оборота имаме в спора. За удобство правим дроба правилна:, след което става ясно видимо, че можете да намалите един оборот:. Надявам се всички да разберат, че това е един и същ ъгъл.
Така че крайният отговор би бил:
Отделна версия на проблема с степенуването е степенуването на чисто въображаеми числа.
Пример 12
Повишете комплексните числа на степени
Тук също всичко е просто, основното е да запомните известното равенство.
Ако въображаемата единица се повиши до четна степен, тогава техниката на решение е следната:
Ако въображаемата единица се повиши до нечетна степен, тогава „закачаме“ едно „и“, получавайки четна мощност:
Ако има минус (или някакъв реален коефициент), тогава първо трябва да се раздели:
Извличане на корени от комплексни числа. Квадратно уравнение с комплексни корени
Помислете за пример:
Не можете да извлечете корена? Ако говорим за реални числа, то наистина е невъзможно. В комплексни числа можете да извлечете корена - можете! По-точно, двекорен:
Наистина ли намерените корени са решението на уравнението? Да проверим:
Което трябваше да се провери.
Често се използва съкратена нотация, и двата корена са написани на един ред под „един гребен“:.
Тези корени също се наричат конюгирани сложни корени.
Как да извлечем квадратни корени от отрицателни числа, мисля, че всеки разбира: ,,,, и т.н. Във всички случаи се оказва двеконюгирани сложни корени.
Пример 13
Решете квадратно уравнение
Нека изчислим дискриминанта:
Дискриминантът е отрицателен и уравнението няма решение в реални числа. Но коренът може да се вземе в комплексни числа!
Съгласно добре познатите училищни формули получаваме два корена: - спрегнати сложни корени
Така че уравнението има два спрегнати комплексни корена:,
Сега можете да решите всяко квадратно уравнение!
И като цяло всяко уравнение с полином от "n-та" степен има точно корени, някои от които може да са сложни.
Прост пример за решение "направи си сам":
Пример 14
Намерете корените на уравнението и разложете на множители квадратния бином.
Разлагането на множители отново се извършва по стандартната училищна формула.
Да започнем с любимия ни квадрат.
Пример 9
Квадратура на комплексно число
Тук можете да отидете по два начина, първият начин е да пренапишете степента като продукт на фактори и да умножите числата според правилото за умножение на полиномите.
Вторият начин е да използвате добре познатата училищна съкратена формула за умножение:
За комплексно число е лесно да извлечете своя собствена съкратена формула за умножение:
Подобна формула може да се изведе за квадрата на разликата, както и за куба на сбора и куба на разликата. Но тези формули са по-подходящи за сложни проблеми на анализа. Ами ако комплексното число трябва да се повиши до, да речем, 5-та, 10-та или 100-та степен? Ясно е, че в алгебрична форма е почти невъзможно да се направи такъв трик, наистина, помислете как ще решите пример като?
И тук на помощ идва тригонометричната форма на комплексно число и т.нар Формулата на Де Моавр: Ако комплексното число е представено в тригонометрична форма, тогава когато се издигне до естествена степен, формулата е валидна:
Само за позор.
Пример 10
Дадено комплексно число, намерете.
Какво трябва да се направи? Първо трябва да представите това число в тригонометричен вид. Проницателните читатели ще забележат, че вече сме направили това в Пример 8:
След това, според формулата на De Moivre:
Не дай Боже, не е нужно да се разчита на калкулатор, но в повечето случаи ъгълът трябва да се опрости. Как да опростя? Образно казано, трябва да се отървете от допълнителните завои. Един оборот е радиан или 360 градуса. Разберете колко оборота имаме в спора. За удобство правим дроба правилна:, след което става ясно видимо, че можете да намалите един оборот:. Надявам се всички да разберат, че това е един и същ ъгъл.
Така че крайният отговор би бил:
Отделна версия на проблема с степенуването е степенуването на чисто въображаеми числа.
Пример 12
Повишете комплексните числа на степени
Тук също всичко е просто, основното е да запомните известното равенство.
Ако въображаемата единица се повиши до четна степен, тогава техниката на решение е следната:
Ако въображаемата единица се повиши до нечетна степен, тогава „закачаме“ едно „и“, получавайки четна мощност:
Ако има минус (или някакъв реален коефициент), тогава първо трябва да се раздели:
Извличане на корени от комплексни числа. Квадратно уравнение с комплексни корени
Помислете за пример:
Не можете да извлечете корена? Ако говорим за реални числа, то наистина е невъзможно. В комплексни числа можете да извлечете корена - можете! По-точно, двекорен:
Наистина ли намерените корени са решението на уравнението? Да проверим:
Което трябваше да се провери.
Често се използва съкратена нотация, и двата корена са написани на един ред под „един гребен“:.
Тези корени също се наричат конюгирани сложни корени.
Как да извлечем квадратни корени от отрицателни числа, мисля, че всеки разбира: ,,,, и т.н. Във всички случаи се оказва двеконюгирани сложни корени.