Хармонична линеаризация на нелинейни елементи.Този метод се използва за изследване на нелинейни системи с линейна част над трети порядък. В повечето системи преходният процес е затихване на трептене, следователно на входа на нелинеен елемент се предава периодичен сигнал с бавно променяща се амплитуда през основната обратна връзка (GOF) и при наличие на входен сигнал по с постоянен компонент.
Ще приемем, че при входа на нелинеен елемент за определен малък начален период от време амплитудата и честотата не се променят или съответстват на амплитудата и честотата на автотрептенията на системата. На изхода на NE получаваме периодична функция, която може да бъде разширена в ред на Фурие. При изследването на нелинейни системи най-често се използва само първият хармоничен компонент, т.к в повечето случаи линейната част на системата е нискочестотен филтър. Но за да се провери това и приложимостта на този метод на изследване, е необходимо да се определи честотата на собствените трептения в системата, чрез която в бъдеще да се определи способността на линейната част да филтрира по-високи хармоници. За да направите това, изградете честотната характеристика на линейната част (LP).
Нека LP на системата е нискочестотен филтър и ще приемем, че трептенията на входа на нелинейния елемент на NE са синусоидални, тогава изходният сигнал на NE е:
където А къмИ VCса коефициентите на разширението на Фурие на нелинейната функция:
Ако нелинейната характеристика е симетрична и неутрална, тогава коефициентът на разширение на реда на Фурие VC=0 и няма дори хармоници в разширението:
Използвайки тези отношения, ние изразяваме стойността на синуса и косинуса по отношение на входния сигнал
Нека заместим тези отношения в уравнението за изхода на NE и да вземем предвид само първия хармоник.
Записваме това уравнение в операторна форма:
Коефициент А 0 - амплитуда на собствените трептения; q е коефициентът на хармонична линеаризация по отношение на синусоидалния компонент, зависи от амплитудата на сигнала на входа NE; b 1 е коефициентът на хармонична линеаризация по отношение на косинусовата компонента; ω 0 е амплитудата на собствените трептения.
При липса на постоянен компонент на входа на NE получаваме уравнение за описание на поведението на NE:
Това е уравнението за хармонична линеаризация на NE.
Хармонично линеаризирана NE може да бъде представена като:
В този случай можем да извлечем трансферната функция за NE:
при липса на постоянен компонент на входа.
Коефициент А 0 - амплитуда на собствените трептения;
q е коефициентът на хармонична линеаризация по отношение на синусоидалния компонент, зависи от амплитудата на сигнала на входа NE;
b 1 е коефициентът на хармонична линеаризация по отношение на косинусовата компонента;
ω 0 е амплитудата на собствените трептения.
Линейната част на системата се влияе от изходния сигнал NE, който съдържа целия честотен спектър на разширението на Фурие. По силата на принципа на суперпозицията можем да приемем, че всеки хармоник действа върху линейната част независимо от другия. Следователно на изхода на системата могат да се задават периодични трептения, които ще съдържат целия спектър от честоти, съответстващи на NE сигнала, но амплитудата на всеки хармоник ще се определя от коефициента на преобразуване на дясната страна за разглеждания хармоник ( ).
Като замените честотната характеристика на линейната част, можете да зададете съотношението на промените в амплитудата за всеки хармоник и да проверите дали линейната част на LPF е (дали по-високите хармоници могат да бъдат изхвърлени).
Ако честотата на собствените трептения е зададена и коефициентите на линеаризация на NE хармоника са известни, като се вземат предвид само първия хармоник, тогава честотата (честотата на първия хармоник). Ако тогава можете да изхвърлите по-високите хармоници и този метод е подходящ. Тези. възможно е да се ограничи до изчисляването само на един хармоник на изхода NE. Тогава, за еднозначна нечетна характеристика, NE ще има:
За хистерезис нечетна характеристика:
В първия случай NE е еквивалентен на безинерционна връзка с някои характеристики - коефициентът на пропорционалност зависи от амплитудата или честотата на сигнала на входа NE.
В случай на хистерезична нелинейност, връзката е еквивалентна на усилващата връзка. Особеността на този метод на линеаризация прави възможно използването на честотните методи на линейната теория за анализ на нелинейна система.
Министерство на образованието и науката на Руската федерация
Саратовски държавен технически университет
Балаковски институт по техника, технологии и мениджмънт
Метод на хармонична линеаризация
Указания за лабораторни упражнения по дисциплината "Теория на автоматичното управление" за студенти от специалност 210100
Одобрен
редакционно-издателски съвет
Балаковски технологичен институт,
технология и управление
Балаково 2004г
Цел на работата: Изучаване на нелинейни системи с помощта на метода на хармонична линеаризация (хармоничен баланс), определяне на коефициентите на хармонична линеаризация за различни нелинейни връзки. Получаване на умения за намиране на параметрите на симетрични трептения с постоянна амплитуда и честота (автоосцилации), като се използват алгебрични, честотни методи, както и критерий на Михайлов.
ОСНОВНА ИНФОРМАЦИЯ
Методът на хармоничната линеаризация се отнася до приблизителни методи за изследване на нелинейни системи. Тя дава възможност да се оцени стабилността на нелинейните системи доста просто и с приемлива точност и да се определи честотата и амплитудата на установените в системата трептения.
Предполага се, че изследваната нелинейна ACS може да бъде представена в следния вид
освен това нелинейната част трябва да има една нелинейност
Тази нелинейност може да бъде непрекъсната или релейна, недвусмислена или хистерезична.
Всяка функция или сигнал може да бъде разширена в серия според система от линейно независими, в конкретен случай, ортонормирани функции. Редът на Фурие може да се използва като такъв ортогонален ред.
Нека разширим изходния сигнал на нелинейната част на системата в ред на Фурие
,
(2)
ето коефициентите на Фурие,
,
,
.
(3)
Така сигналът съгласно (2) може да бъде представен като безкрайна сума от хармоници с нарастващи честоти 
и т.н. Този сигнал се подава към линейната част на нелинейната система.
Нека означим преносната функция на линейната част
,
(4)
и степента на числителния полином трябва да е по-малка от степента на полинома на знаменателя. В този случай честотната характеристика на линейната част има формата
където 1 - няма полюси, 2 - има полюс или полюси.
За честотната характеристика е справедливо да се напише
По този начин линейната част на нелинейната система е високочестотен филтър. В този случай линейната част ще пропуска само ниски честоти без затихване, докато високите честоти ще бъдат значително отслабени с увеличаване на честотата.
Методът на хармонична линеаризация предполага, че линейната част на системата ще премине само DC компонента на сигнала и първия хармоник. Тогава сигналът на изхода на линейната част ще изглежда така
Този сигнал преминава през цялата затворена верига на системата Фиг.1 и на изхода на нелинейния елемент без да се отчитат по-високи хармоници, съгласно (2) имаме
.
(7)
При изследване на нелинейни системи по метода на хармонична линеаризация са възможни случаи на симетрични и асиметрични трептения. Нека разгледаме случая на симетрични трептения. Тук и.
Въвеждаме следната нотация
Замествайки ги в (7), получаваме . (8)
Като се има предвид фактът, че
.
(9)
Съгласно (3) и (8) at
,
.
(10)
Изразът (9) е хармонична линеаризация на нелинейността и установява линейна връзка между входната променлива и изходната променлива при . Величините и се наричат хармонични коефициенти на линеаризация.
Трябва да се отбележи, че уравнение (9) е линейно за конкретни стойности и (амплитуди и честоти на хармоничните трептения в системата). Но като цяло той запазва нелинейни свойства, тъй като коефициентите са различни за различни и . Тази характеристика ни позволява да изследваме свойствата на нелинейните системи, използвайки метода на хармонична линеаризация [Popov E.P.].
В случай на асиметрични трептения, хармоничната линеаризация на нелинейността води до линейното уравнение
,
,
.
(12)
Точно като уравнение (9), линеаризираното уравнение (11) запазва свойствата на нелинеен елемент, тъй като коефициентите на хармонична линеаризация , , както и постоянната компонента зависят както от преместването, така и от амплитудата на хармоничните трептения .
Уравнения (9) и (11) позволяват да се получат преносни функции на хармонично линеаризирани нелинейни елементи. Така че за симетричните вибрации
,
(13)
докато функцията за предаване на честота
зависи само от амплитудата и не зависи от честотата на трептенията в системата.
Трябва да се отбележи, че ако нечетно-симетричната нелинейност е еднозначна, тогава в случай на симетрични трептения, в съответствие с (9) и (10), получаваме, че , (15)
(16)
и линеаризираната нелинейност има формата
За нееднозначни нелинейности (с хистерезис) интегралът в израза (16) не е равен на нула, поради разликата в поведението на кривата с увеличаване и намаляване, следователно пълният израз (9) е валиден.
Нека намерим коефициенти на хармонична линеаризация за някои нелинейни характеристики. Нека нелинейната характеристика приеме формата на релейна характеристика с хистерезис и мъртва зона. Помислете как хармоничните трептения преминават през нелинеен елемент с такава характеристика.
Когато условието е изпълнено, тоест ако амплитудата на входния сигнал е по-малка от мъртвата зона, тогава на изхода на нелинейния елемент няма сигнал. Ако амплитудата е , тогава релето превключва в точки A, B, C и D. Означете и .
,
.
(18)
При изчисляване на коефициентите на хармонична линеаризация трябва да се има предвид, че при симетрични нелинейни характеристики интегралите в изразите (10) са на полупериода (0, ) с последващо увеличение на резултата с коефициент два . По този начин
,
.
(19)
За нелинеен елемент с релейна характеристика и мъртва зона
,
За нелинеен елемент с релейна характеристика с хистерезис
,
Коефициентите на хармонична линеаризация за други нелинейни характеристики могат да бъдат получени по подобен начин.
Нека разгледаме два метода за определяне на симетрични трептения с постоянна амплитуда и честота (автоосцилации) и стабилност на линеаризираните системи: алгебричен и честотен. Нека първо разгледаме алгебричния начин. За затворена система Фиг.1, предавателната функция на линейната част е равна на
.
Записваме хармонично линеаризираната предавателна функция на нелинейната част
.
Характеристичното уравнение на затворена система има формата
.
(22)
Ако в изследваната система възникват автоколебания, това показва наличието на два чисто въображаеми корена в нейното характерно уравнение. Следователно заместваме в характеристичното уравнение (22) стойността на корена .
.
(23)
Представи си
Получаваме две уравнения, които определят желаната амплитуда и честота
,
.
(24)
Ако в разтвора са възможни реални положителни стойности на амплитудата и честотата, тогава в системата могат да възникнат собствени трептения. Ако амплитудата и честотата нямат положителни стойности, тогава автоколебанията в системата са невъзможни.
Разгледайте пример 1. Нека изследваната нелинейна система има формата
В този пример нелинейният елемент е чувствителен елемент с релейна характеристика, за който коефициентите на хармонична линеаризация
Задвижващият механизъм има трансферна функция на формата
Предавателната функция на регулирания обект е равна на
.
(27)
Преносна функция на линейната част на системата
,
(28)
Въз основа на (22), (25) и (28) пишем характеристичното уравнение на затворена система
,
(29)
,
Нека 1/сек, сек, сек, c.
В този случай параметрите на периодичното движение са равни на
7,071
,
Нека разгледаме метод за определяне на параметрите на автоколебанията в линеаризирана ACS по критерия на Михайлов. Методът се основава на факта, че при възникване на автоколебания системата ще бъде на границата на стабилност и ходографът на Михайлов в този случай ще премине през началото.
В пример 2 намираме параметрите на автоколебанията при условие, че нелинейният елемент в системата фиг. 4 е чувствителен елемент, който има релейна характеристика с хистерезис, за която хармоничните коефициенти на линеаризация
,
Линейната част остава непроменена.
Записваме характеристичното уравнение на затворена система
Годографът на Михайлов се получава чрез замяна на .
Задачата е да се избере такава амплитуда на трептения, при която ходографът преминава през началото на координатите. Трябва да се отбележи, че в този случай текущата честота е , тъй като в този случай кривата ще премине през началото.
Изчисленията, извършени в MATHCAD 7 при 1/sec, sec, sec, in и in, дадоха следните резултати. На фиг.5 ходографът на Михайлов минава през началото. За да подобрим точността на изчисленията, ще увеличим желания фрагмент от графиката. Фигура 6 показва фрагмент от ходографа, увеличен в близост до началото. Кривата минава през началото на координатите при .
Фиг.5. Фиг.6.
В този случай честотата на трептене може да се намери от условието, че модулът е равен на нула. За честотите
стойностите на модула са таблично
По този начин честотата на трептене е 6,38. Трябва да се отбележи, че точността на изчисленията може лесно да се увеличи.
Полученото периодично решение, определено от стойността на амплитудата и честотата, трябва да се изследва за стабилност. Ако разтворът е стабилен, тогава в системата протича автоколебателен процес (стабилен пределен цикъл). В противен случай граничният цикъл ще бъде нестабилен.
Най-лесният начин за изследване на устойчивостта на периодично решение е да се използва критерият за стабилност на Михайлов в графична форма. Установено е, че при , кривата на Михайлов минава през началото на координатите. Ако дадете малко увеличение, тогава кривата ще заеме позиция над нулата или под. Така че в последния пример, нека увеличим, тоест и . Положението на кривите на Михайлов е показано на фиг.7.
При , кривата преминава над нулата, което показва стабилността на системата и затихващия преходен процес. Когато кривата на Михайлов премине под нулата, системата е нестабилна и преходният процес е дивергентен. По този начин, периодично решение с амплитуда 6 и честота на трептене 6,38 е стабилно.
За изследване на устойчивостта на периодично решение може да се използва и аналитичен критерий, получен от графичния критерий на Михайлов. Наистина, за да разберем дали кривата на Михайлов ще отиде над нулата, е достатъчно да погледнем накъде ще се движи точката на кривата на Михайлов, която се намира в началото на координатите.
Ако разширим изместването на тази точка по координатните оси X и Y, тогава за стабилността на периодичното решение, векторът, определен от проекциите върху координатните оси
трябва да се намира вдясно от допирателната MN към кривата на Михайлов, когато се гледа по кривата в посока на нарастване, чиято посока се определя от проекциите
Нека запишем условието за аналитична стабилност в следната форма
В този израз се вземат частични производни по отношение на текущия параметър на кривата на Михайлов
,
Трябва да се отбележи, че аналитичният израз на критерия за стабилност (31) е валиден само за системи не по-високи от четвърти ред, тъй като например за система от пети порядък в началото може да бъде изпълнено условие (31), и системата ще бъде нестабилна
Прилагаме критерий (31) за изследване на стабилността на периодичното решение, получено в Пример 1.
,
,
,
,
Цел на метода на хармонична линеаризация.
Идеята за метода на хармонична линеаризация е предложена през 1934 г. Н. М. Крилов и Н. Н. Боголюбов. Приложен към системите за автоматично управление, този метод е разработен от L. S. Goldfarb и E. P. Popov. Други имена на този метод и неговите модификации са методът на хармоничния баланс, методът за описание на функциите, методът на еквивалентната линеаризация.
Методът на хармонична линеаризация е метод за изследване на собствените трептения. Позволява да се определят условията за съществуване и параметрите на възможни автоколебания в нелинейни системи.
Познаването на параметрите на автоколебанията дава възможност да се представи картина на възможните процеси в системата и по-специално да се определят условията на стабилност. Да предположим, например, че в резултат на изследването на собствените трептения в някаква нелинейна система получихме зависимостта на амплитудата на тези собствени трептения НОот коефициента на трансфер клинейна част на системата, показана на фиг. 12.1, и знаем, че автоколебанията са стабилни.
От графиката следва, че при голяма стойност на коефициента на пренос k,кога k>k cr, в системата има собствени трептения. Амплитудата им намалява до нула с намаляването на коефициента на предаване кпреди ккр. На фиг. 12.1 стрелките условно показват естеството на преходните процеси при различни стойности к: в k>k kr преходният процес, причинен от първоначалното отклонение, се свива до собствени трептения. От фигурата може да се види, че при к< k cr, системата е стабилна. По този начин, к kr е критичната стойност на коефициента на предаване според условието за стабилност. Неговият излишък води до факта, че първоначалният режим на системата става нестабилен и в нея възникват автоколебания. Следователно познаването на условията за съществуване на автоколебания в системата дава възможност да се определят и условията за устойчивост.
Идеята за хармонична линеаризация.
Да разгледаме нелинейна система, чиято схема е показана на фиг. 12.2, и . Системата се състои от линейна част с преносна функция W l ( с) и нелинейна връзка NLс конкретна спецификация . Връзка с коефициент - 1 показва, че обратната връзка в системата е отрицателна. Вярваме, че в системата има собствени трептения, чиято амплитуда и честота искаме да намерим. В разглеждания режим входната стойност хнелинейна връзка и изход Йса периодични функции на времето.
Методът на хармонична линеаризация се основава на предположението, че трептенията на входа на нелинейната връзка са синусоидални, т.е. д. това
, (12.1)
къдетоНО– амплитудата и е честотата на тези собствени трептения и е възможна постоянна компонента в общия случай, когато автотрептенията са асиметрични.
Всъщност автоколебанията в нелинейните системи винаги са несинусоидални поради изкривяването на формата им от нелинейна връзка. Следователно, това първоначално допускане означава, че методът на хармонична линеаризация е фундаментално приблизителнои обхватът на неговото приложение е ограничен до случаите, когато автотрептенията на входа на нелинейна връзка са достатъчно близки до синусоидалните. За да се случи това, линейната част на системата не трябва да преминава по-високите хармоници на собствените трептения, т.е. нискочестотен филтър. Последното е илюстрирано на фиг. 12.2, б . Ако, например, честотата на собствените трептения е , тогава линейната част c, показана на фиг. 12.2, b Честотната характеристика ще играе ролята на нискочестотен филтър за тези трептения, тъй като вторият хармоник, чиято честота е равна на 2, практически няма да премине към входа на нелинейната връзка. Следователно в този случай е приложим методът на хармонична линеаризация.
Ако честотата на собствените трептения е равна на , линейната част ще преминава свободно втората, третата и други хармоници на собствените трептения. В този случай не може да се твърди, че трептенията на входа на нелинейната връзка ще бъдат достатъчно близки до синусоидалните, т.е. не е изпълнена предпоставката за прилагане на метода на хармонична линеаризация.
За да се установи дали линейната част на системата е нискочестотен филтър и по този начин да се определи приложимостта на метода на хармонична линеаризация, е необходимо да се знае честотата на собствените трептения. Въпреки това, той може да бъде известен само в резултат на използването на този метод. По този начин, приложимостта на метода на хармонична линеаризация трябва да се определи още в края на изследването като тест.
Имайте предвид, че ако в резултат на тази проверка хипотезата, че линейната част на системата играе ролята на нискочестотен филтър не се потвърди, това не означава, че получените резултати са неверни, въпреки че, разбира се, тя поставя под съмнение тях и изисква допълнителна проверка от някои по друг метод.
И така, ако приемем, че линейната част на системата е нискочестотен филтър, ние считаме, че собствените трептения на входа на нелинейната връзка са синусоидални, т.е. имат формата (12.1). В този случай трептенията на изхода на тази връзка вече ще бъдат несинусоидални поради тяхното изкривяване от нелинейността. Като пример, на фиг. 12.3 се начертава крива на изхода на нелинейна връзка за определена амплитуда на входен чисто синусоидален сигнал според дадената на същото място характеристика на връзката.
Фиг.12.3. Преминаването на хармонично трептене през нелинейна връзка.
Въпреки това, тъй като смятаме, че линейната част на системата преминава само основния хармоник на собствените трептения, има смисъл да се интересуваме само от този хармоник на изхода на нелинейната връзка. Следователно, ние разширяваме изходните трептения в редица на Фурие и изхвърляме по-високите хармоници. В резултат на това получаваме:
;
; (12.3)
;
.
Нека пренапишем израз (12.2) в по-удобна форма за последваща употреба, като заместим в него следните изрази за и получени от (12.1):
Замествайки тези изрази в (12.2), ще имаме:
(12.4)
. (12.5)
Ето обозначенията:
. (12.6)
Диференциалното уравнение (12.5) е валидно за синусоидален входен сигнал (12.1) и определя изходния сигнал на нелинейна връзка, без да взема предвид по-високите хармоници.
Коефициентите в съответствие с изрази (12.3) за коефициентите на Фурие са функции на постоянната компонента , амплитуда НОи честотата на собствените трептения на входа на нелинейната връзка. При фиксирано НО, а уравнението (12.5) е линейно. По този начин, ако по-високите хармоници се отхвърлят, тогава за фиксиран хармоничен сигнал, оригиналната нелинейна връзка може да бъде заменена с еквивалентна линейна, описана с уравнение (12.5). Тази замяна се нарича хармонична линеаризация .
На фиг. 12.4 схематично показва диаграмата на тази връзка, състояща се от две паралелни връзки.
Ориз. 12.4. Еквивалентна линейна връзка, получена от хармонична линеаризация.
Едната връзка () преминава постоянната компонента, а другата само синусоидалната компонента на собствените трептения.
Коефициентите се наричат коефициенти на хармонична линеаризацияили хармонични печалби: - коефициент на пренос на постоянната компонента и - два коефициента на пренос на синусоидалната компонента на собствените трептения. Тези коефициенти се определят от нелинейността и стойностите на и по формули (12.3). Има готови изрази, дефинирани от тези формули за редица типични нелинейни връзки. За тези и изобщо за всички инерционни нелинейни връзки, величините не зависят от и са функции само на амплитудата НОИ .
Когато към входа на линейна система се прилага хармоничен сигнал
на изхода на системата също се задава хармоничен сигнал, но с различна амплитуда и изместен по фаза спрямо входа. Ако към входа на нелинеен елемент се приложи синусоидален сигнал, тогава на неговия изход се образуват периодични трептения, но по форма те се различават значително от синусоидалните. Като пример, на фиг. 8.17 показва естеството на промяната на изходната променлива на нелинеен елемент с релейна характеристика (8.14), когато синусоидалните трептения (8.18) влизат в неговия вход.
Разширявайки периодичния сигнал на изхода на нелинеен елемент в серия на Фурие, ние го представяме като сума от постоянен компонент и безкраен набор от хармонични компоненти:
,
(8.19)
където –
постоянни коефициенти от реда на Фурие; – честота на трептене на първия хармоник (основна честота), равна на честотата на входните синусоидални трептения; Т -периодът на трептене на първия хармоник, равен на периода на входните синусоидални трептения.
Изходният сигнал на нелинейния елемент се подава към входа на линейната част на ACS (виж фиг. 8.1), който по правило има значителна инерция. В този случай високочестотните компоненти на сигнала (8.19) практически не преминават към изхода на системата, т.е. линейната част е филтър по отношение на високочестотните хармонични компоненти. В тази връзка, а също и като се има предвид, че амплитудите на хармоничните компоненти намаляват с увеличаване на хармоничната честота, за приблизителна оценка на изходната стойност на нелинеен елемент, в голям брой случаи е достатъчно да се вземе предвид само първият хармоничен компонент в .
Следователно, при липса на постоянен компонент в изходните колебания, изразът (8.19) може да бъде приблизително записан като:
Изразявайки от формула (8.20) функцията , и от производната 
- функция 
, трансформираме израза (8.20), както следва:
.
(8.21)
По този начин нелинейната зависимост на изходната стойност от входната стойност в нелинеен елемент приблизително се заменя с линейна зависимост, описана с израз (8.21).
След като извършихме трансформацията на Лаплас в израз (8.21), получаваме:
Що се отнася до непрекъснатите връзки, ние въвеждаме под внимание предавателна функция на нелинеен хармонично линеаризиран елемент , като съотношение на изображението на изходното количество към изображението на входното количество:
.
(8.22)
Таблица 8.1
Коефициенти на хармонична линеаризация на типични нелинейности
|
Статична характеристика на нелинеен елемент | ||
|
Линеен отговор с мъртва лента |
| |
|
Линейна характеристика с ограничение |
| |
|
Линейна реакция с мъртва лента и изрязване |
| |
|
Характерна "реакция" |
| |
|
Идеална характеристика на релето | ||
|
Недвусмислена релейна характеристика с мъртва зона |
| |
|
Двусмислена реакция на релето с мъртва лента |
|
|
|
кубична парабола: | ||
|
Характерна "хистерезисна линия" |
|
|
Преносната функция на нелинеен елемент има значителна разлика от предавателната функция на линейна система, която се състои във факта, че зависи от амплитудата и честотата на входния сигнал.
Изразът (8.22) може да се запише като:
q(А) + q 1 (А), (8.23)
където q(A),q 1 (А)са коефициентите на хармонична линеаризация, определени като отношението на коефициентите от редицата на Фурие за първия хармоник на изходните трептения към амплитудата на входните трептения:
q(А) = q 1 (А) = . (8.24)
Замяна в израз (8.23) Рна , получаваме израз за комплексно усилване на нелинейния елемент :
q(А) +j q 1 (А), (8.25)
който е аналог на AFC за линейна връзка.
Като пример, нека дефинираме израз за комплексния коефициент на пренос на нелинеен елемент с релейна статична характеристика (8.14). Коефициенти на ред на Фурие А 1 И Б 1 за посочената нелинейност са:
Б 1 .
Очевидно е, че кое Б 1 ще бъде равно на нула за всеки нелинеен елемент с нечетно-симетрична статична нелинейност.
където - трансферна функция на линейната част на системата; - предавателна функция на нелинеен елемент след неговата линеаризация.
Ако 
, то израз (8.26) може да се запише като:
Замяна в израз (8.27) Рна , получаваме сложен израз, в който е необходимо да се разделят реалните и въображаемите части:
[ q(А) +j q 1 (А) ] . (8.28)
В този случай записваме условието за възникване на периодични трептения в системата с честота и амплитуда:
(8.29)
Ако решенията на системата (8.29) са комплексни или отрицателни, режимът на автоколебания в системата е невъзможен. Наличието на положителни реални решения за и показва наличието на автоколебания в системата, които трябва да бъдат проверени за стабилност.
Като пример, нека намерим условията за възникване на собствени трептения в ACS, ако преносната функция на линейната му част е равна на:
(8.30)
и нелинеен елемент от типа "хистерезисна верига".
Преносната функция на хармонично линеаризиран нелинеен елемент (вижте таблица 8.1) е:
.
(8.31)
Заместване на изрази (8.30) и (8.31) в израз (8.26) и замяна Рна , намерете израза за :
От тук, в съответствие с израза (8.29), получаваме следните условия за възникване на автоколебания в системата:
Решаването на системата от уравнения (8.29) обикновено е трудно, тъй като коефициентите на хармонична линеаризация имат сложна зависимост от амплитудата на входния сигнал. Освен това, в допълнение към определянето на амплитудата и честотата, е необходимо да се оцени стабилността на собствените трептения в системата.
Условията за възникване на автоколебания в нелинейна система и параметрите на граничните цикли могат да бъдат изследвани с помощта на критерии за честотна стабилност, например критерия за стабилност на Найкуист. Съгласно този критерий, при наличие на авто-осцилации, амплитудно-фазовата характеристика на хармонично линеаризирана система с отворен контур е равна на
преминава през точката (-1, j0). Следователно за и важи следното равенство:
.
(8.32)
Решението на уравнение (8.32) по отношение на честотата и амплитудата на собствените трептения може да се получи графично. За да направите това, на комплексната равнина е необходимо чрез промяна на честотата от 0 до , да се построи AFC ходограф на линейната част на системата и чрез промяна на амплитудата НОот 0 до , построете ходограф на обратната характеристика на нелинейната част , взета със знак минус. Ако тези ходографи не се пресичат, тогава режимът на автоколебания в изследваната система не съществува (фиг. 8.18, б).
Когато ходографите се пресичат (фиг. 8.18, а), в системата възникват автотрептения, чиято честота и амплитуда се определят от стойностите и в пресечната точка.
Ако и - се пресичат в няколко точки (фиг. 8.18, а), тогава това показва наличието на няколко гранични цикъла в системата. В този случай колебанията в системата могат да бъдат стабилни и нестабилни.
Устойчивостта на автоколебателния режим се оценява по следния начин. Режимът на автотрептене е стабилен, ако точката на ходографа на нелинейната част, съответстваща на амплитуда, по-голяма от стойността в точката на пресичане на ходографите, не е покрита от ходографа на честотната характеристика на линейния част от системата. В противен случай автоколебателният режим е нестабилен.
На фиг. 8.18, а ходографите се пресичат в точки 1 и 2. Точка 1 определя нестабилния режим на автотрептения, тъй като точката на ходографа, съответстваща на увеличената амплитуда, се покрива от ходографа на честотната характеристика на линейната част на системата. Точка 2 съответства на устойчив режим на автотрептения, чиято амплитуда се определя от ходографа, а честотата - от ходографа.
Като пример нека оценим стабилността на автоколебанията в две нелинейни системи. Ще приемем, че функциите на прехвърляне на линейните части на тези системи съвпадат и са равни:
,
но техните нелинейни елементи, включени в тях, са различни. Нека първата система включва нелинеен елемент "идеално реле", описан от система (8.14), а втората - нелинеен елемент със статична характеристика "кубична парабола". Използвайки данните в таблица 8.1, получаваме:
На фиг. 8.19 показва ходографите на тези системи заедно с AFC ходографа на линейната част на системата. Въз основа на гореизложеното може да се твърди, че в първата система възникват стабилни автоколебания с честота и амплитуда , а във втората система автотрептенията са нестабилни.
Методът на хармонична линеаризация позволява да се изследва стабилността и точността на нелинейните системи с достатъчна точност за практика, като се използват методи, разработени за линейни системи. Методът дава възможност да се определи наличието на собствени трептения, както и тяхната честота и амплитуда.
Нелинейната система е представена като комбинация от линейна и нелинейна част (фиг. 5).
Ориз. пет Схема на нелинейна система
Изходният сигнал на нелинейната част на системата обикновено се определя от израза
Означете като преносна функция на линейната част. Системата от уравнения приема формата
Нека намерим условията, при които възникват хармонични трептения от формата на изхода на линейната част на системата
В този случай сигналът y(t)нелинейната част също ще бъде периодична функция, но различна от синусоида. Тази функция може да бъде разширена в серия на Фурие
В този израз а иИ б и- Коефициенти на Фурие. За симетрични нелинейности Ф 0 =0.
Основното условие, което методът налага на линейната част на системата, е състоянието на нискочестотния филтър. Смята се, че линейната част преминава само през първия хармоник на трептения. Това предположение ни позволява да считаме по-високите хармоници в (7.19) за незначителни и да се ограничим до разглеждане само на първия хармоник на сигнала y(t).
тогава израз (7.20) може да се пренапише като
Първото уравнение на системата (7.17) приема формата
В този израз
Резултатът от замяната на нелинейността F(x, sx)изразяване
и се нарича хармонична линеаризация. Количества qИ q 1 се наричат хармонични коефициенти на линеаризация или просто хармонични коефициенти. Обикновено за еднозначни нелинейности q 1 =0 . В приложенията са дадени формули за хармонични коефициенти, съответстващи на типичните нелинейности.
Основната разлика между хармонична линеаризация и конвенционална линеаризация е, че при конвенционалната линеаризация нелинейната характеристика се заменя с права линия с определен постоянен наклон, а при хармонична линеаризация - с права линия, чийто наклон зависи от амплитудата на входен сигнал на нелинейния елемент.
Помислете за метода за определяне на амплитудата и честотата на собствените трептения.
едно). В характеристичното уравнение на системата, получено от (7.22), правим промяната s=jи вземете
2). От получения израз избираме реалната и въображаемата част и ги приравняваме на нула, което според критерия на Михайлов съответства на това, че системата е на границата на осцилаторната устойчивост.
- 3). Решението на тази система дава честотата и стойностите на хармоничните коефициенти. Ако тези стойности са реални и положителни, тогава системата има краен цикъл. Стойностите на хармоничните коефициенти могат да се използват за определяне на амплитудата на граничния цикъл.
- 4). Общ признак за стабилността на пределния цикъл, т.е. наличието на собствени трептения, е равенството на нула на предпоследната детерминанта на Хурвиц за получените стойности на амплитудата и честотата на граничния цикъл. Често е по-удобно да се използва условието за стабилност на граничния цикъл на базата на критерия за стабилност на Михайлов.
Ако това неравенство е изпълнено, тогава граничният цикъл е стабилен и в системата има собствени трептения с амплитудата и честотата, определени по-горе. Индекс ”*” означава, че производните се изчисляват с вече известни стойности на хармоничните коефициенти, амплитудата и честотата.
Пример. Да приемем, че в системата за стабилизиране на ъгъла на наклон на самолета, която вече беше разгледана по-горе, кормилното устройство е нелинейно и неговата блокова схема има формата, показана на фиг. 7.6.
Фиг.6 Схема на нелинейно кормилно задвижване
Нека зададем следните параметри на нелинейността на скоростните характеристики на кормилното задвижване: b = 0,12, k 1 =tg =c/b = 6,7.Коефициентите на хармонична линеаризация на тази нелинейност се определят от изразите
Заменяйки нелинейната характеристика във веригата с хармоничен коефициент, получаваме преносна функция на кормилната уредба
Заместваме тази преносна функция в блоковата диаграма на системата за стабилизиране на ъгъла на наклон и определяме преносната функция на затворената система
В характеристичното уравнение на затворена система правим промяната s = jи изберете реалната и въображаемата част.
От второто уравнение на системата получаваме израз за честотата: , и замествайки го с първото уравнение, след трансформации, получаваме
Замествайки тук предварително дефинирани изрази за коефициентите на характеристичното уравнение, можем да получим квадратно уравнение по отношение на хармоничния коефициент, решавайки което, намираме
От тези стойности е възможно да се изчислят за два случая всички коефициенти на характеристичното уравнение и да се определят честотите, съответстващи на всяка стойност q(A).Получаваме:
И двете стойности на хармоничния коефициент и съответните честоти са реални и положителни. Следователно в системата има два гранични цикъла. Стойностите на амплитудата на граничния цикъл се определят числено чрез избиране на такава стойност, при която формулата за коефициента на хармонична линеаризация дава стойност, равна на предварително изчислената. В разглеждания случай получаваме
Сега нека оценим стабилността на пределните цикли. Използваме неравенството, получено от критерия на Михайлов, за който дефинираме
Производната на коефициента на хармонична линеаризация, включена в получените изрази, се изчислява по формулата
Изчисленията с помощта на горните формули показват, че първият пределен цикъл не е стабилен и възниква, когато (0) 0.1166(6.7 0 ). Ако първоначалното отклонение е по-малко от определеното, то процесът на входа на нелинейния елемент затихва (фиг. 7. 7) и системата е стабилна.
Ако първоначалната стойност на ъгъла на наклона е по-голяма от определената стойност, тогава процесите се сближават до втория пределен цикъл, който е стабилен и по този начин в системата възникват автоколебания (фиг. 8).
Ориз. 8
Чрез моделиране се определя, че зоната на привличане на стабилен пределен цикъл се намира приблизително вътре (0) 0.1167 - 1.4 (6.71 0 - 80.2 0 ).