Енциклопедия по математика. Математическа енциклопедия Математиката и реалния свят

Изтеглете книгата Математическа енциклопедия в 5 томаабсолютно безплатно.

За да изтеглите книга безплатно от файлов хостинг, кликнете върху връзките веднага след описанието на безплатната книга.

Скъпи читатели, ако не сте успели

Изтеглете математическа енциклопедия в 5 тома

Пишете за това в коментарите и ние определено ще ви помогнем.

Надяваме се, че книгата ви е харесала и ви е било приятно да я прочетете. В знак на благодарност можете да оставите линк към нашия уебсайт във форума или блога :)Е-книга Математическа енциклопедия в 5 тома се предоставя единствено за преглед преди закупуване на книга на хартиен носител и не е конкурент на печатните публикации.

Математическа енциклопедия - справочник по всички клонове на математиката. Енциклопедията се основава на обзорни статии, посветени на най-важните области на математиката. Основното изискване за статии от този тип е възможната пълнота на прегледа на текущото състояние на теорията с максимална достъпност на изложението; тези статии обикновено са достъпни за студенти по математика, аспиранти и специалисти в сродни области на математиката, а в определени случаи и за специалисти в други области на знанието, които използват математически методи в своята работа, инженери и учители по математика. Освен това се предоставят статии със среден размер по отделни специфични проблеми и методи на математиката; тези статии са предназначени за по-тесен кръг читатели, така че представянето в тях може да бъде по-малко достъпно. И накрая, има още един вид статии - кратки справки-дефиниции. В края на последния том на Енциклопедията ще бъде поставен предметен указател, който ще включва не само заглавията на всички статии, но и много понятия, чиито дефиниции ще бъдат дадени в статиите от първите два вида, както и най-важните резултати, споменати в статиите. Повечето от статиите на Енциклопедията са придружени от списък с препратки с поредни номера за всяко заглавие, което дава възможност за цитиране в текстовете на статиите. В края на статиите (като правило) се посочва авторът или източникът, ако статията вече е публикувана по-рано (предимно това са статии от Голямата съветска енциклопедия). Имената на чуждестранни (с изключение на древни) учени, споменати в статиите, са придружени с латински правопис (ако няма препратка към списъка с литература).

Изтеглете и прочетете Математическа енциклопедия, том 3, Виноградов И.М., 1982 г.

Изтеглете и прочетете Математическа енциклопедия, том 2, Виноградов И.М., 1979

Изтеглете и прочетете Математическа енциклопедия, том 1, Виноградов И.М., 1977 г.

Първоначално алгебрата е клон на математиката, занимаващ се с решаването на уравнения. За разлика от геометрията, аксиоматичната конструкция на алгебрата не съществува до средата на 19 век, когато се появява принципно нов поглед върху предмета и същността на алгебрата. Изследванията започнаха да се фокусират все повече и повече върху изучаването на така наречените алгебрични структури. Това имаше две предимства. От една страна, бяха изяснени областите, за които са валидни определени теореми, от друга, стана възможно да се използват едни и същи доказателства в напълно различни области. Това разделение на алгебрата продължава до средата на 20-ти век и намира израз във факта, че се появяват две имена: „класическа алгебра” и „модерна алгебра”. Последното се характеризира повече с друго име: "абстрактна алгебра". Факт е, че този раздел - за първи път в математиката - се характеризира с пълна абстракция.

Изтеглете и прочетете Малка математическа енциклопедия, Fried E., Pastor I., Reiman I., Reves P., Ruja I., 1976

"Вероятност и математическа статистика" - справочник по теория на вероятностите, математическа статистика и тяхното приложение в различни области на науката и технологиите. Енциклопедията се състои от две части: основната част съдържа обзорни статии, статии, посветени на отделни специфични проблеми и методи, кратки справки, даващи дефиниции на основни понятия, най-важните теореми и формули. Значително място се отделя на приложните въпроси - теория на информацията, теория на опашките, теория на надеждността, планиране на експерименти и свързаните с тях области - физика, геофизика, генетика, демография и някои раздели на технологиите. Повечето от статиите са придружени от библиография на най-важните статии по този въпрос. Заглавията на статиите също са дадени в превод на английски език. Втората част - "Читателка по теория на вероятностите и математическа статистика" съдържа статии, написани за руски енциклопедии от миналото, както и енциклопедични материали, публикувани по-рано в други произведения. Енциклопедията е придружена от обширен списък от списания, периодични издания и текущи публикации, обхващащи проблеми на теорията на вероятностите и математическата статистика.
Материалът, включен в Енциклопедията, е необходим за студенти, специализанти и изследователи в областта на математиката и други науки, които използват вероятностни методи в своята изследователска и практическа работа.

Съдържанието на статията

МАТЕМАТИКА.Математиката обикновено се дефинира чрез изброяване на имената на някои от нейните традиционни клонове. На първо място, това е аритметиката, която се занимава с изучаване на числата, връзките между тях и правилата за работа с числа. Фактите на аритметиката са отворени за различни конкретни интерпретации; например съотношението 2 + 3 = 4 + 1 съответства на твърдението, че две и три книги правят толкова книги, колкото четири и една. Всяко отношение като 2 + 3 = 4 + 1, т.е. връзката между чисто математически обекти без позоваване на каквато и да е интерпретация от физическия свят се нарича абстрактна. Абстрактният характер на математиката й позволява да се използва при решаване на голямо разнообразие от проблеми. Например, алгебрата, която се занимава с операции с числа, ви позволява да решавате проблеми, които надхвърлят аритметиката. По-специфичен клон на математиката е геометрията, чиято основна задача е изучаването на размерите и формите на обектите. Комбинацията от алгебрични методи с геометрични води, от една страна, до тригонометрия (първоначално посветена на изучаването на геометричните триъгълници, а сега обхващаща много по-широк кръг от въпроси), а от друга страна, до аналитична геометрия, в която геометричните тела и фигури се изучават с алгебрични методи. Има няколко клона на висшата алгебра и геометрия, които имат по-висока степен на абстракция и не се занимават с изучаване на обикновени числа и обикновени геометрични фигури; най-абстрактната геометрична дисциплина се нарича топология.

Математическият анализ се занимава с изучаване на величини, които се променят в пространството или времето, и разчита на две основни понятия – функция и граница, които не се срещат в по-елементарните раздели на математиката. Първоначално математическият анализ се състоеше от диференциално и интегрално смятане, но сега включва и други раздели.

Има две основни области на математиката – чиста математика, в която акцентът е върху дедуктивните разсъждения, и приложна математика. Терминът "приложна математика" понякога се отнася до онези клонове на математиката, които са създадени специално, за да задоволят нуждите и изискванията на науката, а понякога и до онези раздели от различни науки (физика, икономика и др.), които използват математиката като средство за решаване на проблемите. техните задачи. Много често срещани погрешни схващания за математиката възникват от объркването между тези две интерпретации на „приложна математика“. Аритметиката може да илюстрира приложната математика в първия смисъл и счетоводството във втория.

Противно на общоприетото схващане, математиката продължава да се развива бързо. Mathematical Review публикува годишно около. 8000 кратки резюмета на статии, съдържащи най-новите резултати - нови математически факти, нови доказателства за стари факти и дори информация за напълно нови области на математиката. Съвременната тенденция в обучението по математика е да се запознаят учениците със съвременни, по-абстрактни математически идеи на по-ранен етап от обучението по математика. Вижте същоМАТЕМАТИКА ИСТОРИЯ. Математиката е един от крайъгълните камъни на цивилизацията, но много малко хора имат представа за текущото състояние на нещата в тази наука.

Математиката претърпя огромни промени през последните сто години, както по отношение на предмета, така и по отношение на методите на обучение. В тази статия ще се опитаме да дадем обща представа за основните етапи в еволюцията на съвременната математика, чиито основни резултати могат да се считат, от една страна, увеличаването на разликата между чистата и приложната математика, а от друга, пълно преосмисляне на традиционните области на математиката.

РАЗВИТИЕ НА МАТЕМАТИЧЕСКИ МЕТОД

Раждането на математиката.

Около 2000 г. пр.н.е беше забелязано, че в триъгълник със страни от 3, 4 и 5 единици дължина един от ъглите е равен на 90 ° (това наблюдение улеснява изграждането на прав ъгъл за практически нужди). Тогава забелязахте ли отношението 5 2 = 3 2 + 4 2 ? Нямаме информация по този въпрос. Няколко века по-късно е открито общо правило: във всеки триъгълник ABCс прав ъгъл в горната част Аи партита б = ACи ° С = АБ, между който е затворен този ъгъл и противоположната му страна а = пр.н.есъотношението а 2 = б 2 + ° С 2. Може да се каже, че науката започва, когато масата от индивидуални наблюдения се обяснява с един общ закон; следователно откриването на "питагоровата теорема" може да се разглежда като един от първите известни примери за наистина научно постижение.

Но още по-важно за науката като цяло и за математиката в частност е фактът, че наред с формулирането на общ закон се появяват опити за доказването му, т.е. показват, че то задължително следва от други геометрични свойства. Едно от източните „доказателства“ е особено графично в своята простота: четири триъгълника, равни на даден, са вписани в квадрат BCDEкакто е показано на чертежа. квадратна площ а 2 е разделена на четири равни триъгълника с обща площ 2 пр. н. еи квадрат AFGH■ площ ( б – ° С) 2 . По този начин, а 2 = (б – ° С) 2 + 2пр. н. е = (б 2 + ° С 2 – 2пр. н. е) + 2пр. н. е = б 2 + ° С 2. Поучително е да отидем една крачка по-далеч и да разберем по-точно кои „предишни“ свойства се предполага, че са известни. Най-очевидният факт е, че тъй като триъгълниците BACи BEFпрецизно, без празнини и припокриване, „монтирани“ отстрани BAи bf, което означава, че двата ъгъла във върховете Би Св триъгълник коремни мускулизаедно образуват ъгъл от 90° и следователно сумата от трите му ъгъла е 90° + 90° = 180°. Горното „доказателство“ също използва формулата ( пр. н. е/2) за площта на триъгълник ABCс ъгъл от 90° в горната част А. Всъщност са използвани и други допускания, но казаното е достатъчно, за да можем ясно да видим основния механизъм на математическото доказателство - дедуктивното разсъждение, което позволява използването на чисто логически аргументи (на базата на правилно подготвен материал, в нашия пример - разделяне квадратът), за да се изведат от известни резултати нови свойства, като правило, не следват директно от наличните данни.

Аксиоми и методи за доказване.

Една от основните характеристики на математическия метод е процесът на създаване, с помощта на внимателно изградени чисто логически аргументи, верига от твърдения, в която всяка следваща връзка е свързана с предходната. Първото доста очевидно съображение е, че всяка верига трябва да има първо звено. Това обстоятелство става очевидно за гърците, когато започват да систематизират кодекса на математическите аргументи през 7 век. пр.н.е. Отне на гърците ок. 200 години, а оцелелите документи дават само приблизителна представа за това как точно са действали. Разполагаме с точна информация само за крайния резултат от изследването – известния НачалоЕвклид (ок. 300 г. пр. н. е.). Евклид започва с изброяване на първоначалните позиции, от които всички останали се извеждат по чисто логически начин. Тези разпоредби се наричат аксиоми или постулати (термините са практически взаимозаменяеми); те изразяват или много общи и донякъде неясни свойства на обекти от всякакъв вид, като "цялото е по-голямо от частта", или някои специфични математически свойства, като факта, че за всякакви две точки има една-единствена права линия, която ги свързва . Ние също така нямаме информация дали гърците са придавали някакво по-дълбоко значение или значение на „истината“ на аксиомите, въпреки че има някои намеци, че гърците са ги обсъждали известно време, преди да приемат определени аксиоми. В Евклид и неговите последователи аксиомите са представени само като отправни точки за изграждането на математиката, без никакъв коментар за тяхната същност.

Що се отнася до методите за доказване, те като правило се свеждат до прякото използване на предварително доказани теореми. Понякога обаче логиката на разсъжденията се оказваше по-сложна. Тук ще споменем любимия метод на Евклид, който стана част от ежедневната практика на математиката – косвено доказателство, или доказателство чрез противоречие. Като елементарен пример за доказателство от противоречие ще покажем, че шахматна дъска, от която са изрязани две ъглови полета, разположени в противоположните краища на диагонала, не може да бъде покрита с домино, всяко от които е равно на две полета. (Предполага се, че всяко поле от шахматната дъска трябва да бъде покрито само веднъж.) Да предположим, че е вярно обратното („противоположното“) твърдение, т.е. че дъската може да бъде покрита с домино. Всяка плочка покрива един черен и един бял квадрат, така че независимо къде са поставени доминото, те покриват равен брой черни и бели квадрати. Въпреки това, тъй като две ъглови полета са премахнати, шахматната дъска (която първоначално е имала толкова черни полета, колкото белите) има две повече полета от един цвят, отколкото квадрата от другия цвят. Това означава, че първоначалното ни предположение не може да бъде вярно, тъй като води до противоречие. И тъй като противоречивите твърдения не могат да бъдат едновременно неверни (ако едно от тях е невярно, тогава е вярно обратното), нашето първоначално предположение трябва да е вярно, защото противоречивото предположение е невярно; следователно шахматна дъска с две изрязани ъглови квадрата, поставени диагонално, не може да бъде покрита с домино. И така, за да докажем определено твърдение, можем да приемем, че то е невярно, и да изведем от това предположение противоречие с някакво друго твърдение, чиято истинност е известна.

Отличен пример за доказателство чрез противоречие, което се превърна в един от основните етапи в развитието на древногръцката математика, е доказателството, че не е рационално число, т.е. не може да се представи като дроб стр/q, където стри q- цели числа. Ако , тогава 2 = стр 2 /q 2 , откъдето стр 2 = 2q 2. Да предположим, че има две цели числа стри q, за което стр 2 = 2q 2. С други думи, приемаме, че съществува цяло число, чийто квадрат е два пъти по-голям от квадрата на друго цяло число. Ако някои цели числа удовлетворяват това условие, тогава едно от тях трябва да е по-малко от всички останали. Нека се съсредоточим върху най-малкото от тези числа. Нека е число стр. От 2 q 2 е четно число и стр 2 = 2q 2 , след това числото стр 2 трябва да е четно. Тъй като квадратите на всички нечетни числа са нечетни, а квадратът стр 2 е четно, така че самото число стртрябва да е равномерен. С други думи, числото стрдва пъти някакво цяло число r. Защото стр = 2rи стр 2 = 2q 2, имаме: (2 r) 2 = 4r 2 = 2q 2 и q 2 = 2r 2. Последното равенство има същата форма като равенството стр 2 = 2q 2 , и можем, повтаряйки същите разсъждения, да покажем, че числото qе четно и че има такова цяло число с, Какво q = 2с. Но след това q 2 = (2с) 2 = 4с 2 и след това q 2 = 2r 2, заключаваме, че 4 с 2 = 2r 2 или r 2 = 2с 2. Така получаваме второ цяло число, което удовлетворява условието, че неговият квадрат е два пъти по-голям от квадрата на друго цяло число. Но след това стрне може да бъде най-малкото такова число (тъй като r = стр/2), въпреки че първоначално предположихме, че е най-малкото от тези числа. Следователно, нашето първоначално предположение е невярно, тъй като води до противоречие и следователно няма такива цели числа стри q, за което стр 2 = 2q 2 (т.е. такъв, че ). А това означава, че числото не може да бъде рационално.

От Евклид до началото на 19 век.

През този период математиката се промени значително в резултат на три иновации.

(1) В хода на развитието на алгебрата е изобретен метод на символна нотация, който позволява да се представят все по-сложни отношения между величини в съкратена форма. Като пример за неудобството, което би възникнало, ако нямаше такова "курсивно писане", нека се опитаме да предадем с думи съотношението ( а + б) 2 = а 2 + 2аб + б 2: „Площта на квадрат със страна, равна на сбора от страните на два дадени квадрата, е равна на сбора от техните площи заедно с удвоената площ на правоъгълник, чиито страни са равни на страните на дадените квадрати."

(2) Създаване през първата половина на 17 век. аналитична геометрия, което направи възможно да се сведе всеки проблем от класическата геометрия до някакъв алгебричен проблем.

(3) Създаването и развитието между 1600 и 1800 г. на безкрайно малко смятане, което направи възможно лесно и систематично решаване на стотици проблеми, свързани с концепциите за граница и непрекъснатост, само много малка част от които бяха решени с голяма трудност от древногръцкия математици. Тези клонове на математиката са разгледани по-подробно в статиите АЛГЕБРА; АНАЛИТИЧНА ГЕОМЕТРИЯ ; МАТЕМАТИЧЕСКИ АНАЛИЗ ; ПРЕГЛЕД НА ГЕОМЕТРИЯТА.

Започвайки от 17 век. постепенно изяснява въпроса, който досега оставаше нерешен. Какво е математика? Преди 1800 г. отговорът беше достатъчно прост. По това време няма ясни граници между различните науки, математиката е част от „естествената философия“ – системното изучаване на природата по методите, предложени от големите реформатори от Ренесанса и началото на 17 век. - Галилей (1564–1642), Ф. Бейкън (1561–1626) и Р. Декарт (1596–1650). Смятало се, че математиците имат своя собствена област на изследване - числа и геометрични обекти, и че математиците не използват експерименталния метод. Въпреки това, Нютон и неговите последователи изучават механиката и астрономията, използвайки аксиоматичния метод, подобно на начина, по който е представена геометрията на Евклид. В по-общ план беше признато, че всяка наука, в която резултатите от експеримента могат да бъдат представени с помощта на числа или системи от числа, става област на приложение на математиката (във физиката тази идея е установена едва през 19 век).

Области на експерименталната наука, които са били подложени на математическа обработка, често се наричат „приложна математика“; това е много жалко име, тъй като нито по класически, нито по съвременни стандарти в тези приложения няма (в тесния смисъл) истински математически аргументи, тъй като нематематическите обекти са обект на изследване в тях. След като експерименталните данни бъдат преведени на езика на числата или уравненията (такъв „превод“ често изисква голяма изобретателност от страна на „приложния“ математик), се появява възможността за широко приложение на математическите теореми; след това резултатът се превежда обратно и се сравнява с наблюденията. Фактът, че терминът "математика" се прилага към процес от този вид, е един от източниците на безкрайни недоразумения. В „класическите“ времена, за които сега говорим, този вид недоразумение не е съществувало, тъй като едни и същи хора са били „приложни“ и „чисти“ математици, занимаващи се едновременно с проблемите на математическия анализ или теорията на числата, и проблемите на динамиката или оптиката. Въпреки това, повишената специализация и тенденцията за разделяне на „чистите“ и „приложните“ математици значително отслабиха съществуващата преди това традиция на универсалността и учените, които, подобно на Й. фон Нойман (1903–1957), успяха да водят активна научна дейност както в приложни и в чистата математика, са станали по-скоро изключение, отколкото правило.

Каква е природата на математическите обекти – числа, точки, прави, ъгли, повърхности и т.н., чието съществуване приемахме за даденост? Какво означава понятието "истина" по отношение на такива обекти? На тези въпроси в класическия период са дадени доста категорични отговори. Разбира се, учените от онази епоха ясно разбират, че в света на нашите усещания няма такива неща като „безкрайно удължената права линия“ на Евклид или „точка без измерения“, точно както няма „чисти метали“, „монохроматична светлина“. “, „топлоизолирани системи” и др. .д., които експериментаторите оперират в своите разсъждения. Всички тези понятия са „платонови идеи“, т.е. един вид генеративни модели на емпирични концепции, макар и с коренно различен характер. Въпреки това мълчаливо се предполагаше, че физическите „образи“ на идеите могат да бъдат произволно близки до самите идеи. Доколкото може да се каже каквото и да било за близостта на обектите до идеите, се казва, че „идеите“ са, така да се каже, „ограничаващи случаи“ на физически обекти. От тази гледна точка аксиомите на Евклид и изведените от тях теореми изразяват свойствата на „идеалните“ обекти, които трябва да отговарят на предвидими експериментални факти. Например, измерването чрез оптични методи на ъглите на триъгълник, образуван от три точки в пространството, в "идеалния случай" трябва да даде сума, равна на 180 °. С други думи, аксиомите са поставени на същото ниво като физическите закони и следователно тяхната "истина" се възприема по същия начин като истинността на физическите закони; тези. логическите следствия от аксиомите подлежат на проверка чрез съпоставяне с експериментални данни. Разбира се, съгласие може да се постигне само в рамките на грешката, свързана както с „несъвършеното” естество на измервателния уред, така и с „несъвършената природа” на измервания обект. Въпреки това, винаги се приема, че ако законите са "верни", тогава подобренията в процесите на измерване могат по принцип да направят грешката на измерването толкова малка, колкото желаете.

През целия 18 век имаше все повече и повече доказателства, че всички следствия, извлечени от основните аксиоми, особено в астрономията и механиката, са в съответствие с експерименталните данни. И тъй като тези последици бяха получени с помощта на математическия апарат, който съществуваше по това време, постигнатите успехи допринесоха за укрепване на мнението за истинността на аксиомите на Евклид, която, както каза Платон, „е ясна за всички“ и не подлежи на обсъждане.

Съмнения и нови надежди.

Неевклидова геометрия.

Сред постулатите, дадени от Евклид, един беше толкова неочевиден, че дори първите ученици на великия математик го смятаха за слабо място в системата. Започна. Въпросната аксиома гласи, че през точка, лежаща извън дадена права, може да бъде проведена само една права, успоредна на дадената права. Повечето геометри вярваха, че аксиомата за паралели може да бъде доказана с помощта на други аксиоми и че Евклид формулира твърдението за паралели като постулат, просто защото не успява да излезе с такова доказателство. Но въпреки че най-добрите математици се опитаха да решат паралелната задача, никой от тях не успя да надмине Евклид. И накрая, през втората половина на 18 век. Правени са опити да се докаже постулата на Евклид за паралелите чрез противоречие. Предполага се, че паралелната аксиома е невярна. Априори постулатът на Евклид може да се окаже неверен в два случая: ако е невъзможно да се проведе една успоредна права през точка извън дадената права; или ако през него могат да се прокарат няколко успоредни прави. Оказа се, че първата априорна възможност се изключва от други аксиоми. След като приеха нова аксиома вместо традиционната аксиома за паралелите (че през точка извън дадена права могат да се начертаят няколко успоредни на дадена права), математиците се опитаха да изведат от нея твърдение, което противоречи на други аксиоми, но не успяха: колкото и да се опитваха да извлекат последствия от новата "антиевклидова" или "неевклидова" аксиома, противоречието не се появи. Накрая, независимо един от друг, Н. И. Лобачевски (1793–1856) и Дж. Боляй (1802–1860) осъзнават, че постулатът на Евклид за паралелите е недоказуем или, с други думи, няма да се появи противоречие в „неевклидовата геометрия“ .

С появата на неевклидовата геометрия веднага възникнаха няколко философски проблема. Тъй като твърдението за априорната необходимост на аксиомите изчезна, остава единственият начин да се провери тяхната „истина“ – експериментално. Но, както по-късно отбелязва А. Поанкаре (1854–1912), в описанието на всяко явление има толкова много скрити физически предположения, че нито един експеримент не може да предостави убедително доказателство за истинността или невярността на една математическа аксиома. Освен това, дори да приемем, че нашият свят е „неевклидов“, следва ли, че цялата евклидова геометрия е фалшива? Доколкото е известно, нито един математик не е разглеждал сериозно подобна хипотеза. Интуицията подсказва, че както евклидовата, така и неевклидовата геометрия са примери за пълноценна математика.

Математически чудовища.

Неочаквано същите изводи дойдоха от съвсем друга посока - бяха открити предмети, които потопиха математиците от 19 век. шокирани и наречени "математически чудовища". Това откритие е пряко свързано с много фини въпроси на математическия анализ, възникнали едва в средата на 19 век. Възникнаха трудности при опит да се намери точен математически аналог на експерименталната концепция за крива. Каква беше същността на концепцията за „непрекъснато движение“ (например върхът на химикалка, който се движи по лист хартия) беше предмет на точно математическо определение и тази цел беше постигната, когато концепцията за непрекъснатост придоби строга математическа смисъл ( см. същоКРИВА). Интуитивно изглеждаше, че „кривата“ във всяка от своите точки има сякаш посока, т.е. в общия случай, в съседство на всяка от точките си, кривата се държи почти по същия начин като права линия. (От друга страна, лесно е да си представим, че една крива има краен брой ъглови точки, „извивки“, като многоъгълник.) Това изискване може да се формулира математически, а именно съществуването на допирателна към кривата се предполага , и до средата на 19 век. смятало се, че "кривата" има допирателна в почти всичките си точки, може би с изключение на някои "специални" точки. Следователно откриването на "криви", които нямат допирателна в нито една точка, предизвика истински скандал ( см. същоТЕОРИЯ НА ФУНКЦИИТЕ). (Читателят, запознат с тригонометрията и аналитичната геометрия, може лесно да провери дали кривата, дадена от уравнението г = хгрях (1/ х), няма допирателна в началото, но дефинирането на крива, която няма допирателна в нито една от своите точки, е много по-трудно.)

Малко по-късно се получи много по-"патологичен" резултат: беше възможно да се конструира пример за крива, която напълно запълва квадрата. Оттогава са измислени стотици такива „чудовища“, противно на „здравия разум“. Трябва да се подчертае, че съществуването на такива необичайни математически обекти следва от основните аксиоми, толкова строго и логически безупречни, колкото съществуването на триъгълник или елипса. Тъй като математическите „чудовища“ не могат да съответстват на никакъв експериментален обект и единственото възможно заключение е, че светът на математическите „идеи“ е много по-богат и по-необичаен, отколкото може да се очаква, и много малко от тях имат съответствия в света на нашите усещания . Но ако математическите "чудовища" логически следват от аксиомите, тогава могат ли аксиомите все още да се считат за верни?

Нови обекти.

Горните резултати се потвърдиха от друга страна: в математиката, главно в алгебрата, един след друг започнаха да се появяват нови математически обекти, които бяха обобщения на понятието число. Обикновените цели числа са доста „интуитивни“ и изобщо не е трудно да се стигне до експериментална концепция за дроб (въпреки че трябва да се признае, че операцията за разделяне на единица на няколко равни части и избор на няколко от тях е по своята същност различна от процеса на броене). След като стана ясно, че числото не може да бъде представено като дроб, гърците бяха принудени да разглеждат ирационални числа, чието правилно определение, използвайки безкрайна последователност от приближения чрез рационални числа, принадлежи към най-високите постижения на човешкия ум, но едва ли съответства на нещо реално в нашия физически свят (където всяко измерване неизменно е обект на грешки). Въпреки това въвеждането на ирационалните числа става малко или много в духа на „идеализацията“ на физическите понятия. Но какво да кажем за отрицателните числа, които бавно, срещайки голяма съпротива, започнаха да навлизат в научна употреба във връзка с развитието на алгебрата? Може да се твърди с пълна сигурност, че не е имало готови физически обекти, от които да разработим концепцията за отрицателно число, използвайки процеса на директно абстракция, а в преподаването на курса по елементарна алгебра трябва да въведем много спомагателни и доста сложни примери (ориентирани сегменти, температури, дългове и т.н.), за да се обясни какво представляват отрицателните числа. Тази позиция е много далеч от „ясна за всички“, както Платон изискваше за идеите, залегнали в математиката, и не е необичайно да срещнете завършили колеж, за които правилото на знаците все още е загадка (- а)(–б) = аб. Вижте същоНОМЕР .

Ситуацията е още по-лоша с "въображаеми" или "сложни" числа, тъй като те включват "число" и, такъв, че и 2 = -1, което е явно нарушение на знака. Въпреки това математиците от края на 16 век. не се колебайте да извършвате изчисления с комплексни числа, сякаш „има смисъл“, въпреки че преди 200 години не можеха да дефинират тези „обекти“ или да ги тълкуват с помощта на каквато и да е помощна конструкция, както, например, те бяха интерпретирани с помощта на насочени сегменти отрицателни числа . (След 1800 г. бяха предложени няколко интерпретации на комплексни числа, като най-известната е с помощта на вектори в равнината.)

съвременна аксиоматика.

Революцията се случва през втората половина на 19 век. И въпреки че не беше придружено от приемането на официални изявления, в действителност ставаше дума за провъзгласяване на своеобразна „декларация за независимост“. По-конкретно за обявяването на фактическа декларация за независимост на математиката от външния свят.

От тази гледна точка математическите "обекти", ако изобщо има смисъл да се говори за тяхното "съществуване", са чисти творения на ума и имат ли "съответствия" и дали позволяват някаква "интерпретация" в физическият свят, за математиката е маловажен (въпреки че самият въпрос е интересен).

"Истинските" твърдения за такива "обекти" са едни и същи логически следствия от аксиомите. Но сега аксиомите трябва да се разглеждат като напълно произволни и следователно няма нужда те да бъдат „очевидни“ или изводими от ежедневния опит посредством „идеализиране“. На практика пълната свобода е ограничена от различни съображения. Разбира се, "класическите" обекти и техните аксиоми остават непроменени, но сега те не могат да се считат за единствените обекти и аксиоми на математиката и навикът да се изхвърлят или преработват аксиомите, така че да е възможно да се използват по различни начини, както беше направено при прехода от евклидова към неевклидова геометрия. (Така са получени множество варианти на „неевклидови“ геометрии, различни от евклидовата геометрия и геометрията на Лобачевски-Боляй; например има неевклидови геометрии, в които няма успоредни прави.)

Бих искал да подчертая едно обстоятелство, което следва от новия подход към математическите „обекти“: всички доказателства трябва да се основават единствено на аксиоми. Ако си припомним определението за математическо доказателство, тогава такова твърдение може да изглежда като повторение. Това правило обаче рядко се следваше в класическата математика поради „интуитивната“ природа на нейните обекти или аксиоми. Дори в НачалоЕвклид, при цялата им привидна „строгост“, много аксиоми не са формулирани изрично и много свойства са или мълчаливо приети, или въведени без достатъчно обосновка. За да се постави евклидовата геометрия върху солидна основа, беше необходима критична ревизия на нейните принципи. Излишно е да казвам, че педантичният контрол върху най-малките детайли на доказателството е следствие от появата на „чудовища“, които са научили съвременните математици да бъдат внимателни в заключенията си. Най-безобидното и „самоочевидно“ твърдение за класически обекти, като твърдението, че крива, свързваща точки, разположени от противоположните страни на права линия, задължително пресича тази права линия, в съвременната математика изисква строго формално доказателство.

Може да изглежда парадоксално да се каже, че именно поради придържането си към аксиомите съвременната математика служи като ясен пример за това каква трябва да бъде всяка наука. Въпреки това този подход илюстрира характерна особеност на един от най-фундаменталните процеси на научното мислене – получаване на точна информация в ситуация на непълно познание. Научното изследване на определен клас обекти предполага, че признаците, които позволяват да се разграничат един обект от друг, са умишлено забравени и се запазват само общите характеристики на разглежданите обекти. Това, което отличава математиката от общия набор от науки, е стриктното придържане към тази програма във всичките й точки. Смята се, че математическите обекти са напълно определени от аксиомите, използвани в теорията на тези обекти; или, по думите на Поанкаре, аксиомите служат като „прикрити дефиниции“ на обектите, към които се отнасят.

СЪВРЕМЕННА МАТЕМАТИКА

Въпреки че съществуването на всякакви аксиоми е теоретично възможно, само малък брой аксиоми са предложени и изследвани досега. Обикновено в хода на разработването на една или повече теории се забелязва, че някои схеми на доказване се повтарят при повече или по-малко сходни условия. След откриване на свойствата, използвани в общите схеми на доказателства, те се формулират под формата на аксиоми, а последствията от тях се вграждат в обща теория, която не е пряко свързана с конкретния контекст, от който са извлечени аксиомите. Така получените общи теореми са приложими за всяка математическа ситуация, в която има системи от обекти, които удовлетворяват съответните аксиоми. Повторението на едни и същи доказателствени схеми в различни математически ситуации показва, че имаме работа с различни конкретизации на една и съща обща теория. Това означава, че след подходяща интерпретация, аксиомите на тази теория се превръщат в теореми във всяка ситуация. Всяко свойство, изведено от аксиомите, ще бъде вярно във всички тези ситуации, но няма нужда от отделно доказателство за всеки случай. В такива случаи се казва, че математическите ситуации имат една и съща математическа "структура".

Ние използваме концепцията за структура на всяка стъпка в нашето ежедневие. Ако термометърът отчита 10°C и прогнозата прогнозира повишаване на температурата с 5°C, очакваме температура от 15°C без никакви изчисления.Ако книгата се отвори на страница 10 и от нас се иска да разгледаме още 5 страници, не се притесняваме да го отворим на 15-та страница, без да броим междинните страници. И в двата случая смятаме, че добавянето на числа дава правилния резултат, независимо от тяхната интерпретация – под формата на температура или номера на страници. Не е нужно да учим една аритметика за термометри и друга за номера на страници (въпреки че използваме специална аритметика за часовници, в която 8 + 5 = 1, тъй като часовниците имат различна структура от страниците на книга). Структурите, представляващи интерес за математиците, се отличават с малко по-висока сложност, което е лесно да се види от примерите, анализът на които е посветен на следващите два раздела на тази статия. Една от тях се занимава с теорията на групите и математическите понятия за структури и изоморфизми.

Групова теория.

За да разберем по-добре описания по-горе процес, нека си позволим да погледнем в лабораторията на съвременния математик и да разгледаме по-отблизо един от основните му инструменти - теорията на групите ( см. същоАЛГЕБРА РЕЗЮМЕ). Групата е колекция (или "набор") от обекти г, върху който е дефинирана операция, която асоциира всеки два обекта или елемента а, бот г, взети в посочения ред (първият е елементът а, вторият е елементът б), третият елемент ° Сот гспоред строго определено правило. За краткост обозначаваме този елемент а*б; звездичката (*) означава действието на съставяне на два елемента. Тази операция, която ще наречем групово умножение, трябва да отговаря на следните условия:

(1) за всеки три елемента а, б, ° Сот гсвойството на асоциативност е удовлетворено: а* (б*° С) = (а*б) *° С;

(2) в гима такъв елемент д, което за всеки елемент аот гима връзка д*а = а*д = а; този елемент дсе нарича идентичност или неутрален елемент на групата;

(3) за всеки елемент аот гима такъв елемент а¢, наречен обратен или симетричен към елемент а, Какво а*аў = аў* а = д.

Ако тези свойства се приемат като аксиоми, тогава логическите последици от тях (независими от всякакви други аксиоми или теореми) заедно образуват това, което обикновено се нарича теория на групите. Извличането на тези следствия веднъж завинаги се оказа много полезно, тъй като групите се използват широко във всички клонове на математиката. От хилядите възможни примери за групи ще изберем само няколко от най-простите.

(а) Дроби стр/q, където стри qса произволни цели числа i1 (за q= 1 получаваме обикновени цели числа). Дроби стр/qобразувайте група по отношение на груповото умножение ( стр/q) *(r/с) = (пр)/(qs). Свойствата (1), (2), (3) следват от аксиомите на аритметиката. Наистина ли, [( стр/q) *(r/с)] *(т/u) = (prt)/(qsu) = (стр/q)*[(r/с)*(т/u)]. Елементът за идентичност е числото 1 = 1/1, тъй като (1/1)*( стр/q) = (1Н стр)/(1Н q) = стр/q. И накрая, елементът е обратен на дроба стр/q, е дроб q/стр, защото ( стр/q)*(q/стр) = (pq)/(pq) = 1.

(б) Разгледайте като гнабор от четири цели числа 0, 1, 2, 3 и като а*б- остатък от разделението а + б 4. Резултатите от така въведената операция са представени в табл. 1 (елемент а*бстои в пресечната точка на линията аи колона б). Лесно е да се провери дали свойствата (1)–(3) са удовлетворени, а числото 0 е елементът на единицата.

(в) Избираме като гнабор от числа 1, 2, 3, 4 и като а*б- остатък от разделението аб(обикновен продукт) с 5. В резултат получаваме таблицата. 2. Лесно е да се провери дали свойствата (1)–(3) са удовлетворени, а 1 е идентичният елемент.

(d) Четири обекта, като четирите числа 1, 2, 3, 4, могат да бъдат подредени в редица по 24 начина. Всяко местоположение може да се визуализира като трансформация, която превежда "естественото" местоположение в дадено; например местоположението 4, 1, 2, 3 се получава в резултат на трансформацията

С: 1 ® 4, 2 ® 1, 3 ® 2, 4 ® 3,

които могат да бъдат написани в по-удобна форма

За всякакви две такива трансформации С, тние ще определим С*ткато трансформация, която ще бъде резултат от последователно изпълнение т, и тогава С. Например, ако , тогава . С тази дефиниция всички 24 възможни трансформации образуват група; неговият елемент на идентичност е , а елементът е обратен на С, се получава чрез замяна на стрелките в дефиницията Скъм обратното; например, ако , тогава .

Лесно е да се види това в първите три примера а*б = б*а; в такива случаи груповото или груповото умножение се казва, че е комутативно. От друга страна, в последния пример и следователно т*Ссе различава от С*т.

Групата от пример (г) е частен случай на т.нар. симетрична група, чийто обхват на приложение включва, наред с други неща, методи за решаване на алгебрични уравнения и поведението на линиите в спектрите на атомите. Групите в примери (b) и (c) играят важна роля в теорията на числата; в пример (b) числото 4 може да бъде заменено с всяко цяло число н, и числа от 0 до 3 - числа от 0 до н– 1 (когато н= 12 получаваме системата от числа, които са на циферблатите на часовника, както споменахме по-горе); в пример (c) числото 5 може да бъде заменено с произволно просто число Р, а числата от 1 до 4 - числа от 1 до стр – 1.

Структури и изоморфизъм.

Предишните примери показват колко разнообразна може да бъде природата на обектите, които съставляват група. Но всъщност във всеки случай всичко се свежда до един и същ сценарий: от свойствата на набор от обекти разглеждаме само онези, които превръщат това множество в група (това е пример за непълно познание!). В такива случаи казваме, че разглеждаме групова структура, дадена от избраното от нас групово умножение.

Друг пример за структура е т.нар. структура на поръчката. Няколко Енадарен със структура на порядък или подреден между елементи а è бпринадлежи на Е, дадено е някакво отношение, което означаваме Р (а,б). (Такава връзка трябва да има смисъл за всяка двойка елементи от Е, но като цяло е невярно за някои двойки и вярно за други, например отношението 7

(1) Р (а,а) е вярно за всеки асобственост на Е;

(2) навън Р (а,б) и Р (б,а) следва това а = б;

(3) навън Р (а,б) и Р (б,° С) Трябва Р (а,° С).

Нека дадем няколко примера от огромен брой различни подредени набори.

(а) Есе състои от всички цели числа, Р (а,б) е отношението " апо-малко или равно б».

(б) Есе състои от всички цели числа >1, Р (а,б) е отношението " аразделя били равни б».

(° С) Есе състои от всички кръгове в равнината, Р (а,б) – отношение „кръг асъдържано в били съвпада с б».

Като последен пример за структура споменаваме структурата на метрично пространство; такава структура е дадена на комплекта Е, ако всяка двойка елементи аи бпринадлежи на Е, можете да съпоставите номера д (а,б) i 0 удовлетворяващи следните свойства:

(1) д (а,б) = 0, ако и само ако а = б;

(2) д (б,а) = д (а,б);

(3) д (а,° С) Ј д (а,б) + д (б,° С) за всеки три дадени елемента а, б, ° Сот Е.

Нека дадем примери за метрични пространства:

(а) обичайното "триизмерно" пространство, където д (а,б) е обичайното (или "евклидово") разстояние;

(b) повърхността на сфера, където д (а,б) е дължината на най-малката дъга на окръжност, свързваща две точки аи бвърху сферата;

в) всеки набор Е, за което д (а,б) = 1, ако а № б; д (а,а) = 0 за всеки елемент а.

Точното дефиниране на понятието структура е доста трудно. Без да навлизаме в подробности, можем да кажем, че на снимачната площадка Едадена е структура от определен тип, ако между елементите на множеството Е(а понякога и други обекти, например числа, които играят спомагателна роля) са дадени отношения, които удовлетворяват някакъв фиксиран набор от аксиоми, които характеризират структурата на разглеждания тип. По-горе сме дали аксиоми за три типа структури. Разбира се, има много други видове структури, чиито теории са напълно развити.

Много абстрактни понятия са тясно свързани с понятието структура; Нека назовем само един от най-важните - понятието изоморфизъм. Припомнете си примера за групи (b) и (c) от предишния раздел. Лесно е да проверите това от Tab. 1 към таблицата. 2 може да се навигира с помощта на съвпадение

0 ® 1, 1 ® 2, 2 ® 4, 3 ® 3.

В този случай казваме, че дадените групи са изоморфни. Като цяло две групи ги гў са изоморфни, ако между елементите на групата ги групови елементи г¢ възможно е да се установи такова едно към едно съответствие а « а¢ какво ще стане, ако ° С = а*б, тогава ° Сў = аў* б¢ за съответните елементи Gў. Всяко твърдение от теорията на групите, което е вярно за група г, остава валиден за групата г¢ и обратно. Алгебрично групи ги г¢ неразличим.

Читателят лесно ще види, че по абсолютно същия начин може да се дефинират две изоморфни подредени множества или две изоморфни метрични пространства. Може да се покаже, че концепцията за изоморфизъм се простира до структури от всякакъв тип.

КЛАСИФИКАЦИЯ

Стари и нови класификации на математиката.

Концепцията за структура и други понятия, свързани с нея, заемат централно място в съвременната математика, както от чисто „техническа”, така и от философска и методологическа гледна точка. Общите теореми на основните типове структури служат като изключително мощни инструменти на математическата "техника". Всеки път, когато математикът успее да покаже, че изучаваните от него обекти удовлетворяват аксиомите на определен тип структура, той по този начин доказва, че всички теореми на теорията на структурата от този тип се отнасят за конкретните обекти, които изучава (без тези общи теореми, той много вероятно пропуснатите ще бъдат извън полезрението на техните специфични варианти или ще бъдат принудени да натоварят разсъжденията си с ненужни предположения). По същия начин, ако се докаже, че две структури са изоморфни, тогава броят на теоремите незабавно се удвоява: всяка доказана теорема за една от структурите незабавно дава съответната теорема за другата. Следователно не е изненадващо, че има много сложни и трудни теории, например „теорията на класовите полета“ в теорията на числата, чиято основна цел е да докаже изоморфизма на структурите.

От философска гледна точка, широкото използване на структури и изоморфизми демонстрира основната характеристика на съвременната математика - факта, че "природата" на математическите "обекти" всъщност няма значение, значими са само връзките между обектите (един вид принципът на непълното познание).

И накрая, невъзможно е да не се спомене, че концепцията за структура направи възможно класифицирането на раздели от математиката по нов начин. До средата на 19 век. те се различават според предмета на изследването. Аритметиката (или теорията на числата) се занимава с цели числа, геометрията се занимава с линии, ъгли, многоъгълници, кръгове, области и т.н. Алгебрата се занимаваше почти изключително с методи за решаване на числени уравнения или системи от уравнения; аналитичната геометрия разработи методи за трансформиране на геометрични задачи в еквивалентни алгебрични задачи. Обхватът на интереси на друг важен клон на математиката, наречен "математически анализ", включва главно диференциалното и интегралното смятане и техните различни приложения към геометрията, алгебрата и дори теорията на числата. Броят на тези приложения нараства и тяхното значение също се увеличава, което води до разделянето на математическия анализ на подраздели: теория на функциите, диференциални уравнения (обикновени и частни производни), диференциална геометрия, вариационно смятане и др.

За много съвременни математици този подход припомня историята на класификацията на животните от първите естествоизпитатели: някога и морската костенурка, и рибата тон са били смятани за риби, защото са живели във вода и са имали подобни характеристики. Съвременният подход ни научи да виждаме не само това, което лежи на повърхността, но и да погледнем по-дълбоко и да се опитаме да разпознаем фундаменталните структури, които се крият зад измамния външен вид на математическите обекти. От тази гледна точка е важно да се проучат най-важните типове структури. Малко вероятно е да разполагаме с пълен и окончателен списък на тези видове; някои от тях са открити през последните 20 години и има всички основания да очакваме още открития в бъдеще. Въпреки това, ние вече имаме представа за много основни "абстрактни" типове структури. (Те са „абстрактни” в сравнение с „класическите” обекти на математиката, въпреки че дори и те трудно могат да се нарекат „конкретни”; по-скоро е въпрос на степен на абстрактност.)

Известните структури могат да бъдат класифицирани според връзките, които съдържат, или според тяхната сложност. От една страна, има обширен блок от "алгебрични" структури, чийто специален случай е, например, групова структура; сред другите алгебрични структури ние наричаме пръстени и полета ( см. същоАЛГЕБРА РЕЗЮМЕ). Клонът на математиката, занимаващ се с изучаване на алгебрични структури, се нарича "модерна алгебра" или "абстрактна алгебра", за разлика от обикновената или класическата алгебра. Значителна част от евклидовата геометрия, неевклидовата геометрия и аналитичната геометрия също станаха част от новата алгебра.

Има два други блока от структури на същото ниво на обобщеност. Една от тях, наречена обща топология, включва теории за типове структури, частен случай на които е структурата на метрично пространство ( см. ТОПОЛОГИЯ; абстрактни пространства). Третият блок се състои от теории за порядъчните структури и техните разширения. "Разширяването" на структурата се състои в добавяне на нови към съществуващите аксиоми. Например, ако добавим свойството на комутативност към аксиомите на групата като четвърта аксиома а*б = б*а, тогава получаваме структурата на комутативна (или абелева) група.

От тези три блока последните два доскоро бяха в относително стабилно състояние, а блокът „съвременна алгебра“ нараства бързо, понякога в неочаквани посоки (например, беше разработен цял клон, наречен „хомологична алгебра“). Извън т.нар. "чистите" типове структури са на друго ниво - "смесени" структури, например алгебрични и топологични, заедно с нови аксиоми, които ги свързват. Изследвани са много такива комбинации, повечето от които попадат в два широки блока - "топологична алгебра" и "алгебрична топология".

Взети заедно, тези блокове съставляват много солидна "абстрактна" област на науката по отношение на обема. Много математици се надяват да разберат по-добре класическите теории и да решат трудни проблеми с нови инструменти. Наистина, с подходящо ниво на абстракция и обобщение, проблемите на древните могат да се появят в нова светлина, което ще направи възможно намирането на техните решения. Огромни парчета класически материал попаднаха под влиянието на новата математика и бяха трансформирани или слети с други теории. Остават огромни области, в които съвременните методи не са проникнали толкова дълбоко. Примери са теорията на диференциалните уравнения и значителна част от теорията на числата. Много вероятно е значителен напредък в тези области да бъде постигнат след откриване и внимателно проучване на нови типове структури.

ФИЛОСОФСКИ ТРУДНОСТИ

Дори древните гърци ясно са разбирали, че една математическа теория трябва да бъде свободна от противоречия. Това означава, че е невъзможно да се изведе като логическо следствие от аксиомите твърдението Ри неговото отричане П. Въпреки това, тъй като се смяташе, че математическите обекти имат съответствия в реалния свят, а аксиомите са "идеализации" на законите на природата, никой не се съмняваше в последователността на математиката. При прехода от класическа математика към съвременна математика проблемът за последователността придоби друг смисъл. Свободата да се избират аксиомите на всяка математическа теория трябва очевидно да бъде ограничена от условието за последователност, но възможно ли е да сме сигурни, че това условие ще бъде изпълнено?

Вече споменахме концепцията за комплект. Тази концепция винаги е била използвана повече или по-малко изрично в математиката и логиката. През втората половина на 19 век елементарни правила за работа с понятието множество бяха частично систематизирани, освен това бяха получени някои важни резултати, които формираха съдържанието на т.нар. теория на множеството ( см. същоТЕОРИЯ НА МНОЖЕСТВОТО), което се е превърнало сякаш в основата на всички други математически теории. От античността до 19 век. имаше страхове за безкрайни множества, например, отразени в известните парадокси на Зенон от Елея (5 век пр. н. е.). Тези страхове бяха отчасти метафизични и отчасти поради трудностите, свързани с концепцията за измерване на величини (например дължина или време). Едва след 19 век тези трудности са премахнати. основните понятия на математическия анализ бяха строго определени. До 1895 г. всички страхове са разсеяни и изглежда, че математиката почива върху непоклатимата основа на теорията на множествата. Но през следващото десетилетие се появиха нови аргументи, които сякаш показаха присъщата непоследователност на теорията на множествата (и цялата останала математика).

Новите парадокси бяха много прости. Първият от тях - парадоксът на Ръсел - може да се разглежда в проста версия, известна като "парадоксът на бръснара". В даден град бръснар бръсне всички жители, които не се бръснат. Кой сам бръсне бръснача? Ако бръснар се бръсне сам, тогава той бръсне не само онези жители, които не се бръснат сами, но и един жител, който се бръсне сам; ако не се бръсне сам, значи не бръсне всички жители на града, които не се бръснат. Парадокс от този тип възниква винаги, когато се разглежда концепцията за "множеството от всички множества". Въпреки че този математически обект изглежда много естествен, разсъжденията за него бързо водят до противоречия.

Парадоксът на Бери е още по-показателен. Помислете за набора от всички руски фрази, съдържащи не повече от седемнадесет думи; броят на думите в руския език е краен, така че броят на такива фрази също е краен. Избираме между тях тези, които еднозначно дефинират някакво цяло число, например: „Най-голямото нечетно число по-малко от десет“. Броят на такива фрази също е краен; следователно, наборът от цели числа, които те дефинират, също е краен. Означете краен набор от тези числа с д. От аксиомите на аритметиката следва, че има цели числа, които не принадлежат д, и че сред тези числа има най-малкото число н. Този номер не уникално дефиниран от фразата: „Най-малкото цяло число, което не може да бъде дефинирано от фраза, състояща се от не повече от седемнадесет руски думи“. Но тази фраза съдържа точно седемнадесет думи. Следователно той определя броя н, което трябва да принадлежи д, и стигаме до парадоксално противоречие.

Интуиционисти и формалисти.

Шокът, причинен от парадоксите на теорията на множествата, предизвика различни реакции. Някои математици бяха доста решителни и изразиха мнението, че математиката се е развила в грешна посока от самото начало и трябва да се основава на съвсем друга основа. Не е възможно да се опише гледната точка на такива "интуиционисти" (както започнаха да се наричат) с никаква точност, тъй като те отказаха да сведат възгледите си до чисто логическа схема. От гледна точка на интуиционистите е погрешно да се прилагат логически процеси към обекти, които не са интуитивно представими. Единствените интуитивно ясни обекти са естествени числа 1, 2, 3,... и крайни множества от естествени числа, „построени“ според точно дадени правила. Но дори към такива обекти интуиционистите не позволяваха да се прилагат всички изводи на класическата логика. Например, те не признаха това за нито едно изявление Рвярно също Р, или не- Р. С толкова ограничени средства, с които разполагаха, те лесно избягваха „парадокси“, но по този начин хвърляха зад борда не само цялата съвременна математика, но и значителна част от резултатите на класическата математика, а за тези, които все още оставаха, нови, трябваше да се намерят по-сложни доказателства.

Преобладаващото мнозинство от съвременните математици не са съгласни с аргументите на интуиционистите. Не-интуиционистите математици са забелязали, че аргументите, използвани в парадоксите, се различават значително от тези, използвани в обикновената математическа работа с теория на множествата, и следователно такива аргументи трябва да бъдат изключени като незаконни, без да се компрометира съществуващите математически теории. Друго наблюдение беше, че в "наивната" теория на множествата, съществувала преди появата на "парадоксите", значението на термините "множество", "свойство", "отношение" не се поставя под въпрос - точно както в класическата геометрия "интуитивното" природата на обикновените геометрични понятия. Следователно може да се процедира по същия начин, както е било в геометрията, а именно да се отхвърлят всички опити да се апелира към „интуицията“ и да се вземе за отправна точка на теорията на множествата система от точно формулирани аксиоми. Не е очевидно обаче как такива думи като "собственост" или "отношение" могат да бъдат лишени от обичайния си смисъл; но това трябва да бъде направено, ако искаме да изключим такива аргументи като парадокса на Бери. Методът се състои във въздържане от използване на обикновен език при формулиране на аксиоми или теореми; само изречения, изградени според изрична система от твърди правила, се допускат като „свойства“ или „отношения“ в математиката и влизат във формулирането на аксиомите. Този процес се нарича "формализация" на математическия език (за да се избегнат недоразумения, произтичащи от неяснотите на обикновения език, се препоръчва да отидете още една стъпка по-далеч и да замените самите думи със специални знаци във формализираните изречения, например да замените съединителното "и" със символа &, съединителното "или" - със символа Ъ, "съществува" със символа $ и др.). Математиците, които отхвърлят методите, предложени от интуиционистите, започват да бъдат наричани „формалисти“.

Първоначалният въпрос обаче така и не беше отговорен. „Теория на аксиоматичните множества“ свободна ли е от противоречия? Нови опити за доказване на последователността на „формализираните“ теории са направени през 20-те години на миналия век от Д. Хилберт (1862–1943) и неговата школа и са наречени „метаматематика“. По същество метаматематиката е клон на "приложната математика", където обектите, към които се прилага математическото разсъждение, са предложенията на формализирана теория и тяхното местоположение в доказателствата. Тези изречения трябва да се разглеждат само като материални комбинации от символи, произведени съгласно определени установени правила, без каквото и да е позоваване на възможното „значение“ на тези символи (ако има такова). Една игра на шах може да послужи като добра аналогия: символите съответстват на фигури, изречения на различни позиции на дъската и изводи на правила за движещи се фигури. За да се установи последователността на една формализирана теория, е достатъчно да се покаже, че в тази теория нито едно доказателство не завършва с твърдението 0 № 0. Въпреки това, може да се възрази срещу използването на математически аргументи в "метаматематическите" доказателства за последователността на математическа теория; ако математиката беше непоследователна, тогава математическите аргументи биха загубили всякаква сила и щяхме да се окажем в ситуация на порочен кръг. За да отговори на тези възражения, Хилберт допуска използването в метаматематическите много ограничени математически разсъждения от типа, който интуиционистите смятат за приемлив. Въпреки това К. Годел скоро показа (1931), че последователността на аритметиката не може да бъде доказана с толкова ограничени средства, ако тя наистина е последователна (обхватът на тази статия не ни позволява да представим гениалния метод, чрез който е получен този забележителен резултат, и последващата история на метаматематика).

Обобщавайки сегашната проблемна ситуация от формалистична гледна точка, трябва да признаем, че тя далеч не е приключила. Използването на концепцията за множество е ограничено от резерви, които са били въведени умишлено, за да се избегнат известни парадокси, и няма гаранции, че нови парадокси няма да възникнат в аксиоматизирана теория на множествата. Независимо от това, ограниченията на аксиоматичната теория на множествата не попречиха на раждането на нови жизнеспособни теории.

МАТЕМАТИКАТА И РЕАЛНИЯТ СВЯТ

Въпреки твърденията за независимост на математиката, никой няма да отрече, че математиката и физическият свят са свързани един с друг. Разбира се, математическият подход за решаване на проблемите на класическата физика остава валиден. Вярно е също, че в една много важна област на математиката, а именно в теорията на диференциалните уравнения, обикновените и частните производни, процесът на взаимно обогатяване на физиката и математиката е доста плодотворен.

Математиката е полезна при тълкуването на феномените на микросвета. Новите "приложения" на математиката обаче се различават значително от класическите. Един от най-важните инструменти на физиката се превърна в теорията на вероятностите, която преди се използваше главно в теорията на хазарта и застраховането. Математическите обекти, които физиците свързват с "атомни състояния" или "преходи", са силно абстрактни и са въведени и изследвани от математиците много преди появата на квантовата механика. Трябва да се добави, че след първите успехи възникнаха сериозни трудности. Това се случи във време, когато физиците се опитваха да приложат математическите идеи към по-фините аспекти на квантовата теория; въпреки това много физици все още очакват с нетърпение нови математически теории, вярвайки, че те ще им помогнат да решат нови проблеми.

Математиката - наука или изкуство?

Дори ако включим теорията на вероятностите или математическата логика в "чистата" математика, се оказва, че в момента други науки използват по-малко от 50% от известните математически резултати. Какво да мислим за останалата половина? С други думи, какви са мотивите зад онези области на математиката, които не са свързани с решаването на физически проблеми?

Вече споменахме ирационалността на числото като типичен представител на този вид теореми. Друг пример е теоремата, доказана от J.-L. Lagrange (1736–1813). Едва ли има математик, който да не я нарече „важна“ или „красива“. Теоремата на Лагранж гласи, че всяко цяло число, по-голямо или равно на едно, може да бъде представено като сбор от квадратите на най-много четири числа; например 23 = 3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2 . При сегашното състояние на нещата е немислимо този резултат да бъде полезен при решаването на някакъв експериментален проблем. Вярно е, че днес физиците се занимават с цели числа много по-често, отколкото в миналото, но целите числа, с които оперират, винаги са ограничени (те рядко надхвърлят няколкостотин); следователно, теорема като тази на Лагранж може да бъде "полезна" само ако се приложи към цели числа, които не излизат извън някаква граница. Но щом ограничим формулировката на теоремата на Лагранж, тя веднага престава да представлява интерес за математик, тъй като цялата привлекателна сила на тази теорема се крие в нейната приложимост към всички цели числа. (Има много твърдения за цели числа, които могат да бъдат тествани от компютри за много големи числа; но докато не се намери общо доказателство, те остават хипотетични и не представляват интерес за професионалните математици.)

Фокусът върху теми, които са далеч от непосредствените приложения, не е необичайно за учените, работещи в която и да е област, било то астрономия или биология. Въпреки това, докато експерименталният резултат може да бъде усъвършенстван и подобрен, математическото доказателство винаги е окончателно. Ето защо е трудно да устоим на изкушението да третираш математиката или поне онази част от нея, която няма нищо общо с „реалността”, като изкуство. Математическите проблеми не се налагат отвън и, ако вземем съвременната гледна точка, сме напълно свободни в избора на материал. Когато оценяват някои математическа работа, математиците нямат "обективни" критерии и са принудени да разчитат на собствения си "вкус". Вкусовете варират значително в зависимост от времето, страната, традициите и индивидите. В съвременната математика има мода и "школи". Понастоящем съществуват три такива "школи", които за удобство ще наречем "класицизъм", "модернизъм" и "абстракционизъм". За да разберем по-добре разликите между тях, нека анализираме различните критерии, които математиците използват, когато оценяват теорема или група от теореми.

(1) Според общото мнение „красивият” математически резултат трябва да бъде нетривиален, т.е. не трябва да бъде очевидна последица от аксиоми или предварително доказани теореми; някаква нова идея трябва да се използва в доказателството или старите идеи трябва да се прилагат гениално. С други думи, за математика не е важен самият резултат, а процесът на преодоляване на трудностите, които е срещал при получаването му.

(2) Всеки математически проблем има своя собствена история, така да се каже, „родословие“, което следва същия общ модел, според който се развива историята на всяка наука: след първите успехи може да мине известно време преди отговора на поставеният въпрос е намерен. Когато се получи решение, историята не свършва дотук, защото започват добре познатите процеси на разширяване и обобщаване. Например, споменатата по-горе теорема на Лагранж води до въпроса за представянето на всяко цяло число като сума от кубчета, степени на 4, 5 и т.н. Така възниква „проблемът на войната“, който все още не е получил окончателно решение. Освен това, ако имаме късмет, проблемът, който сме решили, ще се окаже свързан с една или повече фундаментални структури, а това от своя страна ще доведе до нови проблеми, свързани с тези структури. Дори ако първоначалната теория в крайна сметка "умре", тя има тенденция да остави след себе си множество живи издънки. Съвременните математици са изправени пред такова огромно разпръскване на проблеми, че дори ако всяка връзка с експерименталната наука бъде прекъсната, тяхното решаване ще отнеме още няколко века.

(3) Всеки математик ще се съгласи, че когато му бъде представена нова задача, негово задължение е да я реши с всички възможни средства. Когато проблемът се отнася до класически математически обекти (класиците рядко се занимават с други видове обекти), класицистите се опитват да го решат, използвайки само класически средства, докато други математици въвеждат по-„абстрактни“ структури, за да използват общи теореми, свързани със задачата. Тази разлика в подхода не е нова. Започвайки от 19 век. математиците се делят на "тактици", които се стремят да намерят чисто насилствено решение на проблема, и на "стратези", които са склонни към заобиколни пътища, които правят възможно смазването на врага с малки сили.

(4) Съществен елемент от "красотата" на една теорема е нейната простота. Разбира се, търсенето на простота е присъщо на всяка научна мисъл. Но експериментаторите са готови да се примирят с „грозни решения“, само ако проблемът бъде решен. По същия начин в математиката класицистите и абстракционистите не са много загрижени за появата на „патологични“ резултати. От друга страна, модернистите стигат дотам, че виждат появата на „патологии“ в теорията като симптом за несъвършенството на фундаменталните понятия.

Математическа енциклопедия

Математическа енциклопедия- Съветска енциклопедична публикация в пет тома, посветена на математически теми. Издаден през -1985 г. от издателство "Съветска енциклопедия". Главен редактор: акад. И. М. Виноградов.

Това е основно илюстрирано издание за всички основни клонове на математиката. Книгата съдържа обширен материал по темата, биографии на известни математици, рисунки, графики, диаграми и диаграми.

Общ обем: около 3000 страници. Разпределение на статиите по томове:

Том 1: Абакус – принцип на Хюйгенс, 576 стр.
Том 2: Оператор на Д'Аламбер - Кооперативна игра, 552 стр.
Том 3: Координати - мономиален, 592 стр.
Том 4: Окото на теоремата – сложна функция, 608 стр.
Том 5: Случайна променлива - клетка, 623 стр.
Приложение към том 5: предметен указател, списък на забелязаните печатни грешки.

Връзки

Общи и специални справочници и енциклопедии по математика на портала Светът на математическите уравнения, където можете да изтеглите енциклопедията в електронен вид.

Категории:

Книги по азбучен ред
Математическа литература
енциклопедии
Книги на издателство "Съветска енциклопедия"
Енциклопедия на СССР

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Математическа химия
Математически основи на квантовата механика

Вижте какво представлява "Математическата енциклопедия" в други речници:

математическа логика- (теоретична логика, символна логика) клон на математиката, който изучава доказателствата и въпросите на основите на математиката. „Темата на съвременната математическа логика е разнообразна.“ Според определението на P. S. Poretsky, „математическа ... ... Wikipedia

Енциклопедия- (нова лат. енциклопедия (не по-рано от 16-ти век) от други гръцки ἐγκύκλιος παιδεία „обучение в пълен кръг“, κύκλος кръг и παιδεία обучение / payeia) въведени в системата на Wikipedia

ЕНЦИКЛОПЕДИЯ- (от гръцки. enkyklios payeia обучение в цялата гама от знания), научен. или научно популярен справочник, съдържащ систематизатор. Тяло от знания. Материалът в Е. е подреден по азбучен ред или систематично. принцип (по клонове на знанието). ... ... Естествени науки. енциклопедичен речник

МАТЕМАТИЧЕСКА ЛОГИКА- едно от имената на съвременната логика, което дойде във втората. етаж. 19 рано 20-ти век вместо традиционната логика. Терминът символична логика се използва и като друго име за съвременния етап от развитието на науката за логиката. Определение… … Философска енциклопедия

МАТЕМАТИЧЕСКА БЕЗКРАЙНОСТ- общо наименование дек. реализация на идеята за безкрайността в математиката. Въпреки че между значенията на понятието М. б. и други значения, в които се използва терминът безкрайност, няма твърда граница (тъй като всички тези понятия в крайна сметка отразяват много ... ... Философска енциклопедия

МАТЕМАТИЧЕСКА ИНДУКЦИЯ- пълна математическа индукция (в математиката често се нарича просто пълна индукция; в този случай тази концепция трябва да се разграничава от концепцията за пълна индукция, разглеждана в нематематическата формална логика), - методът за доказване на общи изречения в ... ... Философска енциклопедия

МАТЕМАТИЧЕСКА ХИПОТЕЗА- предполагаема промяна във формата, вида, естеството на уравнението, изразяващо закона на изследваната област на явленията, с цел разширяването му в нова, все още неизследвана област като присъщ на нея закон. М. се използва широко в съвремен. теоретично...... Философска енциклопедия

МАТЕМАТИЧЕСКО УЧИЛИЩЕ ПО ПОЛИТИЧЕСКА ИКОНОМИЯ- Английски. математическа школа по политическа икономия; Немски mathematische Schule in der politischen Okonomie. Посоката в политиката, икономиката, възникнала през втората половина на 19 век, нейните представители (Л. Валрас, В. Парето, О. Джевонс и др.) дават ... ... Енциклопедия по социология

МАТЕМАТИЧЕСКО УЧИЛИЩЕ ПО СОЦИОЛОГИЯ- Английски. математическа школа по социология; Немски mathematische Schule in der Soziologie. Направлението в социологията, възникнало през първата половина на 20-ти век, основателите на което (А. Ципф, Е. Дод и други) вярват, че социологът, теориите достигат нивото на ... ... Енциклопедия по социология

Математически модел на сгради и конструкции- Математически (компютърен) модел на сгради и конструкции - представяне на сгради и конструкции под формата на диаграма на крайни елементи за числени изчисления при решаване на набор от проблеми, които възникват при проектирането, строителството и ... ... Енциклопедия на термини, дефиниции и обяснения на строителни материали

Книги

Математическа енциклопедия (комплект от 5 книги), . Математическата енциклопедия е удобен справочник по всички клонове на математиката. Енциклопедията се основава на статии, посветени на най-важните области на математиката. Принцип на местоположението...

Математическа енциклопедия - справочник по всички клонове на математиката. Енциклопедията се основава на обзорни статии, посветени на най-важните области на математиката. Основното изискване за статии от този тип е възможната пълнота на прегледа на текущото състояние на теорията с максимална достъпност на изложението; тези статии са общодостъпни за студенти по математика, аспиранти и специалисти в сродни области на математиката, а в определени случаи - за специалисти в други области на знанието, използващи математически методи в своята работа, инженери и учители по математика. Освен това се предоставят статии със среден размер по отделни специфични проблеми и методи на математиката; тези статии са предназначени за по-тесен кръг читатели, така че представянето в тях може да бъде по-малко достъпно. И накрая, има още един вид статии - кратки справки-дефиниции. Някои дефиниции са дадени в първите два типа статии. Повечето от статиите на Енциклопедията са придружени от списък с препратки с поредни номера за всяко заглавие, което дава възможност за цитиране в текстовете на статиите. В края на статиите (като правило) се посочва авторът или източникът, ако статията вече е публикувана по-рано (предимно това са статии от Голямата съветска енциклопедия). Имената на чуждестранни (с изключение на древни) учени, споменати в статиите, са придружени с латински правопис (ако няма препратка към списъка с литература).

Принципът на подреждане на статиите в енциклопедията е азбучен. Ако заглавието на статията е термин, който има синоним, то последният се дава след основния. В много случаи заглавията на статии се състоят от две или повече думи. В тези случаи термините се дават или в най-често срещаната форма, или на първо място се поставя основната по значение дума. Ако заглавието на статия включва собствено име, то се поставя първо (в списъка с препратки за такива статии, като правило, има първичен източник, обясняващ името на термина). Заглавията на статиите са дадени предимно в единствено число.

Енциклопедията широко използва система от връзки към други статии, където читателят ще намери допълнителна информация по разглежданата тема. Определението не се отнася до термина, който се появява в заглавието на статията.

За да се спести място в статиите, са възприети обичайните съкращения на някои думи за енциклопедии.

Работи върху том 1

Редакционна колегия по математика на издателство „Советска енциклопедия“ - В. И. БИТЮЦКОВ (ръководител на редакционния съвет), М. И. ВОЙЦЕХОВСКИЙ (научен редактор), Ю. А. ГОРБКОВ (научен редактор), А. Б. ИВАНОВ (старши научен редактор. ИВАНОВА), старши научен редактор), T. Yu. L. R. KHABIB (асоцииран редактор).

Служители на издателството: Е. П. РЯБОВА (литературна редакция). Е. И. ЖАРОВА, А. М. МАРТИНОВ (библиография). А. Ф. ДАЛКОВСКИ (транскрипция). Н. А. ФЕДОРОВ (Отдел за снабдяване). 3. А. СУХОВА (Редакционни илюстрации). Е. И. АЛЕКСЕЕВА, Н. Ю. КРУЖАЛОВ (редакционен речник). М. В. АКИМОВА, А. Ф. ПРОШКО (коректура). Г. В. СМИРНОВ (техническо издание).

Корица от художника Р. И. МАЛАНИЧЕВ.

Допълнителна информация за том 1

Издателство "Съветска енциклопедия"

Енциклопедии речници справочници

Научно – редакционен съвет на издателството

А. М. ПРОХОРОВ (председател), И. В. АБАШИДЗЕ, П. А. АЗИМОВ, А. П. АЛЕКСАНДРОВ, В. А. АМБАРЦУМЯН, И. И. АРТОБОЛЕВСКИЙ, А. В. АРЦИХОВСКИЙ, М. С. АСИМОВ, М. С. АЗИМОВ, М. С. АЗИМОВ, М. С. АЗИМОВ, М. С. АЗИМОВ, М. П. Богов, Н. Б., Н. Б., Н. , В. В. Волски, Б. М. Вул, Б. Г. Гафуров, С. Р. Гершберг, М. С. Гиляров, В. П. Глушко, В. М. Глушков, Г. Н. ГОЛИКОВ, Д. Б. ГУЛИЕВ, А. А. ГУСЕВ (заместник-председател), В. П. ЕЛЮТИН, В. С. ЕМЕЛЯНОВ, Е. М. ЖУКОВ, А. А. И. М.Ш. ИНОЗЕМЦЕВ, М. И. Кабачник, С. В. Калесник, Г. А. Караваев, К. К. Каракеев, М. К. Каратаев, Б. М. Кедров, Г. В. Келдиш, В. А. Кирилин, и И. Л. КНУНЯНЦ, С. М. КОВАЛЕВ (Първи заместник-председател, К. В. К. (заместник-председател), Б. В. КУКАРКИН, В. Г. КУЛИКОВ, И. А. Кутузов, П. П. Лобанов, Г. М. Лоза, Ю. Е. Максарев, П. А. Марков, А. И. Маркушевич, Ю. Ю. Обичкин, Б. Е. Патон, В. М. Полево Й, М. А. Прокофиев, Ю. В. Прохоров, Н. Ф. Ростовцев, А. М. Румянцев, Б. А. Рибаков, В. П. Самсон, М. И. Сладковски, В. И. Смирнов, Д. Н. СОЛОВЬЕВ (заместник-председател), В. Г. СОЛОДОВНИКОВ, В. Н. СОЛОДОВНИКОВ, В. Н. СОЛОДОВНИКОВ, В. Н. СОЛОДОВНИКОВ, В. Н. СОЛДОВЕТЕРКОВ , С. А. ТОКАРЕВ, В. А. Трапезников, Е. К. Федоров, М. Б. Храпченко, Е. И. Чазов, В. Н. Черниговский, Я. Е. Шмушкис и С. И. Юткевич Секретар на Съвета Л. В. КИРИЛОВА.

Москва 1977г

Математическа енциклопедия. Том 1 (A - D)

главен редактор И. М. ВИНОГРАДОВ

Редакционен екип

С. И. АДЯН, П. С. АЛЕКСАНДРОВ, Н. С. БАХВАЛОВ, В. И. БИТЮЦКОВ (заместник-главен редактор), А. В. БИТСАДЗЕ, Л. Н. БОЛШЕВ, А. А. ГОНЧАР, Н. В. Ефимов, В. А. Илин, А. А. Ильин, А. А. Карацхов, А.А. С. П. Новиков и Е. Г. Позняк, Ю. В. ПРОХОРОВ (заместник-главен редактор), А. Г. СВЕШНИКОВ, А. Н. ТИХОНОВ, П. Л. УЛЯНОВ, А. И. ШИРШОВ, С. В. ЯБЛОНСКИ

Математическа енциклопедия. Изд. колегия: И. М. Виноградов (ръководител на редактора) [и др.] Т. 1 - М., "Съветска енциклопедия", 1977 г.

(Енциклопедии. Речници. Справочници), т. 1. А - Г. 1977. 1152 стб. от болен.

Предаден на комплекта 9. 06. 1976 г. Подписан за печат 18. 02. 1977 г. Отпечатване на текст от матрици, изработени в Първа образцова печатница. А. А. Жданова. Орден на Трудовото Червено знаме, издателство "Съветска енциклопедия". 109817. Москва, Ж - 28, булевард Покровски, 8. Т - 02616 Тираж 150 000 бр. Поръчка No 418. Печатна хартия No 1. Размер на хартията 84xl08 1/14. Том 36 физически стр. л. ; 60, 48 конв. стр. л. текст. 101, 82 акаунта - изд. л. Цената на книгата е 7 рубли. 10 к.

Орден на Трудовото Червено знаме Московска печатница № 1 "Союзполиграфпром" към Държавния комитет на Министерския съвет на СССР по издателска дейност, печатарство и книжарска търговия, Москва, I - 85, Проспект Мира, 105. Заповед № 865.