Enciclopedia de Matemáticas. Enciclopedia matemática Matemáticas y el mundo real

Descarga el libro Enciclopedia matemática en 5 tomos absolutamente libre.

Para descargar un libro de forma gratuita desde el alojamiento de archivos, haga clic en los enlaces inmediatamente después de la descripción del libro gratuito.

Estimados lectores, si fallaron

descargar Enciclopedia Matemática en 5 tomos

Escríbelo en los comentarios y definitivamente te ayudaremos.

Esperamos que hayas disfrutado el libro y hayas disfrutado leyéndolo. Como agradecimiento, puede dejar un enlace a nuestro sitio web en el foro o blog :) El libro electrónico The Mathematical Encyclopedia en 5 volúmenes se proporciona únicamente para su revisión antes de comprar un libro en papel y no es un competidor de las publicaciones impresas.

Enciclopedia matemática: un libro de referencia sobre todas las ramas de las matemáticas. La Enciclopedia se basa en artículos de revisión dedicados a las áreas más importantes de las matemáticas. El requisito principal para artículos de este tipo es la posible exhaustividad de la revisión del estado actual de la teoría con la máxima accesibilidad de la presentación; estos artículos están generalmente disponibles para estudiantes de último año de matemáticas, estudiantes de posgrado y especialistas en áreas afines de las matemáticas y, en ciertos casos, para especialistas en otras áreas del conocimiento que utilizan métodos matemáticos en su trabajo, ingenieros y profesores de matemáticas. Además, se proporcionan artículos de tamaño mediano sobre problemas específicos individuales y métodos matemáticos; estos artículos están destinados a un círculo más reducido de lectores, por lo que su presentación puede resultar menos accesible. Finalmente, hay un tipo más de artículos: breves referencias-definiciones. Al final del último volumen de la Enciclopedia se colocará un índice de materias, que incluirá no sólo los títulos de todos los artículos, sino también muchos conceptos, cuyas definiciones se darán dentro de los artículos de los dos primeros tipos, así como así como los resultados más importantes mencionados en los artículos. La mayoría de los artículos de la Enciclopedia van acompañados de una lista de referencias con números de serie para cada título, lo que permite citar en los textos de los artículos. Al final de los artículos (por regla general) se indica el autor o la fuente si el artículo ya se ha publicado anteriormente (en su mayoría son artículos de la Gran Enciclopedia Soviética). Los nombres de los científicos extranjeros (excepto los antiguos) mencionados en los artículos van acompañados de ortografía latina (si no hay referencia a la lista de referencias).

Descargue y lea Enciclopedia Matemática, Volumen 3, Vinogradov I.M., 1982

Descargue y lea Enciclopedia Matemática, Volumen 2, Vinogradov I.M., 1979

Descargue y lea Enciclopedia Matemática, Volumen 1, Vinogradov I.M., 1977

El álgebra fue originalmente una rama de las matemáticas que se ocupaba de resolver ecuaciones. A diferencia de la geometría, la construcción axiomática del álgebra no existió hasta mediados del siglo XIX, cuando apareció una visión fundamentalmente nueva del tema y la naturaleza del álgebra. La investigación comenzó a centrarse cada vez más en el estudio de las llamadas estructuras algebraicas. Esto tuvo dos beneficios. Por un lado, se aclararon las áreas para las cuales ciertos teoremas son válidos, por otro lado, se hizo posible usar las mismas demostraciones en áreas completamente diferentes. Esta división del álgebra duró hasta mediados del siglo XX y encontró su expresión en el hecho de que aparecieron dos nombres: “álgebra clásica” y “álgebra moderna”. Este último se caracteriza más por otro nombre: "álgebra abstracta". El caso es que esta sección - por primera vez en matemáticas - se caracterizó por la abstracción total.

Descargue y lea Small Mathematical Encyclopedia, Fried E., Pastor I., Reiman I., Reves P., Ruja I., 1976

"Probabilidad y estadística matemática": un libro de referencia sobre la teoría de la probabilidad, la estadística matemática y sus aplicaciones en varios campos de la ciencia y la tecnología. La enciclopedia tiene dos partes: la parte principal contiene artículos de revisión, artículos dedicados a problemas y métodos específicos individuales, breves referencias que dan definiciones de conceptos básicos, los teoremas y fórmulas más importantes. Se otorga un lugar importante a los temas aplicados: teoría de la información, teoría de colas, teoría de la confiabilidad, planificación de experimentos y áreas relacionadas: física, geofísica, genética, demografía y ciertas secciones de tecnología. La mayoría de los artículos van acompañados de una bibliografía de los trabajos más importantes sobre este tema. Los títulos de los artículos también se dan en traducción al inglés. La segunda parte, "Lector sobre teoría de la probabilidad y estadística matemática", contiene artículos escritos para enciclopedias rusas del pasado, así como materiales enciclopédicos publicados anteriormente en otros trabajos. La enciclopedia está acompañada por una extensa lista de revistas, publicaciones periódicas y publicaciones en curso que cubren problemas de teoría de la probabilidad y estadística matemática.
El material incluido en la Enciclopedia es necesario para estudiantes, estudiantes de posgrado e investigadores en el campo de las matemáticas y otras ciencias que utilizan métodos probabilísticos en sus investigaciones y trabajos prácticos.

El contenido del artículo

MATEMÁTICAS. Las matemáticas suelen definirse enumerando los nombres de algunas de sus ramas tradicionales. En primer lugar, esto es aritmética, que se ocupa del estudio de los números, las relaciones entre ellos y las reglas para trabajar con números. Los hechos de la aritmética están abiertos a varias interpretaciones concretas; por ejemplo, la razón 2 + 3 = 4 + 1 corresponde al enunciado de que dos y tres libros hacen tantos libros como cuatro y uno. Cualquier relación como 2 + 3 = 4 + 1, es decir la relación entre objetos puramente matemáticos sin referencia a ninguna interpretación del mundo físico se llama abstracta. La naturaleza abstracta de las matemáticas permite que se utilicen para resolver una amplia variedad de problemas. Por ejemplo, el álgebra, que se ocupa de operaciones con números, te permite resolver problemas que van más allá de la aritmética. Una rama más específica de las matemáticas es la geometría, cuya tarea principal es el estudio de los tamaños y formas de los objetos. La combinación de los métodos algebraicos con los geométricos conduce, por un lado, a la trigonometría (originalmente dedicada al estudio de los triángulos geométricos, y que ahora abarca una gama mucho más amplia de temas), y por otro, a la geometría analítica, en la que cuerpos geométricos y figuras se estudian por métodos algebraicos. Hay varias ramas del álgebra superior y la geometría que tienen un mayor grado de abstracción y no se ocupan del estudio de números ordinarios y figuras geométricas ordinarias; la más abstracta de las disciplinas geométricas se llama topología.

El análisis matemático se ocupa del estudio de las cantidades que cambian en el espacio o el tiempo y se basa en dos conceptos básicos: función y límite, que no se encuentran en las secciones más elementales de las matemáticas. Inicialmente, el análisis matemático consistía en cálculo diferencial e integral, pero ahora incluye otras secciones.

Hay dos áreas principales de las matemáticas: las matemáticas puras, en las que se hace hincapié en el razonamiento deductivo, y las matemáticas aplicadas. El término "matemáticas aplicadas" a veces se refiere a aquellas ramas de las matemáticas que se crean específicamente para satisfacer las necesidades y requisitos de la ciencia y, a veces, a aquellas secciones de diversas ciencias (física, economía, etc.) que utilizan las matemáticas como medio para resolver problemas. sus tareas Muchos conceptos erróneos comunes sobre las matemáticas surgen de la confusión entre estas dos interpretaciones de "matemáticas aplicadas". La aritmética puede ejemplificar las matemáticas aplicadas en el primer sentido y la contabilidad en el segundo.

Contrariamente a la creencia popular, las matemáticas continúan desarrollándose rápidamente. The Mathematical Review publica anualmente ca. 8000 resúmenes breves de artículos que contienen los últimos resultados: nuevos hechos matemáticos, nuevas pruebas de hechos antiguos e incluso información sobre áreas completamente nuevas de las matemáticas. La tendencia actual en la educación matemática es presentar a los estudiantes ideas matemáticas modernas y más abstractas en una etapa más temprana de la enseñanza de las matemáticas. ver también HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS. Las matemáticas son una de las piedras angulares de la civilización, pero muy pocas personas tienen una idea del estado actual de las cosas en esta ciencia.

Las matemáticas han sufrido enormes cambios en los últimos cien años, tanto en términos de materia como de métodos de estudio. En este artículo intentaremos dar una idea general de las principales etapas en la evolución de las matemáticas modernas, cuyos principales resultados pueden considerarse, por un lado, un aumento de la brecha entre las matemáticas puras y aplicadas, y por otro, un completo replanteamiento de las áreas tradicionales de las matemáticas.

DESARROLLO DEL MÉTODO MATEMÁTICO

El nacimiento de las matemáticas.

Alrededor del 2000 a.C. se notó que en un triángulo con lados de 3, 4 y 5 unidades de longitud, uno de los ángulos es igual a 90 ° (esta observación facilitó la construcción de un ángulo recto para necesidades prácticas). ¿Notaste entonces la relación 5 2 = 3 2 + 4 2 ? No tenemos ninguna información al respecto. Unos siglos más tarde se descubrió una regla general: en todo triángulo A B C con un ángulo recto en la parte superior UN y fiestas b = C.A. y C = AB, entre el cual está encerrado este ángulo, y el lado opuesto a él un = antes de Cristo el radio un 2 = b 2 + C 2. Puede decirse que la ciencia comienza cuando una ley general explica una masa de observaciones individuales; por lo tanto, el descubrimiento del "teorema de Pitágoras" puede verse como uno de los primeros ejemplos conocidos de un logro verdaderamente científico.

Pero aún más importante para la ciencia en general y para las matemáticas en particular es el hecho de que, junto con la formulación de una ley general, aparecen intentos de probarla, es decir, demuestre que se sigue necesariamente de otras propiedades geométricas. Una de las "pruebas" orientales es especialmente evidente por su sencillez: cuatro triángulos iguales al dado están inscritos en un cuadrado BCDE como se muestra en el dibujo. área cuadrada un 2 se divide en cuatro triángulos iguales con un área total de 2 antes de Cristo y cuadrado AFGHárea ( b – C) 2 . Por lo tanto, un 2 = (b – C) 2 + 2antes de Cristo = (b 2 + C 2 – 2antes de Cristo) + 2antes de Cristo = b 2 + C 2. Es instructivo ir un paso más allá y averiguar con mayor precisión qué propiedades "previas" se supone que se conocen. El hecho más obvio es que dado que los triángulos BAC y BEF con precisión, sin espacios ni superposiciones, "ajustado" a lo largo de los lados licenciado en Letras y novio, lo que significa que las dos esquinas en los vértices B y Con en un triangulo abdominales juntos forman un ángulo de 90° y por lo tanto la suma de sus tres ángulos es 90° + 90° = 180°. La "prueba" anterior también usa la fórmula ( antes de Cristo/2) por el área de un triángulo A B C con un ángulo de 90° en la parte superior UN. De hecho, también se utilizaron otros supuestos, pero lo dicho es suficiente para que podamos ver claramente el mecanismo esencial de la prueba matemática: el razonamiento deductivo, que permite usar argumentos puramente lógicos (basados en material debidamente preparado, en nuestro ejemplo: dividir el cuadrado) sacar de los resultados conocidos las nuevas propiedades, como regla, no se siguen directamente de los datos que hay.

Axiomas y métodos de demostración.

Una de las características fundamentales del método matemático es el proceso de crear, con la ayuda de argumentos puramente lógicos cuidadosamente construidos, una cadena de enunciados en los que cada eslabón sucesivo está conectado con los anteriores. La primera consideración bastante obvia es que toda cadena debe tener un primer eslabón. Esta circunstancia se hizo evidente para los griegos cuando comenzaron a sistematizar el código de argumentos matemáticos en el siglo VII. ANTES DE CRISTO. Los griegos tardaron aprox. 200 años, y los documentos sobrevivientes brindan solo una idea aproximada de cómo actuaron exactamente. Tenemos información precisa solo sobre el resultado final de la investigación: el famoso Principios Euclides (c. 300 a. C.). Euclides comienza enumerando las posiciones iniciales, de las que se deducen todas las demás de forma puramente lógica. Estas disposiciones se denominan axiomas o postulados (los términos son prácticamente intercambiables); expresan propiedades muy generales y un tanto vagas de objetos de cualquier tipo, como "el todo es mayor que la parte", o algunas propiedades matemáticas específicas, como el hecho de que para dos puntos cualesquiera hay una única línea recta que los une. . Tampoco tenemos información acerca de si los griegos le dieron un significado más profundo a la "verdad" de los axiomas, aunque hay algunos indicios de que los griegos los discutieron durante algún tiempo antes de aceptar ciertos axiomas. En Euclides y sus seguidores, los axiomas se presentan solo como puntos de partida para la construcción de las matemáticas, sin ningún comentario sobre su naturaleza.

En cuanto a los métodos de prueba, por regla general se reducían al uso directo de teoremas previamente probados. A veces, sin embargo, la lógica del razonamiento resultó ser más compleja. Mencionaremos aquí el método favorito de Euclides, que se ha convertido en parte de la práctica diaria de las matemáticas: la prueba indirecta o prueba por contradicción. Como ejemplo elemental de prueba por contradicción, mostraremos que un tablero de ajedrez del que se cortan dos campos de esquina, ubicados en extremos opuestos de la diagonal, no se puede cubrir con fichas de dominó, cada una de las cuales es igual a dos campos. (Se supone que cada cuadrado del tablero de ajedrez debe cubrirse solo una vez). Suponga que la declaración opuesta ("opuesta") es verdadera, es decir que el tablero se puede cubrir con fichas de dominó. Cada ficha cubre un cuadrado negro y uno blanco, por lo que no importa dónde se coloquen las fichas de dominó, cubren la misma cantidad de cuadrados negros y blancos. Sin embargo, debido a que se han eliminado dos cuadrados de las esquinas, el tablero de ajedrez (que originalmente tenía tantos cuadrados negros como blancos) tiene dos cuadrados más de un color que cuadrados del otro color. Esto significa que nuestra suposición original no puede ser cierta, ya que conduce a una contradicción. Y como las proposiciones contradictorias no pueden ser ambas falsas al mismo tiempo (si una de ellas es falsa, entonces la opuesta es verdadera), nuestra suposición original debe ser verdadera, porque la suposición contradictoria es falsa; por lo tanto, un tablero de ajedrez con dos cuadrados de esquina recortados colocados en diagonal no se puede cubrir con fichas de dominó. Entonces, para probar una cierta afirmación, podemos suponer que es falsa y deducir de esta suposición una contradicción con alguna otra afirmación, cuya verdad se conoce.

Un excelente ejemplo de prueba por contradicción, que se convirtió en uno de los hitos en el desarrollo de las matemáticas griegas antiguas, es la prueba de que no es un número racional, es decir no representable como una fracción pag/q, donde pag y q- números enteros. Si , entonces 2 = pag 2 /q 2, de donde pag 2 = 2q 2. Supongamos que hay dos números enteros. pag y q, para cual pag 2 = 2q 2. En otras palabras, suponemos que existe un número entero cuyo cuadrado es el doble del cuadrado de otro número entero. Si algún número entero cumple esta condición, entonces uno de ellos debe ser menor que todos los demás. Centrémonos en el más pequeño de estos números. Que sea un numero pag. Desde 2 q 2 es un número par y pag 2 = 2q 2, entonces el número pag 2 debe ser par. Como los cuadrados de todos los números impares son impares y el cuadrado pag 2 es par, por lo que el número en sí pag debe ser parejo. En otras palabras, el número pag el doble de un entero r. Como pag = 2r y pag 2 = 2q 2 , tenemos: (2 r) 2 = 4r 2 = 2q 2 y q 2 = 2r 2. La última igualdad tiene la misma forma que la igualdad pag 2 = 2q 2 , y podemos, repitiendo el mismo razonamiento, demostrar que el número q es par y que existe tal entero s, qué q = 2s. Pero entonces q 2 = (2s) 2 = 4s 2, y desde q 2 = 2r 2, concluimos que 4 s 2 = 2r 2 o r 2 = 2s 2. Entonces obtenemos un segundo entero que satisface la condición de que su cuadrado es el doble del cuadrado de otro entero. Pero entonces pag no puede ser el número más pequeño (porque r = pag/2), aunque inicialmente asumimos que es el menor de tales números. Por lo tanto, nuestra suposición original es falsa, ya que conduce a una contradicción y, por lo tanto, no existen tales números enteros. pag y q, para cual pag 2 = 2q 2 (es decir, tal que ). Y esto significa que el número no puede ser racional.

Desde Euclides hasta principios del siglo XIX.

Durante este período, las matemáticas han cambiado significativamente como resultado de tres innovaciones.

(1) En el curso del desarrollo del álgebra, se inventó un método de notación simbólica que hizo posible representar relaciones cada vez más complejas entre cantidades en una forma abreviada. Como ejemplo del inconveniente que surgiría si no existiera tal "escritura cursiva", intentemos transmitir en palabras la proporción ( un + b) 2 = un 2 + 2abdominales + b 2: "El área de un cuadrado de lado igual a la suma de los lados de dos cuadrados dados es igual a la suma de sus áreas más el doble del área de un rectángulo cuyos lados son iguales a los lados de los cuadrados dados".

(2) Creación en la primera mitad del siglo XVII. geometría analítica, que permitía reducir cualquier problema de geometría clásica a algún problema algebraico.

(3) La creación y desarrollo entre 1600 y 1800 del cálculo infinitesimal, que permitió resolver de manera sencilla y sistemática cientos de problemas relacionados con los conceptos de límite y continuidad, de los cuales muy pocos fueron resueltos con gran dificultad por los griegos antiguos. matemáticos Estas ramas de las matemáticas se consideran con más detalle en los artículos ÁLGEBRA; GEOMETRÍA ANALÍTICA ; ANÁLISIS MATEMÁTICO ; REVISIÓN DE GEOMETRÍA.

A partir del siglo XVII. aclara gradualmente la cuestión, que hasta ahora permanecía sin resolver. ¿Qué son las matemáticas? Antes de 1800, la respuesta era bastante simple. En ese momento, no había límites claros entre las diversas ciencias, las matemáticas eran parte de la "filosofía natural": el estudio sistemático de la naturaleza mediante los métodos propuestos por los grandes reformadores del Renacimiento y principios del siglo XVII. - Galileo (1564–1642), F. Bacon (1561–1626) y R. Descartes (1596–1650). Se creía que los matemáticos tenían su propio campo de estudio: números y objetos geométricos, y que los matemáticos no usaban el método experimental. Sin embargo, Newton y sus seguidores estudiaron mecánica y astronomía utilizando el método axiomático, similar a la forma en que se presentó la geometría de Euclides. De manera más general, se reconoció que cualquier ciencia en la que los resultados de un experimento puedan representarse utilizando números o sistemas de números se convierte en el área de aplicación de las matemáticas (en física, esta idea se estableció solo en el siglo XIX).

Las áreas de la ciencia experimental que se han sometido a un procesamiento matemático a menudo se denominan "matemáticas aplicadas"; este es un nombre muy desafortunado, ya que ni por los estándares clásicos ni por los modernos en estas aplicaciones hay (en sentido estricto) argumentos verdaderamente matemáticos, ya que los objetos no matemáticos son objeto de estudio en ellos. Una vez que los datos experimentales han sido traducidos al lenguaje de números o ecuaciones (tal "traducción" requiere a menudo gran ingenio por parte de un matemático "aplicado"), aparece la posibilidad de una amplia aplicación de los teoremas matemáticos; el resultado se vuelve a traducir y se compara con las observaciones. El hecho de que el término "matemáticas" se aplique a un proceso de este tipo es una de las fuentes de innumerables malentendidos. En los tiempos "clásicos" de los que ahora estamos hablando, este tipo de malentendidos no existía, ya que las mismas personas eran a la vez matemáticos "aplicados" y "puros", que se ocupaban simultáneamente de los problemas de análisis matemático o teoría de números, y problemas de la dinámica o la óptica. Sin embargo, el aumento de la especialización y la tendencia a separar a los matemáticos "puros" de los "aplicados" debilitaron significativamente la tradición de universalidad previamente existente, y los científicos que, como J. von Neumann (1903-1957), pudieron realizar actividades científicas activas tanto en aplicadas y en matemáticas puras, se han convertido en la excepción más que en la regla.

¿Cuál es la naturaleza de los objetos matemáticos: números, puntos, líneas, ángulos, superficies, etc., cuya existencia damos por sentada? ¿Qué significa el concepto de "verdad" en relación con tales objetos? En el período clásico se dieron respuestas bastante definidas a estas preguntas. Por supuesto, los científicos de esa época entendieron claramente que en el mundo de nuestras sensaciones no existen cosas como la "línea recta infinitamente extendida" o el "punto sin dimensiones" de Euclides, así como no hay "metales puros", "luz monocromática". ", "sistemas de aislamiento térmico", etc. d., que los experimentadores operan en su razonamiento. Todos estos conceptos son “ideas platónicas”, es decir, una especie de modelos generativos de conceptos empíricos, aunque de una naturaleza radicalmente distinta. Sin embargo, se asumió tácitamente que las "imágenes" físicas de las ideas podrían estar arbitrariamente cerca de las ideas mismas. En la medida en que se pueda decir algo sobre la proximidad de los objetos a las ideas, se dice que las "ideas" son, por así decirlo, "casos límite" de objetos físicos. Desde este punto de vista, los axiomas de Euclides y los teoremas derivados de ellos expresan las propiedades de los objetos "ideales", que deben corresponder a hechos experimentales predecibles. Por ejemplo, la medida por métodos ópticos de los ángulos de un triángulo formado por tres puntos en el espacio, en el "caso ideal" debería dar una suma igual a 180°. En otras palabras, los axiomas se colocan al mismo nivel que las leyes físicas y, por lo tanto, su "verdad" se percibe de la misma manera que la verdad de las leyes físicas; aquellas. las consecuencias lógicas de los axiomas están sujetas a verificación por comparación con datos experimentales. Por supuesto, solo se puede llegar a un acuerdo dentro de los límites del error asociado tanto con la naturaleza "imperfecta" del dispositivo de medición como con la "naturaleza imperfecta" del objeto que se mide. Sin embargo, siempre se asume que si las leyes son "verdaderas", las mejoras en los procesos de medición pueden, en principio, hacer que el error de medición sea tan pequeño como se desee.

A lo largo del siglo XVIII había cada vez más evidencia de que todas las consecuencias derivadas de los axiomas básicos, especialmente en astronomía y mecánica, son consistentes con los datos experimentales. Y como estas consecuencias se obtuvieron utilizando el aparato matemático que existía en ese momento, los aciertos alcanzados contribuyeron a fortalecer la opinión sobre la verdad de los axiomas de Euclides, que, como dijo Platón, "es evidente para todos" y no está sujeta a discusión.

Dudas y nuevas esperanzas.

Geometría no euclidiana.

Entre los postulados dados por Euclides, uno era tan poco obvio que incluso los primeros alumnos del gran matemático lo consideraron un punto débil del sistema. Comenzó. El axioma en cuestión establece que a través de un punto que se encuentra fuera de una línea dada, solo se puede trazar una línea paralela a la línea dada. La mayoría de los geómetras creían que el axioma de las paralelas podía probarse usando otros axiomas, y que Euclides formuló la afirmación de las paralelas como un postulado simplemente porque no pudo encontrar tal prueba. Pero, aunque los mejores matemáticos intentaron resolver el problema de las paralelas, ninguno de ellos logró superar a Euclides. Finalmente, en la segunda mitad del siglo XVIII. Se hicieron intentos para probar el postulado de las paralelas de Euclides por contradicción. Se ha sugerido que el axioma de las paralelas es falso. A priori, el postulado de Euclides podría resultar falso en dos casos: si es imposible trazar una sola recta paralela por un punto exterior a una recta dada; o si se pueden trazar varias líneas paralelas a través de él. Resultó que la primera posibilidad a priori está descartada por otros axiomas. Habiendo adoptado un nuevo axioma en lugar del axioma tradicional sobre las paralelas (que a través de un punto fuera de una línea dada, se pueden dibujar varias líneas paralelas a una dada), los matemáticos intentaron derivar de él una afirmación que contradecía otros axiomas, pero fallaron: por mucho que se intentara sacar consecuencias del nuevo axioma "antieuclidiano" o "no euclidiano", la contradicción no aparecía. Finalmente, independientemente el uno del otro, N. I. Lobachevsky (1793–1856) y J. Bolyai (1802–1860) se dieron cuenta de que el postulado de Euclides sobre las paralelas no es demostrable o, en otras palabras, no aparecerá una contradicción en la “geometría no euclidiana”. .

Con el advenimiento de la geometría no euclidiana, surgieron de inmediato varios problemas filosóficos. Dado que desapareció la afirmación de la necesidad a priori de los axiomas, quedó la única forma de probar su "verdad": experimentalmente. Pero, como señaló posteriormente A. Poincaré (1854-1912), en la descripción de cualquier fenómeno hay tantas suposiciones físicas ocultas que ningún experimento puede proporcionar una prueba convincente de la verdad o falsedad de un axioma matemático. Además, incluso si asumimos que nuestro mundo es "no euclidiano", ¿se sigue que toda la geometría euclidiana es falsa? Por lo que se sabe, ningún matemático ha considerado jamás seriamente tal conjetura. La intuición sugirió que tanto las geometrías euclidianas como las no euclidianas son ejemplos de matemáticas completas.

Monstruos matemáticos.

Inesperadamente, llegaron a las mismas conclusiones desde una dirección completamente diferente: se descubrieron objetos que hundieron a los matemáticos del siglo XIX. sorprendidos y apodados "monstruos matemáticos". Este descubrimiento está directamente relacionado con cuestiones muy sutiles de análisis matemático que surgieron recién a mediados del siglo XIX. Surgieron dificultades al tratar de encontrar un análogo matemático exacto del concepto experimental de una curva. Cuál era la esencia del concepto de "movimiento continuo" (por ejemplo, la punta de un lápiz de dibujo moviéndose a través de una hoja de papel) estaba sujeta a una definición matemática precisa, y este objetivo se logró cuando el concepto de continuidad adquirió un rigor matemático. significado ( cm. además CURVA). Intuitivamente, parecía que la "curva" en cada uno de sus puntos tenía, por así decirlo, una dirección, es decir, en el caso general, en una vecindad de cada uno de sus puntos, la curva se comporta casi como una recta. (Por otro lado, es fácil imaginar que una curva tiene un número finito de puntos de esquina, "torceduras", como un polígono.) Este requisito podría formularse matemáticamente, es decir, se supuso la existencia de una tangente a la curva , y hasta mediados del siglo XIX. se creía que la "curva" tenía una tangente en casi todos sus puntos, tal vez con la excepción de algunos puntos "especiales". Por lo tanto, el descubrimiento de "curvas" que no tenían tangente en ningún punto causó un verdadero escándalo ( cm. además TEORÍA DE FUNCIONES). (El lector familiarizado con la trigonometría y la geometría analítica puede verificar fácilmente que la curva dada por la ecuación y = X pecado(1/ X), no tiene tangente en el origen, pero definir una curva que no tenga tangente en ninguno de sus puntos es mucho más difícil.)

Algo más tarde se obtuvo un resultado mucho más "patológico": fue posible construir un ejemplo de una curva que llena completamente el cuadrado. Desde entonces, se han inventado cientos de tales "monstruos", en contra del "sentido común". Debe enfatizarse que la existencia de tales objetos matemáticos inusuales se deriva de los axiomas básicos tan estricta y lógicamente impecable como la existencia de un triángulo o una elipse. Dado que los "monstruos" matemáticos no pueden corresponder a ningún objeto experimental, y la única conclusión posible es que el mundo de las "ideas" matemáticas es mucho más rico e inusual de lo que cabría esperar, y muy pocas de ellas tienen correspondencias en el mundo de nuestras sensaciones. . Pero si los "monstruos" matemáticos se derivan lógicamente de los axiomas, ¿pueden los axiomas seguir considerándose verdaderos?

Nuevos objetos.

Los resultados anteriores se confirmaron desde otro lado: en matemáticas, principalmente en álgebra, comenzaron a aparecer uno tras otro nuevos objetos matemáticos, que eran generalizaciones del concepto de número. Los números enteros ordinarios son bastante “intuitivos” y no es nada difícil llegar a un concepto experimental de una fracción (aunque hay que admitir que la operación de dividir una unidad en varias partes iguales y elegir varias de ellas es inherentemente diferente del proceso de contar). Después de que quedó claro que un número no se puede representar como una fracción, los griegos se vieron obligados a considerar los números irracionales, cuya definición correcta, utilizando una secuencia infinita de aproximaciones por números racionales, pertenece a los logros más altos de la mente humana, pero difícilmente se corresponde con algo real en nuestro mundo físico (donde cualquier medida está invariablemente sujeta a errores). Sin embargo, la introducción de los números irracionales se produjo más o menos en el espíritu de la "idealización" de los conceptos físicos. Pero ¿qué pasa con los números negativos, que poco a poco, encontrando una gran resistencia, comenzaron a entrar en uso científico en relación con el desarrollo del álgebra? Se puede afirmar con toda certeza que no existían objetos físicos prefabricados, a partir de los cuales pudiéramos desarrollar el concepto de número negativo utilizando el proceso de abstracción directa, y en la enseñanza de un curso de álgebra elemental tenemos que introducir muchos ejemplos auxiliares y bastante complejos (segmentos orientados, temperaturas, deudas, etc.) para explicar qué son los números negativos. Esta posición está muy lejos de ser "clara para todos" como exigió Platón de las ideas subyacentes a las matemáticas, y no es raro encontrar graduados universitarios para quienes la regla de los signos es todavía un misterio (- un)(–b) = abdominales. ver también NÚMERO .

La situación es aún peor con los números "imaginarios" o "complejos", ya que incluyen un "número" i, tal que i 2 = -1, lo que es una clara violación de la regla de los signos. Sin embargo, los matemáticos de finales del siglo XVI. No dudes en realizar cálculos con números complejos como si "tuvieran sentido", aunque hace 200 años no se podían definir estos "objetos" ni interpretarlos mediante ninguna construcción auxiliar, como, por ejemplo, se interpretaban utilizando segmentos dirigidos de números negativos. (Después de 1800, se propusieron varias interpretaciones de los números complejos, siendo la más famosa por medio de vectores en el plano).

axiomática moderna.

La revolución tuvo lugar en la segunda mitad del siglo XIX. Y aunque no estuvo acompañada de la adopción de comunicados oficiales, en realidad se trataba de la proclamación de una especie de “declaración de independencia”. Más concretamente, sobre la proclamación de una declaración de facto de la independencia de las matemáticas del mundo exterior.

Desde este punto de vista, los "objetos" matemáticos, si tiene algún sentido hablar de su "existencia", son puras creaciones de la mente, ¿tienen alguna "correspondencia" y si permiten alguna "interpretación" en el mundo físico, porque las matemáticas no son importantes (aunque la pregunta en sí es interesante).

Las declaraciones "verdaderas" sobre tales "objetos" son todas las mismas consecuencias lógicas de los axiomas. Pero ahora los axiomas deben considerarse como completamente arbitrarios, y por lo tanto no es necesario que sean "obvios" o deducibles de la experiencia cotidiana por medio de "idealización". En la práctica, la libertad total está limitada por varias consideraciones. Por supuesto, los objetos "clásicos" y sus axiomas permanecen sin cambios, pero ahora no pueden considerarse los únicos objetos y axiomas de las matemáticas, y el hábito de descartar o reelaborar los axiomas para que sea posible usarlos de varias maneras, como se hizo durante la transición, ha entrado en la práctica cotidiana de la geometría euclidiana a la no euclidiana. (Así es como se obtuvieron numerosas variantes de geometrías "no euclidianas" distintas de la geometría euclidiana y la geometría de Lobachevsky-Bolyai; por ejemplo, hay geometrías no euclidianas en las que no hay líneas paralelas).

Me gustaría enfatizar una circunstancia que se deriva del nuevo enfoque de los "objetos" matemáticos: todas las demostraciones deben basarse únicamente en axiomas. Si recordamos la definición de una prueba matemática, tal declaración puede parecer una repetición. Sin embargo, esta regla rara vez se siguió en las matemáticas clásicas debido a la naturaleza "intuitiva" de sus objetos o axiomas. Incluso en Principios Euclides, a pesar de su aparente "rigurosidad", muchos axiomas no se formulan explícitamente y muchas propiedades se asumen tácitamente o se introducen sin justificación suficiente. Para poner la geometría euclidiana sobre una base sólida, se necesitaba una revisión crítica de sus principios. Huelga decir que el control pedante sobre los detalles más pequeños de la demostración es consecuencia de la aparición de "monstruos" que han enseñado a los matemáticos modernos a ser cuidadosos en sus conclusiones. La afirmación más inocua y "evidente" sobre los objetos clásicos, como la afirmación de que una curva que conecta puntos ubicados en lados opuestos de una línea recta, necesariamente intersecta esta línea recta, en las matemáticas modernas requiere una prueba formal rigurosa.

Puede parecer paradójico decir que es precisamente por su adhesión a los axiomas que las matemáticas modernas sirven como un claro ejemplo de lo que debería ser cualquier ciencia. Sin embargo, este enfoque ilustra un rasgo característico de uno de los procesos más fundamentales del pensamiento científico: obtener información precisa en una situación de conocimiento incompleto. El estudio científico de cierta clase de objetos sugiere que las características que hacen posible distinguir un objeto de otro se olvidan deliberadamente, y solo se conservan las características generales de los objetos bajo consideración. Lo que distingue a las matemáticas del conjunto general de las ciencias es el estricto apego a este programa en todos sus puntos. Se cree que los objetos matemáticos están completamente determinados por los axiomas usados en la teoría de estos objetos; o, en palabras de Poincaré, los axiomas sirven como "definiciones disfrazadas" de los objetos a los que se refieren.

MATEMÁTICAS MODERNAS

Aunque la existencia de cualquier axioma es teóricamente posible, hasta ahora solo se ha propuesto y estudiado un pequeño número de axiomas. Por lo general, en el curso del desarrollo de una o más teorías, se advierte que algunos esquemas de prueba se repiten en condiciones más o menos similares. Una vez que se descubren las propiedades utilizadas en los esquemas generales de las demostraciones, se formulan en forma de axiomas y sus consecuencias se integran en una teoría general que no está directamente relacionada con los contextos específicos de los que se extrajeron los axiomas. Los teoremas generales así obtenidos son aplicables a cualquier situación matemática en la que existan sistemas de objetos que satisfagan los axiomas correspondientes. La repetición de los mismos esquemas de prueba en diferentes situaciones matemáticas indica que estamos tratando con diferentes concretizaciones de la misma teoría general. Esto significa que después de una interpretación adecuada, los axiomas de esta teoría se convierten en teoremas en cada situación. Cualquier propiedad deducida de los axiomas se cumplirá en todas estas situaciones, pero no hay necesidad de una prueba separada para cada caso. En tales casos, se dice que las situaciones matemáticas tienen la misma "estructura" matemática.

Usamos el concepto de estructura en cada paso de nuestra vida diaria. Si el termómetro marca 10 °C y la oficina de pronósticos predice un aumento de temperatura de 5 °C, esperamos una temperatura de 15 °C sin ningún cálculo. Si se abre el libro en la página 10 y se nos pide que busquemos 5 páginas más, no dudamos en abrirlo en la página 15, sin contar las páginas intermedias. En ambos casos, creemos que la suma de números da el resultado correcto, independientemente de su interpretación, en forma de temperatura o números de página. No necesitamos aprender una aritmética para termómetros y otra para números de página (aunque usamos una aritmética especial para relojes, en la que 8 + 5 = 1, ya que los relojes tienen una estructura diferente a las páginas de un libro). Las estructuras de interés para los matemáticos se distinguen por una complejidad algo mayor, lo que es fácil de ver en los ejemplos, cuyo análisis se dedica a las siguientes dos secciones de este artículo. Uno de ellos trata sobre la teoría de grupos y los conceptos matemáticos de estructuras e isomorfismos.

Teoría de grupos.

Para comprender mejor el proceso descrito anteriormente, tomémonos la libertad de mirar en el laboratorio del matemático moderno y echar un vistazo más de cerca a una de sus principales herramientas: la teoría de grupos ( cm. además RESUMEN DE ÁLGEBRA). Un grupo es una colección (o "conjunto") de objetos GRAMO, sobre el que se define una operación que asocia dos objetos o elementos un, b desde GRAMO, tomados en el orden especificado (el primero es el elemento un, el segundo es el elemento b), el tercer elemento C desde GRAMO de acuerdo con una regla estrictamente definida. Por brevedad, denotamos este elemento un*b; el asterisco (*) significa la operación de composición de dos elementos. Esta operación, que llamaremos multiplicación de grupos, debe cumplir las siguientes condiciones:

(1) para cualquiera de los tres elementos un, b, C desde GRAMO se cumple la propiedad de asociatividad: un* (b*C) = (un*b) *C;

(2) en GRAMO hay tal elemento mi, que para cualquier elemento un desde GRAMO hay una proporción mi*un = un*mi = un; este elemento mi se denomina elemento identitario o neutro del grupo;

(3) para cualquier elemento un desde GRAMO hay tal elemento un¢, llamado inverso o simétrico al elemento un, qué un*unў = unў* un = mi.

Si estas propiedades se toman como axiomas, entonces sus consecuencias lógicas (independientemente de cualquier otro axioma o teorema) juntas forman lo que comúnmente se llama teoría de grupos. Deducir estas consecuencias de una vez por todas demostró ser muy útil, ya que los grupos se usan mucho en todas las ramas de las matemáticas. De los miles de posibles ejemplos de grupos, elegiremos solo algunos de los más simples.

(a) Fracciones pag/q, donde pag y q son enteros arbitrarios i1 (por q= 1 obtenemos enteros ordinarios). fracciones pag/q formar un grupo con respecto a la multiplicación de grupos ( pag/q) *(r/s) = (relaciones públicas)/(qs). Las propiedades (1), (2), (3) se derivan de los axiomas de la aritmética. En realidad, [( pag/q) *(r/s)] *(t/tu) = (prt)/(qsu) = (pag/q)*[(r/s)*(t/tu)]. El elemento de identidad es el número 1 = 1/1, ya que (1/1)*( pag/q) = (1H pag)/(1H q) = pag/q. Finalmente, el elemento inverso a la fracción pag/q, es una fracción q/pag, como ( pag/q)*(q/pag) = (pq)/(pq) = 1.

(b) Considere como GRAMO conjunto de cuatro enteros 0, 1, 2, 3, y como un*b- resto de la división un + b 4. Los resultados de la operación así introducida se presentan en la Tabla. 1 (elemento un*b se encuentra en la intersección de la línea un y columna b). Es fácil comprobar que se cumplen las propiedades (1)–(3) y que el número 0 es el elemento de identidad.

(c) Elegimos como GRAMO conjunto de números 1, 2, 3, 4, y como un*b- resto de la división abdominales(producto ordinario) por 5. Como resultado, obtenemos la tabla. 2. Es fácil comprobar que se cumplen las propiedades (1)–(3), y 1 es el elemento de identidad.

(d) Cuatro objetos, como los cuatro números 1, 2, 3, 4, se pueden colocar en una fila de 24 maneras. Cada ubicación se puede visualizar como una transformación que traduce la ubicación "natural" en una dada; por ejemplo, la ubicación 4, 1, 2, 3 se obtiene como resultado de la transformación

S: 1 ® 4, 2 ® 1, 3 ® 2, 4 ® 3,

que se puede escribir en una forma más conveniente

Para cualesquiera dos de tales transformaciones S, T definiremos S*T como una transformación que resultará de la ejecución secuencial T, y luego S. Por ejemplo, si , entonces . Con esta definición, las 24 transformaciones posibles forman un grupo; su elemento identidad es , y el elemento inverso a S, se obtiene reemplazando las flechas en la definición S al contrario; por ejemplo, si , entonces .

Es fácil ver que en los tres primeros ejemplos un*b = b*un; en tales casos se dice que el grupo o la multiplicación de grupos es conmutativo. Por otro lado, en el último ejemplo, y por lo tanto T*S difiere de S*T.

El grupo del ejemplo (d) es un caso especial de los llamados. grupo simétrico, cuyo ámbito de aplicación incluye, entre otras cosas, métodos para resolver ecuaciones algebraicas y el comportamiento de las líneas en los espectros de los átomos. Los grupos de los ejemplos (b) y (c) juegan un papel importante en la teoría de números; en el ejemplo (b) el número 4 puede ser reemplazado por cualquier número entero norte, y números del 0 al 3 - números del 0 al norte– 1 (cuando norte= 12 obtenemos el sistema de números que están en las carátulas del reloj, como mencionamos anteriormente); en el ejemplo (c) el número 5 puede ser reemplazado por cualquier número primo R, y números del 1 al 4 - números del 1 al pag – 1.

Estructuras e isomorfismo.

Los ejemplos anteriores muestran cuán variada puede ser la naturaleza de los objetos que componen un grupo. Pero, de hecho, en cada caso, todo se reduce al mismo escenario: de las propiedades de un conjunto de objetos, consideramos solo aquellas que convierten a este conjunto en un grupo (¡este es un ejemplo de conocimiento incompleto!). En tales casos, decimos que estamos considerando una estructura de grupo dada por nuestra multiplicación de grupo elegida.

Otro ejemplo de una estructura es la llamada. estructura de orden. Un montón de mi dotado de una estructura de orden, u ordenado si entre elementos un è b perteneciendo a mi, se da alguna relación, que denotamos R (un,b). (Tal relación debería tener sentido para cualquier par de elementos de mi, pero en general es falsa para algunos pares y verdadera para otros, por ejemplo, la relación 7

(1) R (un,un) es cierto para cada un propiedad de mi;

(2) fuera R (un,b) y R (b,un) se sigue que un = b;

(3) fuera R (un,b) y R (b,C) debería R (un,C).

Demos algunos ejemplos de una gran cantidad de varios conjuntos ordenados.

(un) mi consta de todos los números enteros, R (un,b) es la relación " un menor o igual b».

(b) mi consta de todos los números enteros > 1, R (un,b) es la relación " un divide b o igual b».

Como último ejemplo de estructura, mencionamos la estructura de un espacio métrico; tal estructura se da en el conjunto mi, si cada par de elementos un y b perteneciendo a mi, puedes hacer coincidir el número d (un,b) i 0 que satisface las siguientes propiedades:

(1) d (un,b) = 0 si y solo si un = b;

(2) d (b,un) = d (un,b);

(3) d (un,C) Ј d (un,b) + d (b,C) para cualquiera de los tres elementos dados un, b, C desde mi.

Pongamos ejemplos de espacios métricos:

(a) el espacio "tridimensional" usual, donde d (un,b) es la distancia habitual (o "Euclidiana");

(b) la superficie de una esfera, donde d (un,b) es la longitud del arco más pequeño de un círculo que conecta dos puntos un y b en la esfera;

La definición exacta del concepto de estructura es bastante difícil. Sin entrar en detalles, podemos decir que en el plató mi se da una estructura de cierto tipo si entre los elementos del conjunto mi(ya veces otros objetos, por ejemplo, números, que juegan un papel auxiliar) se dan relaciones que satisfacen algún conjunto fijo de axiomas que caracterizan la estructura del tipo bajo consideración. Arriba hemos dado axiomas de tres tipos de estructuras. Por supuesto, hay muchos otros tipos de estructuras cuyas teorías están completamente desarrolladas.

Muchos conceptos abstractos están estrechamente relacionados con el concepto de estructura; Mencionemos solo uno de los más importantes: el concepto de isomorfismo. Recuerde el ejemplo de los grupos (b) y (c) de la sección anterior. Es fácil comprobarlo desde Tab. 1 a la mesa. 2 se pueden navegar usando coincidencias

0 ® 1, 1 ® 2, 2 ® 4, 3 ® 3.

En este caso, decimos que los grupos dados son isomorfos. En general, dos grupos GRAMO y GRAMOў son isomorfos si entre los elementos del grupo GRAMO y elementos de grupo GRAMO¢ es posible establecer tal correspondencia uno a uno un « un¢ y si C = un*b, entonces Cў = unў* b¢ para elementos relevantes Gø. Cualquier afirmación de la teoría de grupos que sea verdadera para un grupo GRAMO, sigue siendo válido para el grupo GRAMO¢, y viceversa. Grupos algebraicamente GRAMO y GRAMO¢ indistinguible.

El lector verá fácilmente que exactamente de la misma manera se pueden definir dos conjuntos ordenados isomorfos o dos espacios métricos isomorfos. Se puede demostrar que el concepto de isomorfismo se extiende a estructuras de cualquier tipo.

CLASIFICACIÓN

Viejas y nuevas clasificaciones de las matemáticas.

El concepto de estructura y otros conceptos relacionados con él han ocupado un lugar central en las matemáticas modernas, tanto desde un punto de vista puramente “técnico” como filosófico y metodológico. Los teoremas generales de los principales tipos de estructuras sirven como herramientas extremadamente poderosas de la "técnica" matemática. Cada vez que un matemático logra mostrar que los objetos que estudia satisfacen los axiomas de un cierto tipo de estructura, demuestra que todos los teoremas de la teoría de la estructura de este tipo se aplican a los objetos específicos que estudia (sin estos teoremas generales, él muy probablemente pasados por alto estarían fuera de la vista de sus variantes específicas o se verían obligados a cargar su razonamiento con suposiciones innecesarias). De manera similar, si se demuestra que dos estructuras son isomorfas, entonces el número de teoremas se duplica inmediatamente: cada teorema probado para una de las estructuras da inmediatamente un teorema correspondiente para la otra. No es de extrañar, por lo tanto, que existan teorías muy complejas y difíciles, por ejemplo, la "teoría del campo de clases" en la teoría de números, cuyo objetivo principal es probar el isomorfismo de las estructuras.

Desde un punto de vista filosófico, el uso generalizado de estructuras e isomorfismos demuestra la característica principal de las matemáticas modernas: el hecho de que la "naturaleza" de los "objetos" matemáticos realmente no importa, solo las relaciones entre los objetos son significativas (una especie de el principio del conocimiento incompleto).

Finalmente, es imposible no mencionar que el concepto de estructura hizo posible clasificar las secciones de las matemáticas de una manera nueva. Hasta mediados del siglo XIX. diferían según el tema del estudio. La aritmética (o teoría de números) se ocupaba de los números enteros, la geometría se ocupaba de las líneas, ángulos, polígonos, círculos, áreas, etc. El álgebra se ocupó casi exclusivamente de métodos para resolver ecuaciones numéricas o sistemas de ecuaciones; la geometría analítica desarrolló métodos para transformar problemas geométricos en problemas algebraicos equivalentes. La gama de intereses de otra rama importante de las matemáticas, llamada "análisis matemático", incluía principalmente cálculo diferencial e integral y sus diversas aplicaciones a la geometría, el álgebra e incluso la teoría de números. El número de estas aplicaciones aumentó, y también aumentó su importancia, lo que llevó a la división del análisis matemático en subsecciones: teoría de funciones, ecuaciones diferenciales (derivadas ordinarias y parciales), geometría diferencial, cálculo de variaciones, etc.

Para muchos matemáticos modernos, este enfoque recuerda la historia de la clasificación de los animales por parte de los primeros naturalistas: una vez que tanto la tortuga marina como el atún fueron considerados peces porque vivían en el agua y tenían características similares. El enfoque moderno nos ha enseñado a ver no solo lo que se encuentra en la superficie, sino también a mirar más profundamente y tratar de reconocer las estructuras fundamentales que se encuentran detrás de la apariencia engañosa de los objetos matemáticos. Desde este punto de vista, es importante estudiar los tipos de estructuras más importantes. Es poco probable que tengamos a nuestra disposición una lista completa y definitiva de estos tipos; algunos de ellos han sido descubiertos en los últimos 20 años, y hay muchas razones para esperar más descubrimientos en el futuro. Sin embargo, ya tenemos una idea de muchos tipos básicos de estructuras "abstractas". (Son "abstractos" en comparación con los objetos "clásicos" de las matemáticas, aunque ni siquiera estos pueden llamarse "concretos"; es más bien una cuestión del grado de abstracción.)

Las estructuras conocidas se pueden clasificar según las relaciones que contienen o según su complejidad. Por un lado, existe un extenso bloque de estructuras "algebraicas", cuyo caso particular es, por ejemplo, una estructura de grupo; entre otras estructuras algebraicas nombramos anillos y campos ( cm. además RESUMEN DE ÁLGEBRA). La rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las estructuras algebraicas se ha denominado "álgebra moderna" o "álgebra abstracta" en oposición al álgebra ordinaria o clásica. Una parte importante de la geometría euclidiana, la geometría no euclidiana y la geometría analítica también se convirtieron en parte de la nueva álgebra.

Hay otros dos bloques de estructuras en el mismo nivel de generalidad. Una de ellas, denominada topología general, incluye teorías de tipos de estructuras, un caso particular de las cuales es la estructura de un espacio métrico ( cm. TOPOLOGÍA; espacios abstractos). El tercer bloque está formado por las teorías de las estructuras de orden y sus extensiones. La "expansión" de la estructura consiste en agregar nuevos axiomas a los existentes. Por ejemplo, si a los axiomas del grupo le sumamos la propiedad de conmutatividad como cuarto axioma un*b = b*un, entonces obtenemos la estructura de un grupo conmutativo (o abeliano).

De estos tres bloques, los dos últimos se encontraban hasta hace poco en un estado relativamente estable, y el bloque de "álgebra moderna" estaba creciendo rápidamente, a veces en direcciones inesperadas (por ejemplo, se desarrolló una rama completa, llamada "álgebra homológica"). Fuera de los llamados. Los tipos de estructuras "puras" se encuentran en otro nivel: estructuras "mixtas", por ejemplo, algebraicas y topológicas, junto con nuevos axiomas que las unen. Se han estudiado muchas de estas combinaciones, la mayoría de las cuales se dividen en dos grandes bloques: "álgebra topológica" y "topología algebraica".

En conjunto, estos bloques constituyen un campo científico "abstracto" muy sólido en términos de volumen. Muchos matemáticos esperan comprender mejor las teorías clásicas y resolver problemas difíciles con nuevas herramientas. De hecho, con un nivel apropiado de abstracción y generalización, los problemas de los antiguos pueden aparecer bajo una nueva luz, lo que permitirá encontrar sus soluciones. Grandes porciones de material clásico quedaron bajo el dominio de las nuevas matemáticas y fueron transformadas o fusionadas con otras teorías. Quedan vastas áreas en las que los métodos modernos no han penetrado tan profundamente. Los ejemplos son la teoría de ecuaciones diferenciales y una parte significativa de la teoría de números. Es muy probable que se logre un progreso significativo en estas áreas después de que se descubran y estudien cuidadosamente nuevos tipos de estructuras.

DIFICULTADES FILOSÓFICAS

Incluso los antiguos griegos entendieron claramente que una teoría matemática debe estar libre de contradicciones. Esto significa que es imposible deducir como consecuencia lógica de los axiomas el enunciado R y su negación PAG. Sin embargo, dado que se creía que los objetos matemáticos tienen correspondencias en el mundo real y que los axiomas son "idealizaciones" de las leyes de la naturaleza, nadie tenía dudas sobre la consistencia de las matemáticas. En la transición de las matemáticas clásicas a las matemáticas modernas, el problema de la consistencia adquirió un significado diferente. La libertad de elegir los axiomas de cualquier teoría matemática debe estar obviamente limitada por la condición de consistencia, pero ¿es posible estar seguro de que esta condición se satisfará?

Ya hemos mencionado el concepto de conjunto. Este concepto siempre se ha utilizado de forma más o menos explícita en matemáticas y lógica. En la segunda mitad del siglo XIX Se sistematizaron parcialmente las reglas elementales para tratar el concepto de conjunto, además, se obtuvieron algunos resultados importantes, que formaron el contenido del llamado. teoría de conjuntos ( cm. además TEORÍA DE CONJUNTOS), que se ha convertido, por así decirlo, en el sustrato de todas las demás teorías matemáticas. Desde la antigüedad hasta el siglo XIX. había temores sobre los conjuntos infinitos, por ejemplo, reflejados en las famosas paradojas de Zenón de Elea (siglo V a. C.). Estos temores eran en parte metafísicos y en parte debido a las dificultades asociadas con el concepto de medir cantidades (por ejemplo, longitud o tiempo). Fue posible eliminar estas dificultades solo después, en el siglo XIX. los conceptos básicos del análisis matemático estaban estrictamente definidos. En 1895, todos los temores se disiparon y parecía que las matemáticas descansaban sobre los cimientos inquebrantables de la teoría de conjuntos. Pero en la siguiente década, surgieron nuevos argumentos que parecían mostrar la inconsistencia inherente de la teoría de conjuntos (y todo el resto de las matemáticas).

Las nuevas paradojas eran muy simples. La primera de ellas, la paradoja de Russell, puede considerarse en una versión simple, conocida como la "paradoja del barbero". En cierto pueblo, un barbero afeita a todos los habitantes que no se afeitan a sí mismos. ¿Quién afeita al barbero él mismo? Si un barbero se afeita a sí mismo, no solo afeita a los habitantes que no se afeitan a sí mismos, sino también a un habitante que se afeita a sí mismo; si no se afeita a sí mismo, entonces no afeita a todos los habitantes del pueblo que no se afeitan a sí mismos. Una paradoja de este tipo surge cada vez que se considera el concepto de "el conjunto de todos los conjuntos". Aunque este objeto matemático parece muy natural, razonar sobre él conduce rápidamente a contradicciones.

La paradoja de Berry es aún más reveladora. Considere el conjunto de todas las frases rusas que contienen no más de diecisiete palabras; el número de palabras en el idioma ruso es finito, por lo que el número de tales frases también es finito. Elegimos entre ellos aquellos que definen de forma única algún número entero, por ejemplo: "El mayor número impar menor que diez". El número de tales frases también es finito; en consecuencia, el conjunto de enteros que definen también es finito. Denote un conjunto finito de estos números por D. De los axiomas de la aritmética se sigue que hay números enteros que no pertenecen a D, y que entre estos números hay el número más pequeño norte. Este número norte se define únicamente por la frase: "El número entero más pequeño que no se puede definir mediante una frase que consta de no más de diecisiete palabras rusas". Pero esta frase contiene exactamente diecisiete palabras. Por lo tanto, determina el número norte, que debe pertenecer D, y llegamos a una contradicción paradójica.

Intuicionistas y formalistas.

La conmoción causada por las paradojas de la teoría de conjuntos dio lugar a una variedad de reacciones. Algunos matemáticos estaban bastante decididos y expresaron la opinión de que las matemáticas se desarrollaron en la dirección equivocada desde el principio y deberían basarse en una base completamente diferente. No es posible describir con precisión el punto de vista de tales "intuicionistas" (como comenzaron a llamarse a sí mismos), ya que se negaron a reducir sus puntos de vista a un esquema puramente lógico. Desde el punto de vista de los intuicionistas, es incorrecto aplicar procesos lógicos a objetos que no son intuitivamente representables. Los únicos objetos intuitivamente claros son los números naturales 1, 2, 3,... y conjuntos finitos de números naturales, "construidos" de acuerdo con reglas exactamente dadas. Pero incluso a tales objetos, los intuicionistas no permitieron que se aplicaran todas las deducciones de la lógica clásica. Por ejemplo, no reconocieron que para cualquier declaración R cierto tampoco R, o no- R. Con medios tan limitados a su disposición, evitaron fácilmente las "paradojas", pero al hacerlo arrojaron por la borda no solo toda la matemática moderna, sino también una parte importante de los resultados de la matemática clásica, y para los que aún quedaban, nuevos, había que encontrar pruebas más complejas.

La abrumadora mayoría de los matemáticos modernos no estuvo de acuerdo con los argumentos de los intuicionistas. Los matemáticos no intuicionistas han notado que los argumentos utilizados en las paradojas difieren significativamente de los utilizados en el trabajo matemático ordinario con la teoría de conjuntos y, por lo tanto, dichos argumentos deben descartarse como ilegales sin comprometer las teorías matemáticas existentes. Otra observación fue que en la teoría de conjuntos "ingenua" que existía antes del advenimiento de las "paradojas", el significado de los términos "conjunto", "propiedad", "relación" no se cuestionaba, al igual que en la geometría clásica la "intuitiva". naturaleza de los conceptos geométricos ordinarios. En consecuencia, se puede proceder de la misma manera que en geometría, es decir, descartar todos los intentos de apelar a la "intuición" y tomar como punto de partida de la teoría de conjuntos un sistema de axiomas formulados con precisión. Sin embargo, no es obvio cómo palabras tales como "propiedad" o "relación" pueden ser despojadas de su sentido usual; sin embargo, debe hacerse si deseamos descartar argumentos como la paradoja de Berry. El método consiste en abstenerse de utilizar el lenguaje ordinario al formular axiomas o teoremas; sólo las oraciones construidas de acuerdo con un sistema explícito de reglas rígidas se permiten como "propiedades" o "relaciones" en matemáticas y entran en la formulación de axiomas. Este proceso se denomina "formalización" del lenguaje matemático (para evitar malentendidos derivados de las ambigüedades del lenguaje ordinario, se recomienda ir un paso más allá y reemplazar las propias palabras con caracteres especiales en oraciones formalizadas, por ejemplo, reemplazar el conectivo "y" con el símbolo &, el conectivo "o" - con el símbolo Ú, “existe” con el símbolo $, etc.). Los matemáticos que rechazaron los métodos propuestos por los intuicionistas pasaron a ser llamados "formalistas".

Sin embargo, la pregunta original nunca fue respondida. ¿Está la "teoría axiomática de conjuntos" libre de contradicciones? D. Hilbert (1862-1943) y su escuela hicieron nuevos intentos para demostrar la consistencia de las teorías "formalizas" en la década de 1920 y se denominaron "mematemáticas". Esencialmente, las metamatemáticas son una rama de las "matemáticas aplicadas" donde los objetos a los que se aplica el razonamiento matemático son las proposiciones de una teoría formalizada y su ubicación dentro de las pruebas. Estas oraciones deben ser consideradas únicamente como combinaciones materiales de símbolos producidos de acuerdo con ciertas reglas establecidas, sin referencia alguna al posible "significado" de estos símbolos (si lo hay). Un juego de ajedrez puede servir como una buena analogía: los símbolos corresponden a piezas, las oraciones a diferentes posiciones en el tablero y las inferencias a reglas para mover piezas. Para establecer la consistencia de una teoría formalizada, basta mostrar que en esta teoría ninguna prueba termina con el enunciado 0 No. 0. Sin embargo, uno puede objetar el uso de argumentos matemáticos en la prueba "mematemática" de la consistencia de una teoría matemática; si las matemáticas fueran inconsistentes, entonces los argumentos matemáticos perderían toda fuerza y estaríamos en una situación de círculo vicioso. Para responder a estas objeciones, Hilbert permitió el uso en metamatemáticas de un razonamiento matemático muy limitado del tipo que los intuicionistas consideran aceptable. Sin embargo, K. Godel pronto demostró (1931) que la consistencia de la aritmética no puede probarse por medios tan limitados si es realmente consistente (el alcance de este artículo no nos permite presentar el ingenioso método por el cual se obtuvo este notable resultado, y la subsiguiente historia de las metamatemáticas).

Resumiendo la situación problemática actual desde un punto de vista formalista, debemos admitir que está lejos de terminar. El uso del concepto de conjunto se ha visto limitado por reservas que se han introducido deliberadamente para evitar paradojas conocidas, y no hay garantías de que no surjan nuevas paradojas en una teoría de conjuntos axiomatizada. Sin embargo, las limitaciones de la teoría axiomática de conjuntos no impidieron el nacimiento de nuevas teorías viables.

MATEMÁTICAS Y EL MUNDO REAL

A pesar de las afirmaciones de independencia de las matemáticas, nadie negará que las matemáticas y el mundo físico están relacionados entre sí. Por supuesto, el enfoque matemático para resolver los problemas de la física clásica sigue siendo válido. También es cierto que en un área muy importante de las matemáticas, a saber, en la teoría de ecuaciones diferenciales, derivadas ordinarias y parciales, el proceso de enriquecimiento mutuo de la física y las matemáticas es bastante fructífero.

Las matemáticas son útiles para interpretar los fenómenos del micromundo. Sin embargo, las nuevas "aplicaciones" de las matemáticas difieren significativamente de las clásicas. Una de las herramientas más importantes de la física se ha convertido en la teoría de la probabilidad, que anteriormente se usaba principalmente en la teoría de los juegos de azar y los seguros. Los objetos matemáticos que los físicos asocian con "estados atómicos" o "transiciones" son de naturaleza muy abstracta y fueron introducidos y estudiados por matemáticos mucho antes del advenimiento de la mecánica cuántica. Cabe añadir que tras los primeros éxitos surgieron serias dificultades. Esto sucedió en un momento en que los físicos intentaban aplicar ideas matemáticas a los aspectos más sutiles de la teoría cuántica; sin embargo, muchos físicos aún esperan nuevas teorías matemáticas, creyendo que les ayudarán a resolver nuevos problemas.

Matemáticas: ¿ciencia o arte?

Incluso si incluimos la teoría de la probabilidad o la lógica matemática en las matemáticas "puras", resulta que menos del 50% de los resultados matemáticos conocidos son utilizados actualmente por otras ciencias. ¿Qué debemos pensar de la mitad restante? En otras palabras, ¿cuáles son los motivos detrás de esas áreas de las matemáticas que no están relacionadas con la solución de problemas físicos?

Ya hemos mencionado la irracionalidad de un número como representante típico de este tipo de teoremas. Otro ejemplo es el teorema demostrado por J.-L. Lagrange (1736-1813). Difícilmente hay un matemático que no la llame "importante" o "hermosa". El teorema de Lagrange establece que cualquier número entero mayor o igual a uno puede representarse como la suma de los cuadrados de a lo sumo cuatro números; por ejemplo, 23 = 3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2 . En el estado actual de las cosas, es inconcebible que este resultado pueda ser útil para resolver cualquier problema experimental. Es cierto que los físicos tratan con números enteros con mucha más frecuencia hoy que en el pasado, pero los números enteros con los que operan son siempre limitados (rara vez superan unos pocos cientos); por lo tanto, un teorema como el de Lagrange solo puede ser "útil" si se aplica a números enteros que no van más allá de algún límite. Pero tan pronto como restringimos la formulación del teorema de Lagrange, inmediatamente deja de ser de interés para un matemático, ya que todo el poder atractivo de este teorema reside en su aplicabilidad a todos los números enteros. (Hay una gran cantidad de proposiciones sobre números enteros que las computadoras pueden probar para números muy grandes; pero, mientras no se encuentre una prueba general, seguirán siendo hipotéticas y sin interés para los matemáticos profesionales).

Un enfoque en temas que están lejos de las aplicaciones inmediatas no es inusual para los científicos que trabajan en cualquier campo, ya sea astronomía o biología. Sin embargo, mientras que el resultado experimental se puede refinar y mejorar, la prueba matemática siempre es definitiva. Por eso es difícil resistir la tentación de tratar las matemáticas, o al menos esa parte de ellas que nada tiene que ver con la "realidad", como un arte. Los problemas matemáticos no se imponen desde fuera y, si tomamos el punto de vista moderno, somos completamente libres en la elección del material. Al evaluar algún trabajo matemático, los matemáticos no tienen criterios "objetivos", y se ven obligados a confiar en su propio "gusto". Los gustos varían mucho según la época, el país, las tradiciones y las personas. Hay modas y "escuelas" en las matemáticas modernas. En la actualidad existen tres de tales "escuelas" que por conveniencia llamaremos "clasicismo", "modernismo" y "abstraccionismo". Para comprender mejor las diferencias entre ellos, analicemos los diversos criterios que utilizan los matemáticos al evaluar un teorema o un grupo de teoremas.

(1) De acuerdo con la opinión general, un resultado matemático "hermoso" no debería ser trivial, es decir, no debe ser una consecuencia obvia de axiomas o teoremas previamente probados; alguna idea nueva debe usarse en la demostración, o las viejas ideas deben aplicarse ingeniosamente. En otras palabras, para un matemático, no es el resultado en sí lo importante, sino el proceso de superación de las dificultades que encontró para obtenerlo.

(2) Cualquier problema matemático tiene su propia historia, por así decirlo, "pedigrí", que sigue el mismo patrón general en el que se desarrolla la historia de cualquier ciencia: después de los primeros éxitos, puede pasar cierto tiempo antes de la respuesta a la pregunta. planteado se encuentra. Cuando se recibe una decisión, la historia no termina ahí, pues comienzan los conocidos procesos de expansión y generalización. Por ejemplo, el teorema de Lagrange mencionado anteriormente lleva a la cuestión de representar cualquier número entero como una suma de cubos, potencias de 4, 5, etc. Es así como surge el “problema Waring”, que aún no ha recibido una solución definitiva. Además, si tenemos suerte, el problema que hemos resuelto resultará estar relacionado con una o más estructuras fundamentales, y esto, a su vez, dará lugar a nuevos problemas relacionados con estas estructuras. Incluso si la teoría original finalmente "muere", tiende a dejar numerosos brotes vivos. Los matemáticos modernos se enfrentan a una dispersión de problemas tan inmensa que, incluso si se interrumpiera toda conexión con la ciencia experimental, su solución tardaría varios siglos más.

(3) Todo matemático estará de acuerdo en que cuando se le presenta un nuevo problema, es su deber resolverlo por cualquier medio posible. Cuando el problema se refiere a objetos matemáticos clásicos (los clasicistas rara vez se ocupan de otros tipos de objetos), los clasicistas intentan resolverlo usando solo medios clásicos, mientras que otros matemáticos introducen estructuras más "abstractas" para usar teoremas generales relacionados con la tarea. Esta diferencia de enfoque no es nueva. A partir del siglo XIX. los matemáticos se dividen en "tácticos" que buscan encontrar una solución puramente contundente al problema, y en "estrategas" que son propensos a maniobras de desvío que hacen posible aplastar al enemigo con pequeñas fuerzas.

(4) Un elemento esencial de la "belleza" de un teorema es su simplicidad. Por supuesto, la búsqueda de la simplicidad es inherente a todo pensamiento científico. Pero los experimentadores están dispuestos a aceptar "soluciones feas" si se resuelve el problema. De manera similar, en matemáticas, los clasicistas y los abstraccionistas no están muy preocupados por la aparición de resultados "patológicos". Por otro lado, los modernistas llegan a ver la aparición de "patologías" en una teoría como un síntoma de la imperfección de los conceptos fundamentales.

Enciclopedia Matemática

Enciclopedia Matemática- Publicación enciclopédica soviética en cinco volúmenes dedicados a temas matemáticos. Publicado en -1985 por la editorial "Enciclopedia soviética". Editor en Jefe: Académico I. M. Vinogradov.

Esta es una edición ilustrada fundamental sobre todas las principales ramas de las matemáticas. El libro contiene un extenso material sobre el tema, biografías de matemáticos famosos, dibujos, gráficos, tablas y diagramas.

Volumen total: unas 3000 páginas. Distribución de artículos por volúmenes:

Volumen 1: Ábaco - Principio de Huygens, 576 págs.
Volumen 2: Operador D'Alembert - Juego cooperativo, 552 págs.
Volumen 3: Coordenadas - Monomio, 592 págs.
Volumen 4: El ojo del teorema - Función compleja, 608 págs.
Volumen 5: Variable aleatoria - Celda, 623 págs.
Apéndice al volumen 5: índice de materias, lista de errores tipográficos observados.

Enlaces

Libros y enciclopedias generales y especiales de referencia en matemáticas en el portal World of Mathematical Equations, donde puede descargar la enciclopedia en formato electrónico.

Categorías:

Libros alfabéticamente
Literatura matemática
enciclopedias
Libros de la editorial "Enciclopedia soviética"
Enciclopedia de la URSS

Fundación Wikimedia. 2010 .

química matemática
Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica

Vea lo que es la "Enciclopedia Matemática" en otros diccionarios:

lógica matemática- (lógica teórica, lógica simbólica) una rama de las matemáticas que estudia las pruebas y preguntas de los fundamentos de las matemáticas. "El tema de la lógica matemática moderna es variado". Según la definición de P. S. Poretsky, "matemático ... ... Wikipedia

Enciclopedia- (nueva enciclopedia latina (no anterior al siglo XVI) de otro griego ἐγκύκλιος παιδεία "entrenamiento en un círculo completo", κύκλος círculo y παιδεία entrenamiento / paideia) introducido en el sistema sobre ... Wikipedia

ENCICLOPEDIA- (del griego. enkyklios paideia formación en toda la gama de conocimientos), científico. o científico libro de referencia popular que contiene systematizir. cuerpo de conocimientos. El material en E. está ordenado alfabéticamente o sistemáticamente. principio (por ramas de conocimiento). ... ... Ciencias Naturales. diccionario enciclopédico

LÓGICA MATEMÁTICA- uno de los nombres de la lógica moderna, que vino en el segundo. piso. 19 temprano siglo 20 en lugar de la lógica tradicional. El término lógica simbólica también se usa como otro nombre para la etapa moderna en el desarrollo de la ciencia de la lógica. Definición… … Enciclopedia filosófica

INFINITO MATEMÁTICO- nombre común dic. Realizaciones de la idea de infinito en matemáticas. Aunque entre las acepciones del concepto de M. b. y otros significados, en los que se usa el término infinito, no existe un límite rígido (ya que todos estos conceptos en última instancia reflejan muy ... ... Enciclopedia filosófica

INDUCCIÓN MATEMÁTICA- inducción matemática completa (en matemáticas, a menudo se le llama simplemente inducción completa; en este caso, este concepto debe distinguirse del concepto de inducción completa considerado en lógica formal no matemática), - el método para probar proposiciones generales en ... ... Enciclopedia filosófica

HIPÓTESIS MATEMÁTICA- un supuesto cambio en la forma, tipo, naturaleza de la ecuación que expresa la ley del campo de fenómenos estudiado, con el objetivo de extenderla a un campo nuevo, aún inexplorado, como una ley inherente a él. M. es ampliamente utilizado en moderno. teórico ... ... Enciclopedia filosófica

ESCUELA MATEMÁTICA EN ECONOMÍA POLÍTICA- Inglés. escuela matemática en economía política; Alemán Mathematische Schule in der politischen Okonomie. La dirección en política, economía, que surgió en la segunda mitad del siglo XIX, sus representantes (L. Walras, V. Pareto, O. Jevons, etc.) dieron ... ... Enciclopedia de Sociología

ESCUELA MATEMÁTICA EN SOCIOLOGÍA- Inglés. escuela matemática en sociología; Alemán Mathematische Schule in der Soziologie. La dirección en sociología que surgió en la primera mitad del siglo XX, cuyos fundadores (A. Zipf, E. Dodd y otros) creían que las teorías del sociólogo alcanzan el nivel de ... ... Enciclopedia de Sociología

Modelo matemático de edificios y estructuras.- Modelo matemático (computador) de edificios y estructuras - Representación de edificios y estructuras en forma de diagrama de elementos finitos para cálculos numéricos al resolver un conjunto de problemas que surgen en el diseño, construcción y ... ... Enciclopedia de términos, definiciones y explicaciones de materiales de construcción.

Libros

Enciclopedia matemática (conjunto de 5 libros), . La Enciclopedia Matemática es un libro de referencia conveniente en todas las ramas de las matemáticas. La Enciclopedia se basa en artículos dedicados a las áreas más importantes de las matemáticas. Principio de ubicación...

Enciclopedia matemática: un libro de referencia sobre todas las ramas de las matemáticas. La Enciclopedia se basa en artículos de revisión dedicados a las áreas más importantes de las matemáticas. El requisito principal para artículos de este tipo es la posible exhaustividad de la revisión del estado actual de la teoría con la máxima accesibilidad de la presentación; estos artículos están generalmente disponibles para estudiantes avanzados de matemáticas, estudiantes graduados y especialistas en campos relacionados con las matemáticas y, en ciertos casos, para especialistas en otros campos del conocimiento que utilizan métodos matemáticos en su trabajo, ingenieros y profesores de matemáticas. Además, se proporcionan artículos de tamaño mediano sobre problemas específicos individuales y métodos matemáticos; estos artículos están destinados a un círculo más reducido de lectores, por lo que su presentación puede resultar menos accesible. Finalmente, hay un tipo más de artículos: breves referencias-definiciones. Algunas definiciones se dan dentro de los dos primeros tipos de artículos. La mayoría de los artículos de la Enciclopedia van acompañados de una lista de referencias con números de serie para cada título, lo que permite citar en los textos de los artículos. Al final de los artículos (por regla general) se indica el autor o la fuente si el artículo ya se ha publicado anteriormente (en su mayoría son artículos de la Gran Enciclopedia Soviética). Los nombres de los científicos extranjeros (excepto los antiguos) mencionados en los artículos van acompañados de ortografía latina (si no hay referencia a la lista de referencias).

El principio de ordenación de los artículos de la Enciclopedia es alfabético. Si el título del artículo es un término que tiene un sinónimo, este último se da después del principal. En muchos casos, los títulos de los artículos constan de dos o más palabras. En estos casos, los términos se dan en la forma más común o la palabra principal en significado se coloca en primer lugar. Si el título de un artículo incluye un nombre propio, se coloca primero (en la lista de referencias de dichos artículos, por regla general, hay una fuente primaria que explica el nombre del término). Los títulos de los artículos se dan en su mayoría en singular.

La Enciclopedia utiliza ampliamente un sistema de enlaces a otros artículos, donde el lector encontrará información adicional al tema en cuestión. La definición no se refiere al término que aparece en el título del artículo.

Para ahorrar espacio en los artículos, se adoptan las abreviaturas habituales de algunas palabras para las enciclopedias.

Trabajó en el volumen 1

Consejo Editorial de Matemáticas de la Editorial de la Enciclopedia Sovetskaya - V. I. BITYUTSKOV (Jefe del Consejo Editorial), M. I. VOITSEHOVSKY (Editor Científico), Yu. A. GORBKOV (Editor Científico), A. B. IVANOV (Editor Científico Principal), O A. IVANOVA ( editor científico sénior), T. Yu. L. R. KHABIB (Editor asociado).

Empleados de la editorial: E. P. Ryabova (junta editorial literaria). E. I. ZHAROVA, A. M. MARTYNOV (bibliografía). A. F. DALKOVSKY (transcripción). N. A. FEDOROV (Departamento de Adquisiciones). 3. A. SUKHOVA (Ilustraciones editoriales). E. I. ALEKSEEVA, N. YU KRUZHALOV (diccionario de redacción). M. V. AKIMOVA, A. F. PROSHKO (revisión). G. V. SMIRNOV (edición técnica).

Portada del artista R. I. MALANICHEV.

Información adicional sobre el volumen 1

Editorial "Enciclopedia soviética"

Enciclopedias diccionarios libros de referencia

Científico - consejo editorial de la editorial

A. M. PROKHOROV (Presidente), I. V. ABASHIDZE, P. A. AZIMOV, A. P. ALEKSANDROV, V. A. AMBARTZUMYAN, I. I. ARTOBOLEVSKY, A. V. ARTSIKHOVSKY, M. S. ASIMOV , M. P. Bazhan, Yu. Ya. Barabash, N. V. Baranov, N. N. Bogolyubov Volka Volka, P. U. M. Yusky , V. V. Volsky, B. M. Vul, B. G. Gafurov, S. R. Gershberg, M. S. Gilyarov, V. P. Glushko, V. M. Glushkov, G. N GOLIKOV, D. B. GULIEV, A. A. GUSEV (Vicepresidente), V. P. ELYUTIN, V. S. EMELYANOV, E. M. ZHUKOV, A. A. N. N. NHENETSKY INOZEMTSEV, M I. Kabachnik, S. V. Kalesnik, G. A. Karavaev, K. K. Karakeev, M. K. Karataev, B. M. Kedrov, G. V. Keldysh, V. A. Kirillin e I. L KNUNYANTS, S. M. KOVALEV (primer vicepresidente), F. V. KONSTANTINOV, V. N. KUDRYAVTSEV, M. I. KUZNETSOV (Vicepresidente), B. V. KUKARKIN, V. G. KULIKOV, I. A. Kutuzov, P. P. Lobanov, G. M. Loza, Yu. E. Maksarev, P. A. Markov, A. I. Markushevich, Yu. Yu. Obichkin, B. E. Paton, V. M. Polevo J, M. A. Prokofiev, Yu. V. Prokhorov, N. F. Rostovtsev, A. M. Rumyantsev, B. A. Rybakov, V. P. Samson, M. I. Sladkovsky, V. I. Smirnov, D. N. SOLOVIEV (vicepresidente), V. G. SOLODOVNIKOV, V. N. STOLETOV, B. I. STUKALIN, A. A. SURKOV, M. L. , S. A. TOKAREV, V. A. Trapeznikov, E. K. Fedorov, M. B. Khrapchenko, E. I. Chazov, V. N. Chernigovskii, Ya. E. Shmushkis y S. I. Yutkevich Secretario del Consejo L. V. KIRILLOVA.

Moscú 1977

Enciclopedia matemática. Volumen 1 (A - D)

Redactor jefe I. M. VINOGRADOV

Equipo editorial

S. I. ADYAN, P. S. ALEKSANDROV, N. S. BAKHVALOV, V. I. BITYUTSKOV (editor jefe adjunto), A. V. BITSADZE, L. N. BOLSHEV, A. A. GONCHAR, N. V. Efimov, V. A. Ilyin, A. A. Karatsuba, L. D. Kudryavtsev, B. M. Levitan, K. K. Mardchenko. S. P. Novikov y E. G. Poznyak, Yu. V. PROKHOROV (editor jefe adjunto), A. G. SVESHNIKOV, A. N. TIKHONOV, P. L. ULYANOV, A. I. SHIRSHOV, S. V. YABLONSKY

Enciclopedia Matemática. ed. collegium: I. M. Vinogradov (jefe de redacción) [y otros] T. 1 - M., "Enciclopedia soviética", 1977

(Enciclopedias. Diccionarios. Libros de referencia), vol. 1. A - G. 1977. 1152 stb. de enfermo

Entregado al conjunto el 9. 06. 1976. Firmado para impresión el 18. 02. 1977. Impresión de texto a partir de matrices realizadas en la Primera Imprenta Ejemplar. A. A. Zhdanova. Orden de la Bandera Roja del Trabajo, editorial "Enciclopedia soviética". 109817. Moscú, Zh - 28, Pokrovsky Boulevard, 8. T - 02616 Circulación 150,000 copias. N.º de pedido 418. Papel de impresión n.º 1. Tamaño del papel 84xl08 1/14. Volumen 36 físico p.l. ; 60, 48 conv. p.l. texto. 101, 82 cuentas - ed. yo El precio del libro es de 7 rublos. 10k

Orden de la Bandera Roja del Trabajo Imprenta de Moscú No. 1 "Soyuzpoligrafprom" bajo el Comité Estatal del Consejo de Ministros de la URSS para Publicaciones, Imprenta y Comercio de Libros, Moscú, I - 85, Prospekt Mira, 105. Orden No. 865.