Para resolver problemas con números complejos, debe comprender las definiciones básicas. El objetivo principal de este artículo de revisión es explicar qué son los números complejos y presentar métodos para resolver problemas básicos con números complejos. Por lo tanto, un número complejo es un número de la forma z = a + bi, donde un, b- números reales, que se denominan partes real e imaginaria del número complejo, respectivamente, y denotan a = Re(z), b=Im(z).
I se llama unidad imaginaria. yo 2 \u003d -1. En particular, cualquier número real puede considerarse complejo: a = a + 0i, donde a es real. Si un = 0 Y si ≠ 0, entonces el número se llama puramente imaginario.

Ahora introducimos operaciones con números complejos.
Considere dos números complejos z 1 = un 1 + segundo 1 yo Y z 2 = un 2 + segundo 2 yo.

Considerar z = a + bi.

El conjunto de los números complejos amplía el conjunto de los números reales, que a su vez amplía el conjunto de los números racionales, y así sucesivamente. Esta cadena de incrustaciones se puede ver en la figura: N - números naturales, Z - enteros, Q - racional, R - real, C - complejo.

Representación de números complejos

Notación algebraica.

Considere un número complejo z = a + bi, esta forma de escribir un número complejo se llama algebraico. Ya hemos discutido esta forma de escritura en detalle en la sección anterior. Muy a menudo utiliza el siguiente dibujo ilustrativo.

forma trigonométrica.

En la figura se puede ver que el número z = a + bi puede escribirse de otra manera. Es obvio que a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, Como consecuencia z = rcos(φ) + rsen(φ)i, φ ∈ (-π; π) se llama el argumento de un número complejo. Esta representación de un número complejo se llama forma trigonométrica. La forma trigonométrica de notación a veces es muy conveniente. Por ejemplo, es conveniente usarlo para elevar un número complejo a una potencia entera, es decir, si z = rcos(φ) + rsen(φ)i, luego z norte = r norte cos(nφ) + r norte sin(nφ)i, esta fórmula se llama Fórmula de De Moivre.

Forma demostrativa.

Considerar z = rcos(φ) + rsen(φ)i es un número complejo en forma trigonométrica, lo escribimos en una forma diferente z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, la última igualdad se deriva de la fórmula de Euler, por lo que obtuvimos una nueva forma de escribir un número complejo: z = re iφ, Lo que es llamado demostrativo. Esta forma de notación también es muy conveniente para elevar un número complejo a una potencia: z norte = r norte mi enφ, aquí norte no necesariamente un número entero, pero puede ser un número real arbitrario. Esta forma de escritura se utiliza con bastante frecuencia para resolver problemas.

Teorema fundamental del álgebra superior

Imagina que tenemos una ecuación cuadrática x 2 + x + 1 = 0 . Es obvio que el discriminante de esta ecuación es negativo y no tiene raíces reales, pero resulta que esta ecuación tiene dos raíces complejas diferentes. Entonces, el teorema principal del álgebra superior establece que cualquier polinomio de grado n tiene al menos una raíz compleja. De esto se sigue que cualquier polinomio de grado n tiene exactamente n raíces complejas, teniendo en cuenta su multiplicidad. Este teorema es un resultado muy importante en matemáticas y se aplica ampliamente. Un simple corolario de este teorema es que hay exactamente n raíces distintas de n grados de la unidad.

Principales tipos de tareas.

En esta sección, se considerarán los principales tipos de problemas de números complejos simples. Convencionalmente, los problemas sobre números complejos se pueden dividir en las siguientes categorías.

• Realización de operaciones aritméticas simples con números complejos.
• Encontrar las raíces de polinomios en números complejos.
• Elevación de números complejos a una potencia.
• Extracción de raíces de números complejos.
• Aplicación de los números complejos a la resolución de otros problemas.

Ahora considere los métodos generales para resolver estos problemas.

Las operaciones aritméticas más simples con números complejos se realizan de acuerdo con las reglas descritas en la primera sección, pero si los números complejos se presentan en forma trigonométrica o exponencial, en este caso se pueden convertir a forma algebraica y realizar operaciones de acuerdo con reglas conocidas.

Encontrar las raíces de polinomios generalmente se reduce a encontrar las raíces de una ecuación cuadrática. Supongamos que tenemos una ecuación cuadrática, si su discriminante no es negativo, entonces sus raíces serán reales y se encuentran de acuerdo con una fórmula conocida. Si el discriminante es negativo, entonces D = -1∙a 2, donde a es un cierto número, entonces podemos representar el discriminante en la forma D = (ia) 2, Como consecuencia √D = i|a|, y luego puedes usar la fórmula ya conocida para las raíces de la ecuación cuadrática.

Ejemplo. Volvamos a la ecuación cuadrática mencionada anteriormente x 2 + x + 1 = 0.
Discriminante - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Ahora podemos encontrar fácilmente las raíces:

Elevar números complejos a una potencia se puede hacer de varias maneras. Si desea elevar un número complejo en forma algebraica a una potencia pequeña (2 o 3), puede hacerlo mediante la multiplicación directa, pero si el grado es mayor (en los problemas suele ser mucho mayor), entonces debe escribe este número en forma trigonométrica o exponencial y usa métodos ya conocidos.

Ejemplo. Considere z = 1 + i y elévelo a la décima potencia.
Escribimos z en forma exponencial: z = √2 e iπ/4 .
Luego z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Volvamos a la forma algebraica: z 10 = -32i.

Sacar raíces de números complejos es la operación inversa con respecto a la exponenciación, por lo que se hace de forma similar. Para extraer las raíces, a menudo se usa la forma exponencial de escribir un número.

Ejemplo. Encuentre todas las raíces de grado 3 de la unidad. Para ello buscamos todas las raíces de la ecuación z 3 = 1, buscaremos las raíces en forma exponencial.
Sustituya en la ecuación: r 3 e 3iφ = 1 o r 3 e 3iφ = e 0 .
Por lo tanto: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, por lo tanto φ = 2πk/3.
Se obtienen varias raíces en φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Por lo tanto, 1 , e i2π/3 , e i4π/3 son raíces.
O en forma algebraica:

El último tipo de problemas incluye una gran variedad de problemas y no existen métodos generales para resolverlos. Aquí hay un ejemplo simple de tal tarea:

Encuentra la cantidad sen(x) + sen(2x) + sen(2x) + … + sen(nx).

Aunque la formulación de este problema no se refiere a números complejos, con su ayuda se puede resolver fácilmente. Para resolverlo se utilizan las siguientes representaciones:


Si ahora sustituimos esta representación en la suma, entonces el problema se reduce a la suma de la progresión geométrica usual.

Conclusión

Los números complejos son ampliamente utilizados en matemáticas, este artículo de revisión discutió las operaciones básicas sobre números complejos, describió varios tipos de problemas estándar y describió brevemente los métodos generales para resolverlos, para un estudio más detallado de las posibilidades de los números complejos, se recomienda Utilizar literatura especializada.

Literatura

Números complejos

Imaginario Y números complejos. Abscisa y ordenada

Número complejo. Conjugar números complejos.

Operaciones con números complejos. Geométrico

Representación de números complejos. plano complejo.

Módulo y argumento de un número complejo. trigonométrico

forma de número complejo. operaciones con complejo

números en forma trigonométrica. fórmula Moivre.

Información básica sobre imaginario Y números complejos se dan en la sección "Números imaginarios y complejos". La necesidad de estos números de un nuevo tipo apareció al resolver ecuaciones cuadráticas para el casoD< 0 (здесь Des el discriminante de la ecuación cuadrática). Durante mucho tiempo, estos números no encontraron uso físico, por lo que se les llamó números "imaginarios". Sin embargo, ahora son muy utilizados en varios campos de la física.

y tecnología: ingeniería eléctrica, hidrodinámica y aerodinámica, teoría de la elasticidad, etc.

Números complejos se escriben como:a+bi. Aquí a Y B – numeros reales , pero I – unidad imaginaria. mi. I 2 = –1. Número a llamado abscisa, a b - ordenadaNúmero complejoa + b .Dos números complejosa+bi Y a-bi llamado conjugado números complejos.

Principales acuerdos:

1. número realperotambién se puede escribir en la formaNúmero complejo:un + 0 I o a - 0 I. Por ejemplo, las entradas 5 + 0I y 5 - 0 Isignifica el mismo numero 5 .

2. Número complejo 0 + billamado puramente imaginario número. Grabaciónbisignifica lo mismo que 0 + bi.

3. Dos números complejosa+bi Yc + dise consideran iguales siun = c Y segundo = re. De lo contrario los números complejos no son iguales.

Adición. La suma de números complejosa+bi Y c + dise llama un número complejo (a+c ) + (b+d ) I .De este modo, cuando se agrega números complejos, sus abscisas y ordenadas se suman por separado.

Esta definición sigue las reglas para tratar con polinomios ordinarios.

Sustracción. La diferencia entre dos números complejos.a+bi(reducido) y c + di(sustraído) se llama número complejo (C.A ) + (BD ) I .

De este modo, al restar dos números complejos, sus abscisas y ordenadas se restan por separado.

Multiplicación. El producto de números complejos.a+bi Y c + di se llama un número complejo.

(ac-bd ) + (anuncio+bc ) I .Esta definición se deriva de dos requisitos:

1) números a+bi Y c + didebe multiplicar como algebraico binomios,

2) numero Itiene la propiedad principal:I 2 = – 1.

EJEMPLO ( un + bi )(a-bi) = un 2 +b 2 . Como consecuencia, trabajo

dos numeros complejos conjugados es igual al real

numero positivo.

División. Dividir un número complejoa+bi (divisible) a otroc + di(divisor) - significa encontrar el tercer númeroe + fi(chat), que, cuando se multiplica por un divisorc + di, lo que resulta en el dividendoa + b .

Si el divisor no es cero, la división siempre es posible.

EJEMPLO Buscar (8+I ) : (2 – 3 I) .

Solución Reescribamos esta razón como una fracción:

Multiplicando su numerador y denominador por 2 + 3I

Y Después de realizar todas las transformaciones, obtenemos:

Representación geométrica de números complejos. Los números reales se representan por puntos en la recta numérica:

Aquí está el punto Asignifica número -3, puntoB es el número 2, y O- cero. Por el contrario, los números complejos se representan mediante puntos en el plano de coordenadas. Para ello, elegimos coordenadas rectangulares (cartesianas) con las mismas escalas en ambos ejes. Entonces el número complejoa+bi estará representado por un punto P con abscisa a y ordenada b (ver figura). Este sistema de coordenadas se llama plano complejo .

módulo número complejo se llama la longitud del vectorOP, representando un número complejo en la coordenada ( integrado) plano. Módulo de número complejoa+bi denotado por | a+bi| o carta r

Los números complejos son una extensión mínima del conjunto de números reales que nos son familiares. Su diferencia fundamental es que aparece un elemento que al cuadrado da -1, es decir yo, o .

Cualquier número complejo tiene dos partes: real e imaginario:

Así, es claro que el conjunto de los números reales coincide con el conjunto de los números complejos con parte imaginaria cero.

El modelo más popular para el conjunto de números complejos es el plano ordinario. La primera coordenada de cada punto será su parte real, y la segunda, imaginaria. Luego, el papel de los números complejos en sí serán vectores con el comienzo en el punto (0,0).

Operaciones con números complejos.

De hecho, si tenemos en cuenta el modelo del conjunto de números complejos, es intuitivamente claro que la suma (resta) y la multiplicación de dos números complejos se realizan de la misma forma que las correspondientes operaciones sobre vectores. Además, nos referimos al producto vectorial de vectores, porque el resultado de esta operación es nuevamente un vector.

1.1 Adición.

(Como puede ver, esta operación corresponde exactamente a )

1.2 Resta, del mismo modo, se realiza de acuerdo con la siguiente regla:

2. Multiplicación.

3. División.

Se define simplemente como la operación inversa de la multiplicación.

forma trigonométrica.

El módulo de un número complejo z es la siguiente cantidad:

,

es obvio que esto, de nuevo, es simplemente el módulo (longitud) del vector (a,b).

Muy a menudo, el módulo de un número complejo se denota como ρ.

Resulta que

z = ρ(cosφ+isinφ).

Lo siguiente se sigue directamente de la forma trigonométrica de escribir un número complejo. fórmulas :

La última fórmula se llama fórmula de moivre. La fórmula se deriva directamente de ella. raíz enésima de un número complejo:

por lo tanto, hay n raíces n-ésimas del número complejo z.

Plan de estudios.

1. Momento organizativo.

2. Presentación del material.

3. Tarea.

4. Resumiendo la lección.

durante las clases

I. Momento organizacional.

II. presentación del material.

Motivación.

La ampliación del conjunto de los números reales consiste en que a los números reales se le suman nuevos números (imaginarios). La introducción de estos números está relacionada con la imposibilidad en el conjunto de los números reales de sacar la raíz de un número negativo.

Introducción del concepto de número complejo.

Los números imaginarios con los que complementamos los números reales se escriben como bi, donde I es la unidad imaginaria, y yo 2 = - 1.

En base a esto, obtenemos la siguiente definición de un número complejo.

Definición. Un número complejo es una expresión de la forma a+bi, donde a Y B son números reales. En este caso, se cumplen las siguientes condiciones:

a) Dos números complejos a 1 + b 1 yo Y a 2 + b 2 yo igual si y solo si un 1 = un 2, b1=b2.

b) La suma de números complejos está determinada por la regla:

(un 1 + segundo 1 yo) + (un 2 + segundo 2 yo) = (un 1 + un 2) + (segundo 1 + segundo 2) yo.

c) La multiplicación de números complejos está determinada por la regla:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) yo.

Forma algebraica de un número complejo.

Escribir un número complejo en la forma a+bi se llama la forma algebraica de un número complejo, donde pero- parte real bi es la parte imaginaria y B es un número real.

Número complejo a+bi se considera igual a cero si sus partes real e imaginaria son iguales a cero: a=b=0

Número complejo a+bi en segundo = 0 considerado como un número real a: un + 0i = un.

Número complejo a+bi en un = 0 se llama puramente imaginario y se denota bi: 0 + bi = bi.

Dos números complejos z = a + bi Y = un - bi, que difieren únicamente en el signo de la parte imaginaria, se llaman conjugados.

Acciones sobre números complejos en forma algebraica.

Las siguientes operaciones se pueden realizar con números complejos en forma algebraica.

1) Adición.

Definición. La suma de números complejos z 1 = un 1 + segundo 1 yo Y z 2 = un 2 + segundo 2 yo llamado número complejo z, cuya parte real es igual a la suma de las partes reales z1 Y z2, y la parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias de los números z1 Y z2, es decir z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) yo.

Números z1 Y z2 se llaman términos.

La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:

1º. Conmutatividad: z1 + z2 = z2 + z1.

2º. Asociatividad: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Número complejo -a-bi se llama el opuesto de un numero complejo z = a + bi. Número complejo opuesto de número complejo z, denotado -z. Suma de números complejos z Y -z es igual a cero: z + (-z) = 0

Ejemplo 1: Añadir (3 - i) + (-1 + 2i).

(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Resta.

Definición. Restar de un número complejo z1 Número complejo z2 z, qué z + z 2 = z 1.

Teorema. La diferencia de los números complejos existe y, además, es única.

Ejemplo 2: Restar (4 - 2i) - (-3 + 2i).

(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.

3) Multiplicación.

Definición. El producto de números complejos. z 1 =a 1 +b 1 yo Y z 2 \u003d a 2 + b 2 yo llamado número complejo z, definida por la igualdad: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Números z1 Y z2 se llaman factores.

La multiplicación de números complejos tiene las siguientes propiedades:

1º. Conmutatividad: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Asociatividad: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Distributividad de la multiplicación con respecto a la suma:

(z 1 + z 2) z 3 \u003d z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z \u003d (a + bi) (a - bi) \u003d a 2 + b 2 es un número real.

En la práctica, la multiplicación de números complejos se realiza según la regla de multiplicar la suma por la suma y separar las partes real e imaginaria.

En el siguiente ejemplo, considere la multiplicación de números complejos de dos maneras: por la regla y multiplicando la suma por la suma.

Ejemplo 3: Multiplicar (2 + 3i) (5 – 7i).

1 manera (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )yo = 31 + yo.

2 vías. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) División.

Definición. Dividir un número complejo z1 a un número complejo z2, significa encontrar un número tan complejo z, qué z z 2 = z 1.

Teorema. El cociente de números complejos existe y es único si z2 ≠ 0 + 0i.

En la práctica, el cociente de los números complejos se encuentra multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

Permitir z 1 = un 1 + segundo 1 yo, z 2 = un 2 + segundo 2 yo, luego

.

En el siguiente ejemplo, realizamos la división por la fórmula y la regla de la multiplicación por el conjugado del denominador.

Ejemplo 4. Encuentra un cociente .

5) Elevando a una potencia entera positiva.

a) Potencias de la unidad imaginaria.

Aprovechando la igualdad yo 2 \u003d -1, es fácil definir cualquier potencia entera positiva de la unidad imaginaria. Tenemos:

yo 3 \u003d yo 2 yo \u003d -i,

yo 4 \u003d yo 2 yo 2 \u003d 1,

yo 5 \u003d yo 4 yo \u003d yo,

yo 6 \u003d yo 4 yo 2 \u003d -1,

yo 7 \u003d yo 5 yo 2 \u003d -i,

yo 8 = yo 6 yo 2 = 1 etc

Esto demuestra que los valores de grado en, donde norte- un número entero positivo, repetido periódicamente cuando el indicador aumenta en 4 .

Por lo tanto, para aumentar el número I a una potencia entera positiva, divida el exponente por 4 y erecto I a la potencia cuyo exponente es el resto de la división.

Ejemplo 5 Calcular: (yo 36 + yo 17) yo 23.

yo 36 = (yo 4) 9 = 1 9 = 1,

yo 17 = yo 4 × 4+1 = (yo 4) 4 × yo = 1 yo = yo.

yo 23 = yo 4 × 5+3 = (yo 4) 5 × yo 3 = 1 yo 3 = - yo.

(i 36 + i 17) i 23 \u003d (1 + i) (- i) \u003d - i + 1 \u003d 1 - i.

b) La elevación de un número complejo a una potencia entera positiva se realiza según la regla de elevación de un binomio a la potencia correspondiente, ya que se trata de un caso especial de multiplicación de factores complejos idénticos.

Ejemplo 6 Calcular: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.