Cele mai simple identități trigonometrice
Coeficientul împărțirii sinusului unghiului alfa la cosinusul aceluiași unghi este egal cu tangentei acestui unghi (Formula 1). Vezi și dovada corectitudinii transformării celor mai simple identități trigonometrice.
Coeficientul de împărțire a cosinusului unghiului alfa la sinusul aceluiași unghi este egal cu cotangentei aceluiași unghi (Formula 2)
Secanta unui unghi este egală cu una împărțită la cosinusul aceluiași unghi (Formula 3)
Suma pătratelor sinusului și cosinusului aceluiași unghi este egală cu unu (Formula 4). vezi și demonstrația sumei pătratelor cosinusului și sinusului.
Suma unității și tangentei unghiului este egală cu raportul unității la pătratul cosinusului acestui unghi (Formula 5)
Unitatea plus cotangenta unghiului este egal cu câtul împărțirii unității la pătratul sinus al acestui unghi (Formula 6)
Produsul tangentei și cotangentei aceluiași unghi este egal cu unu (Formula 7).
Conversia unghiurilor negative ale funcțiilor trigonometrice (pare și impare)
Pentru a scăpa de valoarea negativă a gradului de măsură a unghiului la calcularea sinusului, cosinusului sau tangentei, puteți utiliza următoarele transformări trigonometrice (identități) bazate pe principiile funcțiilor trigonometrice pare sau impare.
Așa cum se vede, cosinus iar secanta este chiar funcția, sinus, tangentă și cotangentă sunt funcții impare.
Sinusul unui unghi negativ este egal cu valoarea negativă a sinusului aceluiași unghi pozitiv (minus sinusul alfa).
Cosinusul „minus alfa” va da aceeași valoare ca și cosinusul unghiului alfa.
Tangenta minus alfa este egală cu minus tangenta alfa.
Formule de reducere a unghiului dublu (sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unui unghi dublu)
Dacă trebuie să împărțiți unghiul la jumătate sau invers, treceți de la un unghi dublu la unul singur, puteți utiliza următoarele identități trigonometrice:
Conversie cu unghi dublu (unghi dublu sinus, unghi dublu cosinus și unghi dublu tangente) într-unul singur are loc după următoarele reguli:
Sinusul unui unghi dublu este egal cu dublul produsului dintre sinus și cosinus al unui singur unghi
Cosinusul unui unghi dublu este egală cu diferența dintre pătratul cosinusului unui singur unghi și pătratul sinusului acestui unghi
Cosinusul unui unghi dublu egal cu dublul pătratului cosinusului unui singur unghi minus unu
Cosinusul unui unghi dublu este egal cu unu minus pătratul dublu sinus al unui singur unghi
Tangenta cu unghi dublu este egal cu o fracție al cărei numărător este de două ori tangenta unui singur unghi și al cărei numitor este egal cu unu minus tangentei pătratului unui singur unghi.
Cotangentă cu unghi dublu este egal cu o fracție al cărei numărător este pătratul cotangentei unui singur unghi minus unu, iar numitorul este egal cu dublul cotangentei unui singur unghi
Formule universale de substituție trigonometrică
Formulele de conversie de mai jos pot fi utile atunci când trebuie să împărțiți argumentul funcției trigonometrice (sin α, cos α, tg α) la două și să aduceți expresia la valoarea jumătate a unghiului. Din valoarea lui α obținem α/2 .Aceste formule sunt numite formule ale substituției trigonometrice universale. Valoarea lor constă în faptul că expresia trigonometrică cu ajutorul lor se reduce la expresia tangentei unei jumătăți de unghi, indiferent de ce funcții trigonometrice (sin cos tg ctg) au fost inițial în expresie. După aceea, ecuația cu tangenta unei jumătăți de unghi este mult mai ușor de rezolvat.
Identități trigonometrice de transformare semiunghi
Următoarele sunt formulele pentru conversia trigonometrică a jumătate din valoarea unui unghi în valoarea sa întreagă.Valoarea argumentului funcției trigonometrice α/2 se reduce la valoarea argumentului funcției trigonometrice α.
Formule trigonometrice pentru adăugarea unghiurilor
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Tangenta și cotangenta sumei unghiurilor alfa și beta pot fi convertite conform următoarelor reguli pentru conversia funcțiilor trigonometrice:
Tangenta sumei unghiurilor este egal cu o fracție, al cărei numărător este suma tangentei primului unghi și tangentei celui de-al doilea unghi, iar numitorul este unu minus produsul tangentei primului unghi și tangentei celui de-al doilea unghi.
Diferența de unghi tangentă este egal cu o fracție, al cărei numărător este egal cu diferența dintre tangentei unghiului redus și tangentei unghiului de scăzut, iar numitorul este unu plus produsul tangentelor acestor unghiuri.
Cotangenta sumei unghiurilor este egal cu o fracție al cărei numărător este egal cu produsul cotangentelor acestor unghiuri plus unu, iar numitorul este egal cu diferența dintre cotangentei celui de-al doilea unghi și cotangentei primului unghi.
Cotangente a diferenței de unghi este egal cu o fracție al cărei numărător este produsul cotangentelor acestor unghiuri minus unu, iar numitorul este egal cu suma cotangentelor acestor unghiuri.
Aceste identități trigonometrice sunt convenabile de utilizat atunci când trebuie să calculați, de exemplu, tangenta de 105 grade (tg 105). Dacă este reprezentat ca tg (45 + 60), atunci puteți utiliza transformările identice date ale tangentei sumei unghiurilor, după care pur și simplu înlocuiți valorile tabulare ale tangentei lui 45 și tangentei. de 60 de grade.
Formule pentru conversia sumei sau diferențelor funcțiilor trigonometrice
Expresiile reprezentând suma formei sin α + sin β pot fi convertite folosind următoarele formule:
Formule cu unghi triplu - convertiți sin3α cos3α tg3α în sinα cosα tgα
Uneori este necesar să convertiți valoarea triplă a unghiului astfel încât unghiul α să devină argumentul funcției trigonometrice în loc de 3α.În acest caz, puteți folosi formulele (identitățile) pentru transformarea unghiului triplu:
Formule pentru transformarea produsului funcțiilor trigonometrice
Dacă devine necesar să convertiți produsul sinusurilor diferitelor unghiuri ale cosinusurilor diferitelor unghiuri sau chiar produsul dintre sinus și cosinus, atunci puteți utiliza următoarele identități trigonometrice:
În acest caz, produsul funcțiilor sinus, cosinus sau tangentă ale diferitelor unghiuri va fi convertit într-o sumă sau diferență.
Formule de reducere a funcţiilor trigonometrice
Trebuie să utilizați tabelul de distribuție după cum urmează. În linie, selectați funcția care ne interesează. Coloana este un unghi. De exemplu, sinusul unghiului (α+90) la intersecția primului rând și a primei coloane, aflăm că sin (α+90) = cos α .
Mai simplu spus, acestea sunt legume fierte în apă după o rețetă specială. Voi lua în considerare două componente inițiale (salata de legume și apă) și rezultatul final - borș. Geometric, acesta poate fi reprezentat ca un dreptunghi în care o parte desemnează salată verde, cealaltă parte desemnează apă. Suma acestor două laturi va desemna borș. Diagonala și aria unui astfel de dreptunghi „borș” sunt concepte pur matematice și nu sunt niciodată folosite în rețetele de borș.
Cum se transformă salata verde și apa în borș în ceea ce privește matematica? Cum se poate transforma suma a două segmente în trigonometrie? Pentru a înțelege acest lucru, avem nevoie de funcții unghiulare liniare.
Nu veți găsi nimic despre funcțiile unghiulare liniare în manualele de matematică. Dar fără ele nu poate exista matematică. Legile matematicii, ca și legile naturii, funcționează indiferent dacă știm că există sau nu.
Funcțiile unghiulare liniare sunt legile adunării. Vedeți cum algebra se transformă în geometrie și geometria se transformă în trigonometrie.
Este posibil să faci fără funcții unghiulare liniare? Poți, pentru că matematicienii încă se descurcă fără ele. Smecheria matematicienilor constă în faptul că ei ne vorbesc întotdeauna doar despre acele probleme pe care ei înșiși le pot rezolva, și niciodată nu ne vorbesc despre acele probleme pe care nu le pot rezolva. Vedea. Dacă știm rezultatul adunării și al unui termen, folosim scăderea pentru a găsi celălalt termen. Tot. Nu cunoaștem alte probleme și nu suntem capabili să le rezolvăm. Ce să facem dacă știm doar rezultatul adunării și nu știm ambii termeni? În acest caz, rezultatul adunării trebuie descompus în doi termeni folosind funcții unghiulare liniare. În plus, noi înșine alegem ce poate fi un termen, iar funcțiile unghiulare liniare arată care ar trebui să fie al doilea termen pentru ca rezultatul adunării să fie exact ceea ce avem nevoie. Pot exista un număr infinit de astfel de perechi de termeni. În viața de zi cu zi, ne descurcăm foarte bine fără a descompune suma; scăderea ne este suficientă. Dar în studiile științifice ale legilor naturii, extinderea sumei în termeni poate fi foarte utilă.
O altă lege a adunării despre care matematicienii nu le place să vorbească (un alt truc al lor) cere ca termenii să aibă aceeași unitate de măsură. Pentru salată verde, apă și borș, acestea pot fi unități de greutate, volum, cost sau unitate de măsură.
Figura arată două niveluri de diferență pentru matematică. Primul nivel este diferențele din domeniul numerelor, care sunt indicate A, b, c. Asta fac matematicienii. Al doilea nivel este diferențele în zona unităților de măsură, care sunt afișate între paranteze drepte și sunt indicate prin litera U. Asta fac fizicienii. Putem înțelege al treilea nivel - diferențele în domeniul de aplicare al obiectelor descrise. Obiecte diferite pot avea același număr de aceleași unități de măsură. Cât de important este acest lucru, putem vedea din exemplul trigonometriei borș. Dacă adăugăm indicele la aceeași notație pentru unitățile de măsură ale diferitelor obiecte, putem spune exact ce mărime matematică descrie un anumit obiect și cum se modifică acesta în timp sau în legătură cu acțiunile noastre. scrisoare W Voi marca apa cu litera S Voi marca salata cu litera B- Borș. Iată cum ar arăta funcțiile unghiului liniar pentru borș.
Dacă luăm o parte din apă și o parte din salată, împreună se vor transforma într-o porție de borș. Aici iti propun sa faci o mica pauza de la bors si sa iti amintesti de copilaria ta indepartata. Îți amintești cum am fost învățați să punem iepurași și rațe împreună? A fost necesar să se afle câte animale vor ieși. Atunci ce am fost învățați să facem? Am fost învățați să separăm unitățile de numere și să adunăm numere. Da, orice număr poate fi adăugat oricărui alt număr. Aceasta este o cale directă către autismul matematicii moderne - nu înțelegem ce, nu este clar de ce și înțelegem foarte prost cum se leagă asta cu realitatea, din cauza celor trei niveluri de diferență, matematicienii operează doar pe unul. Va fi mai corect să înveți cum să treci de la o unitate de măsură la alta.
Și iepurașii, rațele și animalele mici pot fi numărate în bucăți. O unitate de măsură comună pentru diferite obiecte ne permite să le adunăm. Aceasta este o versiune a problemei pentru copii. Să ne uităm la o problemă similară pentru adulți. Ce primești când adaugi iepurași și bani? Există două soluții posibile aici.
Prima varianta. Determinăm valoarea de piață a iepurașilor și o adăugăm la numerarul disponibil. Am obținut valoarea totală a averii noastre în termeni de bani.
A doua varianta. Puteți adăuga numărul de iepurași la numărul de bancnote pe care le avem. Vom obține cantitatea de bunuri mobile în bucăți.
După cum puteți vedea, aceeași lege de adunare vă permite să obțineți rezultate diferite. Totul depinde de exact ce vrem să știm.
Dar să revenim la borșul nostru. Acum putem vedea ce se va întâmpla cu diferite valori ale unghiului funcțiilor unghiului liniar.
Unghiul este zero. Avem salată, dar fără apă. Nu putem găti borș. Cantitatea de borș este, de asemenea, zero. Asta nu înseamnă deloc că zero borș este egal cu zero apă. Borșul zero poate fi și la zero salată (unghi drept).
Pentru mine personal, aceasta este principala dovadă matematică a faptului că . Zero nu schimbă numărul atunci când este adăugat. Acest lucru se datorează faptului că adăugarea în sine este imposibilă dacă există un singur termen și lipsește al doilea termen. Vă puteți raporta la asta după cum doriți, dar amintiți-vă - toate operațiile matematice cu zero au fost inventate de matematicieni înșiși, așa că renunțați la logica și înghesuiți prostește definițiile inventate de matematicieni: „împărțirea cu zero este imposibilă”, „orice număr înmulțit cu zero”. este egal cu zero”, „în spatele punctului zero” și alte prostii. Este suficient să vă amintiți o dată că zero nu este un număr și nu veți avea niciodată o întrebare dacă zero este un număr natural sau nu, deoarece o astfel de întrebare pierde în general orice semnificație: cum se poate considera un număr ceea ce nu este un număr . Este ca și cum ai întreba ce culoare să-i atribui o culoare invizibilă. A adăuga zero la un număr este ca și cum ai picta cu vopsea care nu există. Au fluturat o pensulă uscată și spun tuturor că „am pictat”. Dar mă abatem puțin.
Unghiul este mai mare decât zero, dar mai mic de patruzeci și cinci de grade. Avem multă salată verde, dar puțină apă. Drept urmare, obținem un borș gros.
Unghiul este de patruzeci și cinci de grade. Avem cantități egale de apă și salată verde. Acesta este borșul perfect (fie ca bucătarii să mă ierte, e doar matematică).
Unghiul este mai mare de patruzeci și cinci de grade, dar mai mic de nouăzeci de grade. Avem multă apă și puțină salată verde. Luați borș lichid.
Unghi drept. Avem apă. Au rămas doar amintiri despre salată, în timp ce continuăm să măsurăm unghiul de la linia care a marcat cândva salata. Nu putem găti borș. Cantitatea de borș este zero. În acest caz, ține-te și bea apă cât este disponibilă)))
Aici. Ceva de genul. Pot spune și alte povești aici care vor fi mai mult decât potrivite aici.
Cei doi prieteni aveau cotele lor în afacerea comună. După uciderea unuia dintre ei, totul a mers către celălalt.
Apariția matematicii pe planeta noastră.
Toate aceste povești sunt spuse în limbajul matematicii folosind funcții unghiulare liniare. Altă dată vă voi arăta locul real al acestor funcții în structura matematicii. Între timp, să revenim la trigonometria borșului și să luăm în considerare proiecțiile.
Sâmbătă, 26 octombrie 2019
Am vizionat un videoclip interesant despre rândul lui Grandi Un minus unu plus unu minus unu - Numberphile. Matematicienii mint. Ei nu au efectuat un test de egalitate în raționamentul lor.
Acest lucru rezonează cu raționamentul meu despre .
Să aruncăm o privire mai atentă la semnele că matematicienii ne înșală. Chiar la începutul raționamentului, matematicienii spun că suma șirului DEPINE dacă numărul de elemente din ea este par sau nu. Acesta este un FAPT STABILIT OBIECTIV. Ce se întâmplă mai departe?
În continuare, matematicienii scad șirul din unitate. La ce duce asta? Acest lucru duce la o modificare a numărului de elemente din succesiune - un număr par se schimbă într-un număr impar, un număr impar se schimbă într-un număr par. La urma urmei, am adăugat un element egal cu unul la secvență. În ciuda tuturor asemănărilor externe, succesiunea de dinaintea transformării nu este egală cu succesiunea de după transformare. Chiar dacă vorbim de o succesiune infinită, trebuie să ne amintim că o succesiune infinită cu un număr impar de elemente nu este egală cu o succesiune infinită cu un număr par de elemente.
Punând un semn egal între două secvențe diferite ca număr de elemente, matematicienii susțin că suma șirului NU DEPINE de numărul de elemente din șir, ceea ce contrazice un FAPT STABILIT OBIECTIV. Raționamentul suplimentar despre suma unei secvențe infinite este fals, deoarece se bazează pe o egalitate falsă.
Dacă vezi că matematicienii pun paranteze în cursul demonstrațiilor, rearanjează elementele unei expresii matematice, adaugă sau înlătură ceva, fii foarte atent, cel mai probabil încearcă să te înșele. Asemenea conjurătorilor de cărți, matematicienii vă distrag atenția cu diverse manipulări ale expresiei pentru a vă oferi în cele din urmă un rezultat fals. Dacă nu poți repeta șmecheria cărților fără să cunoști secretul înșelăciunii, atunci în matematică totul este mult mai simplu: nici măcar nu bănuiești nimic despre înșelăciune, dar repetarea tuturor manipulărilor cu o expresie matematică îți permite să-i convingi pe alții de corectitudinea rezultatului, la fel ca atunci când v-am convins.
Întrebare din partea publicului: Și infinitul (ca număr de elemente din secvența S), este par sau impar? Cum poți schimba paritatea a ceva care nu are paritate?
Infinitul pentru matematicieni este ca Împărăția Cerurilor pentru preoți - nimeni nu a fost vreodată acolo, dar toată lumea știe exact cum funcționează totul acolo))) Sunt de acord, după moarte vei fi absolut indiferent dacă ai trăit un număr par sau impar de zile , dar ... Adăugând doar o zi la începutul vieții tale, vom obține o persoană complet diferită: numele lui de familie, prenumele și patronimul sunt exact aceleași, doar data nașterii este complet diferită - s-a născut unul cu o zi înaintea ta.
Și acum la obiect))) Să presupunem că o secvență finită care are paritate pierde această paritate atunci când merge la infinit. Atunci orice segment finit al unei secvențe infinite trebuie să-și piardă și paritatea. Noi nu observăm acest lucru. Faptul că nu putem spune cu certitudine dacă numărul de elemente dintr-o succesiune infinită este par sau impar, nu înseamnă deloc că paritatea a dispărut. Paritatea, dacă există, nu poate dispărea în infinit fără urmă, ca în mâneca unei cărți ascuțite. Există o analogie foarte bună pentru acest caz.
Ai întrebat vreodată un cuc care stă într-un ceas în ce direcție se rotește acul ceasului? Pentru ea, săgeata se rotește în direcția opusă a ceea ce numim „în sensul acelor de ceasornic”. Poate suna paradoxal, dar direcția de rotație depinde numai de partea din care observăm rotația. Și așa, avem o roată care se rotește. Nu putem spune în ce direcție are loc rotația, deoarece o putem observa atât dintr-o parte a planului de rotație, cât și din cealaltă. Nu putem decât să depunem mărturie despre faptul că există rotație. Analogie completă cu paritatea unei secvențe infinite S.
Acum să adăugăm o a doua roată rotativă, al cărei plan de rotație este paralel cu planul de rotație al primei roți rotative. Încă nu putem spune exact în ce direcție se învârt aceste roți, dar putem spune cu o certitudine absolută dacă ambele roți se învârt în aceeași direcție sau în direcții opuse. Compararea a două secvențe infinite Sși 1-S, am arătat cu ajutorul matematicii că aceste secvențe au paritate diferită și punerea unui semn egal între ele este o greșeală. Personal, cred în matematică, nu am încredere în matematicieni))) Apropo, pentru a înțelege pe deplin geometria transformărilor unor secvențe infinite, este necesar să introducem conceptul "simultaneitate". Acesta va trebui desenat.
miercuri, 7 august 2019
Încheind conversația despre , trebuie să luăm în considerare un set infinit. A dat prin faptul că conceptul de „infinit” acționează asupra matematicienilor, ca un boa constrictor asupra unui iepure. Oroarea tremurătoare a infinitului îi privează pe matematicieni de bunul simț. Iată un exemplu:
Se află sursa originală. Alfa denotă un număr real. Semnul egal din expresiile de mai sus indică faptul că dacă adăugați un număr sau infinit la infinit, nimic nu se va schimba, rezultatul va fi același infinit. Dacă luăm ca exemplu un set infinit de numere naturale, atunci exemplele luate în considerare pot fi reprezentate după cum urmează:
Pentru a-și demonstra vizual cazul, matematicienii au venit cu multe metode diferite. Personal, privesc toate aceste metode ca pe dansurile șamanilor cu tamburine. În esență, toate se rezumă la faptul că fie unele camere nu sunt ocupate și în ele sunt instalați noi oaspeți, fie că unii dintre vizitatori sunt aruncați pe coridor pentru a face loc oaspeților (foarte uman). Mi-am prezentat punctul de vedere asupra unor astfel de decizii sub forma unei povești fantastice despre Blonda. Pe ce se bazează raționamentul meu? Mutarea unui număr infinit de vizitatori necesită o perioadă infinită de timp. După ce am eliberat prima cameră de oaspeți, unul dintre vizitatori va merge mereu de-a lungul coridorului din camera lui în următoarea până la sfârșitul timpului. Desigur, factorul timp poate fi ignorat prost, dar acesta va fi deja din categoria „legea nu este scrisă pentru proști”. Totul depinde de ceea ce facem: adaptăm realitatea la teoriile matematice sau invers.
Ce este un „hotel infinit”? Un han infinit este un han care are întotdeauna orice număr de locuri libere, indiferent de câte camere sunt ocupate. Dacă toate camerele din holul nesfârșit „pentru vizitatori” sunt ocupate, mai există un hol nesfârșit cu camere pentru „oaspeți”. Vor exista un număr infinit de astfel de coridoare. În același timp, „hotelul infinit” are un număr infinit de etaje într-un număr infinit de clădiri pe un număr infinit de planete într-un număr infinit de universuri create de un număr infinit de Zei. Matematicienii, pe de altă parte, nu sunt capabili să se îndepărteze de problemele banale de zi cu zi: Dumnezeu-Allah-Buddha este întotdeauna unul singur, hotelul este unul, coridorul este doar unul. Așadar, matematicienii încearcă să jongleze cu numerele de serie ale camerelor de hotel, convingându-ne că este posibil să „împingem cei neîmpinși”.
Vă voi demonstra logica raționamentului meu folosind exemplul unui set infinit de numere naturale. Mai întâi trebuie să răspundeți la o întrebare foarte simplă: câte seturi de numere naturale există - unul sau mai multe? Nu există un răspuns corect la această întrebare, deoarece noi înșine am inventat numerele, nu există numere în Natură. Da, Natura știe să numere perfect, dar pentru asta folosește alte instrumente matematice care nu ne sunt familiare. După cum crede Natura, vă voi spune altă dată. Din moment ce am inventat numerele, noi înșine vom decide câte seturi de numere naturale există. Luați în considerare ambele opțiuni, așa cum se cuvine unui adevărat om de știință.
Opțiunea unu. „Să ni se dea” un singur set de numere naturale, care se află senin pe un raft. Luăm acest set de pe raft. Gata, nu au mai rămas alte numere naturale pe raft și nu există de unde să le duci. Nu putem adăuga unul la acest set, deoarece îl avem deja. Dacă vrei cu adevărat? Nici o problema. Putem lua o unitate din setul pe care l-am luat deja și o putem întoarce la raft. După aceea, putem lua o unitate de pe raft și o putem adăuga la ce ne-a mai rămas. Ca rezultat, obținem din nou un set infinit de numere naturale. Puteți scrie toate manipulările noastre astfel:
Am scris operațiile în notație algebrică și notație în teoria mulțimilor, enumerând elementele mulțimii în detaliu. Indicele indică faptul că avem unul și singurul set de numere naturale. Se dovedește că mulțimea numerelor naturale va rămâne neschimbată doar dacă din el se scade unul și se adaugă același.
Varianta a doua. Avem multe seturi infinite diferite de numere naturale pe raft. Subliniez – DIFERITE, în ciuda faptului că practic nu se pot distinge. Luăm unul dintre aceste seturi. Apoi luăm unul dintr-un alt set de numere naturale și îl adăugăm la setul pe care l-am luat deja. Putem adăuga chiar două seturi de numere naturale. Iată ce primim:
Indicele „unu” și „doi” indică faptul că aceste elemente aparțineau unor seturi diferite. Da, dacă adăugați unul la un set infinit, rezultatul va fi și un set infinit, dar nu va fi același cu setul original. Dacă o mulțime infinită este adăugată la o altă mulțime infinită, rezultatul este o nouă mulțime infinită constând din elementele primelor două mulțimi.
Setul de numere naturale este folosit pentru numărare în același mod ca o riglă pentru măsurători. Acum imaginați-vă că ați adăugat un centimetru la riglă. Aceasta va fi deja o linie diferită, nu egală cu originalul.
Puteți să acceptați sau să nu acceptați raționamentul meu - aceasta este treaba voastră. Dar dacă te confrunți vreodată cu probleme de matematică, gândește-te dacă te afli pe calea raționamentului fals, călcat de generații de matematicieni. La urma urmei, orele de matematică, în primul rând, formează în noi un stereotip stabil de gândire și abia apoi ne adaugă abilități mentale (sau invers, ne privează de gândirea liberă).
pozg.ru
Duminică, 4 august 2019
Scriam un postscript la un articol despre și am văzut acest text minunat pe Wikipedia:
Citim: „... baza teoretică bogată a matematicii Babilonului nu avea un caracter holistic și s-a redus la un set de tehnici disparate, lipsite de un sistem comun și de o bază de dovezi”.
Wow! Cât de deștepți suntem și cât de bine putem vedea neajunsurile celorlalți. Este slab pentru noi să privim matematica modernă în același context? Parafrazând ușor textul de mai sus, personal am obținut următoarele:
Baza teoretică bogată a matematicii moderne nu are un caracter holistic și se reduce la un set de secțiuni disparate, lipsite de un sistem comun și bază de dovezi.
Nu voi merge departe pentru a-mi confirma cuvintele - are un limbaj și convenții care sunt diferite de limbajul și convențiile multor alte ramuri ale matematicii. Aceleași nume în diferite ramuri ale matematicii pot avea semnificații diferite. Vreau să dedic un întreg ciclu de publicații celor mai evidente gafe ale matematicii moderne. Ne vedem în curând.
Sâmbătă, 3 august 2019
Cum se împarte un set în subseturi? Pentru a face acest lucru, trebuie să introduceți o nouă unitate de măsură, care este prezentă în unele dintre elementele setului selectat. Luați în considerare un exemplu.
Să avem multe A format din patru persoane. Acest set este format pe baza de „oameni” Să desemnăm elementele acestui set prin scrisoare A, indicele cu un număr va indica numărul ordinal al fiecărei persoane din acest set. Să introducem o nouă unitate de măsură „caracteristica sexuală” și să o notăm cu literă b. Deoarece caracteristicile sexuale sunt inerente tuturor oamenilor, înmulțim fiecare element al setului A pe gen b. Observați că setul nostru „oameni” a devenit acum setul „oameni cu gen”. După aceea, putem împărți caracteristicile sexuale în masculin bm si de femei bw caracteristicile de gen. Acum putem aplica un filtru matematic: selectăm una dintre aceste caracteristici sexuale, indiferent care este bărbat sau femeie. Dacă este prezent la o persoană, atunci îl înmulțim cu unul, dacă nu există un astfel de semn, îl înmulțim cu zero. Și apoi aplicăm matematica obișnuită a școlii. Vezi ce sa întâmplat.
După înmulțiri, reduceri și rearanjamente, am obținut două submulțimi: submulțimea masculină bmși un subgrup de femei bw. Aproximativ în același mod în care matematicienii raționează atunci când aplică teoria mulțimilor în practică. Dar ei nu ne lasă să intrăm în detalii, ci ne oferă rezultatul final - „mulți oameni sunt formați dintr-un subset de bărbați și un subset de femei”. Desigur, este posibil să aveți o întrebare, cât de corect aplicați matematica în transformările de mai sus? Îndrăznesc să vă asigur că de fapt transformările sunt făcute corect, este suficient să cunoașteți justificarea matematică a aritmeticii, algebrei booleene și a altor secțiuni ale matematicii. Ce este? Altă dată vă voi povesti despre asta.
În ceea ce privește superseturile, este posibil să combinați două mulțimi într-un singur superset, alegând o unitate de măsură care este prezentă în elementele acestor două mulțimi.
După cum puteți vedea, unitățile de măsură și matematica obișnuită fac ca teoria mulțimilor să devină un lucru din trecut. Un semn că totul nu este în regulă cu teoria mulțimilor este că matematicienii au venit cu propriul lor limbaj și notație pentru teoria mulțimilor. Matematicienii au făcut ceea ce şamanii au făcut cândva. Doar șamanii știu să-și aplice „corect” „cunoștințele”. Această „cunoaștere” ne-o învață.
În concluzie, vreau să vă arăt cum manipulează matematicienii
Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul în care Ahile parcurge această distanță, țestoasa se târăște o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile a alergat o sută de pași, țestoasa se va târa încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la nesfârșit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu broasca țestoasă.
Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Gilbert... Toți, într-un fel sau altul, au considerat aporii lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ... discuțiile continuă în prezent, comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună cu privire la esența paradoxurilor... în studiul problemei au fost implicate analiza matematică, teoria mulțimilor, noi abordări fizice și filozofice. ; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție universal acceptată la problemă...„[Wikipedia,” Aporii lui Zeno „]. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege ce este înșelăciunea.
Din punctul de vedere al matematicii, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la valoare la. Această tranziție implică aplicarea în loc de constante. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru aplicarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zenon. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, prin inerția gândirii, aplicăm reciprocului unități constante de timp. Din punct de vedere fizic, aceasta pare o încetinire a timpului până când se oprește complet în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.
Dacă întoarcem logica cu care suntem obișnuiți, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al traseului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel precedent. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va depăși infinit rapid broasca țestoasă”.
Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la valori reciproce. În limbajul lui Zeno, arată astfel:
În timpul necesar lui Ahile pentru a alerga o mie de pași, țestoasa se târăște o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp, egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea țestoasei.
Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar aceasta nu este o soluție completă la problemă. Afirmația lui Einstein despre insurmontabilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Încă trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.
O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:
O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.
În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp săgeata zburătoare este în repaus în diferite puncte din spațiu, ceea ce, de fapt, este mișcare. Mai este un punct de remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini pe șosea, este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, nici distanța până la ea. Pentru a determina deplasarea mașinii, sunt necesare două fotografii realizate din același punct în momente diferite de timp, dar nu pot fi folosite pentru a determina distanța. Pentru a determina distanța până la mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din diferite puncte din spațiu în același timp, dar nu puteți determina faptul deplasării din ele (în mod firesc, aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta). Ceea ce vreau să subliniez în special este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt două lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite de explorare.
Voi arăta procesul cu un exemplu. Selectăm „solid roșu într-un coș” - acesta este „întregul nostru”. În același timp, vedem că aceste lucruri sunt cu arc și există fără arc. După aceea, selectăm o parte din „întreg” și formăm un set „cu un arc”. Așa se hrănește șamanii legându-și teoria seturilor de realitate.
Acum hai să facem un mic truc. Să luăm „solid într-un coș cu fundă” și să unim aceste „întregi” după culoare, selectând elemente roșii. Avem mult „roșu”. Acum o întrebare dificilă: seturile primite „cu fundă” și „roșu” sunt același set sau două seturi diferite? Doar șamanii știu răspunsul. Mai exact, ei înșiși nu știu nimic, dar așa cum spun ei, așa să fie.
Acest exemplu simplu arată că teoria seturilor este complet inutilă când vine vorba de realitate. Care este secretul? Am format un set de „coșuri roșii solide cu fundă”. Formarea s-a desfășurat în funcție de patru unități de măsură diferite: culoare (roșu), rezistență (solid), rugozitate (într-un cucui), decorațiuni (cu fundă). Doar un set de unități de măsură face posibilă descrierea adecvată a obiectelor reale în limbajul matematicii. Iată cum arată.
Litera „a” cu indici diferiți denotă unități de măsură diferite. În paranteze sunt evidențiate unități de măsură, conform cărora „întregul” este alocat în etapa preliminară. Unitatea de măsură, conform căreia se formează setul, este scoasă din paranteze. Ultima linie arată rezultatul final - un element al setului. După cum puteți vedea, dacă folosim unități pentru a forma un set, atunci rezultatul nu depinde de ordinea acțiunilor noastre. Și aceasta este matematică, și nu dansurile șamanilor cu tamburine. Șamanii pot ajunge „intuitiv” la același rezultat, argumentând cu „evidență”, deoarece unitățile de măsură nu sunt incluse în arsenalul lor „științific”.
Cu ajutorul unităților de măsură, este foarte ușor să spargi unul sau să combinați mai multe seturi într-un singur superset. Să aruncăm o privire mai atentă la algebra acestui proces.
Formulele de bază ale trigonometriei sunt formule care stabilesc relații între funcțiile trigonometrice de bază. Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt interconectate prin multe relații. Mai jos dăm principalele formule trigonometrice, iar pentru comoditate le grupăm în funcție de scopul lor. Folosind aceste formule, puteți rezolva aproape orice problemă de la cursul standard de trigonometrie. Remarcăm imediat că mai jos sunt date doar formulele în sine, și nu derivarea lor, cărora le vor fi consacrate articole separate.
Identități de bază ale trigonometriei
Identitățile trigonometrice dau o relație între sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi, permițând unei funcții să fie exprimată în termenii altuia.
Identități trigonometrice
sin 2 a + cos 2 a = 1 tg α = sin α cos α , ctg α = cos α sin α tg α ctg α = 1 tg 2 α + 1 = 1 cos 2 α , ctg 2 α + 1 = 1 sin 2α
Aceste identități rezultă direct din definițiile cercului unitar, sinus (sin), cosinus (cos), tangente (tg) și cotangente (ctg).
Formule turnate
Formulele de turnare vă permit să treceți de la lucrul cu unghiuri arbitrare și arbitrar mari la lucrul cu unghiuri cuprinse între 0 și 90 de grade.
Formule turnate
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α tg α + 2 π z = tg α , ctg α + 2 π z = ctg α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α tg - α + 2 π z = - tg α , ctg - α + 2 π z = - ctg α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α tg π 2 + α + 2 π z = - ctg α , ctg π 2 + α + 2 π z = - tg α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α tg π 2 - α + 2 π z = ctg α , ctg π 2 - α + 2 π z = tg α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α tg π + α + 2 π z = tg α , ctg π + α + 2 π z = ctg α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α tg π - α + 2 π z = - tg α , ctg π - α + 2 π z = - ctg α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α tg 3 π 2 + α + 2 π z = - ctg α , ctg 3 π 2 + α + 2 π z = - tg α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α tg 3 π 2 - α + 2 π z = ctg α , ctg 3 π 2 - α + 2 π z = tg α
Formulele de reducere sunt o consecință a periodicității funcțiilor trigonometrice.
Formule trigonometrice de adunare
Formulele de adunare din trigonometrie vă permit să exprimați funcția trigonometrică a sumei sau diferenței unghiurilor în termenii funcțiilor trigonometrice ale acestor unghiuri.
Formule trigonometrice de adunare
sin α ± β = sin α cos β ± cos α sin β cos α + β = cos α cos β - sin α sin β cos α - β = cos α cos β + sin α sin β tg α ± β = tg α ± tg β 1 ± tg α tg β ctg α ± β = - 1 ± ctg α ctg β ctg α ± ctg β
Pe baza formulelor de adunare, sunt derivate formule trigonometrice pentru un unghi multiplu.
Formule cu mai multe unghiuri: dublu, triplu etc.
Formule cu unghi dublu și triplusin 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 tg 2 α \ u003d 2 tg α 1 - tg 2 α cu tg 2 α \u003d cu tg 2 α - 1 2 cu tg α sin 3 α \u003d 3 sin α cos 2 α - sin 3 α, sin 3 α \u003d 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α \u003d cos 3 α - 3 sin 2 α cos α, cos 3 α \u003d - 3 cos α + 4 cos 3 α tg 3 α \u003d 3 tg α - tg 3 α 1 - 3 tg 2 α ctg 3 α = ctg 3 α - 3 ctg α 3 ctg 2 α - 1
Formule cu jumătate de unghi
Formulele de semiunghi în trigonometrie sunt o consecință a formulelor de unghi dublu și exprimă relația dintre funcțiile de bază ale semiunghiului și cosinusul întregului unghi.
Formule cu jumătate de unghi
sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α
Formule de reducere
Formule de reduceresin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8
Adesea, în calcule, este incomod să operezi cu puteri greoaie. Formulele de reducere a gradului vă permit să reduceți gradul unei funcții trigonometrice de la arbitrar mare la prima. Iată viziunea lor generală:
Forma generală a formulelor de reducere
pentru chiar n
sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k C kn cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C kn cos ((n - 2 k) α)
pentru n. impar
sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C kn sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C kn cos ((n - 2 k) α)
Suma și diferența funcțiilor trigonometrice
Diferența și suma funcțiilor trigonometrice pot fi reprezentate ca un produs. Factorizarea diferențelor de sinusuri și cosinus este foarte convenabilă de utilizat atunci când rezolvați ecuații trigonometrice și simplificați expresii.
Suma și diferența funcțiilor trigonometrice
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 sin α + β 2 sin α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 sin α + β 2 sin β - α 2
Produsul funcțiilor trigonometrice
Dacă formulele pentru suma și diferența funcțiilor vă permit să mergeți la produsul lor, atunci formulele pentru produsul funcțiilor trigonometrice efectuează tranziția inversă - de la produs la sumă. Sunt luate în considerare formulele pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus.
Formule pentru produsul funcțiilor trigonometrice
sin α sin β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))
Substituție trigonometrică universală
Toate funcțiile trigonometrice de bază - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă - pot fi exprimate în termenii tangentei unui jumătate de unghi.
Substituție trigonometrică universală
sin α = 2 tg α 2 1 + tg 2 α 2 cos α = 1 - tg 2 α 2 1 + tg 2 α 2 tg α = 2 tg α 2 1 - tg 2 α 2 ctg α = 1 - tg 2 α 2 2tga 2
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter