Pentru a rezolva probleme cu numere complexe, trebuie să înțelegeți definițiile de bază. Sarcina principală a acestui articol de revizuire este de a explica ce sunt numerele complexe și de a prezenta metode de rezolvare a problemelor de bază cu numere complexe. Astfel, un număr complex este un număr de formă z = a + bi, Unde a, b- numerele reale, care se numesc părțile reale și, respectiv, imaginare ale numărului complex și denotă a = Re(z), b=Im(z).
i se numește unitatea imaginară. i 2 \u003d -1. În special, orice număr real poate fi considerat complex: a = a + 0i, unde a este real. Dacă a = 0și b ≠ 0, atunci numărul se numește pur imaginar.

Introducem acum operații pe numere complexe.
Luați în considerare două numere complexe z 1 = a 1 + b 1 iși z 2 = a 2 + b 2 i.

Considera z = a + bi.

Mulțimea numerelor complexe extinde mulțimea numerelor reale, care la rândul său extinde mulțimea numerelor raționale și așa mai departe. Acest lanț de înglobări poate fi văzut în figură: N - numere naturale, Z - numere întregi, Q - rațional, R - real, C - complex.

Reprezentarea numerelor complexe

Notația algebrică.

Luați în considerare un număr complex z = a + bi, această formă de scriere a unui număr complex se numește algebric. Am discutat deja despre această formă de scriere în detaliu în secțiunea anterioară. Destul de des folosiți următorul desen ilustrativ

formă trigonometrică.

Din figură se vede că numărul z = a + bi poate fi scris diferit. Este evident că a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, prin urmare z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) se numește argumentul unui număr complex. Această reprezentare a unui număr complex se numește formă trigonometrică. Forma trigonometrică a notației este uneori foarte convenabilă. De exemplu, este convenabil să îl utilizați pentru a ridica un număr complex la o putere întreagă, și anume, dacă z = rcos(φ) + rsin(φ)i, atunci z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, această formulă se numește formula lui De Moivre.

Forma demonstrativă.

Considera z = rcos(φ) + rsin(φ)i este un număr complex în formă trigonometrică, îl scriem într-o formă diferită z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, ultima egalitate rezultă din formula lui Euler, așa că am obținut o nouă formă de scriere a unui număr complex: z = re iφ, Care e numit demonstrativ. Această formă de notație este, de asemenea, foarte convenabilă pentru ridicarea unui număr complex la o putere: z n = r n e inφ, Aici n nu neapărat un număr întreg, dar poate fi un număr real arbitrar. Această formă de scriere este destul de des folosită pentru a rezolva probleme.

Teorema fundamentală a algebrei superioare

Imaginați-vă că avem o ecuație pătratică x 2 + x + 1 = 0 . Este evident că discriminantul acestei ecuații este negativ și nu are rădăcini reale, dar rezultă că această ecuație are două rădăcini complexe diferite. Deci, teorema principală a algebrei superioare afirmă că orice polinom de grad n are cel puțin o rădăcină complexă. De aici rezultă că orice polinom de gradul n are exact n rădăcini complexe, ținând cont de multiplicitatea acestora. Această teoremă este un rezultat foarte important în matematică și este aplicată pe scară largă. Un simplu corolar al acestei teoreme este că există exact n rădăcini distincte de unitate de n grade.

Principalele tipuri de sarcini

În această secțiune, vor fi luate în considerare principalele tipuri de probleme simple cu numere complexe. În mod convențional, problemele privind numerele complexe pot fi împărțite în următoarele categorii.

• Efectuarea de operații aritmetice simple pe numere complexe.
• Găsirea rădăcinilor polinoamelor în numere complexe.
• Ridicarea numerelor complexe la putere.
• Extragerea rădăcinilor din numere complexe.
• Aplicarea numerelor complexe pentru rezolvarea altor probleme.

Acum luați în considerare metodele generale de rezolvare a acestor probleme.

Efectuarea celor mai simple operații aritmetice cu numere complexe are loc conform regulilor descrise în prima secțiune, dar dacă numerele complexe sunt prezentate în forme trigonometrice sau exponențiale, atunci în acest caz ele pot fi convertite în formă algebrică și pot efectua operații conform regulilor cunoscute.

Găsirea rădăcinilor polinoamelor se reduce de obicei la găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice. Să presupunem că avem o ecuație pătratică, dacă discriminantul ei este nenegativ, atunci rădăcinile sale vor fi reale și se găsesc după o formulă binecunoscută. Dacă discriminantul este negativ, atunci D = -1∙a 2, Unde A este un anumit număr, atunci putem reprezenta discriminantul în formă D = (ia) 2, prin urmare √D = i|a|, și apoi puteți utiliza formula deja cunoscută pentru rădăcinile ecuației pătratice.

Exemplu. Să revenim la ecuația pătratică menționată mai sus x 2 + x + 1 = 0.
discriminant - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Acum putem găsi cu ușurință rădăcinile:

Ridicarea numerelor complexe la o putere se poate face în mai multe moduri. Dacă doriți să ridicați un număr complex în formă algebrică la o putere mică (2 sau 3), atunci puteți face acest lucru prin înmulțire directă, dar dacă gradul este mai mare (în probleme este adesea mult mai mare), atunci trebuie să scrieți acest număr în forme trigonometrice sau exponențiale și folosiți metode deja cunoscute.

Exemplu. Se consideră z = 1 + i și se ridică la a zecea putere.
Scriem z în formă exponențială: z = √2 e iπ/4 .
Atunci z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Să revenim la forma algebrică: z 10 = -32i.

Extragerea rădăcinilor din numere complexe este operația inversă față de exponențiere, deci se face într-un mod similar. Pentru a extrage rădăcinile, este adesea folosită forma exponențială de scriere a unui număr.

Exemplu. Găsiți toate rădăcinile de gradul 3 de unitate. Pentru a face acest lucru, găsim toate rădăcinile ecuației z 3 = 1, vom căuta rădăcinile în formă exponențială.
Înlocuiți în ecuație: r 3 e 3iφ = 1 sau r 3 e 3iφ = e 0 .
Prin urmare: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, deci φ = 2πk/3.
Se obțin diverse rădăcini la φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Prin urmare 1 , e i2π/3 , e i4π/3 sunt rădăcini.
Sau sub formă algebrică:

Ultimul tip de probleme include o mare varietate de probleme și nu există metode generale de rezolvare a acestora. Iată un exemplu simplu de astfel de sarcină:

Găsiți suma sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Deși formularea acestei probleme nu se referă la numere complexe, dar cu ajutorul lor se poate rezolva cu ușurință. Pentru a o rezolva, se folosesc următoarele reprezentări:


Dacă substituim acum această reprezentare în sumă, atunci problema se reduce la însumarea progresiei geometrice obișnuite.

Concluzie

Numerele complexe sunt utilizate pe scară largă în matematică, acest articol de recenzie a discutat despre operațiile de bază asupra numerelor complexe, a descris mai multe tipuri de probleme standard și a descris pe scurt metode generale de rezolvare a acestora, pentru un studiu mai detaliat al posibilităților numerelor complexe, se recomandă să folosi literatura de specialitate.

Literatură

Numere complexe

Imaginar și numere complexe. Abscisa si ordonata

număr complex. Conjugați numere complexe.

Operații cu numere complexe. Geometric

reprezentarea numerelor complexe. plan complex.

Modulul și argumentul unui număr complex. trigonometric

formă de număr complex. Operatii cu complexe

numere în formă trigonometrică. Formula Moivre.

Informații de bază despre imaginar și numere complexe sunt date în secțiunea „Numere imaginare și complexe”. Necesitatea acestor numere de tip nou a apărut la rezolvarea ecuațiilor pătratice pentru acest cazD< 0 (здесь Deste discriminantul ecuației pătratice). Multă vreme, aceste numere nu și-au găsit utilizare fizică, motiv pentru care au fost numite numere „imaginare”. Cu toate acestea, acum sunt foarte utilizate pe scară largă în diferite domenii ale fizicii.

și tehnologie: inginerie electrică, hidro- și aerodinamică, teoria elasticității etc.

Numere complexe sunt scrise ca:a+bi. Aici Ași b – numere reale , A i – unitate imaginară. e. i 2 = –1. Număr A numit abscisă, A b - ordonatănumăr complexa + b .Două numere complexea+biși a-bi numit conjuga numere complexe.

Principalele acorduri:

1. Număr realApoate fi scris și sub formănumăr complex:un + 0 i sau A - 0 i. De exemplu, intrările 5 + 0iși 5 - 0 iînseamnă același număr 5 .

2. Numărul complex 0 + binumit pur imaginar număr. Înregistrarebiînseamnă la fel ca 0 + bi.

3. Două numere complexea+bi șic + disunt considerate egale dacăa = cși b = d. In caz contrar numerele complexe nu sunt egale.

Plus. Suma numerelor complexea+biși c + dise numește număr complex (a+c ) + (b+d ) eu .În acest fel, când se adaugă numerele complexe, abscisele și ordonatele lor sunt adăugate separat.

Această definiție urmează regulile pentru tratarea polinoamelor obișnuite.

Scădere. Diferența dintre două numere complexea+bi(redus) și c + di(scăzut) se numește număr complex (a-c ) + (b-d ) eu .

În acest fel, la scăderea a două numere complexe, abscisele și ordonatele acestora se scad separat.

Multiplicare. Produsul numerelor complexea+biși c + di se numește număr complex.

(ac-bd ) + (ad+bc ) eu .Această definiție provine din două cerințe:

1) numere a+biși c + diar trebui să se înmulțească ca algebric binoame,

2) număr iare principala proprietate:i 2 = – 1.

EXEMPLU ( a + bi )(a-bi) = a 2 +b 2 . Prin urmare, muncă

două numere complexe conjugate este egală cu realul

număr pozitiv.

Divizia. Împărțiți un număr complexa+bi (divizibil) cu altulc + di(divizor) - înseamnă a găsi al treilea număre + fi(chat), care, atunci când este înmulțit cu un divizorc + di, care are ca rezultat dividendula + b .

Dacă divizorul nu este zero, împărțirea este întotdeauna posibilă.

EXEMPLU Găsiți (8+i ) : (2 – 3 i) .

Soluție. Să rescriem acest raport ca o fracție:

Înmulțirea numărătorului și numitorului cu 2 + 3i

ȘI după efectuarea tuturor transformărilor, obținem:

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe. Numerele reale sunt reprezentate prin puncte de pe dreapta numerică:

Aici este ideea Aînseamnă numărul -3, punctB este numărul 2 și O- zero. În schimb, numerele complexe sunt reprezentate prin puncte pe planul de coordonate. Pentru aceasta, alegem coordonate dreptunghiulare (carteziane) cu aceleași scale pe ambele axe. Apoi numărul complexa+bi va fi reprezentat printr-un punct P cu abscisă a si ordonata b (vezi fig.). Acest sistem de coordonate este numit plan complex .

modul număr complex se numește lungimea vectoruluiOP, ilustrând un număr complex pe coordonată ( integrat) avion. Modulul numărului complexa+bi notat cu | a+bi| sau scrisoare r

Numerele complexe sunt o extensie minimă a mulțimii numerelor reale cunoscute nouă. Diferența lor fundamentală este că apare un element care la pătrat dă -1, adică. eu, sau.

Orice număr complex are două părți: reale și imaginare:

Astfel, este clar că mulțimea numerelor reale coincide cu mulțimea numerelor complexe cu parte imaginară zero.

Cel mai popular model pentru mulțimea de numere complexe este planul obișnuit. Prima coordonată a fiecărui punct va fi partea sa reală, iar a doua - imaginară. Atunci rolul numerelor complexe în sine vor fi vectori cu începutul în punctul (0,0).

Operații pe numere complexe.

De fapt, dacă luăm în considerare modelul mulțimii numerelor complexe, intuitiv este clar că adunarea (scăderea) și înmulțirea a două numere complexe se efectuează în același mod ca și operațiile corespunzătoare pe vectori. Mai mult, ne referim la produsul încrucișat al vectorilor, deoarece rezultatul acestei operații este din nou un vector.

1.1 Adăugarea.

(După cum puteți vedea, această operație corespunde exact cu )

1.2 Scăderea, în mod similar, se efectuează după următoarea regulă:

2. Înmulțirea.

3. Diviziune.

Este definită pur și simplu ca operația inversă de înmulțire.

formă trigonometrică.

Modulul unui număr complex z este următoarea mărime:

,

este evident că acesta, din nou, este pur și simplu modulul (lungimea) vectorului (a,b).

Cel mai adesea, modulul unui număr complex este notat ca ρ.

Se pare că

z = ρ(cosφ+isinφ).

Următoarele decurg direct din forma trigonometrică a scrierii unui număr complex. formule :

Ultima formulă se numește Formula De Moivre. Formula este derivată direct din ea. a n-a rădăcină a unui număr complex:

astfel, există n-a rădăcini ale numărului complex z.

Planul lecției.

1. Moment organizatoric.

2. Prezentarea materialului.

3. Tema pentru acasă.

4. Rezumând lecția.

În timpul orelor

I. Moment organizatoric.

II. Prezentarea materialului.

Motivația.

Extinderea multimii numerelor reale consta in faptul ca numerelor reale se adauga numere noi (imaginare). Introducerea acestor numere este legată de imposibilitatea extragerii rădăcinii dintr-un număr negativ din mulțimea numerelor reale.

Introducerea conceptului de număr complex.

Numerele imaginare cu care suplimentăm numerele reale se scriu ca bi, Unde i este unitatea imaginară și i 2 = - 1.

Pe baza acesteia, obținem următoarea definiție a unui număr complex.

Definiție. Un număr complex este o expresie a formei a+bi, Unde Ași b sunt numere reale. În acest caz, sunt îndeplinite următoarele condiții:

a) Două numere complexe a 1 + b 1 iși a 2 + b 2 i egal dacă și numai dacă a 1 = a 2, b1=b2.

b) Adunarea numerelor complexe este determinată de regula:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Înmulțirea numerelor complexe este determinată de regula:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Forma algebrică a unui număr complex.

Scrierea unui număr complex în formă a+bi se numește forma algebrică a unui număr complex, unde A- parte reală bi este partea imaginară și b este un număr real.

Număr complex a+bi este considerat egal cu zero dacă părțile sale reale și imaginare sunt egale cu zero: a=b=0

Număr complex a+bi la b = 0 considerat a fi un număr real A: a + 0i = a.

Număr complex a+bi la a = 0 se numește pur imaginar și se notează bi: 0 + bi = bi.

Două numere complexe z = a + biși = a – bi, care diferă doar prin semnul părții imaginare, se numesc conjugate.

Acțiuni asupra numerelor complexe în formă algebrică.

Următoarele operații pot fi efectuate pe numere complexe în formă algebrică.

1) Adăugarea.

Definiție. Suma numerelor complexe z 1 = a 1 + b 1 iși z 2 = a 2 + b 2 i numit număr complex z, a cărui parte reală este egală cu suma părților reale z1și z2, iar partea imaginară este suma părților imaginare ale numerelor z1și z2, acesta este z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Numerele z1și z2 se numesc termeni.

Adunarea numerelor complexe are următoarele proprietăți:

1º. Comutativitate: z1 + z2 = z2 + z1.

2º. Asociativitate: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Număr complex -a -bi se numește opusul unui număr complex z = a + bi. Număr complex opus numărului complex z, notat -z. Suma numerelor complexe zși -z este egal cu zero: z + (-z) = 0

Exemplul 1: Adăugați (3 - i) + (-1 + 2i).

(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Scăderea.

Definiție. Scăderea din numărul complex z1 număr complex z2 z, ce z + z 2 = z 1.

Teorema. Diferența numerelor complexe există și, în plus, este unică.

Exemplul 2: Scăderea (4 - 2i) - (-3 + 2i).

(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.

3) Înmulțirea.

Definiție. Produsul numerelor complexe z 1 =a 1 +b 1 iși z 2 \u003d a 2 + b 2 i numit număr complex z, definit prin egalitate: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Numerele z1și z2 se numesc factori.

Înmulțirea numerelor complexe are următoarele proprietăți:

1º. Comutativitate: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Asociativitate: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea:

(z 1 + z 2) z 3 \u003d z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z \u003d (a + bi) (a - bi) \u003d a 2 + b 2 este un număr real.

În practică, înmulțirea numerelor complexe se realizează după regula înmulțirii sumei cu suma și separării părților reale și imaginare.

În exemplul următor, luați în considerare înmulțirea numerelor complexe în două moduri: prin regulă și prin înmulțirea sumei cu suma.

Exemplul 3: Înmulțiți (2 + 3i) (5 – 7i).

1 cale. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.

2 sensuri. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Diviziune.

Definiție. Împărțiți un număr complex z1 la un număr complex z2, înseamnă a găsi un număr atât de complex z, ce z z 2 = z 1.

Teorema. Coeficientul numerelor complexe există și este unic dacă z2 ≠ 0 + 0i.

În practică, câtul numerelor complexe se găsește prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu conjugatul numitorului.

Lăsa z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, atunci

.

În exemplul următor, efectuăm împărțirea după formula și regula înmulțirii cu conjugatul numitorului.

Exemplul 4. Găsiți un coeficient .

5) Ridicarea la o putere întreagă pozitivă.

a) Puterile unitatii imaginare.

Profitând de egalitate i 2 \u003d -1, este ușor de definit orice putere întreagă pozitivă a unității imaginare. Noi avem:

i 3 \u003d i 2 i \u003d -i,

i 4 \u003d i 2 i 2 \u003d 1,

i 5 \u003d i 4 i \u003d i,

i 6 \u003d i 4 i 2 \u003d -1,

i 7 \u003d i 5 i 2 \u003d -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 etc.

Aceasta arată că gradul valorează eu n, Unde n- un număr întreg pozitiv, repetat periodic când indicatorul crește cu 4 .

Prin urmare, pentru a crește numărul i la o putere întreagă pozitivă, împărțiți exponentul la 4 și erec i la puterea al cărei exponent este restul diviziunii.

Exemplul 5 Calculați: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.

(i 36 + i 17) i 23 \u003d (1 + i) (- i) \u003d - i + 1 \u003d 1 - i.

b) Ridicarea unui număr complex la o putere întreagă pozitivă se realizează conform regulii ridicării unui binom la puterea corespunzătoare, deoarece este un caz special de înmulțire a factorilor complecși identici.

Exemplul 6 Calculați: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.