Magsimula tayo sa paborito nating parisukat.
Halimbawa 9
Pag-squaring ng complex number
Dito maaari kang pumunta sa dalawang paraan, ang unang paraan ay muling isulat ang antas bilang produkto ng mga salik at i-multiply ang mga numero ayon sa tuntunin ng multiplikasyon para sa mga polynomial.
Ang pangalawang paraan ay ang paggamit ng kilalang pinaikling pormula ng pagpaparami ng paaralan:
Para sa isang kumplikadong numero, madaling makuha ang iyong sariling pinaikling formula ng pagpaparami:
Ang isang katulad na formula ay maaaring makuha para sa parisukat ng pagkakaiba, pati na rin para sa kubo ng kabuuan at ang kubo ng pagkakaiba. Ngunit ang mga formula na ito ay mas nauugnay para sa mga kumplikadong problema sa pagsusuri. Paano kung ang isang kumplikadong numero ay kailangang itaas sa, halimbawa, ang ika-5, ika-10, o ika-100 na kapangyarihan? Ito ay malinaw na sa algebraic form na ito ay halos imposible na gawin tulad ng isang lansihin, talaga, isipin kung paano mo malulutas ang isang halimbawa tulad ng?
At narito ang trigonometriko na anyo ng isang kumplikadong numero ay dumating upang iligtas at ang tinatawag na Ang formula ni De Moivre: Kung ang isang kumplikadong numero ay kinakatawan sa trigonometrikong anyo, kung gayon kapag ito ay itinaas sa isang natural na kapangyarihan, ang formula ay wasto:
Para lang sa kahihiyan.
Halimbawa 10
Dahil sa isang kumplikadong numero, hanapin.
Ano ang dapat gawin? Una kailangan mong katawanin ang numerong ito sa trigonometric form. Mapapansin ng matatalinong mambabasa na nagawa na namin ito sa Halimbawa 8:
Pagkatapos, ayon sa pormula ni De Moivre:
Ipinagbabawal ng Diyos, hindi na kailangang umasa sa isang calculator, ngunit sa karamihan ng mga kaso ang anggulo ay dapat na pinasimple. Paano gawing simple? Sa matalinghagang pagsasalita, kailangan mong alisin ang mga dagdag na liko. Ang isang rebolusyon ay isang radian o 360 degrees. Alamin kung gaano karaming mga rebolusyon ang mayroon tayo sa argumento. Para sa kaginhawahan, ginagawa naming tama ang fraction:, pagkatapos nito ay malinaw na nakikita na maaari mong bawasan ang isang rebolusyon:. Sana maintindihan ng lahat na ito ay parehong anggulo.
Kaya ang huling sagot ay:
Ang isang hiwalay na bersyon ng problema sa exponentiation ay ang exponentiation ng mga puro haka-haka na numero.
Halimbawa 12
Itaas ang mga kumplikadong numero sa mga kapangyarihan
Dito, masyadong, ang lahat ay simple, ang pangunahing bagay ay tandaan ang sikat na pagkakapantay-pantay.
Kung ang haka-haka na yunit ay itinaas sa isang pantay na kapangyarihan, kung gayon ang pamamaraan ng solusyon ay ang mga sumusunod:
Kung ang haka-haka na yunit ay itinaas sa isang kakaibang kapangyarihan, pagkatapos ay "pin-off" namin ang isa "at", nakakakuha ng pantay na kapangyarihan:
Kung mayroong isang minus (o anumang tunay na koepisyent), dapat muna itong paghiwalayin:
Pagkuha ng mga ugat mula sa mga kumplikadong numero. Quadratic equation na may kumplikadong mga ugat
Isaalang-alang ang isang halimbawa:
Hindi ma-extract ang ugat? Kung totoong numero ang pinag-uusapan, imposible talaga. Sa mga kumplikadong numero, maaari mong kunin ang ugat - maaari mo! Mas tiyak, dalawa ugat:
Ang mga natagpuang ugat ba talaga ang solusyon ng equation? Suriin natin:
Alin ang kailangang suriin.
Ang isang pinaikling notasyon ay madalas na ginagamit, ang parehong mga ugat ay nakasulat sa isang linya sa ilalim ng "isang suklay":.
Ang mga ugat na ito ay tinatawag din conjugate kumplikadong mga ugat.
Paano kunin ang mga square root mula sa mga negatibong numero, sa palagay ko naiintindihan ng lahat: ,,,, atbp. Sa lahat ng kaso ito ay lumalabas dalawa conjugate kumplikadong mga ugat.
Halimbawa 13
Lutasin ang isang quadratic equation
Kalkulahin natin ang discriminant:
Ang discriminant ay negatibo, at ang equation ay walang solusyon sa totoong mga numero. Ngunit ang ugat ay maaaring makuha sa kumplikadong mga numero!
Ayon sa mga kilalang pormula ng paaralan, nakakakuha tayo ng dalawang ugat: - conjugate complex roots
Kaya ang equation ay may dalawang conjugate complex roots:,
Ngayon ay maaari mo nang lutasin ang anumang quadratic equation!
At sa pangkalahatan, ang anumang equation na may polynomial na "nth" degree ay may eksaktong mga ugat, na ang ilan ay maaaring kumplikado.
Isang simpleng halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon:
Halimbawa 14
Hanapin ang mga ugat ng equation at i-factor ang square binomial.
Ang factorization ay muling isinasagawa ayon sa karaniwang formula ng paaralan.
Magsimula tayo sa paborito nating parisukat.
Halimbawa 9
Pag-squaring ng complex number
Dito maaari kang pumunta sa dalawang paraan, ang unang paraan ay muling isulat ang antas bilang produkto ng mga salik at i-multiply ang mga numero ayon sa tuntunin ng multiplikasyon para sa mga polynomial.
Ang pangalawang paraan ay ang paggamit ng kilalang pinaikling pormula ng pagpaparami ng paaralan:
Para sa isang kumplikadong numero, madaling makuha ang iyong sariling pinaikling formula ng pagpaparami:
Ang isang katulad na formula ay maaaring makuha para sa parisukat ng pagkakaiba, pati na rin para sa kubo ng kabuuan at ang kubo ng pagkakaiba. Ngunit ang mga formula na ito ay mas nauugnay para sa mga kumplikadong problema sa pagsusuri. Paano kung ang isang kumplikadong numero ay kailangang itaas sa, halimbawa, ang ika-5, ika-10, o ika-100 na kapangyarihan? Ito ay malinaw na sa algebraic form na ito ay halos imposible na gawin tulad ng isang lansihin, talaga, isipin kung paano mo malulutas ang isang halimbawa tulad ng?
At narito ang trigonometriko na anyo ng isang kumplikadong numero ay dumating upang iligtas at ang tinatawag na Ang formula ni De Moivre: Kung ang isang kumplikadong numero ay kinakatawan sa trigonometrikong anyo, kung gayon kapag ito ay itinaas sa isang natural na kapangyarihan, ang formula ay wasto:
Para lang sa kahihiyan.
Halimbawa 10
Dahil sa isang kumplikadong numero, hanapin.
Ano ang dapat gawin? Una kailangan mong katawanin ang numerong ito sa trigonometric form. Mapapansin ng matatalinong mambabasa na nagawa na namin ito sa Halimbawa 8:
Pagkatapos, ayon sa pormula ni De Moivre:
Ipinagbabawal ng Diyos, hindi na kailangang umasa sa isang calculator, ngunit sa karamihan ng mga kaso ang anggulo ay dapat na pinasimple. Paano gawing simple? Sa matalinghagang pagsasalita, kailangan mong alisin ang mga dagdag na liko. Ang isang rebolusyon ay isang radian o 360 degrees. Alamin kung gaano karaming mga rebolusyon ang mayroon tayo sa argumento. Para sa kaginhawahan, ginagawa naming tama ang fraction:, pagkatapos nito ay malinaw na nakikita na maaari mong bawasan ang isang rebolusyon:. Sana maintindihan ng lahat na ito ay parehong anggulo.
Kaya ang huling sagot ay:
Ang isang hiwalay na bersyon ng problema sa exponentiation ay ang exponentiation ng mga puro haka-haka na numero.
Halimbawa 12
Itaas ang mga kumplikadong numero sa mga kapangyarihan
Dito, masyadong, ang lahat ay simple, ang pangunahing bagay ay tandaan ang sikat na pagkakapantay-pantay.
Kung ang haka-haka na yunit ay itinaas sa isang pantay na kapangyarihan, kung gayon ang pamamaraan ng solusyon ay ang mga sumusunod:
Kung ang haka-haka na yunit ay itinaas sa isang kakaibang kapangyarihan, pagkatapos ay "pin-off" namin ang isa "at", nakakakuha ng pantay na kapangyarihan:
Kung mayroong isang minus (o anumang tunay na koepisyent), dapat muna itong paghiwalayin:
Pagkuha ng mga ugat mula sa mga kumplikadong numero. Quadratic equation na may kumplikadong mga ugat
Isaalang-alang ang isang halimbawa:
Hindi ma-extract ang ugat? Kung totoong numero ang pinag-uusapan, imposible talaga. Sa mga kumplikadong numero, maaari mong kunin ang ugat - maaari mo! Mas tiyak, dalawa ugat:
Ang mga natagpuang ugat ba talaga ang solusyon ng equation? Suriin natin:
Alin ang kailangang suriin.
Ang isang pinaikling notasyon ay madalas na ginagamit, ang parehong mga ugat ay nakasulat sa isang linya sa ilalim ng "isang suklay":.
Ang mga ugat na ito ay tinatawag din conjugate kumplikadong mga ugat.
Paano kunin ang mga square root mula sa mga negatibong numero, sa palagay ko naiintindihan ng lahat: ,,,, atbp. Sa lahat ng kaso ito ay lumalabas dalawa conjugate kumplikadong mga ugat.