Гармонійна лінеаризація нелінійних елементів.Цей метод використовується для дослідження нелінійних систем з лінійною частиною вище за третій порядок. У більшості систем перехідний процес є загасаючими коливаннями, тому на вході нелінійного елемента по головному зворотному зв'язку (ГОС) передається періодичний сигнал з амплітудою, що повільно змінюється, і за наявності вхідного сигналу разом з постійною складовою.
Будемо вважати, що на вході нелінійного елемента за деякий малий початковий проміжок часу амплітуда та частота не зради або вони відповідають амплітуді та частоті автоколивань системи. На виході НЕ отримаємо періодичну функцію, яку можна розкласти до низки Фур'є. Під час дослідження нелінійних систем найчастіше використовують лише першу гармонійну складову, т.к. Найчастіше лінійна частина системи є фільтром низьких частот. Але для того щоб перевірити це і можливості застосування цього методу досліджень необхідно визначити частоту автоколивань в системі, за якою надалі визначити здатність лінійної частини відфільтровувати вищі гармоніки. Для цього будують АЧХ лінійної частини (ЛЧ).
Нехай ЛЧ системи є фільтром НЧ, і вважатимемо, що коливання на вході нелінійного елемента НЕ синусоїдальні, тоді вихідним сигналом НЕ:
де А доі В до- Коефіцієнти розкладання Фур'є нелінійної функції:
Якщо нелінійна характеристика симетрична та нейтральна, то коефіцієнт розкладання ряду Фур'є В до=0 і розкладання відсутні парні гармоніки:
Використовуючи ці співвідношення, висловимо значення синуса та косинуса через вхідний сигнал
Підставимо ці співвідношення в рівняння для виходу НЕ та врахуємо лише першу гармоніку.
Запишемо це рівняння в операторній формі:
Коефіцієнт А 0 – амплітуда автоколивань; q – коефіцієнт гармонічної лінеаризації за синусоїдальною складовою, він залежить від амплітуди сигналу на вході НЕ; b 1 – коефіцієнт гармонічної лінеаризації за косінусоїдальною складовою; ω 0 – амплітуда автоколивань.
За відсутності постійної складової на вході НЕ ми отримаємо рівняння опису поведінки НЕ:
Це рівняння гармонійної лінеаризації НЕ.
Гармонічно лінеаризований НЕ можна уявити у вигляді:
У цьому випадку ми можемо вивести передатну функцію для НЕ:
за відсутності постійної складової на вході.
Коефіцієнт А 0 – амплітуда автоколивань;
q – коефіцієнт гармонічної лінеаризації за синусоїдальною складовою, він залежить від амплітуди сигналу на вході НЕ;
b 1 – коефіцієнт гармонічної лінеаризації за косінусоїдальною складовою;
ω 0 – амплітуда автоколивань.
На лінійну частину системи діє вихідний сигнал із НЕ, який містить весь спектр частот розкладання Фур'є. Через принцип суперпозиції можна вважати, що кожна гармоніка діє на лінійну частину незалежно від іншої. Тому на виході системи можуть встановлюватися періодичні коливання, які будуть містити весь спектр частот, що відповідають сигналу НЕ, але амплітуда кожної гармоніки визначатиметься коефіцієнтом перетворення правої частини з розглянутої гармоніки ().
Підставивши АЧХ лінійної частини можна встановити співвідношення зміни амплітуд кожної гармоніки і перевірити, чи є лінійна частина ФНЧ (чи можна відкинути вищі гармоніки).
Якщо встановлено частоту автоколивань та відомі коефіцієнти гармонійної лінеаризації НЕ, що враховують лише першу гармоніку, то частота (частоті першої гармоніки). Якщо можна відкинути вищі гармоніки і цей метод підходить. Тобто. можна обмежитися розрахунком лише однієї гармоніки на виході НЕ. Тоді для однозначної непарної характеристики НЕ матиме:
Для гістерезисної непарної характеристики:
У першому випадку НЕ еквівалентний безінерційній ланці з деякими особливостями – коефіцієнт пропорційності залежить від амплітуди або частоти сигналу на вході НЕ.
У разі гістерезисної нелінійності ланка еквівалентно форсуючому ланці. Особливість цього способу лінеаризації дозволяє використовувати для аналізу нелінійної системи частотні методи лінійної теорії.
Міністерство освіти і науки Російської Федерації
Саратовський державний технічний університет
Балаківський інститут техніки, технології та управління
Метод гармонічної лінеаризації
Методичні вказівки до лабораторної роботи з курсу «Теорія автоматичного управління» для студентів спеціальності 210100
Схвалено
редакційно-видавничою радою
Балаковського інституту техніки,
технології та управління
Балакове 2004
Мета роботи: Вивчення нелінійних систем за допомогою методу гармонійної лінеаризації (гармонічного балансу), визначення коефіцієнтів гармонійної лінеаризації для різних нелінійних ланок. Отримання навичок знаходження параметрів симетричних коливань постійної амплітуди і частоти (автоколивань), використовуючи алгебраїчний, частотний способи, а також за допомогою критерію Михайлова.
ОСНОВНІ ВІДОМОСТІ
Метод гармонійної лінеаризації відноситься до наближених методів дослідження нелінійних систем. Він дозволяє досить просто і з прийнятною точністю оцінювати стійкість нелінійних систем, визначати частоту і амплітуду коливань, що встановилися в системі.
Передбачається, що досліджувана нелінійна САУ може бути представлена у такому вигляді
причому нелінійна частина повинна мати одну нелінійність
Ця нелінійність може бути як безперервною, так і релейною, однозначною або гістерезисною.
Будь-яку функцію або сигнал можна розкласти в ряд за системою лінійно-незалежних, окремо ортонормованих функцій. Як такий ортогональний ряд може бути використаний ряд Фур'є.
Розкладемо у ряд Фур'є вихідний сигнал нелінійної частини системи
,
(2)
тут - коефіцієнти Фур'є,
,
,
.
(3)
Таким чином, сигнал згідно (2) може бути представлений у вигляді нескінченної суми гармонік із зростаючими частотами 
і т. д. Цей сигнал надходить на вхід лінійної частини нелінійної системи.
Позначимо передатну функцію лінійної частини
,
(4)
причому ступінь полінома чисельника має бути меншим за ступінь полінома знаменника. В цьому випадку АЧХ лінійної частини має вигляд
де 1 - немає полюсів, 2 - має полюс або полюса.
Для АЧХ справедливо записати
Таким чином, лінійна частина нелінійної системи є фільтром найвищих частот. У цьому випадку лінійна частина пропускатиме без ослаблення лише низькі частоти, високі ж у міру зростання частоти суттєво послаблятимуться.
У методі гармонійної лінеаризації робиться припущення про те, що лінійна частина системи пропускатиме лише постійну складову сигналу та першу гармоніку. Тоді сигнал на виході лінійної частини матиме вигляд
Цей сигнал проходить по всьому замкнутому контуру системи Рис.1 і на виході нелінійного елемента без урахування більш високих гармонік, (2) маємо
.
(7)
При дослідженні нелінійних систем за допомогою методу гармонійної лінеаризації можливі випадки симетричних та несиметричних коливань. Розглянемо випадок симетричних вагань. Тут і.
Введемо такі позначення
Підставивши їх у (7), отримаємо . (8)
З урахуванням того що
.
(9)
Згідно (3) та (8) при
,
.
(10)
Вираз (9) є гармонійною лінеаризацією нелінійності встановлює лінійний зв'язок вхідний змінної та вихідний при . Величини і називаються коефіцієнтами гармонійної лінеаризації.
Необхідно відзначити, що рівняння (9) є лінійним для конкретних величин і (амплітуди та частоти гармонійних коливань у системі). Але загалом воно зберігає нелінійні властивості, оскільки коефіцієнти різні для різних і . Ця особливість дозволяє досліджувати за допомогою методу гармонійної лінеаризації властивості нелінійних систем [Попов Є.П.].
У разі несиметричних коливань гармонічна лінеаризація нелінійності призводить до лінійного рівняння
,
,
.
(12)
Так само як і рівняння (9), лінеаризоване рівняння (11) зберігає властивості нелінійного елемента, так як коефіцієнти гармонійної лінеаризації, а так само постійна складова залежать і від усунення і від амплітуди гармонічних коливань.
Рівняння (9) та (11) дозволяють отримати передавальні функції гармонійно лінеаризованих нелінійних елементів. Так для симетричних вагань
,
(13)
при цьому частотна передатна функція
залежить від амплітуди і залежить від частоти коливань у системі.
Необхідно відзначити, що якщо непарно-симетрична нелінійність однозначна, то у разі симетричних коливань відповідно до (9) і (10) отримаємо, що , (15)
(16)
і лінеаризована нелінійність має вигляд
Для неоднозначних нелінійностей (з гістерезисом) інтеграл у вираженні (16) не дорівнює нулю, внаслідок відмінності у поведінці кривої при зростанні та спаданні, тому справедливе повне вираження (9).
Знайдемо коефіцієнти гармонійної лінеаризації деяких нелінійних характеристик. Нехай нелінійна характеристика має вигляд релейної характеристики з гістерезисом та зоною нечутливості. Розглянемо, як гармонійні коливання проходять через нелінійний елемент із такою характеристикою.
При виконанні умови , тобто якщо амплітуда вхідного сигналу менше зони нечутливості , сигнал на виході нелінійного елемента відсутня. Якщо ж амплітуда , то реле перемикається в точках A, B, C і D. Позначимо і .
,
.
(18)
При обчисленні коефіцієнтів гармонійної лінеаризації слід мати на увазі, що при симетричних нелінійних характеристиках інтеграли у виразах (10) знаходяться на напівперіоді (0, ) з подальшим збільшенням результату вдвічі. Таким чином
,
.
(19)
Для нелінійного елемента з релейною характеристикою та зоною нечутливості
,
Для нелінійного елемента, що має релейну характеристику з гістерезисом
,
Аналогічно можуть бути отримані коефіцієнти гармонійної лінеаризації інших нелінійних характеристик.
Розглянемо два способи визначення симетричних коливань постійної амплітуди та частоти (автоколивань) та стійкості лінеаризованих систем: алгебраїчний та частотний. Спочатку розглянемо метод алгебри. Для замкнутої системи Рис.1 передавальна функція лінійної частини дорівнює
.
Запишемо гармонійно лінеаризовану передатну функцію нелінійної частини
.
Характеристичною рівняння замкнутої системи має вигляд
.
(22)
Якщо в досліджуваній системі виникають автоколивання, це говорить про наявність двох чисто уявних коренів у її характеристичному рівнянні. Тому підставимо на характеристичне рівняння (22) значення кореня.
.
(23)
Уявимо
Отримаємо два рівняння, що визначають шукану амплітуду та частоту
,
.
(24)
Якщо у вирішенні можливі речові позитивні значення амплітуди і частоти, то в системі можуть виникнути автоколивання. Якщо ж амплітуда і частота немає позитивних значень, то автоколивання у системі неможливі.
Розглянемо приклад 1. Нехай досліджувана нелінійна система має вигляд
У цьому прикладі нелінійний елемент є чутливим елементом з релейною характеристикою, для якого коефіцієнти гармонійної лінеаризації
Виконавчий пристрій має передатну функцію виду
Передатна функція об'єкта регулювання дорівнює
.
(27)
Передатна функція лінійної частини системи
,
(28)
На підставі (22), (25) та (28) запишемо характеристичне рівняння замкнутої системи
,
(29)
,
Нехай 1/сек, сік, сік, ст.
І тут параметри періодичного руху рівні
7,071
,
Розглянемо спосіб визначення параметрів автоколивань у лінеаризованій САУ за допомогою критерію Михайлова. Спосіб заснований на тому, що при виникненні автоколивань система перебуватиме на межі стійкості і годограф Михайлова в цьому випадку проходитиме через початок координат.
У прикладі 2 знайдемо параметри автоколивань за умови, що нелінійний елемент у системі Рис.4 являє собою чутливий елемент, що має релейну характеристику з гістерезисом, для якого коефіцієнти гармонійної лінеаризації
,
Лінійна частина залишилася незмінною.
Запишемо характеристичне рівняння замкнутої системи
Годограф Михайлова виходить заміною.
Завдання полягає в тому, щоб підібрати таку амплітуду коливань, при якій рікограф пройде через початок координат. Необхідно відзначити, що при цьому поточна частота, тому що саме в цьому випадку крива пройде через початок координат.
Розрахунки, проведені в MATHCAD 7 при 1/сек, сек, сек, і, дали наступні результати. Рис.5 годограф Михайлова проходить через початок координат. На підвищення точності розрахунків збільшимо потрібний фрагмент графіка. На Рис.6 наведено фрагмент годографа, збільшений на околиці початку координат. Крива проходить через початок координат за ст.
Рис.5. Рис.6.
Частоту коливань при цьому можна знайти з умови рівності нулю модуля. Для частот
значення модуля зведено до таблиці
Таким чином, частота коливань 6,38. Слід зазначити, що точність розрахунків легко можна збільшити.
Отримане періодичне рішення, що визначається значенням амплітуди та частоти необхідно досліджувати на стійкість. Якщо рішення стійке, то системі має місце автоколивальний процес (стійкий граничний цикл). В іншому випадку граничний цикл буде нестійким.
Найпростіше для дослідження стійкості періодичного рішення використати критерій стійкості Михайлова у графічному вигляді. Було встановлено, що за кривої Михайлова проходить через початок координат. Якщо дати мале збільшення , то крива займе положення або вище нуля, або нижче. Так в останньому прикладі дамо приріст в, тобто . Становище кривих Михайлова показано на Рис.7.
При крива проходить вище нуля, що говорить про стійкість системи та загасаючий перехідний процес. При крива Михайлова проходить нижче за нуль, система є нестійкою і перехідний процес є розбіжним. Таким чином періодичне рішення з амплітудою і частотою коливань 6,38 стійко.
Для дослідження стійкості періодичного рішення можна використовувати і аналітичний критерій, одержуваний з графічного критерію Михайлова. Дійсно, щоб дізнатися чи піде крива Михайлова при вище нуля достатньо подивитися, куди буде переміщатися точка кривої Михайлова, яка знаходиться на початку координат.
Якщо розкласти переміщення цієї точки по координатних осях X і Y, то для стійкості періодичного розв'язання вектор, який визначається проекціями на координатні осі
повинен бути розташований праворуч від дотичної MN до кривої Михайлова, якщо дивитися вздовж кривої у бік зростання, напрямок якої визначається проекціями
Аналітичну умову стійкості запишемо у такому вигляді
У цьому вираженні приватні похідні беруться за параметром кривої Михайлова.
,
Необхідно відзначити, що аналітичний вираз критерію стійкості (31) справедливо тільки для систем не вище четвертого порядку, так як, наприклад, для системи п'ятого порядку на початку координат умова (31) може виконуватися, а система буде нестійкою
Застосуємо критерій (31) на дослідження стійкості періодичного рішення, отриманого прикладі 1.
,
,
,
,
Призначення методу гармонічної лінеаризації.
Ідея методу гармонійної лінеаризації була запропонована у 1934р. Н. М. Криловим та Н. Н. Боголюбовим. Щодо систем автоматичного управління цей метод розроблений Л. С. Гольдфарбом та Є. П. Поповим. Інші назви цього методу та його модифікацій – метод гармонійного балансу, метод описувальних функцій, метод еквівалентної лінеаризації.
Метод гармонійної лінеаризації – це метод дослідження автоколивань. Він дозволяє визначати умови існування та параметри можливих автоколивань у нелінійних системах.
Знання параметрів автоколивань дозволяє уявити картину можливих процесів у системі та, зокрема, визначити умови стійкості. Припустимо, наприклад, що в результаті дослідження автоколивань у деякій нелінійній системі ми отримали залежність амплітуди цих автоколивань Авід коефіцієнта передачі kлінійної частини системи, показану на рис.12.1, і знаємо, що автоколивання є стійкими.
З графіка випливає, що з великому значенні коефіцієнта передачі k,коли k > kкр, у системі існують автоколивання. Їхня амплітуда зменшується до нуля при зменшенні коефіцієнта передачі kдо kкр. На рис.12.1 стрілками умовно показаний характер перехідних процесів за різних значеннях k: при k > kкр перехідний процес, викликаний початковим відхиленням, стягується до автоколивань. З малюнка видно, що за k< k кр, система виявляється стійкою. Таким чином, kкр – це критичне за умовою стійкості значення коефіцієнта передачі. Його перевищення призводить до того, що вихідний режим системи стає нестійким і виникають автоколивання. Отже, знання умов існування автоколивань у системі дозволяє визначити умови стійкості.
Ідея гармонічної лінеаризації.
Розглянемо нелінійну систему, схема якої представлена на рис.12.2, а . Система складається з лінійної частини з передатною функцією W л ( s) та нелінійної ланки НЛз конкретно заданою характеристикою . Ланка з коефіцієнтом - 1 показує, що зворотний у системі негативна. Вважаємо, що в системі існують автоколивання, амплітуду та частоту яких ми хочемо знайти. У режимі вхідна величина Хнелінійної ланки та вихідна Yє періодичними функціями часу.
Метод гармонійної лінеаризації заснований на nредноложении, що коливання на вході нелінійної ланки є синусоїдальними. е. що
, (12.1)
деА– амплітуда і - частота цих автоколивань, а - можлива у випадку стала складова, коли автоколивання несиметричні.
Насправді автоколивання в нелінійних системах завжди несинусоїдні внаслідок спотворення їх форми нелінійною ланкою. Тому зазначене вихідне припущення означає, що метод гармонічної лінеаризації є принципово наближенимі область його застосування обмежена випадками, коли автоколивання на вході нелінійної ланки досить близькі до синусоїдальних. Щоб це мало місце, лінійна частина системи повинна не пропускати вищих гармонік автоколивань, тобто бути фільтром нижніх частот. Остання ілюструється рис. 12.2, б . Якщо, наприклад, частота автоколивань дорівнює , то лінійна частина показана на рис. 12.2 б АЧХ буде грати роль фільтра нижніх частот для цих коливань, так як вже друга гармоніка, частота якої дорівнює 2 практично не пройде на вхід нелінійної ланки. Отже, у цьому випадку метод гармонійної лінеаризації можна застосувати.
Якщо частота автоколивань дорівнює , лінійна частина вільно пропускатиме другу, третю та інші гармоніки автоколивань. І тут не можна стверджувати, що коливання на вході нелінійної ланки будуть досить близькі до синусоїдальних, тобто. необхідна застосування методу гармонійної лінеаризації передумова не виконується.
Щоб встановити, чи є лінійна частина системи фільтром нижніх частот і цим визначити застосовність методу гармонійної лінеаризації, необхідно знати частоту автоколебаний. Однак її можна дізнатися лише внаслідок використання цього методу. Таким чином, Прийнятність методу гармонійної лінеаризації доводиться визначати вже наприкінці дослідження в порядку перевірки.
Зауважимо при цьому, що якщо в результаті цієї перевірки гіпотеза про те, що лінійна частина системи відіграє роль фільтра нижніх частот, не підтверджується, це не означає ще невірності отриманих результатів, хоча, зрозуміло, ставить їх під сумнів і вимагає додаткової перевірки будь-яким іншим способом.
Отже, припустивши, що лінійна частина системи є фільтром нижніх частот, вважаємо, що автоколивання на вході нелінійної ланки синусоїдальні, тобто мають вигляд (12.1). Коливання на виході цієї ланки будуть при цьому вже несинусоїдальними через їх спотворення нелінійністю. Як приклад на рис. 12.3 побудована крива на виході нелінійної ланки для певної амплітуди вхідного суто синусоїдального сигналу за характеристикою ланки, наведеної там же.
Рис.12.3. Проходження гармонійного коливання через нелінійну ланку.
Однак, оскільки ми вважаємо, що лінійна частина системи пропускає лише основну гармоніку автоколивань, має сенс цікавитись лише цією гармонікою на виході нелінійної ланки. Тому розкладемо вихідні коливання до ряду Фур'є і відкинемо вищі гармоніки. В результаті отримаємо:
;
; (12.3)
;
.
Перепишемо вираз (12.2) у більш зручному для подальшого використання вигляді, підставивши в нього такі вирази для і :
Підставивши ці висловлювання в (12.2), матимемо:
(12.4)
. (12.5)
Тут введено позначення:
. (12.6)
Диференціальне рівняння (12.5) справедливе для синусоїдального вхідного сигналу (12.1) та визначає вихідний сигнал нелінійної ланки без урахування вищих гармонік.
Коефіцієнти відповідно до виразів (12.3) для коефіцієнтів Фур'є є функціями постійної складової , амплітуди Ата частоти автоколивань на вході нелінійної ланки При фіксованих Аі рівняння (12.5) є лінійним. Таким чином, якщо відкинути вищі гармоніки, то для фіксованого гармонійного сигналу вихідна нелінійна ланка може бути замінена еквівалентним лінійним, що описується рівнянням (12.5). Ця заміна і називається гармонійною лінеаризацією .
На рис. 12.4 умовно зображена схема цієї ланки, що складається з двох паралельних ланок.
Рис. 12.4. Еквівалентна лінійна ланка, отримана в результаті гармонійної лінеаризації.
Одна ланка () пропускає постійну складову, а інша – лише синусоїдальну складову автоколивань.
Коефіцієнти називаються коефіцієнтами гармонійної лінеаризаціїабо гармонійними коефіцієнтами передачі: - коефіцієнт передачі постійної складової, а - два коефіцієнти передачі синусоїдальної складової автоколивань. Ці коефіцієнти визначаються нелінійністю та значеннями та за формулами (12.3). Існують певні за цими формулами готові висловлювання для низки типових нелінійних ланок. Для цих і взагалі всіх безінерційних нелінійних ланок величини не залежать від і є функціями лише амплітуди Ата .
При поданні на вхід лінійної системи гармонійного сигналу
на виході системи також встановлюється гармонійний сигнал, але з іншою амплітудою і зміщений фазою по відношенню до вхідного. Якщо ж синусоїдальний сигнал подати на вхід нелінійного елемента, то на його виході формуються періодичні коливання, але формою істотно відрізняються від синусоїдальних. Як приклад на рис. 8.17 показаний характер зміни вихідної змінної нелінійного елемента з релейною характеристикою (8.14) на час вступу на його вхід синусоїдальних коливань (8.18).
Розкладаючи періодичний сигнал на виході нелінійного елемента в ряд Фур'є, представляємо у вигляді суми постійної складової та нескінченної множини гармонійних складових:
,
(8.19)
де –
постійні коефіцієнти низки Фур'є; – частота коливань першої гармоніки (основна частота), що дорівнює частоті вхідних синусоїдальних коливань; Т -період коливання першої гармоніки, що дорівнює періоду вхідних синусоїдальних коливань.
Вихідний сигнал нелінійного елемента надходить на вхід лінійної частини САУ (див. рис. 8.1), яка, як правило, має суттєву інерційність. У цьому високочастотні складові сигналу (8.19) мало проходять вихід системи, тобто. лінійна частина є фільтром по відношенню до високочастотних гармонійних складових. У зв'язку з цим, а також враховуючи, що амплітуди гармонічних складових у зменшуються зі зростанням частоти гармоніки, для наближеної оцінки вихідної величини нелінійного елемента, у великій кількості випадків достатньо враховувати лише першу гармонійну складову .
Отже, за відсутності постійної складової у вихідних коливаннях вираз (8.19) приблизно можна записати у вигляді:
Виражаючи з формули (8.20) функцію , а з похідної 
– функцію 
, Перетворимо вираз (8.20) наступним чином:
.
(8.21)
Таким чином, нелінійна залежність вихідної величини від вхідної в нелінійному елементі приблизно замінюється лінійною залежністю, що описується виразом (8.21).
Виконавши у виразі (8.21) перетворення Лапласа, отримаємо:
Як і для безперервних ланок введемо на розгляд передатну функцію нелінійного гармонійно-лінеаризованого елемента , як відношення зображення вихідної величини до зображення вхідної величини:
.
(8.22)
Таблиця 8.1
Коефіцієнти гармонійної лінеаризації типових нелінійностей
|
Статична характеристика нелінійного елемента | ||
|
Лінійна характеристика із зоною нечутливості |
| |
|
Лінійна характеристика з обмеженням |
| |
|
Лінійна характеристика із зоною нечутливості та обмеженням |
| |
|
Характеристика "люфт" |
| |
|
Ідеальна релейна характеристика | ||
|
Однозначна релейна характеристика із зоною нечутливості |
| |
|
Неоднозначна релейна характеристика із зоною нечутливості |
|
|
|
Кубічна парабола: | ||
|
Характеристика «петля гістерезису» |
|
|
Передатна функція нелінійного елемента має істотну відмінність від передавальної функції лінійної системи , що полягає в тому, що залежить від амплітуди та частоти вхідного сигналу.
Вираз (8.22) запишемо у вигляді:
q(A) + q 1 (A), (8.23)
де q(A),q 1 (A)- Коефіцієнти гармонійної лінеаризації, що визначаються як відношення коефіцієнтів ряду Фур'є для першої гармоніки вихідних коливань до амплітуди вхідних коливань:
q(A) = q 1 (A) = . (8.24)
Замінюючи у виразі (8.23) рна , отримаємо вираз для комплексного коефіцієнта передачі нелінійного елемента :
q(A) +j q 1 (A), (8.25)
є аналогом АФХ для лінійної ланки.
Як приклад визначимо вираз комплексного коефіцієнта передачі нелінійного елемента з релейної статичної характеристикою (8.14). Коефіцієнти ряду Фур'є A 1 і B 1 для зазначеної нелінійності рівні:
B 1 .
Очевидно, що коефіцієнт B 1 дорівнюватиме нулю для будь-якого нелінійного елемента з непарно-симетричною статичною нелінійністю.
де - передавальна функція лінійної частини системи; - передатна функція нелінійного елемента після лінеаризації.
Якщо 
, то вираз (8.26) можна записати у вигляді:
Замінюючи у виразі (8.27) рна , отримаємо комплексний вираз, в якому необхідно виділити речовинну та уявну частини:
[ q(A) +j q 1 (A) ] . (8.28)
При цьому умова виникнення періодичних коливань у системі з частотою та амплітудою запишемо:
(8.29)
Якщо рішення системи (8.29) комплексні чи негативні, режим автоколивань у системі неможливий. Наявність позитивних речових рішень для свідчить про наявність у системі автоколивань, які необхідно перевірити на стійкість.
Як приклад знайдемо умови виникнення автоколивань у САУ, якщо передатна функція її лінійної частини дорівнює:
(8.30)
та нелінійним елементом типу «петля гістерези».
Передатна функція гармонічно лінеаризованого нелінійного елемента (див. табл. 8.1) має вигляд:
.
(8.31)
Підставляючи вирази (8.30) та (8.31) у вираз (8.26) та замінюючи рна , знайдемо вираз для:
Звідси відповідно до виразу (8.29) отримуємо такі умови виникнення автоколивань у системі:
Рішення системи рівнянь (8.29) зазвичай складно, оскільки коефіцієнти гармонійної лінеаризації мають складну залежність від амплітуди вхідного сигналу. Крім того, крім визначення амплітуди та частоти необхідно оцінити стійкість автоколивань в системі.
Умови виникнення автоколивань у нелінійній системі та параметри граничних циклів можна досліджувати, використовуючи частотні критерії стійкості, наприклад, критерій стійкості Найквіста. Відповідно до цього критерію за наявності ав токолебаний амплітудно-фазова характеристика розімкнутої гармонійно лінеаризованої системи, рівна
проходить через точку (-1, j0). Отже, для і справедлива рівність:
.
(8.32)
Рішення рівняння (8.32) щодо частоти та амплітуди автоколивань можна отримати графічно. Для цього на комплексній площині необхідно, змінюючи частоту від 0 до , побудувати годограф АФХ лінійної частини системи та змінюючи амплітуду Авід 0 до , побудувати годограф зворотної характеристики нелінійної частини, взятий зі знаком «мінус». Якщо ці годографи не перетинаються, режим автоколивань в досліджуваній системі не існує (рис. 8.18, б).
При перетині годографів (рис. 8.18, а) у системі виникають автоколивання, частота та амплітуда яких визначаються значеннями і в точці перетину.
Якщо і - перетинаються у кількох точках (рис. 8.18, а), це свідчить про наявність у системі кількох граничних циклів. При цьому коливання в системі можуть бути стійкими та нестійкими.
Стійкість автоколивального режиму оцінюється в такий спосіб. Режим автоколивань стійкий, якщо точка на годографі нелінійної частини, що відповідає амплітуді більшої порівняно зі значенням у точці перетину годографів, не охоплюється годографом частотної характеристики лінійної частини системи. Інакше авто коливальний режим нестійкий.
На рис. 8.18 а годографи перетинаються в точках 1 і 2. Точка 1 визначає нестійкий режим автоколивань, тому що точка годографа, що відповідає збільшеній амплітуді, охоплюється годографом частотної характеристики лінійної частини системи. Точці 2 відповідає стійкий режим автоколивань, амплітуда яких визначається за годографом а частота - за годографом.
Як приклад оцінимо стійкість автоколивань у двох нелінійних системах. Вважатимемо, що передавальні функції лінійних частин цих систем збігаються і рівні:
,
Проте входять у яких їх нелінійні елементи різні. Нехай до першої системи включений нелінійний елемент «ідеальне реле», що описується системою (8.14), а до другої – нелінійний елемент зі статичною характеристикою «кубічна парабола». Скориставшись даними таблиці 8.1, отримаємо:
На рис. 8.19 зображені годографи цих систем спільно з годографом АФГ лінійної частини системи. З викладеного можна стверджувати, що у першій системі виникають стійкі автоколивання з частотою і амплітудою , тоді як у другій системі автоколивання нестійкі.
p align="justify"> Метод гармонійної лінеаризації дозволяє з достатньою для практики точністю досліджувати стійкість і точність нелінійних систем, використовуючи методи, розроблені для лінійних систем. Метод дає можливість визначити наявність автоколивань, а також їх частоту та амплітуду.
Нелінійна система представляється як сполуки лінійної і нелінійної частини (рис. 5).
Рис. 5 Схема нелінійної системи
Вихідний сигнал нелінійної частини системи у випадку визначається виразом
Позначимо як передавальну функцію лінійної частини. Система рівнянь набуде вигляду
Знайдемо умови, за яких на виході лінійної частини системи виникають гармонічні коливання виду
У цьому випадку сигнал y(t)нелінійної частини буде також періодичну функцію, але відмінну від синусоїди. Цю функцію можна розкласти до ряду Фур'є
У цьому виразі a iі b i- Коефіцієнти Фур'є. Для симетричних нелінійностей F 0 =0.
Основною умовою, що накладає метод на лінійну частину системи, є умова фільтра нижніх частот. Вважається, що лінійна частина пропускає лише першу гармоніку коливань. Дане припущення дозволяє вважати вищі гармоніки (7.19) несуттєвими і обмежитися розглядом тільки першої гармоніки сигналу y(t).
то вираз (7.20) можна переписати як
Перше рівняння системи (7.17) набуде вигляду
У цьому виразі
Результат заміни нелінійності F(x,sx)виразом
і називається гармонійною лінеаризацією. Величини qі q 1 називаються коефіцієнтами гармонійної лінеаризації чи просто гармонічними коефіцієнтами. Для однозначних нелінійностей зазвичай q 1 =0 . Формули для гармонійних коефіцієнтів, що відповідають типовим нелінійностям, наводяться у додатках.
Принципова відмінність гармонійної лінеаризації від звичайної полягає в тому, що при звичайній лінеаризації нелінійну характеристику замінюють прямою лінією з певною постійною крутістю, а при гармонійній лінеаризації - прямою лінією, крутість якої залежить від амплітуди вхідного сигналу нелінійного елемента.
Розглянемо методику визначення амплітуди та частоти автоколивань.
1). У характеристичному рівнянні системи, отриманому з (7.22) робимо заміну s=jі отримаємо
2). З отриманого виразу виділяємо речовинну і уявну частини і прирівнюємо їх нулю, що, за критерієм Михайлова, відповідає знаходженню системи коливальної межі стійкості.
- 3).Рішення цієї системи дає частоту та значення гармонійних коефіцієнтів. Якщо ці значення речові і позитивні, то системі існує граничний цикл. За значеннями гармонійних коефіцієнтів можна визначити амплітуду граничного циклу.
- 4). Спільним ознакою стійкості граничного циклу, тобто. існування автоколивань, є рівність нулю передостаннього визначника Гурвіца при отриманих значеннях амплітуди та частоти граничного циклу. Часто зручніше використовувати умову стійкості граничного циклу, основу якого лежить критерій стійкості Михайлова.
Якщо ця нерівність виконується, то граничний цикл стійкий і в системі існують автоколивання з певними амплітудою і частотою. Індекс ”*” означає, що похідні обчислені при відомих значеннях гармонічних коефіцієнтів, амплітуди та частоти.
приклад. Припустимо, що у вже розглянутій вище системі стабілізації кута тангажу літака рульовий привід нелінійний та його структурна схема має вигляд, показаний на рис. 7.6.
Рис.6 Схема нелінійного кермового приводу
Задамо наступні параметри нелінійності швидкісної характеристики рульового приводу: b = 0.12, k 1 = tg = c/b = 6.7.Коефіцієнти гармонійної лінеаризації цієї нелінійності визначаються виразами
Замінивши у схемі нелінійну характеристику гармонічним коефіцієнтом, отримаємо передавальну функцію кермового приводу
Підставимо цю передатну функцію в структурну схему системи стабілізації кута тангажу та визначимо передавальну функцію замкнутої системи
У характеристичному рівнянні замкнутої системи зробимо заміну s = jі виділимо речовинну та уявну частини.
З другого рівняння системи отримаємо вираз частоти: , і підставивши їх у перше рівняння, після перетворень одержимо
Підставивши сюди раніше певні вирази для коефіцієнтів характеристичного рівняння, можна отримати квадратне рівняння щодо гармонійного коефіцієнта, вирішивши яке, знайдемо
За цими значеннями можна обчислити для двох випадків всі коефіцієнти характеристичного рівняння та визначити частоти, що відповідають кожному значенню q(А).Отримаємо:
Обидва значення гармонійного коефіцієнта та відповідні частоти є речовинними та позитивними. Отже, у системі існують два граничні цикли. Значення амплітуди граничного циклу визначаються чисельно шляхом підбору такого значення, у якому формула для коефіцієнта гармонійної лінеаризації дає значення, що дорівнює раніше обчисленому. У даному випадку отримаємо
Тепер оцінимо стійкість граничних циклів. Використовуємо нерівність, отриману з критерію Михайлова, для чого визначимо
Похідна від коефіцієнта гармонійної лінеаризації, що входить до отриманих виразів, обчислюється за формулою
Розрахунки за наведеними вище формулами показують, що перший граничний цикл не стійкий і виникає він при (0) 0.1166(6.7 0 ). Якщо початкове відхилення менше зазначеного, процес на вході нелінійного елемента згасає (рис.7. 7) і система стійка.
Якщо початкове значення кута тангажу більше зазначеного, то процеси сходяться до другого граничного циклу, який стійкий і, таким чином, у системі виникають автоколивання (рис. 8).
Рис. 8
Шляхом моделювання визначено, що область тяжіння стійкого граничного циклу лежить приблизно в межах (0) 0.1167 - 1.4 (6.71 0 - 80.2 0 ).