Найпростіші тригонометричні тотожності
Приватне від розподілу синуса кута альфа на косинус того ж кута дорівнює тангенсу цього кута (Формула 1). також доказ правильності перетворення найпростіших тригонометричних тотожностей.
Приватне від розподілу косинуса кута альфа на синус того ж кута дорівнює котангенсу цього ж кута (Формула 2)
Секанс кута дорівнює одиниці, поділеній на косинус цього самого кута (Формула 3)
Сума квадратів синуса і косинуса одного й того самого кута дорівнює одиниці (Формула 4). див. також доказ суми квадратів косинуса та синуса.
Сума одиниці та тангенсу кута дорівнює відношенню одиниці до квадрату косинуса цього кута (Формула 5)
Одиниця плюс котангенс кута дорівнює частці від розподілу одиниці на синус квадрат цього кута (Формула 6)
Твір тангенсу на котангенс одного і того ж кута дорівнює одиниці (Формула 7).
Перетворення негативних кутів тригонометричних функцій (парність та непарність)
Для того, щоб позбавитися від негативного значення градусної міри кута при обчисленні синуса, косинуса або тангенса, можна скористатися такими тригонометричними перетвореннями (тотожністю), заснованими на принципах парності або непарності тригонометричних функцій.
Як видно, косинусі секанс є парною функцією, синус, тангенс та котангенс - непарні функції.
Синус негативного кута дорівнює негативному значенню синуса цього ж позитивного кута (мінус синус альфа).
Косинус "мінус альфа" дасть те саме значення, що і косинус кута альфа.
Тангенс мінус альфа дорівнює мінусу тангенс альфа.
Формули приведення подвійного кута (синус, косинус, тангенс та котангенс подвійного кута)
Якщо необхідно розділити кут навпіл, або, навпаки, перейти від подвійного кута до одинарного, можна скористатися такими тригонометричними тотожностями:
Перетворення подвійного кута (синуса подвійного кута, косинуса подвійного кута та тангенса подвійного кута) в одинарний відбувається за такими правилами:
Синус подвійного кутадорівнює подвоєному твору синуса на косинус одинарного кута
Косинус подвійного кутадорівнює різниці квадрата косинуса одинарного кута і квадрата синуса цього кута
Косинус подвійного кутадорівнює подвоєному квадрату косинуса одинарного кута мінус одиниця
Косинус подвійного кутадорівнює одиниці мінус подвійний синус квадрат одинарного кута
Тангенс подвійного кутадорівнює дробу, чисельник якого - подвоєний тангенс одинарного кута, а знаменник дорівнює одиниці мінус тангенс квадрат одинарного кута.
Котангенс подвійного кутадорівнює дробу, чисельник якого - квадрат котангенсу одинарного кута мінус одиниця, а знаменник дорівнює подвоєному котангенсу одинарного кута
Формули універсальної тригонометричної підстановки
Наведені нижче формули перетворення можуть стати в нагоді, коли потрібно аргумент тригонометричної функції (sin α, cos α, tg α) розділити на два і привести вираз до значення половини кута. Зі значення α отримуємо α/2 .Дані формули називаються формулами універсальної тригонометричної підстановки. Їх цінність у тому, що тригонометричний вираз з допомогою зводиться до висловлювання тангенса половини кута, незалежно від цього, які тригонометричні функції (sin cos tg ctg) були у виразі спочатку. Після цього рівняння з тангенсом половини кута вирішити набагато простіше.
Тригонометричні тотожності перетворення половини кута
Наведені нижче формули тригонометричного перетворення половинної величини кута для його цілого значення.Значення аргументу тригонометричної функції α/2 наводиться значення аргументу тригонометричної функції α.
Тригонометричні формули складання кутів
cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β
sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α
sin (α - β) = sin α · cos β - sin β · cos α
cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
Тангенс та котангенс суми кутівальфа та бета можуть бути перетворені за такими правилами перетворення тригонометричних функцій:
Тангенс суми кутівдорівнює дробу, чисельник якого - сума тангенса першого і тангенса другого кута, а знаменник - одиниця мінус добуток тангенса першого кута на тангенс другого кута.
Тангенс різниці кутівдорівнює дробу, чисельник якого дорівнює різниці тангенсу кута, що зменшується, і тангенса віднімається кута, а знаменник - одиниці плюс добуток тангенсів цих кутів.
Котангенс суми кутівдорівнює дробу, чисельник якого дорівнює добутку котангенсів цих кутів плюс одиниця, а знаменник дорівнює різниці котангенсу другого кута та котангенсу першого кута.
Котангенс різниці кутівдорівнює дробу, чисельник якого - добуток котангенсів цих кутів мінус одиниця, а знаменник дорівнює сумі котангенсів цих кутів.
Дані тригонометричні тотожності зручно застосовувати, коли потрібно вирахувати, наприклад, тангенс 105 градусів (tg 105). Якщо його як tg (45 + 60), можна скористатися наведеними тотожними перетвореннями тангенсу суми кутів, після чого просто підставити табличні значення тангенса 45 і тангенса 60 градусів.
Формули перетворення суми або різниці тригонометричних функцій
Вирази, що є сумою виду sin α + sin β можна перетворити за допомогою наступних формул:
Формули потрійного кута - перетворення sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα
Іноді необхідно перетворити потрійну величину кута так, щоб аргументом тригонометричної функції замість 3 став кут α.У цьому випадку можна скористатися формулами (тотожностями) перетворення потрійного кута:
Формули перетворення твору тригонометричних функцій
Якщо виникає необхідність перетворити добуток синусів різних кутів косинусів різних кутів або навіть твори синуса на косинус, то можна скористатися такими тригонометричними тотожностями:
У цьому випадку добуток функцій синуса, косинуса або тангенсу різних кутів буде перетворено на суму чи різницю.
Формули приведення тригонометричних функцій
Користуватися таблицею приведення слід так. У рядку вибираємо функцію, яка нас цікавить. У стовпці – кут. Наприклад, синус кута (α+90) на перетині першого рядка та першого стовпця з'ясовуємо, що sin (α+90) = cos α.
Якщо говорити просто, це овочі, приготовлені у воді за спеціальним рецептом. Я розглядатиму два вихідні компоненти (овочевий салат і воду) і готовий результат - борщ. Геометрично це можна як прямокутник, у якому одна сторона позначає салат, друга сторона позначає воду. Сума цих двох сторін позначатиме борщ. Діагональ та площа такого "борщового" прямокутника є суто математичними поняттями і ніколи не використовуються в рецептах приготування борщу.
Як салат і вода перетворюються на борщ з погляду математики? Як сума двох відрізків може перетворитися на тригонометрію? Щоб це зрозуміти, нам знадобляться лінійні кутові функції.
У підручниках математики ви нічого не знайдете про лінійні кутові функції. Адже без них не може бути математики. Закони математики, як і закони природи, працюють незалежно від того, знаємо ми про їхнє існування чи ні.
Лінійні кутові функції – це закони складання.Подивіться, як алгебра перетворюється на геометрію, а геометрія перетворюється на тригонометрію.
Чи можна обійтись без лінійних кутових функцій? Можна, адже математики досі без них обходяться. Хитрість математиків полягає в тому, що вони завжди розповідають нам тільки про ті завдання, які вони вміють вирішувати, і ніколи не розповідають про ті завдання, які вони вирішувати не вміють. Дивіться. Якщо нам відомий результат складання та один доданок, для пошуку іншого доданку ми використовуємо віднімання. Усе. Інших завдань ми не знаємо і вирішувати не вміємо. Що робити в тому випадку, якщо нам відомий тільки результат додавання і не відомі обидва доданки? У цьому випадку результат додавання потрібно розкласти на два доданки за допомогою лінійних кутових функцій. Далі ми вже самі вибираємо, яким може бути одне доданок, а лінійні кутові функції показують, яким має бути друге доданок, щоб результат додавання був саме таким, який нам потрібен. Таких пар доданків може бути безліч. У повсякденному житті ми чудово обходимося без розкладання суми, нам достатньо віднімання. А ось при наукових дослідженнях законів природи розкладання суми на доданки може знадобитися.
Ще один закон складання, про який математики не люблять говорити (ще одна їхня хитрість), вимагає, щоб доданки мали однакові одиниці виміру. Для салату, води та борщу це можуть бути одиниці виміру ваги, обсягу, вартості або одиниці виміру.
На малюнку показано два рівні відмінностей для математичних. Перший рівень - це відмінності в області чисел, які позначені a, b, c. Це те, чим займаються математики. Другий рівень - це відмінності в області одиниць виміру, які показані у квадратних дужках та позначені буквою U. Цим займаються фізики. Ми можемо розуміти третій рівень - розбіжності у області описуваних об'єктів. Різні об'єкти можуть мати однакову кількість однакових одиниць виміру. Наскільки це важливо, ми можемо побачити з прикладу тригонометрії борщу. Якщо ми додамо нижні індекси до однакового позначення одиниць виміру різних об'єктів, ми зможемо точно говорити, яка математична величина описує конкретний об'єкт і як вона змінюється з часом або у зв'язку з діями. Буквою Wя позначу воду, літерою Sпозначу салат і буквою B- Борщ. Ось як виглядатимуть лінійні кутові функції для борщу.
Якщо ми візьмемо якусь частину води та якусь частину салату, разом вони перетворяться на одну порцію борщу. Тут я пропоную вам трохи відволіктися від борщу та згадати далеке дитинство. Пам'ятаєте, як нас вчили складати разом зайчиків та качечок? Потрібно було знайти, скільки всього звірят вийде. Що ж тоді нас вчили робити? Нас вчили відривати одиниці виміру від чисел і складати числа. Так, будь-яке число можна скласти з іншим будь-яким числом. Це прямий шлях до аутизму сучасної математики - ми робимо незрозуміло що, незрозуміло навіщо і дуже погано розуміємо, як це стосується реальності, адже з трьох рівнів відмінності математики оперують лише одним. Правильніше буде навчитися переходити від одних одиниць виміру до інших.
І зайчиків, і качечок, і звірят можна порахувати в штуках. Одна загальна одиниця виміру для різних об'єктів дозволяє нам скласти їх разом. Це дитячий варіант завдання. Погляньмо на схоже завдання для дорослих. Що вийде, якщо скласти зайчиків та гроші? Тут можна запропонувати два варіанти рішення.
Перший варіант. Визначаємо ринкову вартість зайчиків і складаємо її з наявною грошовою сумою. Ми отримали загальну вартість нашого багатства у грошовому еквіваленті.
Другий варіант. Можна кількість кроликів скласти з кількістю наявних у нас грошових купюр. Ми отримаємо кількість рухомого майна у штуках.
Як бачите, той самий закон складання дозволяє отримати різні результати. Все залежить від того, що ми хочемо знати.
Але повернемось до нашого борщу. Тепер ми можемо подивитися, що відбуватиметься за різних значень кута лінійних кутових функцій.
Кут дорівнює нулю. Ми маємо салат, але немає води. Ми не можемо приготувати борщ. Кількість борщу також дорівнює нулю. Це зовсім не означає, що нуль борщу дорівнює нулю води. Нуль борщу може бути при нулі салату (прямий кут).
Особисто для мене це основний математичний доказ того факту, що . Нуль не змінює число під час додавання. Це відбувається тому, що саме додавання неможливе, якщо є тільки один доданок і відсутній другий доданок. Ви до цього можете ставитися як завгодно, але пам'ятайте - всі математичні операції з нулем придумали самі математики, тому відкидайте свою логіку і тупо зубріть визначення, придумані математиками: "поділ на нуль неможливий", "будь-яке число, помножене на нуль, дорівнює нулю" , "за виколом точки нуль" та інше марення. Досить один раз запам'ятати, що нуль не є числом, і у вас вже ніколи не виникне питання, чи є нуль натуральним числом чи ні, тому що таке питання взагалі позбавляється всякого сенсу: як можна вважати числом те, що числом не є. Це все одно, що питати, до якого кольору віднести невидимий колір. Додавати нуль до - це те саме, що фарбувати фарбою, якої немає. Сухим пензликом помахали і говоримо всім, що "ми пофарбували". Але я трохи відволікся.
Кут більший за нуль, але менше сорока п'яти градусів. Ми маємо багато салату, але мало води. В результаті ми отримаємо густий борщ.
Кут дорівнює сорок п'ять градусів. Ми маємо в рівних кількостях воду та салат. Це ідеальний борщ (хай вибачать мене кухарі, це просто математика).
Кут більше сорока п'яти градусів, але менше дев'яноста градусів. У нас багато води та мало салату. Вийде рідкий борщ.
Прямий кут. Ми маємо воду. Від салату залишилися лише спогади, оскільки кут ми продовжуємо вимірювати від лінії, яка колись означала салат. Ми не можемо приготувати борщ. Кількість борщу дорівнює нулю. У такому разі, тримайтеся та пийте воду, поки вона є)))
Ось. Якось так. Я можу тут розповісти й інші історії, які будуть більш доречні.
Двоє друзів мали свої частки у спільному бізнесі. Після вбивства одного з них все дісталося іншому.
Поява математики на планеті.
Всі ці історії мовою математики розказані за допомогою лінійних кутових функцій. Якось іншим разом я покажу вам реальне місце цих функцій у структурі математики. А поки що, повернемося до тригонометрії борщу та розглянемо проекції.
субота, 26 жовтня 2019 р.
Переглянув цікаве відео про ряд Гранді Один мінус один плюс один мінус один - Numberphile. Математики брешуть. Вони не виконали перевірку рівності під час своїх міркувань.
Це перегукується з моїми міркуваннями.
Давайте детальніше розглянемо ознаки обману нас математиками. На самому початку міркувань, математики говорять, що сума послідовності залежить від того, парна кількість елементів в ній чи ні. Це ОБ'ЄКТИВНО ВСТАНОВЛЕНИЙ ФАКТ. Що відбувається далі?
Далі математики з одиниці віднімають послідовність. До чого це призводить? Це призводить до зміни кількості елементів послідовності - парна кількість змінюється на непарне, непарне змінюється на парне. Адже ми додали до послідовності один елемент, який дорівнює одиниці. Незважаючи на всю зовнішню схожість, послідовність до перетворення не дорівнює послідовності після перетворення. Навіть якщо ми розмірковуємо про нескінченну послідовність, необхідно пам'ятати, що нескінченна послідовність з непарною кількістю елементів не дорівнює нескінченній послідовності з парною кількістю елементів.
Ставлячи знак рівності між двома різними за кількістю елементів послідовностями, математики стверджують, що сума послідовності НЕ ЗАЛЕЖИТЬ від кількості елементів у послідовності, що суперечить ОБ'ЄКТИВНО ВСТАНОВЛЕНОМУ ФАКТУ. Подальші міркування сумі нескінченної послідовності є хибними, оскільки засновані на хибній рівності.
Якщо ви бачите, що математики в ході доказів розставляють дужки, переставляють місцями елементи математичного вираження, що-небудь додають або прибирають, будьте дуже уважні, швидше за все, вас намагаються обдурити. Як карткові фокусники, математики різними маніпуляціями з виразом відволікають вашу увагу, щоб підсунути вам помилковий результат. Якщо картковий фокус ви не можете повторити, не знаючи секрету обману, то в математиці все набагато простіше: ви навіть нічого не підозрюєте про обман, але повторення всіх маніпуляцій з математичним виразом дозволяє переконати інших у правильності отриманого результату, так само, як коли то переконали вас.
Питання із зали: А нескінченність (як кількість елементів у послідовності S), вона парна чи непарна? Як можна поміняти парність у того, що парності немає?
Нескінченність для математиків, як Царство Небесне для попів - ніхто ніколи там не був, але всі точно знають, як там все влаштовано))) Згоден, після смерті вам буде абсолютно байдуже, парна чи непарна кількість днів ви прожили, але... Додавши всього один день на початок вашого життя, ми отримаємо зовсім іншу людину: прізвище, ім'я та по батькові у нього такі самі, тільки дата народження зовсім інша - він народився за один день до вас.
А тепер по суті))) Допустимо, кінцева послідовність, що має парність, втрачає цю парність при переході до нескінченності. Тоді і будь-який кінцевий відрізок нескінченної послідовності має втратити парність. Ми цього не бачимо. Те, що ми не можемо точно сказати, парне чи непарне кількість елементів у нескінченної послідовності, зовсім не означає, що парність зникла. Не може парність, якщо вона є, безвісти зникнути в нескінченності, як у рукаві шулера. Для цього випадку дуже хороша аналогія.
Ви ніколи не питали у зозулі, що сидить у годиннику, в якому напрямку обертається стрілка годинника? Для неї стрілка обертається у зворотному напрямку тому, що ми називаємо "за годинниковою стрілкою". Як це не парадоксально звучить, але напрямок обертання залежить виключно від того, з якого боку ми спостерігаємо. І так, у нас є одне колесо, що обертається. Ми не можемо сказати, в якому напрямку відбувається обертання, оскільки його можемо спостерігати як з одного боку площини обертання, так і з іншого. Ми можемо лише засвідчити факт, що є обертання. Повна аналогія з парністю нескінченної послідовності S.
Тепер додамо друге обертове колесо, площина обертання якого паралельна площині обертання першого колеса, що обертається. Ми, як і раніше, не можемо точно сказати, в якому напрямку обертаються ці колеса, але ми абсолютно точно можемо сказати, обертаються обидва колеса в один бік або в протилежні. Порівнюючи дві нескінченні послідовності Sі 1-Sя за допомогою математики показав, що у цих послідовностей різна парність і ставити знак рівності між ними - це помилка. Особисто я вірю математиці, не довіряю математикам))) До речі, для повного розуміння геометрії перетворень нескінченних послідовностей, необхідно вводити поняття "одночасність". Це треба буде намалювати.
середа, 7 серпня 2019 р.
Завершуючи розмову про , потрібно розглянути безліч. Дало в тому, що поняття "нескінченність" діє на математиків, як удав на кролика. Тремтливий жах перед нескінченністю позбавляє математиків здорового глузду. Ось приклад:
Першоджерело знаходиться. Альфа означає дійсне число. Знак рівності в наведених висловлюваннях свідчить про те, що якщо до нескінченності додати число або нескінченність, нічого не зміниться, в результаті вийде така сама нескінченність. Якщо в якості прикладу взяти безліч натуральних чисел, то розглянуті приклади можна представити в такому вигляді:
Для наочного доказу своєї правоти математики вигадали багато різних методів. Особисто я дивлюся на всі ці методи, як на танці шаманів із бубнами. По суті, всі вони зводяться до того, що або частина номерів не зайнята і в них заселяються нові гості, або частину відвідувачів викидають у коридор, щоб звільнити місце для гостей (дуже навіть по-людськи). Свій погляд на подібні рішення я виклав у формі фантастичного оповідання про Блондинку. На чому ґрунтуються мої міркування? Переселення нескінченної кількості відвідувачів потребує багато часу. Після того, як ми звільнили першу кімнату для гостя, один із відвідувачів завжди буде йти коридором зі свого номера до сусіднього до кінця століття. Звичайно, фактор часу можна тупо ігнорувати, але це вже буде з розряду "дурням закон не писаний". Все залежить від того, чим ми займаємося: підганяємо реальність під математичні теорії чи навпаки.
Що ж таке "нескінченний готель"? Нескінченний готель - це готель, де завжди є будь-яка кількість вільних місць, незалежно від того, скільки номерів зайнято. Якщо всі номери в нескінченному коридорі для відвідувачів зайняті, є інший нескінченний коридор з номерами для гостей. Таких коридорів буде безліч. При цьому у "нескінченного готелю" нескінченна кількість поверхів у нескінченній кількості корпусів на нескінченній кількості планет у нескінченній кількості всесвітів, створених нескінченною кількістю Богів. Математики ж не здатні відсторонитися від банальних побутових проблем: Бог-Аллах-Будда – завжди лише один, готель – він один, коридор – лише один. Ось математики і намагаються підтасовувати порядкові номери готельних номерів, переконуючи нас у тому, що можна "впхнути невичерпне".
Логіку своїх міркувань я вам продемонструю на прикладі нескінченної множини натуральних чисел. Спочатку потрібно відповісти на дуже просте запитання: скільки множин натуральних чисел існує - одне чи багато? Правильного відповіді це питання немає, оскільки числа придумали ми самі, у Природі чисел немає. Так, Природа добре вміє рахувати, але для цього вона використовує інші математичні інструменти, не звичні для нас. Як природа вважає, я вам розповім в інший раз. Оскільки числа придумали ми, ми самі вирішуватимемо, скільки множин натуральних чисел існує. Розглянемо обидва варіанти, як і належить справжнім ученим.
Варіант перший. "Нехай нам дано" одне-єдине безліч натуральних чисел, яке безтурботно лежить на поличці. Беремо з полички це безліч. Все інших натуральних чисел на поличці не залишилося і взяти їх ніде. Ми не можемо до цієї множини додати одиницю, оскільки вона вже є. А якщо дуже хочеться? Без проблем. Ми можемо взяти одиницю з вже взятої нами множини і повернути її на поличку. Після цього ми можемо взяти з полички одиницю і додати її до того, що залишилося. В результаті ми знову отримаємо безліч натуральних чисел. Записати всі наші маніпуляції можна так:
Я записав дії в системі алгебри позначень і в системі позначень, прийнятої в теорії множин, з детальним перерахуванням елементів множини. Нижній індекс вказує на те, що багато натуральних чисел у нас одне і єдине. Виходить, що безліч натуральних чисел залишиться незмінним тільки в тому випадку, якщо відняти одиницю і додати цю ж одиницю.
Варіант другий. У нас на поличці лежить багато різних нескінченних множин натуральних чисел. Наголошую - РІЗНИХ, не дивлячись на те, що вони практично не відрізняються. Беремо одну з цих множин. Потім з іншого безлічі натуральних чисел беремо одиницю і додаємо до вже взятої нами множини. Ми можемо навіть скласти дві множини натуральних чисел. Ось що в нас вийде:
Нижні індекси "один" і "два" вказують на те, що ці елементи належали різним множинам. Так, якщо до нескінченної множини додати одиницю, в результаті вийде теж нескінченна множина, але вона не буде такою, як початкова множина. Якщо до однієї нескінченної множини додати іншу нескінченну множину, в результаті вийде нова нескінченна множина, що складається з елементів перших двох множин.
Багато натуральних чисел використовується для рахунку так само, як лінійка для вимірювань. Тепер уявіть, що до лінійки ви додали один сантиметр. Це вже буде інша лінійка, яка не дорівнює початковій.
Ви можете приймати чи не приймати мої міркування – це ваша особиста справа. Але якщо колись ви зіткнетеся з математичними проблемами, подумайте, чи не йдете ви стежкою помилкових міркувань, протоптаною поколіннями математиків. Адже заняття математикою передусім формують у нас стійкий стереотип мислення, а вже потім додають нам розумових здібностей (або навпаки, позбавляють нас вільнодумства).
pozg.ru
неділя, 4 серпня 2019 р.
Дописував постскриптум до статті про та побачив у Вікіпедії цей чудовий текст:
Читаємо: "... багата теоретична основа математики Вавилону у відсутності цілісного характеру і зводилася до набору розрізнених прийомів, позбавлених загальної системи та доказової бази."
Вау! Які ми розумні та як добре можемо бачити недоліки інших. А чи слабко нам подивитися на сучасну математику в такому ж розрізі? Злегка перефразовуючи наведений текст, особисто у мене вийшло таке:
Багата теоретична основа сучасної математики немає цілісного характеру і зводиться до набору розрізнених розділів, позбавлених загальної системи та доказової бази.
За підтвердженням своїх слів я далеко ходити не буду - має мову та умовні позначення, відмінні від мови та умовних позначень багатьох інших розділів математики. Одні й самі назви у різних розділах математики можуть мати різний сенс. Найбільш очевидним ляпам сучасної математики хочу присвятити цілий цикл публікацій. До скорої зустрічі.
субота, 3 серпня 2019 р.
Як поділити безліч на підмножини? Для цього необхідно ввести нову одиницю виміру, присутню у частині елементів вибраної множини. Розглянемо приклад.
Нехай у нас є безліч А, Що складається з чотирьох людей. Сформовано цю множину за ознакою "люди" Позначимо елементи цієї множини через букву а, нижній індекс з цифрою вказуватиме на порядковий номер кожної людини у цій множині. Введемо нову одиницю виміру "статевий ознака" і позначимо її літерою b. Оскільки статеві ознаки властиві всім людям, множимо кожен елемент множини Ана статеву ознаку b. Зверніть увагу, що тепер наша безліч "люди" перетворилася на безліч "люди зі статевими ознаками". Після цього ми можемо розділити статеві ознаки на чоловічі bmта жіночі bwстатеві ознаки. Ось тепер ми можемо застосувати математичний фільтр: вибираємо один із цих статевих ознак, байдуже який - чоловічий чи жіночий. Якщо вона присутня в людини, тоді множимо її на одиницю, якщо такої ознаки немає - множимо її на нуль. А далі застосовуємо звичайну шкільну математику. Дивіться, що вийшло.
Після множення, скорочень і перегрупувань, ми отримали дві підмножини: підмножина чоловіків Bmі підмножина жінок Bw. Приблизно так само міркують математики, коли застосовують теорію множин на практиці. Але в деталі вони нас не присвячують, а видають готовий результат - "безліч людей складається з підмножини чоловіків і підмножини жінок". Звичайно, у вас може виникнути питання, наскільки правильно застосована математика у викладених вище перетвореннях? Смію вас запевнити, насправді перетворень зроблено все правильно, досить знати математичне обґрунтування арифметики, булевої алгебри та інших розділів математики. Що це таке? Якось іншим разом я вам про це розповім.
Що ж до надмножин, то об'єднати дві множини в одне надмножина можна, підібравши одиницю виміру, присутню в елементів цих двох множин.
Як бачите, одиниці виміру та звичайна математика перетворюють теорію множин на пережиток минулого. Ознакою те, що з теорією множин не все гаразд, є те, що для теорії множин математики вигадали власну мову та власні позначення. Математики вчинили так, як колись робили шамани. Тільки шамани знають, як "правильно" застосовувати їх "знання". Цим "знанням" вони навчають нас.
На закінчення, я хочу показати вам, як математики маніпулюють з
Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячі кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той же бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.
Ця міра стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Арістотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони так чи інакше розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, дійти спільної думки про сутність парадоксів науковому співтовариству поки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.
З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід має на увазі застосування замість постійних. Наскільки розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць виміру або ще розроблений, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.
Якщо перевернути звичну нам логіку, то все стає на свої місця. Ахіллес біжить із постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно говоритиме "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".
Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницях виміру часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:
За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха у той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, що дорівнює першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.
Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне вирішення проблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.
Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.
Стріла, що летить, нерухома, тому що в кожен момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожен момент часу, то вона спочиває завжди.
У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - досить уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. По одній фотографії автомобіля на дорозі неможливо визначити факт його руху, ні відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точок простору в один момент часу, але не можна визначити факт руху (природно, ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагу, то це на те, що дві точки в часі і дві точки в просторі – це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.
Покажу процес на прикладі. Відбираємо "червоне тверде в пухирцю" - це наше "ціле". При цьому ми бачимо, що ці штучки є з бантиком, а без бантика. Після цього ми відбираємо частину "цілого" і формуємо безліч "з бантиком". Ось так шамани добувають собі корм, прив'язуючи свою теорію множин до реальності.
А тепер зробимо маленьку пакість. Візьмемо "тверде в пухирцю з бантиком" і об'єднаємо ці "цілі" за колірною ознакою, відібравши червоні елементи. Ми отримали безліч "червоних". Тепер питання на засипку: отримані множини "з бантиком" і "червоне" - це одна й та сама безліч або дві різні множини? Відповідь знають лише шамани. Точніше самі вони нічого не знають, але як скажуть, так і буде.
Цей простий приклад показує, що теорія множин абсолютно марна, коли йдеться про реальність. У чому секрет? Ми сформували безліч "червоне тверде в пухирцю з бантиком". Формування відбувалося за чотирма різними одиницями виміру: колір (червоне), міцність (тверде), шорсткість (у пухирцю), прикраси (з бантиком). Тільки сукупність одиниць виміру дозволяє адекватно описувати реальні об'єкти мовою математики.. Ось як це виглядає.
Літера "а" з різними індексами позначає різні одиниці виміру. У дужках виділено одиниці виміру, якими виділяється " ціле " попередньому етапі. За дужки винесена одиниця виміру, якою формується безліч. Останній рядок показує остаточний результат - елемент множини. Як бачите, якщо застосовувати одиниці виміру для формування множини, то результат не залежить від порядку наших дій. А це вже математика, а не танці шаманів із бубнами. Шамани можуть "інтуїтивно" дійти такого ж результату, аргументуючи його "очевидністю", адже одиниці виміру не входять до їх "наукового" арсеналу.
За допомогою одиниць виміру дуже легко розбити одну або об'єднати кілька множин в одну надмножину. Давайте уважніше розглянемо алгебру цього процесу.
Основні формули тригонометрії - це формули, що встановлюють зв'язок між основними тригонометричними функціями. Синус, косинус, тангенс та котангенс пов'язані між собою безліччю співвідношень. Нижче наведемо основні тригонометричні формули, а для зручності згрупуємо їх за призначенням. З використанням даних формул можна вирішити практично будь-яке завдання зі стандартного курсу тригонометрії. Відразу зазначимо, що нижче наведені самі формули, а чи не їх висновок, якому будуть присвячені окремі статті.
Основні тотожності тригонометрії
Тригонометричні тотожності дають зв'язок між синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом одного кута, дозволяючи висловити одну функцію через іншу.
Тригонометричні тотожності
sin 2 a + cos 2 a = 1 tg α = sin α cos α, ctg α = cos α sin α tg α · ctg α = 1 tg 2 α + 1 = 1 cos 2 α, ctg 2 α + 1 = 1 sin 2 α
Ці тотожності безпосередньо випливають із визначень одиничного кола, синуса (sin), косинуса (cos), тангенсу (tg) та котангенсу (ctg).
Формули приведення
Формули приведення дозволяють переходити від роботи з довільними і скільки завгодно великими кутами до роботи з кутами в межах від 0 до 90 градусів.
Формули приведення
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α tg α + 2 π z = tg α , ctg α + 2 π z = ctg α sin - α + 2 π z = - sin α, cos - α + 2 π z = cos α tg - α + 2 π z = - tg α, ctg - α + 2 π z = - ctg α sin π 2 + α + 2 π z = cos α, cos π 2 + α + 2 π z = - sin α tg π 2 + α + 2 π z = - ctg α, ctg π 2 + α + 2 π z = - tg α sin π 2 - α + 2 π z = cos α, cos π 2 - α + 2 π z = sin α tg π 2 - α + 2 π z = ctg α, ctg π 2 - α + 2 π z = tg α sin π + α + 2 π z = - sin α, cos π + α + 2 π z = - cos α tg π + α + 2 π z = tg α, ctg π + α + 2 π z = ctg α sin π - α + 2 π z = sin α, cos π - α + 2 π z = - cos α tg π - α + 2 π z = - tg α, ctg π - α + 2 π z = - ctg α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α, cos 3 ? = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α tg 3 π 2 - α + 2 π z = ctg α , ctg 3 π 2 - α + 2 π z = tg α
Формули приведення є наслідком періодичності тригонометричних функцій.
Тригонометричні формули складання
Формули додавання в тригонометрії дозволяють виразити тригонометричну функцію суми або різниці кутів через тригонометричні функції цих кутів.
Тригонометричні формули складання
sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α · sin β tg α ± β = tg α ± tg β 1 ± tg α · tg β ctg α β = - 1 ± ctg α · ctg β ctg α ± ctg β
На основі формул складання виводяться тригонометричні формули кратного кута.
Формули кратного кута: подвійного, потрійного тощо.
Формули подвійного та потрійного кутаsin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 tg 2 α = 2 · tg α 1 - tg 2 α з tg 2 α = з tg 2 α - 1 2 · з tg α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α tg 3 α = 3 tg α - tg 3 α 1 - 3 tg 2 α ctg 3 α = ctg 3 α - 3 ctg α 3 ctg 2 α - 1
Формули половинного кута
Формули половинного кута тригонометрії є наслідком формул подвійного кута і виражають співвідношення між основними функціями половинного кута і косинусом цілого кута.
Формули половинного кута
sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α
Формули зниження ступеня
Формули зниження ступеняsin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8
Часто при розрахунках діяти з громіздкими ступенями незручно. Формули зниження ступеня дозволяють знизити рівень тригонометричної функції зі скільки завгодно великий до першої. Наведемо їх загальний вигляд:
Загальний вид формул зниження ступеня
для парних n
sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C kn · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C kn · cos ((n - 2 k) α)
для непарних n
sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k · C kn · sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C kn · cos ((n - 2 k) α)
Сума та різницю тригонометричних функцій
Різницю та суму тригонометричних функцій можна у вигляді твору. Розкладання на множники різниць синусів і косінусів дуже зручно застосовувати при вирішенні тригонометричних рівнянь та спрощенні виразів.
Сума та різницю тригонометричних функцій
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 · cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 · cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 · cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 · sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · sin β - α 2
Добуток тригонометричних функцій
Якщо формули суми та різниці функцій дозволяють перейти до їхнього твору, то формули твору тригонометричних функцій здійснюють зворотний перехід - від твору до суми. Розглядаються формули добутку синусів, косінусів та синусу на косинус.
Формули твору тригонометричних функцій
sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α · cos β = 1 2 · (sin (α - β) + sin (α + β))
Універсальна тригонометрична підстановка
Всі основні тригонометричні функції – синус, косинус, тангенс та котангенс – можуть бути виражені через тангенс половинного кута.
Універсальна тригонометрична підстановка
sin α = 2 tg α 2 1 + tg 2 α 2 cos α = 1 - tg 2 α 2 1 + tg 2 α 2 tg α = 2 tg α 2 1 - tg 2 α 2 ctg α = 1 - tg 2 α 2 2 tg α 2
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter