Четвъртата задача е да се изчисли вероятността за събитие. Изчисленията са доста прости, достатъчно е да знаете дефиницията на вероятността и най-простите начини за нейното изчисляване. Освен това трябва да можете да работите с обикновени дроби, да преобразувате обикновени дроби в десетични, кръгли десетични знаци, да съставяте и решавате линейни уравнения.
Вид работа:Кратък отговор
Ниво на трудност:база
Брой точки: 1
Приблизително време за завършване: 2 минути
Вероятността винаги се изразява като дроб, чийто знаменател е общ бройрезултати, а в числителя - броят на резултатите, които отговарят на условието. Най-често проблемът се свежда до изчисляване на броя на резултатите (примери 1-2). Понякога до събиране или умножение на вероятностите за отделни събития (примери 3-6), и много рядко до няколко действия (примери 7-8).
Познайте дефинициите и правилата. Но когато решавате проблеми с вероятностите, е по-важно да имате добри практически умения. Това ще ви позволи да не задълбавате в сложни математически закони в проста задача по време на изпита и ще спестите време и собствени нерви. Всъщност в четвъртата задача изобщо няма трудни задачи.
Пример №1.
За наградите за участниците в техническото състезание в магазина бяха закупени 30 страници за оцветяване, от които 10 с танкове, 11 със самолети, а останалите с космически кораби. Наградите се определят чрез лотария. Дима иска да вземе книжка за оцветяване с космически кораби. Каква е вероятността желанието му да се сбъдне?
Решение:
Първо, нека определим броя на страниците за оцветяване с космически кораби: 30-10-11=9
Сега можем да изчислим вероятността: 9/30=0,3
Отговор: 0,3.
Пример №2
Пакетът съдържа тетрадки с цветни корици: 12 с червени, 7 със сини, 9 с черни, 8 с жълти и 14 с бели. Извадете 1 тетрадка от опаковката. Намерете вероятността корицата на тази тетрадка да е жълта.
Решение:
Общо тетрадки: 12+7+9+8+14=50
Вероятност за получаване на тетрадка с жълта корица: 8/50=0,16
Отговор: 0,16.
Пример №3
Решение: Сборът от вероятностите за закупуване на изправна или дефектна писалка е равна на единица. За да определите вероятността да закупите добра писалка, извадете вероятността да закупите дефектна писалка от едно: 1-0,09=0,81
Отговор: 0,81.
Пример №4
Два зара се хвърлят едновременно. Намерете вероятността да хвърлите 9 точки.
Решение:
Нека вземем двойки числа от 1 до 6, които дават 9
3+6
4+5
5+4
6+3
Ясно е, че 4 от 6 възможни числа могат да паднат на първия зар. Вероятността е: 4/6=2/3
При хвърляне на втория зар трябва да изпадне 1 число от 6, вероятността за това събитие е 1/6.
Тогава вероятността сумата от точките да бъде 9 е равна на произведението на вероятностите: 2/3*1/6=2/18=1/9=0,11
Отговор: 0,11.
Този проблем може да бъде решен с помощта на таблица, където горният ред показва числото на първия зар, лявата колона показва числото на втория, а клетките показват тяхната сума. (Такава таблица може да бъде скицирана за минута върху чернова)
Таблицата показва, че от 36 възможни изхода 9 точки отпадат в 4 случая. Тези. вероятността е 4/36=1/9=0,11
Отговор: 0,11.
Пример №5
Дима се подготви добре за олимпиадата по физика. С вероятност 0,98 той ще стане призьор и с вероятност 0,84 - победител в олимпиадата. Каква е вероятността Дима да стане призьор, но да не стане победител в олимпиадата по физика?
Решение:
Победителят е и победител в олимпиадата. Следователно, вероятността да стане победител (0,98) може да бъде представена като сбор от вероятността да стане победител (0,84) и вероятността да стане просто победител (X).
Х+0,84=0,98
X=0,98-0,84
X=0,14
Отговор: 0,14.
Пример №6
В дежурния отряд има 7 момчета и 14 момичета. Митото се разпределя по жребий. Необходими са двама пазачи на централната порта на лагера. Намерете вероятността две момчета да дежурят на портата.
Решение:
Първият дежурен ще бъде момче с вероятност: 7/21=1/3
Вторият придружител се избира от останалите 20 деца, от които само 6 са момчета: 6/20=3/10
Вероятност две момчета да дежурят на портата: 1/3*3/10=0,1
Отговор: 0,1.
Пример №7
Паркът има мрежа от пътеки, водещи до платформи за наблюдение. Водопадът може да се наблюдава от обекти F и G. Туристът тръгва от точка А. На всеки разклон избира произволна посока (с изключение на посоката обратно). Каква е вероятността туристът да може да види водопада?
Решение:
Тъй като водопадът се вижда от два обекта, за да решите проблема, трябва да добавите вероятността турист да стигне до обект F и вероятността той да стигне до обект G
За обект F: 1/2*1/3=1/6
За обект G: 1/2*1/2=1/4
За два сайта: 1/6+1/4=4/24+6/24=10/24=0,42
Отговор: 0,42.
Пример #8
Трябва да научите 10 въпроса за теста. Саша научи 2 и прочете само останалите. Ако Саша попадне на заучен билет, тогава той ще премине теста с вероятност 0,9. Ако Саша срещне въпрос, който току-що прочете, тогава вероятността да премине теста е 0,3. Въпросите в теста са разпределени на случаен принцип. Намерете вероятността Саша да премине теста.
Решение:
От 10 билета 2 са заучени, 8 не са научени. Вероятността да се получи заучен въпрос е 2/10, вероятността да се получи незаучен въпрос е 8/10.
Вероятност за преминаване на компенсация по научен билет: 2/10*0.9=0.18
Вероятност за връщане на незаучен билет: 8/10*0.3=0.24
Крайна вероятност: 0,18+0,24=0,42
Отговор: 0,42.
Най-трудното е да се определи кога вероятностите за две събития трябва да се умножат и кога да се съберат. Задачите се появяват, когато трябва да направите и двете. Ако сте открили вероятностите за отделни събития, но не можете да решите какво да правите с тях по-нататък, доверете се на интуицията си.
Ако разбирате, че вероятността за две събития е по-голяма от вероятността за всяко поотделно - сумирайте. (Например, вероятността за обръщане на опашки на една от двете монети е очевидно по-голяма от вероятността за обръщане на опашки на една монета.)
Ако вероятността за две събития е по-малка от всяко поотделно, умножете. (Например, вероятността за обръщане на глави и на двете монети е по-малка от вероятността за обръщане на опашките на една от тях.)
Ясно е, че интуицията е ненаучен подход. Но на изпита в задача с кратък отговор е по-добре да дадете някакъв отговор, отколкото да не дадете никакъв.
Въпреки това, не забравяйте, че специализираното USE по математика е не само завършване, но и входен тест. Повечето училищни проблеми за вероятността могат да бъдат решени чрез логически разсъждения. Това създава илюзията за лекота в теорията на вероятностите и математическата статистика. Но всъщност това е една от най-напредналите и търсени области на математиката и в университета ще усетите нейната сложност докрай.
Задачи №4
1 вариант
На изпита има 60 билета, Андрей не научи 3 от тях. Намерете вероятността той да получи научения билет.
Решение:
Нека определим броя на благоприятните резултати: 60-3=57
Отговор: 0,95
Вариант 2
Каубой Джон удря муха в стената с вероятност 0,7, ако стреля от револвер. Ако Джон изстреля неизстрелян револвер, той уцели муха с вероятност 0,3. На масата има 10 револвера, само 2 от тях са застреляни. Каубоят Джон вижда муха на стената, грабва на случаен принцип първия револвер, който попадне, и стреля по мухата. Намерете вероятността Джон да пропусне.
Решение:
Джон ще пропусне, ако грабне изстрелян револвер и пропусне с него, или ако грабне неизстрелян револвер и пропусне с него. Съгласно формулата за условна вероятност, вероятностите за тези събития са съответно 0,2 (1 − 0,7) = 0,06 и
0,8 (1 - 0,3) = 0,56. Тези събития са несъвместими, вероятността за тяхната сума е равна на сумата от вероятностите за тези събития: 0,06 + 0,56 = 0,62.
Отговор: 0,62.
Да дадем друго решение.
Джон удря муха, ако хване изстрелян револвер и го удари, или ако грабне неизстрелян револвер и го уцели. Съгласно формулата за условна вероятност, вероятностите за тези събития са съответно 0,2 0,7 = 0,14 и 0,8 0,3 = 0,24.
Тези събития са несъвместими, вероятността за тяхната сума е равна на сумата от вероятностите за тези събития: 0,14 + 0,24 = 0,38.
Събитието, което Джон пропуска, е обратното. Вероятността му е 1 − 0,38 = 0,62. Отговор: 0,62.
3 вариант
На изпита има 45 билета, Федя не научи 9 от тях. Намерете вероятността той да получи научения билет.
Решение:
Нека определим броя на благоприятните резултати: 45-9=36
Определете вероятността да ударите научен билет:
0,8 или вероятността да се удари научен билет е 80%
Отговор: 0,8
4 вариант
Каубой Джон удря муха в стената с вероятност 0,8, ако стреля с револвер. Ако Джон изстреля неизстрелян револвер, той уцели муха с вероятност 0,3. На масата има 10 револвера, от които само 3 са застреляни. Каубоят Джон вижда муха на стената, грабва на случаен принцип първия револвер, който попадне, и стреля по мухата. Намерете вероятността Джон да пропусне.
Решение:
Джон ще пропусне, ако грабне изстрелян револвер и пропусне с него, или ако грабне неизстрелян револвер и пропусне с него. Съгласно формулата за условна вероятност, вероятностите за тези събития са съответно 0,3 (1 − 0,8) = 0,06 и
0,7 (1 − 0,3) = 0,49. Тези събития са несъвместими, вероятността за тяхната сума е равна на сумата от вероятностите за тези събития: 0,06 + 0,49 = 0,55. Отговор: 0,55.
5 вариант
На изпита има 40 билета, Игор не научи 2 от тях. Намерете вероятността той да получи научения билет.
Решение:
Нека определим броя на благоприятните резултати: 40-2=38
Определете вероятността да ударите научен билет:
0,95 или вероятността да се удари научен билет е 95%
Отговор: 0,95
6 вариант
Преди началото на първия кръг от първенството по тенис участниците се разделят на случаен принцип на игрови двойки чрез теглене на жребий. Общо в шампионата участват 26 тенисисти, включително 9 участници от Русия, включително Тимофей Трубников. Намерете вероятността в първия кръг Тимофей Трубников да играе с някой тенисист от Русия?
Решение:
В първия кръг Тимофей Трубников може да играе с 26 − 1 = 25 тенисисти, от които 9 − 1 = 8 от Русия. Това означава, че вероятността Тимофей Трубников в първия кръг да играе с който и да е тенисист от Русия е = 0,32
Отговор: 0,32.
7 вариант
Преди началото на първия кръг от първенството по бадминтон участниците се разделят на случаен принцип на игрови двойки чрез теглене. Общо в шампионата участват 76 бадминтонисти, включително 16 участници от Русия, включително Игор Чаев. Каква е вероятността в първия кръг Игор Чаев да играе с някой бадминтонист от Русия?
Решение:
В първия кръг Игор Чаев може да играе с 76−1=75 бадминтонисти, от които 16−1=15 от Русия. Следователно вероятността в първия кръг Игор Чаев да играе с който и да е бадминтонист от Русия е равна на
Отговор: 0,2.
8 вариант
Преди началото на първия кръг от шампионата по пулове участниците се разделят на случаен принцип на игрови двойки чрез теглене. Общо в първенството участват 26 дамаджии, включително 15 участници от Русия, включително Генадий Горков. Намерете вероятността в първия кръг Генадий Горков да играе с всеки бадминтонист от Русия.
Решение:
В първия кръг Генадий Горков може да играе с 26−1=25 драфта, от които 15−1=14 са от Русия. Това означава, че вероятността в първия кръг Генадий Горков да играе с някой играч на драфта от Русия е равна на
Отговор: 0,56.
9 вариант
Средно от 1000 продадени градински помпи 7 изтичат. Намерете вероятността една помпа, избрана на случаен принцип за контрол, да не изтече.
Решение:
Средно от 1000 продадени градински помпи 1000−7 = 993 не изтичат. Това означава, че вероятността една произволно избрана за управление помпа да не изтече е равна на
Отговор: 0,993.
10 вариант
Средно от 700 продадени градински помпи 7 изтичат. Намерете вероятността една помпа, избрана на случаен принцип за контрол, да не изтече.
Решение:
Средно от 700 градински помпи на пазара 700−7 = 693 не изтичат. Това означава, че вероятността една произволно избрана за управление помпа да не изтече е равна на
Отговор: 0,99.
11 вариант
При производството на лагери с диаметър 69 mm, вероятността диаметърът да се различава от посочения с не повече от 0,01 mm е 0,975. Намерете вероятността произволен лагер да има диаметър по-малък от 68,99 mm или по-голям от 69,01 mm.
Решение:
Според условието диаметърът на лагера ще бъде в диапазона от 68,99 до 69,01 mm с вероятност 0,975. Следователно желаната вероятност за обратното събитие е равна на
1 − 0,975 = 0,025.
Отговор: 0,025.
12 вариант
В момента таксиметровата компания разполага с 16 коли: 4 черни, 3 сини и 9 бели. При обаждането си тръгнала една от колите, която се оказала най-близо до клиента. Намерете вероятността черно такси да дойде при нея.
Решение:
Вероятността черно такси да пристигне при клиента е
Отговор: 0,25.
13 вариант
По време на артилерийски обстрел автоматична системаправи изстрел в целта. Ако целта не бъде унищожена, системата стреля отново. Изстрелите се повтарят, докато целта бъде унищожена. Вероятността за унищожаване на цел с първия изстрел е 0,3, а с всеки следващ изстрел - 0,9. Колко изстрела ще са необходими, за да се гарантира, че вероятността за унищожаване на целта е поне 0,96?
Решение:
Нека намерим вероятността за обратното събитие, което е целта да не бъде унищожена за n изстрела. Вероятността за пропускане при първия изстрел е 0,7, а при всеки следващ изстрел е 0,1. Тези събития са независими, вероятността за техния продукт е равна на произведението на вероятността от тези събития. Следователно, вероятността за пропускане с n изстрела е:
Чрез последователна проверка на стойностите, равни на 1, 2, 3 и т.н., установяваме, че желаното решение е n=3. Следователно е необходимо да се направят 3 изстрела.
Отговор: 3
14 вариант
В момента таксиметровата компания разполага с 35 безплатни коли: 11 червени, 17 лилави и 7 зелени.
мързелив. При обаждане една от колите си тръгнала, която се оказала най-близо до клиента. Намерете вероятността да пристигне зелено такси.
Решение:
Вероятността зелено такси да пристигне при клиента е
Отговор: 0,2.
15 вариант
Във фабриката за керамични съдове 20% от произведените чинии са дефектни. При контрол на качеството на продуктите се откриват 70% от дефектните табели. Останалите плочи се продават. Намерете вероятността плоча, избрана на случаен принцип в момента на покупката, да няма дефекти. Закръглете резултата до най-близката стотна.
Решение:
Нека фабриката произвежда чинели. Всички качествени табели и 20% от неидентифицирани дефектни табели ще бъдат пуснати в продажба: 0,8 + 0,3 табели. Тъй като има 0,8 качествени, вероятността да закупите качествена табела е
Отговор: 0,93
16 вариант
Максим и баща му решиха да се повозят на виенското колело. Общо на колелото има 30 кабини, от които 11 са сини, 7 зелени, а останалите са оранжеви. Каютите се редуват, приближавайки се до платформата за качване. Намерете вероятността Максим да се вози в оранжевата кабина.
Решение:
Броят на възможните резултати е 30 (всички кабини). Брой благоприятни резултати 30–11–7=12 (оранжеви кабини). Вероятността Максим да се вози в оранжевата кабина е
Отговор: 0,4
17 вариант
Стаята е осветена от фенер с три лампи. Вероятността една лампа да изгори на година е 0,3. Намерете вероятността поне една лампа да не изгори в рамките на една година.
Решение:
Необходимо е да се намери вероятността за събитие, когато и двете лампи не изгорят, или само първата лампа не изгори, или само втората лампа не изгори.
Според условието вероятността за изгоряла лампа е 0,3. Това означава, че вероятността лампата да работи през годината е 1 - 0,3 = 0,7.
Вероятност за събитие:
„и двете няма да изгорят“ е равно на 0,7∙0,7 = 0,49
„първото няма да изгори, но второто ще изгори“ е равно на 0,7∙0,3 = 0,21
„първият изгаря, но вторият не изгаря“ е равно на 0,3∙0,7 = 0,21
Така вероятността през годината поне един да не изгори е равна на
0,49 + 0,21+ 0,21 = 0,91
Втори начин:
Вероятността и двете лампи да изгорят е 0,3∙0,3 = 0,09.
Тези събития са независими, но когато се случват едновременно, техните вероятности се умножават.
Вероятността поне една лампа да не изгори е 1 - 0,09 = 0,91. Това събитие е обратното на събитието, когато и двете лампи изгорят.
Отговор: 0,91
18 вариант
Кирил и баща му решиха да се повозят на виенското колело. Общо на колелото има 30 кабини, от които 8 лилави, 4 зелени, а останалите оранжеви. Каютите се редуват, приближавайки се до платформата за качване. Намерете вероятността Кирил да се вози в оранжевата кабина.
Решение:
Броят на възможните резултати е 30 (всички кабини). Брой благоприятни резултати 30–8–4=18 (оранжеви кабини). Вероятността Кирил да се вози в оранжевата кабина е
Отговор: 0,6
19 вариант
Игор и баща му решиха да се повозят на виенското колело. Общо на волана има 40 кабинки, от които 21 са сиви, 13 зелени, а останалите са червени. Кабините се редуват, приближавайки се до платформата за качване. Намерете вероятността Игор да се вози в оранжевата кабина.
Решение:
Броят на възможните резултати е 40 (всички кабини). Брой благоприятни резултати 40–21–13= 6 (червени кабини). Вероятността Игор да се вози в оранжевото сепаре е
Отговор: 0,15
20 вариант
Две фабрики произвеждат едно и също стъкло за автомобилни фарове. Първата фабрика произвежда 30% от тези очила, втората - 70%. Първата фабрика произвежда 3% дефектни очила, а втората - 4%. Намерете вероятността чаша, случайно закупена в магазин, да бъде дефектна.
Решение:
Вероятността стъклото да е закупено в първата фабрика и да е дефектно:
0,3 0,03 = 0,009.
Вероятността стъклото да е закупено във втората фабрика и да е дефектно:
0,7 0,04 = 0,028.
Следователно, според формулата за обща вероятност, вероятността чаша, случайно закупена в магазин, да бъде дефектна, е 0,009 + 0,028 = 0,037.
Отговор: 0,037.
21 опции
Според отзивите на клиентите, Михаил Михайлович оцени надеждността на два онлайн магазина. Вероятността желаният продукт да бъде доставен от магазин А е 0,81. Вероятността този продукт да бъде доставен от магазин Б е 0,93. Михаил Михайлович поръча стоки от двата магазина наведнъж. Ако приемем, че онлайн магазините работят независимо един от друг, намерете вероятността никой от магазините да не достави стоките.
Решение:
Вероятността първият магазин да не достави стоката е 1 − 0,93 = 0,07. Вероятността вторият магазин да не достави стоката е 1 − 0,81 = 0,19. Тъй като тези събития са независими, вероятността за техния продукт (и двата магазина няма да доставят стоките) е равна на произведението на вероятностите за тези събития: 0,07 0,19 = 0,0133
Отговор: 0,0133
22 вариант
В чинията има 16 банички: 8 с месо, 3 с ябълки и 5 с лук. Настя избира на случаен принцип един пай. Намерете вероятността това да бъде с месо.
Решение:
Вероятността баницата да е с месо е равна на
Отговор: 0,5.
23 вариант
Всички пациенти със съмнение за хепатит правят кръвен тест. Ако тестът разкрие хепатит, тогава резултатът от теста се нарича положителен. При пациенти с хепатит анализът дава положителен резултат с вероятност 0,9. Ако пациентът няма хепатит, тогава тестът може да даде фалшиво положителен резултат с вероятност 0,02. Известно е, че 66% от пациентите, приети със съмнение за хепатит, наистина имат хепатит. Намерете вероятността резултатът от теста на пациент, приет в клиниката със съмнение за хепатит, да бъде положителен.
Решение:
Анализът на пациента може да бъде положителен поради две причини: А) пациентът има хепатит, анализът му е правилен; Б) пациентът няма хепатит, анализът му е фалшив. Това са несъвместими събития, вероятността за тяхната сума е равна на сумата от вероятностите за тези събития. Ние имаме:
P(B)=0,02=0,0068
P(A+B)= P(A) + P(B) = 0,594 + 0,0068 = 0,6008
Отговор:0,6008
24 вариант
В чинията има 16 банички: 7 с риба, 5 със сладко и 4 с череши. Джулия избира на случаен принцип един пай. Намерете вероятността той да се окаже с череша.
Решение:
Вероятността баницата да завърши с череша е
Отговор: 0,25.
25 вариант
В някои области наблюденията показват:
1. Ако юнската сутрин е ясна, тогава вероятността за дъжд в този ден е 0,1.
2. Ако юнската сутрин е облачна, тогава вероятността за дъжд през деня е 0,4.
3. Вероятността за облачно утро през юни е 0,3.
Намерете вероятността да не вали в произволен ден през юни.
Решение:
Вероятността сутринта да е облачно е 0,3. Вероятността сутринта да е ясно е 1-0,3 = 0,7.
Вероятността да не вали в облачна сутрин е 1-0,4 = 0,6
Вероятността в ясна сутрин да не вали е 1-0.1=0.9.
Вероятността да е ясно утро и да няма дъжд е 0,7 * 0,9 = 0,63.
Вероятността сутринта да е облачно и да няма дъжд е 0,3*0,6=0,18.
Вероятността в произволен ден през юни да не вали е 0,63 +0,18=0,81.
Отговор: 0,81
26 вариант
Родителският комитет закупи 30 пъзела за подаръци на децата в края на учебната година, 12 от които с картини на известни художници и 18 с изображения на животни. Подаръците се разпределят на случаен принцип. Намерете вероятността Вова да получи животинския пъзел.
Решение:
Броят на възможните резултати е 30 (общият брой комплекти пъзели), броят на благоприятните резултати е 18 (с изображение на животни). Вероятността Вова да получи пъзел с животно е
Отговор: 0,6
27 вариант
В магазина има трима продавачи. Всеки от тях е зает с клиент с вероятност 0,2. Намерете вероятността в произволен момент от време и тримата продавачи да са заети едновременно (да приемем, че клиентите влизат независимо един от друг).
Решение:
Трябва да намерим вероятността за събитие, когато първият продавач е зает, докато вторият е зает и в същото време (заетостта на първия и втория) третият също е зает. Използва се правилото за умножение. Вероятността за възникване на независими събития е равна на произведението на вероятностите за тези събития. Така че вероятността и тримата продавачи да са заети е: 0,2∙0,2∙0,2 = 0,008
Отговор: 0,008
28 вариант
Родителският комитет закупи 30 пъзела за подаръци за деца в края на учебната година, 15 от които с анимационни герои и 15 с гледки към природата. Подаръците се разпределят на случаен принцип. Намерете вероятността Вита да получи пъзел с гледки към природата
Решение:
Броят на възможните резултати е 30 (общият брой комплекти пъзели), броят на благоприятните резултати е 15 (с изгледи на природата). Вероятността Вита да получи пъзел с гледки към природата = 0,5
Отговор: 0,5
29 вариант
В магазина има трима продавачи. Всеки от тях е зает с клиент с вероятност 0,4. Намерете вероятността в произволен момент от време и тримата продавачи да са заети едновременно (да приемем, че клиентите влизат независимо един от друг).
Решение:
Трябва да намерим вероятността за събитие, когато първият продавач е зает, докато вторият е зает и в същото време (заетостта на първия и втория) третият също е зает. Използва се правилото за умножение. Вероятността за възникване на независими събития е равна на произведението на вероятностите за тези събития. Така че вероятността и тримата продавачи да са заети е: 0,4∙0,4∙0,4 = 0,064
Отговор: 0,064
30 вариант
Ако гросмайстор A. играе бяло, тогава той печели гросмайстор B. с вероятност 0,6. Ако A. играе на черно, тогава A. побеждава B. с вероятност 0,4. Грандмайсторите А. и Б. играят две партии, като във втората игра сменят цвета на фигурите. Намерете вероятността А. да спечели и двата пъти.
Решение:
Шансовете за победа в първата и втората игра са независими един от друг. Вероятността за възникване на независими събития е равна на произведението на техните вероятности:
0,6 0,4 = 0,24 Отговор: 0,24.
31 опции
В колекцията от билети по химия има само 15 билета, в 6 от тях има въпрос на тема "Киселини". Намерете вероятността студент да получи въпрос на тема „Киселини“ в билет, избран на случаен принцип на изпита.
Решение:
Решение: Вероятността студент да получи въпрос на тема "Киселини" в случайно избран билет на изпита е равна на
Отговор: 0,4
32 вариант
Преди началото на първия кръг от първенството по бадминтон участниците се разделят на случаен принцип на игрови двойки чрез теглене. В първенството участват общо 76 бадминтонисти, включително 22 състезатели от Русия, включително Виктор Поляков.Намерете вероятността в първия кръг Виктор Поляков да играе с някой бадминтонист от Русия?
Решение:
В първия кръг Виктор Поляков може да играе с 76 − 1 = 75 бадминтонисти, от които 22 − 1 = 21 от Русия. Това означава, че вероятността в първия кръг Виктор Поляков да играе с който и да е бадминтонист от Русия е 21: 75 = 0,28
Отговор: 0,28
33 вариант
Средно от 1500 продадени градински помпи 6 изтичат. Намерете вероятността една помпа, избрана на случаен принцип за контрол, да не изтече.
Решение:
Средно от 1500 продадени градински помпи 1500−6 = 1494 не изтичат. Това означава, че вероятността една помпа, произволно избрана за управление, не изтича е 1494:1500=0,996
Отговор: 0,996.
34 вариант
Фабриката произвежда чанти. Средно 19 чанти от 160 имат скрити дефекти. Намерете вероятността закупената чанта да е без дефекти. Закръглете резултата до най-близката стотна.
Решение:
Общо са 160 чанти и 160 без дефекти - 19 = 141.
Това означава, че вероятността закупената чанта да бъде с високо качество е равна на
Отговор: 0,88
35 вариант
Научна конференциясе провежда в продължение на 3 дни. Планирани са общо 40 доклада - през първия ден 8 доклада, останалите се разпределят поравно между втория и третия ден. На конференцията е предвиден доклад на професор М. Редът на докладите се определя чрез жребий. Каква е вероятността докладът на професор М. да бъде насрочен за последния ден на конференцията?
Решение:
На първия ден 8, на следващите два 16.
Вероятност в последния ден 16:40 = 0,4
Отговор: 0,4
36 вариант
Средно от 2000 продадени градински помпи 18 изтичат. Намерете вероятността една произволно избрана помпа да не изтече.
Решение:
Средно от 2000 продадени градински помпи 2000−18=1982 не изтичат. Това означава, че вероятността една помпа, произволно избрана за управление да не изтече, е 1982:2000=0,991
В задача № 4 от профилното ниво на ЕГЭ по математика е необходимо да се реши проста задача от теорията на вероятностите. Задачата е доста проста, достатъчно е да разделите едно число на друго или преди това да извадите друго от едно число. Задачата е интуитивно ясна и може да бъде решена дори без познаване на основните формули на комбинаториката. Нека разгледаме няколко примера.
Анализ на типични варианти за задачи № 4 УПО по математика на профилно ниво
Първата версия на задачата (демо версия 2018 г.)
В книжката по биология има общо 25 билета. Само в два билета има въпрос за гъби. На изпита студентът получава един произволно избран билет от тази колекция. Намерете вероятността този билет да съдържа въпрос за гъби.
Алгоритъм за решение:
- Да наречем събитието А.
- Определете броя на всички събития.
- Намерете броя на благоприятните резултати.
- Нека изчислим вероятността.
- Записваме отговора.
Решение:
1. Нека A е събитие, при което ученик получава билет с въпрос за гъби.
2. Има общо 25 билета, което означава, че има n=25 събития.
3. Благоприятни резултати m=2, т.к само 2 билета съдържат въпроса за гъбите.
4. Вероятността за събитие A е P(A) = m/n=2/25 = 0,08.
Отговор: 0,08.
Втората версия на задачата (от Ященко, № 1)
Средно от 600 продадени градински помпи, 3 изтичат. Намерете вероятността една произволно избрана помпа да не изтече.
Алгоритъм за решение:
- Нека обозначим събитието „закупената контролна помпа не изтича“ с буквата А.
- Намерете броя на всички събития.
- Определете вероятността за събитие А.
- Нека запишем отговора.
Решение:
1. Нека събитие A: произволно избрана помпа не изтича.
2. Броят на всички събития n=600.
3. Броят на благоприятните резултати е m=600-3=597. Тогава вероятността избраната помпа да не изтече се определя, както следва:
m/n = 597/600 = 0,995
Отговор: 0,995
Третата версия на задачата (от Ященко, № 7)
Таксиметровата компания разполага с 60 коли; 27 от тях са черни с жълти надписи отстрани, останалите са жълти с черни надписи. Намерете вероятността жълта кола с черни надписи да пристигне при произволно обаждане.
Алгоритъм за решение:
- Нека обозначим събитието "жълта кола ще дойде на повикването" с буквата А.
- Намерете броя на всички възможни събития.
- Намерете броя на благоприятните събития.
- Изчислете вероятността за събитие А.
- Нека запишем отговора.
Решение:
1. Нека събитие А: жълто такси ще дойде на повикването.
2. Броят на всички събития n=60.
3. Броят на благоприятните резултати е равен на m=60-27= 33. Тогава вероятността избраният за пътуването да бъде жълт се определя по следния начин:
Отговор: 0,55.
Четвъртата версия на задачата (от Ященко, № 21)
Във фабриката за керамични съдове 20% от произведените чинии са дефектни. При контрола на качеството на продукта се откриват 70% от дефектните плочи. Останалите плочи се продават. Намерете вероятността плоча, избрана на случаен принцип в момента на покупката, да няма дефекти. Закръглете отговора си до най-близката стотна.
Алгоритъм за решение:
- Нека x е броят на всички плочи, произведени във фабриката.
- Намерете броя на дефектните плочи.
- Нека намерим броя на всички плочи, свалени по време на проверката.
- Нека да определим вероятността за събитие А: купува се висококачествена чиния.
- Нека запишем отговора.
Решение:
1. Нека фабриката произвежда x плочи.
2. 20% от дефектните табели се произвеждат в завода. Това е само 0,2x парчета. Тогава 0,8x висококачествени плочи влизат в разпределителната мрежа.
3. При проверка на качеството се отстраняват 70% дефектни табели, което означава, че 30% от тях влизат в продажба. Оказва се, че 0,2x 0,3 = 0,06x дефектните отиват на гишето.
Общо 0,8x + 0,06x = 0,86x плочи влизат в разпределителната мрежа.
4. Нека събитието е А: закупената чиния е с високо качество. Тогава броят на благоприятните събития m=N(A) = 0.8x. Общ брой резултати n = 0,86x.
5. Вероятността за събитие A се определя от формулата за вероятност: P(A) = m / n = 0,8x / 0,86x = 0,9302325 ... ≈ 0,93