Comencemos con nuestro cuadrado favorito.
Ejemplo 9
El cuadrado de un número complejo
Aquí puedes ir de dos maneras, la primera es reescribir el grado como un producto de factores y multiplicar los números de acuerdo con la regla de multiplicación de polinomios.
La segunda forma es usar la conocida fórmula de multiplicación abreviada de la escuela:
Para un número complejo, es fácil derivar su propia fórmula de multiplicación abreviada:
Se puede derivar una fórmula similar para el cuadrado de la diferencia, así como para el cubo de la suma y el cubo de la diferencia. Pero estas fórmulas son más relevantes para problemas de análisis complejos. ¿Qué sucede si es necesario elevar un número complejo, por ejemplo, a la quinta, décima o centésima potencia? Está claro que en forma algebraica es casi imposible hacer tal truco, de verdad, ¿piensa cómo resolverás un ejemplo como?
Y aquí viene al rescate la forma trigonométrica de un número complejo y el llamado Fórmula de De Moivre: Si un número complejo se representa en forma trigonométrica, entonces cuando se eleva a una potencia natural, la fórmula es válida:
Sólo para deshonrar.
Ejemplo 10
Dado un número complejo, encuentre.
¿Lo que debe hacerse? Primero necesitas representar este número en forma trigonométrica. Los lectores astutos notarán que ya hemos hecho esto en el Ejemplo 8:
Entonces, según la fórmula de De Moivre:
Dios no lo quiera, no es necesario contar con una calculadora, pero en la mayoría de los casos el ángulo debe simplificarse. ¿Cómo simplificar? Hablando en sentido figurado, debes deshacerte de los turnos adicionales. Una revolución es un radián o 360 grados. Averigüe cuántas revoluciones tenemos en el argumento. Para mayor comodidad, hacemos la fracción correcta:, después de lo cual se vuelve claramente visible que puede reducir una revolución:. Espero que todos entiendan que este es el mismo ángulo.
Así que la respuesta final sería:
Una versión separada del problema de exponenciación es la exponenciación de números puramente imaginarios.
Ejemplo 12
Elevar números complejos a potencias
Aquí también todo es simple, lo principal es recordar la famosa igualdad.
Si la unidad imaginaria se eleva a una potencia par, entonces la técnica de solución es la siguiente:
Si la unidad imaginaria se eleva a una potencia impar, entonces “quitamos” una “y”, obteniendo una potencia par:
Si hay un menos (o cualquier coeficiente real), primero debe separarse:
Extracción de raíces de números complejos. Ecuación cuadrática con raíces complejas
Considere un ejemplo:
¿No puedes extraer la raíz? Si estamos hablando de números reales, entonces es realmente imposible. En números complejos, puedes extraer la raíz, ¡puedes! Más precisamente, dos raíz:
¿Son las raíces encontradas realmente la solución de la ecuación? Vamos a revisar:
Que es lo que había que revisar.
A menudo se usa una notación abreviada, ambas raíces se escriben en una línea debajo de "un peine":.
Estas raíces también se llaman raíces complejas conjugadas.
Cómo extraer raíces cuadradas de números negativos, creo que todos entienden: ,,,, etc. En todos los casos resulta dos raíces complejas conjugadas.
Ejemplo 13
Resolver una ecuación cuadrática
Calculemos el discriminante:
El discriminante es negativo y la ecuación no tiene solución en números reales. ¡Pero la raíz se puede tomar en números complejos!
De acuerdo con las conocidas fórmulas escolares, obtenemos dos raíces: - raíces complejas conjugadas
Entonces la ecuación tiene dos raíces complejas conjugadas:,
¡Ahora puedes resolver cualquier ecuación cuadrática!
Y, en general, cualquier ecuación con un polinomio de grado "n-ésimo" tiene raíces exactas, algunas de las cuales pueden ser complejas.
Un ejemplo simple para una solución de bricolaje:
Ejemplo 14
Encuentra las raíces de la ecuación y factoriza el binomio cuadrado.
La factorización se lleva a cabo nuevamente de acuerdo con la fórmula estándar de la escuela.
Comencemos con nuestro cuadrado favorito.
Ejemplo 9
El cuadrado de un número complejo
Aquí puedes ir de dos maneras, la primera es reescribir el grado como un producto de factores y multiplicar los números de acuerdo con la regla de multiplicación de polinomios.
La segunda forma es usar la conocida fórmula de multiplicación abreviada de la escuela:
Para un número complejo, es fácil derivar su propia fórmula de multiplicación abreviada:
Se puede derivar una fórmula similar para el cuadrado de la diferencia, así como para el cubo de la suma y el cubo de la diferencia. Pero estas fórmulas son más relevantes para problemas de análisis complejos. ¿Qué sucede si es necesario elevar un número complejo, por ejemplo, a la quinta, décima o centésima potencia? Está claro que en forma algebraica es casi imposible hacer tal truco, de verdad, ¿piensa cómo resolverás un ejemplo como?
Y aquí viene al rescate la forma trigonométrica de un número complejo y el llamado Fórmula de De Moivre: Si un número complejo se representa en forma trigonométrica, entonces cuando se eleva a una potencia natural, la fórmula es válida:
Sólo para deshonrar.
Ejemplo 10
Dado un número complejo, encuentre.
¿Lo que debe hacerse? Primero necesitas representar este número en forma trigonométrica. Los lectores astutos notarán que ya hemos hecho esto en el Ejemplo 8:
Entonces, según la fórmula de De Moivre:
Dios no lo quiera, no es necesario contar con una calculadora, pero en la mayoría de los casos el ángulo debe simplificarse. ¿Cómo simplificar? Hablando en sentido figurado, debes deshacerte de los turnos adicionales. Una revolución es un radián o 360 grados. Averigüe cuántas revoluciones tenemos en el argumento. Para mayor comodidad, hacemos la fracción correcta:, después de lo cual se vuelve claramente visible que puede reducir una revolución:. Espero que todos entiendan que este es el mismo ángulo.
Así que la respuesta final sería:
Una versión separada del problema de exponenciación es la exponenciación de números puramente imaginarios.
Ejemplo 12
Elevar números complejos a potencias
Aquí también todo es simple, lo principal es recordar la famosa igualdad.
Si la unidad imaginaria se eleva a una potencia par, entonces la técnica de solución es la siguiente:
Si la unidad imaginaria se eleva a una potencia impar, entonces “quitamos” una “y”, obteniendo una potencia par:
Si hay un menos (o cualquier coeficiente real), primero debe separarse:
Extracción de raíces de números complejos. Ecuación cuadrática con raíces complejas
Considere un ejemplo:
¿No puedes extraer la raíz? Si estamos hablando de números reales, entonces es realmente imposible. En números complejos, puedes extraer la raíz, ¡puedes! Más precisamente, dos raíz:
¿Son las raíces encontradas realmente la solución de la ecuación? Vamos a revisar:
Que es lo que había que revisar.
A menudo se usa una notación abreviada, ambas raíces se escriben en una línea debajo de "un peine":.
Estas raíces también se llaman raíces complejas conjugadas.
Cómo extraer raíces cuadradas de números negativos, creo que todos entienden: ,,,, etc. En todos los casos resulta dos raíces complejas conjugadas.