A negyedik feladat egy esemény valószínűségének kiszámítása. A számítások meglehetősen egyszerűek, elegendő ismerni a valószínűség definícióját és a kiszámításának legegyszerűbb módjait. Képesnek kell lennie a közönséges törtekkel dolgozni, a közönséges törteket tizedesjegyekké alakítani, a tizedesjegyeket kerekíteni, lineáris egyenleteket összeállítani és megoldani.
Munka típus: rövid válasz
Nehézségi szint: bázis
Pontok száma: 1
Becsült befejezési idő: 2 perc
A valószínűséget mindig törtként fejezzük ki, amelynek a nevezője teljes szám eredmények, a számlálóban pedig - a feltételnek megfelelő eredmények száma. Leggyakrabban a probléma az eredmények számának kiszámításából adódik (1-2. példa). Néha az egyes események valószínűségeinek összeadására vagy szorzására (3-6. példa), és nagyon ritkán több cselekvésre (7-8. példa).
Ismerje meg a definíciókat és a szabályokat. De a valószínűségi problémák megoldásánál sokkal fontosabb a jó gyakorlati készség. Ez lehetővé teszi, hogy a vizsga során ne mélyedjen el bonyolult matematikai törvényekbe egy egyszerű feladat során, és időt és saját idegeit takaríthatja meg. Valójában a negyedik feladatban egyáltalán nincsenek nehéz feladatok.
1. példa.
A technikai verseny résztvevőinek nyereményeiért 30 db színezőt vásároltak az üzletben, ebből 10 tankkal, 11 repülőgéppel, a többi űrhajóval. A nyereményeket sorsolás útján határozzák meg. Dima szeretne szerezni egy kifestőkönyvet űrhajókkal. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a vágya teljesül?
Megoldás:
Először határozzuk meg az űrhajókkal ellátott színező oldalak számát: 30-10-11=9
Most kiszámolhatjuk a valószínűséget: 9/30=0,3
Válasz: 0.3.
2. példa
A csomag színes borítós füzeteket tartalmaz: 12 piros, 7 kék, 9 fekete, 8 sárga és 14 fehér. Vegyen ki 1 füzetet a csomagból. Határozza meg annak valószínűségét, hogy ennek a jegyzetfüzetnek a borítója sárga.
Megoldás:
Összes jegyzetfüzet: 12+7+9+8+14=50
Sárga borítójú füzet beszerzésének valószínűsége: 8/50=0,16
Válasz: 0,16.
3. példa
Megoldás: A működőképes vagy hibás töltőtoll vásárlási valószínűségeinek összege eggyel egyenlő. A jó toll megvásárlásának valószínűségének meghatározásához vonja ki a hibás toll vásárlásának valószínűségét egyből: 1-0,09=0,81
Válasz: 0,81.
4. példa
Két kockát dobnak egyszerre. Határozza meg a 9 pont dobásának valószínűségét.
Megoldás:
Vegyünk fel 1-től 6-ig tartó számpárokat, amelyek összege 9
3+6
4+5
5+4
6+3
Nyilvánvaló, hogy a 6 lehetséges számból 4 eshet az első kockára. Ennek valószínűsége: 4/6=2/3
A második kocka dobásakor 6-ból 1 számnak kell kiesnie, ennek az eseménynek a valószínűsége 1/6.
Ekkor annak a valószínűsége, hogy a pontok összege 9 lesz, egyenlő a valószínűségek szorzatával: 2/3*1/6=2/18=1/9=0,11
Válasz: 0,11.
Ez a probléma megoldható egy táblázat segítségével, ahol a felső sorban az első kockán lévő szám, a bal oldali oszlopban a másodikon lévő szám, a cellákban pedig az összegük látható. (Egy ilyen táblázat vázlaton egy perc alatt felvázolható)
A táblázat azt mutatja, hogy a 36 lehetséges kimenetelből 4 esetben 9 pont esik ki. Azok. a valószínűség 4/36=1/9=0,11
Válasz: 0,11.
5. példa
Dima jól felkészült a fizikaolimpiára. 0,98-as valószínűséggel díjnyertes lesz, 0,84-es valószínűséggel pedig az olimpia győztese. Mennyi annak a valószínűsége, hogy Dima díjazott lesz, de nem lesz a fizikaolimpia győztese?
Megoldás:
A győztes egyben az olimpia győztese is. Ezért a nyertessé válás valószínűsége (0,98) a nyertessé válás valószínűségének (0,84) és a nyertessé válás valószínűségének (X) összegeként ábrázolható.
X+0,84=0,98
X=0,98-0,84
X=0,14
Válasz: 0,14.
6. példa
Az ügyeletes osztagban 7 fiú és 14 lány szerepel. Az illetéket sorsolással osztják fel. Két őrre van szükség a tábor központi kapujában. Határozza meg annak valószínűségét, hogy két fiú lesz szolgálatban a kapuban.
Megoldás:
Az első szolgálatos fiú lesz, ennek valószínűsége: 7/21=1/3
A második kísérőt a megmaradt 20 gyerek közül választják ki, akik közül csak 6 fiú: 6/20=3/10
Annak valószínűsége, hogy két fiú lesz szolgálatban a kapuban: 1/3*3/10=0,1
Válasz: 0.1.
7. példa
A parkban kilátókhoz vezető utak hálózata található. A vízesés az F és G helyekről megfigyelhető. A turista az A pontból indul el. Mindegyik elágazásnál tetszőleges irányt választ (kivéve a visszafelé irányt). Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy turista láthatja a vízesést?
Megoldás:
Mivel a vízesés két helyről látható, a probléma megoldásához hozzá kell adni annak a valószínűségét, hogy egy turista eljut F helyszínre, és annak valószínűségét, hogy a G helyszínre kerül.
F párna esetén: 1/2*1/3=1/6
G oldal esetén: 1/2*1/2=1/4
Két webhely esetén: 1/6+1/4=4/24+6/24=10/24=0,42
Válasz: 0,42.
8. példa
A teszthez 10 kérdést kell megtanulnod. Sasha megtanulta a 2-t, és csak a többit olvasta. Ha Sasha tanult jegyre bukkan, akkor 0,9-es valószínűséggel átmegy a teszten. Ha Sasha olyan kérdéssel találkozik, amelyet most olvasott, akkor a teszt sikeres teljesítésének valószínűsége 0,3. A teszt kérdései véletlenszerűen vannak elosztva. Határozza meg annak valószínűségét, hogy Sasha átmegy a teszten.
Megoldás:
10 jegyből 2 tanult, 8 nem tanult. A tanult kérdés megszerzésének valószínűsége 2/10, a nem tanult kérdés megszerzésének valószínűsége 8/10.
Eltolás átengedésének valószínűsége egy tanult jegyen: 2/10*0,9=0,18
Tanulatlan jegy visszaküldésének valószínűsége: 8/10*0,3=0,24
Végső valószínűség: 0,18+0,24=0,42
Válasz: 0,42.
A legnehezebb annak meghatározása, hogy két esemény valószínűségét mikor kell szorozni, és mikor kell összeadni. A feladatok akkor jönnek elő, ha mindkettőt meg kell csinálni. Ha megtalálta az egyes események valószínűségét, de nem tudja eldönteni, mit kezdjen velük, bízzon megérzéseiben.
Ha megérti, hogy két esemény valószínűsége nagyobb, mint mindegyik külön-külön, adja össze. (Például annak a valószínűsége, hogy két érme közül az egyiknél a farok felfordul, egyértelműen nagyobb, mint egy érmén.)
Ha két esemény valószínűsége kisebb, mint mindegyik külön-külön, szorozza meg. (Például annak a valószínűsége, hogy mindkét érmén felborul a fej, kisebb, mint az egyiknél.)
Nyilvánvaló, hogy az intuíció tudománytalan megközelítés. De a vizsgán egy rövid válaszú feladatban jobb ha választ adni, mint nem adni.
Azonban ne felejtsük el, hogy a matematika speciális USE nem csak érettségi, hanem egyben felvételi vizsga. A valószínűségszámítással kapcsolatos legtöbb iskolai probléma megoldható logikus érveléssel. Ez a valószínűségszámítás és a matematikai statisztikák könnyűségének illúzióját kelti. Valójában azonban ez a matematika egyik legfejlettebb és legkeresettebb területe, és az egyetemen a legteljesebb mértékben átérezheti annak összetettségét.
Feladatok №4
1 lehetőség
60 jegy van a vizsgán, ebből Andrey 3-at nem tanult meg. Határozza meg annak valószínűségét, hogy megkapja a tanult jegyet.
Megoldás:
Határozzuk meg a kedvező kimenetelek számát: 60-3=57
Válasz: 0,95
2. lehetőség
Cowboy John 0,7 valószínűséggel eltalálja a falat egy legyet, ha egy lövés revolverből lő. Ha John kilő egy lövés nélküli revolvert, akkor 0,3-as valószínűséggel eltalál egy legyet. 10 revolver van az asztalon, ebből csak 2 lőtt. Cowboy John egy legyet lát a falon, véletlenszerűen megragadja az első revolvert, amivel találkozik, és rálő a légyre. Határozza meg annak valószínűségét, hogy John elhibázza.
Megoldás:
John hiányozni fog, ha megragad egy kilőtt revolvert, és elhibázza, vagy ha megragad egy ki nem sütött revolvert, és elhibázza. A feltételes valószínűségi képlet szerint ezeknek az eseményeknek a valószínűsége rendre 0,2 (1 − 0,7) = 0,06, ill.
0,8 (1 - 0,3) = 0,56. Ezek az események nem kompatibilisek, összegük valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével: 0,06 + 0,56 = 0,62.
Válasz: 0,62.
Adjunk egy másik megoldást.
John eltalál egy legyet, ha megragad egy kilőtt revolvert és eltalálja, vagy ha megragad egy ki nem sütött revolvert és eltalálja. A feltételes valószínűségi képlet szerint ezeknek az eseményeknek a valószínűsége 0,2 0,7 = 0,14, illetve 0,8 0,3 = 0,24.
Ezek az események nem kompatibilisek, összegük valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével: 0,14 + 0,24 = 0,38.
Az esemény, amelyet John kihagy, ennek az ellenkezője. Valószínűsége 1 − 0,38 = 0,62. Válasz: 0,62.
3 lehetőség
A vizsgán 45 jegy van, ebből 9-et Fedya nem tanult meg. Határozza meg annak valószínűségét, hogy megkapja a tanult jegyet.
Megoldás:
Határozzuk meg a kedvező kimenetelek számát: 45-9=36
Határozza meg annak valószínűségét, hogy eltalál egy tanult jegyet:
0,8 vagy a tanult jegy eltalálásának valószínűsége 80%
Válasz: 0,8
4 lehetőség
Cowboy John 0,8-as valószínűséggel üt egy legyet a falba, ha lövésrevolverrel lő. Ha John kilő egy lövés nélküli revolvert, akkor 0,3-as valószínűséggel eltalál egy legyet. 10 revolver van az asztalon, amelyből csak 3 lőtt. Cowboy John egy legyet lát a falon, véletlenszerűen megragadja az első revolvert, amivel találkozik, és rálő a légyre. Határozza meg annak valószínűségét, hogy John elhibázza.
Megoldás:
John hiányozni fog, ha megragad egy kilőtt revolvert, és elhibázza, vagy ha megragad egy ki nem sütött revolvert, és elhibázza. A feltételes valószínűségi képlet szerint ezeknek az eseményeknek a valószínűsége rendre 0,3 (1 − 0,8) = 0,06, ill.
0,7 (1 - 0,3) = 0,49. Ezek az események nem kompatibilisek, összegük valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével: 0,06 + 0,49 = 0,55. Válasz: 0,55.
5 lehetőség
40 jegy van a vizsgán, ebből 2-t Igor nem tanult meg. Határozza meg annak valószínűségét, hogy megkapja a tanult jegyet.
Megoldás:
Határozzuk meg a kedvező kimenetelek számát: 40-2=38
Határozza meg annak valószínűségét, hogy eltalál egy tanult jegyet:
0,95 vagy annak a valószínűsége, hogy eltalál egy tanult jegyet 95%
Válasz: 0,95
6 lehetőség
A teniszbajnokság első fordulójának kezdete előtt a résztvevőket sorsolás útján véletlenszerűen játékpárokba osztják. Összesen 26 teniszező vesz részt a bajnokságban, köztük 9 oroszországi résztvevő, köztük Timofey Trubnikov. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első körben Timofey Trubnikov bármelyik oroszországi teniszezővel játszik?
Megoldás:
Az első körben Timofey Trubnikov 26 − 1 = 25 teniszezővel játszhat, ebből 9 − 1 = 8 oroszországi. Ez azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy az első körben Timofey Trubnikov bármelyik oroszországi teniszezővel játszik, = 0,32
Válasz: 0,32.
7 lehetőség
A tollaslabda bajnokság első fordulójának kezdete előtt a résztvevőket véletlenszerűen sorsolással játékpárokba osztják. Összesen 76 tollaslabdázó vesz részt a bajnokságban, köztük 16 oroszországi résztvevő, köztük Igor Chaev. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első körben Igor Csaev bármelyik orosz tollaslabdázóval játszik?
Megoldás:
Igor Csaev az első körben 76−1=75 tollaslabdázóval játszhat, ebből 16−1=15 oroszországi. Ezért annak a valószínűsége, hogy az első körben Igor Csaev bármelyik oroszországi tollaslabdázóval játszik, egyenlő
Válasz: 0.2.
8 lehetőség
A dámabajnokság első fordulójának kezdete előtt a résztvevőket sorsolás útján véletlenszerűen játékpárokba osztják. Összesen 26 dáma vesz részt a bajnokságban, köztük 15 oroszországi résztvevő, köztük Gennagyij Gorkov. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az első körben Gennagyij Gorkov bármelyik oroszországi tollaslabdázóval fog játszani.
Megoldás:
Gennagyij Gorkov az első körben 26−1=25 draftolóval játszhat, ebből 15−1=14 oroszországi. Ez azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy az első körben Gennagyij Gorkov valamelyik oroszországi draftolóval fog játszani, egyenlő
Válasz: 0,56.
9 lehetőség
Átlagosan 1000 eladott kerti szivattyúból 7 szivárog. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott szivattyú nem szivárog.
Megoldás:
Átlagosan 1000 eladott kerti szivattyúból 1000-7 = 993 nem szivárog. Ez azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott szivattyú nem szivárog, egyenlő
Válasz: 0,993.
10 lehetőség
Átlagosan 700 eladott kerti szivattyúból 7 szivárog. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott szivattyú nem szivárog.
Megoldás:
Átlagosan a piacon lévő 700 kerti szivattyúból 700-7 = 693 nem szivárog. Ez azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott szivattyú nem szivárog, egyenlő
Válasz: 0,99.
11 lehetőség
69 mm átmérőjű csapágyak gyártásakor annak a valószínűsége, hogy az átmérő legfeljebb 0,01 mm-rel tér el a megadott átmérőtől, 0,975. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy véletlenszerű csapágy átmérője 68,99 mm-nél kisebb vagy 69,01 mm-nél nagyobb.
Megoldás:
A feltételnek megfelelően a csapágy átmérője 68,99 és 69,01 mm közötti tartományba esik, 0,975 valószínűséggel. Ezért az ellenkező esemény kívánt valószínűsége egyenlő
1 − 0,975 = 0,025.
Válasz: 0,025.
12 lehetőség
A taxitársaság jelenleg 16 autóval rendelkezik: 4 fekete, 3 kék és 9 fehér. A hívásra az egyik autó távozott, amely történetesen a legközelebb volt az ügyfélhez. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy fekete taxi érkezik hozzá.
Megoldás:
Annak a valószínűsége, hogy egy fekete taxi érkezik az ügyfélhez
Válasz: 0,25.
13 lehetőség
Tüzérségi tűz közben automatikus rendszer célba lő. Ha a célpont nem semmisül meg, a rendszer újra tüzel. A lövéseket addig ismételjük, amíg a célpont meg nem semmisül. Valamely cél megsemmisítésének valószínűsége az első lövéssel 0,3, és minden további lövéssel 0,9. Hány lövés szükséges ahhoz, hogy a cél megsemmisítésének valószínűsége legalább 0,96 legyen?
Megoldás:
Határozzuk meg az ellenkező esemény valószínűségét, ami azt jelenti, hogy a célpont nem pusztul el n lövés alatt. A kihagyás valószínűsége az első lövésnél 0,7, és minden további lövésnél 0,1. Ezek az események függetlenek, szorzatuk valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségének szorzatával. Ezért a kihagyás valószínűsége n lövéssel a következő:
Az 1-es, 2-es, 3-as stb. értékek szekvenciális ellenőrzésével azt kapjuk, hogy a kívánt megoldás n=3. Ezért 3 lövést kell készíteni.
Válasz: 3
14 lehetőség
A taxitársaságnak jelenleg 35 szabad autója van: 11 piros, 17 lila és 7 zöld.
lusta. Egy hívásra az egyik autó távozott, amely történetesen a legközelebb volt az ügyfélhez. Határozza meg annak valószínűségét, hogy zöld taxi érkezik.
Megoldás:
Annak a valószínűsége, hogy zöld taxi érkezik az ügyfélhez
Válasz: 0.2.
15 lehetőség
A kerámia edénygyárban a legyártott tányérok 20%-a hibás. A termékek minőségének ellenőrzésekor a hibás lemezek 70%-át észlelik. A többi tányér eladó. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a vásárláskor véletlenszerűen kiválasztott lemeznek nincs hibája. Az eredményt kerekítse a legközelebbi századra.
Megoldás:
A gyár gyártson cintányérokat. Eladásra kerül az összes minőségi lemez és az azonosítatlan hibás lemezek 20%-a: 0,8 + 0,3 lemez. Mivel 0,8 minőségi van, a minőségi lemez vásárlásának valószínűsége az
Válasz: 0,93
16 lehetőség
Maxim és az apja úgy döntött, hogy egy kört tesznek az óriáskeréken. Összesen 30 fülke van a keréken, ebből 11 kék, 7 zöld, a többi narancssárga. A kabinok felváltva közelítenek a beszállóplatformhoz. Határozza meg annak valószínűségét, hogy Maxim a narancssárga fülkében fog lovagolni.
Megoldás:
A lehetséges kimenetelek száma 30 (minden fülke). Kedvező eredmények száma 30-11-7=12 (narancssárga fülkék). Annak a valószínűsége, hogy Maxim a narancssárga fülkében fog lovagolni
Válasz: 0.4
17 lehetőség
A helyiséget három lámpás lámpa világítja meg. Annak a valószínűsége, hogy egy lámpa egy év alatt kiég, 0,3. Határozza meg annak valószínűségét, hogy legalább egy lámpa nem ég ki egy éven belül.
Megoldás:
Meg kell találni annak az eseménynek a valószínűségét, amikor mindkét lámpa nem ég ki, vagy csak az első lámpa nem ég ki, vagy csak a második lámpa nem ég ki.
A feltétel szerint a lámpa kiégésének valószínűsége 0,3. Ez azt jelenti, hogy a lámpa év közbeni működésének valószínűsége 1 - 0,3 = 0,7.
Esemény valószínűsége:
„mindkettő nem ég ki” egyenlő 0,7∙0,7 = 0,49
„az első nem ég ki, de a második kiég” egyenlő: 0,7∙0,3 = 0,21
„az első kiég, de a második nem ég ki” egyenlő: 0,3∙0,7 = 0,21
Így annak a valószínűsége, hogy az év során legalább egy nem ég ki, egyenlő
0,49 + 0,21+ 0,21 = 0,91
Második út:
Annak a valószínűsége, hogy mindkét lámpa kiég, 0,3∙0,3 = 0,09.
Ezek az események függetlenek, de ha egyidejűleg következnek be, valószínűségük megsokszorozódik.
Annak a valószínűsége, hogy legalább egy lámpa nem ég ki, 1 - 0,09 = 0,91. Ez az esemény az ellenkezője annak, amikor mindkét lámpa kiég.
Válasz: 0,91
18 lehetőség
Kirill és az apja úgy döntött, hogy egy kört tesznek az óriáskeréken. Összesen 30 fülke van a keréken, ebből 8 lila, 4 zöld, a többi narancssárga. A kabinok felváltva közelítenek a beszállóplatformhoz. Határozza meg annak valószínűségét, hogy Kirill a narancssárga fülkében fog lovagolni.
Megoldás:
A lehetséges kimenetelek száma 30 (minden fülke). Kedvező eredmények száma 30-8-4=18 (narancssárga fülkék). Annak a valószínűsége, hogy Kirill a narancssárga fülkében fog lovagolni
Válasz: 0.6
19 lehetőség
Igor és az apja úgy döntöttek, hogy egy kört tesznek az óriáskeréken. Összesen 40 fülke van a keréken, ebből 21 szürke, 13 zöld, a többi piros. A kabinok felváltva közelítik meg a beszállóplatformot. Határozza meg annak valószínűségét, hogy Igor a narancssárga fülkében fog lovagolni.
Megoldás:
A lehetséges kimenetelek száma 40 (minden fülke). Kedvező eredmények száma 40–21–13 = 6 (piros fülkék). Annak a valószínűsége, hogy Igor a narancssárga fülkében fog lovagolni
Válasz: 0,15
20 lehetőség
Két gyár ugyanazt az üveget gyártja az autók fényszóróihoz. Az első gyár a poharak 30% -át, a második 70% -át gyártja. Az első gyár a hibás üvegek 3% -át, a második pedig 4% -át állítja elő. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a boltban véletlenül vásárolt pohár hibás lesz.
Megoldás:
Annak a valószínűsége, hogy az üveget az első gyárban vásárolták, és hibás:
0,3 0,03 = 0,009.
Annak a valószínűsége, hogy az üveget a második gyárban vásárolták, és hibás:
0,7 0,04 = 0,028.
Ezért a teljes valószínűségi képlet szerint 0,009 + 0,028 = 0,037 annak a valószínűsége, hogy a boltban véletlenül vásárolt pohár hibás lesz.
Válasz: 0,037.
21 lehetőség
A vásárlói vélemények szerint Mikhail Mikhailovich két online áruház megbízhatóságát értékelte. 0,81 annak a valószínűsége, hogy a kívánt terméket az A üzletből szállítják. 0,93 annak a valószínűsége, hogy ezt a terméket a B üzletből szállítják. Mihail Mihajlovics egyszerre rendelt árut mindkét üzletből. Feltételezve, hogy az online áruházak egymástól függetlenül működnek, számítsa ki annak a valószínűségét, hogy egyik üzlet sem szállítja ki az árut.
Megoldás:
Annak a valószínűsége, hogy az első üzlet nem szállítja ki az árut, 1 − 0,93 = 0,07. Annak a valószínűsége, hogy a második üzlet nem szállítja ki az árut, 1 − 0,81 = 0,19. Mivel ezek az események függetlenek, termékük valószínűsége (mindkét üzlet nem szállítja ki az árut) egyenlő ezen események valószínűségeinek szorzatával: 0,07 0,19 = 0,0133
Válasz: 0,0133
22 lehetőség
Egy tányéron 16 pite van: 8 hússal, 3 almával és 5 hagymával. Nastya véletlenszerűen választ egy pitét. Határozza meg annak valószínűségét, hogy hússal lesz.
Megoldás:
Annak a valószínűsége, hogy a pite hússal lesz, egyenlő
Válasz: 0,5.
23 lehetőség
Minden hepatitis gyanúja esetén vérvizsgálatot végeznek. Ha a teszt hepatitist tár fel, akkor a teszt eredményét pozitívnak nevezik. A hepatitisben szenvedő betegeknél az elemzés pozitív eredményt ad 0,9 valószínűséggel. Ha a betegnek nincs hepatitis, akkor a teszt 0,02 valószínűséggel hamis pozitív eredményt adhat. Ismeretes, hogy a hepatitis gyanújával felvett betegek 66%-a valóban hepatitisben szenved. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a klinikára hepatitis gyanújával felvett beteg vizsgálati eredménye pozitív lesz.
Megoldás:
A páciens elemzése két okból lehet pozitív: A) a beteg hepatitisben szenved, az elemzése helyes; B) a betegnek nincs májgyulladása, elemzése hamis. Ezek összeférhetetlen események, összegük valószínűsége megegyezik ezen események valószínűségeinek összegével. Nekünk van:
P(B)=0,02=0,0068
P(A+B)= P(A) + P(B) = 0,594 + 0,0068 = 0,6008
Válasz:0,6008
24 lehetőség
Egy tányéron 16 pite van: 7 halas, 5 lekváros és 4 meggyes. Julia véletlenszerűen választ egy pitét. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy cseresznyével végez.
Megoldás:
Annak a valószínűsége, hogy a pite cseresznye lesz
Válasz: 0,25.
25 lehetőség
Egyes területeken a megfigyelések a következőket mutatták:
1. Ha a júniusi reggel derült, akkor az adott napon eső valószínűsége 0,1.
2. Ha a júniusi reggel borús, akkor a napközbeni eső valószínűsége 0,4.
3. A borús reggel valószínűsége júniusban 0,3.
Határozza meg annak valószínűségét, hogy nem esik egy véletlenszerű júniusi napon.
Megoldás:
0,3 annak a valószínűsége, hogy borult lesz a reggel. Annak a valószínűsége, hogy a reggel derült, 1-0,3 = 0,7.
1-0,4 = 0,6 annak a valószínűsége, hogy felhős reggelen nem fog esni az eső
1-0,1=0,9 annak a valószínűsége, hogy derült reggelen nem esik.
Annak a valószínűsége, hogy derült reggel van és nem esik 0,7 * 0,9 = 0,63.
0,3*0,6=0,18 annak a valószínűsége, hogy borult a reggel és nem esik csapadék.
Annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerű júniusi napon nem esik 0,63 +0,18=0,81.
Válasz: 0,81
26 lehetőség
A Szülői Bizottság a tanév végén 30 darab rejtvényt vásárolt a gyerekeknek ajándékba, ebből 12-ben neves művészek, 18-ban pedig állatképek. Az ajándékokat véletlenszerűen osztják szét. Határozza meg annak valószínűségét, hogy Vova megkapja az állati rejtvényt.
Megoldás:
A lehetséges kimenetelek száma 30 (a rejtvénykészletek teljes száma), a kedvező kimenetelek száma 18 (állatképes). Annak a valószínűsége, hogy Vova rejtvényt kap egy állattal
Válasz: 0.6
27 lehetőség
Három eladó van az üzletben. Mindegyikük egy klienssel van elfoglalva 0,2 valószínűséggel. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy véletlenszerű pillanatban mindhárom eladó egy időben elfoglalt (tegyük fel, hogy a vásárlók egymástól függetlenül lépnek be).
Megoldás:
Meg kell találnunk annak az eseménynek a valószínűségét, amikor az első eladó elfoglalt, míg a második elfoglalt, és ugyanakkor (az első és a második foglalkoztatása) a harmadik is foglalt. A szorzási szabályt használják. A független események létrejöttének valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségeinek szorzatával. Tehát annak a valószínűsége, hogy mindhárom eladó elfoglalt: 0,2∙0,2∙0,2 = 0,008
Válasz: 0,008
28 lehetőség
A Szülői Bizottság 30 darab rejtvényt vásárolt a tanév végi gyerekeknek ajándékba, ebből 15 rajzfilmfigurát, 15 pedig természetképet. Az ajándékokat véletlenszerűen osztják szét. Határozza meg annak valószínűségét, hogy Vita kap egy rejtvényt természeti nézetekkel
Megoldás:
A lehetséges kimenetelek száma 30 (a rejtvénykészletek teljes száma), a kedvező kimenetelek száma 15 (természetes kilátással). Annak a valószínűsége, hogy Vita kap egy rejtvényt természeti nézetekkel = 0,5
Válasz: 0,5
29 lehetőség
Három eladó van az üzletben. Mindegyikük egy klienssel van elfoglalva 0,4 valószínűséggel. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy véletlenszerű pillanatban mindhárom eladó egy időben elfoglalt (tegyük fel, hogy a vásárlók egymástól függetlenül lépnek be).
Megoldás:
Meg kell találnunk annak az eseménynek a valószínűségét, amikor az első eladó elfoglalt, míg a második elfoglalt, és ugyanakkor (az első és a második foglalkoztatása) a harmadik is foglalt. A szorzási szabályt használják. A független események létrejöttének valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségeinek szorzatával. Tehát annak a valószínűsége, hogy mindhárom eladó elfoglalt: 0,4∙0,4∙0,4 = 0,064
Válasz: 0,064
30 lehetőség
Ha A. nagymester fehéren játszik, akkor 0,6-os valószínűséggel B. nagymestert nyer. Ha A. feketén játszik, akkor A. 0,4-es valószínűséggel veri B.-t. A. és B. nagymesterek két játékot játszanak, a másodikban pedig megváltoztatják a figurák színét. Határozza meg annak valószínűségét, hogy A. mindkét alkalommal nyer!
Megoldás:
Az első és a második játszma megnyerésének esélye független egymástól. A független események létrejöttének valószínűsége egyenlő valószínűségeik szorzatával:
0,6 0,4 = 0,24 Válasz: 0,24.
31 lehetőség
A kémia jegygyűjteményében mindössze 15 jegy található, ebből 6-ban "Savak" témában van kérdés. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy diák a vizsgán véletlenszerűen kiválasztott jegyben „Savak” témájú kérdést kap.
Megoldás:
Megoldás: Annak a valószínűsége, hogy egy diák a vizsgán véletlenszerűen kiválasztott jegyen „Savak” témájú kérdést kap, egyenlő
Válasz: 0.4
32 lehetőség
A tollaslabda bajnokság első fordulójának kezdete előtt a résztvevőket véletlenszerűen sorsolással játékpárokba osztják. Összesen 76 tollaslabdázó vesz részt a bajnokságban, köztük 22 orosz sportoló, köztük Viktor Poljakov. Megtalálható annak a valószínűsége, hogy az első körben Viktor Poljakov bármelyik oroszországi tollaslabdázóval játszik?
Megoldás:
Viktor Poljakov az első körben 76 − 1 = 75 tollaslabdázóval játszhat, ebből 22 − 1 = 21 oroszországi. Ez azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy az első körben Viktor Poljakov bármelyik oroszországi tollaslabdázóval játszik, 21: 75 = 0,28
Válasz: 0,28
33 lehetőség
Átlagosan 1500 eladott kerti szivattyúból 6 szivárog. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott szivattyú nem szivárog.
Megoldás:
Átlagosan 1500 eladott kerti szivattyúból 1500−6 = 1494 nem szivárog. Ez azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott szivattyú nem szivárog, 1494:1500=0,996
Válasz: 0,996.
34 opció
A gyár zacskókat gyárt. Átlagosan 160 zsákból 19 rejtett hibával rendelkezik. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a megvásárolt táska hibás lesz. Az eredményt kerekítse a legközelebbi századra.
Megoldás:
Összesen 160 táska van, és 160 hibátlan - 19 = 141.
Ez azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy a megvásárolt táska jó minőségű lesz, egyenlő
Válasz: 0,88
35 lehetőség
Tudományos Konferencia 3 napon keresztül zajlik. Összesen 40 bejelentést terveznek - az első napon 8 jelentést, a többit egyenlő arányban osztják el a második és a harmadik nap között. A konferencián M. professzor úr beszámolóját tervezik, a beszámolók sorrendjét sorshúzással határozzák meg. Mennyi annak a valószínűsége, hogy M. professzor beszámolóját a konferencia utolsó napjára időzítik?
Megoldás:
Az első napon 8, a következő kettőn 16.
Valószínűség az utolsó napon 16:40 = 0,4
Válasz: 0.4
36 lehetőség
Átlagosan 2000 eladott kerti szivattyúból 18 szivárog. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott szivattyú nem szivárog.
Megoldás:
Átlagosan 2000 eladott kerti szivattyúból 2000−18=1982 nem szivárog. Ez azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott szivattyú nem szivárog, 1982:2000=0,991
A matematika USE profilszintjének 4. számú feladatában egy egyszerű valószínűségszámítási feladat megoldására van szükség. A feladat meglehetősen egyszerű, elég egy számot elosztani a másikkal, vagy előtte egy számból kivonni egy másikat. A feladat intuitíven áttekinthető, és a kombinatorika alapképleteinek ismerete nélkül is megoldható. Nézzünk néhány példát.
A 4. számú feladat tipikus lehetőségeinek elemzése USE speciális szintű matematika
A feladat első verziója (demóverzió 2018)
A biológia jegykönyvben összesen 25 jegy található. Csak két jegyben van gomba kérdés. A vizsgán a hallgató egy véletlenszerűen kiválasztott jegyet kap ebből a gyűjteményből. Határozza meg annak valószínűségét, hogy ez a jegy gombával kapcsolatos kérdést tartalmaz.
Megoldási algoritmus:
- Nevezzük az eseményt A-nak.
- Határozza meg az összes esemény számát.
- Keresse meg a kedvező eredmények számát.
- Számítsuk ki a valószínűséget.
- Leírjuk a választ.
Megoldás:
1. Legyen A olyan esemény, amelyre egy diák jegyet kap egy gombás kérdéssel.
2. Összesen 25 jegy van, ami azt jelenti, hogy n=25 esemény van.
3. Kedvező eredmények m=2, mert csak 2 jegy tartalmazza a gombás kérdést.
4. Az A esemény valószínűsége P(A) = m/n=2/25 = 0,08.
Válasz: 0,08.
A feladat második változata (Jascsenko, 1. sz.)
Átlagosan 600 eladott kerti szivattyúból 3 szivárog. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott szivattyú nem szivárog.
Megoldási algoritmus:
- Jelöljük A betűvel „a vásárolt vezérlőszivattyú nem szivárog” eseményt.
- Keresse meg az összes esemény számát.
- Határozza meg az A esemény valószínűségét!
- Írjuk le a választ.
Megoldás:
1. Legyen A esemény: véletlenszerűen kiválasztott szivattyú nem szivárog.
2. Az összes esemény száma n=600.
3. A kedvező kimenetelek száma m=600-3=597. Ezután a következőképpen határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a kiválasztott szivattyú nem szivárog:
m/n = 597/600 = 0,995
Válasz: 0,995
A feladat harmadik változata (Jascsenko, 7. szám)
A taxitársaságnak 60 autója van; Ebből 27 fekete, oldalain sárga, a többi sárga, fekete felirattal. Mekkora valószínűséggel érkezik egy fekete feliratú sárga autó egy véletlenszerű hívásra.
Megoldási algoritmus:
- Jelöljük A betűvel a „sárga autó jön a hívásra” eseményt.
- Keresse meg az összes lehetséges esemény számát.
- Keresse meg a kedvező események számát.
- Számítsa ki az A esemény valószínűségét!
- Írjuk le a választ.
Megoldás:
1. Legyen A esemény: sárga taxi érkezik a hívásra.
2. Az összes esemény száma n=60.
3. A kedvező kimenetelek száma egyenlő m=60-27= 33. Ekkor a következőképpen határozzuk meg annak valószínűségét, hogy az utazáshoz választott sárga színű lesz:
Válasz: 0,55.
A feladat negyedik változata (Jascsenko, 21. szám)
A kerámia edénygyárban a legyártott tányérok 20%-a hibás. A termékminőség-ellenőrzés során a hibás lemezek 70%-át észlelik. A többi tányér eladó. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a vásárláskor véletlenszerűen kiválasztott lemeznek nincs hibája. Válaszát kerekítse a legközelebbi századra.
Megoldási algoritmus:
- Legyen x a gyárban gyártott összes lemez száma.
- Keresse meg a hibás lemezek számát.
- Nézzük meg az ellenőrzés során eltávolított lemezek számát.
- Határozzuk meg az A esemény valószínűségét: jó minőségű lemezt vásárolunk.
- Írjuk le a választ.
Megoldás:
1. A gyár gyártson x tányért.
2. A hibás lemezek 20%-a gyárilag készül. Csak 0,2-szeres darab. Ezután 0,8-szoros kiváló minőségű lemez kerül az elosztó hálózatba.
3. Minőségellenőrzéskor a hibás lemezek 70%-át eltávolítják, ami azt jelenti, hogy 30%-uk eladásra kerül. Kiderül, hogy 0,2x 0,3 = 0,06x hibás kerül a pultba.
Összesen 0,8x + 0,06x = 0,86x lemez kerül be az elosztó hálózatba.
4. Legyen az esemény A: a megvásárolt tányér jó minőségű. Ekkor a kedvező események száma m=N(A) = 0,8x. Az eredmények teljes száma n = 0,86x.
5. Az A esemény valószínűségét a valószínűségi képlet határozza meg: P(A) = m/n = 0,8x/0,86x = 0,9302325… ≈ 0,93