Linearizarea armonică a elementelor neliniare. Această metodă este utilizată pentru a studia sistemele neliniare cu o parte liniară deasupra ordinului al treilea. În majoritatea sistemelor, procesul tranzitoriu este o oscilație amortizată, prin urmare, la intrarea unui element neliniar, un semnal periodic cu o amplitudine care variază lent este transmis prin feedback-ul principal (GOF) și, în prezența unui semnal de intrare, de-a lungul cu o componentă constantă.
Vom presupune că la intrarea unui element neliniar pentru o anumită perioadă inițială mică de timp, amplitudinea și frecvența nu se modifică sau corespund amplitudinii și frecvenței auto-oscilațiilor sistemului. La ieșirea NE, obținem o funcție periodică care poate fi extinsă într-o serie Fourier. În studiul sistemelor neliniare, doar prima componentă armonică este folosită cel mai des, deoarece în cele mai multe cazuri, partea liniară a sistemului este un filtru trece-jos. Dar pentru a verifica acest lucru și aplicabilitatea acestei metode de cercetare, este necesar să se determine frecvența auto-oscilațiilor în sistem, prin care să se determine în viitor capacitatea părții liniare de a filtra armonicile superioare. Pentru a face acest lucru, construiți răspunsul în frecvență al părții liniare (LP).
Fie LP-ul sistemului un filtru trece-jos și vom presupune că oscilațiile la intrarea elementului neliniar al NE sunt sinusoidale, atunci semnalul de ieșire al NE este:
Unde A laȘi VC sunt coeficienții expansiunii Fourier ai funcției neliniare:
Dacă caracteristica neliniară este simetrică și neutră, atunci coeficientul de expansiune al seriei Fourier VC=0 și nu există armonici pare în expansiune:
Folosind aceste relații, exprimăm valoarea sinusului și cosinusului în termeni de semnal de intrare
Să substituim aceste relații în ecuația pentru ieșirea NE și să luăm în considerare doar prima armonică.
Scriem această ecuație sub formă de operator:
Coeficientul A 0 - amplitudinea autooscilațiilor; q este coeficientul de liniarizare armonică în raport cu componenta sinusoidală, depinde de amplitudinea semnalului la intrarea NE; b 1 este coeficientul de liniarizare armonică în raport cu componenta cosinus; ω 0 este amplitudinea auto-oscilațiilor.
În absența unei componente constante la intrarea NE, obținem o ecuație pentru descrierea comportamentului NE:
Aceasta este ecuația de liniarizare armonică NE.
Un NE liniarizat armonic poate fi reprezentat ca:
În acest caz, putem deriva funcția de transfer pentru NE:
în absenţa unei componente constante la intrare.
Coeficientul A 0 - amplitudinea autooscilațiilor;
q este coeficientul de liniarizare armonică în raport cu componenta sinusoidală, depinde de amplitudinea semnalului la intrarea NE;
b 1 este coeficientul de liniarizare armonică în raport cu componenta cosinus;
ω 0 este amplitudinea auto-oscilațiilor.
Partea liniară a sistemului este afectată de semnalul de ieșire NE, care conține întregul spectru de frecvență al expansiunii Fourier. În virtutea principiului suprapunerii, putem presupune că fiecare armonică acționează asupra părții liniare independent de cealaltă. Prin urmare, la ieșirea sistemului pot fi setate oscilații periodice, care vor conține întregul spectru de frecvențe corespunzătoare semnalului NE, dar amplitudinea fiecărei armonici va fi determinată de coeficientul de conversie al părții drepte pentru armonica considerată ( ).
Prin înlocuirea răspunsului în frecvență al părții liniare, puteți seta raportul modificărilor de amplitudine pentru fiecare armonică și puteți verifica dacă partea liniară a LPF este (dacă armonicile mai mari pot fi eliminate).
Dacă se setează frecvența autooscilațiilor și se cunosc coeficienții de liniarizare a armonicii NE, luând în considerare doar prima armonică, atunci frecvența (frecvența primei armonice). Dacă atunci puteți renunța la armonicile superioare și această metodă este potrivită. Acestea. este posibil să se limiteze la calculul unei singure armonice la ieșirea NE. Apoi, pentru o caracteristică impară cu o singură valoare, NE va avea:
Pentru caracteristica impară de histerezis:
În primul caz, NE este echivalent cu o legătură inerțială cu unele particularități - coeficientul de proporționalitate depinde de amplitudinea sau frecvența semnalului la intrarea NE.
În cazul neliniarității histeretice, legătura este echivalentă cu legătura de amplificare. Particularitatea acestei metode de liniarizare face posibilă utilizarea metodelor de frecvență ale teoriei liniare pentru analiza unui sistem neliniar.
Ministerul Educației și Științei al Federației Ruse
Universitatea Tehnică de Stat din Saratov
Institutul de Inginerie, Tehnologie și Management Balakovo
Metoda liniarizării armonice
Orientări pentru lucrul de laborator la cursul „Teoria controlului automat” pentru studenții specialității 210100
Aprobat
consiliul editorial și editorial
Institutul de Tehnologie Balakovo,
tehnologie si management
Balakovo 2004
Scopul lucrării: Studiul sistemelor neliniare folosind metoda liniarizării armonice (echilibrul armonic), determinarea coeficienților de liniarizare armonică pentru diverse legături neliniare. Obținerea deprinderilor în găsirea parametrilor oscilațiilor simetrice de amplitudine și frecvență constante (auto-oscilații), folosind metode algebrice, frecvenței, precum și utilizarea criteriului Mikhailov.
INFORMATII DE BAZA
Metoda liniarizării armonice se referă la metode aproximative de studiere a sistemelor neliniare. Face posibilă evaluarea stabilității sistemelor neliniare destul de simplu și cu o acuratețe acceptabilă și determinarea frecvenței și amplitudinii oscilațiilor stabilite în sistem.
Se presupune că ACS neliniar investigat poate fi reprezentat în următoarea formă
în plus, partea neliniară trebuie să aibă o singură neliniaritate
Această neliniaritate poate fi fie continuă, fie releu, fără ambiguitate sau histeretică.
Orice funcție sau semnal poate fi extins într-o serie conform unui sistem de funcții ortonormale liniar independente, într-un caz particular. Seria Fourier poate fi folosită ca atare serie ortogonală.
Să extindem semnalul de ieșire al părții neliniare a sistemului într-o serie Fourier
,
(2)
aici sunt coeficienții Fourier,
,
,
.
(3)
Astfel, semnalul conform (2) poate fi reprezentat ca o sumă infinită de armonici cu frecvențe crescătoare. 
etc. Acest semnal este introdus în partea liniară a sistemului neliniar.
Să notăm funcția de transfer a părții liniare
,
(4)
iar gradul polinomului numărătorului trebuie să fie mai mic decât gradul polinomului numitorului. În acest caz, răspunsul în frecvență al părții liniare are forma
unde 1 - nu are poli, 2 - are un stâlp sau poli.
Pentru răspunsul în frecvență, este corect să scrieți
Astfel, partea liniară a sistemului neliniar este un filtru trece-înalt. În acest caz, partea liniară va trece doar frecvențele joase fără atenuare, în timp ce frecvențele înalte vor fi atenuate semnificativ pe măsură ce frecvența crește.
Metoda de liniarizare armonică presupune că partea liniară a sistemului va trece doar componenta DC a semnalului și prima armonică. Apoi semnalul de la ieșirea părții liniare va arăta ca
Acest semnal trece prin întreaga buclă închisă a sistemului Fig.1 și la ieșirea elementului neliniar fără a ține cont de armonici superioare, conform (2) avem
.
(7)
În studiul sistemelor neliniare folosind metoda liniarizării armonice sunt posibile cazuri de oscilații simetrice și asimetrice. Să luăm în considerare cazul oscilațiilor simetrice. Aici și.
Introducem următoarea notație
Înlocuindu-le în (7), obținem . (8)
Ținând cont de faptul că
.
(9)
Conform (3) și (8) la
,
.
(10)
Expresia (9) este o liniarizare armonică a neliniarității și stabilește o relație liniară între variabila de intrare și variabila de ieșire la . Mărimile și se numesc coeficienți de liniarizare armonică.
Trebuie remarcat faptul că ecuația (9) este liniară pentru anumite valori și (amplitudini și frecvențe ale oscilațiilor armonice în sistem). Dar, în general, păstrează proprietăți neliniare, deoarece coeficienții sunt diferiți pentru diferite și . Această caracteristică ne permite să explorăm proprietățile sistemelor neliniare folosind metoda liniarizării armonice [Popov E.P.].
În cazul oscilațiilor asimetrice, liniarizarea armonică a neliniarității conduce la ecuația liniară
,
,
.
(12)
La fel ca și ecuația (9), ecuația liniarizată (11) păstrează proprietățile unui element neliniar, deoarece coeficienții de liniarizare armonică , , precum și componenta constantă depind atât de deplasarea, cât și de amplitudinea oscilațiilor armonice .
Ecuațiile (9) și (11) permit obținerea funcțiilor de transfer ale elementelor neliniare liniarizate armonic. Deci pentru vibrații simetrice
,
(13)
în timp ce funcţia de transfer de frecvenţă
depinde doar de amplitudine și nu depinde de frecvența oscilațiilor din sistem.
Trebuie remarcat faptul că, dacă neliniaritatea impar-simetrică este cu o singură valoare, atunci în cazul oscilațiilor simetrice, în conformitate cu (9) și (10), obținem că , (15)
(16)
iar neliniaritatea liniarizată are forma
Pentru neliniaritățile ambigue (cu histerezis), integrala din expresia (16) nu este egală cu zero, din cauza diferenței de comportare a curbei cu creștere și descreștere, prin urmare, expresia completă (9) este valabilă.
Să găsim coeficienți de liniarizare armonică pentru unele caracteristici neliniare. Fie ca caracteristica neliniară să ia forma unei caracteristici de releu cu histerezis și o zonă moartă. Luați în considerare modul în care oscilațiile armonice trec printr-un element neliniar cu o astfel de caracteristică.
Când condiția este îndeplinită, adică dacă amplitudinea semnalului de intrare este mai mică decât zona moartă, atunci nu există niciun semnal la ieșirea elementului neliniar. Dacă amplitudinea este , atunci releul comută în punctele A, B, C și D. Notați și .
,
.
(18)
Atunci când se calculează coeficienții de liniarizare armonică, trebuie avut în vedere că, cu caracteristici neliniare simetrice, integralele din expresiile (10) sunt pe semiciclu (0, ) cu o creștere ulterioară a rezultatului cu un factor de doi. . În acest fel
,
.
(19)
Pentru un element neliniar cu o caracteristică de releu și o zonă moartă
,
Pentru un element neliniar având o caracteristică de releu cu histerezis
,
Coeficienții de liniarizare armonică pentru alte caracteristici neliniare pot fi obținuți în mod similar.
Să luăm în considerare două metode de determinare a oscilațiilor simetrice de amplitudine și frecvență constante (autooscilații) și stabilitatea sistemelor liniarizate: algebrică și frecvență. Să ne uităm mai întâi la modul algebric. Pentru un sistem închis Fig.1, funcția de transfer a părții liniare este egală cu
.
Scriem funcția de transfer liniarizată armonic a părții neliniare
.
Ecuația caracteristică a unui sistem închis are forma
.
(22)
Dacă apar auto-oscilații în sistemul studiat, atunci aceasta indică prezența a două rădăcini pur imaginare în ecuația sa caracteristică. Prin urmare, substituim în ecuația caracteristică (22) valoarea rădăcinii .
.
(23)
Imagina
Obținem două ecuații care determină amplitudinea și frecvența dorite
,
.
(24)
Dacă în soluție sunt posibile valori reale pozitive ale amplitudinii și frecvenței, atunci pot apărea auto-oscilații în sistem. Dacă amplitudinea și frecvența nu au valori pozitive, atunci auto-oscilațiile în sistem sunt imposibile.
Luați în considerare Exemplul 1. Fie sistemul neliniar studiat are forma
În acest exemplu, elementul neliniar este un element senzor cu o caracteristică de releu, pentru care coeficienții de liniarizare armonică
Actuatorul are o funcție de transfer a formei
Funcția de transfer a obiectului reglementat este egală cu
.
(27)
Funcția de transfer a părții liniare a sistemului
,
(28)
Pe baza (22), (25) și (28), scriem ecuația caracteristică a unui sistem închis
,
(29)
,
Fie 1/sec, sec, sec, c.
În acest caz, parametrii mișcării periodice sunt egali cu
7,071
,
Să luăm în considerare o metodă de determinare a parametrilor auto-oscilațiilor într-un ACS liniarizat folosind criteriul Mikhailov. Metoda se bazează pe faptul că atunci când apar auto-oscilații, sistemul va fi la limita de stabilitate, iar hodograful Mikhailov în acest caz va trece prin origine.
În exemplul 2, găsim parametrii auto-oscilațiilor cu condiția ca elementul neliniar din sistem Fig. 4 să fie un element sensibil care are o caracteristică de releu cu histerezis, pentru care coeficienții de liniarizare armonică.
,
Partea liniară a rămas neschimbată.
Scriem ecuația caracteristică a unui sistem închis
Hodograful Mihailov se obține prin înlocuirea .
Sarcina este de a alege o astfel de amplitudine a oscilațiilor la care hodograful trece prin originea coordonatelor. Trebuie remarcat faptul că în acest caz frecvența curentă este , deoarece în acest caz curba va trece prin origine.
Calculele efectuate în MATHCAD 7 la 1/sec, sec, sec, in și in, au dat următoarele rezultate. În Fig.5 hodograful lui Mihailov trece prin origine. Pentru a îmbunătăți acuratețea calculelor, vom crește fragmentul dorit al graficului. Figura 6 prezintă un fragment al hodografului, mărit în vecinătatea originii. Curba trece prin originea coordonatelor la .
Fig.5. Fig.6.
În acest caz, frecvența de oscilație poate fi găsită din condiția ca modulul să fie egal cu zero. Pentru frecvente
valorile modulului sunt tabulate
Astfel, frecvența de oscilație este 6,38. Trebuie remarcat faptul că precizia calculelor poate fi crescută cu ușurință.
Soluția periodică rezultată, determinată de valoarea amplitudinii și frecvenței, trebuie investigată pentru stabilitate. Dacă soluția este stabilă, atunci în sistem are loc un proces auto-oscilant (ciclu limită stabil). În caz contrar, ciclul limită va fi instabil.
Cel mai simplu mod de a studia stabilitatea unei soluții periodice este utilizarea criteriului de stabilitate Mikhailov în formă grafică. S-a constatat că la , curba Mihailov trece prin originea coordonatelor. Dacă dați o creștere mică, atunci curba va lua o poziție fie peste zero, fie mai jos. Deci, în ultimul exemplu, să creștem în, adică și . Poziția curbelor Mihailov este prezentată în Fig.7.
La , curba trece peste zero, ceea ce indică stabilitatea sistemului și procesul tranzitoriu amortizat. Când curba Mihailov trece sub zero, sistemul este instabil și tranzitoriul este divergent. Astfel, o soluție periodică cu o amplitudine de 6 și o frecvență de oscilație de 6,38 este stabilă.
Pentru a studia stabilitatea unei soluții periodice, se poate folosi și un criteriu analitic obținut din criteriul grafic Mikhailov. Într-adevăr, pentru a afla dacă curba Mikhailov va merge peste zero, este suficient să privim unde se va deplasa punctul curbei Mihailov, care este situat la originea coordonatelor.
Dacă extindem deplasarea acestui punct de-a lungul axelor de coordonate X și Y, atunci pentru stabilitatea soluției periodice, vectorul determinat de proiecțiile pe axele de coordonate
ar trebui să fie situat la dreapta tangentei MN la curba Mihailov, atunci când este privit de-a lungul curbei în direcția de creștere, a cărei direcție este determinată de proiecții
Să scriem condiția de stabilitate analitică în următoarea formă
În această expresie, derivatele parțiale sunt luate în raport cu parametrul curent al curbei Mihailov
,
Trebuie remarcat că expresia analitică a criteriului de stabilitate (31) este valabilă numai pentru sistemele nu mai mari decât ordinul al patrulea, deoarece, de exemplu, pentru un sistem de ordinul al cincilea la origine, condiția (31) poate fi îndeplinită, iar sistemul va fi instabil
Aplicam criteriul (31) pentru a studia stabilitatea solutiei periodice obtinute in Exemplul 1.
,
,
,
,
Scopul metodei de linearizare armonică.
Ideea metodei de liniarizare armonică a fost propusă în 1934. N. M. Krylov și N. N. Bogolyubov. Așa cum este aplicată sistemelor de control automat, această metodă a fost dezvoltată de L. S. Goldfarb și E. P. Popov. Alte denumiri pentru această metodă și modificările sale sunt metoda echilibrului armonic, metoda de descriere a funcțiilor, metoda liniarizării echivalente.
Metoda liniarizării armonice este o metodă de studiere a autooscilațiilor. Permite determinarea condițiilor de existență și a parametrilor posibilelor auto-oscilații în sisteme neliniare.
Cunoașterea parametrilor auto-oscilațiilor face posibilă prezentarea unei imagini a proceselor posibile din sistem și, în special, determinarea condițiilor de stabilitate. Să presupunem, de exemplu, că în urma studiului auto-oscilațiilor într-un sistem neliniar, am obținut dependența amplitudinii acestor auto-oscilații. DAR din coeficientul de transfer k parte liniară a sistemului, prezentată în Fig. 12.1, și știm că auto-oscilațiile sunt stabile.
Din grafic rezultă că cu o valoare mare a coeficientului de transfer k, când k>k cr, există auto-oscilații în sistem. Amplitudinea lor scade la zero pe măsură ce coeficientul de transmisie scade k inainte de k cr. În Fig. 12.1, săgețile arată în mod condiționat natura proceselor tranzitorii la diferite valori k: la k>k kr procesul tranzitoriu cauzat de abaterea inițială se micșorează la auto-oscilații. Din figură se vede că la k< k cr, sistemul este stabil. În acest fel, k kr este valoarea critică a coeficientului de transmisie în funcție de condiția de stabilitate. Excesul său duce la faptul că modul inițial al sistemului devine instabil și în el apar auto-oscilații. In consecinta, cunoasterea conditiilor de existenta a autooscilatiilor in sistem face posibila determinarea si conditiilor de stabilitate.
Ideea liniarizării armonice.
Se consideră un sistem neliniar, a cărui schemă este prezentată în Fig. 12.2, și . Sistemul constă dintr-o parte liniară cu o funcție de transfer W l ( s) și o legătură neliniară NL cu o specificație specifică . O legătură cu un coeficient - 1 arată că feedback-ul în sistem este negativ. Credem că există auto-oscilații în sistem, a căror amplitudine și frecvență vrem să le aflăm. În modul luat în considerare, valoarea de intrare X legătură neliniară și ieșire Y sunt funcții periodice ale timpului.
Metoda liniarizării armonice se bazează pe presupunerea că oscilațiile la intrarea legăturii neliniare sunt sinusoidale, adică. e. că
, (12.1)
UndeDAR– amplitudinea și este frecvența acestor auto-oscilații și este o posibilă componentă constantă în cazul general, când auto-oscilațiile sunt asimetrice.
De fapt, auto-oscilațiile în sistemele neliniare sunt întotdeauna nesinusoidale datorită distorsiunii formei lor de către o legătură neliniară. Prin urmare, această ipoteză inițială înseamnă că metoda de liniarizare armonică este fundamental aproximative iar domeniul de aplicare al acesteia este limitat la cazurile în care auto-oscilațiile la intrarea unei legături neliniare sunt suficient de apropiate de sinusoidale. Pentru ca acest lucru să aibă loc, partea liniară a sistemului nu trebuie să treacă de armonicile superioare ale auto-oscilațiilor, adică să fie filtru trece jos. Acesta din urmă este ilustrat în Fig. 12.2, b . Dacă, de exemplu, frecvența auto-oscilațiilor este , atunci partea liniară c prezentată în Fig. 12.2, b Răspunsul în frecvență va juca rolul unui filtru trece-jos pentru aceste oscilații, întrucât a doua armonică, a cărei frecvență este egală cu 2, practic nu va trece la intrarea legăturii neliniare. Prin urmare, în acest caz, este aplicabilă metoda liniarizării armonice.
Dacă frecvența auto-oscilațiilor este egală cu , partea liniară va trece liber de a doua, a treia și alte armonice ale auto-oscilațiilor. În acest caz, nu se poate susține că oscilațiile la intrarea legăturii neliniare vor fi suficient de apropiate de sinusoidale, adică. nu este îndeplinită condiția prealabilă pentru aplicarea metodei liniarizării armonice.
Pentru a stabili dacă partea liniară a sistemului este un filtru trece-jos și pentru a determina astfel aplicabilitatea metodei de liniarizare armonică, este necesar să se cunoască frecvența auto-oscilațiilor. Cu toate acestea, poate fi cunoscut doar ca urmare a utilizării acestei metode. În acest fel, aplicabilitatea metodei de liniarizare armonică trebuie să fie determinată deja la sfârșitul studiului ca test.
Rețineți că dacă, în urma acestei verificări, ipoteza conform căreia partea liniară a sistemului joacă rolul unui filtru trece-jos nu este confirmată, aceasta nu înseamnă că rezultatele obținute sunt incorecte, deși, desigur, este pune la îndoială asupra lor și necesită o verificare suplimentară de către unii printr-o altă metodă.
Deci, presupunând că partea liniară a sistemului este un filtru trece-jos, presupunem că auto-oscilațiile la intrarea legăturii neliniare sunt sinusoidale, adică au forma (12.1). În acest caz, oscilațiile la ieșirea acestei legături vor fi deja nesinusoidale datorită distorsiunii lor de către neliniaritate. De exemplu, în fig. 12.3, o curbă este trasată la ieșirea unei legături neliniare pentru o anumită amplitudine a unui semnal pur sinusoidal de intrare în funcție de caracteristica legăturii dată în același loc.
Fig.12.3. Trecerea unei oscilații armonice printr-o legătură neliniară.
Cu toate acestea, deoarece credem că partea liniară a sistemului trece doar de armonica fundamentală a auto-oscilațiilor, are sens să fim interesați doar de această armonică la ieșirea legăturii neliniare. Prin urmare, extindem oscilațiile de ieșire într-o serie Fourier și eliminăm armonicile superioare. Ca rezultat, obținem:
;
; (12.3)
;
.
Să rescriem expresia (12.2) într-o formă mai convenabilă pentru utilizare ulterioară, înlocuind în ea următoarele expresii pentru și obținute din (12.1):
Înlocuind aceste expresii în (12.2), vom avea:
(12.4)
. (12.5)
Iată notațiile:
. (12.6)
Ecuația diferențială (12.5) este valabilă pentru un semnal de intrare sinusoidal (12.1) și determină semnalul de ieșire al unei legături neliniare fără a lua în considerare armonicile superioare.
Coeficienții conform expresiilor (12.3) pentru coeficienții Fourier sunt funcții ale componentei constante , amplitudine DARși frecvența auto-oscilațiilor la intrarea legăturii neliniare. La fix DAR, iar ecuația (12.5) este liniară. Astfel, dacă armonicile superioare sunt aruncate, atunci pentru un semnal armonic fix, legătura neliniară inițială poate fi înlocuită cu una liniară echivalentă descrisă de ecuația (12.5). Acest înlocuitor se numește liniarizare armonică .
Pe fig. 12.4 prezintă schematic schema acestei legături, formată din două legături paralele.
Orez. 12.4. Legătură liniară echivalentă rezultată din liniarizarea armonică.
O legătură () trece componenta constantă, iar cealaltă doar componenta sinusoidală a auto-oscilațiilor.
Coeficienții se numesc coeficienţii de liniarizare armonică sau câștiguri armonice: - coeficientul de transfer al componentei constante și - doi coeficienți de transfer ai componentei sinusoidale a auto-oscilațiilor. Acești coeficienți sunt determinați de neliniaritatea și valorile și prin formulele (12.3). Există expresii gata făcute definite de aceste formule pentru un număr de legături neliniare tipice. Pentru acestea și în general pentru toate legăturile inerțiale neliniare, mărimile nu depind și sunt doar funcții ale amplitudinii DARȘi .
Când un semnal armonic este aplicat la intrarea unui sistem liniar
un semnal armonic este setat și la ieșirea sistemului, dar cu o amplitudine diferită și decalat în fază față de intrare. Dacă un semnal sinusoidal este aplicat la intrarea unui element neliniar, atunci se formează oscilații periodice la ieșirea acestuia, dar ca formă diferă semnificativ de cele sinusoidale. De exemplu, în fig. 8.17 arată natura modificării variabilei de ieșire a unui element neliniar cu o caracteristică de releu (8.14) atunci când oscilațiile sinusoidale (8.18) intră în intrarea sa.
Expandând semnalul periodic la ieșirea unui element neliniar într-o serie Fourier, îl reprezentăm ca suma unei componente constante și a unui set infinit de componente armonice:
,
(8.19)
Unde –
coeficienții constanți ai seriei Fourier; – frecvența de oscilație a primei armonice (frecvența fundamentală), egală cu frecvența oscilațiilor sinusoidale de intrare; T - perioada de oscilație a primei armonice, egală cu perioada oscilațiilor sinusoidale de intrare.
Semnalul de ieșire al elementului neliniar este alimentat la intrarea părții liniare a ACS (vezi Fig. 8.1), care, de regulă, are o inerție semnificativă. În acest caz, componentele de înaltă frecvență ale semnalului (8.19) practic nu trec la ieșirea sistemului, adică. partea liniară este un filtru în raport cu componentele armonice de înaltă frecvență. În acest sens, și ținând cont, de asemenea, că amplitudinile componentelor armonice descresc odată cu creșterea frecvenței armonice, pentru o estimare aproximativă a valorii de ieșire a unui element neliniar, într-un număr mare de cazuri este suficient să se ia în considerare doar prima componentă armonică în .
Prin urmare, în absența unei componente constante în oscilațiile de ieșire, expresia (8.19) poate fi scrisă aproximativ ca:
Exprimând din formula (8.20) funcția , și din derivată 
- functie 
, transformăm expresia (8.20) după cum urmează:
.
(8.21)
Astfel, dependența neliniară a valorii de ieșire de valoarea de intrare într-un element neliniar este aproximativ înlocuită cu o dependență liniară descrisă prin expresia (8.21).
După ce am efectuat transformarea Laplace în expresia (8.21), obținem:
În ceea ce privește legăturile continue, introducem în considerare funcția de transfer a unui element liniarizat armonic neliniar , ca raport dintre imaginea cantității de ieșire și imaginea cantității de intrare:
.
(8.22)
Tabelul 8.1
Coeficienții de liniarizare armonică a neliniarităților tipice
|
Caracteristica statică a unui element neliniar | ||
|
Răspuns liniar cu bandă moartă |
| |
|
Caracteristică liniară cu limitare |
| |
|
Răspuns liniar cu bandă moartă și tăiere |
| |
|
„Reacție” caracteristică |
| |
|
Caracteristica releului ideal | ||
|
Caracteristică fără ambiguitate a releului cu bandă moartă |
| |
|
Răspuns de releu ambiguu cu bandă moartă |
|
|
|
Parabola cubica: | ||
|
„bucla de histerezis” caracteristică |
|
|
Funcția de transfer a unui element neliniar are o diferență semnificativă față de funcția de transfer a unui sistem liniar, care constă în faptul că depinde de amplitudinea și frecvența semnalului de intrare.
Expresia (8.22) poate fi scrisă ca:
q(A) + q 1 (A), (8.23)
Unde q(A),q 1 (A) sunt coeficienții de liniarizare armonică, definiți ca raportul dintre coeficienții seriei Fourier pentru prima armonică a oscilațiilor de ieșire și amplitudinea oscilațiilor de intrare:
q(A) = q 1 (A) = . (8.24)
Înlocuirea în expresie (8.23) R pe , obținem o expresie pentru câștig complex al elementului neliniar :
q(A) +j q 1 (A), (8.25)
care este un analog al AFC pentru o legătură liniară.
Ca exemplu, să definim o expresie pentru coeficientul de transfer complex al unui element neliniar cu o caracteristică statică de releu (8.14). Coeficienții seriei Fourier A 1 Și B 1 pentru neliniaritatea indicată sunt:
B 1 .
Este evident că coeficientul B 1 va fi egal cu zero pentru orice element neliniar cu neliniaritate statică impar-simetrică.
Unde - funcția de transfer a părții liniare a sistemului; - funcția de transfer a unui element neliniar după liniarizarea acestuia.
Dacă 
, atunci expresia (8.26) poate fi scrisă ca:
Înlocuirea în expresie (8.27) R pe , obținem o expresie complexă în care este necesară separarea părților reale și imaginare:
[ q(A) +j q 1 (A) ] . (8.28)
În acest caz, scriem condiția pentru apariția oscilațiilor periodice în sistem cu frecvență și amplitudine:
(8.29)
Dacă soluțiile sistemului (8.29) sunt complexe sau negative, modul de auto-oscilații în sistem este imposibil. Prezența unor soluții reale pozitive pentru și indică prezența auto-oscilațiilor în sistem, care trebuie verificate pentru stabilitate.
De exemplu, să găsim condițiile pentru apariția auto-oscilațiilor în ACS, dacă funcția de transfer a părții sale liniare este egală cu:
(8.30)
și un element neliniar de tip „buclă de histerezis”.
Funcția de transfer a unui element neliniar liniarizat armonic (a se vedea tabelul 8.1) este:
.
(8.31)
Înlocuirea expresiilor (8.30) și (8.31) în expresia (8.26) și înlocuirea R pe , găsiți expresia pentru:
De aici, în conformitate cu expresia (8.29), obținem următoarele condiții pentru apariția auto-oscilațiilor în sistem:
Rezolvarea sistemului de ecuații (8.29) este de obicei dificilă, deoarece coeficienții de liniarizare armonică au o dependență complexă de amplitudinea semnalului de intrare. În plus, pe lângă determinarea amplitudinii și frecvenței, este necesar să se evalueze stabilitatea auto-oscilațiilor în sistem.
Condițiile pentru apariția auto-oscilațiilor într-un sistem neliniar și parametrii ciclurilor limită pot fi investigați folosind criterii de stabilitate a frecvenței, de exemplu, criteriul de stabilitate Nyquist. Conform acestui criteriu, în prezența auto-oscilațiilor, caracteristica amplitudine-fază a unui sistem liniarizat armonic în buclă deschisă este egală cu
trece prin punctul (-1, j0). Prin urmare, pentru și următoarea egalitate este valabilă:
.
(8.32)
Soluția ecuației (8.32) cu privire la frecvența și amplitudinea autooscilațiilor poate fi obținută grafic. Pentru a face acest lucru, pe planul complex, este necesar, prin schimbarea frecvenței de la 0 la , să se construiască hodograful AFC al părții liniare a sistemului și, prin modificarea amplitudinii DAR de la 0 la , construiți o hodografă a caracteristicii inverse a părții neliniare , luată cu semnul minus. Dacă aceste hodografe nu se intersectează, atunci modul de auto-oscilații în sistemul studiat nu există (Fig. 8.18, b).
Când hodografele se intersectează (Fig. 8.18, a), în sistem apar auto-oscilații, a căror frecvență și amplitudine sunt determinate de valori și la punctul de intersecție.
Dacă și - se intersectează în mai multe puncte (Fig. 8.18, a), atunci aceasta indică prezența mai multor cicluri limită în sistem. În acest caz, oscilațiile din sistem pot fi stabile și instabile.
Stabilitatea regimului auto-oscilator se estimează după cum urmează. Modul de auto-oscilație este stabil dacă punctul de pe hodograful părții neliniare, corespunzător unei amplitudini mai mari decât valoarea la punctul de intersecție a hodografelor, nu este acoperit de hodograful răspunsului în frecvență al liniarului. parte a sistemului. În caz contrar, regimul auto-oscilator este instabil.
Pe fig. 8.18, iar hodografele se intersectează în punctele 1 și 2. Punctul 1 determină modul instabil al auto-oscilațiilor, deoarece punctul hodograf corespunzător amplitudinii crescute este acoperit de hodograful răspunsului în frecvență al părții liniare a sistemului. Punctul 2 corespunde unui mod stabil de auto-oscilații, a cărui amplitudine este determinată de hodograf și frecvența - de hodograf.
Ca exemplu, să estimăm stabilitatea auto-oscilațiilor în două sisteme neliniare. Vom presupune că funcțiile de transfer ale părților liniare ale acestor sisteme coincid și sunt egale:
,
dar elementele lor neliniare incluse în ele sunt diferite. Fie primul sistem să includă un element neliniar „releu ideal”, descris de sistemul (8.14), iar al doilea - un element neliniar cu o caracteristică statică „parabolă cubică”. Folosind datele din tabelul 8.1, obținem:
Pe fig. 8.19 prezintă hodografele acestor sisteme împreună cu hodograful AFC al părții liniare a sistemului. Pe baza celor de mai sus, se poate susține că în primul sistem apar auto-oscilații stabile cu frecvența și amplitudinea, iar în cel de-al doilea sistem apar auto-oscilații instabile.
Metoda liniarizării armonice permite studierea stabilității și acurateței sistemelor neliniare cu suficientă precizie pentru practică, folosind metode dezvoltate pentru sisteme liniare. Metoda face posibilă determinarea prezenței auto-oscilațiilor, precum și frecvența și amplitudinea acestora.
Un sistem neliniar este reprezentat ca o combinație între o parte liniară și una neliniară (Fig. 5).
Orez. cinci Diagrama unui sistem neliniar
Semnalul de ieșire al părții neliniare a sistemului este determinat în general de expresie
Notați ca funcție de transfer a părții liniare. Sistemul de ecuații ia forma
Să găsim condițiile în care apar oscilații armonice de formă la ieșirea părții liniare a sistemului
În acest caz, semnalul YT) partea neliniară va fi, de asemenea, o funcție periodică, dar diferită de o sinusoidă. Această funcție poate fi extinsă într-o serie Fourier
În această expresie A iȘi b i- coeficienții Fourier. Pentru neliniarități simetrice F 0 =0.
Condiția principală pe care metoda o impune părții liniare a sistemului este starea filtrului trece-jos. Se crede că partea liniară trece doar prima armonică de oscilații. Această ipoteză ne permite să considerăm armonicile superioare din (7.19) nesemnificative și să ne limităm la a considera doar prima armonică a semnalului YT).
atunci expresia (7.20) poate fi rescrisă ca
Prima ecuație a sistemului (7.17) ia forma
În această expresie
Rezultatul înlocuirii neliniarității F(x, sx) expresie
și se numește liniarizare armonică. Cantitati qȘi q 1 se numesc coeficienți de liniarizare armonică sau pur și simplu coeficienți armonici. Pentru neliniarități cu o singură valoare, de obicei q 1 =0 . Formulele pentru coeficienții armonici corespunzători neliniarităților tipice sunt date în anexe.
Diferența fundamentală dintre liniarizarea armonică și liniarizarea convențională este aceea că, la liniarizarea convențională, caracteristica neliniară este înlocuită cu o linie dreaptă cu o anumită pantă constantă, iar la liniarizarea armonică, cu o linie dreaptă, a cărei pantă depinde de amplitudinea semnalul de intrare al elementului neliniar.
Luați în considerare metoda de determinare a amplitudinii și frecvenței auto-oscilațiilor.
unu). În ecuația caracteristică a sistemului obținut din (7.22) facem modificarea s=j si ia
2). Din expresia rezultată, selectăm părțile reale și imaginare și le echivalăm cu zero, ceea ce, conform criteriului Mihailov, corespunde că sistemul se află pe limita stabilității oscilatorii.
- 3). Soluția acestui sistem oferă frecvența și valorile coeficienților armonici. Dacă aceste valori sunt reale și pozitive, atunci sistemul are un ciclu limită. Valorile coeficienților armonici pot fi utilizate pentru a determina amplitudinea ciclului limită.
- 4). Un semn general al stabilității ciclului limită, de ex. existența auto-oscilațiilor, este egalitatea la zero a penultimului determinant Hurwitz pentru valorile obținute ale amplitudinii și frecvenței ciclului limită. Este adesea mai convenabil să folosiți condiția de stabilitate a ciclului limită pe baza criteriului de stabilitate al lui Mihailov.
Dacă această inegalitate este satisfăcută, atunci ciclul limită este stabil și există auto-oscilații în sistem cu amplitudinea și frecvența definite mai sus. Indicele ”*” înseamnă că derivatele sunt calculate cu valori deja cunoscute ale coeficienților armonici, amplitudinii și frecvenței.
Exemplu. Să presupunem că în sistemul de stabilizare a unghiului de inclinare a avionului deja considerat mai sus, mecanismul de guvernare este neliniar și diagrama bloc are forma prezentată în Fig. 7.6.
Fig.6 Diagrama unui sistem de direcție neliniar
Să setăm următorii parametri ai neliniarității caracteristicilor de viteză ale mecanismului de direcție: b = 0,12, k 1 =tg =c/b = 6,7. Coeficienții de liniarizare armonică ai acestei neliniarități sunt determinați de expresii
Inlocuind caracteristica neliniara din circuit cu un coeficient armonic se obtine functia de transfer a mecanismului de directie
Inlocuim aceasta functie de transfer in diagrama bloc a sistemului de stabilizare a unghiului de pas si determinam functia de transfer a sistemului inchis.
În ecuația caracteristică a unui sistem închis, facem schimbarea s = jși selectați părțile reale și imaginare.
Din a doua ecuație a sistemului obținem o expresie pentru frecvența: , iar substituind-o în prima ecuație, după transformări, obținem
Înlocuind aici expresii definite anterior pentru coeficienții ecuației caracteristice, se poate obține o ecuație pătratică față de coeficientul armonic, rezolvând care, găsim
Din aceste valori este posibil să se calculeze pentru două cazuri toți coeficienții ecuației caracteristice și să se determine frecvențele corespunzătoare fiecărei valori q(A). Primim:
Ambele valori ale coeficientului armonic și frecvențele corespunzătoare sunt reale și pozitive. Prin urmare, în sistem există două cicluri limită. Valorile amplitudinii ciclului limită sunt determinate numeric prin selectarea unei astfel de valori la care formula pentru coeficientul de liniarizare armonică dă o valoare egală cu cea calculată anterior. În cazul luat în considerare, obținem
Acum să estimăm stabilitatea ciclurilor limită. Folosim inegalitatea obținută din criteriul Mihailov, pentru care definim
Derivata coeficientului de liniarizare armonică inclusă în expresiile obţinute se calculează prin formula
Calculele folosind formulele de mai sus arată că primul ciclu limită nu este stabil și apare când (0) 0.1166(6.7 0 ). Dacă abaterea inițială este mai mică decât cea specificată, atunci procesul de la intrarea elementului neliniar decade (Fig. 7. 7) și sistemul este stabil.
Dacă valoarea inițială a unghiului de pas este mai mare decât valoarea specificată, atunci procesele converg către al doilea ciclu limită, care este stabil și, astfel, apar auto-oscilații în sistem (Fig. 8).
Orez. 8
Prin modelare se determină că aria de atracție a unui ciclu limită stabil se află aproximativ în interiorul (0) 0.1167 - 1.4 (6.71 0 - 80.2 0 ).