Štvrtou úlohou je vypočítať pravdepodobnosť udalosti. Výpočty sú celkom jednoduché, stačí poznať definíciu pravdepodobnosti a najjednoduchšie spôsoby jej výpočtu. Musíte tiež vedieť pracovať s obyčajnými zlomkami, prevádzať obyčajné zlomky na desatinné miesta, zaokrúhľovať desatinné miesta, skladať a riešiť lineárne rovnice.
Typ práce: Stručná odpoveď
Úroveň obtiažnosti: základňu
Počet bodov: 1
Odhadovaný čas na dokončenie: 2 minúty
Pravdepodobnosť je vždy vyjadrená zlomkom, ktorého menovateľ je celkový počet výsledky a v čitateli počet výsledkov, ktoré spĺňajú podmienku. Najčastejšie sa problém týka výpočtu počtu výsledkov (príklady 1-2). Niekedy k sčítaniu alebo násobeniu pravdepodobnosti jednotlivých udalostí (príklady 3-6) a veľmi zriedka k viacerým akciám (príklady 7-8).
Poznať definície a pravidlá. Ale pri riešení pravdepodobnostných problémov je dôležitejšie mať dobrú praktickú zručnosť. To vám umožní nehrabať sa pri skúške v jednoduchej úlohe do zložitých matematických zákonitostí a ušetríte si čas aj vlastné nervy. V skutočnosti v štvrtej úlohe nie sú vôbec žiadne ťažké úlohy.
Príklad č. 1.
Za ceny pre účastníkov technickej súťaže bolo v predajni zakúpených 30 omaľovánok, z toho 10 s tankami, 11 s lietadlami, zvyšok s vesmírnymi loďami. Ceny sú určené lotériou. Dima chce získať maľovanku s vesmírnymi loďami. Aká je pravdepodobnosť, že sa jeho želanie splní?
Riešenie:
Najprv určme počet farebných stránok s vesmírnymi loďami: 30-10-11=9
Teraz môžeme vypočítať pravdepodobnosť: 9/30=0,3
Odpoveď: 0,3.
Príklad č. 2
Balenie obsahuje zošity s farebnými obalmi: 12 s červenou, 7 s modrou, 9 s čiernou, 8 so žltou a 14 s bielou. Z balenia vyberte 1 zápisník. Nájdite pravdepodobnosť, že obal tohto zápisníka je žltý.
Riešenie:
Celkový počet zošitov: 12+7+9+8+14=50
Pravdepodobnosť získania zápisníka so žltým obalom: 8/50=0,16
Odpoveď: 0,16.
Príklad č. 3
Riešenie: Súčet pravdepodobností na nákup funkčného alebo chybného plniaceho pera sa rovná jednej. Ak chcete určiť pravdepodobnosť nákupu dobrého pera, odpočítajte pravdepodobnosť nákupu chybného pera od jednej: 1-0,09 = 0,81
Odpoveď: 0,81.
Príklad č. 4
Súčasne sa hádžu dve kocky. Nájdite pravdepodobnosť hodu 9 bodov.
Riešenie:
Zoberme si dvojice čísel od 1 do 6, ktorých súčet je 9
3+6
4+5
5+4
6+3
Je jasné, že 4 zo 6 možných čísel môžu padnúť na prvej kocke. Pravdepodobnosť je: 4/6 = 2/3
Pri hode druhou kockou by malo vypadnúť 1 číslo zo 6, pravdepodobnosť tejto udalosti je 1/6.
Potom sa pravdepodobnosť, že súčet bodov bude 9, rovná súčinu pravdepodobností: 2/3*1/6=2/18=1/9=0,11
Odpoveď: 0.11.
Tento problém sa dá vyriešiť pomocou tabuľky, kde v hornom riadku je číslo na prvej kocke, v ľavom stĺpci je číslo na druhej a v bunkách je ich súčet. (Takúto tabuľku je možné načrtnúť za minútu na koncepte)
Tabuľka ukazuje, že z 36 možných výsledkov vypadne 9 bodov v 4 prípadoch. Tie. pravdepodobnosť je 4/36=1/9=0,11
Odpoveď: 0.11.
Príklad č. 5
Dima sa na fyzikálnu olympiádu dobre pripravil. S pravdepodobnosťou 0,98 sa stane víťazom a s pravdepodobnosťou 0,84 víťazom olympiády. Aká je pravdepodobnosť, že sa Dima stane víťazom ceny, ale nestane sa víťazom fyzikálnej olympiády?
Riešenie:
Víťaz je zároveň víťazom olympiády. Preto pravdepodobnosť, že sa stanete víťazom (0,98), môže byť vyjadrená ako súčet pravdepodobnosti, že sa stanete víťazom (0,84) a pravdepodobnosti, že sa stanete iba víťazom (X).
X + 0,84 = 0,98
X = 0,98-0,84
X = 0,14
Odpoveď: 0,14.
Príklad č. 6
V služobnom družstve je 7 chlapcov a 14 dievčat. Clo sa rozdeľuje žrebom. Pri centrálnej bráne tábora sú potrební dvaja strážcovia. Nájdite pravdepodobnosť, že dvaja chlapci budú mať službu pri bráne.
Riešenie:
Prvým v službe bude chlapec s pravdepodobnosťou: 7/21=1/3
Druhý sprievodca je vybraný z 20 zostávajúcich detí, z ktorých je iba 6 chlapcov: 6/20=3/10
Pravdepodobnosť, že dvaja chlapci budú mať službu pri bráne: 1/3*3/10=0,1
Odpoveď: 0,1.
Príklad č. 7
V parku je sieť chodníkov vedúcich k vyhliadkovým plošinám. Vodopád je možné pozorovať z lokalít F a G. Turista vychádza z bodu A. Na každom rozdvojení si volí ľubovoľný smer (okrem smeru späť). Aká je pravdepodobnosť, že turista uvidí vodopád?
Riešenie:
Keďže vodopád je viditeľný z dvoch lokalít, na vyriešenie problému je potrebné pridať pravdepodobnosť, že sa turista dostane na lokalitu F, a pravdepodobnosť, že sa dostane na lokalitu G
Pre lokalitu F: 1/2*1/3=1/6
Pre miesto G: 1/2*1/2=1/4
Pre dve lokality: 1/6+1/4=4/24+6/24=10/24=0,42
Odpoveď: 0,42.
Príklad č. 8
Na test sa musíte naučiť 10 otázok. Sasha sa naučil 2 a len čítal zvyšok. Ak Sasha natrafí na naučený tiket, tak testom prejde s pravdepodobnosťou 0,9. Ak Sasha narazí na otázku, ktorú práve čítal, pravdepodobnosť úspešného absolvovania testu je 0,3. Otázky v teste sú rozdelené náhodne. Nájdite pravdepodobnosť, že Sasha prejde testom.
Riešenie:
Z 10 tiketov boli naučené 2, nenaučených 8. Pravdepodobnosť získania naučenej otázky je 2/10, pravdepodobnosť získania nenaučenej otázky je 8/10.
Pravdepodobnosť prejdenia posunu na naučený tiket: 2/10*0,9=0,18
Pravdepodobnosť vrátenia nenaučeného lístka: 8/10*0,3=0,24
Konečná pravdepodobnosť: 0,18+0,24=0,42
Odpoveď: 0,42.
Najťažšie je určiť, kedy sa majú pravdepodobnosti dvoch udalostí vynásobiť a kedy sčítať. Úlohy sa objavia, keď potrebujete urobiť oboje. Ak ste našli pravdepodobnosti jednotlivých udalostí, no neviete sa rozhodnúť, čo s nimi ďalej, dôverujte svojej intuícii.
Ak ste pochopili, že pravdepodobnosť dvoch udalostí je väčšia ako pravdepodobnosť každej samostatne - spočítajte. (Napríklad pravdepodobnosť prehodenia chvostov na jednej z dvoch mincí je jednoznačne väčšia ako pravdepodobnosť prehodenia chvostov na jednej minci.)
Ak je pravdepodobnosť dvoch udalostí menšia ako každá samostatne, vynásobte sa. (Napríklad pravdepodobnosť otáčania hláv na oboch minciach je menšia ako pravdepodobnosť otáčania chvostov na jednej z nich.)
Je jasné, že intuícia je nevedecký prístup. Ale na skúške v úlohe s krátkou odpoveďou je lepšie dať nejakú odpoveď, ako nedávať žiadnu.
Nezabúdajte však, že špecializované POUŽITIE v matematike nie je len maturita, ale aj vstupný test. Väčšina školských problémov o pravdepodobnosti sa dá vyriešiť logickým uvažovaním. To vytvára ilúziu ľahkosti v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike. Ale v skutočnosti ide o jednu z najpokročilejších a najvyhľadávanejších oblastí matematiky a na univerzite pocítite jej komplexnosť naplno.
Úlohy 4
1 možnosť
V skúške je 60 lístkov, 3 z nich sa Andrey nenaučil. Nájdite pravdepodobnosť, že získa naučený tiket.
Riešenie:
Stanovme počet priaznivých výsledkov: 60-3=57
odpoveď: 0,95
Možnosť 2
Kovboj John zasiahne muchu na stene s pravdepodobnosťou 0,7, ak vystrelí z prestreleného revolvera. Ak John vystrelí z nevystreleného revolveru, zasiahne muchu s pravdepodobnosťou 0,3. Na stole je 10 revolverov, len 2 sú zastrelené. Kovboj John vidí muchu na stene, náhodne schmatne prvý revolver, na ktorý narazí, a vystrelí na muchu. Nájdite pravdepodobnosť, že John netrafí.
Riešenie:
John bude chýbať, ak chytí vystrelený revolver a minie s ním, alebo ak schmatne nevystrelený revolver a minie s ním. Podľa vzorca podmienenej pravdepodobnosti sú pravdepodobnosti týchto udalostí 0,2 (1 − 0,7) = 0,06 resp.
0,8 (1 - 0,3) = 0,56. Tieto udalosti sú nezlučiteľné, pravdepodobnosť ich súčtu sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí: 0,06 + 0,56 = 0,62.
Odpoveď: 0,62.
Dajme iné riešenie.
John zasiahne muchu, ak chytí vystrelený revolver a zasiahne ho, alebo ak schmatne nevystrelený revolver a zasiahne ho. Podľa vzorca podmienenej pravdepodobnosti sú pravdepodobnosti týchto udalostí 0,2 0,7 = 0,14 a 0,8 0,3 = 0,24.
Tieto udalosti sú nezlučiteľné, pravdepodobnosť ich súčtu sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí: 0,14 + 0,24 = 0,38.
Udalosť, ktorú John vynechá, je opakom. Jeho pravdepodobnosť je 1 − 0,38 = 0,62. Odpoveď: 0,62.
3 možnosť
Na skúške je 45 lístkov, Fedya sa ich 9 nenaučil. Nájdite pravdepodobnosť, že získa naučený tiket.
Riešenie:
Stanovme počet priaznivých výsledkov: 45-9=36
Určte pravdepodobnosť, že trafíte naučený tiket:
0,8 alebo pravdepodobnosť, že trafíte naučený tiket je 80%
odpoveď: 0,8
4 možnosť
Kovboj John zasiahne muchu o stenu s pravdepodobnosťou 0,8, ak vystrelí z vystreleného revolvera. Ak John vystrelí z nevystreleného revolveru, zasiahne muchu s pravdepodobnosťou 0,3. Na stole je 10 revolverov, z ktorých sú len 3 zastrelené. Kovboj John vidí muchu na stene, náhodne schmatne prvý revolver, na ktorý narazí, a vystrelí na muchu. Nájdite pravdepodobnosť, že John netrafí.
Riešenie:
John bude chýbať, ak chytí vystrelený revolver a minie s ním, alebo ak schmatne nevystrelený revolver a minie s ním. Podľa vzorca podmienenej pravdepodobnosti sú pravdepodobnosti týchto udalostí 0,3 (1 − 0,8) = 0,06 resp.
0,7 (1 − 0,3) = 0,49. Tieto udalosti sú nezlučiteľné, pravdepodobnosť ich súčtu sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí: 0,06 + 0,49 = 0,55. Odpoveď: 0,55.
5 možnosť
Na skúške je 40 lístkov, Igor sa 2 z nich nenaučil. Nájdite pravdepodobnosť, že získa naučený tiket.
Riešenie:
Stanovme počet priaznivých výsledkov: 40-2=38
Určte pravdepodobnosť, že trafíte naučený tiket:
0,95 alebo pravdepodobnosť, že trafíte naučený tiket je 95 %
odpoveď: 0,95
6 možnosť
Pred začiatkom prvého kola tenisového šampionátu sú účastníci náhodne rozdelení do herných dvojíc žrebovaním. Celkovo sa na šampionáte zúčastňuje 26 tenistov, z toho 9 účastníkov z Ruska vrátane Timofeya Trubnikova. Nájdite pravdepodobnosť, že Timofey Trubnikov bude hrať v prvom kole s akýmkoľvek tenistom z Ruska?
Riešenie:
Timofey Trubnikov môže v prvom kole hrať s 26 − 1 = 25 tenistami, z toho 9 − 1 = 8 z Ruska. To znamená, že pravdepodobnosť, že Timofey Trubnikov bude hrať v prvom kole s ktorýmkoľvek tenistom z Ruska, je = 0,32
Odpoveď: 0,32.
7 možnosť
Pred začiatkom prvého kola bedmintonového šampionátu sú účastníci náhodne rozdelení do herných dvojíc žrebovaním. Celkovo sa na šampionáte zúčastňuje 76 bedmintonistov, z toho 16 účastníkov z Ruska vrátane Igora Čajeva. Aká je pravdepodobnosť, že si Igor Čajev v prvom kole zahrá s akýmkoľvek bedmintonistom z Ruska?
Riešenie:
Igor Chaev môže v prvom kole hrať so 76−1=75 bedmintonistami, z toho 16−1=15 z Ruska. Pravdepodobnosť, že si Igor Čaev v prvom kole zahrá s akýmkoľvek bedmintonistom z Ruska, je teda rovná
Odpoveď: 0,2.
8 možnosť
Pred začiatkom prvého kola šampionátu v dáme sú účastníci náhodne rozdelení do herných dvojíc žrebovaním. Celkovo sa na šampionáte zúčastňuje 26 hráčov dámy, vrátane 15 účastníkov z Ruska vrátane Gennadija Gorkova. Nájdite pravdepodobnosť, že v prvom kole si Gennadij Gorkov zahrá s akýmkoľvek bedmintonistom z Ruska.
Riešenie:
Gennadij Gorkov môže v prvom kole hrať s 26−1=25 draftovanými hráčmi, z toho 15−1=14 z Ruska. To znamená, že pravdepodobnosť, že v prvom kole bude hrať Gennadij Gorkov s nejakým draftovým hráčom z Ruska, sa rovná
Odpoveď: 0,56.
9 možnosť
V priemere z 1 000 predaných záhradných čerpadiel uniká 7. Nájdite pravdepodobnosť, že jedno čerpadlo náhodne vybrané na kontrolu neuniká.
Riešenie:
V priemere z 1 000 predaných záhradných čerpadiel 1 000−7 = 993 neuniká. To znamená, že pravdepodobnosť, že jedno čerpadlo náhodne vybrané na kontrolu neunikne, sa rovná
Odpoveď: 0,993.
10 možnosť
V priemere zo 700 predaných záhradných čerpadiel 7 uniká. Nájdite pravdepodobnosť, že jedno čerpadlo náhodne vybrané na kontrolu neuniká.
Riešenie:
V priemere zo 700 záhradných čerpadiel na trhu 700−7 = 693 netečie. To znamená, že pravdepodobnosť, že jedno čerpadlo náhodne vybrané na kontrolu neunikne, sa rovná
Odpoveď: 0,99.
11 možnosť
Pri výrobe ložísk s priemerom 69 mm je pravdepodobnosť, že sa priemer bude líšiť od špecifikovaného o maximálne 0,01 mm, 0,975. Nájdite pravdepodobnosť, že náhodné ložisko bude mať priemer menší ako 68,99 mm alebo väčší ako 69,01 mm.
Riešenie:
Priemer ložiska bude podľa stavu ležať v rozsahu od 68,99 do 69,01 mm s pravdepodobnosťou 0,975. Preto sa požadovaná pravdepodobnosť opačnej udalosti rovná
1 − 0,975 = 0,025.
Odpoveď: 0,025.
12 možnosť
Taxi spoločnosť má momentálne k dispozícii 16 áut: 4 čierne, 3 modré a 9 bielych. Na výzvu odišlo jedno z áut, ktoré bolo náhodou najbližšie k zákazníkovi. Nájdite pravdepodobnosť, že k nej príde čierny taxík.
Riešenie:
Pravdepodobnosť, že k zákazníkovi dorazí čierny taxík, je
Odpoveď: 0,25.
13 možnosť
Počas delostreleckej paľby automatický systém vystrelí na cieľ. Ak cieľ nie je zničený, systém strieľa znova. Výstrely sa opakujú, kým nie je cieľ zničený. Pravdepodobnosť zničenia nejakého cieľa pri prvom výstrele je 0,3 a pri každom ďalšom výstrele - 0,9. Koľko výstrelov bude potrebných na zabezpečenie toho, aby pravdepodobnosť zničenia cieľa bola aspoň 0,96?
Riešenie:
Nájdite pravdepodobnosť opačnej udalosti, a to, že cieľ nebude zničený do n výstrelov. Pravdepodobnosť chýbania pri prvom výstrele je 0,7 a pri každom ďalšom výstrele 0,1. Tieto udalosti sú nezávislé, pravdepodobnosť ich súčinu sa rovná súčinu pravdepodobnosti týchto udalostí. Pravdepodobnosť zmeškania s n výstrelmi je teda:
Postupnou kontrolou hodnôt rovných 1, 2, 3 atď. zistíme, že požadované riešenie je n=3. Preto je potrebné urobiť 3 zábery.
odpoveď: 3
14 možnosť
Taxi spoločnosť má momentálne 35 voľných áut: 11 červených, 17 fialových a 7 zelených.
lenivý. Na zavolanie odišlo jedno z áut, ktoré bolo náhodou najbližšie k zákazníkovi. Nájdite pravdepodobnosť, že príde zelený taxík.
Riešenie:
Pravdepodobnosť, že k zákazníkovi dorazí zelený taxík, je
Odpoveď: 0,2.
15 možnosť
V továrni na keramický riad je 20 % vyrobených tanierov chybných. Pri kontrole kvality výrobkov sa zistí 70 % chybných dosiek. Zvyšné taniere idú do predaja. Nájdite pravdepodobnosť, že tanier náhodne vybraný v čase nákupu nemá žiadne chyby. Výsledok zaokrúhlite na stotiny.
Riešenie:
Nechajte továreň vyrábať činely. Do predaja pôjdu všetky kvalitné taniere a 20% nezistených chybných tanierov: 0,8 + 0,3 taniere. Keďže kvalitných je 0,8, pravdepodobnosť nákupu kvalitného taniera je
Odpoveď: 0,93
16 možnosť
Maxim a jeho otec sa rozhodli previesť sa na ruskom kolese. Celkovo je na kolese 30 búdok, z toho 11 modrých, 7 zelených a ostatné oranžové. Kabíny sa striedajú pri približovaní k nástupnej plošine. Nájdite pravdepodobnosť, že Maxim bude jazdiť v oranžovej búdke.
Riešenie:
Počet možných výsledkov je 30 (všetky kabíny). Počet priaznivých výsledkov 30–11–7=12 (oranžové kabínky). Pravdepodobnosť, že Maxim bude jazdiť v oranžovej kabínke, je
Odpoveď: 0,4
17 možnosť
Miestnosť je osvetlená lampášom s tromi lampami. Pravdepodobnosť vyhorenia jednej lampy za rok je 0,3. Nájdite pravdepodobnosť, že aspoň jedna lampa do roka nevyhorí.
Riešenie:
Je potrebné nájsť pravdepodobnosť udalosti, keď obe žiarovky nezhoria, alebo nezhorí iba prvá žiarovka, alebo nezhorí iba druhá žiarovka.
Podľa stavu je pravdepodobnosť vyhorenia lampy 0,3. To znamená, že pravdepodobnosť fungovania lampy počas roka je 1 - 0,3 = 0,7.
Pravdepodobnosť udalosti:
„obaja nevyhoria“ sa rovná 0,7∙0,7 = 0,49
„prvý nezhorí, ale druhý vyhorí“ sa rovná 0,7∙0,3 = 0,21
„prvý dohorí, ale druhý nevyhorí“ sa rovná 0,3∙0,7 = 0,21
Pravdepodobnosť, že počas roka aspoň jeden nevyhorí, sa teda rovná
0,49 + 0,21+ 0,21 = 0,91
Druhý spôsob:
Pravdepodobnosť, že obe žiarovky vyhoria, je 0,3∙0,3 = 0,09.
Tieto udalosti sú nezávislé, ale keď sa vyskytnú súčasne, ich pravdepodobnosť sa znásobí.
Pravdepodobnosť, že aspoň jedna lampa nevyhorí, je 1 - 0,09 = 0,91. Táto udalosť je opakom udalosti, keď obe lampy zhasnú.
Odpoveď: 0,91
18 možnosť
Kirill a jeho otec sa rozhodli previesť sa na ruskom kolese. Celkovo je na kolese 30 búdok, z toho 8 fialových, 4 zelené a ostatné oranžové. Kabíny sa striedajú pri približovaní k nástupnej plošine. Nájdite pravdepodobnosť, že Kirill bude jazdiť v oranžovej búdke.
Riešenie:
Počet možných výsledkov je 30 (všetky kabíny). Počet priaznivých výsledkov 30–8–4=18 (oranžové kabínky). Pravdepodobnosť, že Kirill bude jazdiť v oranžovej kabínke, je
Odpoveď: 0,6
19 možnosť
Igor a jeho otec sa rozhodli povoziť sa na ruskom kolese. Celkovo je na kolese 40 búdok, z toho 21 šedých, 13 zelených a zvyšok červených. Kabíny sa striedajú pri približovaní k nástupnej plošine. Nájdite pravdepodobnosť, že Igor bude jazdiť v oranžovej búdke.
Riešenie:
Počet možných výsledkov je 40 (všetky kabíny). Počet priaznivých výsledkov 40–21–13= 6 (červené kabínky). Pravdepodobnosť, že Igor bude jazdiť v oranžovej búdke, je
Odpoveď: 0,15
20 možnosť
Dve továrne vyrábajú rovnaké sklá pre svetlomety automobilov. Prvá továreň vyrába 30% týchto okuliarov, druhá - 70%. Prvá továreň vyrába 3% chybných okuliarov a druhá - 4%. Nájdite pravdepodobnosť, že sklo náhodne zakúpené v obchode bude chybné.
Riešenie:
Pravdepodobnosť, že sklo bolo zakúpené v prvej továrni a je chybné:
0,3 0,03 = 0,009.
Pravdepodobnosť, že sklo bolo zakúpené v druhej továrni a je chybné:
0,7 0,04 = 0,028.
Preto podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti je pravdepodobnosť, že sklo náhodne kúpené v obchode bude chybné, 0,009 + 0,028 = 0,037.
Odpoveď: 0,037.
21 možností
Podľa recenzií zákazníkov Michail Mikhailovič hodnotil spoľahlivosť dvoch internetových obchodov. Pravdepodobnosť doručenia požadovaného produktu z predajne A je 0,81. Pravdepodobnosť doručenia tohto produktu z predajne B je 0,93. Michail Michajlovič si objednal tovar z oboch obchodov naraz. Za predpokladu, že internetové obchody fungujú nezávisle od seba, nájdite pravdepodobnosť, že žiadny z obchodov tovar nedoručí.
Riešenie:
Pravdepodobnosť, že prvá predajňa tovar nedoručí, je 1 − 0,93 = 0,07. Pravdepodobnosť, že druhá predajňa tovar nedoručí, je 1 − 0,81 = 0,19. Keďže tieto udalosti sú nezávislé, pravdepodobnosť ich produktu (oba predajne tovar nedodajú) sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí: 0,07 0,19 = 0,0133
Odpoveď: 0,0133
22 možnosť
Na tanieri je 16 koláčov: 8 s mäsom, 3 s jablkami a 5 s cibuľou. Nasťa si náhodne vyberie jeden koláč. Nájdite pravdepodobnosť, že to bude s mäsom.
Riešenie:
Pravdepodobnosť, že koláč bude s mäsom, sa rovná
Odpoveď: 0,5.
23 možnosť
Všetci pacienti s podozrením na hepatitídu robia krvný test. Ak test odhalí hepatitídu, potom sa výsledok testu nazýva pozitívny. U pacientov s hepatitídou poskytuje analýza pozitívny výsledok s pravdepodobnosťou 0,9. Ak pacient nemá hepatitídu, test môže poskytnúť falošne pozitívny výsledok s pravdepodobnosťou 0,02. Je známe, že 66 % pacientov prijatých s podozrením na hepatitídu skutočne hepatitídu má. Nájdite pravdepodobnosť, že výsledok testu pacienta prijatého na kliniku s podozrením na hepatitídu bude pozitívny.
Riešenie:
Analýza pacienta môže byť pozitívna z dvoch dôvodov: A) pacient má hepatitídu, jeho analýza je správna; B) pacient nemá hepatitídu, jeho analýza je falošná. Ide o nezlučiteľné udalosti, pravdepodobnosť ich súčtu sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí. Máme:
P(B)=0,02=0,0068
P(A+B)= P(A) + P(B) = 0,594 + 0,0068 = 0,6008
odpoveď:0,6008
24 možnosť
Na tanieri je 16 koláčov: 7 s rybami, 5 s džemom a 4 s čerešňami. Júlia si náhodne vyberie jeden koláč. Nájdite pravdepodobnosť, že skončí s čerešňou.
Riešenie:
Pravdepodobnosť, že koláč skončí s čerešňou, je
Odpoveď: 0,25.
25 možnosť
V niektorých oblastiach pozorovania ukázali:
1. Ak je júnové ráno jasné, potom je pravdepodobnosť dažďa v ten deň 0,1.
2. Ak je júnové ráno zamračené, tak pravdepodobnosť dažďa cez deň je 0,4.
3. Pravdepodobnosť zamračeného rána v júni je 0,3.
Nájdite pravdepodobnosť, že v náhodný deň v júni nebude pršať.
Riešenie:
Pravdepodobnosť, že je ráno zamračené, je 0,3. Pravdepodobnosť, že je ráno jasné, je 1-0,3 = 0,7.
Pravdepodobnosť, že v zamračené ráno nebude pršať, je 1-0,4 = 0,6
Pravdepodobnosť, že za jasného rána nebude pršať, je 1-0,1=0,9.
Pravdepodobnosť, že je jasné ráno a neprší, je 0,7 * 0,9 = 0,63.
Pravdepodobnosť, že je ráno zamračené a neprší, je 0,3*0,6=0,18.
Pravdepodobnosť, že v náhodný deň v júni nebude pršať, je 0,63 + 0,18=0,81.
Odpoveď: 0,81
26 možnosť
Rodičovský výbor zakúpil ku koncu školského roka deťom ako darčeky 30 kusov skladačiek, z toho 12 s obrázkami známych umelcov a 18 s obrázkami zvieratiek. Darčeky sa rozdávajú náhodne. Nájdite pravdepodobnosť, že Vova dostane zvieraciu hádanku.
Riešenie:
Počet možných výsledkov je 30 (celkový počet sád puzzle), počet priaznivých výsledkov je 18 (s obrázkom zvierat). Pravdepodobnosť, že Vova dostane hádanku so zvieratkom, je
Odpoveď: 0,6
27 možnosť
V predajni sú traja predavači. Každý z nich je zaneprázdnený klientom s pravdepodobnosťou 0,2. Nájdite pravdepodobnosť, že v náhodnom okamihu sú všetci traja predajcovia zaneprázdnení súčasne (predpokladajme, že zákazníci vstupujú nezávisle od seba).
Riešenie:
Potrebujeme nájsť pravdepodobnosť udalosti, keď je prvý predajca zaneprázdnený, druhý zaneprázdnený a zároveň (zamestnanie prvého a druhého) je zaneprázdnený aj tretí. Používa sa pravidlo násobenia. Pravdepodobnosť vzniku nezávislých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti týchto udalostí. Takže pravdepodobnosť, že všetci traja predajcovia sú zaneprázdnení, je: 0,2∙0,2∙0,2 = 0,008
Odpoveď: 0,008
28 možnosť
Rodičovský výbor zakúpil na konci školského roka deťom za darčeky 30 kusov skladačiek, z toho 15 s kreslenými postavičkami a 15 s pohľadmi do prírody. Darčeky sa rozdávajú náhodne. Nájdite pravdepodobnosť, že Vita dostane hádanku s pohľadmi na prírodu
Riešenie:
Počet možných výsledkov je 30 (celkový počet sád puzzle), počet priaznivých výsledkov je 15 (s pohľadmi do prírody). Pravdepodobnosť, že Vita dostane hádanku s pohľadmi do prírody = 0,5
Odpoveď: 0,5
29 možnosť
V predajni sú traja predavači. Každý z nich je zaneprázdnený klientom s pravdepodobnosťou 0,4. Nájdite pravdepodobnosť, že v náhodnom okamihu sú všetci traja predajcovia zaneprázdnení súčasne (predpokladajme, že zákazníci vstupujú nezávisle od seba).
Riešenie:
Potrebujeme nájsť pravdepodobnosť udalosti, keď je prvý predajca zaneprázdnený, druhý zaneprázdnený a zároveň (zamestnanie prvého a druhého) je zaneprázdnený aj tretí. Používa sa pravidlo násobenia. Pravdepodobnosť vzniku nezávislých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti týchto udalostí. Takže pravdepodobnosť, že všetci traja predajcovia sú zaneprázdnení, je: 0,4∙0,4∙0,4 = 0,064
Odpoveď: 0,064
30 možnosť
Ak hrá veľmajster A. bielym, potom vyhráva veľmajster B. s pravdepodobnosťou 0,6. Ak A. hrá čiernymi, potom A. porazí B. s pravdepodobnosťou 0,4. Veľmajstri A. a B. hrajú dve hry a v druhej hre menia farbu figúrok. Nájdite pravdepodobnosť, že A. vyhrá v oboch prípadoch.
Riešenie:
Šance vyhrať prvý a druhý zápas sú navzájom nezávislé. Pravdepodobnosť vzniku nezávislých udalostí sa rovná súčinu ich pravdepodobnosti:
0,6 0,4 = 0,24 Odpoveď: 0,24.
31 možností
V zbierke lístkov z chémie je len 15 lístkov, v 6 z nich je otázka na tému "Kyseliny". Nájdite pravdepodobnosť, že študent dostane otázku na tému „Kyseliny“ v tikete náhodne vybranom na skúške.
Riešenie:
Riešenie: Pravdepodobnosť, že študent dostane otázku na tému „Kyseliny“ na náhodne vybratom tikete na skúške, sa rovná
Odpoveď: 0,4
32 možnosť
Pred začiatkom prvého kola bedmintonového šampionátu sú účastníci náhodne rozdelení do herných dvojíc žrebovaním. Celkovo sa šampionátu zúčastňuje 76 bedmintonistov, z toho 22 športovcov z Ruska, medzi nimi aj Viktor Polyakov. Nájdite pravdepodobnosť, že si Viktor Polyakov v prvom kole zahrá s nejakým bedmintonistom z Ruska?
Riešenie:
Viktor Polyakov môže v prvom kole hrať so 76 − 1 = 75 hráčmi bedmintonu, z toho 22 − 1 = 21 z Ruska. To znamená, že pravdepodobnosť, že si Viktor Polyakov v prvom kole zahrá s akýmkoľvek bedmintonistom z Ruska, je 21:75 = 0,28.
Odpoveď: 0,28
33 možnosť
V priemere z 1 500 predaných záhradných čerpadiel 6 uniká. Nájdite pravdepodobnosť, že jedno čerpadlo náhodne vybrané na kontrolu neuniká.
Riešenie:
V priemere z 1500 predaných záhradných čerpadiel neuniká 1500−6 = 1494. To znamená, že pravdepodobnosť, že jedno čerpadlo náhodne vybrané na kontrolu neunikne, je 1494:1500=0,996
Odpoveď: 0,996.
34 možnosť
Továreň vyrába tašky. V priemere 19 tašiek zo 160 má skryté vady. Nájdite pravdepodobnosť, že zakúpená taška bude bez chýb. Výsledok zaokrúhlite na stotiny.
Riešenie:
Celkovo je 160 vriec a 160 bez chýb - 19 = 141.
To znamená, že pravdepodobnosť, že zakúpená taška bude kvalitná, sa rovná
Odpoveď: 0,88
35 možnosť
vedecká konferencia prebieha počas 3 dní. Celkovo je naplánovaných 40 správ - prvý deň 8 správ, ostatné sú rovnomerne rozdelené medzi druhý a tretí deň. Na konferencii je plánovaná správa profesora M. Poradie správ je určené žrebovaním. Aká je pravdepodobnosť, že správa profesora M. bude naplánovaná na posledný deň konferencie?
Riešenie:
Prvý deň 8., ďalšie dva 16.
Pravdepodobnosť v posledný deň 16:40 = 0,4
Odpoveď: 0,4
36 možnosť
V priemere z 2000 predaných záhradných čerpadiel uniká 18. Nájdite pravdepodobnosť, že jedno náhodne vybrané čerpadlo neunikne.
Riešenie:
V priemere z 2000 predaných záhradných čerpadiel 2000−18=1982 neuniká. To znamená, že pravdepodobnosť, že jedno čerpadlo náhodne vybrané na kontrolu neunikne, je 1982:2000=0,991
V úlohe č. 4 profilovej úrovne USE v matematike je potrebné vyriešiť jednoduchú úlohu z teórie pravdepodobnosti. Úloha je celkom jednoduchá, stačí vydeliť jedno číslo druhým, alebo predtým od jedného čísla odčítať ďalšie. Úloha je intuitívne jasná a dá sa vyriešiť aj bez znalosti základných vzorcov kombinatoriky. Pozrime sa na pár príkladov.
Analýza typických možností pre zadanie č. 4 VYUŽITIE v matematike špecializovanej úrovne
Prvá verzia úlohy (demo verzia 2018)
V knižke biológie je spolu 25 lístkov. Len v dvoch lístkoch je otázka na huby. Na skúške študent získa jeden náhodne vybraný lístok z tejto kolekcie. Nájdite pravdepodobnosť, že tento lístok bude obsahovať otázku o hubách.
Algoritmus riešenia:
- Udalosť nazvime A.
- Určte počet všetkých udalostí.
- Nájdite počet priaznivých výsledkov.
- Vypočítajme pravdepodobnosť.
- Odpoveď zapíšeme.
Riešenie:
1. Nech A je udalosť, v ktorej študent dostane lístok s otázkou o hubách.
2. Celkovo je 25 vstupeniek, čo znamená, že je n=25 podujatí.
3. Priaznivé výsledky m=2, pretože len 2 lístky obsahujú hubovú otázku.
4. Pravdepodobnosť udalosti A je P(A) = m/n=2/25 = 0,08.
Odpoveď: 0,08.
Druhá verzia úlohy (od Yaschenka, č. 1)
V priemere zo 600 predaných záhradných čerpadiel unikajú 3. Nájdite pravdepodobnosť, že jedno náhodne vybrané čerpadlo neunikne.
Algoritmus riešenia:
- Označme udalosť „kúpené regulačné čerpadlo netečie“ písmenom A.
- Nájdite počet všetkých udalostí.
- Určte pravdepodobnosť udalosti A.
- Zapíšme si odpoveď.
Riešenie:
1. Nechajte udalosť A: náhodne vybrané čerpadlo neuniká.
2. Počet všetkých udalostí n=600.
3. Počet priaznivých výsledkov je m=600-3=597. Potom sa pravdepodobnosť, že vybrané čerpadlo neunikne, určí takto:
m/n = 597/600 = 0,995
Odpoveď: 0,995
Tretia verzia úlohy (od Yaschenka, č. 7)
Taxi spoločnosť má 60 áut; 27 z nich je čiernych so žltými nápismi na bokoch, ostatné sú žlté s čiernymi nápismi. Nájdite pravdepodobnosť, že pri náhodnom zavolaní príde žlté auto s čiernymi nápismi.
Algoritmus riešenia:
- Udalosť „na zavolanie príde žlté auto“ označme písmenom A.
- Nájdite počet všetkých možných udalostí.
- Nájdite počet priaznivých udalostí.
- Vypočítajte pravdepodobnosť udalosti A.
- Zapíšme si odpoveď.
Riešenie:
1. Nechajte udalosť A: na zavolanie príde žltý taxík.
2. Počet všetkých udalostí n=60.
3. Počet priaznivých výsledkov sa rovná m=60-27= 33. Potom sa pravdepodobnosť, že ten, ktorý sa vyberie na cestu, určí takto:
Odpoveď: 0,55.
Štvrtá verzia úlohy (od Yaschenka, č. 21)
V továrni na keramický riad je 20 % vyrobených tanierov chybných. Počas kontroly kvality výrobkov sa zistí 70 % chybných dosiek. Ostatné taniere sú na predaj. Nájdite pravdepodobnosť, že tanier náhodne vybraný v čase nákupu nemá žiadne chyby. Svoju odpoveď zaokrúhlite na stotiny.
Algoritmus riešenia:
- Nech x je počet všetkých dosiek vyrobených v továrni.
- Zistite počet chybných dosiek.
- Zistime počet všetkých tanierov odstránených počas kontroly.
- Stanovme pravdepodobnosť udalosti A: kúpi sa kvalitný tanier.
- Zapíšme si odpoveď.
Riešenie:
1. Nechajte vo fabrike vyrobiť x platní.
2. 20 % chybných dosiek sa vyrába v továrni. Je to len 0,2x kus. Potom sa do distribučnej siete dostanú 0,8x kvalitné platne.
3. Pri kontrole kvality sa odstráni 70% chybných platní, čiže 30% z nich ide do predaja. Ukazuje sa, že na pult ide 0,2x 0,3 = 0,06x chybných.
Celkovo do rozvodnej siete vstupuje 0,8x + 0,06x = 0,86x platní.
4. Akcia nech je A: zakúpený tanier je kvalitný. Potom počet priaznivých udalostí m=N(A) = 0,8x. Celkový počet výsledkov n = 0,86x.
5. Pravdepodobnosť udalosti A je určená pravdepodobnostným vzorcom: P(A) = m/n = 0,8x/0,86x = 0,9302325… ≈ 0,93