Ak chcete vyriešiť problémy s komplexnými číslami, musíte pochopiť základné definície. Hlavným cieľom tohto prehľadového článku je vysvetliť, čo sú komplexné čísla, a predstaviť metódy na riešenie základných problémov s komplexnými číslami. Komplexné číslo je teda číslo tvaru z = a + bi, kde a, b- reálne čísla, ktoré sa nazývajú reálnou a imaginárnou časťou komplexného čísla a označujú a = Re(z), b=Im(z).
i sa nazýva imaginárna jednotka. i 2 \u003d -1. Najmä akékoľvek reálne číslo možno považovať za zložité: a = a + 0i, kde a je skutočné. Ak a = 0 a b ≠ 0, potom sa číslo volá čisto imaginárne.

Teraz predstavíme operácie s komplexnými číslami.
Zvážte dve komplexné čísla zi = ai + b1 i a z2 = a2 + b2 i.

Zvážte z = a + bi.

Množina komplexných čísel rozširuje množinu reálnych čísel, ktorá zase rozširuje množinu racionálnych čísel atď. Tento reťazec vložení je možné vidieť na obrázku: N - prirodzené čísla, Z - celé čísla, Q - racionálne, R - reálne, C - komplexné.

Reprezentácia komplexných čísel

Algebraický zápis.

Zvážte komplexné číslo z = a + bi, táto forma zápisu komplexného čísla sa nazýva algebraické. Túto formu písania sme už podrobne rozobrali v predchádzajúcej časti. Pomerne často používajte nasledujúci ilustračný nákres

trigonometrická forma.

Z obrázku je vidieť, že číslo z = a + bi dá sa napísať aj inak. To je zrejmé a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, teda z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) sa nazýva argument komplexného čísla. Táto reprezentácia komplexného čísla sa nazýva trigonometrická forma. Trigonometrická forma zápisu je niekedy veľmi pohodlná. Napríklad je vhodné ho použiť na zvýšenie komplexného čísla na celé číslo, konkrétne ak z = rcos(φ) + rsin(φ)i, potom z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, tento vzorec sa nazýva De Moivreov vzorec.

Ukážková forma.

Zvážte z = rcos(φ) + rsin(φ)i je komplexné číslo v goniometrickom tvare, zapisujeme ho v inom tvare z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, posledná rovnosť vyplýva z Eulerovho vzorca, takže sme dostali novú formu zápisu komplexného čísla: z = re iφ, ktorá sa volá demonštratívne. Táto forma zápisu je tiež veľmi vhodná na zvýšenie komplexného čísla na mocninu: z n = r n e inφ, tu n nie nevyhnutne celé číslo, ale môže to byť ľubovoľné reálne číslo. Táto forma písania sa pomerne často používa na riešenie problémov.

Základná veta vyššej algebry

Predstavme si, že máme kvadratickú rovnicu x 2 + x + 1 = 0 . Je zrejmé, že diskriminant tejto rovnice je záporný a nemá žiadne skutočné korene, ale ukázalo sa, že táto rovnica má dva rôzne komplexné korene. Hlavná veta vyššej algebry teda hovorí, že každý polynóm stupňa n má aspoň jeden komplexný koreň. Z toho vyplýva, že každý polynóm stupňa n má práve n komplexných koreňov, berúc do úvahy ich násobnosť. Táto veta je veľmi dôležitým výsledkom v matematike a je široko používaná. Jednoduchým dôsledkom tejto vety je, že existuje presne n rôznych n-stupňových koreňov jednoty.

Hlavné typy úloh

V tejto časti sa budeme zaoberať hlavnými typmi jednoduchých úloh s komplexnými číslami. Problémy s komplexnými číslami možno zvyčajne rozdeliť do nasledujúcich kategórií.

• Vykonávanie jednoduchých aritmetických operácií s komplexnými číslami.
• Hľadanie koreňov polynómov v komplexných číslach.
• Zvýšenie komplexných čísel na mocninu.
• Extrakcia koreňov z komplexných čísel.
• Aplikácia komplexných čísel na riešenie iných problémov.

Teraz zvážte všeobecné metódy riešenia týchto problémov.

Najjednoduchšie aritmetické operácie s komplexnými číslami sa vykonávajú podľa pravidiel opísaných v prvej časti, ale ak sú komplexné čísla prezentované v goniometrických alebo exponenciálnych formách, potom ich v tomto prípade možno previesť do algebraickej formy a vykonávať operácie podľa známych pravidiel.

Hľadanie koreňov polynómov zvyčajne vedie k hľadaniu koreňov kvadratickej rovnice. Predpokladajme, že máme kvadratickú rovnicu, ak je jej diskriminant nezáporný, potom jej korene budú skutočné a nájdeme ich podľa dobre známeho vzorca. Ak je diskriminant záporný, potom D = -1∙a 2, kde a je určité číslo, potom môžeme diskriminant reprezentovať vo forme D = (ia) 2, teda √D = i|a| a potom môžete použiť už známy vzorec pre korene kvadratickej rovnice.

Príklad. Vráťme sa ku kvadratickej rovnici uvedenej vyššie x 2 + x + 1 = 0.
diskriminačné - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Teraz môžeme ľahko nájsť korene:

Zvýšenie komplexných čísel na mocninu možno vykonať niekoľkými spôsobmi. Ak chcete zvýšiť komplexné číslo v algebraickej forme na malú mocninu (2 alebo 3), môžete to urobiť priamym násobením, ale ak je stupeň väčší (v problémoch je často oveľa väčší), musíte zapíšte toto číslo v goniometrickom alebo exponenciálnom tvare a použite už známe metódy.

Príklad. Uvažujme z = 1 + i a zvýšte na desiatu mocninu.
Z píšeme v exponenciálnom tvare: z = √2 e iπ/4 .
Potom z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Vráťme sa k algebraickému tvaru: z 10 = -32i.

Extrahovanie koreňov z komplexných čísel je inverzná operácia vzhľadom na umocňovanie, takže sa to robí podobným spôsobom. Na extrakciu koreňov sa často používa exponenciálna forma zápisu čísla.

Príklad. Nájdite všetky korene 3. stupňa jednoty. Aby sme to urobili, nájdeme všetky korene rovnice z 3 = 1, budeme hľadať korene v exponenciálnom tvare.
Dosaďte do rovnice: r 3 e 3iφ = 1 alebo r 3 e 3iφ = e 0 .
Preto: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, teda φ = 2πk/3.
Pri φ = 0, 2π/3, 4π/3 sa získajú rôzne korene.
Preto 1, e i2π/3, e i4π/3 sú korene.
Alebo v algebraickej forme:

Posledný typ problémov zahŕňa obrovské množstvo problémov a neexistujú žiadne všeobecné metódy na ich riešenie. Tu je jednoduchý príklad takejto úlohy:

Nájdite množstvo sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Formulácia tohto problému sa síce nevzťahuje na zložité čísla, ale s ich pomocou sa dá ľahko vyriešiť. Na jeho vyriešenie sa používajú nasledujúce reprezentácie:


Ak teraz dosadíme túto reprezentáciu do súčtu, potom sa problém zredukuje na súčet obvyklej geometrickej postupnosti.

Záver

Komplexné čísla sú v matematike široko používané, tento prehľadový článok rozobral základné operácie s komplexnými číslami, popísal niekoľko typov štandardných úloh a stručne popísal všeobecné metódy ich riešenia, pre podrobnejšie štúdium možností komplexných čísel sa odporúča používať odbornú literatúru.

Literatúra

Komplexné čísla

Imaginárny a komplexné čísla. Úsečka a ordináta

komplexné číslo. Konjugujte komplexné čísla.

Operácie s komplexnými číslami. Geometrické

reprezentácia komplexných čísel. komplexná rovina.

Modul a argument komplexného čísla. trigonometrické

forma komplexného čísla. Operácie s komplexom

čísla v trigonometrickom tvare. Vzorec Moivre.

Základné informácie o imaginárny a komplexné čísla sú uvedené v časti „Imaginárne a komplexné čísla“. Potreba týchto čísel nového typu sa objavila pri riešení kvadratických rovníc pre prípadD< 0 (здесь Dje diskriminant kvadratickej rovnice). Tieto čísla dlho nenašli fyzické využitie, a preto sa im hovorilo „imaginárne“ čísla. Teraz sú však veľmi široko používané v rôznych oblastiach fyziky.

a technológie: elektrotechnika, hydro- a aerodynamika, teória pružnosti atď.

Komplexné čísla sa píšu ako:a+bi. Tu a a b – reálne čísla , a i – pomyselná jednotka. e. i 2 = –1. číslo a volal úsečka, a b - súradnicakomplexné čísloa + b.Dve komplexné číslaa+bi a a-bi volal konjugovať komplexné čísla.

Hlavné dohody:

1. Reálne čísloamožno napísať aj vo formekomplexné číslo:+ 0 i alebo a - 0 i. Napríklad položky 5 + 0i a 5-0 iznamená rovnaké číslo 5 .

2. Komplexné číslo 0 + bivolal čisto imaginárne číslo. Nahrávaniebiznamená to isté ako 0 + bi.

3. Dve komplexné číslaa+bi ac + disa považujú za rovnaké, aka = c a b = d. Inak komplexné čísla nie sú rovnaké.

Doplnenie. Súčet komplexných čísela+bi a c + disa nazýva komplexné číslo (a+c ) + (b+d ) jaTouto cestou, pri pridaní komplexné čísla, ich úsečky a ordináty sa pridávajú samostatne.

Táto definícia sa riadi pravidlami pre prácu s obyčajnými polynómami.

Odčítanie. Rozdiel medzi dvoma komplexnými číslamia+bi(znížené) a c + di(odčítané) sa nazýva komplexné číslo (a-c ) + (b-d ) ja

Touto cestou, pri odčítaní dvoch komplexných čísel sa ich úsečky a ordináty odčítajú oddelene.

Násobenie. Súčin komplexných čísela+bi a c + di sa nazýva komplexné číslo.

(ac-bd ) + (ad+bc ) jaTáto definícia vychádza z dvoch požiadaviek:

1) čísla a+bi a c + diby sa mali množiť ako algebraické dvojčlenky,

2) číslo imá hlavnú vlastnosť:i 2 = – 1.

PRÍKLAD ( a + bi )(a-bi) = a 2 +b 2 . teda práca

dve konjugované komplexné čísla sa rovnajú skutočným

kladné číslo.

divízie. Rozdeľte komplexné čísloa+bi (deliteľné) na inéhoc + di(delič) - znamená nájsť tretie čísloe + fi(chat), ktorý po vynásobení deliteľomc + divýsledkom čoho je dividendaa + b.

Ak deliteľ nie je nula, delenie je vždy možné.

PRÍKLAD Nájsť (8+i ) : (2 – 3 i) .

Riešenie. Prepíšme tento pomer ako zlomok:

Vynásobte jeho čitateľa a menovateľa 2 + 3i

A po vykonaní všetkých transformácií dostaneme:

Geometrické znázornenie komplexných čísel. Reálne čísla sú reprezentované bodmi na číselnej osi:

Tu je pointa Aznamená číslo -3, bodkaB je číslo 2 a O- nula. Naproti tomu komplexné čísla sú reprezentované bodmi na súradnicovej rovine. Na to volíme pravouhlé (karteziánske) súradnice s rovnakými mierkami na oboch osiach. Potom komplexné čísloa+bi bude reprezentovaný bodkou P s osou x a a súradnica b (pozri obr.). Tento súradnicový systém je tzv komplexná rovina .

modul komplexné číslo sa nazýva dĺžka vektoraOP, zobrazujúce komplexné číslo na súradnici ( obsiahly) lietadlo. Modul komplexného číslaa+bi označené | a+bi| alebo list r

Komplexné čísla sú minimálnym rozšírením nám známej množiny reálnych čísel. Ich zásadný rozdiel je v tom, že sa objaví prvok, ktorý na druhú dáva -1, t.j. ja alebo .

Každé komplexné číslo má dve časti: skutočné a vymyslené:

Je teda zrejmé, že množina reálnych čísel sa zhoduje s množinou komplexných čísel s nulovou imaginárnou časťou.

Najpopulárnejším modelom pre množinu komplexných čísel je obyčajná rovina. Prvá súradnica každého bodu bude jeho skutočnou súčasťou a druhá - imaginárna. Potom úlohou samotných komplexných čísel budú vektory so začiatkom v bode (0,0).

Operácie s komplexnými číslami.

V skutočnosti, ak vezmeme do úvahy model množiny komplexných čísel, je intuitívne jasné, že sčítanie (odčítanie) a násobenie dvoch komplexných čísel sa vykonáva rovnakým spôsobom ako zodpovedajúce operácie s vektormi. Navyše máme na mysli krížový súčin vektorov, pretože výsledkom tejto operácie je opäť vektor.

1.1 Doplnenie.

(Ako vidíte, táto operácia presne zodpovedá )

1.2 Odčítanie, podobne sa vykonáva podľa nasledujúceho pravidla:

2. Násobenie.

3. Rozdelenie.

Definuje sa jednoducho ako inverzná operácia násobenia.

trigonometrická forma.

Modul komplexného čísla z je nasledujúca veličina:

,

je zrejmé, že toto je opäť jednoducho modul (dĺžka) vektora (a,b).

Najčastejšie sa modul komplexného čísla označuje ako ρ.

Ukazuje sa, že

z = ρ(cosφ+isinφ).

Nasleduje priamo z goniometrickej formy zápisu komplexného čísla. vzorce :

Posledný vzorec je tzv Vzorec De Moivre. Vzorec je odvodený priamo od neho. n-tá odmocnina komplexného čísla:

teda existuje n-té korene komplexného čísla z.

Plán lekcie.

1. Organizačný moment.

2. Prezentácia materiálu.

3. Domáce úlohy.

4. Zhrnutie lekcie.

Počas vyučovania

I. Organizačný moment.

II. Prezentácia materiálu.

Motivácia.

Rozšírenie množiny reálnych čísel spočíva v tom, že k reálnym číslam sa pridávajú nové čísla (imaginárne). Zavedenie týchto čísel je spojené s nemožnosťou extrahovať koreň zo záporného čísla v množine reálnych čísel.

Zavedenie pojmu komplexné číslo.

Imaginárne čísla, ktorými dopĺňame reálne čísla, sa píšu ako bi, kde i je pomyselná jednotka a i 2 = - 1.

Na základe toho získame nasledujúcu definíciu komplexného čísla.

Definícia. Komplexné číslo je vyjadrením tvaru a+bi, kde a a b sú reálne čísla. V tomto prípade sú splnené nasledujúce podmienky:

a) Dve komplexné čísla a 1 + b 1 i a a 2 + b 2 i rovnať vtedy a len vtedy a 1 = a 2, b1=b2.

b) Sčítanie komplexných čísel je určené pravidlom:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Násobenie komplexných čísel je určené pravidlom:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Algebraický tvar komplexného čísla.

Zápis komplexného čísla do formulára a+bi sa nazýva algebraická forma komplexného čísla, kde a- skutočná časť bi je imaginárna časť a b je skutočné číslo.

Komplexné číslo a+bi sa považuje za rovné nule, ak sa jeho skutočná a imaginárna časť rovnajú nule: a=b=0

Komplexné číslo a+bi pri b = 0 považovaný za skutočné číslo a: a + 0i = a.

Komplexné číslo a+bi pri a = 0 sa nazýva čisto imaginárny a označuje sa bi: 0 + bi = bi.

Dve komplexné čísla z = a + bi a = a – bi, ktoré sa líšia len znakom imaginárnej časti, sa nazývajú konjugované.

Akcie na komplexných číslach v algebraickom tvare.

Nasledujúce operácie možno vykonávať s komplexnými číslami v algebraickej forme.

1) Doplnenie.

Definícia. Súčet komplexných čísel zi = ai + b1 i a z2 = a2 + b2 i nazývané komplexné číslo z, ktorej reálna časť sa rovná súčtu reálnych častí z1 a z2, a imaginárna časť je súčtom imaginárnych častí čísel z1 a z2, teda z = (ai + a2) + (b1 + b2)i.

čísla z1 a z2 sa nazývajú termíny.

Sčítanie komplexných čísel má nasledujúce vlastnosti:

1º. Komutatívnosť: z1 + z2 = z2 + z1.

2º. Asociativita: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Komplexné číslo -a -bi sa nazýva opakom komplexného čísla z = a + bi. Komplexné číslo opak komplexného čísla z, označené -z. Súčet komplexných čísel z a -z rovná sa nule: z + (-z) = 0

Príklad 1: Pridať (3 - i) + (-1 + 2i).

(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Odčítanie.

Definícia. Odčítať od komplexného čísla z1 komplexné číslo z2 z,čo z + z 2 = z 1.

Veta. Rozdiel komplexných čísel existuje a navyše je jedinečný.

Príklad 2: Odčítanie (4 - 2i) - (-3 + 2i).

(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.

3) Násobenie.

Definícia. Súčin komplexných čísel zi = ai + bi i a z 2 \u003d a 2 + b 2 i nazývané komplexné číslo z, definovaný rovnosťou: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

čísla z1 a z2 sa nazývajú faktory.

Násobenie komplexných čísel má tieto vlastnosti:

1º. Komutatívnosť: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Asociativita: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie:

(z 1 + z 2) z 3 \u003d z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z \u003d (a + bi) (a - bi) \u003d a 2 + b 2 je skutočné číslo.

V praxi sa násobenie komplexných čísel uskutočňuje podľa pravidla násobenia súčtu súčtom a oddeľovania reálnej a imaginárnej časti.

V nasledujúcom príklade zvážte násobenie komplexných čísel dvoma spôsobmi: pravidlom a vynásobením súčtu súčtom.

Príklad 3: Vynásobte (2 + 3i) (5 – 7i).

1 spôsob. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.

2 spôsobom. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Rozdelenie.

Definícia. Rozdeľte komplexné číslo z1 na komplexné číslo z2, znamená nájsť také komplexné číslo z, čo zz 2 = z 1.

Veta. Podiel komplexných čísel existuje a je jedinečný, ak z2 ≠ 0 + 0i.

V praxi sa podiel komplexných čísel zistí vynásobením čitateľa a menovateľa konjugátom menovateľa.

Nechaj zi = ai + b1 i, z2 = a2 + b2 i, potom

.

V nasledujúcom príklade vykonáme delenie vzorcom a pravidlo násobenia konjugátom menovateľa.

Príklad 4. Nájdite kvocient .

5) Zvýšenie na kladné celé číslo.

a) Sily pomyselnej jednoty.

Využívanie výhod rovnosti i 2 \u003d -1, je ľahké definovať akúkoľvek kladnú mocninu celého čísla imaginárnej jednotky. Máme:

i 3 \u003d i 2 i \u003d -i,

i 4 \u003d i 2 i 2 \u003d 1,

i 5 \u003d i 4 i \u003d i,

i 6 \u003d i 4 i 2 \u003d -1,

i 7 \u003d i 5 i 2 \u003d -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 atď.

To ukazuje, že hodnoty stupňov ja n, kde n- kladné celé číslo, ktoré sa periodicky opakuje, keď sa indikátor zvýši o 4 .

Preto na zvýšenie počtu i na kladné celé číslo, vydeľte exponent o 4 a vzpriamený i na moc, ktorej exponentom je zvyšok delenia.

Príklad 5 Vypočítajte: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.

(i 36 + i 17) i 23 \u003d (1 + i) (- i) \u003d - i + 1 \u003d 1 - i.

b) Umocnenie komplexného čísla na kladné celé číslo sa vykonáva podľa pravidla o umocnení dvojčlenu na zodpovedajúcu mocninu, pretože ide o špeciálny prípad násobenia rovnakých komplexných faktorov.

Príklad 6 Vypočítajte: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.