>>Математика: Геометрична прогресія
Для зручності читача цей параграф будується точно за тим самим планом, якого ми дотримувались у попередньому параграфі.
1. Основні поняття.
Визначення.Числову послідовність, всі члени якої відмінні від 0 і кожен член якої, починаючи з другого, виходить з попереднього члена множенням його на одне й те число називають геометричною прогресією. У цьому число 5 називають знаменником геометричної прогресії.
Таким чином, геометрична прогресія – це числова послідовність (b n), задана рекурентно співвідношеннями
Чи можна, дивлячись на числову послідовність, визначити, чи є геометричною прогресією? Можна, можливо. Якщо ви переконалися в тому, що відношення будь-якого члена послідовності до попереднього члена постійно перед вами - геометрична прогресія.
приклад 1.
1, 3, 9, 27, 81,... .
Ь 1 = 1, q = 3.
приклад 2.
Це геометрична прогресія, яка має
Приклад 3.
Це геометрична прогресія, яка має
Приклад 4.
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
Це геометрична прогресія, яка має b 1 - 8, q = 1.
Зауважимо, що ця послідовність є і арифметичною прогресією (див. Приклад 3 § 15).
Приклад 5.
2,-2,2,-2,2,-2.....
Це геометрична прогресія, яка має b 1 = 2, q = -1.
Очевидно, що геометрична прогресія є зростаючою послідовністю, якщо b 1 > 0, q > 1 (див. приклад 1), і спадною, якщо b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).
Для позначення того, що послідовність (b n) є геометричною прогресією, іноді буває зручна наступна запис:
Значок замінює словосполучення геометрична прогресія.
Зазначимо одну цікаву і водночас досить очевидну властивість геометричної прогресії:
Якщо послідовність 
є геометричною прогресією, те й послідовність квадратів, тобто. 
є геометричною прогресією.
У другий геометричної прогресії перший член дорівнює а дорівнює q2.
Якщо в геометричній прогресії відкинути всі члени, які йдуть за b n , то вийде кінцева геометрична прогресія 
У подальших пунктах цього параграфу ми розглянемо найважливіші властивості геометричної прогресії.
2. Формула п-го члена геометричної прогресії.
Розглянемо геометричну прогресію 
знаменником q. Маємо:
Неважко здогадатися, що для будь-якого номера n справедлива рівність
Це – формула n-го члена геометричної прогресії.
Зауваження.
Якщо ви прочитали важливе зауваження з попереднього параграфа і зрозуміли його, спробуйте довести формулу (1) методом математичної індукції подібно до того, як це було зроблено для формули n-го члена арифметичної прогресії.
Перепишемо формулу n-го члена геометричної прогресії
і введемо позначення: Отримаємо у = mq 2 або, докладніше, 
Аргумент х міститься у показнику ступеня, тому таку функцію називають показовою функцією. Отже, геометричну прогресію можна як показову функцію, задану на безлічі N натуральних чисел . На рис. 96а зображено графік функції рис. 966 - графік функції 
В обох випадках маємо ізольовані точки (з абсцисами х = 1, х = 2, х = 3 і т.д.), що лежать на деякій кривій (на обох малюнках представлена та сама крива, тільки по-різному розташована і зображена в різних масштабах). Цю криву називають експонентою. Докладніше про показову функцію та її графіку мова піде в курсі алгебри 11-го класу.
Повернемося до прикладів 1-5 попереднього пункту.
1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Це геометрична прогресія, яка має Ь 1 = 1, q = 3. Складемо формулу n-го члена 
2) 
Це геометрична прогресія, у якої складемо формулу n-го члена 
Це геометрична прогресія, яка має 
Складемо формулу n-го члена 
4) 8, 8, 8, …, 8, …. Це геометрична прогресія, яка має b 1 = 8, q = 1. Складемо формулу n-го члена 
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2, .... Це геометрична прогресія, у якої b 1 = 2, q = -1. Складемо формулу n-го члена 
Приклад 6.
Дана геометрична прогресія
У всіх випадках в основі рішення лежить формула n-го члена геометричної прогресії
а) Поклавши у формулі n-го члена геометричної прогресії n = 6, отримаємо
б) Маємо
Так як 512 = 29, то отримуємо п - 1 = 9, п = 10.
г) Маємо
Приклад 7.
Різниця між сьомим та п'ятим членами геометричної прогресії дорівнює 48, сума п'ятого та шостого членів прогресії також дорівнює 48. Знайти дванадцятий член цієї прогресії.
Перший етап.Складання математичної моделі.
Умови завдання можна коротко записати так:
Скориставшись формулою n-го члена геометричної прогресії, отримаємо:
Тоді другу умову задачі (b 7 - b 5 = 48) можна записати у вигляді
Третю умову задачі (b 5 +b 6 = 48) можна записати у вигляді
У результаті отримуємо систему двох рівнянь із двома змінними b 1 і q:
яка у поєднанні із записаною вище умовою 1) і є математичною моделлю завдання.
Другий етап.
Робота із складеною моделлю. Прирівнявши ліві частини обох рівнянь системи, отримаємо:
(Ми розділили обидві частини рівняння на вираз b 1 q 4 відмінне від нуля).
З рівняння q 2 – q – 2 = 0 знаходимо q 1 = 2, q 2 = -1. Підставивши значення q = 2 у друге рівняння системи отримаємо 
Підставивши значення q = -1 у друге рівняння системи отримаємо b 1 1 0 = 48; це рівняння немає рішень.
Отже, b 1 =1, q = 2 – ця пара є рішенням складеної системи рівнянь.
Тепер ми можемо записати геометричну прогресію, про яку йдеться у задачі: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .
Третій етап.
Відповідь питанням завдання. Потрібно обчислити b 12 . Маємо
Відповідь: b 12 = 2048.
3. Формула суми членів кінцевої геометричної прогресії.
Нехай дана кінцева геометрична прогресія
Позначимо через S n суму членів, тобто.
Виведемо формулу для відшукання цієї суми.
Почнемо з найпростішого випадку, коли q = 1. Тоді геометрична прогресія b 1 ,b 2 , b 3 ,... bn складається з n чисел, рівних b 1 , тобто. прогресія має вигляд b1, b2, b3, ..., b4. Сума цих чисел дорівнює nb1.
Нехай тепер q = 1 Для пошуку S n застосуємо штучний прийом: виконаємо деякі перетворення виразу S n q. Маємо:
Виконуючи перетворення, ми, по-перше, користувалися визначенням геометричної прогресії, згідно з яким (див. третій рядок міркувань); по-друге, додали і відняли від чого значення висловлювання, зрозуміло, не змінилося (див. четвертий рядок міркувань); по-третє, скористалися формулою n-го члена геометричної прогресії:
З формули (1) знаходимо:
Це формула суми n членів геометричної прогресії (для випадку, коли q = 1).
Приклад 8.
Дана кінцева геометрична прогресія
а) суму членів прогресії; б) суму квадратів її членів.
б) Вище (див. с. 132) ми вже зазначали, що якщо всі члени геометричної прогресії звести в квадрат, то вийде геометрична прогресія з першим членом Ь 2 і знаменником q 2 . Тоді сума шести членів нової прогресії буде обчислюватися за
Приклад 9.
Знайти 8-й член геометричної прогресії, у якої
Фактично ми довели таку теорему.
Числова, послідовність є геометричною прогресією тоді і лише тоді, коли квадрат кожного її члена, крім першого Теорема (і останнього, у разі кінцевої послідовності), дорівнює добутку попереднього та наступного членів (характеристичне властивість геометричної прогресії).
Геометрична прогресія, поряд з арифметичною, є важливим числовим рядом, який вивчається у шкільному курсі алгебри у 9 класі. У статті розглянемо знаменник геометричної прогресії, і те, як його значення впливає її властивості.
Визначення прогресії геометричної
Для початку наведемо визначення цього числового ряду. Прогресією геометричної називають такий ряд раціональних чисел, який формується шляхом послідовного множення його першого елемента на постійне число, що має назву знаменника.
Наприклад, числа у ряді 3, 6, 12, 24, ... - це прогресія геометрична, оскільки якщо помножити 3 (перший елемент) на 2, то отримаємо 6. Якщо 6 помножити на 2, то отримаємо 12 і так далі.
Члени послідовності прийнято позначати символом ai, де i - це ціле число, що вказує на номер елемента в ряду.
Наведене вище визначення прогресії можна записати мовою математики так: an = bn-1 * a1, де b - знаменник. Перевірити цю формулу легко: якщо n = 1, то b1-1 = 1 і ми отримуємо a1 = a1. Якщо n = 2, тоді an = b * a1, і ми знову приходимо до визначення ряду чисел, що розглядається. Аналогічні міркування можна продовжити для більших значень n.
Знаменник прогресії геометричної
Число b повністю визначає, який характер матиме весь числовий ряд. Знаменник b може бути позитивним, негативним, а також мати значення більше одиниці або менше. Усі перелічені варіанти призводять до різних послідовностей:
- b > 1. Має місце зростаючий ряд раціональних чисел. Наприклад, 1, 2, 4, 8, ... Якщо елемент a1 буде негативним, тоді вся послідовність зростатиме лише за модулем, але спадати з урахуванням знака чисел.
- b = 1. Часто такий випадок не називають прогресією, оскільки має місце звичайний ряд однакових раціональних чисел. Наприклад, -4, -4, -4.
Формула для суми
Перед тим як перейти до розгляду конкретних завданьз використанням знаменника даного виду прогресії, слід навести важливу формулу для суми її перших n елементів. Формула має вигляд: Sn = (bn – 1) * a1 / (b – 1).
Отримати цей вислів можна самостійно, якщо розглянути рекурсивну послідовність членів прогресії. Також зауважимо, що у наведеній формулі достатньо знати лише перший елемент та знаменник, щоб знайти суму довільного числа членів.
Нескінченна спадна послідовність
Вище було дано пояснення, що вона є. Тепер, знаючи формулу для Sn, застосуємо її до цього числового ряду. Оскільки будь-яке число, модуль якого не перевищує 1, при зведенні більшою мірою прагне нуля, тобто b∞ => 0, якщо -1
Оскільки різниця (1 - b) завжди буде позитивною, незалежно від значення знаменника, то знак суми прогресу, що нескінченно прогресує, геометричної S∞ однозначно визначається знаком її першого елемента a1.
Тепер розглянемо кілька завдань, де покажемо, як застосовувати набуті знання на конкретних числах.
Завдання № 1. Обчислення невідомих елементів прогресії та суми
Дана прогресія геометрична, знаменник прогресії 2, а її перший елемент 3. Чому дорівнюватимуть її 7-й і 10-й члени, і яка сума її семи початкових елементів?
Умова завдання складена досить просто і передбачає безпосереднє використання вищезгаданих формул. Отже, для обчислення елемента номером n використовуємо вираз an = bn-1 * a1. Для 7-го елемента маємо: a7 = b6 * a1, підставляючи відомі дані, отримуємо: a7 = 26 * 3 = 192. Аналогічним чином надаємо для 10-го члена: a10 = 29 * 3 = 1536.
Скористаємося відомою формулою для суми та визначимо цю величину для 7 перших елементів ряду. Маємо: S7 = (27 – 1) * 3 / (2 – 1) = 381.
Завдання № 2. Визначення суми довільних елементів прогресії
Нехай -2 дорівнює знаменник прогресії в геометричній прогресії bn-1 * 4 де n - ціле число. Необхідно визначити суму з 5 по 10 елемент цього ряду включно.
Поставлена проблема може бути вирішена безпосередньо з допомогою відомих формул. Вирішити її можна двома різними способами. Для повноти викладу теми наведемо обидва.
Метод 1. Ідея його проста: необхідно розрахувати дві відповідні суми перших членів, а потім відняти від однієї іншу. Обчислюємо меншу суму: S10 = ((-2)10 - 1) * 4/(-2 - 1) = -1364. Тепер обчислюємо велику суму: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Зазначимо, що в останньому виразі підсумовувалися лише 4 доданки, оскільки 5 вже входить у суму, яку потрібно обчислити за умовою завдання. Нарешті беремо різницю: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Метод 2. Перед тим, як підставляти цифри і рахувати, можна отримати формулу для суми між членами m і n ряду, що розглядається. Поступаємо так само, як у методі 1, тільки працюємо спочатку з символьним поданням суми. Маємо: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1). В отриманий вираз можна підставляти відомі числа та обчислювати кінцевий результат: S105 = 4*((-2)10-(-2)4)/(-2-1)=-1344.
Завдання № 3. Чому дорівнює знаменник?
Нехай a1 = 2, знайдіть знаменник прогресії геометричної, за умови, що її нескінченна сума становить 3, і відомо, що це спадний ряд чисел.
За умовою завдання неважко здогадатися, якою формулою слід скористатися для її вирішення. Звичайно ж, для суми прогресії нескінченно спадаючою. Маємо: S∞ = a1/(1 - b). Звідки виражаємо знаменник: b = 1 – a1/S∞. Залишилося підставити відомі значення та отримати необхідне число: b = 1 - 2/3 = -1/3 або -0,333(3). Можна якісно перевірити цей результат, якщо згадати, що для цього типу послідовності модуль b не повинен виходити за межі 1. Як бачимо, |-1/3|
Завдання № 4. Відновлення ряду чисел
Нехай дані 2 елементи числового ряду, наприклад, 5-й дорівнює 30 і 10-й дорівнює 60. Необхідно за цими даними відновити весь ряд, знаючи, що він задовольняє властивості прогресії геометричної.
Щоб вирішити завдання, необхідно спочатку записати для кожного відомого члена відповідний вираз. Маємо: a5 = b4 * a1 та a10 = b9 * a1. Тепер розділимо другий вираз на перше, отримаємо: a10/a5=b9*a1/(b4*a1)=b5. Звідси визначаємо знаменник, взявши корінь п'ятого ступеня від відношення відомих із умови завдання членів, b = 1,148698. Отримане число підставляємо в один із виразів для відомого елемента, отримуємо: a1 = a5 / b4 = 30/(1,148698)4 = 17,2304966.
Отже, ми виявили, чому дорівнює знаменник прогресії bn, і геометричну прогресію bn-1 * 17,2304966 = an, де b = 1,148698.
Де застосовуються прогресії геометричні?
Якби не існувало застосування цього числового ряду на практиці, його вивчення зводилося б до суто теоретичного інтересу. Але таке застосування існує.
Нижче перераховані 3 найвідоміші приклади:
- Парадокс Зенона, в якому спритний Ахілес не може наздогнати повільну черепаху, вирішується з використанням поняття нескінченно послідовності чисел.
- Якщо на кожну клітину шахівниці класти зерна пшениці так, що на 1-у клітинку покласти 1 зерно, на 2-у - 2, на 3-ю - 3 і так далі, то щоб заповнити всі клітини дошки знадобиться 18446744073709551615
- У грі "Вежа Ханоя", щоб переставити диски з одного стрижня на інший, необхідно виконати 2n - 1 операцій, тобто їхнє число зростає в геометричній прогресії від кількості використовуваних дисків n.
Формула n-го члена геометричної прогресії – річ дуже проста. Як за змістом, так і за загальним виглядом. Але завдання на формулу n-го члена зустрічаються всякі - від дуже примітивних до цілком серйозних. І в процесі нашого знайомства ми обов'язково розглянемо ті й інші. Ну що, знайомимося?
Отже, спершу власне сама формулаn
Ось вона:
b n = b 1 · q n -1
Формула як формула, нічого надприродного. Виглядає навіть простіше та компактніше, ніж аналогічна формула для . Сенс формули теж простий, як валянок.
Ця формула дозволяє знаходити БУДЬ-ЯКИЙ член геометричної прогресії ЗА ЙОГО НОМЕРЕ " n".
Як бачите, за змістом повна аналогія з арифметичною прогресією. Знаємо номер n - можемо порахувати і член, який стоїть під цим номером. Який хочемо. Не помножуючи послідовно на "q" багато разів. Ось і весь сенс.)
Я розумію, що на даному рівні роботи з прогресіями всі величини, що входять у формулу, вам вже повинні бути зрозумілі, але вважаю своїм обов'язком все-таки розшифрувати кожну. На всякий випадок.
Отже, поїхали:
b 1 – першийчлен геометричної прогресії;
q – ;
n- Номер члена;
b n – енний (n-й)член геометричної прогресії.
Ця формулка пов'язує чотири основні параметри будь-якої геометричної прогресії – bn, b 1 , qі n. І навколо цих чотирьох ключових фігур і крутяться всі завдання по прогресії.
"А як вона виводиться?"– чую цікаве запитання… Елементарно! Дивіться!
Чому дорівнює другийчлен прогресії? Не питання! Прямо за пишемо:
b 2 = b 1 ·q
А третій член? Теж не проблема! Другий член помножуємо ще раз наq.
Ось так:
B 3 = b 2 ·q
Згадаймо тепер, що другий член, своєю чергою, ми дорівнює b 1 ·q і підставимо цей вислів на нашу рівність:
B 3 = b 2 ·q = (b 1 ·q)·q = b 1 ·q·q = b 1 ·q 2
Отримуємо:
B 3 = b 1 ·q 2
А тепер прочитаємо наш запис російською мовою: третійчлен дорівнює першомучлену, помноженому на q другийступеня. Уловлюєте? Поки немає? Добре ще один крок.
Чому дорівнює четвертий член? Все теж саме! Розмножуємо попередній(тобто третій член) на q:
B 4 = b 3 · q = (b 1 · q 2) · q = b 1 · q 2 · q = b 1 · q 3
Разом:
B 4 = b 1 ·q 3
І знову перекладаємо російською мовою: четвертийчлен дорівнює першому члену, помноженому на q в третьоїступеня.
І так далі. Ну і як? Вловили закономірність? Так! Для будь-якого члена з будь-яким номером кількість однакових множників q (тобто ступінь знаменника) завжди буде на одиниці менше, ніж номер шуканого членаn.
Отже, наша формула буде, без варіантів:
b n =b 1 · q n -1
Ось і всі справи.
Ну що, вирішуємо завдання, мабуть?)
Розв'язання задач на формулуn-го члена геометричної прогресії
Почнемо, як завжди, із прямого застосування формули. Ось типове завдання:
У геометричній прогресії відомо, що b 1 = 512 та q = -1/2. Знайдіть десятий член прогресії.
Звичайно, це завдання можна взагалі без будь-яких формул вирішити. Прямо за змістом геометричної прогресії. Але нам з формулою n-го члена розім'ятися треба, правда? От і розминаємось.
Наші дані для застосування формули є наступними.
Відомий перший член. Це 512.
b 1 = 512.
Відомий також знаменник прогресії: q = -1/2.
Залишається тільки збагнути, чому дорівнює номер члена n. Не питання! Нас цікавить десятий член? Ось і підставляємо у загальну формулу десятку замість n.
І акуратно вважаємо арифметику:
Відповідь: -1
Як бачимо, десятий член прогресії виявився з мінусом. Нічого дивного: знаменник прогресії ми -1/2, тобто. негативнечисло. А це говорить нам про те, що знаки у нашій прогресії чергуються, так.
Тут все просто. А ось схоже завдання, але трохи складніше щодо обчислень.
У геометричній прогресії відомо, що:
b 1 = 3
Знайдіть тринадцятий член прогресії.
Все те саме, тільки цього разу знаменник прогресії – ірраціональний. Корінь із двох. Та й нічого страшного. Формула – штука універсальна, з будь-якими числами справляється.
Працюємо прямо за формулою:
Формула, звичайно, спрацювала як слід, але… ось тут деякі й зависнуть. Що далі робити з коренем? Як звести корінь у дванадцятий ступінь?
Як-то ... Треба розуміти, що будь-яка формула, звичайно, справа хороша, але знання всієї попередньої математики при цьому не скасовується! Як звести? Та властивості ступенів згадати! Перетворимо корінь на ступінь із дробовим показникомі – за формулою зведення ступеня до ступеня.
Ось так:
Відповідь: 192
І всі справи.)
У чому полягає основна проблема при прямому застосуванні формули n-го члена? Так! Основна проблема – це робота зі ступенями!А саме – зведення у ступінь негативних чисел, дробів, коренів тощо конструкцій. Так що ті, у кого з цим проблеми, наполегливе прохання повторити ступеня та їхні властивості! Інакше і в цій темі гальмуватимете, так…)
А тепер вирішуємо типові завдання на пошук одного з елементів формулиякщо дані всі інші. Для успішного вирішення таких завдань рецепт єдиний і простий на жах - пишемо формулуn-го члена в загальному вигляді! Прямо в зошиті поруч із умовою. А потім з умови розуміємо, що нам дано, а чого не вистачає. І висловлюємо із формули шукану величину. Усе!
Наприклад, така невинна задача.
П'ятий член геометричної прогресії зі знаменником 3 дорівнює 567. Знайдіть перший член цієї прогресії.
Нічого складного. Працюємо прямо по заклинанню.
Пишемо формулу n-го члена!
b n = b 1 · q n -1
Що нам дано? По-перше, дано знаменник прогресії: q = 3.
Крім того, нам дано п'ятий член: b 5 = 567 .
Усе? Ні! Ще нам дано номер n! Це п'ятірка: n = 5.
Сподіваюся, ви вже розумієте, що у записі b 5 = 567 приховані одразу два параметри – це сам п'ятий член (567) та його номер (5). В аналогічному уроці я про це вже говорив, але і тут вважаю не зайвим нагадати.)
Ось тепер підставляємо наші дані у формулу:
567 = b 1 ·3 5-1
Вважаємо арифметику, спрощуємо і отримуємо просте лінійне рівняння:
81 b 1 = 567
Вирішуємо та отримуємо:
b 1 = 7
Як ви бачите, з пошуком першого члена проблем жодних. А ось при пошуку знаменника qта номери nможуть траплятися і сюрпризи. І до них (до сюрпризів) теж треба бути готовим, так.
Наприклад, таке завдання:
П'ятий член геометричної прогресії з позитивним знаменником дорівнює 162, а перший член цієї прогресії дорівнює 2. Знайдіть знаменник прогресії.
На цей раз нам дано перший і п'ятий члени, а знайти просять знаменник прогресії. От і приступаємо.
Пишемо формулуn-го члена!
b n = b 1 · q n -1
Наші вихідні дані будуть наступними:
b 5 = 162
b 1 = 2
n = 5
Не вистачає значення q. Не питання! Зараз знайдемо.) Підставляємо у формулу все, що нам відомо.
Отримуємо:
162 = 2 ·q 5-1
2 q 4 = 162
q 4 = 81
Просте рівняння четвертого ступеня. А ось зараз – акуратно!На даному етапі рішення багато учнів відразу ж радісно витягують корінь (четвертого ступеня) та отримують відповідь q=3 .
Ось так:
q 4 = 81
q = 3
Але взагалі це недороблена відповідь. Точніше, неповний. Чому? Справа в тому, що відповідь q = -3 теж підходить: (-3) 4 теж буде 81!
Все через те, що статечне рівняння x n = aзавжди має два протилежні кореніпри парномуn . З плюсом та з мінусом:
Обидва підходять.
Наприклад, вирішуючи (тобто. другийступеня)
x 2 = 9
Ви ж чомусь не дивуєтесь появи двохкоріння x=±3? Ось і тут те саме. І з будь-якої іншої парноїступенем (четвертою, шостою, десятою тощо) буде так само. Подробиці – у темі про
Тому правильне рішення буде таким:
q 4 = 81
q= ±3
Добре, зі знаками розібралися. Який із них правильний – плюс чи мінус? Що ж, читаємо ще раз умову задачі у пошуках додаткову інформацію.Її, звичайно, може і не бути, але в даному завданні така інформація є.У нас за умови прямим текстом сказано, що дана прогресія з позитивним знаменником.
Тому відповідь очевидна:
q = 3
Тут все просто. А як ви думаєте, що було б, якби формулювання завдання було б таким:
П'ятий член геометричної прогресії дорівнює 162, а перший член цієї прогресії дорівнює 2. Знайдіть знаменник прогресії.
В чому різниця? Так! за умови нічогоне сказано про знак знаменника. Ні прямо, ні побічно. І ось тут завдання вже мало б два рішення!
q = 3 і q = -3
Так Так! І з плюсом і з мінусом.) Математично цей факт означав би, що існують дві прогресії, що підходять під умову завдання. І для кожної – свій знаменник. Заради інтересу, потренуйтеся та випишіть перші п'ять членів кожної з них.)
А тепер потренуємось номер члена знаходити. Це завдання найскладніше, так. Зате і більш творча.)
Дана геометрична прогресія:
3; 6; 12; 24; …
Під яким номером у цій прогресії стоїть число 768?
Перший крок все той же: пишемо формулуn-го члена!
b n = b 1 · q n -1
А тепер, як завжди, підставляємо до неї відомі нам дані. Гм… не підставляється! Де перший член, де знаменник, де все інше?
Де-не-де... А очі нам навіщо? Віями плескати? На цей раз прогресія задана нам безпосередньо у вигляді послідовність.Перший член бачимо? Бачимо! Це трійка (b 1 = 3). А знаменник? Поки що не бачимо, але він дуже легко вважається. Якщо, звичайно, розуміти, .
От і вважаємо. Прямо за змістом геометричної прогресії: беремо будь-який її член (крім першого) і поділяємо на попередній.
Хоча б ось так:
q = 24/12 = 2
Що нам ще відомо? Нам ще відомий деякий член цієї прогресії, що дорівнює 768. Під якимось номером n:
b n = 768
Номер його нам невідомий, але наше завдання якраз і полягає в тому, щоб його відшукати.) От і шукаємо. Усі необхідні дані для підстановки у формулу ми вже завантажили. Непомітно для себе.)
Ось і підставляємо:
768 = 3 · 2n -1
Робимо елементарні – ділимо обидві частини на трійку та переписуємо рівняння у звичному вигляді: невідоме зліва, відоме – праворуч.
Отримуємо:
2 n -1 = 256
Ось таке цікаве рівняння. Потрібно знайти "n". Що, незвично? Так, я не сперечаюся. Взагалі, це найпростіше. Воно так називається через те, що невідоме (у даному випадкуце – номер n) стоїть у показникуступеня.
На етапі знайомства з геометричною прогресією (це дев'ятий клас) показові рівняння не вчать, так… Це тема старших класів. Але жахливого нічого немає. Навіть якщо ви не знаєте, як вирішуються такі рівняння, спробуємо знайти наше n, керуючись простою логікою та здоровим глуздом.
Починаємо міркувати. Зліва у нас стоїть двійка в якійсь мірі. Ми поки що не знаємо, що це за ступінь, але це й не страшно. Зате ми твердо знаємо, що цей ступінь дорівнює 256! Ось і згадуємо, якою ж мірою двійка дає нам 256. Згадали? Так! В восьмийступеня!
256 = 2 8
Якщо не згадали або з розпізнаванням ступенів проблеми, то теж нічого страшного: просто послідовно зводимо двійку в квадрат, куб, в четвертий ступінь, п'яту і так далі. Підбір, власне, але на цьому рівні - цілком прокотить.
Так чи інакше, ми отримаємо:
2 n -1 = 2 8
n-1 = 8
n = 9
Отже, 768 – це дев'ятийчлен нашої прогресії. Все, завдання вирішено.)
Відповідь: 9
Що? Нудно? Набридла елементарщина? Згоден. І мені теж. Ідемо на наступний рівень.)
Складніші завдання.
А тепер вирішуємо завдання крутіше. Не те щоб зовсім надкруті, але над якими доведеться трохи попрацювати, щоб дістатися до відповіді.
Наприклад, така.
Знайдіть другий член геометричної прогресії, якщо четвертий член дорівнює -24, а сьомий член дорівнює 192.
Це класика жанру. Відомі якісь два різні члени прогресії, а знайти треба ще якийсь член. Причому всі члени не сусідні. Що й бентежить спочатку, так…
Як і в , Для вирішення таких завдань розглянемо два способи. Перший спосіб – універсальний. Алгебраїчний. Працює безвідмовно та з будь-якими вихідними даними. Тому саме з нього і почнемо.
Розписуємо кожен член за формулою n-го члена!
Все точнісінько як з арифметичною прогресією. Тільки цього разу працюємо з іншийзагальною формулою. Ось і все.) Але суть та сама: беремо і по черзіпідставляємо у формулу n-го члена наші вихідні дані. Для кожного члена – свої.
Для четвертого члена записуємо:
b 4 = b 1 · q 3
-24 = b 1 · q 3
Є. Одне рівняння готове.
Для сьомого члена пишемо:
b 7 = b 1 · q 6
192 = b 1 · q 6
Разом отримали два рівняння для однієї і тієї ж прогресії .
Збираємо з них систему:
Незважаючи на її грізний вигляд, система дуже проста. Найочевидніший спосіб вирішення – звичайна підстановка. Висловлюємо b 1 з верхнього рівняння та підставляємо у нижнє:
Трохи повозившись із нижнім рівнянням (скоротивши ступеня та поділивши на -24), отримаємо:
q 3 = -8
До цього ж рівняння, між іншим, можна дійти і простіше! Яким? Зараз я вам продемонструю ще один секретний, але дуже красивий, потужний і корисний спосіб вирішення подібних систем. Таких систем, у рівняннях яких сидять лише твори.Хоч би в одному. Називається метод почленного розподілуодного рівняння інше.
Отже, перед нами система:
В обох рівняннях ліворуч – твір, добуток, а праворуч – просто число. Це дуже добрий знак.) Давайте візьмемо і… поділимо, скажімо, нижнє рівняння на верхнє! Що значить, поділимо одне рівняння на інше?Дуже просто. Беремо ліву частинуодного рівняння (нижнього) та ділимоїї на ліву частинуіншого рівняння (верхнього). З правою частиною аналогічно: праву частинуодного рівняння ділимона праву частинуіншого.
Весь процес розподілу виглядає так:
Тепер, скоротивши все, що скорочується, отримаємо:
q 3 = -8
Чим добрий цей спосіб? Та тим, що в процесі такого поділу все погане і незручне може скоротитися і залишитися цілком невинне рівняння! Саме тому так важлива наявність тільки множенняхоча б в одному із рівнянь системи. Нема множення – нічого і скорочувати, так…
А взагалі, цей спосіб (як і багато інших нетривіальних способів вирішення систем) навіть заслуговує на окремий урок. Обов'язково його розберу докладніше. Колись…
Втім, неважливо, як саме ви вирішуєте систему, в будь-якому випадку тепер нам треба вирішити рівняння, що вийшло:
q 3 = -8
Жодних проблем: вилучаємо корінь (кубічний) і – готово!
Прошу зауважити, що тут, коли виймаєте, ставити плюс/мінус не потрібно. Непарного (третього) ступеня у нас корінь. І відповідь – теж одна, так.)
Отже, знаменник прогресії знайдено. Мінус два. Чудово! Процес іде.)
Для першого члена (скажімо, з верхнього рівняння) ми отримаємо:
Чудово! Знаємо перший член, знаємо знаменник. І тепер у нас з'явилася нагода знайти будь-який член прогресії. У тому числі і другий.)
Для другого члена все дуже просто:
b 2 = b 1 · q= 3 · (-2) = -6
Відповідь: -6
Отже, метод алгебри вирішення задачі ми з вами розклали по поличках. Важко? Не дуже, згоден. Довго та нудно? Так, безумовно. Але іноді можна суттєво скоротити обсяг роботи. Для цього є графічний метод.Старий добрий і знайомий нам з .)
Малюємо завдання!
Так! Саме так. Знову зображаємо нашу прогресію на числовій осі. Не обов'язково по лінійці, не обов'язково витримувати рівні інтервали між членами (які, до речі, і не будуть однаковими, тому що прогресія – геометрична!), а просто схематичномалюємо нашу послідовність.
У мене вийшло так:
А тепер дивимося на картинку та розуміємо. Скільки однакових множників "q" поділяють четвертийі сьомийчлени? Мабуть, три!
Отже, маємо повне право записати:
-24 ·q 3 = 192
Звідси тепер легко шукається q:
q 3 = -8
q = -2
От і добре, знаменник у нас уже в кишені. А тепер знову дивимося на картинку: скільки таких знаменників сидить між другимі четвертимчленами? Два! Отже, для запису зв'язку між цими членами знаменник будемо зводити у квадрат.
Ось і пишемо:
b 2 · q 2 = -24 , звідки b 2 = -24/ q 2
Підставляємо наш знайдений знаменник у вираз для b 2 , рахуємо та отримуємо:
Відповідь: -6
Як бачимо, все набагато простіше та швидше, ніж через систему. Більше того, тут нам взагалі навіть не потрібно було вважати перший член! Зовсім.)
Ось такий простий та наочний спосіб-лайт. Але є в нього й серйозна вада. Здогадалися? Так! Він підходить тільки для дуже коротких шматочків прогресії. Таких, де відстані між членами, що нас цікавлять, не дуже великі. А от у всіх інших випадках картинку малювати вже важко, так… Тоді вирішуємо завдання аналітично, через систему. А системи – штука універсальна. З будь-якими числами справляються.
Ще одне епічне завдання:
Другий член геометричної прогресії на 10 більше першого, а третій член на 30 більше другого. Знайдіть знаменник прогресії.
Що, круто? Зовсім ні! Все теж саме. Знову переводимо умову завдання у чисту алгебру.
1) Розписуємо кожен член за формулою n-го члена!
Другий член: b 2 = b 1 · q
Третій член: b 3 = b 1 · q 2
2) Записуємо зв'язок між членами з умови завдання.
Читаємо умову: "Другий член геометричної прогресії на 10 більший за перший".Стоп це цінно!
Так і пишемо:
b 2 = b 1 +10
І цю фразу переводимо в чисту математику:
b 3 = b 2 +30
Здобули два рівняння. Об'єднуємо їх у систему:
Система на вигляд простенька. Але щось вже багато різних індексів у літер. Підставимо замість другого і третього членів їх вираження через перший член і знаменник! Даремно, ми їх розписували?
Отримаємо:
А ось така система – вже не подарунок, так… Як таке вирішувати? На жаль, універсального секретного заклинання на вирішення складних нелінійнихсистем у математиці немає і не може. Це фантастика! Але перше що має приходити вам у голову при спробі розгризти подібний міцний горішок - це прикинути, а чи не зводиться одне із рівнянь системи до гарного вигляду, що дозволяє, наприклад, легко висловити одну із змінних через іншу?
От і прикинемо. Перше рівняння системи явно простіше другого. Його і піддамо тортурам.) А чи не спробувати з першого рівняння щосьвисловити через щось?Якщо ми хочемо знайти знаменник q, то найвигідніше нам було б висловити b 1 через q.
Ось і спробуємо зробити цю процедуру з першим рівнянням, застосовуючи старі добрі.
b 1 q = b 1 +10
b 1 q – b 1 = 10
b 1 (q-1) = 10
Усе! Ось ми й висловили непотрібнунам змінну (b 1) через потрібну(q). Так, не найпростіший вираз отримали. Дроби якусь… Але й система у нас пристойного рівня, так.)
Типове. Що робити – знаємо.
Пишемо ОДЗ (обов'язково!) :
q ≠ 1
Помножуємо все на знаменник (q-1) і скорочуємо всі дроби:
10 q 2 = 10 q + 30(q-1)
Ділимо все на десятку, розкриваємо дужки, збираємо все ліворуч:
q 2 – 4 q + 3 = 0
Вирішуємо отримане і отримуємо два корені:
q 1 = 1
q 2 = 3
Остаточна відповідь одна: q = 3 .
Відповідь: 3
Як ви бачите, шлях вирішення більшості завдань на формулу n-го члена геометричної прогресії завжди єдиний: читаємо уважноумова задачі та за допомогою формули n-го члена перекладаємо всю корисну інформаціюу чисту алгебру.
А саме:
1) Розписуємо окремо кожен даний у завданні член за формулоюn-го члена.
2) З умови завдання перекладаємо зв'язок між членами математичну форму. Складаємо рівняння чи систему рівнянь.
3) Вирішуємо отримане рівняння чи систему рівнянь, знаходимо невідомі параметри прогресії.
4) У разі неоднозначної відповіді читаємо уважно умову завдання у пошуках додаткової інформації (якщо така є). Також звіряємо отриману відповідь з умовами ОДЗ (якщо є).
А тепер перерахуємо основні проблеми, що найчастіше призводять до помилок у процесі вирішення задач на геометричну прогресію.
1. Елементарна арифметика. Дії з дробами та негативними числами.
2. Якщо хоча б з одним із цих трьох пунктів проблеми, то неминуче помилятиметеся і в цій темі. На жаль ... Так що не лінуйтеся і повторіть те, про що згадано вище. І за посиланнями – сходіть. Іноді допомагає.)
Видозмінені та рекурентні формули.
А тепер розглянемо кілька типових екзаменаційних завдань з менш звичною подачею умови. Так-так, ви вгадали! Це видозміненіі рекурентніформули n-го члена. З такими формулами ми вже з вами стикалися і працювали в арифметичній прогресії. Тут все аналогічно. Суть та сама.
Наприклад, таке завдання з ОДЕ:
Геометрична прогресія задана формулою b n = 3 · 2 n . Знайдіть суму першого та четвертого її членів.
На цей раз прогресія нам задана не зовсім звично. У вигляді якоїсь формули. Ну і що? Ця формула – теж формулаn-го члена!Ми ж з вами знаємо, що формулу n-го члена можна записати як у загальному вигляді, через літери, так і для конкретної прогресії. З конкретнимипершим членом та знаменником.
У нашому випадку нам насправді задана формула загального члена для геометричної прогресії ось з такими параметрами:
b 1 = 6
q = 2
Перевіримо?) Запишемо формулу n-го члена у загальному вигляді та підставимо до неї b 1 і q. Отримаємо:
b n = b 1 · q n -1
b n= 6 · 2n -1
Спрощуємо, використовуючи розкладання на множники та властивості ступенів, і отримуємо:
b n= 6 · 2n -1 = 3 · 2 · 2n -1 = 3 · 2n -1+1 = 3 · 2n
Як бачите, все чесно. Але наша мета – не продемонструвати виведення конкретної формули. Це так, ліричний відступ. Чисто для розуміння.) Наша мета – вирішити завдання за тією формулою, що дана нам за умови. Уловлюєте?) Ось і працюємо з видозміненою формулою безпосередньо.
Вважаємо перший член. Підставляємо n=1 у загальну формулу:
b 1 = 3 · 2 1 = 3 · 2 = 6
Ось так. До речі, не полінюсь і ще раз зверну вашу увагу на типовий ляп з підрахунком першого члена. НЕ ТРЕБА, дивлячись на формулу b n= 3 · 2n, Зразу кидатися писати, що перший член - трійка! Це – груба помилка, так…)
Продовжуємо. Підставляємо n=4 і вважаємо четвертий член:
b 4 = 3 · 2 4 = 3 · 16 = 48
Ну і нарешті, вважаємо потрібну суму:
b 1 + b 4 = 6+48 = 54
Відповідь: 54
Ще завдання.
Геометрична прогресія задана умовами:
b 1 = -7;
b n +1 = 3 b n
Знайдіть четвертий член прогресії.
Тут прогресія поставлена рекурентною формулою. Ну і добре.) Як працювати з такою формулою – теж знаємо.
Ось і діємо. За кроками.
1) Вважаємо два послідовнихчлена прогресії.
Перший член нам уже заданий. Мінус сім. А ось наступний, другий член легко можна порахувати за рекурентною формулою. Якщо розуміти принцип її роботи, звичайно.
Ось і вважаємо другий член за відомим першим:
b 2 = 3 b 1 = 3 · (-7) = -21
2) Вважаємо знаменник прогресії
Теж ніяких проблем. Прямо , ділимо другийчлен на перший.
Отримуємо:
q = -21/(-7) = 3
3) Пишемо формулуn-го члена у звичному вигляді та вважаємо потрібний член.
Отже, перший член знаємо, знаменник теж. Ось і пишемо:
b n= -7 · 3n -1
b 4 = -7 · 3 3 = -7 · 27 = -189
Відповідь: -189
Як ви бачите, робота з такими формулами для геометричної прогресії нічим за своєю суттю не відрізняється від такої для арифметичної прогресії. Важливо лише розуміти загальну сутьта зміст цих формул. Та й сенс геометричної прогресії теж треба розуміти, так.) І тоді дурних помилок не буде.
Ну що, вирішуємо самостійно?)
Дуже елементарні завдання, для розминки:
1. Дана геометрична прогресія, в якій b 1 = 243, а q = -2/3. Знайдіть шостий член прогресії.
2. Загальний член геометричної прогресії заданий формулою b n = 5∙2 n +1 . Знайдіть номер останнього тризначного члена цієї прогресії.
3. Геометрична прогресія задана умовами:
b 1 = -3;
b n +1 = 6 b n
Знайдіть п'ятий член прогресії.
Трохи складніше:
4. Дана геометрична прогресія:
b 1 =2048; q =-0,5
Чому дорівнює шостий негативний її член?
Що, здається, суперскладно? Зовсім ні. Врятує логіка та розуміння сенсу геометричної прогресії. Ну і формула n-го члена, ясна річ.
5. Третій член геометричної прогресії дорівнює -14, а восьмий член дорівнює 112. Знайдіть знаменник прогресії.
6. Сума першого та другого членів геометричної прогресії дорівнює 75, а сума другого та третього членів дорівнює 150. Знайдіть шостий член прогресії.
Відповіді (безладно): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.
Ось майже все. Залишилося лише навчитися нам рахувати суму n перших членів геометричної прогресіїтак відкрити для себе нескінченно спадаючу геометричну прогресіюта її суму. Дуже цікаву та незвичайну штуку, між іншим! Про це – у наступних уроках.)
Геометрична прогресіяне менш важлива у математиці порівняно з арифметичною. Геометричною прогресією називають таку послідовність чисел b1, b2,..., b[n] кожен наступний член якої виходить множенням попереднього на постійне число. Це число, яке також характеризує швидкість зростання або спадання прогресії називають знаменником геометричної прогресіїі позначають
Для повного завдання геометричної прогресії, крім знаменника, необхідно знати або визначити перший її член. Для позитивного значення знаменника прогресія є монотонною послідовністю, причому якщо ця послідовність чисел є монотонно спадною і при монотонно зростаючою. Випадок, коли знаменник дорівнює одиниці на практиці не розглядається, оскільки маємо послідовність однакових чисел, а їхнє підсумовування не викликає практичного інтересу
Загальний член геометричної прогресіїобчислюють за формулою
Сума n перших членів геометричної прогресіївизначають за формулою
Розглянемо розв'язання класичних задач на геометричну прогресію. Почнемо для розуміння з найпростіших.
Приклад 1. Перший член геометричної прогресії дорівнює 27 а її знаменник дорівнює 1/3. Знайти шість перших членів геометричної прогресії.
Рішення: Запишемо умову завдання у вигляді
Для обчислень використовуємо формулу n-го члена геометричної прогресії
На її основі знаходимо невідомі члени прогресії
Як можна переконатися, обчислення членів геометричної прогресії нескладні. Сама прогресія буде виглядати так
Приклад 2. Дано три перших члени геометричної прогресії: 6; -12; 24. Знайти знаменник та сьомий її член.
Рішення: Обчислюємо знаменник геомітричної прогресії, виходячи з його визначення
Отримали знакозмінну геометричну прогресію знаменник якої дорівнює -2. Сьомий член обчислюємо за формулою
На цьому завдання вирішено.
Приклад 3. Геометрична прогресія задана двома членами 
. Знайти десятий член прогресії.
Рішення:
Запишемо задані значення через формули
За правилами потрібно було знайти знаменник, та був шукати потрібне значення, але для десятого члена маємо
Таку ж формулу можна отримати на основі нехитрих маніпуляцій із вхідними даними. Розділимо шостий член ряду на інший, в результаті отримаємо
Якщо отримане значення помножити на шостий член, отримаємо десятий
Таким чином, для подібних завдань за допомогою нескладних перетворень у швидкий спосіб можна знайти правильне рішення.
Приклад 4. Геометрична прогресія задано рекурентними формулами
Знайти знаменник геометричної прогресії та суму перших шести членів.
Рішення:
Запишемо задані дані у вигляді системи рівнянь
Виразимо знаменник розділивши друге рівняння на перше
Знайдемо перший член прогресії з першого рівняння
Обчислимо наступні п'ять членів для знаходження суми геометричної прогресії
