У четвертому завданні належить вирахувати ймовірність події. Обчислення досить прості, достатньо знати визначення ймовірності та найпростіші способи її обчислення. Також треба вміти працювати із звичайними дробами, переводити звичайні дроби в десяткові, округляти десяткові дроби, складати та вирішувати лінійні рівняння.
Тип завдання:з короткою відповіддю
Рівень складності:базовий
Кількість балів: 1
Орієнтовний час на виконання: 2 хвилини
Імовірність завжди виражається дробом, у знаменнику якого стоїть загальне числорезультатів, а чисельнику – число результатів, які відповідають умові. Найчастіше завдання зводиться саме до обчислення числа наслідків (приклади 1-2). Іноді до складання або множення ймовірностей окремих подій (приклади 3-6) і дуже рідко до кількох дій (приклади 7-8).
Знати визначення та правила треба. Але при вирішенні завдань на ймовірність важливіше мати хорошу практичну навичку. Це дозволить на іспиті не заглиблюватися у простому завданні у складні математичні закони та заощадити час та власні нерви. Насправді важких завдань у четвертому завданні немає взагалі.
Приклад №1.
Для призів учасникам технічного конкурсу у магазині придбали 30 розмальовок, з яких 10 із танками, 11 із літаками, а решта з космічними кораблями. Призи визначаються жеребкуванням. Діма хоче отримати розмальовку із космічними кораблями. Яка ймовірність, що його бажання здійсниться?
Рішення:
Спочатку визначимо число розмальовок із космічними кораблями: 30-10-11=9
Тепер можемо обчислити ймовірність: 9/30 = 0,3
Відповідь: 0,3.
Приклад №2
В упаковці лежать блокноти з кольоровими обкладинками: 12 із червоною, 7 із синьою, 9 із чорною, 8 із жовтою та 14 із білою. З упаковки виймають 1 блокнот. Знайдіть ймовірність того, що обкладинка блокнота жовта.
Рішення:
Усього блокнотів: 12+7+9+8+14=50
Імовірність того, що трапиться блокнот із жовтою обкладинкою: 8/50=0,16
Відповідь: 0,16.
Приклад №3
Рішення: Сума ймовірностей купити справну або несправну авторучку дорівнює одиниці. Щоб визначити ймовірність покупки хорошої ручки треба від одиниці відняти ймовірність покупки несправної ручки: 1-0,09 = 0,81
Відповідь: 0,81.
Приклад №4
Два кубики кидають одночасно. Знайти можливість викинути 9 очок.
Рішення:
Підберемо пари чисел від 1 до 6, які у сумі дають 9
3+6
4+5
5+4
6+3
Зрозуміло, що на першому кубику може випасти 4 із 6 можливих чисел. Можливість становить: 4/6=2/3
При киданні другого кубика має випасти 1 число із 6, ймовірність цієї події 1/6.
Тоді можливість того, що сума очок складе 9, дорівнює добутку можливостей: 2/3*1/6=2/18=1/9=0,11
Відповідь: 0,11.
Це завдання можна вирішити за допомогою таблиці, де у верхньому рядку вказано число на перовому кубику, у лівому стовпці – число на другому, а в осередках – їхня сума. (Таку таблицю можна за хвилину накидати на чернетці)
З таблиці видно, що з 36 можливих наслідків, 9 очок випадає у 4-х випадках. Тобто. ймовірність становить 4/36=1/9=0,11
Відповідь: 0,11.
Приклад №5
Діма добре підготувався до олімпіади з фізики. Із ймовірністю 0,98 він стане призером і з ймовірністю 0,84 – переможцем олімпіади. З якою ймовірністю Діма стане призером, але не стане переможцем олімпіади з фізики?
Рішення:
Переможець одночасно є призером олімпіади. Тому ймовірність стати призером (0,98) можна у вигляді суми ймовірності стати переможцем (0,84) і стати просто призером (Х).
Х+0,84 = 0,98
Х = 0,98-0,84
Х = 0,14
Відповідь: 0,14.
Приклад №6
У черговому загоні 7 хлопчиків та 14 дівчаток. Чергування розподіляється за жеребом. На центральні ворота табору потрібні двоє чергових. Знайти ймовірність, що чергуватиме на воротах двоє хлопчиків.
Рішення:
Першим черговим виявиться хлопчик із ймовірністю: 7/21=1/3
Другий черговий вибирається з 20 дітей, що залишилися, з яких хлопчиків залишилося тільки 6: 6/20=3/10
Імовірність, що на воротах чергуватимуть два хлопчики: 1/3*3/10=0,1
Відповідь: 0,1.
Приклад №7
У сквері є мережа доріжок, що ведуть до оглядових майданчиків. Водоспад можна спостерігати з майданчиків F і G. Турист відправляється з точки А. На кожному роздоріжжі він вибирає довільний напрямок (крім напрямку назад). З якою ймовірністю турист зможе побачити водоспад?
Рішення:
Оскільки водоспад видно з двох майданчиків, то для вирішення завдання потрібно скласти ймовірність того, що турист потрапить на майданчик F, і ймовірність того, що він потрапить на майданчик G
Для майданчика F: 1/2*1/3=1/6
Для майданчика G: 1/2*1/2=1/4
Для двох майданчиків: 1/6+1/4=4/24+6/24=10/24=0,42
Відповідь: 0,42.
Приклад №8
До заліку треба вивчити 10 запитань. Сашко вивчив 2, а решту тільки прочитав. Якщо Саші потрапить вивчений квиток, він здасть залік з ймовірністю 0,9. Якщо Саші потрапить питання, яке він тільки прочитав, то можливість здати залік 0,3. Питання на заліку розподіляються випадковим чином. Знайти ймовірність того, що Сашко здасть залік.
Рішення:
З 10 квитків вивчені 2, не вивчені 8. Можливість отримати вивчене питання 2/10, можливість отримати не вивчене питання 8/10.
Імовірність здати залік з вивченого квитка: 2/10*0,9=0,18
Імовірність здати за невивченим квитком: 8/10*0,3=0,24
Підсумкова ймовірність: 0,18 +0,24 = 0,42
Відповідь: 0,42.
Найскладніше визначити, коли ймовірності двох подій треба перемножувати, а коли складати. Трапляються завдання, коли треба зробити і те, й інше. Якщо ви знайшли ймовірність окремих подій, але не можете визначитися, що з ними робити далі – довіртеся інтуїції.
Якщо ви розумієте, що ймовірність двох подій більша, ніж ймовірність кожного окремо – складайте. (Наприклад, можливість викинути решку на одній із двох монет явно більша, ніж викинути решку на одній монеті.)
Якщо ймовірність двох подій менша, ніж кожна окремо – перемножуйте. (Наприклад, можливість викинути решку на обох монетах менше, ніж можливість викинути решку на одній з них.)
Відомо, що інтуїція – підхід ненауковий. Але на ЄДІ у завданні з короткою відповіддю краще дати якусь відповідь, ніж не дати жодної.
Однак не забувайте, що профільний ЄДІ з математики є не лише випускним, а й вступним випробуванням. Більшість шкільних завдань на можливість можна вирішити шляхом логічних міркувань. Це створює ілюзію легкості теорії ймовірності та математичної статистики. Але насправді це одна з найпередовіших та затребуваних галузей математики, і у ВНЗ ви відчуєте її складність повною мірою.
Завдання №4
1 варіант
На іспиті 60 квитків, Андрій не вивчив 3 із них. Знайдіть ймовірність того, що йому потрапить вивчений квиток.
Рішення:
Визначимо кількість сприятливих результатів: 60-3 = 57
Відповідь: 0,95
2 варіант
Ковбой Джон потрапляє в муху на стіні з ймовірністю 0,7, якщо стріляє з пристріляного револьвера. Якщо Джон стріляє з непристріляного револьвера, він потрапляє на муху з ймовірністю 0,3. На столі лежить 10 револьверів, з них лише 2 пристріляні. Ковбой Джон бачить на стіні муху, навмання вистачає перший-ліпший револьвер і стріляє в муху. Знайдіть ймовірність того, що Джон промахнеться.
Рішення:
Джон промахнеться, якщо схопить пристріляний револьвер і промахнеться з нього, або схопить непристреляний револьвер і промахнеться з нього. За формулою умовної ймовірності, ймовірності цих подій рівні відповідно 0,2 · (1 - 0,7) = 0,06 і
0,8 · (1 - 0,3) = 0,56. Ці події несумісні, ймовірність їхньої суми дорівнює сумі ймовірностей цих подій: 0,06 + 0,56 = 0,62.
Відповідь: 0,62.
Наведемо інше рішення.
Джон потрапляє в муху, якщо схопить пристріляний револьвер і потрапить із нього, або якщо схопить непристріляний револьвер і влучає з нього. За формулою умовної ймовірності, ймовірності цих подій рівні відповідно 0,2 · 0,7 = 0,14 і 0,8 · 0,3 = 0,24.
Ці події несумісні, ймовірність їхньої суми дорівнює сумі ймовірностей цих подій: 0,14 + 0,24 = 0,38.
Подія, що полягає в тому, що Джон схибить, протилежне. Його ймовірність дорівнює 1 - 0,38 = 0,62. Відповідь: 0,62.
3 варіант
На іспиті 45 квитків, Федя не вивчив 9 із них. Знайдіть ймовірність того, що йому потрапить вивчений квиток.
Рішення:
Визначимо кількість сприятливих результатів: 45-9 = 36
Визначимо можливість попадання вивченого квитка:
0,8 або ймовірність влучення вивченого квитка дорівнює 80%
Відповідь: 0,8
4 варіант
Ковбой Джон потрапляє у муху на стіні з ймовірністю 0,8, якщо стріляє із пристріляного револьвера. Якщо Джон стріляє з непристріляного револьвера, він потрапляє на муху з ймовірністю 0,3. На столі лежить 10 револьверів, з них лише 3 пристріляні. Ковбой Джон бачить на стіні муху, навмання вистачає перший-ліпший револьвер і стріляє в муху. Знайдіть ймовірність того, що Джон промахнеться.
Рішення:
Джон промахнеться, якщо схопить пристріляний револьвер і промахнеться з нього, або схопить непристреляний револьвер і промахнеться з нього. За формулою умовної ймовірності, ймовірності цих подій рівні відповідно 0,3 · (1 - 0,8) = 0,06 і
0,7 · (1 - 0,3) = 0,49. Ці події несумісні, ймовірність їхньої суми дорівнює сумі ймовірностей цих подій: 0,06 + 0,49 = 0,55. Відповідь: 0,55.
5 варіант
На іспиті 40 квитків Ігор не вивчив 2 з них. Знайдіть ймовірність того, що йому потрапить вивчений квиток.
Рішення:
Визначимо кількість сприятливих результатів: 40-2 = 38
Визначимо можливість попадання вивченого квитка:
0,95 або ймовірність влучення вивченого квитка дорівнює 95%
Відповідь: 0,95
6 варіант
Перед початком першого туру чемпіонату з тенісу учасників розбивають на ігрові пари випадково за допомогою жеребу. Загалом у чемпіонаті бере участь 26 тенісистів, серед яких 9 учасників із Росії, зокрема Тимофій Трубніков. Знайдіть ймовірність того, що в першому турі Тимофій Трубніков гратиме з будь-яким тенісистом із Росії?
Рішення:
У першому турі Тимофій Трубніков може зіграти з 26 - 1 = 25 тенісистами, з яких 9 - 1 = 8 з Росії. Отже, ймовірність того, що в першому турі Тимофій Трубніков гратиметься з будь-яким тенісистом з Росії, дорівнює = 0,32
Відповідь: 0,32.
7 варіант
Перед початком першого туру чемпіонату з бадмінтону учасників розбивають на ігрові пари випадково за допомогою жеребу. Загалом у чемпіонаті бере участь 76 бадмінтоністів, серед яких 16 учасників з Росії, у тому числі Ігор Чаєв. Яка ймовірність того, що в першому турі Ігор Чаєв гратиметься з яким-небудь бадмінтоністом з Росії?
Рішення:
У першому турі Ігор Чаєв може зіграти з 76-1 = 75 бадмінтоністами, з яких 16-1 = 15 з Росії. Отже, ймовірність того, що в першому турі Ігор Чаєв гратиметься з будь-яким бадмінтоністом з Росії, дорівнює
Відповідь: 0,2.
8 варіант
Перед початком першого туру чемпіонату з шашок учасників розбивають на ігрові пари випадково за допомогою жеребу. Загалом у чемпіонаті бере участь 26 шашистів, серед яких 15 учасників із Росії, зокрема Геннадій Горьков. Знайдіть імовірність того, що в першому турі Геннадій Горьков буде грати з яким-небудь бадмінтоністом з Росії.
Рішення:
У першому турі Геннадій Горьков може зіграти з 26-1=25 шашистами, у тому числі 15-1=14 із Росії. Отже, ймовірність того, що в першому турі Геннадій Горьков гратиме з будь-яким шашистом із Росії, дорівнює
Відповідь: 0,56.
9 варіант
У середньому із 1000 садових насосів, що надійшли у продаж, 7 підтікають. Знайдіть ймовірність того, що один випадково вибраний для контролю насос не підтікає.
Рішення:
У середньому з 1000 садових насосів, що надійшли у продаж, 1000-7 = 993 не підтікають. Отже, ймовірність того, що один випадково вибраний для контролю насос не підтікає, дорівнює
Відповідь: 0,993.
10 варіант
У середньому із 700 садових насосів, що надійшли у продаж, 7 підтікають. Знайдіть ймовірність того, що один випадково вибраний для контролю насос не підтікає.
Рішення:
У середньому із 700 садових насосів, що надійшли у продаж, 700-7 = 693 не підтікають. Отже, ймовірність того, що один випадково вибраний для контролю насос не підтікає, дорівнює
Відповідь: 0,99.
11 варіант
При виготовленні підшипників діаметром 69 мм ймовірність того, що діаметр відрізнятиметься від заданого не більше ніж на 0,01 мм, дорівнює 0,975. Знайдіть ймовірність того, що випадковий підшипник матиме діаметр менше ніж 68,99 мм або більше ніж 69,01 мм.
Рішення:
За умовою діаметр підшипника лежатиме в межах від 68,99 до 69,01 мм з ймовірністю 0,975. Тому шукана ймовірність протилежної події дорівнює
1 − 0,975 = 0,025.
Відповідь: 0,025.
12 варіант
У фірмі таксі зараз вільно 16 машин: 4 чорних, 3 синіх і 9 білих. За викликом виїхала одна з машин, що випадково опинилася найближче до замовниці. Знайдіть ймовірність, що до неї приїде чорне таксі.
Рішення:
Імовірність того, що до замовниці приїде чорне таксі, дорівнює
Відповідь: 0,25.
13 варіант
За артилерійської стрільби автоматична системаробить постріл за мету. Якщо ціль не знищена, то система робить повторний постріл. Постріли повторюються доти, доки ціль не буде знищена. Імовірність знищення певної мети при першому пострілі дорівнює 0,3, а при кожному наступному – 0,9. Скільки пострілів знадобиться для того, щоб ймовірність знищення мети була не менше 0,96?
Рішення:
Знайдемо ймовірність протилежної події, яка полягає в тому, що ціль не буде знищена за n пострілів. Імовірність промахнутися при першому пострілі дорівнює 0,7, а за кожного наступного - 0,1. Ці події незалежні, ймовірність їхнього твору дорівнює твору ймовірності цих подій. Тому можливість промахнутися при n пострілах дорівнює:
Послідовно перевіряючи значення, рівні 1, 2, 3 і т. д. знаходимо, що шуканим розв'язком є n = 3 . Отже, необхідно зробити 3постріли.
Відповідь: 3
14 варіант
У фірмі таксі зараз вільно 35 машин: 11 червоних, 17 фіолетових і 7 зе-
лених. За викликом виїхала одна з машин, що випадково опинилася найближче до замовниці. Знайдіть можливість, що до неї приїде зелене таксі.
Рішення:
Імовірність того, що до замовниці приїде зелене таксі, дорівнює
Відповідь: 0,2.
15 варіант
На фабриці керамічного посуду 20% виготовлених тарілок мають дефект. При контролі якості продукції виявляється 70% дефектних тарілок. Інші тарілки надходять у продаж. Знайдіть ймовірність того, що випадково обрана при покупці тарілка не має дефектів. Результат округліть до сотих.
Рішення:
Нехай завод зробив тарілок. У продаж надійдуть усі якісні тарілки та 20% невиявлених дефектних тарілок: 0,8 + 0,3тарілок. Оскільки якісних з них 0,8, ймовірність купити якісну тарілку дорівнює
Відповідь: 0,93
16 варіант
Максим із татом вирішили покататися на колесі огляду. Усього на колесі 30 кабінок, їх 11 –сині, 7 – зелені, інші – помаранчеві. Кабінки по черзі підходять до платформи для посадки. Знайдіть ймовірність того, що Максим прокотиться в оранжевій кабінці.
Рішення:
Число всіляких результатів 30 (всі кабінки). Число сприятливих результатів 30-11-7 = 12 (помаранчеві кабінки). Імовірність того, що Максим прокотиться в помаранчевій кабінці, дорівнює
Відповідь: 0,4
17 варіант
Приміщення висвітлюється ліхтарем із трьома лампами. Імовірність перегорання однієї лампи протягом року дорівнює 0,3. Знайдіть ймовірність того, що протягом року хоча б одна лампа не перегорить.
Рішення:
Необхідно знайти можливість події, коли не перегорять обидві лампи, або не перегорить тільки перша лампа, або не перегорить лише друга лампа.
За умовою можливість перегорання лампи 0,3. Значить можливість справності лампи протягом року дорівнює 1 – 0,3 = 0,7.
Імовірність події:
"не перегорять обидві" дорівнює 0,7 ∙ 0,7 = 0,49
"не перегорить перша, але перегорить друга" дорівнює 0,7∙0,3 = 0,21
"перегорить перша, але не перегорить друга" дорівнює 0,3 ∙ 0,7 = 0,21
Таким чином, ймовірність того, що протягом року хоча б одна не перегорить, дорівнює
0,49 + 0,21+ 0,21 = 0,91
Другий спосіб:
Імовірність того, що перегорять обидві лампи, дорівнює 0,3∙0,3 = 0,09.
Ці події незалежні, але за одночасного їх скоєнні їх ймовірності перемножуються.
Імовірність того, що не перегорить хоча б одна лампа, дорівнює 1 – 0,09 = 0,91. Ця подія протилежна до тієї події, коли перегорять обидві лампи.
Відповідь: 0,91
18 варіант
Кирило з татом вирішили покататися на колесі огляду. Усього на колесі 30 кабінок, їх 8 –фіолетові, 4 – зелені, інші – помаранчеві. Кабінки по черзі підходять до платформи для посадки. Знайдіть ймовірність того, що Кирило прокотиться в оранжевій кабінці.
Рішення:
Число всіляких результатів 30 (всі кабінки). Число сприятливих результатів 30-8-4 = 18 (помаранчеві кабінки). Імовірність того, що Кирило прокотиться в помаранчевій кабінці, дорівнює
Відповідь: 0,6
19 варіант
Ігор із татом вирішили покататися на колесі огляду. Усього на колесі 40 кабінок, їх 21 –сірі, 13 – зелені, інші – червоні. Кабінки по черзі підходять до платформи для посадки. Знайдіть ймовірність того, що Ігор прокотиться в оранжевій кабінці.
Рішення:
Число всіляких результатів 40 (всі кабінки). Число сприятливих результатів 40-21-13 = 6 (червоні кабінки). Імовірність того, що Ігор прокотиться в помаранчевій кабінці, дорівнює
Відповідь: 0,15
20 варіант
Дві фабрики випускають однакові стекла для автомобільних фар. Перша фабрика випускає 30% цього скла, друга - 70%. Перша фабрика випускає 3% бракованого скла, а друга - 4%. Знайдіть ймовірність того, що випадково куплене в магазині скло виявиться бракованим.
Рішення:
Імовірність того, що скло куплене на першій фабриці і воно браковане:
0,3 · 0,03 = 0,009.
Імовірність того, що скло куплене на другій фабриці і воно браковане:
0,7 · 0,04 = 0,028.
Тому за формулою ймовірності ймовірність того, що випадково куплене в магазині скло виявиться бракованим дорівнює 0,009 + 0,028 = 0,037.
Відповідь: 0,037.
21 варіант
За відгуками покупців Михайло Михайлович оцінив надійність двох інтернет-магазинів. Імовірність того, що потрібний товар доставлять із магазину А, дорівнює 0,81. Імовірність того, що цей товар доставлять з магазину Б, дорівнює 0,93. Михайло Михайлович замовив товар відразу в обох магазинах. Вважаючи, що інтернет магазини працюють незалежно один від одного, знайдіть ймовірність того, що жоден магазин не доставить товар.
Рішення:
Імовірність того, що перший магазин не доставить товар, дорівнює 1 − 0,93 = 0,07. Імовірність того, що другий магазин не доставить товар, дорівнює 1 − 0,81 = 0,19. Оскільки ці події незалежні, ймовірність їхнього твору (обидва магазини не доставлять товар) дорівнює твору ймовірностей цих подій: 0,07 · 0,19 = 0,0133
Відповідь: 0,0133
22 варіант
На тарілці 16 пиріжків: 8 з м'ясом, 3 з яблуками та 5 з цибулею. Настя навмання вибирає один пиріжок. Знайдіть ймовірність того, що він опиниться з м'ясом.
Рішення:
Імовірність того, що пиріжок виявиться з м'ясом рівна
Відповідь: 0,5.
23 варіант
Усім пацієнтам із підозрою на гепатит роблять аналіз крові. Якщо аналіз виявляє гепатит, результат аналізу називається позитивним. У хворих на гепатит пацієнтів аналіз дає позитивний результат з ймовірністю 0,9. Якщо пацієнт не хворий на гепатит, то аналіз може дати помилковий позитивний результат з ймовірністю 0,02. Відомо, що 66% пацієнтів, які надходять із підозрою на гепатит, дійсно хворі на гепатит. Знайдіть ймовірність того, що результат аналізу у пацієнта, який надійшов до клініки з підозрою на гепатит, буде позитивним.
Рішення:
Аналіз пацієнта може бути позитивним з двох причин: А) пацієнт хворіє на гепатит, його аналіз вірний; B) пацієнт не хворіє на гепатит, його аналіз складний. Це несовместные події, ймовірність їх суми дорівнює сумі ймовірностей цих подій. Маємо:
P(B)= 0,02=0,0068
P(A+B)= P(A) + P(B) = 0,594 + 0,0068 = 0,6008
Відповідь:0,6008
24 варіант
На тарілці 16 пиріжків: 7 з рибою, 5 з варенням та 4 з вишнею. Юля навмання вибирає один пиріжок. Знайдіть ймовірність того, що він опиниться з вишнею.
Рішення:
Імовірність того, що пиріжок опиниться з вишнею дорівнює
Відповідь: 0,25.
25 варіант
У деякій місцевості спостереження показали:
1. Якщо у червневий ранок ясна погода, то ймовірність дощу в цей день 0,1.
2. Якщо червневий ранок похмурий, то ймовірність дощу протягом дня дорівнює 0,4.
3. Імовірність того, що ранок у червні буде похмурим, дорівнює 0,3.
Знайдіть ймовірність того, що у випадково взятий червневий день не буде дощу.
Рішення:
Імовірність того, що ранок похмурий 0,3. Імовірність того, що ранок ясний 1-0,3 = 0,7.
Імовірність того, що при похмурому ранку дощу не буде 1-0,4 = 0,6
Імовірність те, що з ясному ранку дощу нічого очікувати 1-0,1=0,9.
Імовірність того, що ранок і немає дощу 0,7 * 0,9 = 0,63.
Імовірність того, що ранок похмурий і немає дощу 0,3 * 0,6 = 0,18.
Імовірність того, що у випадково взятий червневий день дощу не буде 0,63+0,18=0,81.
Відповідь: 0,81
26 варіант
Батьківський комітет закупив 30 пазлів для подарунків дітям на закінчення навчального року, з них 12 із картинками відомих художників та 18 із зображеннями тварин. Подарунки розподіляються випадково. Знайдіть ймовірність того, що Вові дістанеться пазл із зображенням тварини.
Рішення:
Число всіляких результатів 30 (загальна кількість наборів пазлів), число сприятливих результатів 18 (із зображенням тварин). Імовірність того, що Вові дістанеться пазл з твариною дорівнює
Відповідь: 0,6
27 варіант
У магазині три продавці. Кожен із них зайнятий з клієнтом із ймовірністю 0,2. Знайдіть ймовірність того, що у випадковий момент часу всі три продавці зайняті одночасно (вважайте, що клієнти заходять незалежно один від одного).
Рішення:
Нам необхідно знайти можливість події, коли зайнятий перший продавець, у своїй зайнятий другий, і навіть (зайнятості першого і другого) ще зайнятий і третій. Використовується правило множення. Імовірність твору незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій. Отже, ймовірність того, що всі три продавці зайняті, дорівнює: 0,2∙0,2∙0,2 = 0,008
Відповідь: 0,008
28 варіант
Батьківський комітет закупив 30 пазлів для подарунків дітям на закінчення навчального року, з них 15 із персонажами мультфільмів та 15 із видами природи. Подарунки розподіляються випадково. Знайдіть ймовірність того, що Віте дістанеться пазл з видами природи
Рішення:
Число різноманітних результатів 30 (загальна кількість наборів пазлів), кількість сприятливих результатів 15 (з видами природи). Імовірність того, що Віте дістанеться пазл з видами природи = 0,5
Відповідь: 0,5
29 варіант
У магазині три продавці. Кожен із них зайнятий з клієнтом із ймовірністю 0,4. Знайдіть ймовірність того, що у випадковий момент часу всі три продавці зайняті одночасно (вважайте, що клієнти заходять незалежно один від одного).
Рішення:
Нам необхідно знайти можливість події, коли зайнятий перший продавець, у своїй зайнятий другий, і навіть (зайнятості першого і другого) ще зайнятий і третій. Використовується правило множення. Імовірність твору незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій. Отже, ймовірність того, що всі три продавці зайняті, дорівнює: 0,4∙0,4∙0,4 = 0,064
Відповідь: 0,064
30 варіант
Якщо гросмейстер А. грає білими, то він виграє у гросмейстера Б. із ймовірністю 0,6. Якщо А. грає чорними, то А. виграє Б. з ймовірністю 0,4. Гросмейстери А. і Б. грають дві партії, причому в другій партії змінюють колір фігур. Знайдіть ймовірність того, що А. виграє обидва рази.
Рішення:
Можливість виграти першу та другу партію не залежать одна від одної. Імовірність твору незалежних подій дорівнює твору їх ймовірностей:
0,6 · 0,4 = 0,24 Відповідь: 0,24.
31 варіант
У збірнику квитків з хімії всього 15 квитків, у 6 із них зустрічається питання на тему «Кислоти». Знайдіть ймовірність того, що у випадково вибраному на іспиті квитку школяру дістанеться питання на тему «Кислоти».
Рішення:
Рішення: Імовірність, що у випадково обраному на іспиті квитку школяру дістанеться питання по темі "Кислоти", дорівнює
Відповідь: 0,4
32 варіант
Перед початком першого туру чемпіонату з бадмінтону учасників розбивають на ігрові пари випадково за допомогою жеребу. Загалом у чемпіонаті бере участь 76 бадмінтоністів, серед яких 22 спортсмени з Росії, у тому числі Віктор Поляков. Знайдіть ймовірність того, що в першому турі Віктор Поляков гратиметься з якимось бадмін-тоністом з Росії?
Рішення:
У першому турі Віктор Поляков може зіграти з 76 − 1 = 75 бадмінтоністами, з яких 22 − 1 = 21 із Росії. Значить, ймовірність того, що в першому турі Віктор Поляков гратиме з будь-яким бадмінтоністом з Росії, дорівнює 21:75 = 0,28
Відповідь: 0,28
33 варіант
У середньому із 1500 садових насосів, що надійшли у продаж, 6 підтікають. Знайдіть ймовірність того, що один випадково вибраний для контролю насос не підтікає.
Рішення:
У середньому з 1500 садових насосів, що надійшли у продаж, 1500-6 = 1494 не підтікають. Значить, ймовірність того, що один випадково вибраний для контролю насос не підтікає дорівнює 1494:1500=0,996
Відповідь: 0,996.
34 варіант
Фабрика виготовляє сумки. У середньому 19 сумок із 160 мають приховані дефекти. Знайдіть ймовірність того, що куплена сумка виявиться без дефектів. Результат округліть до сотих.
Рішення:
Усього сумок 160, а без дефектів 160 - 19 = 141.
Отже, ймовірність того, що куплена сумка виявиться якісною, дорівнює
Відповідь: 0,88
35 варіант
Наукова конференціяпроводиться у 3 дні. Усього заплановано 40 доповідей – першого дня 8 доповідей, решта розподілено порівну між другим і третім днями. На конференції планується доповідь професора М. Порядок доповідей визначається жеребкуванням. Яка ймовірність, що доповідь професора М. виявиться запланованою на останній день конференції?
Рішення:
У перший день 8, у два наступні по 16.
Імовірність в останній день 16: 40 = 0,4
Відповідь: 0,4
36 варіант
У середньому із 2000 садових насосів, що надійшли у продаж, 18 підтікають. Знайдіть ймовірність того, що один випадково вибраний для контролю насос не підтікає.
Рішення:
У середньому з 2000 садових насосів, що надійшли у продаж, 2000-18 = 1982 не підтікають. Значить, ймовірність того, що один випадково вибраний для контролю насос не підтікає дорівнює 1982:2000=0,991
У завданні №4 профільного рівня ЄДІ з математики необхідно вирішити просте завдання з теорії ймовірностей. Завдання дуже проста, досить поділити одне число на інше, або перед цим відняти з одного числа інше. Завдання інтуїтивно зрозуміле, і вирішити його можна навіть не знаючи основних формул комбінаторики. Розберемо кілька прикладів.
Розбір типових варіантів завдань №4 ЄДІ з математики профільного рівня
Перший варіант завдання (демонстраційний варіант 2018)
У збірнику квитків з біології лише 25 квитків. Тільки у двох квитках зустрічається питання про гриби. На іспиті школяру дістається один випадково вибраний квиток із цієї збірки. Знайдіть ймовірність того, що в цьому квитку буде питання грибів.
Алгоритм рішення:
- Позначаємо подію А.
- Визначаємо кількість всіх подій.
- Знаходимо число сприятливих результатів.
- Підраховуємо можливість.
- Записуємо відповідь.
Рішення:
1. Нехай А – подія, у якому учню потрапляє квиток із питанням про грибах.
2. Всього квитків 25, отже, всіх подій n=25.
3. Сприятливих результатів m=2, т.к. лише 2 квитки містять питання про гриби.
4. Імовірність події А дорівнює Р(А) = m/n=2/25 = 0,08.
Відповідь: 0,08.
Другий варіант завдання (з Ященка, №1)
У середньому із 600 садових насосів, що надійшли у продаж, 3 підтікають. Знайдіть ймовірність того, що один випадково вибраний для контролю насос не підтікає.
Алгоритм рішення:
- Позначимо подію «куплений контрольний насос не підтікає» літерою А.
- Знайдемо кількість всіх подій.
- Визначимо можливість події А.
- Запишемо відповідь.
Рішення:
1. Нехай подія А: вибраний випадковим чином насос не протікає.
2. Число всіх подій n = 600.
3. Кількість сприятливих результатів дорівнює m=600-3=597. Тоді ймовірність того, що вибраний насос не підтікає, визначається так:
m/n = 597/600 = 0,995
Відповідь: 0,995
Третій варіант завдання (з Ященка, №7)
У фірмі таксі є 60 легкових автомобілів; 27 їх чорного кольору з жовтими написами на боках, інші - жовтого кольору з чорними написами. Знайдіть ймовірність, що на випадковий виклик приїде машина жовтого кольору з чорними написами.
Алгоритм рішення:
- Позначимо подію "на виклик прийде жовта машина" літерою А.
- Знайдемо кількість всіх можливих подій.
- Знайдемо кількість сприятливих подій.
- Обчислимо можливість події А.
- Запишемо відповідь.
Рішення:
1. Нехай подія: на виклик прийде жовте таксі.
2. Число всіх подій n = 60.
3. Кількість сприятливих результатів дорівнює m=60-27= 33. Тоді можливість, що обране для поїздки буде жовтим, визначається так:
Відповідь: 0,55.
Четвертий варіант завдання (з Ященка, №21)
На фабриці керамічного посуду 20% виготовлених тарілок мають дефект. При контролю якості продукції виявляється 70% дефектних тарілок. Інші тарілки надходять у продаж. Знайдіть ймовірність того, що випадково обрана при покупці тарілка не має дефектів. Відповідь округліть до сотих.
Алгоритм рішення:
- Позначимо число всіх тарілок, вироблених на фабриці.
- Знайдемо кількість дефектних тарілок.
- Знайдемо число всіх вилучених під час перевірки тарілок.
- Визначимо можливість події А: куплена якісна тарілка.
- Запишемо відповідь.
Рішення:
1. Нехай на фабриці виготовлено х тарілок.
2. Бракованих тарілок на фабриці виготовлено 20%. Це лише 0,2x штук. Тоді в торговельну мережу надходить 0,8-х якісних тарілок.
3. При перевірці якості вилучається 70% бракованих тарілок, отже, їх 30% надходить у продаж. Виходить, на прилавок йде 0,2 х · 0,3 = 0,06 х бракованих.
Загалом у торговельну мережу надходить 0,8 x + 0,06 x = 0,86 x тарілок.
4. Нехай подія А: куплена тарілка якісна. Тоді число сприятливих подій m = N (A) = 0,8 x. Усього число результатів n = 0,86x.
5. Імовірність події А визначаємо формулою ймовірності: P(A) = m/n = 0,8x/0,86x = 0,9302325… ≈ 0,93