Az egyenletnek ez a része a zárójelben lévő kifejezés. A zárójelek megnyitásához nézze meg a zárójel előtti jelet. Ha van pluszjel, akkor semmi sem változik a zárójelek kibontásakor a kifejezésrekordban: csak távolítsa el a zárójeleket. Ha mínusz jel van, a zárójelek kinyitásakor az összes kezdetben zárójelben lévő jelet át kell cserélni az ellenkezőre. Például -(2x-3)=-2x+3.
Két zárójel szorzása.
Ha az egyenlet két zárójel szorzatát tartalmazza, a zárójeleket a szerint bővítve standard szabály. Az első zárójel minden tagját megszorozzuk a második zárójel minden tagjával. A kapott számokat összeadjuk. Ebben az esetben két "plusz" vagy két "mínusz" szorzata "plusz" jelet ad a kifejezésnek, ha pedig a tényezők eltérő előjelűek, akkor "mínusz" előjelet kap.
Fontolgat .
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
A zárójelek kibontásával, néha a kifejezés felemelésével . A négyzetre emelés és a kockázás képleteit fejből kell ismerni és emlékezni.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
A háromnál nagyobb kifejezések emelésére szolgáló képletek elkészíthetők a Pascal-háromszög segítségével.
Források:
- zárójelet nyitó képlet
A zárójelben lévő matematikai műveletek különböző bonyolultságú változókat és kifejezéseket tartalmazhatnak. Az ilyen kifejezések szaporításához megoldást kell keresni benne Általános nézet, a zárójelek kiterjesztése és az eredmény egyszerűsítése. Ha a zárójelben változók nélküli, csak számértékekkel rendelkező műveletek szerepelnek, akkor nem szükséges a zárójeleket kinyitni, hiszen ha egy számítógép a felhasználó rendelkezésére áll, akkor nagyon jelentős számítási erőforrások állnak rendelkezésre – ezeket könnyebb használni, mint leegyszerűsíteni a kifejezés.
Utasítás
Ha általános eredményt szeretne kapni, szorozza meg egymás után az egyik zárójelben szereplő mindegyiket (vagy csökkenti az összeget) a többi zárójel tartalmával. Például írjuk fel az eredeti kifejezést így: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Ekkor az egymást követő szorzás (vagyis a zárójelek kibontása) a következő eredményt adja: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗xx∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 – 5∗x∗5∗x – 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x – x∗x∗x∗x - x∗x∗2∗x = 150∗x + 300 – 25∗x² – 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² – x∗x³ – 2∗x³.
Egyszerűsítse az eredmény után a kifejezések lerövidítésével. Például az előző lépésben kapott kifejezést a következőképpen egyszerűsíthetjük: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 – 13∗ x² – 8∗x³ – x∗x³.
Használjon számológépet, ha csak numerikus értékeket kell szoroznia, ismeretlen változók nélkül. Beépített szoftver
A zárójelek fő funkciója a műveletek sorrendjének megváltoztatása az értékek kiszámításakor. Például, a \(5 3+7\) numerikus kifejezésben először a szorzás kerül kiszámításra, majd az összeadás: \(5 3+7 =15+7=22\). De az \(5·(3+7)\ kifejezésben először a zárójelben lévő összeadás kerül kiszámításra, és csak azután a szorzás: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Példa.
Bontsa ki a zárójelet: \(-(4m+3)\).
Megoldás
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Példa.
Bontsa ki a zárójelet, és adjon hozzá hasonló kifejezéseket \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Megoldás
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Példa.
Bontsa ki a zárójeleket \(5(3-x)\).
Megoldás
: \(3\) és \(-x\) van a zárójelben, és öt a zárójelben. Ez azt jelenti, hogy a zárójel minden tagja megszorozva \ (5 \) -el – emlékeztetem Önt, hogy a szám és a zárójel közötti szorzójelet a matematikában nem azért írják, hogy csökkentsék a rekordok méretét.
Példa.
Bontsa ki a zárójeleket \(-2(-3x+5)\).
Megoldás
: Az előző példához hasonlóan a zárójelben szereplő \(-3x\) és \(5\) \(-2\) szorzata megtörténik.
Példa.
Egyszerűsítse a kifejezést: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Megoldás
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Már csak az utolsó helyzetet kell figyelembe venni.
Ha a zárójelet zárójellel szorozzuk, az első zárójel minden tagját megszorozzuk a második minden tagjával:
\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)
Példa.
Bontsa ki a zárójeleket \((2-x)(3x-1)\).
Megoldás
: Van egy zárójeles termékünk, amely a fenti képlet segítségével azonnal kinyitható. De hogy ne keveredjünk össze, tegyünk mindent lépésről lépésre.
1. lépés: Távolítsa el az első tartót – minden egyes tagját megszorozzuk a második konzollal:
2. lépés: Bontsa ki a zárójel szorzatait a fent leírt tényezővel:
- az elsőt először...
Aztán a második.
3. lépés. Most megszorozzuk, és hasonló kifejezéseket adunk:
Nem szükséges az összes átalakítást részletesen festeni, azonnal szaporodhat. De ha csak a zárójelek megnyitását tanulja - írjon részletesen, kisebb lesz a hiba esélye.
Megjegyzés a teljes szakaszhoz. Valójában nem kell emlékeznie mind a négy szabályra, csak egyet kell megjegyeznie, ezt: \(c(a-b)=ca-cb\) . Miért? Mert ha c helyett egyet helyettesítünk, akkor a \((a-b)=a-b\) szabályt kapjuk. Ha pedig mínusz egyet helyettesítünk, akkor a \(-(a-b)=-a+b\) szabályt kapjuk. Nos, ha a c helyett egy másik zárójelet helyettesít, megkaphatja az utolsó szabályt.
zárójel a zárójelben
A gyakorlatban néha problémák adódnak a más zárójelekbe ágyazott zárójelekkel. Íme egy példa egy ilyen feladatra: a \(7x+2(5-(3x+y))\ kifejezés egyszerűsítése.
Ahhoz, hogy sikeres legyen ezekben a feladatokban, a következőkre van szüksége:
- alaposan megértse a zárójelek egymásba ágyazását - melyik melyikben van;
- Nyissa ki a zárójeleket egymás után, kezdve például a legbelsővel.
Ez fontos az egyik tartó kinyitásakor ne érintse meg a kifejezés többi részét, csak úgy átírva, ahogy van.
Vegyük példának a fenti feladatot.
Példa.
Nyissa ki a zárójeleket, és adja meg a hasonló kifejezéseket \(7x+2(5-(3x+y))\).
Megoldás:
Példa.
Bontsa ki a zárójeleket, és adjon hozzá hasonló kifejezéseket \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Megoldás
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Ez a zárójelek háromszoros egymásba ágyazása. Kezdjük a legbelsővel (zölddel kiemelve). A zárójel előtt van egy plusz, ezért egyszerűen eltávolítják. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Most meg kell nyitnia a második, köztes zárójelet. De előtte leegyszerűsítjük a kifejezést úgy, hogy ebbe a második zárójelbe helyezzük a hasonló kifejezéseket. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Most kinyitjuk a második zárójelet (kék színnel kiemelve). A zárójel előtt van egy szorzó - így minden zárójelben lévő tag megszorozódik vele. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
És nyissa ki az utolsó zárójelet. A zárójel előtt mínusz - tehát minden előjel megfordul. |
||
A zárójel megnyitása alapvető készség a matematikában. E készség nélkül lehetetlen három feletti osztályzatot elérni a 8. és a 9. évfolyamon. Ezért javaslom a téma alapos megértését.
Az algebrában figyelembe vett különféle kifejezések közül, fontos hely monomok összegei. Íme példák az ilyen kifejezésekre:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
A monomok összegét polinomnak nevezzük. A polinom tagjait a polinom tagjainak nevezzük. A mononomokat polinomoknak is nevezik, ha a monomit egy tagból álló polinomnak tekintjük.
Például polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
leegyszerűsíthető.
Az összes kifejezést a standard forma monomiumaként ábrázoljuk:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Hasonló kifejezéseket adunk meg a kapott polinomban:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Az eredmény egy polinom, amelynek minden tagja standard alakú monom, és nincs köztük hasonló. Az ilyen polinomokat ún standard alakú polinomok.
Mögött polinom foka a szabványos forma tagjainak hatásköre közül a legnagyobb. Tehát a \(12a^2b - 7b \) binomiálisnak a harmadik foka, a \(2b^2 -7b + 6 \) trinomnak a második foka.
Általában az egy változót tartalmazó standard formájú polinomok tagjai a kitevői szerint csökkenő sorrendbe vannak rendezve. Például:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Több polinom összege átalakítható (leegyszerűsíthető) standard alakú polinommá.
Néha a polinom tagjait csoportokra kell osztani, és minden csoportot zárójelbe kell tenni. Mivel a zárójel a zárójel ellentéte, könnyen megfogalmazható zárójelek megnyitásának szabályai:
Ha a + jel a zárójelek elé kerül, akkor a zárójelbe tett kifejezéseket ugyanazokkal a jelekkel írjuk.
Ha a zárójelek elé "-" jelet teszünk, akkor a zárójelben lévő kifejezéseket ellentétes előjelekkel írjuk.
Egy monom és egy polinom szorzatának átalakítása (egyszerűsítése).
A szorzás eloszlási tulajdonságát felhasználva egy monom és egy polinom szorzatát polinommá alakíthatjuk (leegyszerűsíthetjük). Például:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Egy monom és egy polinom szorzata azonos e monom és a polinom egyes tagjainak szorzatának összegével.
Ezt az eredményt általában szabályként fogalmazzák meg.
Ahhoz, hogy egy monomit megszorozzon egy polinommal, ezt a monomot meg kell szorozni a polinom minden tagjával.
Többször alkalmaztuk ezt a szabályt az összeggel való szorzásra.
A polinomok szorzata. Két polinom szorzatának átalakítása (egyszerűsítése).
Általánosságban elmondható, hogy két polinom szorzata megegyezik az egyik polinom minden tagjának és a másik tagjának szorzatának összegével.
Általában használja a következő szabályt.
Egy polinom polinommal való szorzásához meg kell szorozni az egyik polinom minden tagját a másik tagjával, és össze kell adni a kapott szorzatokat.
Rövidített szorzóképletek. Összeg, különbség és különbség négyzetek
Az algebrai transzformációk egyes kifejezéseivel gyakrabban kell foglalkozni, mint másokkal. Talán a leggyakoribb kifejezések a \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) és \(a^2 - b^2 \), vagyis az összeg négyzete, a a különbség négyzete és a különbség négyzete. Észrevette, hogy a jelzett kifejezések nevei hiányosnak tűnnek, így például \((a + b)^2 \) természetesen nem csak az összeg négyzete, hanem az összeg négyzete. a és b. Az a és b összegének négyzete azonban nem olyan gyakori, általában az a és b betűk helyett különféle, esetenként meglehetősen összetett kifejezéseket tartalmaz.
A \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) kifejezések könnyen átalakíthatók (leegyszerűsíthetők) standard formájú polinomokká, sőt, polinomok szorzásakor már találkoztál ilyen feladattal :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
A kapott azonosságokat hasznos megjegyezni és köztes számítások nélkül alkalmazni. Ebben segítenek a rövid verbális megfogalmazások.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - az összeg négyzete egyenlő a négyzetek és a kettős szorzat összegével.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - a különbség négyzete a négyzetek összege a szorzat megkétszerezése nélkül.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - a négyzetek különbsége egyenlő a különbség és az összeg szorzatával.
Ez a három identitás lehetővé teszi az átalakítások során, hogy bal oldali részeiket jobbra cseréljék, és fordítva - a jobb oldali részeket balra. Ebben az esetben a legnehezebb látni a megfelelő kifejezéseket, és megérteni, hogy az a és b változók mit helyettesítenek bennük. Nézzünk néhány példát a rövidített szorzóképletek használatára.
Ebben a leckében megtudhatja, hogyan alakíthat át egy zárójelet tartalmazó kifejezést olyan kifejezéssé, amely nem tartalmaz zárójeleket. Megtanulja, hogyan kell megnyitni a plusz és mínusz jel előtti zárójeleket. Emlékezni fogunk arra, hogyan nyithatunk zárójeleket a szorzás eloszlási törvényével. A vizsgált példák lehetővé teszik az új és korábban tanulmányozott anyagok egyetlen egésszé történő összekapcsolását.
Téma: Egyenletmegoldás
Tanulság: Zárójelek bővítése
A „+” jel előtti zárójelek megnyitása. Az összeadás asszociatív törvényének használata.
Ha két szám összegét kell hozzáadnia egy számhoz, akkor ehhez a számhoz hozzáadhatja az első tagot, majd a másodikat.
Az egyenlőségjeltől balra egy zárójeles kifejezés, jobbra pedig egy zárójel nélküli kifejezés. Ez azt jelenti, hogy az egyenlőség bal oldaláról a jobb oldalra való átmenet során a zárójelek kinyíltak.
Vegye figyelembe a példákat.
1. példa 
A zárójeleket kibővítve megváltoztattuk a műveleti sorrendet. A számolás kényelmesebbé vált.
2. példa 
3. példa
Vegye figyelembe, hogy mindhárom példában egyszerűen eltávolítottuk a zárójeleket. Fogalmazzuk meg a szabályt:
Megjegyzés.
Ha a zárójelben lévő első tag előjel nélküli, akkor azt pluszjellel kell írni.
Kövesse lépésről lépésre a példát. Először adjunk hozzá 445-öt 889-hez. Ezt a mentális akciót el lehet végezni, de nem túl könnyű. Nyissuk ki a zárójeleket, és nézzük meg, hogy a megváltozott műveleti sorrend nagyban leegyszerűsíti a számításokat.
Ha követi a feltüntetett műveleti sorrendet, akkor először 512-ből ki kell vonni a 345-öt, majd az eredményhez hozzá kell adni 1345-öt. A zárójelek kibontásával megváltoztatjuk a műveletek sorrendjét, és jelentősen leegyszerűsítjük a számításokat.
Szemléltető példa és szabály.
Vegyünk egy példát: . A kifejezés értékét úgy találhatja meg, hogy összeadja 2-t és 5-öt, majd a kapott számot ellentétes előjellel veszi. -7-et kapunk.
Másrészt ugyanazt az eredményt kaphatjuk ellentétes számok összeadásával.
Fogalmazzuk meg a szabályt:
1. példa 
2. példa
A szabály nem változik, ha nem két, hanem három vagy több tag van zárójelben.
3. példa 
Megjegyzés. A jelek csak a kifejezések előtt vannak fordítva.
A zárójelek megnyitásához ez az eset emlékezzen az elosztó tulajdonságra.
Először szorozza meg az első zárójelet 2-vel, a másodikat pedig 3-mal.
Az első zárójel előtt egy „+” jel szerepel, ami azt jelenti, hogy a jeleket változatlanul kell hagyni. A másodikat egy „-” jel előzi meg, ezért minden jelet meg kell fordítani
Bibliográfia
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. osztály. - Gimnázium, 2006.
- Depman I. Ya., Vilenkin N. Ya. Egy matematika tankönyv lapjai mögött. - Felvilágosodás, 1989.
- Rurukin A.N., Csajkovszkij I.V. Feladatok a matematika 5-6. évfolyamhoz - ZSH MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Szocsilov S.V., Csajkovszkij K.G. Matematika 5-6. Kézikönyv a MEPhI levelező iskola 6. osztályos tanulói számára. - ZSH MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Tankönyv-beszélgetőtárs a gimnázium 5-6 évfolyamához. A matematikatanár könyvtára. - Felvilágosodás, 1989.
- Online matematikai tesztek ().
- Az 1.2. pontban meghatározottak letölthetők. könyvek ().
Házi feladat
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M .: Mnemosyne, 2012. (lásd az 1.2-es linket)
- Házi feladat: 1254. sz., 1255. sz., 1256. sz. (b, d)
- Egyéb megbízások: 1258. c), 1248. sz
Ebben a cikkben részletesen megvizsgáljuk a matematika tanfolyam olyan fontos témájának alapvető szabályait, mint a nyitó zárójelek. Ismernie kell a zárójelek megnyitásának szabályait, hogy helyesen megoldhassa azokat az egyenleteket, amelyekben ezeket használják.
Hogyan kell megfelelően kinyitni a zárójeleket hozzáadáskor
Bontsa ki a „+” jel előtti zárójeleket
Ez a legegyszerűbb eset, mert ha a zárójelek előtt van egy kiegészítés, akkor a zárójelek kinyitásakor a bennük lévő jelek nem változnak. Példa:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
A „-” jel előtti zárójelek megnyitása
Ebben az esetben át kell írnia az összes kifejezést zárójelek nélkül, ugyanakkor módosítania kell a bennük lévő összes jelet az ellenkezőjére. A jelek csak azon zárójelben szereplő kifejezéseknél változnak, amelyeket a „-” jel előzött meg. Példa:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Hogyan lehet a zárójeleket kinyitni szorzáskor
A zárójelek előtt egy szorzó szerepel
Ebben az esetben minden tagot meg kell szorozni egy tényezővel, és meg kell nyitnia a zárójeleket az előjelek megváltoztatása nélkül. Ha a szorzó "-" jelű, akkor szorzáskor a tagok előjelei felcserélődnek. Példa:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Hogyan lehet megnyitni két zárójelet, amelyek között szorzójel van
Ebben az esetben minden egyes tagot meg kell szoroznia az első zárójelből a második zárójelben lévő minden taggal, majd össze kell adnia az eredményeket. Példa:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Hogyan lehet zárójeleket nyitni egy négyzetben
Ha két tag összege vagy különbsége négyzetes, akkor a zárójeleket a következő képlet szerint kell bővíteni:
(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.
A zárójelben lévő mínusz esetén a képlet nem változik. Példa:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Hogyan lehet a zárójeleket más mértékben nyitni
Ha a tagok összegét vagy különbségét például a 3. vagy 4. hatványra emeljük, akkor csak a zárójel fokát kell „négyzetekre” bontani. Ugyanezen tényezők hatványait összeadjuk, és osztásakor az osztó mértékét kivonjuk az osztó mértékéből. Példa:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Hogyan lehet kinyitni 3 zárójelet
Vannak olyan egyenletek, amelyekben 3 zárójelet egyszerre megszoroznak. Ebben az esetben először meg kell szoroznia az első két zárójel tagjait egymás között, majd a szorzás összegét meg kell szoroznia a harmadik zárójel tagjaival. Példa:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Ezek a zárójel-nyitó szabályok egyformán vonatkoznak a lineáris és a trigonometrikus egyenletekre is.