A patra sarcină este de a calcula probabilitatea unui eveniment. Calculele sunt destul de simple, este suficient să cunoașteți definiția probabilității și cele mai simple modalități de a o calcula. De asemenea, trebuie să puteți lucra cu fracții obișnuite, să convertiți fracții obișnuite în zecimale, să rotunjiți zecimale, să compuneți și să rezolvați ecuații liniare.
Tipul postului: răspuns scurt
Nivel de dificultate: baza
Numar de puncte: 1
Timp estimat pentru finalizare: 2 minute
Probabilitatea este întotdeauna exprimată ca o fracție, al cărei numitor este numărul total rezultate, iar la numărător - numărul de rezultate care îndeplinesc condiția. Cel mai adesea, problema se rezumă la calcularea numărului de rezultate (exemplele 1-2). Uneori la adunarea sau înmulțirea probabilităților evenimentelor individuale (exemplele 3-6), și foarte rar la mai multe acțiuni (exemplele 7-8).
Cunoașteți definițiile și regulile. Dar atunci când rezolvați probleme de probabilitate, este mai important să aveți o bună abilitate practică. Acest lucru vă va permite să nu vă adânciți în legile matematice complexe într-o sarcină simplă în timpul examenului și să economisiți timp și nervi. De fapt, nu există sarcini dificile în a patra sarcină.
Exemplul #1.
Pentru premiile pentru participanții la concursul tehnic, în magazin au fost achiziționate 30 de planșe de colorat, dintre care 10 cu tancuri, 11 cu avioane, iar restul cu nave spațiale. Premiile sunt stabilite prin tragere la sorți. Dima vrea să obțină o carte de colorat cu nave spațiale. Care este probabilitatea ca dorința lui să se împlinească?
Soluţie:
Mai întâi, să determinăm numărul de pagini de colorat cu nave spațiale: 30-10-11=9
Acum putem calcula probabilitatea: 9/30=0,3
Răspuns: 0,3.
Exemplul #2
Pachetul contine caiete cu coperte colorate: 12 cu rosu, 7 cu albastru, 9 cu negru, 8 cu galben si 14 cu alb. Scoateți 1 caiet din pachet. Găsiți probabilitatea ca coperta acestui caiet să fie galbenă.
Soluţie:
Total caiete: 12+7+9+8+14=50
Probabilitatea de a obține un caiet cu copertă galbenă: 8/50=0,16
Răspuns: 0,16.
Exemplul #3
Soluţie: Suma probabilităților de a cumpăra un stilou util sau defect este egală cu unu. Pentru a determina probabilitatea de a cumpăra un stilou bun, scădeți probabilitatea de a cumpăra un stilou defect din unul: 1-0,09=0,81
Răspuns: 0,81.
Exemplul #4
Se aruncă două zaruri în același timp. Aflați probabilitatea de a arunca 9 puncte.
Soluţie:
Să ridicăm perechi de numere de la 1 la 6, care se adună până la 9
3+6
4+5
5+4
6+3
Este clar că 4 din 6 numere posibile pot cădea pe primul zar. Probabilitatea este: 4/6=2/3
La aruncarea celui de-al doilea zar, ar trebui să cadă 1 număr din 6, probabilitatea acestui eveniment este 1/6.
Atunci probabilitatea ca suma punctelor să fie 9 este egală cu produsul probabilităților: 2/3*1/6=2/18=1/9=0,11
Răspuns: 0,11.
Această problemă poate fi rezolvată folosind un tabel în care rândul de sus arată numărul de pe primul zar, coloana din stânga arată numărul de pe al doilea, iar celulele arată suma lor. (Un astfel de tabel poate fi schițat într-un minut pe o schiță)
Tabelul arată că din 36 de rezultate posibile, 9 puncte cad în 4 cazuri. Acestea. probabilitatea este 4/36=1/9=0,11
Răspuns: 0,11.
Exemplul #5
Dima s-a pregătit bine pentru olimpiada de fizică. Cu o probabilitate de 0,98 va deveni premiant și cu o probabilitate de 0,84 - câștigătorul olimpiadei. Care este probabilitatea ca Dima să devină laureat, dar să nu devină câștigătorul olimpiadei de fizică?
Soluţie:
Câștigătorul este și câștigătorul olimpiadei. Prin urmare, probabilitatea de a deveni câștigător (0,98) poate fi reprezentată ca suma dintre probabilitatea de a deveni câștigător (0,84) și probabilitatea de a deveni doar un câștigător (X).
X+0,84=0,98
X=0,98-0,84
X=0,14
Răspuns: 0,14.
Exemplul #6
În echipa de serviciu sunt 7 băieți și 14 fete. Taxa se repartizează prin tragere la sorți. Este nevoie de doi paznici la poarta centrală a taberei. Găsiți probabilitatea ca doi băieți să fie de serviciu la poartă.
Soluţie:
Prima persoană de serviciu va fi un băiat cu o probabilitate: 7/21=1/3
Al doilea însoțitor este selectat dintre cei 20 de copii rămași, dintre care doar 6 sunt băieți: 6/20=3/10
Probabilitatea ca doi băieți să fie de serviciu la poartă: 1/3*3/10=0,1
Răspuns: 0.1.
Exemplul #7
Parcul are o rețea de poteci care duc la platforme de vizionare. Cascada poate fi observată din siturile F și G. Turistul pleacă din punctul A. La fiecare bifurcație, alege o direcție arbitrară (cu excepția direcției înapoi). Care este probabilitatea ca un turist să poată vedea cascada?
Soluţie:
Deoarece cascada este vizibilă din două locuri, pentru a rezolva problema, trebuie să adăugați probabilitatea ca un turist să ajungă la situl F și probabilitatea ca acesta să ajungă la situl G.
Pentru tampon F: 1/2*1/3=1/6
Pentru site-ul G: 1/2*1/2=1/4
Pentru două site-uri: 1/6+1/4=4/24+6/24=10/24=0,42
Răspuns: 0,42.
Exemplul #8
Trebuie să înveți 10 întrebări pentru test. Sasha a învățat 2 și a citit doar restul. Dacă Sasha dă peste un bilet învățat, atunci va trece testul cu o probabilitate de 0,9. Dacă Sasha dă peste o întrebare pe care tocmai a citit-o, atunci probabilitatea de a trece testul este de 0,3. Întrebările din test sunt distribuite aleatoriu. Găsiți probabilitatea ca Sasha să treacă testul.
Soluţie:
Din 10 bilete, 2 au fost învățate, 8 nu au fost învățate. Probabilitatea de a obține o întrebare învățată este de 2/10, probabilitatea de a obține o întrebare neînvățată este de 8/10.
Probabilitatea de a trece un offset pe un bilet învățat: 2/10*0,9=0,18
Probabilitatea returnării unui bilet neînvățat: 8/10*0,3=0,24
Probabilitate finală: 0,18+0,24=0,42
Răspuns: 0,42.
Cel mai dificil lucru este de a determina când probabilitățile a două evenimente trebuie înmulțite și când se adună. Sarcinile apar atunci când trebuie să le faceți pe amândouă. Dacă ai găsit probabilitățile evenimentelor individuale, dar nu poți decide ce să faci cu ele în continuare, ai încredere în intuiția ta.
Dacă înțelegeți că probabilitatea a două evenimente este mai mare decât probabilitatea fiecăruia separat - adunați. (De exemplu, probabilitatea de a răsturna cozile pe una dintre cele două monede este în mod clar mai mare decât probabilitatea de a răsturna cozile pe o monedă.)
Dacă probabilitatea a două evenimente este mai mică decât fiecare separat, înmulțiți. (De exemplu, probabilitatea de a răsturna capete pe ambele monede este mai mică decât probabilitatea de a răsturna cozile pe una dintre ele.)
Este clar că intuiția este o abordare neștiințifică. Dar la examen într-o sarcină cu un răspuns scurt, este mai bine să dai un răspuns decât să nu dai niciunul.
Totuși, nu uitați că USE de specialitate în matematică nu este doar absolvirea, ci și proba de admitere. Majoritatea problemelor școlare de probabilitate pot fi rezolvate prin raționament logic. Acest lucru creează iluzia de ușurință în teoria probabilității și statistica matematică. Dar, de fapt, aceasta este una dintre cele mai avansate și mai căutate domenii ale matematicii, iar la universitate îi vei simți din plin complexitatea.
Sarcini №4
1 opțiune
Sunt 60 de bilete la examen, Andrey nu a învățat 3 dintre ele. Găsiți probabilitatea ca el să obțină biletul învățat.
Soluţie:
Să determinăm numărul de rezultate favorabile: 60-3=57
Răspuns: 0,95
Opțiunea 2
Cowboy John lovește o muscă pe perete cu o probabilitate de 0,7 dacă trage dintr-un revolver. Dacă John trage cu un revolver neîmpușcat, el lovește o muscă cu o probabilitate de 0,3. Sunt 10 revolvere pe masă, doar 2 dintre ele sunt împușcate. Cowboy John vede o muscă pe perete, apucă la întâmplare primul revolver pe care îl întâlnește și trage în muscă. Găsiți probabilitatea ca John să rateze.
Soluţie:
John va rata dacă apucă un revolver tras și ratează cu el sau dacă apucă un revolver netras și ratează cu el. Conform formulei probabilității condiționate, probabilitățile acestor evenimente sunt respectiv 0,2 (1 − 0,7) = 0,06 și
0,8 (1 - 0,3) = 0,56. Aceste evenimente sunt incompatibile, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente: 0,06 + 0,56 = 0,62.
Răspuns: 0,62.
Hai sa dam o alta solutie.
John lovește o muscă dacă apucă un revolver tras și îl lovește sau dacă apucă un revolver netras și îl lovește. Conform formulei probabilității condiționate, probabilitățile acestor evenimente sunt 0,2 0,7 = 0,14 și, respectiv, 0,8 0,3 = 0,24.
Aceste evenimente sunt incompatibile, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente: 0,14 + 0,24 = 0,38.
Evenimentul pe care John îl ratează este opusul. Probabilitatea sa este 1 − 0,38 = 0,62. Răspuns: 0,62.
3 optiune
Sunt 45 de bilete la examen, Fedya nu a învățat 9 dintre ele. Găsiți probabilitatea ca el să obțină biletul învățat.
Soluţie:
Să determinăm numărul de rezultate favorabile: 45-9=36
Determinați probabilitatea de a lovi un bilet învățat:
0,8 sau probabilitatea de a lovi un bilet învățat este de 80%
Răspuns: 0,8
4 optiune
Cowboy John lovește o muscă pe perete cu o probabilitate de 0,8 dacă trage cu un revolver. Dacă John trage cu un revolver neîmpușcat, el lovește o muscă cu o probabilitate de 0,3. Pe masă sunt 10 revolvere, dintre care doar 3 sunt împușcate. Cowboy John vede o muscă pe perete, apucă la întâmplare primul revolver pe care îl întâlnește și trage în muscă. Găsiți probabilitatea ca John să rateze.
Soluţie:
John va rata dacă apucă un revolver tras și ratează cu el sau dacă apucă un revolver netras și ratează cu el. Conform formulei probabilității condiționate, probabilitățile acestor evenimente sunt, respectiv, 0,3 (1 − 0,8) = 0,06 și
0,7 (1 − 0,3) = 0,49. Aceste evenimente sunt incompatibile, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente: 0,06 + 0,49 = 0,55. Răspuns: 0,55.
5 optiune
Sunt 40 de bilete la examen, Igor nu a învățat 2 dintre ele. Găsiți probabilitatea ca el să obțină biletul învățat.
Soluţie:
Să determinăm numărul de rezultate favorabile: 40-2=38
Determinați probabilitatea de a lovi un bilet învățat:
0,95 sau probabilitatea de a lovi un bilet învățat este de 95%
Răspuns: 0,95
6 optiune
Înainte de începerea primei runde a campionatului de tenis, participanții sunt împărțiți aleatoriu în perechi de jocuri prin tragere la sorți. În total, 26 de jucători de tenis participă la campionat, inclusiv 9 participanți din Rusia, inclusiv Timofey Trubnikov. Găsiți probabilitatea ca în primul tur Timofei Trubnikov să joace vreun tenismen din Rusia?
Soluţie:
În primul tur, Timofey Trubnikov poate juca cu 26 − 1 = 25 de tenismeni, dintre care 9 − 1 = 8 din Rusia. Aceasta înseamnă că probabilitatea ca în primul tur Timofey Trubnikov să joace cu orice tenismen din Rusia este = 0,32
Răspuns: 0,32.
7 optiune
Înainte de începerea primei runde a campionatului de badminton, participanții sunt împărțiți aleatoriu în perechi de jocuri prin tragere la sorți. În total, 76 de jucători de badminton participă la campionat, inclusiv 16 participanți din Rusia, inclusiv Igor Chaev. Care este probabilitatea ca în primul tur Igor Chaev să joace cu orice jucător de badminton din Rusia?
Soluţie:
În primul tur, Igor Chaev poate juca cu 76−1=75 de badminton, dintre care 16−1=15 din Rusia. Prin urmare, probabilitatea ca în primul tur Igor Chaev să joace cu orice jucător de badminton din Rusia este egală cu
Răspuns: 0,2.
8 optiune
Înainte de începerea primei runde a campionatului de dame, participanții sunt împărțiți aleatoriu în perechi de joc prin tragere la sorți. În total, 26 de jucători de dame participă la campionat, inclusiv 15 participanți din Rusia, inclusiv Ghenadi Gorkov. Găsiți probabilitatea ca în primul tur Ghenadi Gorkov să joace cu orice jucător de badminton din Rusia.
Soluţie:
În primul tur, Ghenadi Gorkov poate juca cu 26−1=25 de jucători la draft, dintre care 15−1=14 sunt din Rusia. Aceasta înseamnă că probabilitatea ca în primul tur Ghenadi Gorkov să joace cu un jucător la draft din Rusia este egală cu
Răspuns: 0,56.
9 opțiune
În medie, din 1.000 de pompe de grădină vândute, 7 au scurgeri. Găsiți probabilitatea ca o pompă selectată aleatoriu pentru control să nu aibă scurgeri.
Soluţie:
În medie, din 1000 de pompe de grădină vândute, 1000−7 = 993 nu au scurgeri. Aceasta înseamnă că probabilitatea ca o pompă selectată aleatoriu pentru control să nu aibă scurgeri este egală cu
Răspuns: 0,993.
10 opțiune
În medie, din 700 de pompe de grădină vândute, 7 au scurgeri. Găsiți probabilitatea ca o pompă selectată aleatoriu pentru control să nu aibă scurgeri.
Soluţie:
În medie, din 700 de pompe de grădină de pe piață, 700−7 = 693 nu au scurgeri. Aceasta înseamnă că probabilitatea ca o pompă selectată aleatoriu pentru control să nu aibă scurgeri este egală cu
Răspuns: 0,99.
11 opțiune
La fabricarea rulmenților cu un diametru de 69 mm, probabilitatea ca diametrul să difere de cel specificat cu cel mult 0,01 mm este de 0,975. Găsiți probabilitatea ca un rulment aleatoriu să aibă un diametru mai mic de 68,99 mm sau mai mare de 69,01 mm.
Soluţie:
În funcție de condiție, diametrul rulmentului se va situa în intervalul de la 68,99 la 69,01 mm cu o probabilitate de 0,975. Prin urmare, probabilitatea dorită a evenimentului opus este egală cu
1 − 0,975 = 0,025.
Răspuns: 0,025.
12 opțiune
Compania de taximetrie are în prezent disponibile 16 mașini: 4 negre, 3 albastre și 9 albe. La apel a plecat una dintre mașini, care s-a întâmplat să fie cel mai aproape de client. Găsiți probabilitatea ca un taxi negru să vină la ea.
Soluţie:
Probabilitatea ca un taxi negru să ajungă la client este
Răspuns: 0,25.
13 opțiune
În timpul focului de artilerie sistem automatșutează la țintă. Dacă ținta nu este distrusă, sistemul declanșează din nou. Loturile se repetă până când ținta este distrusă. Probabilitatea de a distruge o țintă cu prima lovitură este de 0,3, iar la fiecare lovitură ulterioară - 0,9. Câte lovituri vor fi necesare pentru a se asigura că probabilitatea de a distruge ținta este de cel puțin 0,96?
Soluţie:
Să găsim probabilitatea evenimentului opus, care este ca ținta să nu fie distrusă în n lovituri. Probabilitatea de a rata la prima lovitură este de 0,7, iar la fiecare lovitură ulterioară este de 0,1. Aceste evenimente sunt independente, probabilitatea produsului lor este egală cu produsul probabilității acestor evenimente. Prin urmare, probabilitatea de a rata cu n lovituri este:
Prin verificarea succesivă a valorilor egale cu 1, 2, 3 etc., constatăm că soluția dorită este n=3. Prin urmare, este necesar să faceți 3 lovituri.
Raspuns: 3
14 opțiune
Compania de taximetrie are în prezent 35 de mașini gratuite: 11 roșii, 17 violet și 7 verzi.
leneş. La un apel, una dintre mașini a plecat, care s-a întâmplat să fie cel mai aproape de client. Găsiți probabilitatea ca un taxi verde să sosească.
Soluţie:
Probabilitatea ca un taxi verde să ajungă la client este
Răspuns: 0,2.
15 opțiune
La fabrica de veselă ceramică 20% din farfuriile produse sunt defecte. La controlul calității produselor sunt detectate 70% din plăcile defecte. Restul farfurii ies la vanzare. Găsiți probabilitatea ca o placă selectată aleatoriu la momentul achiziției să nu aibă defecte. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată sutime.
Soluţie:
Lasă fabrica să producă chimvale. Toate plăcile de calitate și 20% din plăcile defecte neidentificate vor intra în vânzare: 0,8 + 0,3 plăci. Deoarece există 0,8 de calitate, probabilitatea de a cumpăra o farfurie de calitate este
Răspuns: 0,93
16 opțiune
Maxim și tatăl lui au decis să facă o plimbare cu roata Ferris. În total, pe volan sunt 30 de cabine, dintre care 11 albastre, 7 verzi, iar restul portocalii. Cabinele se apropie pe rând de platforma de îmbarcare. Găsiți probabilitatea ca Maxim să călătorească în cabina portocalie.
Soluţie:
Numărul de rezultate posibile este de 30 (toate cabinele). Numărul de rezultate favorabile 30–11–7=12 (cabine portocalii). Probabilitatea ca Maxim să călătorească în cabina portocalie este
Răspuns: 0,4
17 opțiune
Camera este iluminată de un felinar cu trei lămpi. Probabilitatea ca o lampă să se ardă într-un an este de 0,3. Găsiți probabilitatea ca cel puțin o lampă să nu se ardă într-un an.
Soluţie:
Este necesar să se găsească probabilitatea unui eveniment când ambele lămpi nu se ard, sau numai prima lampă nu se stinge sau numai a doua lampă nu se stinge.
În funcție de condiție, probabilitatea de ardere a lămpii este de 0,3. Aceasta înseamnă că probabilitatea ca lampa să funcționeze în timpul anului este 1 - 0,3 = 0,7.
Probabilitatea evenimentului:
„ambele nu se vor arde” este egal cu 0,7∙0,7 = 0,49
„primul nu se va arde, dar al doilea se va arde” este egal cu 0,7∙0,3 = 0,21
„primul se stinge, dar al doilea nu se stinge” este egal cu 0,3∙0,7 = 0,21
Astfel, probabilitatea ca în cursul anului cel puțin unul să nu se epuizeze este egală cu
0,49 + 0,21+ 0,21 = 0,91
A doua cale:
Probabilitatea ca ambele lămpi să se ardă este 0,3∙0,3 = 0,09.
Aceste evenimente sunt independente, dar atunci când au loc simultan, probabilitățile lor se înmulțesc.
Probabilitatea ca cel puțin o lampă să nu se ardă este 1 - 0,09 = 0,91. Acest eveniment este opusul evenimentului când ambele lămpi se ard.
Răspuns: 0,91
18 opțiune
Kirill și tatăl lui au decis să facă o plimbare cu roata Ferris. În total, pe volan sunt 30 de cabine, dintre care 8 mov, 4 verzi, iar restul portocaliu. Cabinele se apropie pe rând de platforma de îmbarcare. Găsiți probabilitatea ca Kirill să călărească în cabina portocalie.
Soluţie:
Numărul de rezultate posibile este de 30 (toate cabinele). Numărul de rezultate favorabile 30–8–4=18 (cabine portocalii). Probabilitatea ca Kirill să călărească în cabina portocalie este
Răspuns: 0,6
19 opțiune
Igor și tatăl lui au decis să facă o plimbare cu roata Ferris. În total, pe volan sunt 40 de cabine, dintre care 21 sunt gri, 13 sunt verzi, iar restul sunt roșii. Cabinele se apropie pe rând de platforma de îmbarcare. Găsiți probabilitatea ca Igor să călărească în cabina portocalie.
Soluţie:
Numărul de rezultate posibile este de 40 (toate cabinele). Numărul de rezultate favorabile 40–21–13= 6 (cabine roșii). Probabilitatea ca Igor să călărească în cabina portocalie este
Răspuns: 0,15
20 opțiune
Două fabrici produc aceeași sticlă pentru farurile auto. Prima fabrică produce 30% din acești ochelari, a doua - 70%. Prima fabrică produce 3% ochelari defecte, iar a doua - 4%. Găsiți probabilitatea ca un pahar cumpărat accidental dintr-un magazin să fie defect.
Soluţie:
Probabilitatea ca sticla să fi fost cumpărată la prima fabrică și să fie defectă:
0,3 0,03 = 0,009.
Probabilitatea ca sticla să fi fost cumpărată la a doua fabrică și să fie defectă:
0,7 0,04 = 0,028.
Prin urmare, conform formulei probabilității totale, probabilitatea ca un pahar cumpărat accidental dintr-un magazin să fie defect este de 0,009 + 0,028 = 0,037.
Răspuns: 0,037.
21 de opțiuni
Potrivit recenziilor clienților, Mihail Mikhailovici a evaluat fiabilitatea a două magazine online. Probabilitatea ca produsul dorit să fie livrat din magazinul A este de 0,81. Probabilitatea ca acest produs să fie livrat din magazinul B este de 0,93. Mihail Mihailovici a comandat simultan mărfuri din ambele magazine. Presupunând că magazinele online funcționează independent unele de altele, găsiți probabilitatea ca niciunul dintre magazine să nu livreze mărfurile.
Soluţie:
Probabilitatea ca primul magazin să nu livreze mărfurile este 1 − 0,93 = 0,07. Probabilitatea ca al doilea magazin să nu livreze mărfurile este 1 − 0,81 = 0,19. Deoarece aceste evenimente sunt independente, probabilitatea produsului lor (ambele magazine nu vor livra mărfurile) este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente: 0,07 0,19 = 0,0133
Răspuns: 0,0133
22 opțiune
Pe farfurie sunt 16 plăcinte: 8 cu carne, 3 cu mere și 5 cu ceapă. Nastya alege la întâmplare o plăcintă. Găsiți probabilitatea ca acesta să fie cu carne.
Soluţie:
Probabilitatea ca plăcinta să fie cu carne este egală cu
Răspuns: 0,5.
23 opțiunea
Toți pacienții cu suspiciune de hepatită fac un test de sânge. Dacă testul dezvăluie hepatită, atunci rezultatul testului se numește pozitiv. La pacienții cu hepatită, analiza dă un rezultat pozitiv cu o probabilitate de 0,9. Dacă pacientul nu are hepatită, atunci testul poate da un rezultat fals pozitiv cu o probabilitate de 0,02. Se știe că 66% dintre pacienții internați cu suspiciune de hepatită au într-adevăr hepatită. Găsiți probabilitatea ca rezultatul testului unui pacient internat în clinică cu suspiciune de hepatită să fie pozitiv.
Soluţie:
Analiza unui pacient poate fi pozitivă din două motive: A) pacientul are hepatită, analiza lui este corectă; B) pacientul nu are hepatită, analiza lui este falsă. Acestea sunt evenimente incompatibile, probabilitatea sumei lor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente. Avem:
P(B)=0,02=0,0068
P(A+B)= P(A) + P(B) = 0,594 + 0,0068 = 0,6008
Răspuns:0,6008
24 opțiune
Pe farfurie sunt 16 plăcinte: 7 cu pește, 5 cu dulceață și 4 cu cireșe. Julia alege la întâmplare o plăcintă. Găsiți probabilitatea ca el să ajungă cu o cireșă.
Soluţie:
Probabilitatea ca plăcinta să ajungă cu o cireșă este
Răspuns: 0,25.
25 opțiune
În unele zone, observațiile au arătat:
1. Dacă dimineața de iunie este senină, atunci probabilitatea de ploaie în acea zi este de 0,1.
2. Dacă dimineața de iunie este înnorată, atunci probabilitatea de ploaie în timpul zilei este de 0,4.
3. Probabilitatea unei dimineți înnorate în luna iunie este de 0,3.
Găsiți probabilitatea ca într-o zi întâmplătoare din iunie să nu plouă.
Soluţie:
Probabilitatea ca dimineața să fie înnorat este de 0,3. Probabilitatea ca dimineața să fie senină este de 1-0,3 = 0,7.
Probabilitatea ca într-o dimineață înnorată să nu plouă este de 1-0,4 = 0,6
Probabilitatea ca într-o dimineață senină să nu plouă este de 1-0,1=0,9.
Probabilitatea ca dimineața să fie senină și să nu plouă este de 0,7 * 0,9 = 0,63.
Probabilitatea ca dimineața să fie înnorat și să nu fie ploaie este de 0,3*0,6=0,18.
Probabilitatea ca într-o zi aleatorie a lunii iunie să nu plouă este de 0,63 +0,18=0,81.
Răspuns: 0,81
26 opțiune
Comitetul de Părinți a achiziționat la sfârșitul anului școlar 30 de puzzle-uri pentru cadouri copiilor, 12 dintre ele cu poze cu artiști celebri și 18 cu imagini cu animale. Cadourile sunt distribuite aleatoriu. Găsiți probabilitatea ca Vova să obțină puzzle-ul animalului.
Soluţie:
Numărul de rezultate posibile este de 30 (numărul total de seturi de puzzle), numărul de rezultate favorabile este de 18 (cu imaginea animalelor). Probabilitatea ca Vova să obțină un puzzle cu un animal este
Răspuns: 0,6
27 opțiune
În magazin sunt trei vânzători. Fiecare dintre ei este ocupat cu un client cu o probabilitate de 0,2. Găsiți probabilitatea ca la un moment aleator de timp toți cei trei vânzători să fie ocupați în același timp (presupuneți că clienții intră independent unul de celălalt).
Soluţie:
Trebuie să găsim probabilitatea unui eveniment când primul vânzător este ocupat, în timp ce al doilea este ocupat și, în același timp (angajarea primului și celui de-al doilea) este, de asemenea, ocupat și al treilea. Se folosește regula înmulțirii. Probabilitatea de a produce evenimente independente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente. Deci probabilitatea ca toți cei trei vânzători să fie ocupați este: 0,2∙0,2∙0,2 = 0,008
Răspuns: 0,008
28 opțiune
Comitetul de Părinți a achiziționat la sfârșitul anului școlar 30 de puzzle-uri pentru cadouri pentru copii, dintre care 15 cu personaje din desene animate și 15 cu priveliști ale naturii. Cadourile sunt distribuite aleatoriu. Găsiți probabilitatea ca Vita să obțină un puzzle cu priveliști ale naturii
Soluţie:
Numărul de rezultate posibile este de 30 (numărul total de seturi de puzzle), numărul de rezultate favorabile este de 15 (cu vederi ale naturii). Probabilitatea ca Vita să obțină un puzzle cu vederi ale naturii = 0,5
Răspuns: 0,5
29 opțiunea
În magazin sunt trei vânzători. Fiecare dintre ei este ocupat cu un client cu o probabilitate de 0,4. Găsiți probabilitatea ca la un moment aleator de timp toți cei trei vânzători să fie ocupați în același timp (presupuneți că clienții intră independent unul de celălalt).
Soluţie:
Trebuie să găsim probabilitatea unui eveniment când primul vânzător este ocupat, în timp ce al doilea este ocupat și, în același timp (angajarea primului și celui de-al doilea) este, de asemenea, ocupat și al treilea. Se folosește regula înmulțirii. Probabilitatea de a produce evenimente independente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente. Deci probabilitatea ca toți cei trei vânzători să fie ocupați este: 0,4∙0,4∙0,4 = 0,064
Răspuns: 0,064
30 opțiune
Dacă marele maestru A. joacă alb, atunci el câștigă marele maestru B. cu o probabilitate de 0,6. Dacă A. joacă negru, atunci A. îl bate pe B. cu o probabilitate de 0,4. Marii maeștri A. și B. joacă două jocuri, iar în al doilea joc schimbă culoarea pieselor. Aflați probabilitatea ca A. să câștige de ambele ori.
Soluţie:
Șansele de a câștiga primul și al doilea joc sunt independente unele de altele. Probabilitatea de a produce evenimente independente este egală cu produsul probabilităților lor:
0,6 0,4 = 0,24 Răspuns: 0,24.
31 de opțiuni
În colecția de bilete la chimie sunt doar 15 bilete, în 6 dintre ele există o întrebare pe tema „Acizi”. Găsiți probabilitatea ca un student să primească o întrebare pe tema „Acizi” într-un bilet selectat aleatoriu la examen.
Soluţie:
Soluţie: Probabilitatea ca un student să primească o întrebare pe tema „Acizi” într-un bilet selectat aleatoriu la examen este egală cu
Răspuns: 0,4
32 opțiune
Înainte de începerea primei runde a campionatului de badminton, participanții sunt împărțiți aleatoriu în perechi de jocuri prin tragere la sorți. În campionat participă în total 76 de jucători de badminton, inclusiv 22 de sportivi din Rusia, inclusiv Viktor Polyakov.Găsiți probabilitatea ca în primul tur Viktor Polyakov să joace cu vreun jucător de badminton din Rusia?
Soluţie:
În primul tur, Viktor Polyakov poate juca cu 76 − 1 = 75 de jucători de badminton, dintre care 22 − 1 = 21 din Rusia. Aceasta înseamnă că probabilitatea ca în primul tur Viktor Polyakov să joace cu orice jucător de badminton din Rusia este de 21: 75 = 0,28
Răspuns: 0,28
33 opțiunea
În medie, din 1.500 de pompe de grădină vândute, 6 au scurgeri. Găsiți probabilitatea ca o pompă selectată aleatoriu pentru control să nu aibă scurgeri.
Soluţie:
În medie, din 1500 de pompe de grădină vândute, 1500−6 = 1494 nu au scurgeri. Aceasta înseamnă că probabilitatea ca o pompă selectată aleatoriu pentru control să nu aibă scurgeri este 1494:1500=0,996
Răspuns: 0,996.
34 opțiune
Fabrica produce saci. În medie, 19 saci din 160 au defecte ascunse. Găsiți probabilitatea ca geanta achiziționată să nu aibă defecte. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată sutime.
Soluţie:
Sunt 160 de pungi în total și 160 fără defecte - 19 = 141.
Aceasta înseamnă că probabilitatea ca geanta achiziționată să fie de înaltă calitate este egală cu
Răspuns: 0,88
35 opțiune
Conferinta stiintifica are loc pe parcursul a 3 zile. Sunt planificate un total de 40 de rapoarte - în prima zi 8 rapoarte, restul sunt distribuite în mod egal între a doua și a treia zi. La conferință este planificat un raport al profesorului M. Ordinea rapoartelor este stabilită prin tragere la sorți. Care este probabilitatea ca raportul profesorului M. să fie programat pentru ultima zi a conferinței?
Soluţie:
În prima zi 8, în următoarele două 16.
Probabilitatea în ultima zi 16:40 = 0,4
Răspuns: 0,4
36 opțiune
În medie, din 2.000 de pompe de grădină vândute, 18 au scurgeri. Găsiți probabilitatea ca o pompă selectată aleatoriu să nu aibă scurgeri.
Soluţie:
În medie, din 2000 de pompe de grădină vândute, 2000−18=1982 nu au scurgeri. Aceasta înseamnă că probabilitatea ca o pompă selectată aleatoriu pentru control să nu aibă scurgeri este 1982:2000=0,991
În sarcina nr. 4 a nivelului de profil al USE în matematică este necesară rezolvarea unei probleme simple de teoria probabilităților. Sarcina este destul de simplă, este suficient să împărțiți un număr la altul sau, înainte de aceasta, să scădeți altul dintr-un număr. Sarcina este intuitiv clară și poate fi rezolvată chiar și fără a cunoaște formulele de bază ale combinatoriei. Să ne uităm la câteva exemple.
Analiza opțiunilor tipice pentru sarcinile Nr. 4 UTILIZARE în matematică la un nivel de profil
Prima versiune a sarcinii (versiunea demo 2018)
În carnetul de bilete de biologie sunt în total 25 de bilete. Doar în două bilete există o întrebare despre ciuperci. La examen, studentul primește un bilet selectat aleatoriu din această colecție. Găsiți probabilitatea ca acest bilet să conțină o întrebare despre ciuperci.
Algoritm de rezolvare:
- Să numim evenimentul A.
- Determinați numărul tuturor evenimentelor.
- Aflați numărul de rezultate favorabile.
- Să calculăm probabilitatea.
- Scriem răspunsul.
Soluţie:
1. Fie A un eveniment în care un student primește un bilet cu o întrebare despre ciuperci.
2. Sunt 25 de bilete în total, ceea ce înseamnă că sunt n=25 de evenimente.
3. Rezultate favorabile m=2, deoarece doar 2 bilete conțin întrebarea ciuperci.
4. Probabilitatea evenimentului A este P(A) = m/n=2/25 = 0,08.
Răspuns: 0,08.
A doua versiune a sarcinii (de la Yaschenko, nr. 1)
În medie, din 600 de pompe de grădină vândute, 3 au scurgeri. Găsiți probabilitatea ca o pompă selectată aleatoriu să nu aibă scurgeri.
Algoritm de rezolvare:
- Să notăm evenimentul „pompa de control achiziționată nu are scurgeri” cu litera A.
- Găsiți numărul tuturor evenimentelor.
- Determinați probabilitatea evenimentului A.
- Să scriem răspunsul.
Soluţie:
1. Fiți evenimentul A: o pompă selectată aleatoriu nu are scurgeri.
2. Numărul tuturor evenimentelor n=600.
3. Numărul de rezultate favorabile este m=600-3=597. Apoi, probabilitatea ca pompa selectată să nu prezinte scurgeri este determinată după cum urmează:
m/n = 597/600 = 0,995
Răspuns: 0,995
A treia versiune a sarcinii (de la Yaschenko, nr. 7)
Compania de taximetrie are 60 de mașini; 27 dintre ele sunt negre cu inscripții galbene pe laterale, restul sunt galbene cu inscripții negre. Găsiți probabilitatea ca o mașină galbenă cu inscripții negre să ajungă la un apel aleatoriu.
Algoritm de rezolvare:
- Să notăm evenimentul „o mașină galbenă va veni la apel” cu litera A.
- Găsiți numărul tuturor evenimentelor posibile.
- Aflați numărul de evenimente favorabile.
- Calculați probabilitatea evenimentului A.
- Să scriem răspunsul.
Soluţie:
1. Lasă evenimentul A: un taxi galben va veni la apel.
2. Numărul tuturor evenimentelor n=60.
3. Numărul de rezultate favorabile este egal cu m=60-27= 33. Atunci probabilitatea ca cel ales pentru călătorie să fie galben se determină după cum urmează:
Răspuns: 0,55.
A patra versiune a sarcinii (de la Yaschenko, nr. 21)
La fabrica de veselă ceramică 20% din farfuriile produse sunt defecte. În timpul controlului calității produsului, 70% din plăcile defecte sunt detectate. Restul farfurii sunt de vanzare. Găsiți probabilitatea ca o placă selectată aleatoriu la momentul achiziției să nu aibă defecte. Rotunjiți răspunsul la cea mai apropiată sutime.
Algoritm de rezolvare:
- Fie x numărul tuturor plăcilor produse în fabrică.
- Aflați numărul de plăci defecte.
- Să aflăm numărul tuturor plăcilor îndepărtate în timpul verificării.
- Să determinăm probabilitatea evenimentului A: se cumpără o placă de înaltă calitate.
- Să scriem răspunsul.
Soluţie:
1. Lăsați fabrica să producă x farfurii.
2. 20% din plăcile defecte sunt produse în fabrică. Sunt doar 0,2x bucăți. Apoi plăci de 0,8x de înaltă calitate intră în rețeaua de distribuție.
3. La verificarea calitatii se indeparteaza 70% din placile defecte, ceea ce inseamna ca 30% dintre ele ies la vanzare. Se dovedește că 0,2x 0,3 = 0,06x defecte merg la contor.
În total, în rețeaua de distribuție intră 0,8x + 0,06x = 0,86x plăci.
4. Fie evenimentul A: farfuria achizitionata este de inalta calitate. Atunci numărul de evenimente favorabile m=N(A) = 0,8x. Numărul total de rezultate n = 0,86x.
5. Probabilitatea evenimentului A este determinată de formula probabilității: P(A) = m/n = 0,8x/0,86x = 0,9302325… ≈ 0,93