V tejto lekcii sa pozrieme na ďalšie dve operácie s vektormi: vektorový súčin vektorov A zmiešaný súčin vektorov (okamžitý odkaz pre tých, ktorí to potrebujú). To je v poriadku, niekedy sa stane, že pre úplné šťastie, navyše skalárny súčin vektorov, sú potrebné ďalšie a ďalšie. Toto je vektorová závislosť. Môže sa zdať, že sa dostávame do džungle analytickej geometrie. Toto je nesprávne. V tejto časti vyššej matematiky je vo všeobecnosti málo dreva, možno až na Pinocchia. V skutočnosti je materiál veľmi bežný a jednoduchý - sotva komplikovanejší ako ten istý skalárny produkt, bude dokonca menej typických úloh. Hlavná vec v analytickej geometrii, ako sa mnohí presvedčia alebo už presvedčili, je NEROBIŤ CHYBY VO VÝPOČTOCH. Opakujte ako kúzlo a budete šťastní =)

Ak niekde ďaleko zažiaria vektory, ako blesky na obzore, nevadí, začnite s lekciou Vektory pre figuríny obnoviť alebo znovu získať základné vedomosti o vektoroch. Pripravenejší čitatelia sa môžu s informáciami zoznámiť selektívne; Snažil som sa zhromaždiť čo najkompletnejšiu zbierku príkladov, ktoré sa často nachádzajú v praktickej práci

Čo vás hneď poteší? Keď som bol malý, vedel som žonglovať s dvomi alebo aj tromi loptičkami. Dobre to dopadlo. Teraz už nebudete musieť vôbec žonglovať, pretože zvážime iba priestorové vektory a ploché vektory s dvoma súradnicami budú vynechané. prečo? Takto sa zrodili tieto akcie – vektor a zmiešaný súčin vektorov sú definované a fungujú v trojrozmernom priestore. Už je to jednoduchšie!

Táto operácia, rovnako ako skalárny súčin, zahŕňa dva vektory. Nech sú to nehynúce písmená.

Samotná akcia označené nasledujúcim spôsobom: . Existujú aj iné možnosti, ale ja som zvyknutý označovať vektorový súčin vektorov týmto spôsobom v hranatých zátvorkách s krížikom.

A hneď otázka: ak je v skalárny súčin vektorov sú zapojené dva vektory a tu sa teda dva vektory tiež vynásobia v čom je rozdiel? Zjavný rozdiel je predovšetkým vo VÝSLEDKU:

Výsledkom skalárneho súčinu vektorov je ČÍSLO:

Výsledkom krížového súčinu vektorov je VEKTOR: , čiže vektory vynásobíme a opäť dostaneme vektor. Uzavretý klub. Odtiaľ vlastne pochádza aj názov operácie. V rôznej náučnej literatúre sa môžu označenia tiež líšiť, budem používať písmeno.

Definícia krížového produktu

Najprv bude definícia s obrázkom, potom komentáre.

Definícia: Vektorový produkt nekolineárne vektory, prijaté v tomto poradí s názvom VECTOR, dĺžkačo je číselne rovná ploche rovnobežníka, postavený na týchto vektoroch; vektor ortogonálne k vektorom a je nasmerovaný tak, aby základ mal správnu orientáciu:

Rozoberme si definíciu kúsok po kúsku, je tu veľa zaujímavých vecí!

Preto je možné zdôrazniť nasledujúce dôležité body:

1) Pôvodné vektory označené červenými šípkami podľa definície nie kolineárne. O niečo neskôr bude vhodné zvážiť prípad kolineárnych vektorov.

2) Zoberú sa vektory v presne stanovenom poradí: – "a" sa vynásobí "byť", nie „byť“ s „a“. Výsledok násobenia vektorov je VEKTOR, ktorý je označený modrou farbou. Ak sa vektory vynásobia v opačnom poradí, získame vektor rovnakej dĺžky a opačného smeru (malinová farba). To znamená, že rovnosť je pravdivá .

3) Teraz sa zoznámime s geometrickým významom vektorového súčinu. Toto je veľmi dôležitý bod! DĹŽKA modrého vektora (a teda karmínového vektora) sa číselne rovná PLOHE rovnobežníka postaveného na vektoroch. Na obrázku je tento rovnobežník zatienený čiernou farbou.

Poznámka : výkres je schematický a nominálna dĺžka vektorového produktu sa prirodzene nerovná ploche rovnobežníka.

Pripomeňme si jeden z geometrických vzorcov: Plocha rovnobežníka sa rovná súčinu susedných strán a sínusu uhla medzi nimi. Preto na základe vyššie uvedeného platí vzorec na výpočet DĹŽKY vektorového produktu:

Zdôrazňujem, že vzorec je o DĹŽKE vektora, a nie o vektore samotnom. Aký je praktický význam? A význam je, že v problémoch analytickej geometrie sa oblasť rovnobežníka často nachádza prostredníctvom konceptu vektorového produktu:

Získame druhý dôležitý vzorec. Uhlopriečka rovnobežníka (červená bodkovaná čiara) ho rozdeľuje na dva rovnaké trojuholníky. Preto oblasť trojuholníka postavená na vektoroch (červené tieňovanie) možno nájsť pomocou vzorca:

4) Nemenej dôležitým faktom je, že vektor je k vektorom ortogonálny, tzn . Opačný vektor (malinová šípka) je samozrejme tiež ortogonálny k pôvodným vektorom.

5) Vektor smeruje tak, že základ Má správny orientácia. V lekcii o prechod na nový základ Hovoril som dostatočne podrobne o rovinná orientácia a teraz zistíme, aká je orientácia v priestore. Vysvetlím na vašich prstoch pravá ruka. Mentálne kombinovať ukazovák s vektorom a prostredník s vektorom. Prstenník a malíček stlačte ho do dlane. Ako výsledok palec– vektorový produkt sa vyhľadá. Toto je správne orientovaný základ (je to tento na obrázku). Teraz zmeňte vektory ( ukazovákom a prostredníkom) na niektorých miestach sa palec otočí a vektorový súčin sa už bude pozerať nadol. To je tiež správne orientovaný základ. Môžete mať otázku: ktorý základ opustil orientáciu? „Priradiť“ rovnakým prstom ľavá ruka vektory a získajte ľavú základňu a ľavú orientáciu priestoru (v tomto prípade bude palec umiestnený v smere spodného vektora). Obrazne povedané, tieto základy „krútia“ alebo orientujú priestor v rôznych smeroch. A tento koncept by sa nemal považovať za niečo pritiahnuté za vlasy alebo abstraktné - napríklad orientácia priestoru sa zmení najbežnejším zrkadlom a ak „vytiahnete odrazený objekt zo zrkadla“, potom to vo všeobecnosti nebude možné kombinovať s „originálom“. Mimochodom, držte tri prsty hore k zrkadlu a analyzujte odraz ;-)

...aké je dobré, že o tom teraz viete orientované vpravo a vľavo základy, lebo vyjadrenia niektorých lektorov o zmene orientácie sú desivé =)

Krížový súčin kolineárnych vektorov

Definícia bola podrobne prediskutovaná, zostáva zistiť, čo sa stane, keď sú vektory kolineárne. Ak sú vektory kolineárne, potom môžu byť umiestnené na jednej priamke a náš rovnobežník sa tiež „zloží“ do jednej priamky. Oblasť takých, ako hovoria matematici, degenerovať rovnobežník sa rovná nule. To isté vyplýva zo vzorca - sínus nuly alebo 180 stupňov sa rovná nule, čo znamená, že plocha je nula

Teda ak , tak . Presne povedané, samotný vektorový súčin sa rovná nulovému vektoru, ale v praxi sa to často zanedbáva a píše sa, že sa jednoducho rovná nule.

Špeciálnym prípadom je krížový súčin vektora so sebou samým:

Pomocou vektorového súčinu môžete skontrolovať kolinearitu trojrozmerných vektorov a okrem iného budeme analyzovať aj tento problém.

Na riešenie praktických príkladov budete možno potrebovať trigonometrická tabuľka nájsť z neho hodnoty sínusov.

No, zapálime oheň:

Príklad 1

a) Nájdite dĺžku vektorového súčinu vektorov ak

b) Nájdite oblasť rovnobežníka postaveného na vektoroch, ak

Riešenie: Nie, toto nie je preklep, schválne som urobil počiatočné údaje vo vetách rovnaké. Pretože dizajn riešení bude iný!

a) Podľa stavu musíte nájsť dĺžka vektor (krížový produkt). Podľa zodpovedajúceho vzorca:

Odpoveď:

Ak sa vás pýtali na dĺžku, tak v odpovedi uvádzame rozmer – jednotky.

b) Podľa stavu treba nájsť námestie rovnobežník postavený na vektoroch. Plocha tohto rovnobežníka sa číselne rovná dĺžke vektorového produktu:

Odpoveď:

Upozorňujeme, že odpoveď vôbec nehovorí o vektorovom produkte, na čo sme boli požiadaní oblasť postavy, teda rozmer je štvorcových jednotiek.

Vždy sa pozeráme na to, ČO potrebujeme nájsť podľa podmienky a na základe toho formulujeme jasný odpoveď. Môže sa to zdať ako doslovnosť, ale medzi učiteľmi je dosť doslovníkov a zadanie má veľkú šancu vrátiť sa na prepracovanie. Aj keď to nie je príliš pritiahnutá hádka – ak je odpoveď nesprávna, človek má dojem, že daný človek nerozumie jednoduchým veciam a/alebo nepochopil podstatu úlohy. Tento bod treba mať vždy pod kontrolou pri riešení akéhokoľvek problému vo vyššej matematike, ale aj v iných predmetoch.

Kam zmizlo veľké písmeno „en“? V zásade to mohlo byť dodatočne priložené k riešeniu, ale v záujme skrátenia zápisu som to neurobil. Dúfam, že to každý chápe a je to označenie pre to isté.

Populárny príklad riešenia DIY:

Príklad 2

Nájdite oblasť trojuholníka postaveného na vektoroch, ak

Vzorec na nájdenie oblasti trojuholníka cez vektorový produkt je uvedený v komentároch k definícii. Riešenie a odpoveď sú na konci lekcie.

V praxi je táto úloha naozaj veľmi bežná, trojuholníky vás dokážu vo všeobecnosti potrápiť.

Na vyriešenie ďalších problémov budeme potrebovať:

Vlastnosti vektorového súčinu vektorov

Niektoré vlastnosti vektorového súčinu sme už zvážili, do tohto zoznamu ich však zaradím.

Pre ľubovoľné vektory a ľubovoľné číslo platia nasledujúce vlastnosti:

1) V iných zdrojoch informácií táto položka zvyčajne nie je zvýraznená vo vlastnostiach, ale z praktického hľadiska je veľmi dôležitá. Tak nech je.

2) – o majetku sa hovorí aj vyššie, niekedy je tzv antikomutatívnosť. Inými slovami, na poradí vektorov záleží.

3) – priraďovacie resp asociatívne zákony o vektorových produktoch. Konštanty sa dajú ľahko presunúť mimo vektorového súčinu. Ozaj, čo by tam mali robiť?

4) – distribúcia resp distributívny zákony o vektorových produktoch. Problémy nie sú ani s otváraním držiakov.

Aby sme to demonštrovali, pozrime sa na krátky príklad:

Príklad 3

Nájdite ak

Riešenie: Podmienka opäť vyžaduje zistenie dĺžky vektorového súčinu. Namaľujeme si našu miniatúru:

(1) Podľa asociatívnych zákonov berieme konštanty mimo rozsah vektorového súčinu.

(2) Konštantu presunieme mimo modul a modul „zožerie“ znamienko mínus. Dĺžka nemôže byť záporná.

(3) Zvyšok je jasný.

Odpoveď:

Je čas pridať viac dreva do ohňa:

Príklad 4

Vypočítajte obsah trojuholníka postaveného na vektoroch, ak

Riešenie: Nájdite oblasť trojuholníka pomocou vzorca . Háčik je v tom, že samotné vektory „tse“ a „de“ sú prezentované ako súčty vektorov. Algoritmus je tu štandardný a trochu pripomína príklady č. 3 a 4 z lekcie Bodový súčin vektorov. Pre prehľadnosť rozdelíme riešenie do troch etáp:

1) V prvom kroku vyjadríme vektorový produkt prostredníctvom vektorového produktu, v skutočnosti, vyjadrime vektor pomocou vektora. O dĺžkach zatiaľ ani slovo!

(1) Nahraďte výrazy vektorov.

(2) Pomocou distributívnych zákonov otvárame zátvorky podľa pravidla násobenia polynómov.

(3) Pomocou asociatívnych zákonov presunieme všetky konštanty za vektorové súčiny. S trochou skúseností možno kroky 2 a 3 vykonať súčasne.

(4) Prvý a posledný člen sa rovnajú nule (nulový vektor) kvôli vlastnosti nice. V druhom člene využívame vlastnosť antikomutatívnosti vektorového súčinu:

(5) Uvádzame podobné výrazy.

V dôsledku toho sa ukázalo, že vektor je vyjadrený prostredníctvom vektora, čo bolo potrebné na dosiahnutie:

2) V druhom kroku nájdeme dĺžku vektorového súčinu, ktorý potrebujeme. Táto akcia je podobná ako v príklade 3:

3) Nájdite oblasť požadovaného trojuholníka:

Fázy 2-3 riešenia mohli byť napísané v jednom riadku.

Odpoveď:

Uvažovaný problém je v testoch celkom bežný, tu je príklad, ako ho vyriešiť sami:

Príklad 5

Nájdite ak

Krátke riešenie a odpoveď na konci hodiny. Pozrime sa, ako pozorní ste boli pri štúdiu predchádzajúcich príkladov ;-)

Krížový súčin vektorov v súradniciach

, špecifikované na ortonormálnom základe, vyjadrené vzorcom:

Vzorec je naozaj jednoduchý: do horného riadku determinantu napíšeme súradnicové vektory, do druhého a tretieho riadku „vložíme“ súradnice vektorov a dáme v prísnom poradí– najprv súradnice vektora „ve“, potom súradnice vektora „double-ve“. Ak je potrebné vektory vynásobiť v inom poradí, riadky by sa mali vymeniť:

Príklad 10

Skontrolujte, či sú nasledujúce priestorové vektory kolineárne:
A)
b)

Riešenie: Kontrola je založená na jednom z tvrdení v tejto lekcii: ak sú vektory kolineárne, ich vektorový súčin sa rovná nule (nulový vektor): .

a) Nájdite vektorový súčin:

Vektory teda nie sú kolineárne.

b) Nájdite vektorový súčin:

Odpoveď: a) nie kolineárne, b)

Tu sú snáď všetky základné informácie o vektorovom súčine vektorov.

Táto časť nebude príliš veľká, pretože existuje len málo problémov, kde sa používa zmiešaný súčin vektorov. V skutočnosti bude všetko závisieť od definície, geometrického významu a niekoľkých pracovných vzorcov.

Zmiešaný súčin vektorov je súčinom troch vektorov:

Zoradili sa teda ako vlak a nevedia sa dočkať, kedy budú identifikovaní.

Najprv opäť definícia a obrázok:

Definícia: Zmiešaná práca nekoplanárne vektory, prijaté v tomto poradí, volal objem rovnobežnostenu, postavené na týchto vektoroch, vybavené znamienkom „+“, ak je základ pravý, a znamienkom „–“, ak je základ vľavo.

Urobme kresbu. Pre nás neviditeľné čiary sú nakreslené bodkovanými čiarami:

Poďme sa ponoriť do definície:

2) Zoberú sa vektory v určitom poradí, to znamená, že preskupenie vektorov v produkte, ako by ste mohli hádať, neprebehne bez následkov.

3) Pred komentovaním geometrického významu si všimnem zrejmú skutočnosť: zmiešaný súčin vektorov je ČÍSLO: . V náučnej literatúre môže byť dizajn mierne odlišný, zvyknem označovať zmiešaný produkt a výsledok výpočtov písmenom „pe“.

A-priorstvo zmiešaný produkt je objem kvádra, postavený na vektoroch (postava je nakreslená červenými vektormi a čiernymi čiarami). To znamená, že číslo sa rovná objemu daného rovnobežnostena.

Poznámka : Výkres je schematický.

4) Netrápme sa znova konceptom orientácie základne a priestoru. Význam záverečnej časti je, že k objemu možno pridať znamienko mínus. Jednoducho povedané, zmiešaný produkt môže byť negatívny: .

Priamo z definície vyplýva vzorec na výpočet objemu kvádra postaveného na vektoroch.

Plocha rovnobežníka postaveného na vektoroch sa rovná súčinu dĺžok týchto vektorov a uhla uhla, ktorý medzi nimi leží.

Je dobré, keď podmienky udávajú dĺžky rovnakých vektorov. Stáva sa však aj to, že vzorec pre oblasť rovnobežníka postavený na vektoroch možno použiť až po výpočtoch pomocou súradníc.
Ak máte šťastie a podmienky udávajú dĺžky vektorov, potom stačí použiť vzorec, ktorý sme už podrobne rozobrali v článku. Plocha sa bude rovnať súčinu modulov a sínusu uhla medzi nimi:

Uvažujme o príklade výpočtu plochy rovnobežníka postaveného na vektoroch.

Úloha: Rovnobežník je postavený na vektoroch a . Nájdite oblasť if a uhol medzi nimi je 30°.
Vyjadrime vektory prostredníctvom ich hodnôt:

Možno máte otázku - odkiaľ pochádzajú nuly? Stojí za to pripomenúť, že pracujeme s vektormi a pre nich . tiež si všimnite, že ak je výsledkom výraz, skonvertuje sa na. Teraz vykonáme konečné výpočty:

Vráťme sa k problému, keď v podmienkach nie sú uvedené dĺžky vektorov. Ak váš rovnobežník leží v karteziánskom súradnicovom systéme, budete musieť urobiť nasledovné.

Výpočet dĺžok strán obrazca zadaných súradnicami

Najprv nájdeme súradnice vektorov a od koncových súradníc odpočítame zodpovedajúce súradnice začiatku. Povedzme, že súradnice vektora a sú (x1;y1;z1) a vektora b je (x3;y3;z3).
Teraz nájdeme dĺžku každého vektora. Aby ste to dosiahli, každá súradnica musí byť odmocnená, potom sa musia spočítať získané výsledky a extrahovať koreň z konečného čísla. Na základe našich vektorov budú nasledujúce výpočty:


Teraz musíme nájsť skalárny súčin našich vektorov. Za týmto účelom sa ich zodpovedajúce súradnice vynásobia a pridajú.

Ak máme dĺžky vektorov a ich skalárny súčin, môžeme nájsť kosínus uhla ležiaceho medzi nimi .
Teraz môžeme nájsť sínus rovnakého uhla:
Teraz máme všetky potrebné množstvá a pomocou už známeho vzorca môžeme ľahko nájsť oblasť rovnobežníka postaveného na vektoroch.

Námestie rovnobežník, postavený na vektory, sa vypočíta ako súčin dĺžok týchto vektorov a sínusu uhla medzi nimi. Ak sú známe len súradnice vektorov, potom je potrebné na výpočty použiť súradnicové metódy vrátane určenia uhla medzi vektormi.

Budete potrebovať

• - pojem vektor;
• - vlastnosti vektorov;
• - karteziánske súradnice;
• - goniometrické funkcie.

Inštrukcie

• Ak sú známe dĺžky vektorov a uhol medzi nimi, potom s cieľom nájsť oblasť rovnobežník, postavený na vektory, nájdite súčin ich modulov (dĺžok vektorov) podľa sínusu uhla medzi nimi S=│a│ │ b│ sin(α).
• Ak sú vektory uvedené v karteziánskom súradnicovom systéme, potom s cieľom nájsť oblasť rovnobežník postavené na nich, urobte nasledovné:
• Nájdite súradnice vektorov, ak nie sú uvedené ihneď, odčítaním súradníc od začiatkov od zodpovedajúcich súradníc koncov vektorov. Napríklad, ak súradnice počiatočného bodu vektora sú (1;-3;2) a konečného bodu (2;-4;-5), potom súradnice vektora budú (2-1;- 4+3;-5-2)=(1;-1;-7). Nech sú súradnice vektora a(x1;y1;z1), vektora b(x2;y2;z2).
• Nájdite dĺžky každého z vektorov. Odmocnite každú z vektorových súradníc a nájdite ich súčet x1²+y1²+z1². Vezmite druhú odmocninu výsledku. Pre druhý vektor vykonajte rovnaký postup. Dostaneme teda │a│a│b│.
• Nájdite bodový súčin vektorov. Za týmto účelom vynásobte ich zodpovedajúce súradnice a pridajte súčin │a b│= x1 x2+ y1 y2+ z1 z2.
• Určte kosínus uhla medzi nimi, pre ktorý sa skalárny súčin vektorov získaných v kroku 3 vydelí súčinom dĺžok vektorov, ktoré boli vypočítané v kroku 2 (Cos(α)= │a b│/(│a │ │ b│)).
• Sínus výsledného uhla sa bude rovnať druhej odmocnine rozdielu medzi číslom 1 a druhou mocninou kosínusu toho istého uhla, vypočítanej v kroku 4 (1-Cos²(α)).
• Vypočítajte plochu rovnobežník, postavený na vektory po nájdení súčinu ich dĺžok vypočítaných v kroku 2 a vynásobte výsledok číslom získaným po výpočtoch v kroku 5.
• V prípade, že súradnice vektorov sú uvedené v rovine, súradnica z sa pri výpočtoch jednoducho zahodí. Tento výpočet je numerickým vyjadrením vektorového súčinu dvoch vektorov.