Sa araling ito titingnan natin ang dalawa pang operasyon na may mga vector: produkto ng vector ng mga vector At pinaghalong produkto ng mga vector (Immediate link para sa mga nangangailangan nito). Okay lang, minsan nangyayari na para sa kumpletong kaligayahan, bilang karagdagan sa scalar na produkto ng mga vector, parami nang parami ang kinakailangan. Ito ay pagkagumon sa vector. Maaaring tila tayo ay papasok sa gubat ng analytical geometry. Mali ito. Sa seksyong ito ng mas mataas na matematika, sa pangkalahatan ay may maliit na kahoy, maliban marahil ay sapat para sa Pinocchio. Sa katunayan, ang materyal ay napaka-pangkaraniwan at simple - halos hindi mas kumplikado kaysa sa pareho produktong scalar, magkakaroon ng mas kaunting mga karaniwang gawain. Ang pangunahing bagay sa analytical geometry, dahil marami ang makumbinsi o nakumbinsi na, ay HUWAG MAGKAKAMALI SA PAGKUKULANG. Ulitin tulad ng isang spell at ikaw ay magiging masaya =)

Kung kumikinang ang mga vector sa isang lugar sa malayo, tulad ng kidlat sa abot-tanaw, hindi mahalaga, magsimula sa aralin Mga vector para sa mga dummies upang ibalik o muling makuha ang pangunahing kaalaman tungkol sa mga vector. Ang mas handa na mga mambabasa ay maaaring maging pamilyar sa impormasyon nang pili; sinubukan kong kolektahin ang pinaka kumpletong koleksyon ng mga halimbawa na madalas na matatagpuan sa praktikal na gawain

Ano ang magpapasaya sa iyo kaagad? Noong bata pa ako, nakaka-juggle ako ng dalawa o kahit tatlong bola. Ito ay gumana nang maayos. Ngayon hindi mo na kailangang mag-juggle, dahil isasaalang-alang namin mga spatial vectors lamang, at ang mga flat vector na may dalawang coordinate ay maiiwan. Bakit? Ito ay kung paano ipinanganak ang mga pagkilos na ito - ang vector at pinaghalong produkto ng mga vector ay tinukoy at gumagana sa tatlong-dimensional na espasyo. Mas madali na!

Ang operasyong ito, tulad ng scalar product, ay kinabibilangan dalawang vector. Hayaan itong mga hindi nasisira na mga titik.

Ang aksyon mismo ipinapahiwatig ng sa sumusunod na paraan: . Mayroong iba pang mga pagpipilian, ngunit sanay akong tukuyin ang produkto ng vector ng mga vector sa ganitong paraan, sa mga square bracket na may krus.

At kaagad tanong: kung nasa scalar na produkto ng mga vector dalawang vector ang kasangkot, at dito ang dalawang vector ay pinarami din, pagkatapos ano ang pinagkaiba? Ang malinaw na pagkakaiba ay, una sa lahat, sa RESULTA:

Ang resulta ng scalar product ng mga vectors ay NUMBER:

Ang resulta ng cross product ng mga vectors ay VECTOR: , ibig sabihin, pinaparami natin ang mga vector at muling nakakuha ng isang vector. Saradong club. Actually, dito nagmula ang pangalan ng operasyon. Sa iba't ibang literatura na pang-edukasyon, maaaring mag-iba din ang mga pagtatalaga; Gagamitin ko ang liham.

Kahulugan ng cross product

Una ay magkakaroon ng kahulugan na may larawan, pagkatapos ay magkomento.

Kahulugan: Vector na produkto hindi collinear mga vector, kinuha sa ganitong pagkakasunud-sunod, tinatawag na VECTOR, haba na ayon sa bilang katumbas ng lugar ng paralelogram, na binuo sa mga vector na ito; vector orthogonal sa mga vector, at itinuro upang ang batayan ay may tamang oryentasyon:

Hatiin natin ang kahulugan nang paisa-isa, maraming kawili-wiling bagay dito!

Kaya, ang mga sumusunod na mahahalagang punto ay maaaring i-highlight:

1) Ang orihinal na mga vector, na ipinahiwatig ng mga pulang arrow, ayon sa kahulugan hindi collinear. Angkop na isaalang-alang ang kaso ng mga collinear vectors sa ibang pagkakataon.

2) Kinuha ang mga vector sa isang mahigpit na tinukoy na pagkakasunud-sunod: – Ang "a" ay pinarami ng "maging", hindi "maging" na may "a". Ang resulta ng pagpaparami ng vector ay VECTOR, na nakasaad sa asul. Kung ang mga vector ay pinarami sa reverse order, makakakuha tayo ng isang vector na katumbas ng haba at kabaligtaran sa direksyon (kulay ng raspberry). Ibig sabihin, totoo ang pagkakapantay-pantay .

3) Ngayon, kilalanin natin ang geometric na kahulugan ng produkto ng vector. Ito ay isang napakahalagang punto! Ang LENGTH ng asul na vector (at, samakatuwid, ang crimson vector) ay ayon sa bilang na katumbas ng AREA ng parallelogram na binuo sa mga vector. Sa figure, ang paralelogram na ito ay may kulay na itim.

Tandaan : ang pagguhit ay eskematiko, at, natural, ang nominal na haba ng produkto ng vector ay hindi katumbas ng lugar ng paralelogram.

Alalahanin natin ang isa sa mga geometric na formula: Ang lugar ng isang parallelogram ay katumbas ng produkto ng mga katabing panig at ang sine ng anggulo sa pagitan nila. Samakatuwid, batay sa itaas, ang formula para sa pagkalkula ng LENGTH ng isang produkto ng vector ay wasto:

Binibigyang-diin ko na ang formula ay tungkol sa LENGTH ng vector, at hindi tungkol sa vector mismo. Ano ang praktikal na kahulugan? At ang kahulugan ay sa mga problema ng analytical geometry, ang lugar ng isang paralelogram ay madalas na matatagpuan sa pamamagitan ng konsepto ng isang produkto ng vector:

Kunin natin ang pangalawang mahalagang pormula. Ang dayagonal ng isang paralelogram (pulang may tuldok na linya) ay hinahati ito sa dalawang pantay na tatsulok. Samakatuwid, ang lugar ng isang tatsulok na binuo sa mga vectors (red shading) ay matatagpuan gamit ang formula:

4) Ang isang pantay na mahalagang katotohanan ay ang vector ay orthogonal sa mga vector, iyon ay . Siyempre, ang oppositely directed vector (raspberry arrow) ay orthogonal din sa orihinal na vectors.

5) Ang vector ay nakadirekta sa gayon batayan Mayroon itong tama oryentasyon. Sa aralin tungkol sa paglipat sa isang bagong batayan Nagsalita ako ng sapat na detalye tungkol sa oryentasyon ng eroplano, at ngayon ay malalaman natin kung ano ang oryentasyon sa espasyo. Ipapaliwanag ko sa iyong mga daliri kanang kamay. Mentally combine hintuturo may vector at hinlalato may vector. Ring finger at kalingkingan pindutin ito sa iyong palad. Ang resulta hinlalaki– titingnan ang produkto ng vector. Ito ay isang right-oriented na batayan (ito ang nasa figure). Ngayon baguhin ang mga vectors ( hintuturo at gitnang daliri) sa ilang mga lugar, bilang isang resulta ang hinlalaki ay iikot, at ang produkto ng vector ay titingin na sa ibaba. Ito rin ay isang batayan na nakatuon sa tama. Maaaring may tanong ka: aling batayan ang umalis sa oryentasyon? "Italaga" sa parehong mga daliri kaliwang kamay vectors, at kunin ang kaliwang batayan at kaliwang oryentasyon ng espasyo (sa kasong ito, ang hinlalaki ay matatagpuan sa direksyon ng mas mababang vector). Sa matalinghagang pagsasalita, ang mga base na ito ay "twist" o i-orient ang espasyo sa iba't ibang direksyon. At ang konsepto na ito ay hindi dapat ituring na isang bagay na malayo o abstract - halimbawa, ang oryentasyon ng espasyo ay binago ng pinaka-ordinaryong salamin, at kung "hinutin mo ang sinasalamin na bagay mula sa salamin," kung gayon sa pangkalahatang kaso ito hindi posibleng pagsamahin ito sa "orihinal." Siyanga pala, hawakan ang tatlong daliri sa salamin at pag-aralan ang reflection ;-)

...gaano kabuti na alam mo na ngayon kanan- at kaliwa-oriented bases, nakakatakot kasi ang mga pahayag ng ilang lecturer tungkol sa pagbabago ng oryentasyon =)

Cross product ng collinear vectors

Ang kahulugan ay tinalakay nang detalyado, nananatili itong malaman kung ano ang mangyayari kapag ang mga vector ay collinear. Kung ang mga vector ay collinear, maaari silang ilagay sa isang tuwid na linya at ang aming parallelogram ay "tupi" din sa isang tuwid na linya. Ang lugar ng ganoon, gaya ng sinasabi ng mga mathematician, mabulok parallelogram ay katumbas ng zero. Ang parehong sumusunod mula sa formula - ang sine ng zero o 180 degrees ay katumbas ng zero, na nangangahulugang ang lugar ay zero

Kaya, kung , pagkatapos . Sa mahigpit na pagsasalita, ang produkto ng vector mismo ay katumbas ng zero vector, ngunit sa pagsasagawa ito ay madalas na napapabayaan at sila ay nakasulat na ito ay katumbas lamang ng zero.

Ang isang espesyal na kaso ay ang cross product ng isang vector sa sarili nito:

Gamit ang produkto ng vector, maaari mong suriin ang collinearity ng mga three-dimensional na vector, at susuriin din namin ang problemang ito, bukod sa iba pa.

Upang malutas ang mga praktikal na halimbawa na maaaring kailanganin mo trigonometriko talahanayan upang mahanap ang mga halaga ng mga sine mula dito.

Buweno, pagsikapan natin ang apoy:

Halimbawa 1

a) Hanapin ang haba ng vector product ng mga vectors kung

b) Hanapin ang lugar ng isang paralelogram na binuo sa mga vectors kung

Solusyon: Hindi, hindi ito isang typo, sadyang ginawa kong pareho ang paunang data sa mga sugnay. Dahil mag-iiba ang disenyo ng mga solusyon!

a) Ayon sa kondisyon, kailangan mong hanapin haba vector (krus na produkto). Ayon sa kaukulang formula:

Sagot:

Kung tinanong ka tungkol sa haba, pagkatapos ay sa sagot ay ipinapahiwatig namin ang dimensyon - mga yunit.

b) Ayon sa kondisyon, kailangan mong hanapin parisukat paralelogram na binuo sa mga vector. Ang lugar ng parallelogram na ito ay ayon sa bilang na katumbas ng haba ng produkto ng vector:

Sagot:

Mangyaring tandaan na ang sagot ay hindi nagsasalita tungkol sa produkto ng vector; tinanong kami tungkol sa lugar ng figure, nang naaayon, ang dimensyon ay square units.

Palagi kaming tumitingin sa KUNG ANO ang kailangan naming hanapin ayon sa kondisyon, at, batay dito, bumalangkas kami malinaw sagot. Maaaring mukhang literal ito, ngunit maraming literalista sa mga guro, at ang takdang-aralin ay may magandang pagkakataon na maibalik para sa rebisyon. Kahit na ito ay hindi isang partikular na malayong pag-aalinlangan - kung ang sagot ay mali, kung gayon ang isa ay makakakuha ng impresyon na ang tao ay hindi nakakaintindi ng mga simpleng bagay at/o hindi naiintindihan ang kakanyahan ng gawain. Ang puntong ito ay dapat palaging panatilihing nasa ilalim ng kontrol kapag nilulutas ang anumang problema sa mas mataas na matematika, at sa iba pang mga paksa.

Saan napunta ang malaking titik na "en"? Sa prinsipyo, maaari itong maging karagdagan na naka-attach sa solusyon, ngunit upang paikliin ang entry, hindi ko ginawa ito. Sana ay naiintindihan ng lahat iyon at isang pagtatalaga para sa parehong bagay.

Isang tanyag na halimbawa para sa isang solusyon sa DIY:

Halimbawa 2

Hanapin ang lugar ng isang tatsulok na binuo sa mga vectors kung

Ang formula para sa paghahanap ng lugar ng isang tatsulok sa pamamagitan ng produkto ng vector ay ibinibigay sa mga komento sa kahulugan. Ang solusyon at sagot ay nasa katapusan ng aralin.

Sa pagsasagawa, ang gawain ay talagang napakakaraniwan; ang mga tatsulok sa pangkalahatan ay maaaring pahirapan ka.

Upang malutas ang iba pang mga problema kakailanganin namin:

Mga katangian ng produkto ng vector ng mga vector

Isinaalang-alang na namin ang ilang mga katangian ng produkto ng vector, gayunpaman, isasama ko ang mga ito sa listahang ito.

Para sa mga arbitrary na vector at isang arbitrary na numero, ang mga sumusunod na katangian ay totoo:

1) Sa iba pang mga mapagkukunan ng impormasyon, ang item na ito ay karaniwang hindi naka-highlight sa mga katangian, ngunit ito ay napakahalaga sa mga praktikal na termino. Kaya hayaan mo na.

2) – ang ari-arian ay tinalakay din sa itaas, kung minsan ito ay tinatawag anticommutativity. Sa madaling salita, ang pagkakasunud-sunod ng mga vector ay mahalaga.

3) – nag-uugnay o nag-uugnay mga batas ng produkto ng vector. Ang mga constant ay madaling ilipat sa labas ng produkto ng vector. Talaga, ano ang dapat nilang gawin doon?

4) – pamamahagi o distributive mga batas ng produkto ng vector. Wala ring problema sa pagbubukas ng mga bracket.

Upang ipakita, tingnan natin ang isang maikling halimbawa:

Halimbawa 3

Hanapin kung

Solusyon: Ang kundisyon ay muling nangangailangan ng paghahanap ng haba ng produkto ng vector. Ipinta natin ang ating miniature:

(1) Ayon sa mga nauugnay na batas, kinukuha namin ang mga constant sa labas ng saklaw ng produkto ng vector.

(2) Kinukuha namin ang pare-pareho sa labas ng module, at ang module ay "kumakain" ng minus sign. Ang haba ay hindi maaaring negatibo.

(3) Ang natitira ay malinaw.

Sagot:

Panahon na upang magdagdag ng higit pang kahoy sa apoy:

Halimbawa 4

Kalkulahin ang lugar ng isang tatsulok na binuo sa mga vectors kung

Solusyon: Hanapin ang lugar ng tatsulok gamit ang formula . Ang catch ay ang mga vector na "tse" at "de" ay ipinakita mismo bilang mga kabuuan ng mga vector. Ang algorithm dito ay pamantayan at medyo nakapagpapaalaala sa mga halimbawa No. 3 at 4 ng aralin Tuldok na produkto ng mga vector. Para sa kalinawan, hahatiin namin ang solusyon sa tatlong yugto:

1) Sa unang hakbang, ipinapahayag namin ang produkto ng vector sa pamamagitan ng produkto ng vector, sa katunayan, ipahayag natin ang isang vector sa mga tuntunin ng isang vector. Wala pang salita sa haba!

(1) Palitan ang mga expression ng mga vector.

(2) Gamit ang mga batas sa pamamahagi, binubuksan namin ang mga bracket ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng mga polynomial.

(3) Gamit ang mga nauugnay na batas, inililipat namin ang lahat ng mga constant sa kabila ng mga produkto ng vector. Sa kaunting karanasan, ang mga hakbang 2 at 3 ay maaaring isagawa nang sabay-sabay.

(4) Ang una at huling termino ay katumbas ng zero (zero vector) dahil sa magandang katangian. Sa pangalawang termino ginagamit namin ang pag-aari ng anticommutativity ng isang produkto ng vector:

(5) Nagpapakita kami ng mga katulad na termino.

Bilang isang resulta, ang vector ay lumabas na ipinahayag sa pamamagitan ng isang vector, na kung ano ang kinakailangan upang makamit:

2) Sa pangalawang hakbang, nakita namin ang haba ng produkto ng vector na kailangan namin. Ang pagkilos na ito ay katulad ng Halimbawa 3:

3) Hanapin ang lugar ng kinakailangang tatsulok:

Ang mga yugto 2-3 ng solusyon ay maaaring nakasulat sa isang linya.

Sagot:

Ang problemang isinasaalang-alang ay karaniwan sa mga pagsusulit, narito ang isang halimbawa para sa paglutas nito sa iyong sarili:

Halimbawa 5

Hanapin kung

Isang maikling solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin. Tingnan natin kung gaano ka naging matulungin sa pag-aaral ng mga nakaraang halimbawa ;-)

Cross product ng mga vector sa mga coordinate

, na tinukoy sa isang orthonormal na batayan, ipinahayag ng pormula:

Ang formula ay talagang simple: sa tuktok na linya ng determinant isinulat namin ang mga coordinate vectors, sa pangalawa at pangatlong linya ay "inilalagay" namin ang mga coordinate ng mga vector, at inilalagay namin sa mahigpit na pagkakasunud-sunod– una ang mga coordinate ng "ve" vector, pagkatapos ay ang mga coordinate ng "double-ve" vector. Kung ang mga vector ay kailangang i-multiply sa ibang pagkakasunud-sunod, ang mga hilera ay dapat na palitan:

Halimbawa 10

Suriin kung ang mga sumusunod na space vector ay collinear:
A)
b)

Solusyon: Ang tseke ay batay sa isa sa mga pahayag sa araling ito: kung ang mga vector ay collinear, kung gayon ang kanilang produkto ng vector ay katumbas ng zero (zero vector): .

a) Hanapin ang produkto ng vector:

Kaya, ang mga vector ay hindi collinear.

b) Hanapin ang produkto ng vector:

Sagot: a) hindi collinear, b)

Narito, marahil, ang lahat ng pangunahing impormasyon tungkol sa produkto ng vector ng mga vector.

Ang seksyong ito ay hindi magiging napakalaki, dahil kakaunti ang mga problema kung saan ginagamit ang pinaghalong produkto ng mga vector. Sa katunayan, ang lahat ay depende sa kahulugan, geometric na kahulugan at isang pares ng mga gumaganang formula.

Ang isang halo-halong produkto ng mga vector ay ang produkto ng tatlong mga vector:

Kaya't pumila sila na parang tren at hindi makapaghintay na makilala.

Una, muli, isang kahulugan at isang larawan:

Kahulugan: Pinaghalong trabaho hindi koplanar mga vector, kinuha sa ganitong pagkakasunud-sunod, tinawag parallelepiped na dami, na binuo sa mga vectors na ito, na nilagyan ng "+" sign kung ang batayan ay tama, at isang "–" sign kung ang batayan ay naiwan.

Gawin natin ang pagguhit. Ang mga linyang hindi natin nakikita ay iginuhit ng mga tuldok na linya:

Sumisid tayo sa kahulugan:

2) Kinuha ang mga vector sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod, iyon ay, ang muling pagsasaayos ng mga vector sa produkto, tulad ng maaari mong hulaan, ay hindi mangyayari nang walang mga kahihinatnan.

3) Bago magkomento sa geometric na kahulugan, mapapansin ko ang isang malinaw na katotohanan: ang pinaghalong produkto ng mga vector ay isang NUMBER: . Sa literatura na pang-edukasyon, ang disenyo ay maaaring bahagyang naiiba; Sanay akong tukuyin ang isang halo-halong produkto ng , at ang resulta ng mga kalkulasyon sa pamamagitan ng titik na "pe".

A-prioryo ang pinaghalong produkto ay ang dami ng parallelepiped, na binuo sa mga vectors (ang figure ay iginuhit na may mga pulang vector at itim na linya). Iyon ay, ang numero ay katumbas ng dami ng isang ibinigay na parallelepiped.

Tandaan : Ang pagguhit ay eskematiko.

4) Huwag na nating alalahanin muli ang konsepto ng oryentasyon ng batayan at espasyo. Ang kahulugan ng huling bahagi ay maaaring magdagdag ng minus sign sa volume. Sa simpleng salita, ang isang halo-halong produkto ay maaaring negatibo: .

Direkta mula sa kahulugan ay sumusunod sa formula para sa pagkalkula ng dami ng isang parallelepiped na binuo sa mga vectors.

Ang lugar ng isang paralelogram na binuo sa mga vector ay katumbas ng produkto ng mga haba ng mga vector na ito at ang anggulo ng anggulo na nasa pagitan nila.

Ito ay mabuti kapag ang mga kondisyon ay nagbibigay ng mga haba ng parehong mga vectors. Gayunpaman, nangyayari din na ang formula para sa lugar ng isang paralelogram na binuo sa mga vector ay maaaring mailapat lamang pagkatapos ng mga kalkulasyon gamit ang mga coordinate.
Kung ikaw ay mapalad at ang mga kondisyon ay nagbibigay ng mga haba ng mga vectors, pagkatapos ay kailangan mo lamang ilapat ang formula, na napag-usapan na namin nang detalyado sa artikulo. Ang lugar ay magiging katumbas ng produkto ng mga module at ang sine ng anggulo sa pagitan nila:

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng isang paralelogram na binuo sa mga vectors.

Gawain: Ang paralelogram ay binuo sa mga vectors at . Hanapin ang lugar kung , at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay 30°.
Ipahayag natin ang mga vector sa pamamagitan ng kanilang mga halaga:

Marahil mayroon kang tanong - saan nagmula ang mga zero? Ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na kami ay nagtatrabaho sa mga vectors, at para sa kanila . tandaan din na kung ang resulta ay , ito ay mako-convert sa . Ngayon isinasagawa namin ang pangwakas na mga kalkulasyon:

Bumalik tayo sa problema kapag ang mga haba ng mga vector ay hindi tinukoy sa mga kondisyon. Kung ang iyong paralelogram ay nasa Cartesian coordinate system, kakailanganin mong gawin ang mga sumusunod.

Pagkalkula ng mga haba ng mga gilid ng isang figure na ibinigay ng mga coordinate

Una, hinahanap namin ang mga coordinate ng mga vector at ibawas ang kaukulang mga coordinate ng simula mula sa mga coordinate ng dulo. Sabihin nating ang mga coordinate ng vector a ay (x1;y1;z1), at ang vector b ay (x3;y3;z3).
Ngayon nakita namin ang haba ng bawat vector. Upang gawin ito, ang bawat coordinate ay dapat na parisukat, pagkatapos ay ang mga resulta na nakuha ay dapat idagdag at ang ugat ay nakuha mula sa huling numero. Batay sa aming mga vector, magkakaroon ng mga sumusunod na kalkulasyon:


Ngayon kailangan nating hanapin ang scalar product ng ating mga vectors. Upang gawin ito, ang kanilang kaukulang mga coordinate ay pinarami at idinagdag.

Ang pagkakaroon ng mga haba ng mga vector at ang kanilang scalar product, mahahanap natin ang cosine ng anggulo na nasa pagitan nila. .
Ngayon ay mahahanap natin ang sine ng parehong anggulo:
Ngayon ay mayroon na tayong lahat ng kinakailangang dami, at madali nating mahahanap ang lugar ng parallelogram na binuo sa mga vector gamit ang kilalang formula.

Square paralelogram, binuo sa mga vector, ay kinakalkula bilang produkto ng mga haba ng mga vector na ito at ang sine ng anggulo sa pagitan ng mga ito. Kung ang mga coordinate lamang ng mga vector ang kilala, kung gayon ang mga pamamaraan ng coordinate ay dapat gamitin para sa mga kalkulasyon, kabilang ang pagtukoy ng anggulo sa pagitan ng mga vector.

Kakailanganin mong

• - konsepto ng vector;
• - mga katangian ng mga vector;
• - Mga coordinate ng Cartesian;
• - trigonometriko function.

Mga tagubilin

• Kung ang mga haba ng mga vectors at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay kilala, pagkatapos ay upang mahanap ang lugar paralelogram, binuo sa mga vector, hanapin ang produkto ng kanilang mga module (mga haba ng vector) sa pamamagitan ng sine ng anggulo sa pagitan ng mga ito S=│a│ │ b│ sin(α).
• Kung ang mga vector ay ibinigay sa Cartesian coordinate system, pagkatapos ay upang mahanap ang lugar paralelogram binuo sa kanila, gawin ang sumusunod:
• Hanapin ang mga coordinate ng mga vector, kung hindi sila agad na ibinigay, sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga coordinate mula sa mga simula mula sa kaukulang mga coordinate ng mga dulo ng mga vector. Halimbawa, kung ang mga coordinate ng panimulang punto ng vector ay (1;-3;2) at ang huling punto (2;-4;-5), kung gayon ang mga coordinate ng vector ay magiging (2-1;- 4+3;-5-2)=(1 ;-1;-7). Hayaan ang mga coordinate ng vector a(x1;y1;z1), vector b(x2;y2;z2).
• Hanapin ang mga haba ng bawat isa sa mga vector. I-square ang bawat isa sa mga vector coordinates at hanapin ang kanilang kabuuan x1²+y1²+z1². Kunin ang square root ng resulta. Para sa pangalawang vector, gawin ang parehong pamamaraan. Kaya, nakukuha namin ang │a│at│b│.
• Hanapin ang tuldok na produkto ng mga vector. Upang gawin ito, i-multiply ang kanilang kaukulang mga coordinate at idagdag ang mga produkto │a b│= x1 x2+ y1 y2+ z1 z2.
• Tukuyin ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga ito, kung saan ang scalar product ng mga vector na nakuha sa hakbang 3 ay hinati sa produkto ng mga haba ng mga vector na kinakalkula sa hakbang 2 (Cos(α)= │a b│/(│a │ │ b│)).
• Ang sine ng magreresultang anggulo ay magiging katumbas ng square root ng pagkakaiba sa pagitan ng numero 1 at parisukat ng cosine ng parehong anggulo, na kinakalkula sa hakbang 4 (1-Cos²(α)).
• Kalkulahin ang lugar paralelogram, binuo sa mga vector na natagpuan ang produkto ng kanilang mga haba, kinakalkula sa hakbang 2, at i-multiply ang resulta sa bilang na nakuha pagkatapos ng mga kalkulasyon sa hakbang 5.
• Kung sakaling ang mga coordinate ng mga vector ay ibinigay sa eroplano, ang z coordinate ay itatapon lamang sa panahon ng mga kalkulasyon. Ang kalkulasyong ito ay isang numerical expression ng vector product ng dalawang vectors.