Тази част от уравнението е изразът в скоби. За да отворите скоби, погледнете знака пред скобите. Ако има знак плюс, нищо няма да се промени при разширяване на скобите в записа на израза: просто премахнете скобите. Ако има знак минус, при отваряне на скобите е необходимо да промените всички знаци, които първоначално са в скоби, на противоположните. Например, -(2x-3)=-2x+3.
Умножаване на две скоби.
Ако уравнението съдържа произведението на две скоби, разширяване на скобите според стандартно правило. Всеки член от първата скоба се умножава с всеки член от втората скоба. Получените числа се сумират. В този случай произведението на два "плюса" или два "минуса" дава на термина знак "плюс", а ако факторите имат различни знаци, тогава той получава знак "минус".
Обмисли .
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
Чрез разширяване на скоби, понякога повдигане на израз до . Формулите за квадратура и кубиране трябва да се знаят наизуст и да се запомнят.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Формули за издигане на израз, по-голям от три, могат да бъдат направени с помощта на триъгълника на Паскал.
Източници:
- формула за отваряне на скоби
Математическите операции, затворени в скоби, могат да съдържат променливи и изрази с различна степен на сложност. За да умножите такива изрази, ще трябва да потърсите решение в общ вид, като отворите скобите и опростите резултата. Ако скобите съдържат операции без променливи, само с числови стойности, тогава не е необходимо да отваряте скобите, тъй като ако компютърът е достъпен за неговия потребител, са налични много значителни изчислителни ресурси - по-лесно е да ги използвате, отколкото да опростите изразяване.
Инструкция
Умножете последователно всеки (или намален от), съдържащ се в една скоба, по съдържанието на всички останали скоби, ако искате да получите общ резултат. Например, нека оригиналният израз се запише така: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Тогава последователното умножение (тоест разширяването на скобите) ще даде следния резултат: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗xx∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.
Опростете след резултата, като съкратите изразите. Например, изразът, получен в предишната стъпка, може да бъде опростен, както следва: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.
Използвайте калкулатор, ако трябва да умножите x е равно на 4,75, тоест (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). За да изчислите тази стойност, отидете на уебсайта на търсачката Google или Nigma и въведете израза в полето за заявка в оригиналния му вид (5+4,75)*(6-4,75)*(4,75+2). Google ще покаже 82.265625 веднага, без да натиска бутон, докато Nigma трябва да изпрати данните до сървъра с натискане на бутон.
Навсякъде. Навсякъде и навсякъде, където и да погледнете, има такива конструкции:
Тези „конструкции“ у грамотните хора предизвикват двусмислена реакция. Поне като "така ли е наистина - нали?".
Като цяло, лично аз не мога да разбера откъде идва „модата“ да не се затварят външни кавички. Първата и единствена аналогия, която се появява в това отношение, е аналогията със скобите. Никой не се съмнява, че две скоби подред са нормални. Например: "Платете за целия тираж (200 броя (от които 100 са дефектни))". Но в нормалността на поставянето на две цитати подред някой се усъмни (чудя се кой беше първият?) ... И сега всички без изключение започнаха да произвеждат конструкции като LLC Firm Pupkov and Co. с чиста съвест.
Но дори и да не сте виждали правилото в живота си, което ще бъде разгледано по-долу, тогава единствената логически оправдана опция (използвайки скобите като пример) би била следната: Firm Pupkov and Co LLC.
И така, самото правило:
Ако в началото или в края на цитат (същото важи и за пряката реч) има вътрешни и външни кавички, тогава те трябва да се различават един от друг по модел (така наречените „коледни елхи“ и „сладки“ ), а външните кавички не трябва да се пропускат, например: C Страните на кораба бяха излъчени по радиото: „Ленинград навлезе в тропиците и продължава по своя курс“. За Жуковски Белински пише: „Съвременниците от младостта на Жуковски гледаха на него главно като автор на балади и в едно от съобщенията си Батюшков го нарече „баладист“.
© Правила на руския правопис и пунктуация. - Тула: Автограф, 1995. - 192 с.
Съответно ... ако нямате възможност да пишете в кавички "коледни елхи", тогава какво можете да направите, ще трябва да използвате такива икони "". Въпреки това, невъзможността (или нежеланието) да използвате руски кавички в никакъв случай не е причината да не можете да затворите външните кавички.Така изневярата на дизайна на Firm Pupkov and Co LLC изглежда е изчистена. Съществуват и проекти от типа LLC Firm Pupkov and Co.
От правилото е съвсем ясно, че подобни конструкции са неграмотни ... (Правилно: LLC Firm Pupkov and Co.Но!
В Наръчника за издателя и автора на Milchin (издание от 2004 г.) се посочва, че в такива случаи могат да се използват две опции за дизайн. Използването на "рибени кости" и "лапи" и (при липса на технически средства) използването само на "рибени кости": две отварящи се и една затваряща.
Указателят е „пресен“ и лично аз веднага имам 2 въпроса тук. Първо, с каква радост все още можете да използвате един заключителен цитат-рибена кост (е, това е нелогично, вижте по-горе), и второ, фразата „при липса на технически средства“ особено привлича вниманието. Как става, извинявай? Тук отворете Notepad и напишете „само коледни елхи: две отварящи се и едно затваряне“. На клавиатурата няма такива знаци. Отпечатването на коледно дърво не работи... Комбинацията Shift + 2 произвежда знака " (който, както знаете, дори не е кавички). Сега отворете Microsoft Word и натиснете отново Shift + 2. Програмата ще коригира „до „ (или „). Е, излиза, че правилото, което съществува повече от дузина години, е взето и пренаписано под Microsoft Word? Като, след като Словото от "Фирма" Пупков и Ко "прави" Фирма "Пупков и Ко", то сега нека е приемливо и правилно???
Изглежда че. И ако е така, тогава има всички основания да се съмняваме в правилността на такава иновация.Да, и още едно уточнение... за самата „липса на технически средства“. Факт е, че на всеки компютър с Windows винаги има " технически средства”, за да въведете и „рибени кости“ и „лапи“, така че това ново „правило“ (за мен е в кавички) първоначално е неправилно!
Всички специални знаци в шрифта могат лесно да бъдат въведени, като се знае съответният номер на този знак. Достатъчно е да задържите Alt и да въведете на клавиатурата NumLock (NumLock е натиснат, индикаторът свети) съответния номер на символа:
„ Alt + 0132 (ляв крак)
“ Alt + 0147 (десен крак)
« Alt + 0171 (лява рибена кост)
» Alt + 0187 (дясна рибена кост)
В почти всеки текст можете да намерите скоби и тирета. Но потребителите не винаги ги рисуват правилно. Например, не е необичайно да виждате тирета без един или два интервала, когато текстът се придържа към символ. Същото важи и за скоби, чието използване е неуместно или без отчитане на правилата за писане претоварва текста. Тази статия разглежда въпросите за писане на скоби и тирета в съответствие с общоприетите правила.
Правила за скоби
Когато пишете скоби, спазвайте същите правила като за кавички. Например, две скоби не се поставят в ред.
Има няколко случая, когато се използват скоби:
Отделете думи, групи от думи и цели изречения, които не са пряко свързани с основната идея, изразена от автора. Фрази, произнесени мимоходом, когато авторът не привлича вниманието на читателя към тях. Изразите в скоби изпадат от синтактичната структура на изречението.
Пример: " И въпреки че самият аз разбирам, че когато тя дърпа моите вихри, тя ги измъква само от жалостта на сърцето си (защото, повтарям без смущение, тя дърпа моите вихри, млади човече“, потвърди той с изключително достойнство, чувайки поредния кикот) , но, Боже, ами ако тя дори веднъж ... Но не! Не! Всичко това е напразно и няма какво да се каже! няма какво да кажа!.. защото неведнъж желаното вече се е случило и неведнъж са ме съжалили, но ... такава е вече моята черта, а аз съм роден добитък!" (F.M. Достоевски, "Престъпление и наказание")
Кратки забележки за обяснение на определена дума или фраза в изречение се поставят в скоби.
Пример: " Отиде нормално, успокояващо бърборене, когато, заедно с искрено съчувствие (всички принадлежим тук и като цяло всички сме мили хора)има и намек за подигравателно облекчение. Не съм аз! Не съм направил тази глупост - прочете се по лицата.(С. Лукяненко, „Сенките на мечтите“)
Пример: " Попитах един пиян йогин
(Той бръснач, ядеше нокти като наденица):
„Слушай, приятелю, отвори ми се - за Бога,
Ще взема тайната със себе си в гроба!»
(В. Висоцки, "Песен за йогите")
Препратките към формули и илюстрации са затворени в скоби, например (фиг. 2), (диаг. 3, стр. 184) , « Формула (1) е следствие от питагоровата теорема. Формули (2) и (3) се получават от формулата (1) . » и източници на информация (литература, публикации) в квадратни скоби, например: , , и т.н.
Забележките са затворени в скоби, ярък пример са сценарии, при които словесното въплъщение на непрекъснато действие е посочено в забележките, например:
« Уил се смее.
СКАЙЛЪР (продължава)
Как го правиш? Аз не... искам да кажа, дори и най-умните хора, които познавам, имаме двойка в Харвард, трябва да учим - много. Сложно е.
(пауза)
Виж, Уил, ако не искаш да ми кажеш...»
(Сценарий за филма "Добрият Уил Хънтинг"
Скобите се използват и при добавяне на недовършени думи в авторски доклади.
Номерирането в текста се изписва със скоби в следния формат:
1)
а)
*)
По подобен начин се изготвят знаци за бележки под линия (препратки).
Правила за тире
Тирето се отнася до препинателни знаци; когато се пише преди и след тире, винаги се пише интервал.
Има няколко изключения, когато тире е написано без и двете или един интервал:
когато параграф започва с тире, интервалът се поставя само след него.
когато тире стои между две числа, действащо като тире. Например: " всеки ден нашият сайт се посещава от 3000 -
3500 посетители».
Например: " – О-о… ъъъ… –
само и успя да измърмори смаяната Пейдж.(Филип К. Дик, Доклад за малцинството)
Повечето препинателни знаци, включително запетаи, въпросителни, удивителни, се поставят преди тирето. Пример: " Централният планински район, в който се намират планините Пинд , - най-рядко населените. В този регион се намира най-високата точка в Гърция, връх Олимп (2917 м). Централна Гърция е най-населеният регион."(Еклопедичен справочник" Целият свят. Държави ")
Тирето се използва по няколко начина:
- като препинателен знак;
- като съединител на двойка пределни числа, например: 80-90%
;
- като математически знак минус;
- като разделителен знак или символот обяснителния текст, например, когато се дава декодиране на символите, включени във формулата, или се дава обяснение за илюстрацията;
- като тире, с тире, изписано заедно с непреносимата част на думата и не трябва да се повтаря в началото на следващия ред;
- като свързващо тире или тире.
Основната функция на скобите е да променят реда на действията при изчисляване на стойности. например, в числовия израз \(5 3+7\) първо ще се изчисли умножението, а след това събирането: \(5 3+7 =15+7=22\). Но в израза \(5·(3+7)\) първо ще се изчислява събирането в скоби и едва след това умножението: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Пример.
Разгънете скобата: \(-(4m+3)\).
Решение
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Пример.
Разширете скобата и дайте подобни термини \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Пример.
Разгънете скобите \(5(3-x)\).
Решение
: Имаме \(3\) и \(-x\) в скобата и пет пред скобата. Това означава, че всеки член на скобата се умножава по \ (5 \) - напомням ви това знакът за умножение между число и скоба в математиката не се записва, за да намали размера на записите.
Пример.
Разгънете скобите \(-2(-3x+5)\).
Решение
: Както в предишния пример, поставените в скоби \(-3x\) и \(5\) се умножават по \(-2\).
Пример.
Опростете израза: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Решение
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Остава да разгледаме последната ситуация.
При умножаване на скоби по скоби, всеки член от първата скоба се умножава с всеки член от втория:
\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)
Пример.
Разгънете скобите \((2-x)(3x-1)\).
Решение
: Имаме продукт от скоби и той може да се отвори веднага с помощта на формулата по-горе. Но за да не се объркаме, нека направим всичко стъпка по стъпка.
Стъпка 1. Премахнете първата скоба - всеки от нейните членове се умножава по втората скоба:
Стъпка 2. Разширете продуктите на скобата с коефициента, както е описано по-горе:
- първо първият...
След това вторият.
Стъпка 3. Сега умножаваме и извеждаме подобни термини:
Не е необходимо да рисувате подробно всички трансформации, можете веднага да умножите. Но ако просто се учите да отваряте скоби - пишете подробно, ще има по-малък шанс да направите грешка.
Забележка към целия раздел.Всъщност не е нужно да помните всичките четири правила, трябва да запомните само едно, това: \(c(a-b)=ca-cb\) . Защо? Защото ако заместим едно вместо c, получаваме правилото \((a-b)=a-b\) . И ако заместим минус едно, получаваме правилото \(-(a-b)=-a+b\) . Е, ако замените друга скоба вместо c, можете да получите последното правило.
скоби в скоби
Понякога на практика има проблеми със скоби, вложени в други скоби. Ето пример за такава задача: да опрости израза \(7x+2(5-(3x+y))\).
За да постигнете успех в тези задачи, трябва:
- внимателно да разберете влагането на скоби - коя в коя е;
- отворете скобите последователно, като започнете например от най-вътрешната.
Важно е при отваряне на една от скобите не докосвайте останалата част от израза, просто го пренаписвам както е.
Нека вземем задачата по-горе като пример.
Пример.
Отворете скобите и дайте подобни термини \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:
Пример.
Разгънете скобите и дайте подобни термини \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Това е тройно влагане на скоби. Започваме с най-вътрешния (маркиран в зелено). Пред скобите има плюс, така че просто се премахва. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Сега трябва да отворите втората скоба, междинна. Но преди това ще опростим израза, като посочим подобни термини в тази втора скоба. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Сега отваряме втората скоба (маркирана в синьо). Пред скобите има множител - така че всеки член в скобите се умножава по него. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
И отворете последната скоба. Преди скобата минус - значи всички знаци са обърнати. |
||
Отварянето на скоби е основно умение в математиката. Без това умение е невъзможно да имате оценка над три в 8 и 9 клас. Затова препоръчвам добро разбиране на тази тема.
Разширяването на скоби е вид трансформация на израз. В този раздел ще опишем правилата за разширяване на скоби, както и ще разгледаме най-често срещаните примери за задачи.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Какво е разширяване на скоби?
Скобите се използват за посочване на реда, в който се извършват действията в числови и азбучни изрази, както и в изрази с променливи. Удобно е да преминете от израз със скоби към идентично равен израз без скоби. Например заменете израза 2 (3 + 4) с израз като 2 3 + 2 4без скоби. Тази техника се нарича отваряне на скоби.
Определение 1
Под отваряне на скоби имаме предвид методите за премахване на скоби и обикновено се разглеждат във връзка с изрази, които могат да съдържат:
- знаци "+" или "-" пред скоби, които съдържат суми или разлики;
- произведението на число, буква или няколко букви и сумата или разликата, която се поставя в скоби.
Ето как разглеждахме процеса на разширяване на скоби в курса училищна програма. Никой обаче не ни пречи да погледнем по-широко на това действие. Можем да наречем разширяване на скоби преход от израз, който съдържа отрицателни числа в скоби към израз, който няма скоби. Например, можем да преминем от 5 + (− 3) − (− 7) до 5 − 3 + 7 . Всъщност това също е разширяване на скоби.
По същия начин можем да заменим произведението на изрази в скоби от вида (a + b) · (c + d) със сумата a · c + a · d + b · c + b · d . Тази техника също не противоречи на значението на разширяването на скоби.
Ето още един пример. Можем да предположим, че в изрази, вместо числа и променливи, могат да се използват всякакви изрази. Например, изразът x 2 1 a - x + sin (b) ще съответства на израз без скоби от вида x 2 1 a - x 2 x + x 2 sin (b) .
Още един момент заслужава специално внимание, който се отнася до особеностите на писане на решения при отваряне на скоби. Можем да запишем първоначалния израз със скоби и получения резултат след отваряне на скобите като равенство. Например, след отваряне на скобите, вместо израза 3 − (5 − 7) получаваме израза 3 − 5 + 7 . Можем да запишем и двата израза като равенството 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 .
Извършването на действия с тромави изрази може да изисква записване на междинни резултати. Тогава решението ще има формата на верига от равенства. Например, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 или 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .
Правила за отваряне на скоби, примери
Нека започнем с правилата за отваряне на скоби.
Единични числа в скоби
Отрицателните числа в скоби често се появяват в изразите. Например (− 4) и 3 + (− 4) . Положителни числа в скоби също се срещат.
Нека формулираме правилото за отваряне на скоби, които съдържат единични положителни числа. Да предположим, че a е всяко положително число. Тогава можем да заменим (a) с a, + (a) с + a, - (a) с - a. Ако вместо a вземем конкретно число, тогава според правилото: числото (5) ще бъде записано като 5 , изразът 3 + (5) без скоби ще приеме формата 3 + 5 , тъй като + (5) се заменя с + 5 , а изразът 3 + (− 5) е еквивалентен на израза 3 − 5 , защото + (− 5) се заменя с − 5 .
Положителните числа обикновено се пишат без използване на скоби, тъй като в този случай скобите са излишни.
Сега разгледайте правилото за отваряне на скоби, които съдържат едно отрицателно число. + (−a)заместваме с − а, − (− a) се заменя с + a . Ако изразът започва с отрицателно число (-а), което се изписва в скоби, тогава скобите се пропускат и вместо (-а)остава − а.
Ето няколко примера: (− 5) може да се запише като − 5 , (− 3) + 0 , 5 става − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) става 4 − 3 и − (− 4) − (− 3) след отваряне на скобите приема формата 4 + 3 , тъй като − (− 4) и − (− 3) се заменя с + 4 и + 3 .
Трябва да се разбере, че изразът 3 · (− 5) не може да се запише като 3 · − 5. Това ще бъде обсъдено в следващите параграфи.
Нека видим на какво се основават правилата за разширяване на скоби.
Според правилото разликата a − b е равна на a + (− b) . Въз основа на свойствата на действията с числа можем да направим верига от равенства (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = aкоето ще бъде справедливо. Тази верига от равенства, по силата на смисъла на изваждане, доказва, че изразът a + (− b) е разликата a-b.
Въз основа на свойствата на противоположните числа и правилата за изваждане на отрицателни числа, можем да твърдим, че − (− a) = a , a − (− b) = a + b .
Има изрази, които са съставени от число, знаци минус и няколко двойки скоби. Използването на горните правила ви позволява последователно да се отървете от скоби, преминавайки от вътрешни скоби към външни или обратно. Пример за такъв израз би бил − (− ((− (5)))) . Нека отворим скобите, движейки се отвътре навън: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Този пример може да бъде анализиран и в обратен ред: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .
Под аи b могат да се разбират не само като числа, но и като произволни числови или буквални изрази с "+" отпред, които не са суми или разлики. Във всички тези случаи можете да приложите правилата по същия начин, както направихме с единични числа в скоби.
Например, след отваряне на скобите, изразът − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z)приема формата 2 x − x 2 − 1 x − 2 x y 2: z . Как го направихме? Знаем, че − (− 2 x) е + 2 x , и тъй като този израз е на първо място, тогава + 2 x може да се запише като 2 x , - (x 2) = - x 2, + (− 1 x) = − 1 x и − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.
В произведенията на две числа
Нека започнем с правилото за разширяване на скоби в произведението на две числа.
Нека се преструваме аи b са две положителни числа. В този случай произведението на две отрицателни числа − аи − b от вида (− a) (− b) могат да бъдат заменени с (a b) , а произведенията на две числа с противоположни знаци на вида (− a) b и a (− b) могат да бъдат заменени с (− а б). Умножаването на минус по минус дава плюс, а умножаването на минус по плюс, като умножаването на плюс по минус, дава минус.
Правилността на първата част от написаното правило се потвърждава от правилото за умножение на отрицателни числа. За да потвърдим втората част на правилото, можем да използваме правилата за умножение за числа с различни знаци.
Нека разгледаме няколко примера.
Пример 1
Да разгледаме алгоритъма за отваряне на скоби в произведението на две отрицателни числа - 4 3 5 и - 2 , от вида (- 2) · - 4 3 5 . За да направим това, заменяме оригиналния израз с 2 · 4 3 5 . Нека разширим скобите и получим 2 · 4 3 5 .
И ако вземем частното от отрицателни числа (− 4) : (− 2) , тогава записът след отваряне на скобите ще изглежда като 4: 2
Вместо отрицателни числа − аи − b могат да бъдат всякакви изрази с водещ знак минус, които не са суми или разлики. Например, това могат да бъдат произведения, частични части, дроби, степени, корени, логаритми, тригонометрични функции и т.н.
Нека отворим скобите в израза - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Съгласно правилото можем да направим следните трансформации: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5 .
Изразяване (− 3) 2може да се преобразува в израза (− 3 2) . След това можете да отворите скобите: − 3 2.
2 3 - 4 5 = - 2 3 4 5 = - 2 3 4 5
Разделянето на числа с различни знаци може също да изисква предварително разширяване на скоби: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 и 2 3 4: (- 3 , 5) = - 2 3 4: 3 , 5 = - 2 3 4: 3 , 5 .
Правилото може да се използва за извършване на умножение и деление на изрази с различни знаци. Да дадем два примера.
1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3
sin (x) (- x 2) \u003d (- sin (x) x 2) \u003d - sin (x) x 2
В продуктите на три или повече числа
Да преминем към продуктите и коефициентите, които съдържат по-голям брой числа. За разширяващи се скоби тук ще се прилага следното правило. При четен брой отрицателни числа можете да пропуснете скобите, като замените числата с техните противоположни. След това трябва да затворите получения израз в нови скоби. За нечетен брой отрицателни числа, пропускайки скобите, заменете числата с техните противоположни. След това полученият израз трябва да се вземе в нови скоби и да се постави знак минус пред него.
Пример 2
Например, да вземем израза 5 · (− 3) · (− 2) , който е произведение на три числа. Има две отрицателни числа, така че можем да запишем израза като (5 3 2) и накрая отворете скобите, получавайки израза 5 3 2 .
В произведението (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) пет числа са отрицателни. така че (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 . 5 3: 2 4: 1 , 25: 1) . Най-накрая отваряме скобите, получаваме −2,5 3:2 4:1,25:1.
Горното правило може да бъде обосновано по следния начин. Първо, можем да пренапишем такива изрази като произведение, като заменим делението с умножение с обратното. Представяме всяко отрицателно число като произведение на множител и заменяме - 1 или - 1 с (− 1) а.
Използвайки комутативното свойство на умножението, ние разменяме факторите и прехвърляме всички фактори, равни на − 1 , до началото на израза. Произведението на четно число минус единици е равно на 1, а нечетно число е равно на − 1 , което ни позволява да използваме знака минус.
Ако не използвахме правилото, тогава веригата от действия за отваряне на скоби в израза - 2 3: (- 2) 4: - 6 7 би изглеждала така:
2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) 7 6 = = (- 1) (- 1) (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6
Горното правило може да се използва при разширяване на скоби в изрази, които са произведения и частни със знак минус, които не са суми или разлики. Вземете за пример израза
x 2 (- x) : (- 1 x) x - 3: 2 .
Може да се сведе до израз без скоби x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 .
Отварящи скоби, предшествани от знак +
Помислете за правило, което може да се приложи за разгъващи скоби, предшествани от знак плюс и „съдържанието“ на тези скоби не се умножава или разделя на никакво число или израз.
Съгласно правилото скоби заедно със знака пред тях се пропускат, като се запазват знаците на всички термини в скоби. Ако няма знак пред първия член в скоби, тогава трябва да поставите знак плюс.
Пример 3
Например даваме израза (12 − 3 , 5) − 7 . Пропускайки скобите, запазваме знаците на термините в скобите и поставяме знак плюс пред първия член. Записът ще изглежда така (12 − 3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . В горния пример не е необходимо да се поставя знак пред първия член, тъй като + 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7.
Пример 4
Нека разгледаме още един пример. Вземете израза x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x и извършете действия с него x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x
Ето още един пример за разширяване на скоби:
Пример 5
2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x2
Как да разширите скоби, предшествани от знак минус
Помислете за случаите, при които пред скобите има знак минус и които не се умножават (или делят) с никакво число или израз. Съгласно правилото за разширяване на скоби, предшествани от знака „-“, скобите със знак „-“ се пропускат, докато знаците на всички термини в скобите се обръщат.
Пример 6
Например:
1 2 = 1 2, - 1 x + 1 = - 1 x + 1, - (- x 2) \u003d x 2
Променливите изрази могат да бъдат преобразувани с помощта на същото правило:
X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,
получаваме x - x 3 - 3 + 2 x 2 - 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2 .
Отваряне на скоби при умножаване на число по скоби, изрази със скоби
Тук ще разгледаме случаите, когато е необходимо да се отворят скоби, които се умножават или делят на произволно число или израз. Тук формули от вида (a 1 ± a 2 ± ... ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± ... ± a n b) или b (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b a 1 ± b a 2 ± … ± b a n), където a 1 , a 2 , … , a nи b са някои числа или изрази.
Пример 7
Например, нека разширим скобите в израза (3 − 7) 2. Съгласно правилото можем да направим следните трансформации: (3 − 7) 2 = (3 2 − 7 2) . Получаваме 3 · 2 − 7 · 2 .
Разгъвайки скобите в израза 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, получаваме 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.
Умножете скоби по скоби
Да разгледаме произведението на две скоби от вида (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Това ще ни помогне да получим правило за разширяване на скоби при умножаване на скоби по скоби.
За да разрешим горния пример, обозначаваме израза (b 1 + b 2)като б. Това ще ни позволи да използваме правилото за умножение на скоби-изрази. Получаваме (a 1 + a 2) (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) b = (a 1 b + a 2 b) = a 1 b + a 2 b . Чрез извършване на обратна замяна бвърху (b 1 + b 2), отново приложете правилото за умножаване на израза по скоби: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2
Благодарение на редица прости трикове можем да стигнем до сбора от произведенията на всеки от термините от първата скоба и всеки от термините от втората скоба. Правилото може да бъде разширено до произволен брой термини в скобите.
Нека формулираме правилата за умножаване на скоби по скоби: за да умножим две суми помежду си, е необходимо да умножим всеки от членовете на първата сума по всеки от членовете на втората сума и да добавим резултатите.
Формулата ще изглежда така:
(a 1 + a 2 + . . . + a m) (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n
Нека разширим скобите в израза (1 + x) · (x 2 + x + 6) Той е произведение на две суми. Нека напишем решението: (1 + x) (x 2 + x + 6) = = (1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + xx 2 + xx + x 6
Отделно си струва да се спрем на онези случаи, когато има знак минус в скоби заедно със знаци плюс. Например, да вземем израза (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .
Първо, ние представяме изразите в скоби като суми: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)). Сега можем да приложим правилото: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (− 2 x y 3) + (− x) 3 xy + ( − x) (− 2 xy 3))
Нека разширим скобите: 1 3 x y − 1 2 x y 3 − x 3 x y + x 2 x y 3 .
Разширяване на скоби в произведения на няколко скоби и изрази
Ако в израза има три или повече израза в скоби, е необходимо скобите да се разширят последователно. Необходимо е да започнем трансформацията с факта, че първите два фактора са взети в скоби. В тези скоби можем да извършваме трансформации според правилата, обсъдени по-горе. Например скобите в израза (2 + 4) 3 (5 + 7 8) .
Изразът съдържа три фактора наведнъж (2 + 4) , 3 и (5 + 7 8) . Ще разширим скобите последователно. Ограждаме първите два фактора в още една скоба, която ще направим червено за по-голяма яснота: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).
В съответствие с правилото за умножение на скоба по число, можем да извършим следните действия: ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) .
Умножете скоба по скоба: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .
Скоби в натура
Степените, чиито основи са някои изрази, записани в скоби, с естествени степени могат да се разглеждат като произведение на няколко скоби. Още повече, че според правилата от предходните два параграфа те могат да се пишат и без тези скоби.
Помислете за процеса на трансформиране на израза (a + b + c) 2 . Може да се запише като произведение на две скоби (a + b + c) (a + b + c). Умножаваме скоба по скоба и получаваме a a + a b + a c + b a + b b + b c + c a + c b + c c .
Да вземем друг пример:
Пример 8
1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x 1 x + 1 x 2 1 x + 2 1 x 1 x + 2 2 1 x + 1 x 1 x 2 + + 1 x 2 2 + 2 1 x 2 + 2 2 2
Разделяне на скоби на число и на скоби на скоби
Разделянето на скоби на число предполага, че трябва да разделите на числото всички термини, затворени в скоби. Например (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .
Делението може предварително да бъде заменено с умножение, след което можете да използвате съответното правило за отваряне на скоби в продукта. Същото правило важи и при разделяне на скоби на скоби.
Например, трябва да отворим скобите в израза (x + 2) : 2 3 . За да направите това, първо заменете делението, като умножите по обратното на (x + 2) : 2 3 = (x + 2) · 2 3 . Умножете скобата по числото (x + 2) 2 3 = x 2 3 + 2 2 3 .
Ето още един пример за деление в скоби:
Пример 9
1 x + x + 1: (x + 2) .
Нека заменим делението с умножение: 1 x + x + 1 1 x + 2 .
Нека направим умножението: 1 x + x + 1 1 x + 2 = 1 x 1 x + 2 + x 1 x + 2 + 1 1 x + 2 .
Ред за разширяване на скоби
Сега разгледайте реда на прилагане на правилата, разгледани по-горе в изразите общ изглед, т.е. в изрази, които съдържат суми с разлики, произведения с частни, скоби в натура.
Редът на действията:
- първата стъпка е да се повдигнат скобите до естествена степен;
- на втория етап се отварят скоби в работни и частни;
- последната стъпка е да отворите скобите в сумите и разликите.
Нека разгледаме реда на действията, използвайки примера на израза (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Нека преобразуваме от изразите 3 (− 2) : (− 4) и 6 (− 7) , които трябва да приемат формата (3 2:4)и (− 6 7) . Замествайки получените резултати в оригиналния израз, получаваме: (− 5) + 3 (− 2) : (− 4) − 6 (− 7) = (− 5) + (3 2: 4) − (− 6 7 ). Разгънете скобите: − 5 + 3 2: 4 + 6 7 .
Когато работите с изрази, които съдържат скоби в скоби, е удобно да се извършват трансформации отвътре навън.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter