За да решите задачи с комплексни числа, трябва да разберете основните дефиниции. Основната цел на тази обзорна статия е да обясни какво представляват комплексните числа и да представи методи за решаване на основни задачи с комплексни числа. По този начин комплексното число е число от формата z = a + bi, където а, б- реални числа, които се наричат ​​съответно реална и имагинерна част от комплексното число и означават a = Re(z), b=Im(z).
исе нарича въображаема единица. i 2 = -1. По-специално, всяко реално число може да се счита за сложно: a = a + 0i, където a е реално. Ако а = 0и b ≠ 0, то числото се нарича чисто въображаемо.

Сега въвеждаме операции с комплексни числа.
Да разгледаме две комплексни числа z 1 = a 1 + b 1 iи z 2 = a 2 + b 2 i.

Обмисли z = a + bi.

Множеството от комплексни числа разширява множеството от реални числа, което от своя страна разширява множеството от рационални числа и т.н. Тази верига от вложения може да се види на фигурата: N - естествени числа, Z - цели числа, Q - рационални, R - реални, C - комплексни.

Представяне на комплексни числа

Алгебрична нотация.

Помислете за комплексно число z = a + bi, тази форма на запис на комплексно число се нарича алгебрични. Вече обсъдихме подробно тази форма на писане в предишния раздел. Доста често използвайте следния илюстративен чертеж

тригонометрична форма.

От фигурата се вижда, че номерът z = a + biможе да се напише различно. Очевидно е, че a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, следователно z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) се нарича аргумент на комплексно число. Това представяне на комплексно число се нарича тригонометрична форма. Тригонометричната форма на нотация понякога е много удобна. Например, удобно е да го използвате за повдигане на комплексно число до степен на цяло число, а именно, ако z = rcos(φ) + rsin(φ)i, тогава z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, тази формула се нарича Формулата на Де Моавр.

Демонстративна форма.

Обмисли z = rcos(φ) + rsin(φ)iе комплексно число в тригонометрична форма, ние го записваме в различна форма z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, последното равенство следва от формулата на Ойлер, така че получихме нова форма на записване на комплексно число: z = re iφ, което се нарича демонстративен. Тази форма на нотация също е много удобна за повдигане на комплексно число на степен: z n = r n e inφ, тук нне е непременно цяло число, но може да бъде произволно реално число. Тази форма на писане доста често се използва за решаване на проблеми.

Основна теорема на висшата алгебра

Представете си, че имаме квадратно уравнение x 2 + x + 1 = 0. Очевидно е, че дискриминантът на това уравнение е отрицателен и то няма реални корени, но се оказва, че това уравнение има два различни комплексни корена. И така, основната теорема на висшата алгебра гласи, че всеки полином от степен n има поне един комплексен корен. От това следва, че всеки полином от степен n има точно n комплексни корени, като се вземе предвид тяхната кратност. Тази теорема е много важен резултат в математиката и се прилага широко. Едно просто следствие от тази теорема е, че има точно n различни корени от n степен от единица.

Основни видове задачи

В този раздел ще бъдат разгледани основните типове задачи с прости сложни числа. Обикновено задачите за комплексни числа могат да бъдат разделени на следните категории.

• Извършване на прости аритметични операции върху комплексни числа.
• Намиране на корените на полиноми в комплексни числа.
• Повишаване на комплексни числа в степен.
• Извличане на корени от комплексни числа.
• Приложение на комплексни числа за решаване на други задачи.

Сега разгледайте общите методи за решаване на тези проблеми.

Най-простите аритметични операции с комплексни числа се извършват съгласно правилата, описани в първия раздел, но ако комплексните числа са представени в тригонометрична или експоненциална форма, тогава в този случай те могат да бъдат преобразувани в алгебрична форма и да извършват операции според известни правила.

Намирането на корените на полиноми обикновено се свежда до намиране на корените на квадратно уравнение. Да предположим, че имаме квадратно уравнение, ако неговият дискриминант е неотрицателен, тогава неговите корени ще бъдат реални и се намират по добре позната формула. Ако дискриминантът е отрицателен, тогава D = -1∙a 2, където ае определено число, тогава можем да представим дискриминанта във формата D = (ia) 2, следователно √D = i|a|, а след това можете да използвате вече известната формула за корените на квадратното уравнение.

Пример. Нека се върнем към споменатото по-горе квадратно уравнение x 2 + x + 1 = 0.
Дискриминанта - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1 (√3) 2 = (i√3) 2.
Сега лесно можем да намерим корените:

Повишаването на комплексни числа в степен може да се извърши по няколко начина. Ако искате да увеличите комплексно число в алгебрична форма на малка степен (2 или 3), тогава можете да направите това чрез директно умножение, но ако степента е по-голяма (в проблемите често е много по-голяма), тогава трябва да напишете това число в тригонометрична или експоненциална форма и използвайте вече познати методи.

Пример. Да вземем z = 1 + i и да увеличим на десета степен.
Записваме z в експоненциална форма: z = √2 e iπ/4 .
Тогава z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Да се ​​върнем към алгебричната форма: z 10 = -32i.

Извличането на корени от комплексни числа е обратната операция по отношение на степента, така че се прави по подобен начин. За извличане на корените често се използва експоненциалната форма на запис на число.

Пример. Намерете всички корени от степен 3 от единица. За да направим това, намираме всички корени на уравнението z 3 = 1, ще търсим корените в експоненциална форма.
Заместете в уравнението: r 3 e 3iφ = 1 или r 3 e 3iφ = e 0 .
Следователно: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, следователно φ = 2πk/3.
Получават се различни корени при φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Следователно 1 , e i2π/3 , e i4π/3 са корени.
Или в алгебрична форма:

Последният тип проблеми включва огромно разнообразие от проблеми и няма общи методи за решаването им. Ето един прост пример за такава задача:

Намерете сумата sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Въпреки че формулировката на този проблем не се отнася до комплексни числа, но с тяхна помощ може лесно да бъде решен. За решаването му се използват следните представяния:


Ако сега заместим това представяне в сбора, тогава проблемът се свежда до сумирането на обичайната геометрична прогресия.

Заключение

Комплексните числа са широко използвани в математиката, тази статия за преглед обсъди основните операции върху комплексни числа, описа няколко типа стандартни задачи и накратко описани общи методи за решаването им, за по-подробно изследване на възможностите на комплексните числа се препоръчва използвайте специализирана литература.

литература

Комплексни числа

Въображаем и комплексни числа. Абсциса и ордината

комплексно число. Конюгирайте комплексни числа.

Операции с комплексни числа. Геометричен

представяне на комплексни числа. сложна равнина.

Модул и аргумент на комплексно число. тригонометричен

форма на комплексно число. Операции с комплекс

числа в тригонометричен вид. Moivre формула.

Основна информация за въображаем и комплексни числа са дадени в раздел "Въображаеми и комплексни числа". Необходимостта от тези числа от нов тип се появи при решаването на квадратни уравнения за случаяд< 0 (здесь де дискриминантът на квадратното уравнение). Дълго време тези числа не намират физическа употреба, поради което се наричат ​​"въображаеми" числа. Въпреки това, сега те са много широко използвани в различни области на физиката.

и технологии: електротехника, хидро- и аеродинамика, теория на еластичността и др.

Комплексни числа се записват като:a+bi. Тук аи б – реални числа , а и – въображаема единица.д. и 2 = –1. номер аНаречен абсциса, а b - ординатакомплексно числоa + b .Две комплексни числаa+biи а-би Наречен конюгираникомплексни числа.

Основни споразумения:

1. Реално числоаможе да се запише и във форматакомплексно число:а + 0 иили а - 0 и. Например записи 5 + 0ии 5 - 0 иозначава едно и също число 5 .

2. Комплексно число 0 + биНаречен чисто въображаемо номер. Записванебиозначава същото като 0 + би.

3. Две комплексни числаa+bi иc + diсе считат за равни, акоa = cи b = d. В противен случай комплексните числа не са равни.

Добавяне. Сборът от комплексни числаa+biи c + diсе нарича комплексно число (a+c ) + (b+d ) азПо този начин, при добавяне комплексни числа, техните абциси и ординати се добавят отделно.

Това определение следва правилата за работа с обикновени полиноми.

Изваждане. Разликата между две комплексни числаa+bi(намалено) и c + di(изваден) се нарича комплексно число (a-c ) + (б-г ) аз

По този начин, при изваждане на две комплексни числа техните абциси и ординати се изваждат поотделно.

Умножение. Произведение на комплексни числаa+biи c + di се нарича комплексно число.

(ac-bd ) + (ad+bc ) азТова определение произтича от две изисквания:

1) числа a+biи c + diтрябва да се умножава като алгебричнобиноми,

2) номер иима основно свойство:и 2 = – 1.

ПРИМЕР ( a + bi )(а-би) = а 2 +b 2 . следователно, работа

две спрегнати комплексни числа е равно на реалното

положително число.

дивизия. Разделяне на комплексно числоa+bi (делимо) на другc + di(разделител) - означава да се намери третото числоe + fi(чат), което, когато се умножи по делителc + di, което води до дивидентa + b .

Ако делителят не е нула, делението винаги е възможно.

ПРИМЕР Намерете (8+и ) : (2 – 3 и) .

Решение. Нека пренапишем това съотношение като дроб:

Умножаване на числителя и знаменателя му по 2 + 3и

И след извършване на всички трансформации, получаваме:

Геометрично представяне на комплексни числа. Реалните числа са представени с точки на числовата права:

Тук е смисълът Аозначава число -3, точкаБе числото 2 и О- нула. За разлика от тях, комплексните числа са представени от точки в координатната равнина. За това избираме правоъгълни (декартови) координати със същите мащаби и на двете оси. След това комплексното числоa+bi ще бъде представена с точка P с абциса a и ордината b (виж фиг.). Тази координатна система се нарича сложна равнина .

модул комплексното число се нарича дължина на вектораОП, изобразяващ комплексно число върху координатата ( интегриран) самолет. Комплексен числов модулa+biозначено с | a+bi| или писмо r

Комплексните числа са минимално разширение на познатите ни реални числа. Основната им разлика е, че се появява елемент, който на квадрат дава -1, т.е. i, или .

Всяко комплексно число има две части: реални и въображаеми:

По този начин е ясно, че множеството от реални числа съвпада с множеството комплексни числа с нулева въображаема част.

Най-популярният модел за набора от комплексни числа е обикновената равнина. Първата координата на всяка точка ще бъде нейната реална част, а втората - въображаема. Тогава ролята на самите комплексни числа ще бъдат вектори с начало в точката (0,0).

Операции върху комплексни числа.

Всъщност, ако вземем предвид модела на множеството комплексни числа, интуитивно е ясно, че събирането (изваждането) и умножението на две комплексни числа се извършват по същия начин, както съответните операции върху вектори. Освен това имаме предвид кръстосаното произведение на векторите, защото резултатът от тази операция отново е вектор.

1.1 Допълнение.

(Както можете да видите, тази операция точно съответства на )

1.2 Изваждане, по същия начин, се извършва съгласно следното правило:

2. Умножение.

3. Деление.

Дефинира се просто като обратната операция на умножението.

тригонометрична форма.

Модулът на комплексното число z е следната величина:

,

очевидно е, че това отново е просто модулът (дължината) на вектора (a,b).

Най-често модулът на комплексно число се обозначава като ρ.

Оказва се, че

z = ρ(cosφ+isinφ).

Следното следва директно от тригонометричната форма на записване на комплексно число. формули :

Последната формула се нарича Формула на Де Моавър. Формулата се извлича директно от него. n-ти корен от комплексно число:

по този начин има n-ти корени от комплексното число z.

План на урока.

1. Организационен момент.

2. Представяне на материала.

3. Домашна работа.

4. Обобщаване на урока.

По време на занятията

I. Организационен момент.

II. Представяне на материала.

Мотивация.

Разширяването на множеството от реални числа се състои в това, че към реалните числа се добавят нови числа (въображаеми). Въвеждането на тези числа е свързано с невъзможността за извличане на корен от отрицателно число в множеството от реални числа.

Въвеждане на понятието комплексно число.

Въображаемите числа, с които допълваме реалните числа, се записват като би, където ие въображаемата единица и i 2 = - 1.

Въз основа на това получаваме следната дефиниция за комплексно число.

Определение. Комплексното число е израз на формата a+bi, където аи бса реални числа. В този случай са изпълнени следните условия:

а) Две комплексни числа a 1 + b 1 iи a 2 + b 2 iравно, ако и само ако а 1 = а 2, b1=b2.

б) Добавянето на комплексни числа се определя от правилото:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

в) Умножението на комплексни числа се определя от правилото:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Алгебрична форма на комплексно число.

Записване на комплексно число във формата a+biсе нарича алгебрична форма на комплексно число, където а- истинска част бие въображаемата част и бе реално число.

Комплексно число a+biсе счита за равно на нула, ако неговите реални и въображаеми части са равни на нула: a=b=0

Комплексно число a+biв b = 0се счита за реално число а: a + 0i = a.

Комплексно число a+biв а = 0се нарича чисто въображаемо и се обозначава би: 0 + bi = bi.

Две комплексни числа z = a + biи = a – bi, които се различават само по знака на имагинерната част, се наричат ​​спрегнати.

Действия върху комплексни числа в алгебрична форма.

Следните операции могат да се извършват върху комплексни числа в алгебрична форма.

1) Добавяне.

Определение. Сборът от комплексни числа z 1 = a 1 + b 1 iи z 2 = a 2 + b 2 iнаречено комплексно число z, чиято реална част е равна на сбора от реалните части z1и z2, а въображаемата част е сборът от въображаемите части на числата z1и z2, това е z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Числа z1и z2се наричат ​​термини.

Добавянето на комплексни числа има следните свойства:

1º. комутативност: z1 + z2 = z2 + z1.

2º. асоциативност: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Комплексно число -а -бисе нарича обратното на комплексно число z = a + bi. Комплексно число, противоположно на комплексното число z, обозначено -z. Сбор от комплексни числа zи -zравно на нула: z + (-z) = 0

Пример 1: Добавете (3 - i) + (-1 + 2i).

(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Изваждане.

Определение.Извадете от комплексното число z1комплексно число z2 z,Какво z + z 2 = z 1.

Теорема. Разликата на комплексните числа съществува и освен това е уникална.

Пример 2: Изваждане (4 - 2i) - (-3 + 2i).

(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.

3) Умножение.

Определение. Произведение на комплексни числа z 1 = a 1 + b 1 iи z 2 \u003d a 2 + b 2 iнаречено комплексно число z, дефиниран от равенството: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Числа z1и z2се наричат ​​фактори.

Умножението на комплексни числа има следните свойства:

1º. комутативност: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. асоциативност: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Разпределение на умножението по отношение на събирането:

(z 1 + z 2) z 3 \u003d z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi) (a - bi) \u003d a 2 + b 2е реално число.

На практика умножението на комплексните числа се извършва по правилото за умножение на сбора по сбора и разделяне на реалната и въображаемата част.

В следващия пример разгледайте умножението на комплексни числа по два начина: по правилото и чрез умножение на сбора по сбора.

Пример 3: Умножете (2 + 3i) (5 – 7i).

1 начин. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.

2 начин. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Раздел.

Определение. Разделяне на комплексно число z1към комплексно число z2, означава да се намери такова комплексно число z, Какво z z 2 = z 1.

Теорема.Коефициентът на комплексните числа съществува и е уникален, ако z2 ≠ 0 + 0i.

На практика частното на комплексните числа се намира чрез умножаване на числителя и знаменателя по спрегнатото на знаменателя.

Позволявам z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, тогава

.

В следващия пример извършваме деление по формулата и правилото за умножение по спрегнатото на знаменателя.

Пример 4. Намерете коефициент .

5) Повишаване на положителна степен на цяло число.

а) Сили на въображаемото единство.

Възползвайки се от равенството i 2 = -1, лесно е да се дефинира всяка положителна целочислена степен на въображаемата единица. Ние имаме:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1и т.н.

Това показва, че стойностите на степента i n, където н- цяло положително число, периодично повтарящо се, когато индикаторът се увеличава с 4 .

Следователно, за да увеличите броя ина степен на положително число, разделете степента на 4 и изправен ина степента, чийто степен е остатъкът от делението.

Пример 5 Изчислете: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.

(i 36 + i 17) i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1 \u003d 1 - i.

б) Повишаването на комплексно число в положителна степен се извършва съгласно правилото за повдигане на бином в съответната степен, тъй като това е частен случай на умножаване на идентични комплексни фактори.

Пример 6 Изчислете: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.