Linealización armónica de elementos no lineales. Este método se utiliza para estudiar sistemas no lineales con una parte lineal por encima del tercer orden. En la mayoría de los sistemas, el proceso transitorio es una oscilación amortiguada, por lo tanto, a la entrada de un elemento no lineal, se transmite una señal periódica con una amplitud que varía lentamente a través de la retroalimentación principal (GOF) y, en presencia de una señal de entrada, junto con con una componente constante.
Supondremos que a la entrada de un elemento no lineal durante un cierto período de tiempo inicial pequeño, la amplitud y frecuencia no cambian, o corresponden a la amplitud y frecuencia de las auto-oscilaciones del sistema. A la salida del NE se obtiene una función periódica que se puede expandir a una serie de Fourier. En el estudio de sistemas no lineales, solo se usa con mayor frecuencia el primer componente armónico, ya que en la mayoría de los casos, la parte lineal del sistema es un filtro de paso bajo. Pero para verificar esto y la aplicabilidad de este método de investigación, es necesario determinar la frecuencia de las auto-oscilaciones en el sistema, por lo que en el futuro determinar la capacidad de la parte lineal para filtrar los armónicos más altos. Para ello, construya la respuesta de frecuencia de la parte lineal (LP).
Sea el LP del sistema un filtro paso bajo, y supondremos que las oscilaciones a la entrada del elemento no lineal del NE son sinusoidales, entonces la señal de salida del NE es:
donde A a Y CV son los coeficientes de la expansión de Fourier de la función no lineal:
Si la característica no lineal es simétrica y neutra, entonces el coeficiente de expansión de la serie de Fourier CV=0 y no hay armónicos pares en la expansión:
Usando estas relaciones, expresamos el valor del seno y el coseno en términos de la señal de entrada
Sustituyamos estas relaciones en la ecuación para la salida NE y tomemos en cuenta solo el primer armónico.
Escribimos esta ecuación en forma de operador:
Coeficiente A 0 - amplitud de auto-oscilaciones; q es el coeficiente de linealización armónica con respecto a la componente sinusoidal, depende de la amplitud de la señal en la entrada del NE; b 1 es el coeficiente de linealización armónica con respecto a la componente del coseno; ω 0 es la amplitud de las auto-oscilaciones.
En ausencia de una componente constante en la entrada del NE, obtenemos una ecuación para describir el comportamiento del NE:
Esta es la ecuación de linealización armónica NE.
Un NE linealizado armónicamente se puede representar como:
En este caso, podemos derivar la función de transferencia para el NE:
en ausencia de un componente constante en la entrada.
Coeficiente A 0 - amplitud de auto-oscilaciones;
q es el coeficiente de linealización armónica con respecto a la componente sinusoidal, depende de la amplitud de la señal en la entrada del NE;
b 1 es el coeficiente de linealización armónica con respecto a la componente del coseno;
ω 0 es la amplitud de las auto-oscilaciones.
La parte lineal del sistema se ve afectada por la señal de salida NE, que contiene todo el espectro de frecuencias de la expansión de Fourier. En virtud del principio de superposición, podemos suponer que cada armónico actúa sobre la parte lineal independientemente del otro. Por lo tanto, se pueden configurar oscilaciones periódicas a la salida del sistema, que contendrá todo el espectro de frecuencias correspondientes a la señal del NE, pero la amplitud de cada armónico estará determinada por el coeficiente de conversión del lado derecho para el armónico considerado ( ).
Al sustituir la respuesta de frecuencia de la parte lineal, puede establecer la proporción de cambios de amplitud para cada armónico y verificar si la parte lineal del LPF es (si se pueden descartar los armónicos más altos).
Si se establece la frecuencia de las autooscilaciones y se conocen los coeficientes de linealización armónica del NE, teniendo en cuenta solo la primera armónica, entonces la frecuencia (la frecuencia de la primera armónica). Si entonces puede descartar los armónicos más altos y este método es adecuado. Esos. es posible limitarse al cálculo de un solo armónico en la salida NE. Entonces, para una característica impar de un solo valor, el NE tendrá:
Para histéresis característica impar:
En el primer caso, el NE equivale a un enlace inercial con algunas peculiaridades: el coeficiente de proporcionalidad depende de la amplitud o frecuencia de la señal en la entrada del NE.
En el caso de no linealidad histerética, el enlace es equivalente al enlace boost. La peculiaridad de este método de linealización hace posible utilizar los métodos de frecuencia de la teoría lineal para el análisis de un sistema no lineal.
Ministerio de Educación y Ciencia de la Federación Rusa
Universidad Técnica Estatal de Saratov
Instituto de Ingeniería, Tecnología y Gestión de Balakovo
Método de linealización armónica
Pautas para el trabajo de laboratorio en el curso "Teoría del control automático" para estudiantes de la especialidad 210100
Aprobado
consejo editorial y editorial
Instituto de Tecnología de Balakovo,
tecnologia y gestion
Balakovo 2004
El propósito del trabajo: el estudio de sistemas no lineales utilizando el método de linealización armónica (balance armónico), la determinación de los coeficientes de linealización armónica para varios enlaces no lineales. Adquirir destreza en la búsqueda de los parámetros de oscilaciones simétricas de amplitud y frecuencia constantes (auto-oscilaciones), utilizando métodos algebraicos, frecuenciales, así como utilizando el criterio de Mikhailov.
INFORMACIÓN BÁSICA
El método de linealización armónica se refiere a métodos aproximados para estudiar sistemas no lineales. Permite evaluar la estabilidad de sistemas no lineales de forma bastante sencilla y con una precisión aceptable, y determinar la frecuencia y amplitud de las oscilaciones establecidas en el sistema.
Se supone que el SCA no lineal investigado se puede representar de la siguiente forma
además, la parte no lineal debe tener una no linealidad
Esta no linealidad puede ser continua o retransmitida, inequívoca o histérica.
Cualquier función o señal puede expandirse en una serie de acuerdo con un sistema de funciones linealmente independientes, en un caso particular, ortonormales. La serie de Fourier se puede utilizar como tal serie ortogonal.
Expandamos la señal de salida de la parte no lineal del sistema en una serie de Fourier
,
(2)
aquí están los coeficientes de Fourier,
,
,
.
(3)
Así, la señal según (2) se puede representar como una suma infinita de armónicos con frecuencias crecientes 
etc. Esta señal se introduce en la parte lineal del sistema no lineal.
Denotemos la función de transferencia de la parte lineal
,
(4)
y el grado del polinomio del numerador debe ser menor que el grado del polinomio del denominador. En este caso, la respuesta de frecuencia de la parte lineal tiene la forma
donde 1 - no tiene polos, 2 - tiene un polo o polos.
Para la respuesta de frecuencia, es justo escribir
Por lo tanto, la parte lineal del sistema no lineal es un filtro de paso alto. En este caso, la parte lineal pasará solo frecuencias bajas sin atenuación, mientras que las frecuencias altas se atenuarán significativamente a medida que aumente la frecuencia.
El método de linealización de armónicos supone que la parte lineal del sistema pasará solo el componente de CC de la señal y el primer armónico. Entonces la señal en la salida de la parte lineal se verá como
Esta señal pasa por todo el lazo cerrado del sistema Fig.1 y a la salida del elemento no lineal sin tener en cuenta los armónicos superiores, según (2) tenemos
.
(7)
En el estudio de sistemas no lineales utilizando el método de linealización armónica, son posibles casos de oscilaciones simétricas y asimétricas. Consideremos el caso de las oscilaciones simétricas. Aquí y.
Nosotros introducimos la siguiente notación
Sustituyéndolos en (7), obtenemos . (8)
Teniendo en cuenta el hecho de que
.
(9)
Según (3) y (8) en
,
.
(10)
La expresión (9) es una linealización armónica de la no linealidad y establece una relación lineal entre la variable de entrada y la variable de salida en . Las cantidades y se denominan coeficientes de linealización armónica.
Cabe señalar que la ecuación (9) es lineal para valores específicos y (amplitudes y frecuencias de oscilaciones armónicas en el sistema). Pero en general, conserva propiedades no lineales, ya que los coeficientes son diferentes para diferentes y . Esta característica nos permite explorar las propiedades de los sistemas no lineales utilizando el método de linealización armónica [Popov E.P.].
En el caso de oscilaciones asimétricas, la linealización armónica de la no linealidad conduce a la ecuación lineal
,
,
.
(12)
Al igual que la ecuación (9), la ecuación linealizada (11) conserva las propiedades de un elemento no lineal, ya que los coeficientes de linealización armónica , , así como la componente constante dependen tanto del desplazamiento como de la amplitud de las oscilaciones armónicas .
Las ecuaciones (9) y (11) permiten obtener las funciones de transferencia de elementos no lineales armónicamente linealizados. Así que para vibraciones simétricas
,
(13)
mientras que la función de transferencia de frecuencia
depende solo de la amplitud y no depende de la frecuencia de las oscilaciones en el sistema.
Cabe señalar que si la no linealidad simétrica impar es univaluada, entonces en el caso de oscilaciones simétricas, de acuerdo con (9) y (10), obtenemos que , (15)
(16)
y la no linealidad linealizada tiene la forma
Para no linealidades ambiguas (con histéresis), la integral en la expresión (16) no es igual a cero, debido a la diferencia en el comportamiento de la curva al crecer y al decrecer, por lo tanto, la expresión completa (9) es válida.
Encontremos coeficientes de linealización armónica para algunas características no lineales. Deje que la característica no lineal tome la forma de una característica de relé con histéresis y una zona muerta. Considere cómo las oscilaciones armónicas pasan a través de un elemento no lineal con tal característica.
Cuando se cumple la condición, es decir, si la amplitud de la señal de entrada es menor que la zona muerta, entonces no hay señal en la salida del elemento no lineal. Si la amplitud es , entonces el relé conmuta en los puntos A, B, C y D. Denote y .
,
.
(18)
Al calcular los coeficientes de linealización armónica, debe tenerse en cuenta que con características no lineales simétricas, las integrales en las expresiones (10) están en el semiciclo (0, ) con un aumento posterior en el resultado por un factor de dos . De este modo
,
.
(19)
Para un elemento no lineal con una característica de relé y una zona muerta
,
Para un elemento no lineal que tiene una característica de relé con histéresis
,
Los coeficientes de linealización armónica para otras características no lineales se pueden obtener de manera similar.
Consideremos dos métodos para determinar oscilaciones simétricas de amplitud y frecuencia constantes (auto-oscilaciones) y estabilidad de sistemas linealizados: algebraico y de frecuencia. Veamos primero la forma algebraica. Para un sistema cerrado Fig.1, la función de transferencia de la parte lineal es igual a
.
Escribimos la función de transferencia armónicamente linealizada de la parte no lineal
.
La ecuación característica de un sistema cerrado tiene la forma
.
(22)
Si se producen autooscilaciones en el sistema en estudio, esto indica la presencia de dos raíces puramente imaginarias en su ecuación característica. Por tanto, sustituimos en la ecuación característica (22) el valor de la raíz .
.
(23)
Imagina
Obtenemos dos ecuaciones que determinan la amplitud y frecuencia deseadas
,
.
(24)
Si son posibles valores positivos reales de la amplitud y la frecuencia en la solución, entonces pueden ocurrir autooscilaciones en el sistema. Si la amplitud y la frecuencia no tienen valores positivos, entonces las autooscilaciones en el sistema son imposibles.
Considere el Ejemplo 1. Sea el sistema no lineal en estudio de la forma
En este ejemplo, el elemento no lineal es un elemento sensor con una característica de relé, para el cual los coeficientes de linealización armónica
El actuador tiene una función de transferencia de la forma
La función de transferencia del objeto regulado es igual a
.
(27)
Función de transferencia de la parte lineal del sistema
,
(28)
Con base en (22), (25) y (28), escribimos la ecuación característica de un sistema cerrado
,
(29)
,
Sea 1/seg, seg, seg, c.
En este caso, los parámetros del movimiento periódico son iguales a
7,071
,
Consideremos un método para determinar los parámetros de las autooscilaciones en un SCA linealizado utilizando el criterio de Mikhailov. El método se basa en el hecho de que cuando ocurren autooscilaciones, el sistema estará en el límite de estabilidad y la hodógrafa de Mikhailov en este caso pasará por el origen.
En el ejemplo 2, encontramos los parámetros de auto-oscilaciones bajo la condición de que el elemento no lineal en el sistema Fig. 4 es un elemento sensible que tiene una característica de relé con histéresis, para el cual los coeficientes de linealización armónica
,
La parte lineal se mantuvo sin cambios.
Escribimos la ecuación característica de un sistema cerrado
La hodógrafa de Mikhailov se obtiene reemplazando .
La tarea es elegir una amplitud de oscilaciones en la que la hodógrafa pase por el origen de coordenadas. Cabe señalar que en este caso la frecuencia actual es , ya que es en este caso que la curva pasará por el origen.
Los cálculos realizados en MATHCAD 7 a 1/seg, seg, seg, in y in dieron los siguientes resultados. En la Fig.5, la hodógrafa de Mikhailov pasa por el origen. Para mejorar la precisión de los cálculos, aumentaremos el fragmento deseado del gráfico. La figura 6 muestra un fragmento de la hodógrafa, ampliada en las proximidades del origen. La curva pasa por el origen de coordenadas en .
Figura 5. Figura 6.
En este caso, la frecuencia de oscilación se puede encontrar a partir de la condición de que el módulo sea igual a cero. Para frecuencias
los valores del módulo están tabulados
Así, la frecuencia de oscilación es 6,38. Cabe señalar que la precisión de los cálculos se puede aumentar fácilmente.
Se debe investigar la estabilidad de la solución periódica resultante, determinada por el valor de la amplitud y la frecuencia. Si la solución es estable, entonces tiene lugar en el sistema un proceso de auto-oscilación (ciclo límite estable). De lo contrario, el ciclo límite será inestable.
La forma más sencilla de estudiar la estabilidad de una solución periódica es utilizar el criterio de estabilidad de Mikhailov en forma gráfica. Se encontró que en , la curva de Mikhailov pasa por el origen de coordenadas. Si da un pequeño incremento, entonces la curva tomará una posición por encima o por debajo de cero. Entonces, en el último ejemplo, incrementemos, es decir, y . La posición de las curvas de Mikhailov se muestra en la Fig.7.
En , la curva pasa por encima de cero, lo que indica la estabilidad del sistema y el proceso transitorio amortiguado. Cuando la curva de Mikhailov pasa por debajo de cero, el sistema es inestable y el transitorio es divergente. Por lo tanto, una solución periódica con una amplitud de 6 y una frecuencia de oscilación de 6,38 es estable.
Para estudiar la estabilidad de una solución periódica, también se puede utilizar un criterio analítico obtenido del criterio gráfico de Mikhailov. De hecho, para saber si la curva de Mikhailov irá por encima de cero, basta con mirar hacia dónde se moverá el punto de la curva de Mikhailov, que en se encuentra en el origen de coordenadas.
Si expandimos el desplazamiento de este punto a lo largo de los ejes de coordenadas X e Y, entonces para la estabilidad de la solución periódica, el vector determinado por las proyecciones sobre los ejes de coordenadas
debe ubicarse a la derecha de la tangente MN a la curva de Mikhailov, cuando se ve a lo largo de la curva en la dirección de aumento, cuya dirección está determinada por las proyecciones
Escribamos la condición de estabilidad analítica de la siguiente forma
En esta expresión se toman derivadas parciales con respecto al parámetro actual de la curva de Mikhailov
,
Cabe señalar que la expresión analítica del criterio de estabilidad (31) es válida solo para sistemas no superiores al cuarto orden, ya que, por ejemplo, para un sistema de quinto orden en el origen se puede cumplir la condición (31), y el sistema será inestable
Aplicamos el criterio (31) para estudiar la estabilidad de la solución periódica obtenida en el Ejemplo 1.
,
,
,
,
Propósito del método de linealización armónica.
La idea del método de linealización armónica fue propuesta en 1934. N. M. Krylov y N. N. Bogolyubov. Tal como se aplica a los sistemas de control automático, este método fue desarrollado por L. S. Goldfarb y E. P. Popov. Otros nombres para este método y sus modificaciones son el método de equilibrio armónico, el método de descripción de funciones, el método de linealización equivalente.
El método de linealización armónica es un método para estudiar las autooscilaciones. Permite determinar las condiciones de existencia y parámetros de posibles auto-oscilaciones en sistemas no lineales.
El conocimiento de los parámetros de las auto-oscilaciones permite presentar una imagen de los posibles procesos en el sistema y, en particular, determinar las condiciones de estabilidad. Supongamos, por ejemplo, que como resultado del estudio de las autooscilaciones en algún sistema no lineal, obtenemos la dependencia de la amplitud de estas autooscilaciones PERO del coeficiente de transferencia k parte lineal del sistema, que se muestra en la figura 12.1, y sabemos que las autooscilaciones son estables.
Del gráfico se deduce que con un valor grande del coeficiente de transferencia k, Cuándo k>k cr, hay auto-oscilaciones en el sistema. Su amplitud disminuye a cero a medida que disminuye el coeficiente de transmisión. k antes de k cr. En la Fig. 12.1, las flechas muestran condicionalmente la naturaleza de los procesos transitorios en diferentes valores k: en k>k kr el proceso transitorio provocado por la desviación inicial se reduce a auto-oscilaciones. Se puede ver en la figura que en k< k cr, el sistema es estable. De este modo, k kr es el valor crítico del coeficiente de transmisión según la condición de estabilidad. Su exceso conduce al hecho de que el modo inicial del sistema se vuelve inestable y se producen autooscilaciones en él. En consecuencia, el conocimiento de las condiciones de existencia de autooscilaciones en el sistema permite determinar también las condiciones de estabilidad.
La idea de linealización armónica.
Considere un sistema no lineal, cuyo esquema se muestra en la figura 12.2, y . El sistema consta de una parte lineal con una función de transferencia W l ( s) y un enlace no lineal Países Bajos con una especificación específica . Un vínculo con un coeficiente - 1 muestra que la retroalimentación en el sistema es negativa. Creemos que hay auto-oscilaciones en el sistema, cuya amplitud y frecuencia queremos encontrar. En el modo considerado, el valor de entrada X enlace no lineal y salida Y son funciones periódicas del tiempo.
El método de linealización armónica se basa en la suposición de que las oscilaciones en la entrada del enlace no lineal son sinusoidales, es decir, E. que
, (12.1)
dondePERO– la amplitud y es la frecuencia de estas autooscilaciones, y es una posible componente constante en el caso general, cuando las autooscilaciones son asimétricas.
De hecho, las autooscilaciones en sistemas no lineales siempre son no sinusoidales debido a la distorsión de su forma por un enlace no lineal. Por lo tanto, esta suposición inicial significa que el método de linealización armónica es fundamentalmente cerca y el alcance de su aplicación se limita a los casos en que las autooscilaciones en la entrada de un enlace no lineal son lo suficientemente cercanas a las sinusoidales. Para que esto suceda, la parte lineal del sistema no debe pasar los armónicos más altos de las auto-oscilaciones, es decir, ser filtro de paso bajo. Este último se ilustra en la Fig. 12.2, b . Si, por ejemplo, la frecuencia de las autooscilaciones es , entonces la parte lineal c que se muestra en la Fig. 12.2, b La respuesta de frecuencia desempeñará el papel de un filtro de paso bajo para estas oscilaciones, ya que el segundo armónico, cuya frecuencia es igual a 2, prácticamente no pasará a la entrada del enlace no lineal. Por lo tanto, en este caso, es aplicable el método de linealización armónica.
Si la frecuencia de las autooscilaciones es igual a , la parte lineal pasará libremente el segundo, tercer y otros armónicos de las autooscilaciones. En este caso, no se puede argumentar que las oscilaciones en la entrada del enlace no lineal serán lo suficientemente cercanas a las sinusoidales, es decir no se cumple el requisito previo para aplicar el método de linealización armónica.
Para establecer si la parte lineal del sistema es un filtro de paso bajo y determinar así la aplicabilidad del método de linealización armónica, es necesario conocer la frecuencia de las autooscilaciones. Sin embargo, solo se puede saber como resultado del uso de este método. De este modo, la aplicabilidad del método de linealización armónica debe determinarse ya al final del estudio como prueba.
Obsérvese que si como resultado de esta verificación no se confirma la hipótesis de que la parte lineal del sistema hace el papel de un filtro de paso bajo, esto no significa que los resultados obtenidos sean incorrectos, aunque, por supuesto, sí lo es. arroja dudas sobre ellos y requiere una verificación adicional por parte de algunos por otro método.
Entonces, suponiendo que la parte lineal del sistema es un filtro de paso bajo, suponemos que las autooscilaciones en la entrada del enlace no lineal son sinusoidales, es decir, tienen la forma (12.1). En este caso, las oscilaciones a la salida de este enlace ya serán no sinusoidales debido a su distorsión por la no linealidad. Como ejemplo, en la fig. 12.3, se traza una curva a la salida de un enlace no lineal para una cierta amplitud de una señal de entrada puramente sinusoidal de acuerdo con la característica del enlace dada en el mismo lugar.
Figura 12.3. El paso de una oscilación armónica a través de un enlace no lineal.
Sin embargo, dado que creemos que la parte lineal del sistema pasa solo el armónico fundamental de las autooscilaciones, tiene sentido interesarse solo en este armónico a la salida del enlace no lineal. Por lo tanto, expandimos las oscilaciones de salida en una serie de Fourier y descartamos los armónicos más altos. Como resultado, obtenemos:
;
; (12.3)
;
.
Reescribamos la expresión (12.2) en una forma más conveniente para su uso posterior, sustituyendo en ella las siguientes expresiones para y obtenidas de (12.1):
Sustituyendo estas expresiones en (12.2), tendremos:
(12.4)
. (12.5)
Aquí están las notaciones:
. (12.6)
La ecuación diferencial (12.5) es válida para una señal de entrada sinusoidal (12.1) y determina la señal de salida de un enlace no lineal sin tener en cuenta los armónicos superiores.
Los coeficientes de acuerdo con las expresiones (12.3) para los coeficientes de Fourier son funciones de la componente constante , amplitud PERO y la frecuencia de las autooscilaciones a la entrada del enlace no lineal. en fijo PERO, y la ecuación (12.5) es lineal. Por lo tanto, si se descartan los armónicos más altos, entonces, para una señal de armónicos fijos, el enlace no lineal original puede reemplazarse por uno lineal equivalente descrito por la ecuación (12.5). Este reemplazo se llama linealización armónica .
En la fig. 12.4 muestra esquemáticamente el diagrama de este enlace, que consta de dos enlaces paralelos.
Arroz. 12.4. Enlace lineal equivalente resultante de la linealización armónica.
Un enlace () pasa el componente constante y el otro solo el componente sinusoidal de las autooscilaciones.
Los coeficientes se llaman coeficientes de linealización armónica o ganancias armónicas: - coeficiente de transferencia de la componente constante, y - dos coeficientes de transferencia de la componente sinusoidal de las autooscilaciones. Estos coeficientes están determinados por la no linealidad y los valores de y por las fórmulas (12.3). Hay expresiones preparadas definidas por estas fórmulas para una serie de enlaces no lineales típicos. Para estos y en general para todos los enlaces inerciales no lineales, las cantidades no dependen y son funciones solo de la amplitud PERO Y .
Cuando se aplica una señal armónica a la entrada de un sistema lineal
también se establece una señal armónica a la salida del sistema, pero con diferente amplitud y desfasada con respecto a la entrada. Si se aplica una señal sinusoidal a la entrada de un elemento no lineal, entonces se forman oscilaciones periódicas en su salida, pero en forma difieren significativamente de las sinusoidales. Como ejemplo, en la fig. 8.17 muestra la naturaleza del cambio en la variable de salida de un elemento no lineal con una característica de relé (8.14) cuando las oscilaciones sinusoidales (8.18) entran en su entrada.
Expandiendo la señal periódica a la salida de un elemento no lineal en una serie de Fourier, la representamos como la suma de un componente constante y un conjunto infinito de componentes armónicos:
,
(8.19)
donde –
coeficientes constantes de la serie de Fourier; – frecuencia de oscilación del primer armónico (frecuencia fundamental), igual a la frecuencia de las oscilaciones sinusoidales de entrada; T- el período de oscilación del primer armónico, igual al período de las oscilaciones sinusoidales de entrada.
La señal de salida del elemento no lineal se alimenta a la entrada de la parte lineal del ACS (ver Fig. 8.1), que, por regla general, tiene una inercia significativa. En este caso, los componentes de alta frecuencia de la señal (8.19) prácticamente no pasan a la salida del sistema, es decir. la parte lineal es un filtro en relación con los componentes armónicos de alta frecuencia. En este sentido, y teniendo también en cuenta que las amplitudes de los componentes armónicos disminuyen al aumentar la frecuencia armónica, para una estimación aproximada del valor de salida de un elemento no lineal, en un gran número de casos es suficiente tener en cuenta únicamente el primer componente armónico en .
Por lo tanto, en ausencia de un componente constante en las oscilaciones de salida, la expresión (8.19) se puede escribir aproximadamente como:
Expresando a partir de la fórmula (8.20) la función , y a partir de la derivada 
- función 
, transformamos la expresión (8.20) de la siguiente manera:
.
(8.21)
Así, la dependencia no lineal del valor de salida del valor de entrada en un elemento no lineal se reemplaza aproximadamente por una dependencia lineal descrita por la expresión (8.21).
Habiendo realizado la transformación de Laplace en la expresión (8.21), obtenemos:
En cuanto a los enlaces continuos, introducimos en consideración función de transferencia de un elemento linealizado armónicamente no lineal , como la relación entre la imagen de la cantidad de salida y la imagen de la cantidad de entrada:
.
(8.22)
Tabla 8.1
Coeficientes de linealización armónica de no linealidades típicas
|
Característica estática de un elemento no lineal | ||
|
Respuesta lineal con banda muerta |
| |
|
Característica lineal con limitación |
| |
|
Respuesta lineal con banda muerta y recorte |
| |
|
Característica "contragolpe" |
| |
|
Característica ideal del relé | ||
|
Característica de relé inequívoca con banda muerta |
| |
|
Respuesta de relé ambigua con banda muerta |
|
|
|
Parábola cúbica: | ||
|
Característica "bucle de histéresis" |
|
|
La función de transferencia de un elemento no lineal tiene una diferencia significativa con la función de transferencia de un sistema lineal, que radica en que depende de la amplitud y frecuencia de la señal de entrada.
La expresión (8.22) se puede escribir como:
q(A) + q 1 (A), (8.23)
donde q(A),q 1 (A) son los coeficientes de linealización armónica, definidos como la relación de los coeficientes de la serie de Fourier para el primer armónico de las oscilaciones de salida a la amplitud de las oscilaciones de entrada:
q(A) = q 1 (A) = . (8.24)
Reemplazando en la expresión (8.23) R en , obtenemos una expresión para ganancia compleja del elemento no lineal :
q(A) +j q 1 (A), (8.25)
que es un análogo del AFC para un enlace lineal.
Como ejemplo, definamos una expresión para el coeficiente de transferencia complejo de un elemento no lineal con una característica estática de relé (8.14). Coeficientes de la serie de Fourier A 1 Y B 1 para la no linealidad indicada son:
B 1 .
Es obvio que el coeficiente B 1 será igual a cero para cualquier elemento no lineal con no linealidad estática impar simétrica.
donde - función de transferencia de la parte lineal del sistema; - función de transferencia de un elemento no lineal después de su linealización.
Si 
, entonces la expresión (8.26) se puede escribir como:
Reemplazando en la expresión (8.27) R sobre , obtenemos una expresión compleja en la que es necesario separar las partes real e imaginaria:
[ q(A) +j q 1 (A) ] . (8.28)
En este caso, escribimos la condición para la ocurrencia de oscilaciones periódicas en el sistema con frecuencia y amplitud:
(8.29)
Si las soluciones del sistema (8.29) son complejas o negativas, el modo de autooscilaciones en el sistema es imposible. La presencia de soluciones reales positivas para e indica la presencia de auto-oscilaciones en el sistema, cuya estabilidad debe verificarse.
Como ejemplo, encontremos las condiciones para la ocurrencia de auto-oscilaciones en el SCA, si la función de transferencia de su parte lineal es igual a:
(8.30)
y un elemento no lineal del tipo "bucle de histéresis".
La función de transferencia de un elemento no lineal armónicamente linealizado (ver Tabla 8.1) es:
.
(8.31)
Sustituyendo las expresiones (8.30) y (8.31) en la expresión (8.26) y reemplazando R en , encuentre la expresión para :
De aquí, de acuerdo con la expresión (8.29), obtenemos las siguientes condiciones para la ocurrencia de autooscilaciones en el sistema:
La solución del sistema de ecuaciones (8.29) suele ser difícil, ya que los coeficientes de linealización armónica tienen una dependencia compleja de la amplitud de la señal de entrada. Además, además de determinar la amplitud y la frecuencia, es necesario evaluar la estabilidad de las autooscilaciones en el sistema.
Las condiciones para la aparición de autooscilaciones en un sistema no lineal y los parámetros de los ciclos límite se pueden investigar utilizando criterios de estabilidad de frecuencia, por ejemplo, el criterio de estabilidad de Nyquist. De acuerdo con este criterio, en presencia de auto-oscilaciones, la característica amplitud-fase de un sistema linealizado armónicamente en lazo abierto es igual a
pasa por el punto (-1, j0). Por lo tanto, para y se cumple la siguiente igualdad:
.
(8.32)
La solución de la ecuación (8.32) con respecto a la frecuencia y amplitud de las autooscilaciones se puede obtener gráficamente. Para ello, en el plano complejo, es necesario, cambiando la frecuencia de 0 a , construir la hodógrafa AFC de la parte lineal del sistema y, cambiando la amplitud PERO de 0 a , construya una hodógrafa de la característica inversa de la parte no lineal , tomada con un signo menos. Si estas hodógrafas no se cruzan, entonces el modo de auto-oscilación en el sistema bajo estudio no existe (Fig. 8.18, b).
Cuando las hodógrafas se cruzan (Fig. 8.18, a), surgen autooscilaciones en el sistema, cuya frecuencia y amplitud están determinadas por los valores y en el punto de intersección.
Si y - se cruzan en varios puntos (Fig. 8.18, a), esto indica la presencia de varios ciclos límite en el sistema. En este caso, las oscilaciones en el sistema pueden ser estables e inestables.
La estabilidad del régimen auto-oscilatorio se estima de la siguiente manera. El modo de autooscilación es estable si el punto de la hodógrafa de la parte no lineal, correspondiente a una amplitud mayor que el valor en el punto de intersección de las hodógrafas, no está cubierto por la hodógrafa de la respuesta de frecuencia de la lineal. parte del sistema. De lo contrario, el régimen de auto-oscilación es inestable.
En la fig. 8.18, y las hodógrafas se cortan en los puntos 1 y 2. Punto 1 determina el modo inestable de las autooscilaciones, ya que el punto de la hodógrafa correspondiente al aumento de amplitud está cubierto por la hodógrafa de la respuesta de frecuencia de la parte lineal del sistema. El punto 2 corresponde a un modo estable de autooscilaciones, cuya amplitud está determinada por la hodógrafa y la frecuencia, por la hodógrafa.
Como ejemplo, estimemos la estabilidad de las autooscilaciones en dos sistemas no lineales. Supondremos que las funciones de transferencia de las partes lineales de estos sistemas coinciden y son iguales:
,
pero sus elementos no lineales incluidos en ellos son diferentes. Deje que el primer sistema incluya un elemento no lineal "relé ideal", descrito por el sistema (8.14), y el segundo, un elemento no lineal con una característica estática "parábola cúbica". Utilizando los datos de la tabla 8.1, obtenemos:
En la fig. La figura 8.19 muestra las hodógrafas de estos sistemas junto con la hodógrafa AFC de la parte lineal del sistema. En base a lo anterior, se puede argumentar que en el primer sistema surgen autooscilaciones estables con una frecuencia y amplitud , y en el segundo sistema, las autooscilaciones son inestables.
El método de linealización armónica permite estudiar la estabilidad y precisión de los sistemas no lineales con suficiente precisión para la práctica, utilizando métodos desarrollados para sistemas lineales. El método permite determinar la presencia de auto-oscilaciones, así como su frecuencia y amplitud.
Un sistema no lineal se representa como una combinación de una parte lineal y otra no lineal (Fig. 5).
Arroz. cinco Diagrama de un sistema no lineal
La señal de salida de la parte no lineal del sistema generalmente está determinada por la expresión
Denotar como la función de transferencia de la parte lineal. El sistema de ecuaciones toma la forma
Encontremos las condiciones bajo las cuales surgen oscilaciones armónicas de la forma a la salida de la parte lineal del sistema
En este caso, la señal y(t) la parte no lineal también será una función periódica, pero diferente de una sinusoide. Esta función se puede expandir a una serie de Fourier.
En esta expresión a I Y B I- Coeficientes de Fourier. Para no linealidades simétricas F 0 =0.
La principal condición que impone el método a la parte lineal del sistema es la condición del filtro de paso bajo. Se cree que la parte lineal pasa solo el primer armónico de oscilaciones. Esta suposición nos permite considerar insignificantes los armónicos superiores en (7.19) y restringirnos a considerar solo el primer armónico de la señal y(t).
entonces la expresión (7.20) se puede reescribir como
La primera ecuación del sistema (7.17) toma la forma
En esta expresión
El resultado de reemplazar la no linealidad F(x, sx) expresión
y se llama linealización armónica. Cantidades q Y q 1 se denominan coeficientes de linealización armónica o simplemente coeficientes armónicos. Para no linealidades de un solo valor, por lo general q 1 =0 . Las fórmulas para los coeficientes armónicos correspondientes a las no linealidades típicas se dan en los apéndices.
La diferencia fundamental entre la linealización armónica y la linealización convencional es que con la linealización convencional, la característica no lineal se reemplaza por una línea recta con cierta pendiente constante, y con la linealización armónica, por una línea recta, cuya pendiente depende de la amplitud de la señal de entrada del elemento no lineal.
Considere el método para determinar la amplitud y la frecuencia de las autooscilaciones.
una). En la ecuación característica del sistema obtenida de (7.22) hacemos el cambio s = j y obten
2). De la expresión resultante, seleccionamos las partes real e imaginaria y las igualamos a cero, lo que, según el criterio de Mikhailov, corresponde a que el sistema se encuentre en la frontera de estabilidad oscilatoria.
- 3) La solución de este sistema da la frecuencia y los valores de los coeficientes armónicos. Si estos valores son reales y positivos, entonces el sistema tiene un ciclo límite. Los valores de los coeficientes armónicos se pueden utilizar para determinar la amplitud del ciclo límite.
- 4). Un signo general de la estabilidad del ciclo límite, es decir la existencia de autooscilaciones, es la igualdad a cero del penúltimo determinante de Hurwitz para los valores obtenidos de la amplitud y frecuencia del ciclo límite. A menudo es más conveniente utilizar la condición de estabilidad de ciclo límite basada en el criterio de estabilidad de Mikhailov.
Si se cumple esta desigualdad, entonces el ciclo límite es estable y hay autooscilaciones en el sistema con la amplitud y frecuencia definidas anteriormente. Índice "*" significa que las derivadas se calculan con valores ya conocidos de coeficientes armónicos, amplitud y frecuencia.
Ejemplo. Supongamos que en el sistema de estabilización del ángulo de cabeceo de la aeronave ya considerado anteriormente, el mecanismo de dirección no es lineal y su diagrama de bloques tiene la forma que se muestra en la Fig. 7.6.
Figura 6 Diagrama de un accionamiento de dirección no lineal
Establezcamos los siguientes parámetros de la no linealidad de las características de velocidad del accionamiento de dirección: b = 0,12, k 1 =tg =c/b = 6,7. Los coeficientes de linealización armónica de esta no linealidad están determinados por las expresiones
Reemplazando la característica no lineal en el circuito con un coeficiente armónico, obtenemos la función de transferencia del mecanismo de dirección.
Sustituimos esta función de transferencia en el diagrama de bloques del sistema de estabilización del ángulo de inclinación y determinamos la función de transferencia del sistema cerrado
En la ecuación característica de un sistema cerrado, hacemos el cambio s = j y seleccione las partes real e imaginaria.
De la segunda ecuación del sistema, obtenemos una expresión para la frecuencia: , y sustituyéndola en la primera ecuación, después de transformaciones, obtenemos
Sustituyendo aquí las expresiones previamente definidas por los coeficientes de la ecuación característica, podemos obtener una ecuación cuadrática con respecto al coeficiente armónico, resolviendo la cual, encontramos
A partir de estos valores es posible calcular para dos casos todos los coeficientes de la ecuación característica y determinar las frecuencias correspondientes a cada valor q(A). Obtenemos:
Ambos valores del coeficiente armónico y las correspondientes frecuencias son reales y positivos. Por lo tanto, hay dos ciclos límite en el sistema. Los valores de la amplitud del ciclo límite se determinan numéricamente seleccionando un valor en el que la fórmula para el coeficiente de linealización armónica da un valor igual al calculado previamente. En el caso que nos ocupa, obtenemos
Ahora estimemos la estabilidad de los ciclos límite. Usamos la desigualdad obtenida del criterio de Mikhailov, para lo cual definimos
La derivada del coeficiente de linealización armónica incluida en las expresiones obtenidas se calcula mediante la fórmula
Los cálculos que utilizan las fórmulas anteriores muestran que el primer ciclo límite no es estable y ocurre cuando (0) 0.1166(6.7 0 ). Si la desviación inicial es menor que la especificada, entonces el proceso en la entrada del elemento no lineal decae (Fig. 7.7) y el sistema es estable.
Si el valor inicial del ángulo de inclinación es mayor que el valor especificado, entonces los procesos convergen al segundo ciclo límite, que es estable y, por lo tanto, se producen autooscilaciones en el sistema (Fig. 8).
Arroz. 8
Mediante el modelado se determina que el área de atracción de un ciclo límite estable se encuentra aproximadamente dentro de (0) 0.1167 - 1.4 (6.71 0 - 80.2 0 ).