Las identidades trigonométricas más simples.
El cociente de dividir el seno del ángulo alfa por el coseno del mismo ángulo es igual a la tangente de este ángulo (Fórmula 1). Ver también la prueba de la corrección de la transformación de las identidades trigonométricas más simples.
El cociente de dividir el coseno del ángulo alfa por el seno del mismo ángulo es igual a la cotangente del mismo ángulo (Fórmula 2)
La secante de un ángulo es igual a uno dividido por el coseno del mismo ángulo (Fórmula 3)
La suma de los cuadrados del seno y coseno del mismo ángulo es igual a uno (Fórmula 4). ver también la prueba de la suma de cuadrados de coseno y seno.
La suma de la unidad y la tangente del ángulo es igual a la razón de la unidad al cuadrado del coseno de este ángulo (Fórmula 5)
La unidad más la cotangente del ángulo es igual al cociente de dividir la unidad por el seno al cuadrado de este ángulo (Fórmula 6)
El producto de la tangente y la cotangente del mismo ángulo es igual a uno (Fórmula 7).
Conversión de ángulos negativos de funciones trigonométricas (pares e impares)
Para deshacerse del valor negativo de la medida en grados del ángulo al calcular el seno, el coseno o la tangente, puede usar las siguientes transformaciones trigonométricas (identidades) basadas en los principios de las funciones trigonométricas pares o impares.
Como se vio, coseno y la secante es incluso función, seno, tangente y cotangente son funciones impares.
El seno de un ángulo negativo es igual al valor negativo del seno de ese mismo ángulo positivo (menos el seno de alfa).
El coseno "menos alfa" dará el mismo valor que el coseno del ángulo alfa.
Tangente menos alfa es igual a menos tangente alfa.
Fórmulas de reducción de doble ángulo (seno, coseno, tangente y cotangente de un doble ángulo)
Si necesitas dividir el ángulo por la mitad, o viceversa, pasar de un ángulo doble a uno simple, puedes usar las siguientes identidades trigonométricas:
Conversión de doble ángulo (seno de doble ángulo, coseno de doble ángulo y tangente de doble ángulo) en uno solo se produce de acuerdo con las siguientes reglas:
Seno de un doble ángulo es igual al doble del producto del seno y el coseno de un solo ángulo
Coseno de un ángulo doble es igual a la diferencia entre el cuadrado del coseno de un solo ángulo y el cuadrado del seno de este ángulo
Coseno de un ángulo doble igual al doble del cuadrado del coseno de un solo ángulo menos uno
Coseno de un ángulo doble es igual a uno menos el doble seno cuadrado de un solo ángulo
tangente de doble ángulo es igual a una fracción cuyo numerador es el doble de la tangente de un solo ángulo, y cuyo denominador es igual a uno menos la tangente del cuadrado de un solo ángulo.
Cotangente de doble ángulo es igual a una fracción cuyo numerador es el cuadrado de la cotangente de un solo ángulo menos uno, y el denominador es igual al doble de la cotangente de un solo ángulo
Fórmulas universales de sustitución trigonométrica
Las fórmulas de conversión a continuación pueden ser útiles cuando necesita dividir el argumento de la función trigonométrica (sen α, cos α, tg α) por dos y llevar la expresión al valor de la mitad del ángulo. Del valor de α obtenemos α/2.Estas fórmulas se llaman fórmulas de la sustitución trigonométrica universal. Su valor radica en el hecho de que la expresión trigonométrica con su ayuda se reduce a la expresión de la tangente de medio ángulo, independientemente de qué funciones trigonométricas (sin cos tg ctg) estaban originalmente en la expresión. Después de eso, la ecuación con la tangente de medio ángulo es mucho más fácil de resolver.
Identidades de transformación trigonométricas de medio ángulo
Las siguientes son las fórmulas para la conversión trigonométrica de la mitad del valor de un ángulo a su valor entero.El valor del argumento de la función trigonométrica α/2 se reduce al valor del argumento de la función trigonométrica α.
Fórmulas trigonométricas para sumar ángulos
cos (α - β) = cos α cos β + sen α sen β
sen (α + β) = sen α cos β + sen β cos α
sen (α - β) = sen α cos β - sen β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sen α sen β
Tangente y cotangente de la suma de ángulos alfa y beta se pueden convertir de acuerdo con las siguientes reglas para convertir funciones trigonométricas:
Tangente de la suma de los ángulos es igual a una fracción cuyo numerador es la suma de la tangente del primer ángulo y la tangente del segundo ángulo, y el denominador es uno menos el producto de la tangente del primer ángulo y la tangente del segundo ángulo.
tangente de diferencia de ángulo es igual a una fracción, cuyo numerador es igual a la diferencia entre la tangente del ángulo reducido y la tangente del ángulo a restar, y el denominador es uno más el producto de las tangentes de estos ángulos.
Cotangente de la suma de los ángulos es igual a una fracción cuyo numerador es igual al producto de las cotangentes de estos ángulos más uno, y el denominador es igual a la diferencia entre la cotangente del segundo ángulo y la cotangente del primer ángulo.
Cotangente de diferencia de ángulo es igual a una fracción cuyo numerador es el producto de las cotangentes de estos ángulos menos uno, y el denominador es igual a la suma de las cotangentes de estos ángulos.
Estas identidades trigonométricas son convenientes para usar cuando necesita calcular, por ejemplo, la tangente de 105 grados (tg 105). Si se representa como tg (45 + 60), entonces puede usar las transformaciones idénticas dadas de la tangente de la suma de los ángulos, después de lo cual simplemente sustituye los valores tabulares de la tangente de 45 y la tangente de 60 grados.
Fórmulas para convertir la suma o diferencia de funciones trigonométricas
Las expresiones que representan la suma de la forma sin α + sin β se pueden convertir usando las siguientes fórmulas:
Fórmulas de triple ángulo: convertir sin3α cos3α tg3α a sinα cosα tgα
A veces es necesario convertir el valor triple del ángulo para que el ángulo α se convierta en el argumento de la función trigonométrica en lugar de 3α.En este caso, puedes usar las fórmulas (identidades) para la transformación del triple ángulo:
Fórmulas para transformar el producto de funciones trigonométricas
Si es necesario convertir el producto de senos de diferentes ángulos de cosenos de diferentes ángulos, o incluso el producto de seno y coseno, entonces puedes usar las siguientes identidades trigonométricas:
En este caso, el producto de las funciones seno, coseno o tangente de diferentes ángulos se convertirá en una suma o diferencia.
Fórmulas para reducir funciones trigonométricas
Necesita usar la mesa de reparto de la siguiente manera. En la línea, seleccione la función que nos interese. La columna es un ángulo. Por ejemplo, el seno del ángulo (α+90) en la intersección de la primera fila y la primera columna, encontramos que sen (α+90) = cos α.
En pocas palabras, se trata de verduras cocinadas en agua según una receta especial. Consideraré dos componentes iniciales (ensalada de verduras y agua) y el resultado final: borscht. Geométricamente, esto se puede representar como un rectángulo en el que un lado denota lechuga, el otro lado denota agua. La suma de estos dos lados denotará borscht. La diagonal y el área de dicho rectángulo "borscht" son conceptos puramente matemáticos y nunca se usan en las recetas de borscht.
¿Cómo se convierten la lechuga y el agua en borscht en términos matemáticos? ¿Cómo puede la suma de dos segmentos convertirse en trigonometría? Para entender esto, necesitamos funciones angulares lineales.
No encontrará nada sobre funciones de ángulos lineales en los libros de texto de matemáticas. Pero sin ellos no puede haber matemáticas. Las leyes de las matemáticas, como las leyes de la naturaleza, funcionan tanto si sabemos que existen como si no.
Las funciones angulares lineales son las leyes de la suma. Vea cómo el álgebra se convierte en geometría y la geometría en trigonometría.
¿Es posible prescindir de las funciones angulares lineales? Puede, porque los matemáticos todavía se las arreglan sin ellos. El truco de los matemáticos radica en que siempre nos hablan sólo de aquellos problemas que ellos mismos pueden resolver, y nunca nos hablan de aquellos problemas que no pueden resolver. Ver. Si conocemos el resultado de la suma y un término, usamos la resta para encontrar el otro término. Todo. No conocemos otros problemas y no somos capaces de resolverlos. ¿Qué hacer si solo conocemos el resultado de la suma y no conocemos ambos términos? En este caso, el resultado de la suma debe descomponerse en dos términos utilizando funciones angulares lineales. Además, nosotros mismos elegimos cuál puede ser un término, y las funciones angulares lineales muestran cuál debe ser el segundo término para que el resultado de la suma sea exactamente lo que necesitamos. Puede haber un número infinito de tales pares de términos. En la vida cotidiana nos va muy bien sin descomponer la suma, nos basta con restar. Pero en los estudios científicos de las leyes de la naturaleza, la expansión de la suma en términos puede ser muy útil.
Otra ley de la suma de la que a los matemáticos no les gusta hablar (otro truco suyo) requiere que los términos tengan la misma unidad de medida. Para lechuga, agua y borscht, pueden ser unidades de peso, volumen, costo o unidad de medida.
La figura muestra dos niveles de diferencia para matemáticas. El primer nivel son las diferencias en el campo de los números, que se indican a, B, C. Esto es lo que hacen los matemáticos. El segundo nivel son las diferencias en el área de las unidades de medida, que se muestran entre corchetes y se indican con la letra tu. Esto es lo que hacen los físicos. Podemos entender el tercer nivel: las diferencias en el alcance de los objetos descritos. Diferentes objetos pueden tener el mismo número de las mismas unidades de medida. Lo importante que es esto, lo podemos ver en el ejemplo de la trigonometría borscht. Si agregamos subíndices a la misma notación para las unidades de medida de diferentes objetos, podemos decir exactamente qué cantidad matemática describe un objeto en particular y cómo cambia con el tiempo o en relación con nuestras acciones. letra W Marcaré el agua con la letra S Voy a marcar la ensalada con la letra. B- Borsch. Así es como se verían las funciones de ángulo lineal para borscht.
Si tomamos una parte del agua y una parte de la ensalada, juntos se convertirán en una porción de borscht. Aquí le sugiero que tome un pequeño descanso del borscht y recuerde su infancia lejana. ¿Recuerdas cómo nos enseñaron a juntar conejitos y patos? Era necesario encontrar cuántos animales resultarán. Entonces, ¿qué nos enseñaron a hacer? Nos enseñaron a separar unidades de números y sumar números. Sí, cualquier número se puede agregar a cualquier otro número. Este es un camino directo al autismo de las matemáticas modernas: no entendemos qué, no está claro por qué, y entendemos muy mal cómo se relaciona esto con la realidad, debido a los tres niveles de diferencia, los matemáticos operan solo en uno. Será más correcto aprender a pasar de una unidad de medida a otra.
Y los conejitos, los patos y los animalitos se pueden contar por partes. Una unidad de medida común para diferentes objetos nos permite sumarlos. Esta es una versión infantil del problema. Veamos un problema similar para adultos. ¿Qué obtienes cuando agregas conejitos y dinero? Hay dos soluciones posibles aquí.
Primera opción. Determinamos el valor de mercado de los conejos y lo sumamos al efectivo disponible. Obtuvimos el valor total de nuestra riqueza en términos de dinero.
Segunda opción. A la cantidad de billetes que tenemos se le puede sumar el número de conejitos. Obtendremos la cantidad de bienes muebles en piezas.
Como puedes ver, la misma ley de la suma te permite obtener resultados diferentes. Todo depende de lo que queramos saber exactamente.
Pero volvamos a nuestro borscht. Ahora podemos ver lo que sucederá para diferentes valores del ángulo de las funciones angulares lineales.
El ángulo es cero. Tenemos ensalada pero no agua. No podemos cocinar borscht. La cantidad de borscht también es cero. Esto no significa en absoluto que cero borscht sea igual a cero agua. Zero borsch también puede estar en zero salad (ángulo recto).
Para mí personalmente, esta es la principal prueba matemática del hecho de que . Cero no cambia el número cuando se suma. Esto se debe a que la suma en sí es imposible si solo hay un término y falta el segundo término. Puede relacionarse con esto como quiera, pero recuerde: todas las operaciones matemáticas con cero fueron inventadas por los mismos matemáticos, así que descarte su lógica y estúpidamente abarrote las definiciones inventadas por los matemáticos: "la división por cero es imposible", "cualquier número multiplicado por cero es igual a cero", "detrás del punto cero" y otras tonterías. Basta recordar una vez que el cero no es un número, y nunca tendrás la pregunta de si el cero es un número natural o no, porque tal pregunta generalmente pierde todo sentido: ¿cómo se puede considerar un número lo que no es un número? . Es como preguntar a qué color atribuir un color invisible. Sumar cero a un número es como pintar con pintura que no existe. Agitaron un pincel seco y les dijeron a todos que "hemos pintado". Pero me desvío un poco.
El ángulo es mayor que cero pero menor que cuarenta y cinco grados. Tenemos mucha lechuga, pero poca agua. Como resultado, obtenemos un borscht espeso.
El ángulo es de cuarenta y cinco grados. Tenemos cantidades iguales de agua y lechuga. Este es el borscht perfecto (que los cocineros me perdonen, son solo matemáticas).
El ángulo es mayor de cuarenta y cinco grados pero menor de noventa grados. Tenemos mucha agua y poca lechuga. Consigue borscht líquido.
Ángulo recto. tenemos agua Solo quedan recuerdos de la lechuga, mientras continuamos midiendo el ángulo desde la línea que una vez marcó la lechuga. No podemos cocinar borscht. La cantidad de borscht es cero. En ese caso, espera y bebe agua mientras esté disponible)))
Aquí. Algo como esto. Puedo contar otras historias aquí que serán más que apropiadas aquí.
Los dos amigos tenían sus acciones en el negocio común. Tras el asesinato de uno de ellos, todo pasó al otro.
El surgimiento de las matemáticas en nuestro planeta.
Todas estas historias se cuentan en el lenguaje de las matemáticas utilizando funciones angulares lineales. En otro momento les mostraré el lugar real de estas funciones en la estructura de las matemáticas. Mientras tanto, volvamos a la trigonometría del borscht y consideremos las proyecciones.
sábado, 26 de octubre de 2019
Vi un video interesante sobre la fila de grandi Uno menos uno más uno menos uno - Numberphile. Los matemáticos mienten. No realizaron una prueba de igualdad en su razonamiento.
Esto resuena con mi razonamiento acerca de .
Echemos un vistazo más de cerca a las señales de que los matemáticos nos están engañando. Al comienzo del razonamiento, los matemáticos dicen que la suma de la secuencia DEPENDE de si el número de elementos es par o no. Este es un HECHO OBJETIVAMENTE ESTABLECIDO. ¿Qué pasa después?
Luego, los matemáticos restan la secuencia de la unidad. ¿A qué conduce esto? Esto lleva a un cambio en el número de elementos en la secuencia: un número par cambia a un número impar, un número impar cambia a un número par. Después de todo, hemos agregado un elemento igual a uno a la secuencia. A pesar de toda la similitud externa, la secuencia antes de la transformación no es igual a la secuencia después de la transformación. Incluso si estamos hablando de una secuencia infinita, debemos recordar que una secuencia infinita con un número impar de elementos no es igual a una secuencia infinita con un número par de elementos.
Poniendo un signo igual entre dos secuencias diferentes en el número de elementos, los matemáticos afirman que la suma de la secuencia NO DEPENDE del número de elementos en la secuencia, lo que contradice un HECHO OBJETIVAMENTE ESTABLECIDO. El razonamiento adicional sobre la suma de una secuencia infinita es falso, porque se basa en una igualdad falsa.
Si ves que los matemáticos colocan corchetes en el transcurso de las demostraciones, reorganizan los elementos de una expresión matemática, agregan o quitan algo, ten mucho cuidado, lo más probable es que estén tratando de engañarte. Al igual que los magos de cartas, los matemáticos desvían su atención con varias manipulaciones de la expresión para eventualmente darle un resultado falso. Si no puede repetir el truco de cartas sin conocer el secreto de hacer trampa, entonces en matemáticas todo es mucho más simple: ni siquiera sospecha nada sobre hacer trampa, pero repetir todas las manipulaciones con una expresión matemática le permite convencer a otros de la corrección del resultado, al igual que cuando te han convencido.
Pregunta de la audiencia: Y el infinito (como el número de elementos en la secuencia S), ¿es par o impar? ¿Cómo puedes cambiar la paridad de algo que no tiene paridad?
El infinito para los matemáticos es como el Reino de los Cielos para los sacerdotes: nadie ha estado allí nunca, pero todos saben exactamente cómo funciona todo allí))) Estoy de acuerdo, después de la muerte serás absolutamente indiferente si viviste un número par o impar de días. , pero ... Agregando solo un día al comienzo de su vida, obtendremos una persona completamente diferente: su apellido, nombre y patronímico son exactamente iguales, solo la fecha de nacimiento es completamente diferente: nació uno día antes que tú.
Y ahora al grano))) Supongamos que una sucesión finita que tiene paridad pierde esta paridad al ir al infinito. Entonces cualquier segmento finito de una secuencia infinita también debe perder paridad. No observamos esto. El hecho de que no podamos decir con certeza si el número de elementos en una sucesión infinita es par o impar no significa en absoluto que la paridad haya desaparecido. La paridad, si existe, no puede desaparecer en el infinito sin dejar rastro, como en la manga de un sacapuntas. Hay una muy buena analogía para este caso.
¿Alguna vez le has preguntado a un cuco sentado en un reloj en qué dirección gira la manecilla del reloj? Para ella, la flecha gira en sentido contrario a lo que llamamos "sentido horario". Puede sonar paradójico, pero la dirección de rotación depende únicamente del lado desde el que observamos la rotación. Y así, tenemos una rueda que gira. No podemos decir en qué dirección ocurre la rotación, ya que podemos observarla tanto desde un lado del plano de rotación como desde el otro. Solo podemos atestiguar el hecho de que hay rotación. Analogía completa con la paridad de una sucesión infinita S.
Ahora agreguemos una segunda rueda giratoria, cuyo plano de rotación es paralelo al plano de rotación de la primera rueda giratoria. Todavía no podemos decir exactamente en qué dirección giran estas ruedas, pero podemos decir con absoluta certeza si ambas ruedas giran en la misma dirección o en direcciones opuestas. Comparando dos sucesiones infinitas S Y 1-S, mostré con la ayuda de las matemáticas que estas sucesiones tienen diferente paridad y poner un signo igual entre ellas es un error. Personalmente, creo en las matemáticas, no confío en los matemáticos))) Por cierto, para comprender completamente la geometría de las transformaciones de secuencias infinitas, es necesario introducir el concepto "simultaneidad". Esto tendrá que ser dibujado.
miércoles, 7 de agosto de 2019
Concluyendo la conversación sobre , necesitamos considerar un conjunto infinito. Dio en que el concepto de "infinito" actúa sobre los matemáticos, como una boa constrictor sobre un conejo. El estremecedor horror del infinito priva a los matemáticos del sentido común. Aquí hay un ejemplo:
Se encuentra la fuente original. Alfa denota un número real. El signo igual en las expresiones anteriores indica que si sumas un número o infinito a infinito, nada cambiará, el resultado será el mismo infinito. Si tomamos un conjunto infinito de números naturales como ejemplo, entonces los ejemplos considerados se pueden representar de la siguiente manera:
Para probar visualmente su caso, los matemáticos han ideado muchos métodos diferentes. Personalmente, veo todos estos métodos como las danzas de los chamanes con panderetas. En esencia, todo se reduce a que, o bien algunas de las habitaciones no están ocupadas y se instalan nuevos huéspedes en ellas, o bien, algunos de los visitantes son arrojados al pasillo para dejar sitio a los invitados (muy humanamente). Presenté mi punto de vista sobre tales decisiones en forma de una historia fantástica sobre la Rubia. ¿En qué se basa mi razonamiento? Mover un número infinito de visitantes requiere una cantidad infinita de tiempo. Después de que hayamos desalojado la primera habitación de invitados, uno de los visitantes siempre caminará por el pasillo desde su habitación hasta la siguiente hasta el final de los tiempos. Por supuesto, el factor tiempo puede ignorarse estúpidamente, pero esto ya será de la categoría de "la ley no está escrita para tontos". Todo depende de lo que estemos haciendo: ajustar la realidad a las teorías matemáticas o viceversa.
¿Qué es un "hotel infinito"? Una posada infinita es una posada que siempre tiene cualquier cantidad de vacantes, sin importar cuántas habitaciones estén ocupadas. Si todas las habitaciones del pasillo sin fin "para visitantes" están ocupadas, hay otro pasillo sin fin con habitaciones para "invitados". Habrá un número infinito de tales corredores. Al mismo tiempo, el "hotel infinito" tiene un número infinito de pisos en un número infinito de edificios en un número infinito de planetas en un número infinito de universos creados por un número infinito de Dioses. Los matemáticos, en cambio, no son capaces de alejarse de los banales problemas cotidianos: Dios-Alá-Buda es siempre uno solo, el hotel es uno, el pasillo es uno solo. Entonces, los matemáticos están tratando de hacer malabarismos con los números de serie de las habitaciones de hotel, convenciéndonos de que es posible "empujar a los no empujados".
Te demostraré la lógica de mi razonamiento usando el ejemplo de un conjunto infinito de números naturales. Primero debe responder una pregunta muy simple: ¿cuántos conjuntos de números naturales existen, uno o muchos? No hay una respuesta correcta a esta pregunta, ya que nosotros mismos inventamos los números, no hay números en la Naturaleza. Sí, la Naturaleza sabe contar perfectamente, pero para ello utiliza otras herramientas matemáticas que no nos son familiares. Como piensa la Naturaleza, te lo diré en otro momento. Como nosotros inventamos los números, nosotros mismos decidiremos cuántos conjuntos de números naturales existen. Considere ambas opciones, como corresponde a un verdadero científico.
Opcion uno. "Démonos" un solo conjunto de números naturales, que yace serenamente en un estante. Tomamos este conjunto del estante. Eso es todo, no quedan otros números naturales en el estante y no hay dónde llevarlos. No podemos añadir uno a este conjunto, ya que ya lo tenemos. ¿Qué pasa si realmente quieres? No hay problema. Podemos tomar una unidad del conjunto que ya hemos tomado y devolverla a la estantería. Después de eso, podemos tomar una unidad del estante y agregarla a lo que nos queda. Como resultado, nuevamente obtenemos un conjunto infinito de números naturales. Puedes escribir todas nuestras manipulaciones así:
He escrito las operaciones en notación algebraica y en notación de teoría de conjuntos, enumerando los elementos del conjunto en detalle. El subíndice indica que tenemos un único conjunto de números naturales. Resulta que el conjunto de números naturales permanecerá sin cambios solo si se le resta uno y se suma el mismo.
Opción dos. Tenemos muchos conjuntos infinitos diferentes de números naturales en el estante. Enfatizo: DIFERENTES, a pesar de que son prácticamente indistinguibles. Tomamos uno de estos conjuntos. Luego tomamos uno de otro conjunto de números naturales y lo sumamos al conjunto que ya hemos tomado. Incluso podemos sumar dos conjuntos de números naturales. Esto es lo que obtenemos:
Los subíndices "uno" y "dos" indican que estos elementos pertenecían a conjuntos diferentes. Sí, si sumas uno a un conjunto infinito, el resultado también será un conjunto infinito, pero no será igual al conjunto original. Si un conjunto infinito se suma a otro conjunto infinito, el resultado es un nuevo conjunto infinito que consta de los elementos de los dos primeros conjuntos.
El conjunto de números naturales se usa para contar de la misma manera que una regla para medir. Ahora imagina que has añadido un centímetro a la regla. Esta ya será una línea diferente, no igual a la original.
Puede aceptar o no mi razonamiento: es asunto suyo. Pero si alguna vez te encuentras con problemas matemáticos, piensa si estás en el camino del falso razonamiento, recorrido por generaciones de matemáticos. Después de todo, las clases de matemáticas, en primer lugar, forman un estereotipo estable de pensamiento en nosotros, y solo luego nos agregan habilidades mentales (o viceversa, nos privan del pensamiento libre).
pozg.ru
domingo, 4 de agosto de 2019
Estaba escribiendo una posdata a un artículo sobre y vi este maravilloso texto en Wikipedia:
Leemos: "... la rica base teórica de las matemáticas de Babilonia no tenía un carácter holístico y se reducía a un conjunto de técnicas dispares, desprovistas de un sistema común y una base de pruebas".
¡Guau! Qué inteligentes somos y qué bien podemos ver las deficiencias de los demás. ¿Es débil para nosotros mirar las matemáticas modernas en el mismo contexto? Parafraseando ligeramente el texto anterior, personalmente obtuve lo siguiente:
La rica base teórica de las matemáticas modernas no tiene un carácter holístico y se reduce a un conjunto de secciones dispares, desprovistas de un sistema común y una base de evidencia.
No iré muy lejos para confirmar mis palabras: tiene un lenguaje y convenciones que son diferentes del lenguaje y las convenciones de muchas otras ramas de las matemáticas. Los mismos nombres en diferentes ramas de las matemáticas pueden tener diferentes significados. Quiero dedicar todo un ciclo de publicaciones a los errores garrafales más evidentes de las matemáticas modernas. Nos vemos pronto.
sábado, 3 de agosto de 2019
¿Cómo dividir un conjunto en subconjuntos? Para ello, debe introducir una nueva unidad de medida, que está presente en algunos de los elementos del conjunto seleccionado. Considere un ejemplo.
Que tengamos muchos PERO compuesto por cuatro personas. Este conjunto se forma a base de "personas" Designemos los elementos de este conjunto a través de la letra pero, el subíndice con un número indicará el número ordinal de cada persona en este conjunto. Introduzcamos una nueva unidad de medida "característica sexual" y denotémosla con la letra B. Dado que las características sexuales son inherentes a todas las personas, multiplicamos cada elemento del conjunto PERO sobre género B. Observe que nuestro conjunto de "personas" ahora se ha convertido en el conjunto de "personas con género". Después de eso, podemos dividir las características sexuales en macho b.m. y de mujer peso corporal características de género. Ahora podemos aplicar un filtro matemático: seleccionamos una de estas características sexuales, no importa si es hombre o mujer. Si está presente en una persona, lo multiplicamos por uno, si no hay tal signo, lo multiplicamos por cero. Y luego aplicamos las matemáticas escolares habituales. Mira lo que pasó.
Después de multiplicaciones, reducciones y reordenamientos, obtuvimos dos subconjuntos: el subconjunto masculino b.m. y un subconjunto de mujeres peso corporal. Aproximadamente de la misma manera que razonan los matemáticos cuando aplican la teoría de conjuntos en la práctica. Pero no nos dejan entrar en los detalles, sino que nos dan el resultado final: "mucha gente consiste en un subconjunto de hombres y un subconjunto de mujeres". Naturalmente, puede tener una pregunta, ¿cómo se aplicaron correctamente las matemáticas en las transformaciones anteriores? Me atrevo a asegurarte que en efecto las transformaciones se hacen correctamente, basta con saber la justificación matemática de la aritmética, el álgebra booleana y otras secciones de las matemáticas. ¿Lo que es? En otra ocasión te lo contaré.
En cuanto a los superconjuntos, es posible combinar dos conjuntos en un superconjunto eligiendo una unidad de medida que esté presente en los elementos de estos dos conjuntos.
Como puede ver, las unidades de medida y las matemáticas comunes hacen que la teoría de conjuntos sea cosa del pasado. Una señal de que no todo va bien con la teoría de conjuntos es que los matemáticos han ideado su propio lenguaje y notación para la teoría de conjuntos. Los matemáticos hicieron lo que alguna vez hicieron los chamanes. Sólo los chamanes saben aplicar "correctamente" sus "saberes". Este "conocimiento" que nos enseñan.
En conclusión, quiero mostrarles cómo manipulan los matemáticos
Digamos que Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga y está mil pasos detrás de ella. Durante el tiempo que Aquiles corre esta distancia, la tortuga se arrastra cien pasos en la misma dirección. Cuando Aquiles haya corrido cien pasos, la tortuga se arrastrará otros diez pasos, y así sucesivamente. El proceso continuará indefinidamente, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.
Este razonamiento se convirtió en un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Gilbert... Todos ellos, de una forma u otra, consideraron las aporías de Zenón. El susto fue tan fuerte que" ... las discusiones continúan en la actualidad, la comunidad científica aún no ha logrado llegar a una opinión común sobre la esencia de las paradojas ... el análisis matemático, la teoría de conjuntos, nuevos enfoques físicos y filosóficos se involucraron en el estudio del tema ; ninguno de ellos se convirtió en una solución universalmente aceptada para el problema...“[Wikipedia, “Aporias de Zeno”]. Todos entienden que están siendo engañados, pero nadie entiende cuál es el engaño.
Desde el punto de vista de las matemáticas, Zenón en su aporía demostró claramente la transición del valor a. Esta transición implica aplicar en lugar de constantes. Según tengo entendido, el aparato matemático para aplicar unidades de medida variables o aún no se ha desarrollado o no se ha aplicado a la aporía de Zenón. La aplicación de nuestra lógica habitual nos lleva a una trampa. Nosotros, por la inercia del pensamiento, aplicamos unidades constantes de tiempo al recíproco. Desde un punto de vista físico, parece como si el tiempo se detuviera por completo en el momento en que Aquiles alcanza a la tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no puede alcanzar a la tortuga.
Si le damos la vuelta a la lógica a la que estamos acostumbrados, todo encaja. Aquiles corre a una velocidad constante. Cada segmento subsiguiente de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo empleado en superarlo es diez veces menor que el anterior. Si aplicamos el concepto de "infinito" en esta situación, entonces sería correcto decir "Aquiles alcanzará infinitamente rápido a la tortuga".
¿Cómo evitar esta trampa lógica? Permanezca en unidades de tiempo constantes y no cambie a valores recíprocos. En el lenguaje de Zeno, se ve así:
En el tiempo que tarda Aquiles en correr mil pasos, la tortuga se arrastra cien pasos en la misma dirección. Durante el siguiente intervalo de tiempo, igual al primero, Aquiles correrá otros mil pasos y la tortuga se arrastrará cien pasos. Ahora Aquiles está ochocientos pasos por delante de la tortuga.
Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero esto no es una solución completa al problema. La afirmación de Einstein sobre la insuperabilidad de la velocidad de la luz es muy similar a la aporía de Zenón "Aquiles y la tortuga". Todavía tenemos que estudiar, repensar y resolver este problema. Y la solución hay que buscarla no en números infinitamente grandes, sino en unidades de medida.
Otra interesante aporía de Zenón habla de una flecha voladora:
Una flecha voladora está inmóvil, ya que en cada momento del tiempo está en reposo, y como está en reposo en cada momento del tiempo, siempre está en reposo.
En esta aporía, la paradoja lógica se supera de manera muy simple: basta aclarar que en cada momento del tiempo la flecha voladora reposa en diferentes puntos del espacio, lo que, en realidad, es movimiento. Hay otro punto a señalar aquí. A partir de una fotografía de un automóvil en la carretera, es imposible determinar el hecho de su movimiento o la distancia hasta él. Para determinar el hecho del movimiento del automóvil, se necesitan dos fotografías tomadas desde el mismo punto en diferentes momentos, pero no se pueden usar para determinar la distancia. Para determinar la distancia al automóvil, necesita dos fotografías tomadas desde diferentes puntos en el espacio al mismo tiempo, pero no puede determinar el movimiento a partir de ellas (por supuesto, aún necesita datos adicionales para los cálculos, la trigonometría lo ayudará) . Lo que quiero señalar en particular es que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son dos cosas diferentes que no deben confundirse ya que brindan diferentes oportunidades de exploración.
Voy a mostrar el proceso con un ejemplo. Seleccionamos "sólido rojo en un grano": este es nuestro "todo". Al mismo tiempo, vemos que estas cosas son con arco, y las hay sin arco. Después de eso, seleccionamos una parte del "todo" y formamos un conjunto "con un arco". Así es como los chamanes se alimentan vinculando su teoría de conjuntos a la realidad.
Ahora hagamos un pequeño truco. Tomemos "sólido en un grano con un lazo" y unámoslos "entero" por color, seleccionando elementos rojos. Tenemos mucho "rojo". Ahora una pregunta difícil: ¿los conjuntos recibidos "con un lazo" y "rojo" son el mismo conjunto o dos conjuntos diferentes? Solo los chamanes saben la respuesta. Más precisamente, ellos mismos no saben nada, pero como dicen, que así sea.
Este simple ejemplo muestra que la teoría de conjuntos es completamente inútil cuando se trata de la realidad. ¿Cuál es el secreto? Formamos un conjunto de "rojo sólido granujiento con un lazo". La formación se llevó a cabo según cuatro unidades de medida diferentes: color (rojo), fuerza (sólido), rugosidad (en un bulto), decoraciones (con un lazo). Solo un conjunto de unidades de medida hace posible describir adecuadamente los objetos reales en el lenguaje de las matemáticas.. Esto es lo que parece.
La letra "a" con diferentes índices denota diferentes unidades de medida. Entre paréntesis, se destacan las unidades de medida, según las cuales el "todo" se asigna en la etapa preliminar. La unidad de medida, según la cual se forma el conjunto, se quita entre paréntesis. La última línea muestra el resultado final: un elemento del conjunto. Como puede ver, si usamos unidades para formar un conjunto, entonces el resultado no depende del orden de nuestras acciones. Y esto es matemática, y no las danzas de los chamanes con panderetas. Los chamanes pueden llegar “intuitivamente” al mismo resultado, argumentándolo con “obviedad”, porque las unidades de medida no están incluidas en su arsenal “científico”.
Con la ayuda de las unidades de medida, es muy fácil dividir uno o combinar varios conjuntos en un superconjunto. Echemos un vistazo más de cerca al álgebra de este proceso.
Las fórmulas básicas de trigonometría son fórmulas que establecen relaciones entre funciones trigonométricas básicas. Seno, coseno, tangente y cotangente están interconectados por muchas relaciones. A continuación damos las principales fórmulas trigonométricas y, por conveniencia, las agrupamos según su propósito. Usando estas fórmulas, puede resolver casi cualquier problema del curso de trigonometría estándar. Notamos de inmediato que solo las fórmulas en sí se dan a continuación, y no su derivación, a las que se dedicarán artículos separados.
Identidades básicas de la trigonometría
Las identidades trigonométricas dan una relación entre el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo, lo que permite expresar una función en términos de otra.
Identidades trigonométricas
sen 2 a + cos 2 a = 1 tg α = sen α cos α , ctg α = cos α sen α tg α ctg α = 1 tg 2 α + 1 = 1 cos 2 α , ctg 2 α + 1 = 1 sen 2α
Estas identidades se derivan directamente de las definiciones del círculo unitario, seno (sin), coseno (cos), tangente (tg) y cotangente (ctg).
Fórmulas de reparto
Las fórmulas de fundición le permiten pasar de trabajar con ángulos arbitrarios y arbitrariamente grandes a trabajar con ángulos que van de 0 a 90 grados.
Fórmulas de reparto
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α tg α + 2 π z = tg α , ctg α + 2 π z = ctg α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α tg - α + 2 π z = - tg α , ctg - α + 2 π z = - ctg α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sen α tg π 2 + α + 2 π z = - ctg α , ctg π 2 + α + 2 π z = - tg α sen π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sen α tg π 2 - α + 2 π z = ctg α , ctg π 2 - α + 2 π z = tg α sen π + α + 2 π z = - sen α , cos π + α + 2 π z = - cos α tg π + α + 2 π z = tg α , ctg π + α + 2 π z = ctg α sen π - α + 2 π z = sen α , cos π - α + 2 π z = - cos α tg π - α + 2 π z = - tg α , ctg π - α + 2 π z = - ctg α sen 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sen α tg 3 π 2 + α + 2 π z = - ctg α , ctg 3 π 2 + α + 2 π z = - tg α sen 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sen α tg 3 π 2 - α + 2 π z = ctg α , ctg 3 π 2 - α + 2 π z = tg α
Las fórmulas de reducción son consecuencia de la periodicidad de las funciones trigonométricas.
Fórmulas de suma trigonométrica
Las fórmulas de suma en trigonometría te permiten expresar la función trigonométrica de la suma o diferencia de ángulos en términos de las funciones trigonométricas de estos ángulos.
Fórmulas de suma trigonométrica
sen α ± β = sen α cos β ± cos α sen β cos α + β = cos α cos β - sen α sen β cos α - β = cos α cos β + sen α sen β tg α ± β = tg α ± tg β 1 ± tg α tg β ctg α ± β = - 1 ± ctg α ctg β ctg α ± ctg β
Con base en las fórmulas de suma, se derivan fórmulas trigonométricas para un ángulo múltiple.
Fórmulas de múltiples ángulos: doble, triple, etc.
Fórmulas de doble y triple ángulosin 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 tg 2 α \ u003d 2 tg α 1 - tg 2 α con tg 2 α \u003d con tg 2 α - 1 2 con tg α sin 3 α \u003d 3 sin α cos 2 α - sin 3 α, sin 3 α \u003d 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α \u003d cos 3 α - 3 sin 2 α cos α, cos 3 α \u003d - 3 cos α + 4 cos 3 α tg 3 α \u003d 3 tg α - tg 3 α 1 - 3 tg 2 α ctg 3 α = ctg 3 α - 3 ctg α 3 ctg 2 α - 1
Fórmulas de medio ángulo
Las fórmulas de medio ángulo en trigonometría son una consecuencia de las fórmulas de doble ángulo y expresan la relación entre las funciones básicas del medio ángulo y el coseno del ángulo entero.
Fórmulas de medio ángulo
sen 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α
Fórmulas de reducción
Fórmulas de reducciónsen 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sen 3 α = 3 sen α - sen 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sen 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8
A menudo, en los cálculos, es inconveniente operar con poderes engorrosos. Las fórmulas de reducción de grados le permiten reducir el grado de una función trigonométrica de un tamaño arbitrariamente grande al primero. Aquí está su visión general:
Forma general de las fórmulas de reducción
incluso para n
pecado norte α = C norte 2 norte 2 norte + 1 2 norte - 1 ∑ k = 0 norte 2 - 1 (- 1) norte 2 - k C kn cos ((n - 2 k) α) cos norte α = C norte 2 norte 2 norte + 1 2 norte - 1 ∑ k = 0 norte 2 - 1 C kn porque ((n - 2 k) α)
para n impar
pecado norte α = 1 2 norte - 1 ∑ k = 0 norte - 1 2 (- 1) norte - 1 2 - k C kn pecado ((n - 2 k) α) porque norte α = 1 2 norte - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C kn cos ((n - 2 k) α)
Suma y diferencia de funciones trigonométricas
La diferencia y la suma de funciones trigonométricas se pueden representar como un producto. Factorizar las diferencias de senos y cosenos es muy conveniente para resolver ecuaciones trigonométricas y simplificar expresiones.
Suma y diferencia de funciones trigonométricas
sen α + sen β = 2 sen α + β 2 cos α - β 2 sen α - sen β = 2 sen α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 sen α + β 2 sen α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 sen α + β 2 sen β - α 2
Producto de funciones trigonométricas
Si las fórmulas para la suma y la diferencia de funciones le permiten ir a su producto, entonces las fórmulas para el producto de funciones trigonométricas realizan la transición inversa: del producto a la suma. Se consideran fórmulas para el producto de senos, cosenos y seno por coseno.
Fórmulas para el producto de funciones trigonométricas
sen α sen β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β)) sen α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))
Sustitución trigonométrica universal
Todas las funciones trigonométricas básicas (seno, coseno, tangente y cotangente) se pueden expresar en términos de la tangente de un medio ángulo.
Sustitución trigonométrica universal
sen α = 2 tg α 2 1 + tg 2 α 2 cos α = 1 - tg 2 α 2 1 + tg 2 α 2 tg α = 2 tg α 2 1 - tg 2 α 2 ctg α = 1 - tg 2 α 2 2tga 2
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