Para cualquier matriz no singular A, existe una única matriz A -1 tal que
A*A -1 =A -1 *A = E,
donde E es la matriz identidad de los mismos órdenes que A. La matriz A -1 se denomina inversa de la matriz A.
Si alguien se olvidó, en la matriz identidad, a excepción de la diagonal llena de unos, todas las demás posiciones se llenan con ceros, un ejemplo de matriz identidad:
Encontrar la matriz inversa por el método de la matriz adjunta
La matriz inversa se define por la fórmula:
donde A ij - elementos a ij .
Esos. Para calcular la inversa de una matriz, debe calcular el determinante de esta matriz. Luego encuentre adiciones algebraicas para todos sus elementos y haga una nueva matriz a partir de ellos. A continuación, debe transportar esta matriz. Y divide cada elemento de la nueva matriz por el determinante de la matriz original.
Veamos algunos ejemplos.
Encuentre A -1 para la matriz
Solución Encuentre A -1 por el método de matrices adjuntas. Tenemos det A = 2. Encuentre los complementos algebraicos de los elementos de la matriz A. En este caso, los complementos algebraicos de los elementos de la matriz serán los elementos correspondientes de la matriz misma, tomados con un signo de acuerdo con la fórmula
Tenemos A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Formamos la matriz adjunta
Transportamos la matriz A*:
Encontramos la matriz inversa por la fórmula:
Obtenemos:
Use el método de la matriz adjunta para encontrar A -1 si
Solución En primer lugar, calculamos la matriz dada para asegurarnos de que existe la matriz inversa. Tenemos
Aquí hemos sumado a los elementos de la segunda fila los elementos de la tercera fila, multiplicados previamente por (-1), y luego expandido el determinante por la segunda fila. Dado que la definición de esta matriz es diferente de cero, entonces existe la matriz inversa a ella. Para construir la matriz adjunta, encontramos los complementos algebraicos de los elementos de esta matriz. Tenemos
Según la fórmula
transportamos la matriz A*:
Entonces de acuerdo con la fórmula
Hallar la matriz inversa por el método de las transformaciones elementales
Además del método para encontrar la matriz inversa, que se deriva de la fórmula (el método de la matriz asociada), existe un método para encontrar la matriz inversa, llamado método de las transformaciones elementales.
Transformaciones de matrices elementales
Las siguientes transformaciones se denominan transformaciones de matrices elementales:
1) permutación de filas (columnas);
2) multiplicar una fila (columna) por un número distinto de cero;
3) sumando a los elementos de una fila (columna) los elementos correspondientes de otra fila (columna), previamente multiplicados por un número determinado.
Para encontrar la matriz A -1, construimos una matriz rectangular B \u003d (A | E) de órdenes (n; 2n), asignando a la matriz A de la derecha la matriz identidad E a través de la línea divisoria:
Considere un ejemplo.
Usando el método de transformaciones elementales, encuentre A -1 si
Solución Formamos la matriz B:
Denote las filas de la matriz B a través de α 1 , α 2 , α 3 . Realicemos las siguientes transformaciones en las filas de la matriz B.
En este artículo trataremos el concepto de matriz inversa, sus propiedades y formas de encontrarla. Detengámonos en detalle en la resolución de ejemplos en los que se requiere construir una matriz inversa para uno dado.
Navegación de página.
Matriz inversa - definición.
El concepto de matriz inversa se introduce solo para matrices cuadradas cuyo determinante es diferente de cero, es decir, para matrices cuadradas no singulares.
Definición.
La matriz se llama la inversa de la matriz., cuyo determinante es diferente de cero, si las igualdades son verdaderas 
, donde E es la matriz identidad de orden n por n .
Encontrar la matriz inversa utilizando una matriz de sumas algebraicas.
¿Cómo encontrar la matriz inversa para una dada?
Primero, necesitamos los conceptos. matriz transpuesta, el menor de matriz y el complemento algebraico del elemento de matriz.
Definición.
Orden k-ésimo menor La matriz A de orden m por n es el determinante de una matriz de orden k por k, que se obtiene a partir de los elementos de la matriz A que se encuentran en las k filas y k columnas seleccionadas. (k no excede el menor de los números m o n).
Menor (n-1)-ésimo orden, que se compone de elementos de todas las filas, excepto la i-ésima, y todas las columnas, excepto la j-ésima, de una matriz cuadrada A de orden n por n, denotada como .
En otras palabras, el menor se obtiene de una matriz cuadrada A de orden n por n eliminando los elementos de la i-ésima fila y la j-ésima columna.
Por ejemplo, escribamos el menor de segundo orden, que se obtiene de la matriz 
selección de elementos de su segunda, tercera fila y primera, tercera columna 
. También mostramos el menor, que se obtiene de la matriz eliminando la segunda fila y la tercera columna 
. Ilustremos la construcción de estos menores: y .
Definición.
suma algebraica un elemento de una matriz cuadrada se llama un (n-1)-ésimo orden menor, que se obtiene de la matriz A al eliminar los elementos de su i-ésima fila y j-ésima columna, multiplicados por .
El complemento algebraico de un elemento se denota como . Por lo tanto, 
.
Por ejemplo, para una matriz el complemento algebraico del elemento es .
En segundo lugar, necesitaremos dos propiedades del determinante, que discutimos en la sección de cálculo del determinante de una matriz:
En base a estas propiedades del determinante, la definición de la operación de multiplicar una matriz por un número, y el concepto de matriz inversa, la igualdad 
, donde es una matriz transpuesta cuyos elementos son complementos algebraicos .
La matriz 
es de hecho la inversa de la matriz A, ya que las igualdades . mostrémoslo 
vamos a componer algoritmo de matriz inversa usando la igualdad .
Analicemos el algoritmo para encontrar la matriz inversa usando un ejemplo.
Ejemplo.
Dada una matriz 
. Encuentre la matriz inversa.
Solución.
Calcular el determinante de la matriz A, expandiéndolo por los elementos de la tercera columna: 
El determinante es distinto de cero, por lo que la matriz A es invertible.
Encontremos una matriz a partir de sumas algebraicas: 
Es por eso 
Realicemos la transposición de la matriz a partir de sumas algebraicas: 
Ahora encontramos la matriz inversa como :
Comprobemos el resultado: 
Igualdad se ejecutan, por lo tanto, la matriz inversa se encuentra correctamente.
Propiedades de la matriz inversa.
Concepto de matriz inversa, igualdad , las definiciones de las operaciones sobre matrices y las propiedades del determinante de una matriz permiten fundamentar lo siguiente propiedades de la matriz inversa:
Hallar la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan.
Existen métodos alternativos para encontrar la matriz inversa, por ejemplo, Método de Gauss-Jordan.
La esencia del método de Gauss-Jordan es que si se realizan transformaciones elementales con una matriz identidad E, mediante las cuales una matriz cuadrada no singular A se reduce a E, entonces se obtendrá una matriz inversa.
Describamos el algoritmo de llevar la matriz A de orden n por n, cuyo determinante no es igual a cero, a la matriz identidad por el método de Gauss-Jordan. Después de describir el algoritmo, analizaremos un ejemplo para que todo quede claro.
Primero, transformamos la matriz para que el elemento sea igual a uno y todos los demás elementos de la primera columna sean cero.
Si , entonces la k-ésima línea (k>1) se coloca en lugar de la primera línea, en la que , y la primera línea se coloca en lugar de la k-ésima línea. (La fila c necesariamente existe, de lo contrario la matriz A es degenerada). Después de reorganizar las filas, obtuvimos una "nueva" matriz A , que tiene .
Ahora multiplicamos cada elemento de la primera fila por . Entonces llegamos a una "nueva" matriz A , que tiene . A continuación, a los elementos de la segunda fila, sumamos los elementos correspondientes de la primera fila, multiplicados por . A los elementos de la tercera fila: los elementos correspondientes de la primera fila, multiplicados por . Y continuamos este proceso hasta la línea n inclusive. Entonces, todos los elementos de la primera columna de la matriz A, a partir de la segunda, se convertirán en cero.
Con la primera columna resuelta, vaya a la segunda.
Transformemos la matriz A para que el elemento sea igual a uno, y todos los demás elementos de la segunda columna, a partir de , sean cero.
Si , entonces la k-ésima línea (k>2) se coloca en lugar de la segunda línea, en la que , y la segunda línea se coloca en lugar de la k-ésima línea. Entonces obtenemos la matriz transformada A, para la cual . Multiplica todos los elementos de la segunda fila por . Después de eso, a los elementos de la tercera fila, sumamos los elementos correspondientes de la segunda fila, multiplicados por . A los elementos de la cuarta fila: los elementos correspondientes de la segunda fila, multiplicados por . Y continuamos este proceso hasta la línea n inclusive. Entonces, todos los elementos de la segunda columna de la matriz A, a partir de la tercera, se convertirán en cero y serán iguales a uno.
Con la segunda columna terminada, pasa a la tercera y realiza transformaciones similares.
Entonces continuamos el proceso hasta que todos los elementos de la diagonal principal de la matriz A sean iguales a uno, y todos los elementos debajo de la diagonal principal sean iguales a cero.
A partir de este momento, comenzamos el curso inverso del método de Gauss-Jordan. Ahora transformamos la matriz A para que todos los elementos de la n-ésima columna, excepto , se conviertan en cero. Para hacer esto, a los elementos de la (n-1)-ésima fila, agregue los elementos correspondientes de la n-ésima fila, multiplicados por . A los elementos de la (n-2) fila - los elementos correspondientes de la fila n, multiplicados por . Y continuamos este proceso hasta la primera línea inclusive. Entonces, todos los elementos de la n-ésima columna de la matriz A (excepto ) se convertirán en cero.
Con la última columna resuelta, vaya a la (n-1)ésima.
Transformemos la matriz A para que todos los elementos de la (n-1)-ésima columna se conviertan en cero. Para hacer esto, a los elementos de la (n-2) fila, agregue los elementos correspondientes de la (n-1) fila, multiplicados por . A los elementos de la (n-3) fila - los elementos correspondientes de la (n-1) fila, multiplicados por . Y continuamos este proceso hasta la primera línea inclusive. Entonces, todos los elementos de la (n-1)-ésima columna de la matriz A (excepto ) se convertirán en cero.
Ejemplo.
Traer matriz 
a la unidad uno usando las transformaciones de Gauss-Jordan.
Solución.
Como , y , intercambiamos la primera y la segunda fila de la matriz, obtenemos la matriz 
.
Multipliquemos todos los elementos de la primera fila de la matriz por: 
.
A los elementos de la segunda fila sumamos los elementos correspondientes de la primera fila, multiplicados por 0, y a los elementos de la tercera fila sumamos los elementos correspondientes de la primera fila, multiplicados por (-4): 
Pasemos a la segunda columna.
El elemento de la matriz resultante ya es igual a uno, por lo que no es necesario multiplicar los elementos de la segunda fila por . A los elementos de la tercera fila, sumamos los elementos correspondientes de la segunda fila, multiplicados por: 
Pasemos a la tercera columna.
Multiplica los elementos de la tercera fila por: 
.
Se obtienen las unidades de la diagonal principal de la matriz, por lo que procedemos al movimiento inverso.
A los elementos de la segunda fila sumamos los elementos correspondientes de la tercera fila, multiplicados por (-2), y a los elementos de la primera fila sumamos los elementos correspondientes de la tercera fila, multiplicados por: 
En la última columna, se han obtenido los elementos cero necesarios, vaya a la penúltima (segunda) columna.
A los elementos de la primera fila, agregue los elementos correspondientes de la segunda fila, multiplicados por: 
.
Así, se realizaron todas las transformaciones de la matriz y se obtuvo la matriz identidad.
Es hora de aplicar el método de Gauss-Jordan para encontrar la matriz inversa.
Ejemplo.
Encuentre la matriz inversa para 
por el método de Gauss-Jordan.
Solución.
En el lado izquierdo de la página realizaremos las transformaciones de Gauss-Jordan con la matriz A, y en el lado derecho de la página realizaremos las mismas transformaciones con la matriz identidad.
Dado que , y , luego reorganiza la primera y la segunda fila en lugares: 
Multipliquemos los elementos de la primera fila de la matriz por un segundo para que el elemento sea igual a uno: 
A los elementos de la segunda fila sumamos los elementos correspondientes de la primera fila, multiplicados por 0, a los elementos de la tercera fila sumamos los elementos correspondientes de la primera fila, multiplicados por 2, a los elementos de la cuarta fila - los elementos de la primera fila, multiplicados por 5: 
Entonces, en la primera columna de la matriz A, obtuvimos los elementos cero deseados. Pasemos a la segunda columna. Nos aseguraremos de que el elemento sea igual a uno. Para ello, multiplica los elementos de la segunda fila de la matriz por , no olvides realizar las mismas transformaciones con la matriz del lado derecho: 
A continuación, necesitamos hacer los elementos y cero, para esto sumamos los elementos correspondientes de la segunda fila, multiplicados por 0, a los elementos de la tercera fila, y a los elementos de la cuarta fila sumamos los elementos correspondientes de la segunda fila, multiplicado por: 
Entonces, la segunda columna de la matriz A se transforma a la forma deseada. Pasemos a la tercera columna. Como el elemento es nulo, intercambiamos la tercera y la cuarta línea: 
Multiplica los elementos de la tercera fila por: 
La tercera columna de la matriz A tomó la forma deseada (el elemento es cero, por lo que no fue necesario sumar los elementos correspondientes de la tercera fila, multiplicados por , a los elementos de la cuarta fila). Queda por multiplicar la cuarta fila por para que todos los elementos de la diagonal principal sean iguales a uno: 
Se completa la ejecución directa del método de Gauss-Jordan, se procede a la ejecución inversa. Obtenemos los elementos cero necesarios en la última columna de la matriz A. Para ello, sumamos los elementos correspondientes de la última fila multiplicados por a los elementos de la tercera fila, los elementos de la última fila multiplicados por a los elementos de la segunda fila, los elementos de la última fila multiplicados por 0 a los elementos de la primera fila: 
Obtenemos ceros en la penúltima columna sumando a los elementos de la segunda y primera fila los elementos correspondientes de la tercera fila, multiplicados por y 0, respectivamente: 
Queda la última transformación. A los elementos de la primera fila, sumamos los elementos de la segunda fila, multiplicados por: 
Entonces, la matriz A se reduce a la matriz identidad mediante las transformaciones de Gauss-Jordan, y la matriz identidad se reduce a la matriz inversa usando las mismas transformaciones. Así, la matriz inversa se obtiene en el lado derecho. Puedes comprobarlo multiplicando la matriz A por la matriz inversa.
Responder:
.
Encontrar elementos de la matriz inversa resolviendo los correspondientes sistemas de ecuaciones algebraicas lineales.
Considere otra forma de encontrar la matriz inversa para una matriz cuadrada A de orden n por n.
Este método se basa en resolver n sistemas de ecuaciones algebraicas no homogéneas lineales con n nos da tres sistemas de ecuaciones algebraicas lineales no homogéneas: 
No describiremos la solución de estos sistemas, si es necesario, consulte la sección.
Del primer sistema de ecuaciones tenemos , del segundo - , del tercero - . Por lo tanto, la matriz inversa deseada tiene la forma 
. Recomendamos verificar para asegurarse de que el resultado sea correcto.
Resumir.
Consideramos el concepto de matriz inversa, sus propiedades y tres métodos para encontrarla.
Inicial según la fórmula: A^-1 = A*/detA, donde A* es la matriz asociada, detA es la matriz original. La matriz adjunta es la matriz transpuesta de adiciones a los elementos de la matriz original.
En primer lugar, encuentre el determinante de la matriz, debe ser diferente de cero, ya que entonces el determinante se utilizará como divisor. Sea, por ejemplo, dada una matriz de la tercera (que consta de tres filas y tres columnas). Como puedes ver, el determinante de la matriz no es igual a cero, por lo que existe una matriz inversa.
Encuentre el complemento de cada elemento de la matriz A. El complemento de A es el determinante de la submatriz obtenido a partir de la original al eliminar la i-ésima fila y la j-ésima columna, y este determinante se toma con signo. El signo se determina multiplicando el determinante por (-1) elevado a i+j. Así, por ejemplo, el complemento de A será el determinante considerado en la figura. El signo resultó así: (-1)^(2+1) = -1.
Como resultado obtendrás matriz adiciones, ahora transpóngalo. La transposición es una operación que es simétrica respecto a la diagonal principal de la matriz, se intercambian columnas y filas. Por lo tanto, ha encontrado la matriz asociada A*.
1. Encuentra el determinante de la matriz original. Si , entonces la matriz es degenerada y no existe matriz inversa. Si, entonces la matriz es no singular y existe la matriz inversa.
2. Encuentra la matriz transpuesta a.
3. Encontramos los complementos algebraicos de los elementos y formamos la matriz adjunta a partir de ellos.
4. Componemos la matriz inversa según la fórmula.
5. Verificamos la exactitud del cálculo de la matriz inversa, en base a su definición:.
Ejemplo. Encuentre la matriz inversa a la dada: .
Solución.
1) Determinante matricial
.
2) Encontramos los complementos algebraicos de los elementos de la matriz y componemos la matriz adjunta a partir de ellos:
|
|
|
|
||
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|
|
|
3) Calcular la matriz inversa:
,
4) Comprobar:
№4Rango de la matriz. Independencia lineal de las filas de la matriz
Para la solución y estudio de una serie de problemas matemáticos y aplicados, el concepto de rango de una matriz es importante.
En una matriz de tamaño, eliminando filas y columnas, se pueden aislar submatrices cuadradas del orden th, donde. Los determinantes de tales submatrices se llaman -th orden menores de la matriz .
Por ejemplo, las submatrices de orden 1, 2 y 3 se pueden obtener a partir de matrices.
Definición. El rango de una matriz es el orden más alto de los menores distintos de cero de esta matriz. Designación: o.
De la definición sigue:
1) El rango de una matriz no excede la menor de sus dimensiones, es decir
2) si y solo si todos los elementos de la matriz son iguales a cero, es decir.
3) Para una matriz cuadrada de orden n si y solo si la matriz es no singular.
Dado que la enumeración directa de todos los posibles menores de la matriz, comenzando por el tamaño más grande, es difícil (requiere mucho tiempo), se utilizan transformaciones elementales de la matriz que conservan el rango de la matriz.
Transformaciones de matrices elementales:
1) Rechazo de la fila cero (columna).
2) Multiplicar todos los elementos de una fila (columna) por un número.
3) Cambiar el orden de las filas (columnas) de la matriz.
4) Sumar a cada elemento de una fila (columna) los elementos correspondientes de otra fila (columna), multiplicados por cualquier número.
5) Transposición de matrices.
Definición. Una matriz obtenida de una matriz usando transformaciones elementales se llama equivalente y se denota PERO EN.
Teorema. El rango de una matriz no cambia bajo transformaciones de matrices elementales.
Con la ayuda de transformaciones elementales, es posible llevar la matriz a la llamada forma escalonada, cuando el cálculo de su rango no es difícil.
Una matriz se llama matriz escalonada si tiene la forma:
Obviamente, el rango de una matriz escalonada es igual al número de filas distintas de cero, porque hay un orden menor-ésimo, no igual a cero:
.
Ejemplo. Determinar el rango de una matriz usando transformaciones elementales.
El rango de una matriz es igual al número de filas distintas de cero, es decir .
№5Independencia lineal de las filas de la matriz
Dada una matriz de tamaño 
Denotamos las filas de la matriz de la siguiente manera:
Las dos líneas se llaman igual si sus elementos correspondientes son iguales. .
Introducimos las operaciones de multiplicar una cadena por un número y sumar cadenas como operaciones realizadas elemento a elemento:
Definición. Una fila se denomina combinación lineal de filas de matriz si es igual a la suma de los productos de estas filas por números reales arbitrarios (cualquier número):
Definición. Las filas de la matriz se llaman linealmente dependiente , si existen tales números que no son simultáneamente iguales a cero, tales que la combinación lineal de las filas de la matriz es igual a la fila cero:
Donde . (1.1)
La dependencia lineal de las filas de la matriz significa que al menos 1 fila de la matriz es una combinación lineal del resto.
Definición. Si la combinación lineal de filas (1.1) es igual a cero si y solo si todos los coeficientes son , entonces las filas se llaman independiente linealmente .
Teorema del rango de la matriz . El rango de una matriz es igual al número máximo de sus filas o columnas linealmente independientes a través de las cuales todas las demás filas (columnas) se expresan linealmente.
El teorema juega un papel fundamental en el análisis de matrices, en particular, en el estudio de sistemas de ecuaciones lineales.
№6Resolver un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas
Los sistemas de ecuaciones lineales se utilizan ampliamente en economía.
El sistema de ecuaciones lineales con variables tiene la forma:
,
donde () son números arbitrarios llamados coeficientes para variables Y términos libres de ecuaciones , respectivamente.
Breve entrada: ().
Definición. La solución del sistema es tal conjunto de valores, al sustituir los cuales cada ecuación del sistema se convierte en una verdadera igualdad.
1) El sistema de ecuaciones se llama articulación si tiene al menos una solución, y incompatible si no tiene soluciones.
2) El sistema conjunto de ecuaciones se llama cierto si tiene solución única y incierto si tiene más de una solución.
3) Dos sistemas de ecuaciones se llaman equivalente (equivalente ) , si tienen el mismo conjunto de soluciones (por ejemplo, una solución).
Encontrar la matriz inversa es un proceso que consta de pasos bastante simples. Pero estas acciones se repiten con tanta frecuencia que el proceso es bastante largo. Lo principal es no perder la atención a la hora de tomar una decisión.
Al resolver el método más común, las sumas algebraicas, necesitará:
Al resolver ejemplos, analizaremos estas acciones con más detalle. Mientras tanto, averigüemos qué dice la teoría de la matriz inversa.
Para matriz inversa hay una analogía adecuada con el recíproco de un número. por cada número a, que no es igual a cero, existe un número B que el trabajo a Y B igual a uno: abdominales= 1 . Número B se llama reciproco de un numero B. Por ejemplo, para el número 7, el inverso es el número 1/7, ya que 7*1/7=1.
matriz inversa , que se requiere encontrar para una matriz cuadrada dada PERO, tal matriz se llama
el producto por el cual las matrices PERO a la derecha está la matriz identidad, es decir,
. (1)
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que todas las entradas diagonales son iguales a uno.
Encontrar la matriz inversa- un problema que se resuelve con mayor frecuencia mediante dos métodos:
- el método de complementos algebraicos, en el que, como se señaló al comienzo de la lección, se requiere encontrar determinantes, complementos menores y algebraicos y matrices transpuestas;
- Eliminación gaussiana de incógnitas, que requiere transformaciones elementales de matrices (sumar filas, multiplicar filas por el mismo número, etc.).
Para aquellos que sean especialmente curiosos, existen otros métodos, por ejemplo, el método de las transformaciones lineales. En esta lección, analizaremos los tres métodos mencionados y los algoritmos para encontrar la matriz inversa por estos métodos.
Teorema.Para cada matriz cuadrada no singular (no singular, no singular), se puede encontrar una matriz inversa, y además, solo una. Para una matriz cuadrada especial (degenerada, singular), la matriz inversa no existe.
La matriz cuadrada se llama no especial(o no degenerado, no singular) si su determinante no es igual a cero, y especial(o degenerar, singular) si su determinante es cero.
La matriz inversa solo se puede encontrar para una matriz cuadrada. Naturalmente, la matriz inversa también será cuadrada y del mismo orden que la matriz dada. Una matriz para la cual se puede encontrar una matriz inversa se llama matriz invertible.
Hallar la matriz inversa por eliminación gaussiana de incógnitas
El primer paso para encontrar la matriz inversa por eliminación gaussiana es asignar a la matriz A matriz identidad del mismo orden, separándolas con una barra vertical. Obtenemos una matriz dual. Multiplique ambas partes de esta matriz por , luego obtenemos
,
Algoritmo para encontrar la matriz inversa por la eliminación gaussiana de incógnitas
1. A la matriz A asignar una matriz identidad del mismo orden.
2. Transforme la matriz dual resultante para que la matriz identidad se obtenga en su parte izquierda, luego la matriz inversa se obtendrá automáticamente en la parte derecha en lugar de la matriz identidad. La matriz A en el lado izquierdo se convierte en la matriz de identidad mediante transformaciones elementales de la matriz.
2. Si en el proceso de transformación de matriz A en la matriz de identidad en cualquier fila o en cualquier columna solo habrá ceros, entonces el determinante de la matriz es igual a cero y, por lo tanto, la matriz A será degenerado, y no tiene matriz inversa. En este caso, se detiene el hallazgo adicional de la matriz inversa.
Ejemplo 2 para matriz
encontrar la matriz inversa.
y lo transformaremos para que la matriz identidad se obtenga del lado izquierdo. Comencemos la transformación.
Multiplique la primera fila de la matriz izquierda y derecha por (-3) y súmela a la segunda fila, y luego multiplique la primera fila por (-4) y súmela a la tercera fila, luego obtenemos
.
Para que, si es posible, no haya números fraccionarios durante las transformaciones posteriores, primero crearemos una unidad en la segunda fila en el lado izquierdo de la matriz dual. Para hacer esto, multiplique la segunda fila por 2 y reste la tercera fila, luego obtenemos
.
Agreguemos la primera fila a la segunda, y luego multipliquemos la segunda fila por (-9) y la agreguemos a la tercera fila. Entonces obtenemos
.
Divide la tercera fila por 8, luego
.
Multiplique la tercera fila por 2 y súmela a la segunda fila. Resulta:
.
Cambiando los lugares de la segunda y la tercera línea, finalmente obtenemos:
.
Vemos que la matriz identidad se obtiene del lado izquierdo, por lo tanto, la matriz inversa se obtiene del lado derecho. De este modo:
.
Puede verificar la exactitud de los cálculos multiplicando la matriz original por la matriz inversa encontrada:
El resultado debe ser una matriz inversa.
Puedes comprobar la solución con calculadora en línea para encontrar la matriz inversa .
Ejemplo 3 para matriz
encontrar la matriz inversa.
Solución. Compilar una matriz dual
y lo transformaremos.
Multiplicamos la primera fila por 3, y la segunda por 2, y restamos de la segunda, y luego multiplicamos la primera fila por 5, y la tercera por 2 y restamos de la tercera fila, luego obtenemos