Nemlineáris elemek harmonikus linearizálása. Ezt a módszert olyan nemlineáris rendszerek vizsgálatára használják, amelyeknek lineáris része a harmadik rend felett van. A legtöbb rendszerben a tranziens folyamat egy csillapított oszcilláció, ezért egy nemlineáris elem bemenetén lassan változó amplitúdójú periodikus jelet továbbítanak a fő visszacsatoláson (GOF) és bemeneti jel jelenlétében végig. állandó komponenssel.
Feltételezzük, hogy egy nemlineáris elem bemeneténél egy bizonyos kis kezdeti időtartamra az amplitúdó és a frekvencia nem változik, vagy megfelel a rendszer önrezgésének amplitúdójának és frekvenciájának. Az NE kimenetén egy Fourier-sorrá bővíthető periodikus függvényt kapunk. A nemlineáris rendszerek vizsgálatánál leggyakrabban csak az első harmonikus komponenst alkalmazzák, hiszen a legtöbb esetben a rendszer lineáris része egy aluláteresztő szűrő. De ennek és ennek a kutatási módszernek az alkalmazhatóságának ellenőrzéséhez meg kell határozni a rendszerben előforduló önrezgések gyakoriságát, amivel a jövőben meghatározható a lineáris rész magasabb harmonikusok kiszűrésére való képessége. Ehhez építse fel a lineáris rész (LP) frekvenciamenetét.
Legyen a rendszer LP-je egy aluláteresztő szűrő, és feltételezzük, hogy az NE nemlineáris elemének bemenetén a rezgések szinuszosak, akkor az NE kimeneti jele:
ahol A toÉs VC a nemlineáris függvény Fourier-kiterjesztésének együtthatói:
Ha a nemlineáris karakterisztika szimmetrikus és semleges, akkor a Fourier-sor tágulási együtthatója VC=0 és nincsenek páros harmonikusok a bővítésben:
Ezekkel az összefüggésekkel fejezzük ki a szinusz és a koszinusz értékét a bemeneti jelben
Helyettesítsük be ezeket az összefüggéseket az NE kimenet egyenletébe, és csak az első harmonikust vegyük figyelembe.
Ezt az egyenletet operátor formában írjuk fel:
Együttható A 0 - az önrezgések amplitúdója; q a harmonikus linearizációs együttható a szinuszos komponenshez viszonyítva, az NE bemeneten lévő jel amplitúdójától függ; b 1 a harmonikus linearizációs együttható a koszinusz komponensre vonatkoztatva; ω 0 az önrezgések amplitúdója.
Ha nincs állandó komponens az NE bemeneten, akkor egy egyenletet kapunk az NE viselkedés leírására:
Ez az ÉK harmonikus linearizációs egyenlete.
A harmonikusan linearizált NE a következőképpen ábrázolható:
Ebben az esetben levezethetjük az NE átviteli függvényét:
állandó komponens hiányában a bemeneten.
Együttható A 0 - az önrezgések amplitúdója;
q a harmonikus linearizációs együttható a szinuszos komponenshez viszonyítva, az NE bemeneten lévő jel amplitúdójától függ;
b 1 a harmonikus linearizációs együttható a koszinusz komponensre vonatkoztatva;
ω 0 az önrezgések amplitúdója.
A rendszer lineáris részét érinti az NE kimeneti jel, amely a Fourier-tágulás teljes frekvenciaspektrumát tartalmazza. A szuperpozíció elve alapján feltételezhetjük, hogy mindegyik harmonikus a másiktól függetlenül hat a lineáris részre. Ezért a rendszer kimenetén periodikus rezgések állíthatók be, amelyek az NE jelnek megfelelő teljes frekvencia spektrumot tartalmazzák majd, de az egyes harmonikusok amplitúdóját a jobb oldali konverziós együttható határozza meg a figyelembe vett harmonikusra ( ).
A lineáris rész frekvenciamenetének helyettesítésével beállíthatja az egyes felharmonikusok amplitúdóváltozásának arányát, és ellenőrizheti, hogy az LPF lineáris része van-e (eldobhatók-e a magasabb harmonikusok).
Ha az önrezgések frekvenciája be van állítva és az ÉK harmonikus linearizációs együtthatók ismertek, csak az első harmonikust figyelembe véve, akkor a frekvenciát (az első harmonikus frekvenciáját). Ha akkor el tudod dobni a magasabb harmonikusokat, és ez a módszer megfelelő. Azok. az NE kimeneten csak egy harmonikus számítására szorítkozhatunk. Ekkor egy értékű páratlan karakterisztika esetén az NE a következőkkel rendelkezik:
A hiszterézis páratlan karakterisztikája esetén:
Az első esetben az NE ekvivalens egy tehetetlenségi kapcsolattal bizonyos sajátosságokkal - az arányossági együttható az NE bemeneten lévő jel amplitúdójától vagy frekvenciájától függ.
Hiszteretikus nemlinearitás esetén a link egyenértékű a boost linkkel. A linearizációs módszer sajátossága lehetővé teszi a lineáris elmélet frekvenciamódszereinek alkalmazását nemlineáris rendszerek elemzésére.
Az Orosz Föderáció Oktatási és Tudományos Minisztériuma
Szaratovi Állami Műszaki Egyetem
Balakovo Mérnöki, Technológiai és Menedzsment Intézet
Harmonikus linearizációs módszer
Útmutató az "Automatikus vezérlés elmélete" kurzus laboratóriumi munkáihoz a 210100 szakos hallgatók számára
Jóváhagyott
szerkesztői és kiadói tanács
Balakovo Műszaki Intézet,
technológia és menedzsment
Balakovo 2004
A munka célja: Nemlineáris rendszerek vizsgálata harmonikus linearizálás (harmonikus egyensúly) módszerével, harmonikus linearizációs együtthatók meghatározása különféle nemlineáris kapcsolatokra. Az állandó amplitúdójú és frekvenciájú szimmetrikus oszcillációk (önoszcillációk) paramétereinek megtalálásában, algebrai, frekvenciamódszerekkel, valamint a Mihajlov-kritérium alkalmazásában jártasság megszerzése.
ALAPINFORMÁCIÓK
A harmonikus linearizálás módszere nemlineáris rendszerek tanulmányozásának közelítő módszereire vonatkozik. Lehetővé teszi a nemlineáris rendszerek stabilitásának egészen egyszerűen és elfogadható pontossággal történő felmérését, a rendszerben fellépő rezgések frekvenciájának és amplitúdójának meghatározását.
Feltételezzük, hogy a vizsgált nemlineáris ACS a következő formában ábrázolható
továbbá a nemlineáris résznek egy nemlinearitással kell rendelkeznie
Ez a nemlinearitás lehet folyamatos vagy relé, egyértelmű vagy hisztérikus.
Bármely függvény vagy jel sorozattá bővíthető lineárisan független, adott esetben ortonormális függvények rendszere szerint. A Fourier-sorok használhatók ilyen ortogonális sorozatként.
Bővítsük ki a rendszer nemlineáris részének kimenő jelét Fourier-sorba
,
(2)
itt vannak a Fourier-együtthatók,
,
,
.
(3)
Így a (2) szerinti jel a harmonikusok végtelen összegeként ábrázolható növekvő frekvenciájú 
stb. Ez a jel a nemlineáris rendszer lineáris részébe kerül.
Jelöljük a lineáris rész átviteli függvényét
,
(4)
és a számlálópolinom fokszámának kisebbnek kell lennie, mint a nevezőpolinom fokszámának. Ebben az esetben a lineáris rész frekvenciamenetének formája van
ahol 1 - nincs pólusa, 2 - van pólusa vagy pólusai.
A frekvenciamenetre érdemes írni
Így a nemlineáris rendszer lineáris része egy felüláteresztő szűrő. Ebben az esetben a lineáris rész csak alacsony frekvenciákat enged át csillapítás nélkül, míg a magas frekvenciák jelentősen csillapodnak a frekvencia növekedésével.
A harmonikus linearizálási módszer feltételezi, hogy a rendszer lineáris része csak a jel egyenáramú komponensét és az első harmonikust fogja átengedni. Ezután a lineáris rész kimenetén lévő jel így fog kinézni
Ez a jel áthalad a rendszer teljes zárt hurkán Fig.1 és a nemlineáris elem kimenetén anélkül, hogy figyelembe vennénk a magasabb harmonikusokat, a (2) szerint van
.
(7)
A nemlineáris rendszerek harmonikus linearizálás módszerével történő vizsgálata során szimmetrikus és aszimmetrikus rezgések is előfordulhatnak. Tekintsük a szimmetrikus rezgések esetét. Itt és.
A következő jelölést vezetjük be
Ha behelyettesítjük őket (7)-be, azt kapjuk, hogy . (8)
Figyelembe véve azt a tényt, hogy
.
(9)
(3) és (8) bekezdése szerint at
,
.
(10)
A (9) kifejezés a nemlinearitás harmonikus linearizálása, és lineáris kapcsolatot hoz létre a bemeneti és a kimeneti változó között. A és mennyiségeket harmonikus linearizációs együtthatóknak nevezzük.
Meg kell jegyezni, hogy a (9) egyenlet lineáris bizonyos értékekre és (a rendszer harmonikus rezgésének amplitúdói és frekvenciái). De általában megőrzi nemlineáris tulajdonságait, mivel az együtthatók eltérőek a különböző és . Ez a tulajdonság lehetővé teszi a nemlineáris rendszerek tulajdonságainak feltárását a harmonikus linearizálás módszerével [Popov E.P.].
Aszimmetrikus rezgések esetén a nemlinearitás harmonikus linearizálása a lineáris egyenlethez vezet
,
,
.
(12)
A (9) egyenlethez hasonlóan a (11) linearizált egyenlet is megtartja a nemlineáris elem tulajdonságait, mivel a harmonikus linearizációs együtthatók , , valamint az állandó komponens függenek a harmonikus rezgések elmozdulásától és amplitúdójától is.
A (9) és (11) egyenletek lehetővé teszik harmonikusan linearizált nemlineáris elemek átviteli függvényeinek meghatározását. Tehát a szimmetrikus rezgésekhez
,
(13)
míg a frekvenciaátviteli függvény
csak az amplitúdótól függ, és nem függ a rendszer rezgésének gyakoriságától.
Megjegyzendő, hogy ha a páratlan-szimmetrikus nemlinearitás egyértékű, akkor szimmetrikus rezgések esetén a (9) és (10) szerint azt kapjuk, hogy , (15)
(16)
és a linearizált nemlinearitásnak megvan a formája
Kétértelmű nemlinearitások esetén (hiszterézissel) a (16) kifejezés integrálja nem egyenlő nullával, a görbe viselkedésének különbsége miatt növekvő és csökkenő esetén, ezért a (9) teljes kifejezés érvényes.
Keressünk harmonikus linearizációs együtthatókat néhány nemlineáris karakterisztikára. Legyen a nemlineáris karakterisztika egy relé karakterisztika formája hiszterézissel és holtzónával. Vizsgáljuk meg, hogyan haladnak át a harmonikus rezgések egy ilyen jellemzővel rendelkező nemlineáris elemen.
Ha a feltétel teljesül, vagyis ha a bemeneti jel amplitúdója kisebb, mint a holt zóna, akkor a nemlineáris elem kimenetén nincs jel. Ha az amplitúdó , akkor a relé az A, B, C és D pontokban kapcsol. Jelölje és .
,
.
(18)
A harmonikus linearizáció együtthatóinak kiszámításakor figyelembe kell venni, hogy szimmetrikus nemlineáris karakterisztikák esetén a (10) kifejezésekben az integrálok a félcikluson (0, ) vannak, és az eredmény kétszeresére nő. . Ily módon
,
.
(19)
Nemlineáris elemhez relé karakterisztikával és holtzónával
,
Hiszterézises relé karakterisztikával rendelkező nemlineáris elemhez
,
Hasonló módon kaphatunk harmonikus linearizációs együtthatókat más nemlineáris jellemzőkre is.
Tekintsünk két módszert a linearizált rendszerek állandó amplitúdójú és frekvenciájú szimmetrikus rezgésének (önoszcilláció) és stabilitásának meghatározására: algebrai és frekvencia. Nézzük először az algebrai módszert. Zárt rendszer esetén az 1. ábra a lineáris rész átviteli függvénye egyenlő
.
Felírjuk a nemlineáris rész harmonikusan linearizált átviteli függvényét
.
A zárt rendszer karakterisztikus egyenlete alakja
.
(22)
Ha a vizsgált rendszerben önrezgések fordulnak elő, akkor ez két tisztán képzeletbeli gyökér jelenlétét jelzi a jellemző egyenletében. Ezért a (22) karakterisztikus egyenletbe behelyettesítjük a gyök értékét.
.
(23)
Képzeld el
Két egyenletet kapunk, amelyek meghatározzák a kívánt amplitúdót és frekvenciát
,
.
(24)
Ha az amplitúdó és a frekvencia valós pozitív értékei lehetségesek a megoldásban, akkor önrezgések léphetnek fel a rendszerben. Ha az amplitúdó és a frekvencia nem rendelkezik pozitív értékkel, akkor a rendszerben nem lehetséges az önrezgés.
Tekintsük az 1. példát. Legyen a vizsgált nemlineáris rendszer alakja
Ebben a példában a nemlineáris elem egy relé karakterisztikával rendelkező érzékelő elem, amelyre a harmonikus linearizációs együtthatók
Az aktuátornak van egy forma átviteli funkciója
A szabályozott objektum átviteli függvénye egyenlő
.
(27)
A rendszer lineáris részének átviteli függvénye
,
(28)
(22), (25) és (28) alapján írjuk fel egy zárt rendszer karakterisztikus egyenletét
,
(29)
,
Legyen 1/s, mp, mp, c.
Ebben az esetben a periodikus mozgás paraméterei egyenlők
7,071
,
Tekintsünk egy módszert az önrezgések paramétereinek meghatározására linearizált ACS-ben a Mikhailov-kritérium segítségével. A módszer azon alapul, hogy amikor önrezgések lépnek fel, a rendszer a stabilitási határon lesz, és a Mihajlov-hodográf ebben az esetben az origón halad át.
A 2. példában az önrezgések paramétereit találjuk meg azzal a feltétellel, hogy a 4. ábra rendszerben a nemlineáris elem egy érzékeny elem, amelynek relé karakterisztikája van hiszterézissel, amelyre a harmonikus linearizációs együtthatók.
,
A lineáris rész változatlan maradt.
Felírjuk egy zárt rendszer karakterisztikus egyenletét
A Mikhailov hodográf cseréjével kapható.
A feladat olyan amplitúdójú lengés kiválasztása, amelynél a hodográf áthalad a koordináták origóján. Megjegyzendő, hogy ebben az esetben az áramfrekvencia , mivel ebben az esetben a görbe az origón halad át.
A MATHCAD 7 programban 1/s, sec, sec, in and in sebességgel végzett számítások a következő eredményeket adták. Az 5. ábrán Mihajlov hodográfja halad át az origón. A számítások pontosságának javítása érdekében növeljük a grafikon kívánt töredékét. A 6. ábrán a hodográf egy töredéke látható, az origó környékén kinagyítva. A görbe a koordináták origóján halad keresztül.
5. ábra. 6. ábra.
Ebben az esetben az oszcillációs frekvencia abból a feltételből határozható meg, hogy a modulus egyenlő nullával. A frekvenciákhoz
a modulértékek táblázatba foglalva vannak
Így az oszcillációs frekvencia 6,38. Meg kell jegyezni, hogy a számítások pontossága könnyen növelhető.
A kapott periodikus megoldást, amelyet az amplitúdó és a frekvencia értéke határoz meg, meg kell vizsgálni a stabilitás szempontjából. Ha a megoldás stabil, akkor a rendszerben önoszcilláló folyamat (stabil határciklus) megy végbe. Ellenkező esetben a határciklus instabil lesz.
A periodikus megoldás stabilitásának legegyszerűbb vizsgálata a Mihajlov-stabilitási kritérium grafikus formában történő felhasználásával. Megállapították, hogy pontban a Mihajlov-görbe áthalad a koordináták origóján. Ha kis lépést ad meg, akkor a görbe nulla feletti vagy alatti pozíciót vesz fel. Tehát az utolsó példában növeljük, azaz és . A Mihajlov-görbék helyzetét a 7. ábra mutatja.
-nél a görbe nulla felett megy át, ami a rendszer stabilitását és a csillapított tranziens folyamatot jelzi. Amikor a Mihajlov-görbe nulla alá megy, a rendszer instabil, és a tranziens divergens. Így egy 6-os amplitúdójú és 6,38-as rezgésfrekvenciájú periodikus megoldás stabil.
Egy periodikus megoldás stabilitásának vizsgálatára a Mihajlov-féle grafikus kritériumból nyert analitikai kritérium is használható. Valójában ahhoz, hogy megtudjuk, a Mihajlov-görbe nulla fölé megy-e, elég megnézni, hova fog elmozdulni a Mihajlov-görbe pontja, amely a koordináták origójában található.
Ha ennek a pontnak az elmozdulását kiterjesztjük az X és Y koordináta tengelyek mentén, akkor a periodikus megoldás stabilitása érdekében a koordináta tengelyekre vetítések által meghatározott vektor
a Mihajlov-görbe MN érintőjétől jobbra kell elhelyezkedni, ha a növekedési irányú görbe mentén nézzük, amelynek irányát a vetületek határozzák meg.
Írjuk fel az analitikai stabilitási feltételt a következő formában
Ebben a kifejezésben a részleges deriváltokat a Mihajlov-görbe aktuális paraméteréhez viszonyítva veszünk
,
Megjegyzendő, hogy a (31) stabilitási kritérium analitikai kifejezése csak a negyedrendűnél nem magasabb rendszerekre érvényes, mivel például egy ötödrendű rendszerre az origónál a (31) feltétel teljesíthető, és a rendszer instabil lesz
A (31) kritériumot alkalmazzuk az 1. példában kapott periodikus oldat stabilitásának vizsgálatára.
,
,
,
,
A harmonikus linearizációs módszer célja.
A harmonikus linearizációs módszer ötletét 1934-ben javasolták. N. M. Krilov és N. N. Bogolyubov. Az automatikus vezérlőrendszerekre alkalmazva ezt a módszert L. S. Goldfarb és E. P. Popov fejlesztette ki. Ennek a módszernek és módosításainak további nevei a harmonikus egyensúly módszere, a függvényleírás módszere, az ekvivalens linearizálás módszere.
A harmonikus linearizációs módszer az önrezgések tanulmányozására szolgáló módszer. Lehetővé teszi nemlineáris rendszerekben a lehetséges önrezgések létezésének feltételeit és paramétereit.
Az önrezgések paramétereinek ismerete lehetővé teszi a rendszerben zajló lehetséges folyamatok képének bemutatását és különösen a stabilitási feltételek meghatározását. Tegyük fel például, hogy valamilyen nemlineáris rendszerben az önrezgések tanulmányozása eredményeként megkaptuk ezen önrezgések amplitúdójának függését. DE az átviteli együtthatóból kábrán látható lineáris része, és tudjuk, hogy az önrezgések stabilak.
A grafikonból az következik, hogy az átviteli együttható nagy értékével k, amikor k>k cr, önrezgések vannak a rendszerben. Az amplitúdójuk az átviteli együttható csökkenésével nullára csökken k előtt k cr. A 12.1. ábrán nyilak feltételesen mutatják a tranziens folyamatok természetét különböző értékek mellett k: nál nél k>k kr a kezdeti eltérés okozta tranziens folyamat önlengéssé zsugorodik. Az ábrán látható, hogy a k< k cr, a rendszer stabil. Ily módon k kr az átviteli együttható kritikus értéke a stabilitási feltétel szerint. Feleslege ahhoz vezet, hogy a rendszer kezdeti üzemmódja instabillá válik, és önrezgések lépnek fel benne. Ebből következően a rendszerben az önrezgések létezésének feltételeinek ismerete lehetővé teszi a stabilitási feltételek meghatározását is.
A harmonikus linearizáció gondolata.
Tekintsünk egy nemlineáris rendszert, melynek sémája a 12.2. ábrán látható, ill . A rendszer egy lineáris részből áll W l ( s) és egy nemlineáris link NL konkrét specifikációval . Az 1-es együtthatójú kapcsolat azt mutatja, hogy a rendszerben a visszacsatolás negatív. Úgy gondoljuk, hogy a rendszerben önrezgések vannak, amelyek amplitúdóját és frekvenciáját szeretnénk megtalálni. A vizsgált módban a bemeneti érték x nemlineáris kapcsolat és kimenet Y az idő periodikus függvényei.
A harmonikus linearizálás módszere azon a feltételezésen alapul, hogy a nemlineáris kapcsolat bemenetén a rezgések szinuszosak, azaz. azaz azt
, (12.1)
aholDE– ezeknek az önrezgéseknek az amplitúdója és frekvenciája, és egy lehetséges állandó komponens általános esetben, amikor az önrezgések aszimmetrikusak.
Valójában a nemlineáris rendszerekben az önrezgések mindig nem szinuszosak, mivel alakjukat egy nemlineáris kapcsolat torzítja. Ezért ez a kezdeti feltevés azt jelenti, hogy a harmonikus linearizációs módszer az alapvetően közelés alkalmazási köre azokra az esetekre korlátozódik, amikor egy nemlineáris kapcsolat bemenetén az önrezgések kellően közel állnak a szinuszoshoz. Ahhoz, hogy ez megtörténjen, a rendszer lineáris része nem lépheti át az önrezgések magasabb harmonikusait, azaz aluláteresztő szűrő. Ez utóbbit a ábra szemlélteti. 12.2, b . Ha például az önrezgések frekvenciája , akkor az ábrán látható c lineáris rész. 12.2, b A frekvenciamenet aluláteresztő szűrő szerepét tölti be ezeknél az oszcillációknál, mivel a második harmonikus, amelynek frekvenciája 2, gyakorlatilag nem megy át a nemlineáris kapcsolat bemenetére. Ezért ebben az esetben a harmonikus linearizálás módszere alkalmazható.
Ha az önrezgések frekvenciája egyenlő, akkor a lineáris rész szabadon áthalad az önrezgések második, harmadik és egyéb harmonikusain. Ebben az esetben nem vitatható, hogy a nemlineáris kapcsolat bemenetén a rezgések kellően közeliek lesznek a szinuszoshoz, azaz. a harmonikus linearizációs módszer alkalmazásának előfeltétele nem teljesül.
Annak megállapításához, hogy a rendszer lineáris része aluláteresztő szűrő-e, és ezáltal meghatározható a harmonikus linearizációs módszer alkalmazhatósága, ismerni kell az önrezgések frekvenciáját. Ez azonban csak ennek a módszernek az eredményeként ismerhető meg. Ily módon A harmonikus linearizációs módszer alkalmazhatóságát már a vizsgálat végén próbaképpen meg kell határozni.
Vegye figyelembe, hogy ha az ellenőrzés eredményeként nem igazolódik be az a hipotézis, hogy a rendszer lineáris része aluláteresztő szűrőként működik, ez nem jelenti azt, hogy a kapott eredmények hibásak, bár természetesen kétségbe vonja őket, és további ellenőrzést igényel egyesektől más módszerrel.
Feltételezve tehát, hogy a rendszer lineáris része egy aluláteresztő szűrő, úgy tekintjük, hogy a nemlineáris kapcsolat bemenetén az önrezgések szinuszosak, azaz (12.1) formájúak. Ebben az esetben ennek a kapcsolatnak a kimenetén a rezgések már nem szinuszosak lesznek a nemlinearitás miatti torzulásuk miatt. Példaként az ábrán látható. A 12.3. ábrán egy nemlineáris kapcsolat kimenetén egy görbét ábrázolunk egy tisztán szinuszos bemeneti jel bizonyos amplitúdójához, az ugyanazon a helyen megadott kapcsolati karakterisztika szerint.
12.3. ábra. Harmonikus rezgés áthaladása nemlineáris linken.
Mivel azonban úgy gondoljuk, hogy a rendszer lineáris része csak az önrezgések alapharmonikusán halad át, ésszerű, hogy a nemlineáris kapcsolat kimeneténél csak ez a harmonikus érdekeljen. Ezért kiterjesztjük a kimenő rezgéseket egy Fourier-sorba, és eldobjuk a magasabb harmonikusokat. Ennek eredményeként a következőket kapjuk:
;
; (12.3)
;
.
Írjuk át a (12.2) kifejezést egy kényelmesebb formára a későbbi használatra, behelyettesítve a (12.1) következő és abból kapott kifejezésekkel:
Ha ezeket a kifejezéseket (12.2) behelyettesítjük, akkor a következőket kapjuk:
(12.4)
. (12.5)
Íme a jelölések:
. (12.6)
A (12.5) differenciálegyenlet szinuszos bemeneti jelre (12.1) érvényes, és a magasabb harmonikusok figyelembevétele nélkül határozza meg egy nemlineáris kapcsolat kimeneti jelét.
A Fourier-együtthatók (12.3) kifejezéseinek megfelelő együtthatók az amplitúdó állandó komponensének függvényei. DEés az önrezgések gyakorisága a nemlineáris kapcsolat bemenetén. Fixen DE, és a (12.5) egyenlet lineáris. Így, ha a magasabb harmonikusokat elvetjük, akkor rögzített harmonikus jel esetén az eredeti nemlineáris kapcsolat helyettesíthető egy ekvivalens lineáris kapcsolattal, amelyet a (12.5) egyenlet ír le. Ezt a helyettesítést hívják harmonikus linearizálás .
ábrán A 12.4. ábra sematikusan mutatja ennek a kapcsolatnak a diagramját, amely két párhuzamos kapcsolatból áll.
Rizs. 12.4. Egyenértékű lineáris kapcsolat a harmonikus linearizáció eredményeként.
Az egyik link () az önrezgések állandó komponensét, a másik pedig csak az önrezgések szinuszos komponensét adja át.
Az együtthatók ún harmonikus linearizációs együtthatók vagy harmonikus erősítések: - az állandó komponens átviteli együtthatója, és - az önrezgések szinuszos komponensének két átviteli együtthatója. Ezeket az együtthatókat a nemlinearitás és a (12.3) képletek értékei határozzák meg. Számos tipikus nemlineáris hivatkozásra vannak kész kifejezések, amelyeket ezekkel a képletekkel definiálnak. Ezeknél és általában minden inerciális nemlineáris kapcsolatnál a mennyiségek nem függenek az amplitúdótól, és csak annak függvényei. DEÉs .
Amikor harmonikus jelet adunk egy lineáris rendszer bemenetére
egy harmonikus jel is be van állítva a rendszer kimenetére, de eltérő amplitúdóval és a bemenethez képest fáziseltolva. Ha egy nemlineáris elem bemenetére szinuszos jelet adunk, akkor annak kimenetén periodikus rezgések jönnek létre, de formájukban jelentősen eltérnek a szinuszosoktól. Példaként az ábrán látható. A 8.17 egy relé karakterisztikával (8.14) rendelkező nemlineáris elem kimeneti változójának változását mutatja be, amikor szinuszos rezgések (8.18) lépnek be a bemenetébe.
Egy nemlineáris elem kimenetén lévő periodikus jelet Fourier-sorba bontva egy állandó komponens és a harmonikus komponensek végtelen halmazaként ábrázoljuk:
,
(8.19)
ahol –
a Fourier-sor állandó együtthatói; – az első harmonikus rezgési frekvenciája (alapfrekvencia), megegyezik a bemeneti szinuszos rezgések frekvenciájával; T - az első harmonikus rezgési periódusa, megegyezik a bemeneti szinuszos rezgések periódusával.
A nemlineáris elem kimeneti jele az ACS lineáris részének bemenetére kerül (lásd a 8.1. ábrát), amely általában jelentős tehetetlenséggel rendelkezik. Ebben az esetben a (8.19) jel nagyfrekvenciás komponensei gyakorlatilag nem jutnak át a rendszer kimenetére, azaz. a lineáris rész egy szűrő a nagyfrekvenciás harmonikus komponensekhez képest. E tekintetben, és figyelembe véve azt is, hogy a harmonikus komponensek amplitúdói a harmonikus frekvencia növekedésével csökkennek, egy nemlineáris elem kimeneti értékének közelítő becsléséhez sok esetben elegendő csak a az első harmonikus komponens ben.
Ezért, ha a kimeneti oszcillációkban nincs konstans komponens, a (8.19) kifejezés megközelítőleg így írható fel:
Kifejezve a (8.20) képletből a függvényt, és a deriváltból 
- funkció 
, a (8.20) kifejezést a következőképpen alakítjuk át:
.
(8.21)
Így a kimeneti érték nemlineáris függését a bemeneti értéktől egy nemlineáris elemben megközelítőleg felváltja a (8.21) kifejezés által leírt lineáris függés.
Miután végrehajtottuk a Laplace-transzformációt a (8.21) kifejezésben, megkapjuk:
Ami a folyamatos kapcsolatokat illeti, figyelembe vesszük nemlineáris harmonikusan linearizált elem átviteli függvénye , a kimenő mennyiség képének és a bemeneti mennyiség képének arányaként:
.
(8.22)
8.1. táblázat
Tipikus nemlinearitások harmonikus linearizációs együtthatói
|
Nemlineáris elem statikus jellemzője | ||
|
Lineáris válasz holtsávval |
| |
|
Lineáris karakterisztika korlátozásokkal |
| |
|
Lineáris válasz holtsávval és levágással |
| |
|
Jellegzetes "hátrány" |
| |
|
Ideális relé karakterisztika | ||
|
Egyértelmű relé karakterisztika holtsávval |
| |
|
Kétértelmű relé válasz holtsávval |
|
|
|
Köbös parabola: | ||
|
Jellegzetes "hiszterézis hurok" |
|
|
Egy nemlineáris elem átviteli függvénye lényegesen eltér a lineáris rendszer átviteli függvényétől, ami abban rejlik, hogy függ a bemeneti jel amplitúdójától és frekvenciájától.
A (8.22) kifejezés a következőképpen írható fel:
q(A) + q 1 (A), (8.23)
ahol q(A),q 1 (A) a harmonikus linearizációs együtthatók, amelyeket a Fourier-sor együtthatóinak a kimenő rezgések első harmonikusa és a bemeneti oszcillációk amplitúdója arányaként határoznak meg:
q(A) = q 1 (A) = . (8.24)
Csere a kifejezésben (8.23) R-n kapunk egy kifejezést a nemlineáris elem komplex nyeresége :
q(A) +j q 1 (A), (8.25)
amely a lineáris kapcsolat AFC analógja.
Példaként definiáljunk egy kifejezést egy nemlineáris elem komplex átviteli együtthatójára relé statikus karakterisztikával (8.14). Fourier-soros együtthatók A 1 És B 1 a jelzett nemlinearitás esetén:
B 1 .
Nyilvánvaló, hogy az együttható B 1 minden páratlan szimmetrikus statikus nemlinearitású nemlineáris elem esetén nullával egyenlő lesz.
ahol - a rendszer lineáris részének átviteli függvénye; - egy nemlineáris elem átviteli függvénye a linearizálása után.
Ha 
, akkor a (8.26) kifejezés a következőképpen írható fel:
Csere a kifejezésben (8.27) R-on egy összetett kifejezést kapunk, amelyben el kell választani a valós és a képzeletbeli részt:
[ q(A) +j q 1 (A) ] . (8.28)
Ebben az esetben felírjuk a periodikus rezgések előfordulásának feltételét a rendszerben frekvenciával és amplitúdóval:
(8.29)
Ha a (8.29) rendszer megoldásai összetettek vagy negatívak, akkor a rendszerben az önrezgések módja lehetetlen. A pozitív valós megoldások jelenléte és a rendszer önoszcillációinak jelenlétét jelzi, amelyek stabilitását ellenőrizni kell.
Példaként keressük meg az önrezgések előfordulásának feltételeit az ACS-ben, ha annak lineáris részének átviteli függvénye egyenlő:
(8.30)
és a "hiszterézis hurok" típusú nemlineáris elem.
Egy harmonikusan linearizált nemlineáris elem átviteli függvénye (lásd a 8.1. táblázatot):
.
(8.31)
A (8.30) és (8.31) kifejezések behelyettesítése a (8.26) kifejezésbe és lecserélése R on , keresse meg a kifejezést a következőre:
Innen a (8.29) kifejezésnek megfelelően a következő feltételeket kapjuk a rendszerben az önrezgések előfordulására:
A (8.29) egyenletrendszer megoldása általában nehézkes, mivel a harmonikus linearizációs együtthatók komplexen függenek a bemeneti jel amplitúdójától. Ezen túlmenően az amplitúdó és a frekvencia meghatározása mellett a rendszerben lévő önrezgések stabilitását is értékelni kell.
A nemlineáris rendszerben az önrezgések előfordulásának feltételei és a határciklusok paraméterei frekvenciastabilitási kritériumok, például a Nyquist stabilitási kritérium segítségével vizsgálhatók. E kritérium szerint autooszcillációk jelenlétében egy nyílt hurkú harmonikusan linearizált rendszer amplitúdó-fázis karakterisztikája egyenlő
áthalad a ponton (-1, j0). Ezért a for és a következő egyenlőség érvényesül:
.
(8.32)
A (8.32) egyenlet megoldása az önrezgések frekvenciájára és amplitúdójára vonatkozóan grafikusan megkapható. Ehhez a komplex síkon a frekvencia 0-ról -re történő változtatásával meg kell szerkeszteni a rendszer lineáris részének AFC hodográfját és az amplitúdó változtatásával. DE 0-tól -ig készítsen hodográfot a nemlineáris rész inverz karakterisztikájáról, mínusz előjellel. Ha ezek a hodográfok nem metszik egymást, akkor a vizsgált rendszerben nem létezik az önrezgések módja (8.18. ábra, b).
Amikor a hodográfok metszik egymást (8.18. ábra, a), önrezgések keletkeznek a rendszerben, amelyek frekvenciáját és amplitúdóját az értékek és a metszéspont határozzák meg.
Ha és - több pontban metszik egymást (8.18. ábra, a), akkor ez több határciklus jelenlétét jelzi a rendszerben. Ebben az esetben a rendszer oszcillációi lehetnek stabilak és instabilok.
Az önoszcillációs rezsim stabilitását a következőképpen becsüljük meg. Az önoszcillációs mód akkor stabil, ha a nemlineáris rész hodográfján a hodográfok metszéspontjában lévő értéknél nagyobb amplitúdónak megfelelő pontot nem fedi le a lineáris frekvenciaválaszának hodográfja. a rendszer része. Ellenkező esetben az önoszcillációs rezsim instabil.
ábrán 8.18, és a hodográfok az 1. és 2. pontban metszik egymást. 1. pont meghatározza az önrezgések instabil módját, mivel a megnövekedett amplitúdónak megfelelő hodográf pontot a rendszer lineáris részének frekvenciamenetének hodográfja fedi le. A 2. pont az önrezgések stabil módjának felel meg, amelynek amplitúdóját a hodográf, a frekvenciát pedig a hodográf határozza meg.
Példaként becsüljük meg az önrezgések stabilitását két nemlineáris rendszerben. Feltételezzük, hogy ezeknek a rendszereknek a lineáris részeinek átviteli függvényei egybeesnek és egyenlőek:
,
de a bennük szereplő nemlineáris elemeik eltérőek. Legyen az első rendszer egy nemlineáris elemet, "ideális relét", amelyet a (8.14) rendszer ír le, a második pedig egy nemlineáris elemet, amelynek statikus jellemzője "köbös parabola". A 8.1. táblázat adatait felhasználva a következőket kapjuk:
ábrán A 8.19. ábra ezen rendszerek hodográfjait mutatja a rendszer lineáris részének AFC hodográfjával együtt. A fentiek alapján elmondható, hogy az első rendszerben stabil önrezgések keletkeznek frekvenciával és amplitúdóval, a második rendszerben pedig instabil önrezgések.
A harmonikus linearizálás módszere lehetővé teszi a nemlineáris rendszerek stabilitásának és pontosságának a gyakorlathoz kellő pontosságú vizsgálatát a lineáris rendszerekre kidolgozott módszerek segítségével. A módszer lehetővé teszi az önrezgések jelenlétének, gyakoriságának és amplitúdójának meghatározását.
Egy nemlineáris rendszert egy lineáris és egy nemlineáris rész kombinációjaként ábrázolunk (5. ábra).
Rizs. öt Nemlineáris rendszer diagramja
A rendszer nemlineáris részének kimenő jelét általában a kifejezés határozza meg
Jelölje a lineáris rész átviteli függvényeként. Az egyenletrendszer felveszi a formát
Keressük meg azokat a feltételeket, amelyek mellett a rendszer lineáris részének kimenetén a forma harmonikus rezgései keletkeznek
Ebben az esetben a jel y(t) a nemlineáris rész is periodikus függvény lesz, de különbözik a szinuszostól. Ez a funkció Fourier sorozattá bővíthető
Ebben a kifejezésben a énÉs b én- Fourier-együtthatók. Szimmetrikus nemlinearitásokhoz F 0 =0.
A fő feltétel, amelyet a módszer a rendszer lineáris részére támaszt, az aluláteresztő szűrő állapota. Úgy gondolják, hogy a lineáris rész csak az oszcillációk első harmonikusán halad át. Ez a feltevés lehetővé teszi számunkra, hogy a (7.19) magasabb harmonikusait jelentéktelennek tekintsük, és csak a jel első harmonikusát vegyük figyelembe. y(t).
akkor a (7.20) kifejezés átírható így
A (7.17) rendszer első egyenlete a következőt veszi fel
Ebben a kifejezésben
A nemlinearitás helyettesítésének eredménye F(x, sx) kifejezés
és harmonikus linearizációnak nevezzük. Mennyiségek qÉs q 1 harmonikus linearizációs együtthatóknak vagy egyszerűen harmonikus együtthatóknak nevezzük. Egyértékű nemlinearitásoknál általában q 1 =0 . A tipikus nemlinearitásoknak megfelelő harmonikus együtthatók képletei a függelékekben találhatók.
Az alapvető különbség a harmonikus linearizálás és a hagyományos linearizálás között az, hogy a hagyományos linearizálásnál a nemlineáris karakterisztikát egy bizonyos állandó meredekségű egyenes, harmonikus linearizálásnál pedig egy olyan egyenes helyettesíti, amelynek meredeksége az amplitúdótól függ. a nemlineáris elem bemeneti jele.
Tekintsük az önrezgések amplitúdójának és frekvenciájának meghatározására szolgáló módszert.
egy). A (7.22)-ből kapott rendszer karakterisztikus egyenletében végrehajtjuk a változtatást s=jés kap
2). A kapott kifejezésből kiválasztjuk a valós és a képzeletbeli részt, és nullával egyenlővé tesszük, ami a Mihajlov-kritérium szerint megfelel annak, hogy a rendszer az oszcillációs stabilitás határán van.
- 3) Ennek a rendszernek a megoldása megadja a harmonikus együtthatók frekvenciáját és értékeit. Ha ezek az értékek valósak és pozitívak, akkor a rendszernek határciklusa van. A harmonikus együtthatók értékei felhasználhatók a határciklus amplitúdójának meghatározására.
- 4). A határciklus stabilitásának általános jele, pl. az önrezgések megléte az utolsó előtti Hurwitz-determináns nullával egyenlő egyenlősége a határciklus amplitúdójának és frekvenciájának kapott értékeire. Gyakran kényelmesebb a határciklus stabilitási feltétele a Mihajlov-féle stabilitási kritérium alapján.
Ha ez az egyenlőtlenség teljesül, akkor a határciklus stabil, és a rendszerben a fent meghatározott amplitúdójú és frekvenciájú önrezgések vannak. A "*" index azt jelenti, hogy a deriváltokat a harmonikus együtthatók, amplitúdó és frekvencia már ismert értékeivel számítják ki.
Példa. Tételezzük fel, hogy a korábban már vizsgált repülőgép dőlésszög-stabilizáló rendszerben a kormánymű nemlineáris, blokkdiagramja pedig az 1. ábrán látható alakú. 7.6.
6. ábra Nemlineáris kormányhajtás diagramja
Állítsuk be a következő paramétereket a kormányhajtás sebességi jellemzőinek nemlinearitására: b = 0,12, k 1 =tg =c/b = 6,7. Ennek a nemlinearitásnak a harmonikus linearizációs együtthatóit a kifejezések határozzák meg
Az áramkör nemlineáris karakterisztikáját harmonikus együtthatóval helyettesítve megkapjuk a kormánymű átviteli függvényét
Ezt az átviteli függvényt behelyettesítjük a dőlésszög-stabilizáló rendszer blokkdiagramjába, és meghatározzuk a zárt rendszer átviteli függvényét
A zárt rendszer karakterisztikus egyenletében végrehajtjuk a változtatást s = jés válassza ki a valós és a képzeletbeli részeket.
A rendszer második egyenletéből egy kifejezést kapunk a gyakoriságra: , és behelyettesítve az első egyenletbe, transzformációk után megkapjuk
A karakterisztikus egyenlet együtthatóit itt korábban definiált kifejezésekkel helyettesítve a harmonikus együtthatóra vonatkozóan egy másodfokú egyenletet kaphatunk, amelyet megoldva azt találjuk.
Ezekből az értékekből két esetben kiszámítható a karakterisztikus egyenlet összes együtthatója, és meghatározható az egyes értékekhez tartozó frekvenciák q(A). Kapunk:
A harmonikus együttható és a megfelelő frekvenciák mindkét értéke valós és pozitív. Ezért két határciklus van a rendszerben. A határciklus amplitúdójának értékeit numerikusan határozzuk meg egy olyan érték kiválasztásával, amelynél a harmonikus linearizációs együttható képlete a korábban számított értékkel megegyező értéket ad. A vizsgált esetben azt kapjuk
Most pedig becsüljük meg a határciklusok stabilitását. A Mihajlov-kritériumból kapott egyenlőtlenséget használjuk, amelyre definiáljuk
A kapott kifejezésekben szereplő harmonikus linearizációs együttható deriváltját a képlet számítja ki
A fenti képletekkel végzett számítások azt mutatják, hogy az első határciklus nem stabil, és akkor következik be (0) 0.1166(6.7 0 ). Ha a kezdeti eltérés kisebb, mint a megadott, akkor a nemlineáris elem bemeneténél a folyamat lecseng (7. 7. ábra), és a rendszer stabil.
Ha a dőlésszög kezdeti értéke nagyobb, mint a megadott érték, akkor a folyamatok konvergálnak a második határciklushoz, ami stabil, és így önrezgések lépnek fel a rendszerben (8. ábra).
Rizs. 8
Modellezéssel megállapítható, hogy egy stabil határciklus vonzáskörzete hozzávetőlegesen belül van (0) 0.1167 - 1.4 (6.71 0 - 80.2 0 ).