Az egyenletnek ez a része a zárójelben lévő kifejezés. A zárójelek megnyitásához nézze meg a zárójel előtti jelet. Ha van pluszjel, akkor semmi sem változik a zárójelek kibontásakor a kifejezésrekordban: csak távolítsa el a zárójeleket. Ha mínusz jel van, a zárójelek kinyitásakor az összes kezdetben zárójelben lévő jelet át kell cserélni az ellenkezőre. Például -(2x-3)=-2x+3.
Két zárójel szorzása.
Ha az egyenlet két zárójel szorzatát tartalmazza, a zárójeleket a szerint bővítve standard szabály. Az első zárójel minden tagját megszorozzuk a második zárójel minden tagjával. A kapott számokat összeadjuk. Ebben az esetben két "plusz" vagy két "mínusz" szorzata "plusz" jelet ad a kifejezésnek, ha pedig a tényezők eltérő előjelűek, akkor "mínusz" előjelet kap.
Fontolgat .
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
A zárójelek kibontásával, néha a kifejezés felemelésével . A négyzetre emelés és a kockázás képleteit fejből kell ismerni és emlékezni.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
A háromnál nagyobb kifejezések emelésére szolgáló képletek elkészíthetők a Pascal-háromszög segítségével.
Források:
- zárójelet nyitó képlet
A zárójelben lévő matematikai műveletek különböző bonyolultságú változókat és kifejezéseket tartalmazhatnak. Az ilyen kifejezések szaporításához általános formában kell megoldást keresnie a zárójelek megnyitásával és az eredmény egyszerűsítésével. Ha a zárójelben változók nélküli, csak számértékekkel rendelkező műveletek szerepelnek, akkor nem szükséges a zárójeleket kinyitni, hiszen ha egy számítógép a felhasználó rendelkezésére áll, akkor nagyon jelentős számítási erőforrások állnak rendelkezésre – ezeket könnyebb használni, mint leegyszerűsíteni a kifejezés.
Utasítás
Ha általános eredményt szeretne kapni, szorozza meg egymás után az egyik zárójelben szereplő mindegyiket (vagy csökkenti az összeget) a többi zárójel tartalmával. Például írjuk fel az eredeti kifejezést így: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Ekkor az egymást követő szorzás (vagyis a zárójelek kibontása) a következő eredményt adja: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗xx∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 – 5∗x∗5∗x – 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x – x∗x∗x∗x - x∗x∗2∗x = 150∗x + 300 – 25∗x² – 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² – x∗x³ – 2∗x³.
Egyszerűsítse az eredmény után a kifejezések lerövidítésével. Például az előző lépésben kapott kifejezést a következőképpen egyszerűsíthetjük: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 – 13∗ x² – 8∗x³ – x∗x³.
Használjon számológépet, ha x-et meg kell szoroznia 4,75-tel, azaz (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). Ennek az értéknek a kiszámításához látogasson el a Google vagy a Nigma keresőmotor webhelyére, és írja be a kifejezést a lekérdező mezőbe eredeti formájában (5+4,75)*(6-4,75)*(4,75+2). A Google gombnyomás nélkül azonnal megjeleníti a 82.265625-öt, míg a Nigmának egy gombnyomással kell elküldenie az adatokat a szerverre.
Mindenhol. Mindenhol és mindenhol, bármerre nézel, ilyen építmények vannak:
Ezek a "konstrukciók" az írástudó emberekben kétértelmű reakciót váltanak ki. Legalábbis úgy, mint "tényleg így van - ugye?".
Általában személy szerint nem értem, honnan jött az a „divat”, hogy ne zárjuk be a külső idézeteket. Az első és egyetlen hasonlat, amely ezzel kapcsolatban felmerül, a zárójelekkel való analógia. Senki sem vonja kétségbe, hogy két zárójel egymás után normális. Például: "Fizetjen a teljes példányszámért (200 db (ebből 100 hibás))". De abban a normális esetben, hogy két idézetet egymás után állítanak fel, valaki kételkedett (vajon ki volt az első?) ... És most kivétel nélkül mindenki tiszta lelkiismerettel kezdett olyan konstrukciókat gyártani, mint az LLC Firm Pupkov and Co..
De még akkor is, ha életében nem látta a szabályt, amelyről az alábbiakban lesz szó, akkor az egyetlen logikusan indokolt lehetőség (a zárójelben példaként) a következő lenne: Pupkov és Co. LLC.
Tehát maga a szabály:
Ha egy idézet elején vagy végén (ugyanez vonatkozik a közvetlen beszédre is) vannak belső és külső idézőjelek, akkor ezeknek mintában kell különbözniük egymástól (az úgynevezett "halszálkás" és a "cuki") , és nem szabad kihagyni a külső idézőjeleket sem, pl.: C A hajó oldalait rádión közölték: "Leningrád belépett a trópusokba, és folytatja útját." Zsukovszkijról Belinszkij ezt írja: „Zsukovszkij fiatal korának kortársai főként balladaszerzőként tekintettek rá, és egyik üzenetében Batyuskov „balladajátékosnak” nevezte.
© Az orosz helyesírás és írásjelek szabályai. - Tula: Autogram, 1995. - 192 p.
Ennek megfelelően ... ha nincs lehetősége idézőjelek beírására, "karácsonyfák", akkor mit tehet, akkor ilyen "" ikonokat kell használnia. Az orosz idézetek használatának lehetetlensége (vagy nem hajlandósága) azonban semmiképpen sem az oka annak, hogy nem zárhatja be a külső idézőjeleket.Így a Firm Pupkov and Co LLC tervének hűtlensége megoldódott, LLC Firm Pupkov and Co. típusú tervek is léteznek.
A szabályból teljesen világos, hogy az ilyen konstrukciók írástudatlanok ... (Helyes: LLC Firm Pupkov and Co.De!
A Milchin's Publisher's and Author's Handbook (2004-es kiadás) azt jelzi, hogy ilyen esetekben két tervezési lehetőség használható. A "halszálka" és a "mancsok" használata, valamint (technikai eszközök hiányában) csak a "halszálka" használata: két nyitó és egy záró.
A címtár „friss”, és személy szerint rögtön 2 kérdésem lenne itt. Először is, milyen örömmel lehet még használni egy-egy záró idézetet (na jó, ez logikátlan, lásd fent), másodszor pedig a „technikai eszközök hiányában” kifejezés különösen felkelti a figyelmet. Hogy van ez, bocsánat? Itt nyissa meg a Jegyzettömböt, és írja be oda, hogy „csak karácsonyfák: kettő nyíló és egy záró”. A billentyűzeten nincsenek ilyen karakterek. A karácsonyfa kinyomtatása nem működik... A Shift + 2 kombináció a " jelet adja (ami, mint tudod, még csak nem is idézőjel). Most nyissa meg a Microsoft Word programot és nyomja meg újra a Shift + 2 billentyűt. A program javítja " to " (vagy " ). Nos, kiderült, hogy a több mint egy tucat éve fennálló szabályt a Microsoft Word alatt vették és írták át? Mint például, mivel a Pupkov és Társa "Cég" Szója a "Pupkov and Co" céget "csinálja", akkor most legyen elfogadható és helyes ???
Úgy tűnik. És ha igen, akkor minden okunk megvan kételkedni egy ilyen újítás helyességében.Igen, és még egy pontosítás... a "technikai eszközök hiányáról". Az a tény, hogy minden Windows rendszerű számítógépen mindig vannak " technikai eszközökkel” a „halszálkás” és a „mancsok” szó beírásához, tehát ez az új „szabály” (számomra idézőjelben van) kezdetben hibás!
A betűtípus összes speciális karaktere könnyen begépelhető, ha ismeri az adott karakter megfelelő számát. Elég lenyomva tartani az Alt gombot, és beírni a NumLock billentyűzeten (a NumLock le van nyomva, a jelzőfény világít) a megfelelő szimbólum számot:
Alt + 0132 (bal láb)
Alt + 0147 (jobb láb)
« Alt + 0171 (bal halszálka)
» Alt + 0187 (jobb halszálka)
Szinte minden szövegben találhat zárójeleket és kötőjeleket. De a felhasználók nem mindig rajzolják meg őket megfelelően. Például nem ritka az egy vagy két szóköz nélküli kötőjelek megjelenése, amikor a szöveg egy karakterhez tapad. Ugyanez vonatkozik a zárójelekre is, amelyek használata nem megfelelő, vagy az írási szabályok figyelembevétele nélkül túlterheli a szöveget. Ez a cikk a zárójelek és kötőjelek általánosan elfogadott szabályok szerinti írásának kérdéseit tárgyalja.
A zárójelekre vonatkozó szabályok
A zárójelek írásakor ugyanazokat a szabályokat kell követni, mint az idézőjeleknél. Például két zárójel nem kerül sorra.
Számos olyan eset van, amikor zárójeleket használnak:
Külön szavak, szócsoportok és egész mondatok, amelyek nem kapcsolódnak közvetlenül a szerző által megfogalmazott fő gondolathoz. Mellékesen elhangzott kifejezések, amikor a szerző nem hívja fel rájuk az olvasó figyelmét. A zárójelben lévő kifejezések kiesnek a mondat szintaktikai szerkezetéből.
Példa: " És bár én magam is megértem, hogy amikor kirántja a forgószeleimet, csak a szíve szánalmából húzza ki őket (hiszen, ismétlem zavar nélkül, ő húzza a forgószeleimet, fiatalember – erősítette meg rendkívüli méltósággal, újabb kuncogást hallva) , de Istenem, mi van, ha egyszer is... De nem! Nem! Mindez hiábavaló, és nincs mit mondani! nincs mit mondanom! .. nem egyszer már megtörtént a kívánt, és nemegyszer sajnáltak, de ... ez már a tulajdonságom, és született marha vagyok!" (F.M. Dosztojevszkij, "Bűn és büntetés")
A mondatban egy adott szót vagy kifejezést magyarázó rövid megjegyzések zárójelben vannak.
Példa: " Ment normális, megnyugtató csevegés, amikor együtt őszinte együttérzéssel (mindannyian ide tartozunk, és általában mindenki kedves ember) van egy csipetnyi gúnyos megkönnyebbülés is. Nem én! Nem én csináltam ezt a hülyeséget – olvasható az arcokról."(S. Lukjanenko, "Álmok árnyékai")
Példa: " – kérdeztem egy makacs jógit
(Borotvás, körmöket evett, mint a kolbászt):
„Figyelj, barátom, nyiss meg előttem – Istenemre,
A titkot magammal viszem a sírba!»
(V. Viszockij, "Egy dal a jógikról")
Például a képletekre és illusztrációkra való hivatkozások zárójelben vannak (2. ábra), (3. ábra, 184. o.) , « Képlet (1) Pitagorasz-tétel következménye. Képletek (2) és (3) képletből kapjuk (1) . » és az információforrások (irodalom, publikációk) szögletes zárójelben, például: , , stb.
A megjegyzések zárójelben vannak, szemléletes példák azok a forgatókönyvek, ahol a folyamatos cselekvés szóbeli megtestesülését jelzik a megjegyzésekben, például:
« Will nevet.
SKYLAR (folytatja)
Hogy csinálod ezt? Én nem... Úgy értem, még a legokosabb emberek is, akiket ismerek, van párunk a Harvardon, tanulnunk kell – sokat. Ez komplikált.
(szünet)
Nézd, Will, ha nem akarod elmondani...»
(A Good Will Hunting című film forgatókönyve
A zárójeleket akkor is használjuk, ha befejezetlen szavakat adunk hozzá a szerzői dolgozatokhoz.
A szövegben a számozást zárójelben írjuk a következő formátumban:
1)
a)
*)
Hasonló módon készülnek a lábjegyzetek (hivatkozások) jelei is.
Dash szabályok
A kötőjel az írásjelekre utal; ha a gondolatjel előtt és után írunk, mindig szóközt írunk.
Van néhány kivétel, amikor a gondolatjelet mindkettő vagy egy szóköz nélkül írják:
ha egy bekezdés kötőjellel kezdődik, akkor szóköz csak utána kerül.
amikor két szám között kötőjel áll, és kötőjelként működik. Például: " oldalunkat naponta 3000-en keresik fel -
3500 látogató».
Például: " – Ó-ó… ó… –
csak és képes volt motyogni megdöbbent Paige-et.(Philip K. Dick, Minority Report)
A legtöbb írásjel, beleértve a vesszőt, a kérdőjelet és a felkiáltójelet, a gondolatjel elé kerül. Példa: " A központi hegyvidéki régió, amelyben a Pindus-hegység található , - a legritkábban lakott. Ebben a régióban található Görögország legmagasabb pontja, az Olümposz (2917 m). Közép-Görögország a legnépesebb régió."(Eklopédikus kézikönyv" Az egész világ. Országok")
A kötőjelet többféleképpen használják:
- írásjelként;
- határszámpár csatlakozójaként, például: 80-90%
;
- matematikai mínuszjelként;
- elválasztó karakterként ill szimbólum a magyarázó szövegből, például amikor a képletben szereplő szimbólumok dekódolását adják meg, vagy magyarázatot adnak az illusztrációhoz;
- kötőjelként, a gondolatjelet a szó nem hordozható részével együtt írva, és nem szabad megismételni a következő sor elején;
- összekötő kötőjelként vagy kötőjelként.
A zárójelek fő funkciója a műveletek sorrendjének megváltoztatása az értékek kiszámításakor. például, a \(5 3+7\) numerikus kifejezésben először a szorzás kerül kiszámításra, majd az összeadás: \(5 3+7 =15+7=22\). De az \(5·(3+7)\ kifejezésben először a zárójelben lévő összeadás kerül kiszámításra, és csak utána a szorzás: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Példa.
Bontsa ki a zárójelet: \(-(4m+3)\).
Megoldás
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Példa.
Bontsa ki a zárójelet, és adjon hozzá hasonló kifejezéseket \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Megoldás
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Példa.
Bontsa ki a zárójeleket \(5(3-x)\).
Megoldás
: \(3\) és \(-x\) van a zárójelben, és öt a zárójelben. Ez azt jelenti, hogy a zárójel minden tagja megszorozva \ (5 \) -el – emlékeztetem Önt, hogy a szám és a zárójel közötti szorzójelet a matematikában nem azért írják, hogy csökkentsék a rekordok méretét.
Példa.
Bontsa ki a zárójeleket \(-2(-3x+5)\).
Megoldás
: Az előző példához hasonlóan a zárójelben szereplő \(-3x\) és \(5\) \(-2\) szorzata megtörténik.
Példa.
Egyszerűsítse a kifejezést: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Megoldás
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Már csak az utolsó helyzetet kell figyelembe venni.
Ha a zárójelet zárójellel szorozzuk, az első zárójel minden tagját megszorozzuk a második minden tagjával:
\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)
Példa.
Bontsa ki a zárójeleket \((2-x)(3x-1)\).
Megoldás
: Van egy zárójeles termékünk, amely a fenti képlet segítségével azonnal kinyitható. De hogy ne keveredjünk össze, tegyünk mindent lépésről lépésre.
1. lépés: Távolítsa el az első tartót – minden egyes tagját megszorozzuk a második konzollal:
2. lépés: Bontsa ki a zárójel szorzatait a fent leírt tényezővel:
- az elsőt először...
Aztán a második.
3. lépés. Most megszorozzuk, és hasonló kifejezéseket adunk:
Nem szükséges az összes átalakítást részletesen festeni, azonnal szaporodhat. De ha csak a zárójelek megnyitását tanulja - írjon részletesen, kisebb lesz a hiba esélye.
Megjegyzés a teljes szakaszhoz. Valójában nem kell emlékeznie mind a négy szabályra, csak egyet kell megjegyeznie, ezt: \(c(a-b)=ca-cb\) . Miért? Mert ha c helyett egyet helyettesítünk, akkor a \((a-b)=a-b\) szabályt kapjuk. Ha pedig mínusz egyet helyettesítünk, akkor a \(-(a-b)=-a+b\) szabályt kapjuk. Nos, ha a c helyett egy másik zárójelet helyettesít, megkaphatja az utolsó szabályt.
zárójel a zárójelben
A gyakorlatban néha problémák adódnak a más zárójelekbe ágyazott zárójelekkel. Íme egy példa egy ilyen feladatra: a \(7x+2(5-(3x+y))\ kifejezés egyszerűsítése.
Ahhoz, hogy sikeres legyen ezekben a feladatokban, a következőkre van szüksége:
- alaposan megértse a zárójelek egymásba ágyazását - melyik melyikben van;
- Nyissa ki a zárójeleket egymás után, kezdve például a legbelsővel.
Ez fontos az egyik tartó kinyitásakor ne érintse meg a kifejezés többi részét, csak úgy átírva, ahogy van.
Vegyük példának a fenti feladatot.
Példa.
Nyissa ki a zárójeleket, és adja meg a hasonló kifejezéseket \(7x+2(5-(3x+y))\).
Megoldás:
Példa.
Bontsa ki a zárójeleket, és adjon hozzá hasonló kifejezéseket \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Megoldás
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Ez a zárójelek háromszoros egymásba ágyazása. Kezdjük a legbelsővel (zölddel kiemelve). A zárójel előtt van egy plusz, ezért egyszerűen eltávolítják. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Most meg kell nyitnia a második, köztes zárójelet. De előtte leegyszerűsítjük a kifejezést úgy, hogy ebbe a második zárójelbe helyezzük a hasonló kifejezéseket. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Most kinyitjuk a második zárójelet (kék színnel kiemelve). A zárójel előtt van egy szorzó - így minden zárójelben lévő tag megszorozódik vele. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
És nyisd ki az utolsó zárójelet. A zárójel előtt mínusz - tehát minden előjel megfordul. |
||
A zárójel megnyitása alapvető készség a matematikában. E készség nélkül lehetetlen három feletti osztályzatot elérni a 8. és a 9. évfolyamon. Ezért javaslom a téma alapos megértését.
A zárójel-kiterjesztés a kifejezéstranszformáció egy fajtája. Ebben a részben leírjuk a zárójelek bővítésének szabályait, valamint megfontoljuk a problémák leggyakoribb példáit.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Mi a zárójel kiterjesztése?
A zárójelek jelzik a műveletek végrehajtásának sorrendjét a numerikus és alfabetikus kifejezésekben, valamint a változókat tartalmazó kifejezésekben. Kényelmes áttérni a zárójeles kifejezésről egy azonos, zárójel nélküli kifejezésre. Például cserélje ki a 2 (3 + 4) kifejezést egy hasonló kifejezésre 2 3 + 2 4 zárójelek nélkül. Ezt a technikát zárójel-nyitónak nevezik.
1. definíció
A zárójelek megnyitása alatt a zárójelektől való megszabadulás módszereit értjük, és általában olyan kifejezésekkel kapcsolatban vesszük figyelembe, amelyek tartalmazhatnak:
- "+" vagy "-" jelek a zárójelek előtt, amelyek összegeket vagy különbségeket tartalmaznak;
- egy szám, betű vagy több betű és az összeg vagy különbség szorzata, amely zárójelben van.
Így szoktuk felfogni a zárójelek bővítésének folyamatát a kurzusban iskolai tananyag. Azt azonban senki sem akadályozza meg, hogy ezt az akciót tágabban nézzük. Zárójel-kiterjesztésnek nevezhetjük azt az átmenetet, amikor a negatív számokat zárójelben tartalmazó kifejezésről egy olyan kifejezésre, amelyben nincs zárójel. Például 5 + (− 3) − (− 7) értékről 5 − 3 + 7-re léphetünk. Valójában ez is zárójel-kiterjesztés.
Ugyanígy helyettesíthetjük az (a + b) · (c + d) alakú kifejezések zárójelben lévő szorzatát a · c + a · d + b · c + b · d összeggel. Ez a technika sem mond ellent a zárójelek kiterjesztésének.
Íme egy másik példa. Feltételezhetjük, hogy a kifejezésekben számok és változók helyett bármilyen kifejezés használható. Például az x 2 1 a - x + sin (b) kifejezés egy x 2 1 a - x 2 x + x 2 sin (b) alakú zárójelek nélküli kifejezésnek felel meg.
Külön figyelmet érdemel még egy pont, amely a zárójelek nyitásakor alkalmazott írási megoldások sajátosságait érinti. A kezdeti kifejezést zárójelekkel írhatjuk, a zárójelek kinyitása után kapott eredményt pedig egyenlőségnek. Például a zárójelek megnyitása után a kifejezés helyett 3 − (5 − 7) megkapjuk a kifejezést 3 − 5 + 7 . Mindkét kifejezést felírhatjuk a 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 egyenlőségként.
A nehézkes kifejezésekkel végzett műveletek közbenső eredmények rögzítését igényelhetik. Ekkor a megoldás egyenlőségek lánca lesz. Például, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 vagy 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .
A zárójelek nyitásának szabályai, példák
Kezdjük a zárójelek nyitásának szabályaival.
Egyes számok zárójelben
A zárójelben lévő negatív számok gyakran megjelennek a kifejezésekben. Például (− 4) és 3 + (− 4) . A zárójelben lévő pozitív számok is előfordulnak.
Fogalmazzuk meg az egyetlen pozitív számot tartalmazó zárójelek nyitásának szabályát. Tegyük fel, hogy a bármely pozitív szám. Ekkor helyettesíthetjük (a)-t a-val, + (a)-t + a-val, - (a)-t - a-val. Ha a helyett egy adott számot veszünk, akkor a szabály szerint: az (5) számot így írjuk 5 , a zárójelek nélküli 3 + (5) kifejezés a következő alakot veszi fel 3 + 5 , mivel a + (5) helyett a + 5 , és a 3 + (− 5) kifejezés ekvivalens a kifejezéssel 3 − 5 , mivel + (− 5) helyettesíti − 5 .
A pozitív számokat általában zárójelek használata nélkül írjuk, mivel a zárójelek ebben az esetben feleslegesek.
Most nézzük meg az egyetlen negatív számot tartalmazó zárójelek nyitásának szabályát. + (-a)-re cseréljük − a, − (− a) helyébe + a lép. Ha a kifejezés negatív számmal kezdődik (-a), ami zárójelben van írva, akkor a zárójelek kimaradnak és helyette (-a) maradványok − a.
Íme néhány példa: (− 5) felírható így: − 5 , (− 3) + 0 , 5-ből − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) lesz 4 − 3 , és − (− 4) − (− 3) a zárójelek a 4 + 3 alakot veszik fel, mivel − (− 4) és − (− 3) helyébe + 4 és + 3 lép.
Meg kell érteni, hogy a 3 · (− 5) kifejezés nem írható fel 3 · − 5-ként. Erről a következő bekezdésekben lesz szó.
Lássuk, mire épülnek a zárójel-bővítési szabályok.
A szabály szerint az a − b különbség egyenlő a + (− b) -vel. A számokkal végzett cselekvések tulajdonságai alapján egyenlőségláncot készíthetünk (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a ami igazságos lesz. Ez az egyenlőséglánc a kivonás jelentése alapján bizonyítja, hogy az a + (− b) kifejezés a különbség a-b.
Az ellentétes számok tulajdonságai és a negatív számok kivonási szabályai alapján kijelenthetjük, hogy − (− a) = a , a − (− b) = a + b .
Vannak olyan kifejezések, amelyek számokból, mínuszjelekből és több zárójelpárból állnak. A fenti szabályok használatával szekvenciálisan megszabadulhat a zárójelektől, a belső zárójelekről a külsőkre vagy fordítva. Ilyen kifejezés például a − (− ((− (5)))) . Nyissuk ki a zárójeleket, belülről kifelé haladva: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Ez a példa fordítva is értelmezhető: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .
Alatt aés b nem csak számokként érthető, hanem tetszőleges numerikus vagy szó szerinti kifejezésekként is, amelyek előtt egy "+" van, amelyek nem összegek vagy különbségek. Ezekben az esetekben ugyanúgy alkalmazhatja a szabályokat, mint a zárójelben lévő egyes számok esetében.
Például a zárójelek kinyitása után a kifejezés − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) 2 x − x 2 − 1 x − 2 x y 2: z formát veszi fel. Hogyan csináltuk? Tudjuk, hogy − (− 2 x) + 2 x , és mivel ez a kifejezés az első, akkor a + 2 x felírható 2 x-ként, - (x 2) = - x 2, + (− 1 x) = − 1 x és − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.
Két szám szorzatában
Kezdjük a zárójelek kiterjesztésének szabályával két szám szorzatában.
Tegyünk úgy, mintha aés b két pozitív szám. Ebben az esetben két negatív szám szorzata − aés − a (− a) (− b) alakú b) helyettesíthető (a b) , két ellentétes előjelű szám szorzata pedig (− a) b és a (− b) alakkal helyettesíthető (- a b). A mínusz és a mínusz szorzása pluszt ad, a mínusz plusz szorzása pedig, mint a plusz mínuszos szorzata, mínuszt ad.
Az írott szabály első részének helyességét a negatív számok szorzásának szabálya igazolja. A szabály második részének megerősítésére használhatjuk a szorzási szabályokat különböző előjelű számokhoz.
Nézzünk néhány példát.
1. példa
Tekintsük a zárójelek nyitásának algoritmusát két negatív szám - 4 3 5 és - 2 szorzatában, amelyek (- 2) · - 4 3 5 alakúak. Ehhez az eredeti kifejezést 2 · 4 3 5-re cseréljük. Bontsuk ki a zárójeleket, és kapjuk meg a 2 · 4 3 5 értéket.
És ha a negatív számok (− 4) hányadosát vesszük: (− 2) , akkor a rekord a zárójelek kinyitása után 4: 2
Negatív számok helyett − aés − b tetszőleges olyan mínuszjellel rendelkező kifejezés lehet, amely nem összeg vagy különbség. Ezek lehetnek például szorzatok, részlegesek, törtek, hatványok, gyökök, logaritmusok, trigonometrikus függvények stb.
Nyissuk meg a zárójeleket a - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) kifejezésben. A szabály szerint a következő transzformációkat hajthatjuk végre: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5 .
Kifejezés (– 3) 2átváltható a (− 3 2) kifejezésre. Ezt követően megnyithatja a zárójeleket: − 3 2.
2 3 - 4 5 = - 2 3 4 5 = - 2 3 4 5
A különböző előjelű számok felosztása a zárójelek előzetes bővítését is igényelheti: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 és 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.
A szabály segítségével különböző előjelű kifejezések szorzása és osztása hajtható végre. Mondjunk két példát.
1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3
sin (x) (- x 2) \u003d (- sin (x) x 2) \u003d - sin (x) x 2
Három vagy több szám szorzatában
Térjünk át a szorzatokra és hányadosokra, amelyek nagyobb számú számot tartalmaznak. A bővítő zárójelekre itt a következő szabály érvényes. Páros számú negatív szám esetén elhagyhatja a zárójeleket, és a számokat az ellentétekkel helyettesítheti. Ezt követően az eredményül kapott kifejezést új zárójelek közé kell tenni. Páratlan számú negatív szám esetén a zárójeleket kihagyva cserélje ki a számokat ellentétére. Ezután az eredményül kapott kifejezést új zárójelbe kell venni, és mínusz jelet kell tenni elé.
2. példa
Vegyük például az 5 · (− 3) · (− 2) kifejezést, amely három szám szorzata. Két negatív szám van, így a kifejezést így írhatjuk fel (5 3 2), majd végül nyissa ki a zárójeleket, így megkapja az 5 3 2 kifejezést.
A (− 2 , 5) (− 3) szorzatban: (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) öt szám negatív. tehát (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 . 5 3: 2 4: 1, 25: 1) . Végül kinyitjuk a zárójeleket, megkapjuk −2,5 3:2 4:1,25:1.
A fenti szabály a következőképpen igazolható. Először is átírhatjuk az ilyen kifejezéseket szorzatként, az osztást a reciprok szorzásával helyettesítve. Minden negatív számot egy szorzó szorzataként ábrázolunk, és az -1-et vagy -1-et helyettesítjük ezzel (− 1) a.
A szorzás kommutatív tulajdonságát felhasználva felcseréljük a tényezőket, és minden faktorral egyenlő faktort átadunk − 1 , a kifejezés elejére. A páros szám mínusz egyesek szorzata 1, a páratlan szám pedig egyenlő − 1 , amely lehetővé teszi a mínuszjel használatát.
Ha nem használnánk a szabályt, akkor a - 2 3: (- 2) 4: - 6 7 kifejezésben a zárójelek nyitására szolgáló műveletek lánca így nézne ki:
2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) 7 6 = = (- 1) (- 1) (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6
A fenti szabály akkor használható, ha kibontja a zárójeleket olyan kifejezésekben, amelyek olyan szorzatok és mínuszjelű hányadosok, amelyek nem összegek vagy különbségek. Vegyük például a kifejezést
x 2 (- x) : (- 1 x) x - 3: 2 .
Leredukálható zárójel nélküli kifejezésre x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 .
Nyitó zárójelek előtt + jel
Vegyünk egy szabályt, amely alkalmazható a pluszjel előtti zárójelek kibontására, és ezeknek a zárójeleknek a „tartalmát” nem szorozzuk vagy osztjuk semmilyen számmal vagy kifejezéssel.
A szabály szerint a zárójelek az előttük lévő jellel együtt kimaradnak, míg a zárójelben lévő összes kifejezés előjele megmarad. Ha nincs jel az első kifejezés előtt zárójelben, akkor pluszjelet kell tenni.
3. példa
Például megadjuk a kifejezést (12 − 3 , 5) − 7 . A zárójelek elhagyásával a kifejezések jeleit a zárójelben tartjuk, és az első tag elé pluszjelet teszünk. A bejegyzés így fog kinézni: (12 - 3 , 5) - 7 = + 12 - 3 , 5 - 7 . A fenti példában nem szükséges jelet tenni az első tag elé, mivel + 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7.
4. példa
Nézzünk még egy példát. Vegyük az x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x kifejezést, és hajtsanak végre műveleteket vele x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x
Íme egy másik példa a zárójelek kiterjesztésére:
5. példa
2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x2
A mínuszjel előtti zárójelek kiterjesztése
Tekintsük azokat az eseteket, amikor a mínusz jel van a zárójelek előtt, és amelyeket nem szorozunk (vagy osztunk) semmilyen számmal vagy kifejezéssel. A „-” jel előtti zárójelek nyitására vonatkozó szabály szerint a „-” jelű zárójelek kimaradnak, míg a zárójelben lévő összes kifejezés előjele megfordul.
6. példa
Például:
1 2 \u003d 1 2, - 1 x + 1 \u003d - 1 x + 1, - (- x 2) \u003d x 2
A változókifejezések ugyanazzal a szabállyal konvertálhatók:
X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,
x - x 3 - 3 + 2 x 2 - 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2 -t kapunk.
Zárójelek nyitása szám zárójellel, kifejezések zárójellel való szorzásakor
Itt megvizsgáljuk azokat az eseteket, amikor szükség van bármilyen számmal vagy kifejezéssel szorzott vagy elosztott zárójelek megnyitására. Itt az (a 1 ± a 2 ± ... ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± ... ± a n b) formájú képletek ill. b (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b a 1 ± b a 2 ± … ± b a n), ahol a 1 , a 2 , … , a nés b néhány szám vagy kifejezés.
7. példa
Például bontsa ki a zárójeleket a kifejezésben (3–7) 2. A szabály szerint a következő transzformációkat hajthatjuk végre: (3 − 7) 2 = (3 2 − 7 2) . 3 · 2 − 7 · 2-t kapunk.
A 3 x 2 1 - x + 1 x + 2 kifejezésben a zárójeleket kibontva 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2-t kapunk.
Szorozza meg a zárójelet egy zárójellel
Tekintsük az (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) alakú két zárójel szorzatát. Ez segít abban, hogy szabályt kapjunk a zárójelek kiterjesztésére, amikor egy zárójelet szorozunk egy zárójellel.
A fenti példa megoldásához a kifejezést jelöljük (b 1 + b 2) mint b. Ez lehetővé teszi számunkra a zárójel-kifejezés szorzási szabály használatát. Azt kapjuk, hogy (a 1 + a 2) (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) b = (a 1 b + a 2 b) = a 1 b + a 2 b. Fordított helyettesítéssel b(b 1 + b 2) esetén ismét alkalmazza a kifejezést a zárójellel való szorozásához: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2
Számos egyszerű trükknek köszönhetően eljuthatunk az első zárójelből származó egyes kifejezések és a második zárójelből származó kifejezések szorzatainak összegéhez. A szabály tetszőleges számú zárójelben lévő kifejezésre kiterjeszthető.
Fogalmazzuk meg a zárójel zárójellel való szorzásának szabályait: ahhoz, hogy két összeget megszorozhassunk egymás között, az első összeg minden tagját meg kell szorozni a második összeg minden tagjával, és össze kell adni az eredményeket.
A képlet így fog kinézni:
(a 1 + a 2 + . . . . . . + a m) (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n
Bontsuk ki a zárójeleket az (1 + x) · (x 2 + x + 6) kifejezésben. Két összeg szorzata. Írjuk fel a megoldást: (1 + x) (x 2 + x + 6) = = (1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + xx 2 + xx + x 6
Külön érdemes foglalkozni azokkal az esetekkel, amikor a pluszjelek mellett mínusz jel is van zárójelben. Vegyük például az (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) kifejezést.
Először a zárójelben lévő kifejezéseket összegként ábrázoljuk: (1 + (- x)) (3 x y + (- 2 x y 3)). Most alkalmazhatjuk a szabályt: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (− 2 x y 3) + (− x) 3 xy + ( − x) (− 2 xy 3))
Bontsuk ki a zárójeleket: 1 3 x y − 1 2 x y 3 − x 3 x y + x 2 x y 3 .
A zárójelek kiterjesztése több zárójelben és kifejezésben
Ha három vagy több kifejezés van zárójelben a kifejezésben, akkor a zárójeleket egymás után ki kell bontani. Az átalakítást azzal kell kezdeni, hogy az első két tényezőt zárójelben vesszük. Ezeken a zárójeleken belül transzformációkat hajthatunk végre a fent tárgyalt szabályok szerint. Például a (2 + 4) 3 (5 + 7 8) kifejezés zárójelei.
A kifejezés három tényezőt tartalmaz egyszerre (2 + 4) , 3 és (5 + 7 8) . A zárójeleket egymás után bővítjük. Az első két tényezőt még egy zárójelben tesszük, amit pirosra teszünk az érthetőség kedvéért: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).
A zárójelek számmal való szorzásának szabálya szerint a következő műveleteket hajthatjuk végre: ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) .
Zárójeles zárójeles szorzás: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .
Zárójel természetbeni
A fokok, amelyek alapja néhány zárójelben lévő kifejezés, természetes mutatókkal több zárójel szorzatának tekinthető. Ráadásul az előző két bekezdés szabályai szerint ezek a zárójelek nélkül is írhatók.
Tekintsük a kifejezés átalakításának folyamatát (a + b + c) 2. Két zárójel szorzataként írható fel (a + b + c) (a + b + c). A zárójelet zárójelenként megszorozzuk, és a a a + a b + a c + b a + b b + b c + c a + c b + c c -t kapjuk.
Vegyünk egy másik példát:
8. példa
1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x 1 x + 1 x 2 1 x + 2 1 x 1 x + 2 2 1 x + 1 x 1 x 2 + + 1 x 2 2 + 2 1 x 2 + 2 2 2
Zárójel elosztása számmal és zárójel zárójellel
Ha egy zárójelet elosztunk egy számmal, akkor az összes zárójelben lévő kifejezést el kell osztani a számmal. Például (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .
Az osztás korábban helyettesíthető szorzással, ezután használhatja a megfelelő szabályt a zárójelek nyitására a szorzatban. Ugyanez a szabály érvényes a zárójel zárójellel való osztásakor is.
Például meg kell nyitnunk a zárójeleket az (x + 2) kifejezésben: 2 3 . Ehhez először cserélje ki az osztást úgy, hogy megszorozza az (x + 2) reciprokával: 2 3 = (x + 2) · 2 3 . Szorozd meg a zárójelet a számmal (x + 2) 2 3 = x 2 3 + 2 2 3 .
Íme egy másik példa a zárójeles felosztásra:
9. példa
1 x + x + 1: (x + 2) .
Helyettesítsük az osztást szorzással: 1 x + x + 1 1 x + 2 .
Végezzük el a szorzást: 1 x + x + 1 1 x + 2 = 1 x 1 x + 2 + x 1 x + 2 + 1 1 x + 2 .
Konzol bővítési rendelés
Most vegyük figyelembe a fentebb tárgyalt szabályok alkalmazási sorrendjét a kifejezésekben Általános nézet, azaz olyan kifejezésekben, amelyek különbözõ összegeket, hányadosokat tartalmazó szorzatokat, természetbeni zárójelet tartalmaznak.
A műveletek sorrendje:
- az első lépés a zárójel természetes hatványra emelése;
- a második szakaszban zárójeleket nyitnak a munkákban és a magánéletben;
- az utolsó lépés a zárójelek megnyitása az összegekben és a különbségekben.
Tekintsük a műveletek sorrendjét a (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) kifejezés példáján keresztül. Alakítsuk át a 3 (− 2) : (− 4) és 6 (− 7) kifejezésekből, amelyeknek a következő alakot kell felvenniük (3 2:4)és (− 6 7) . A kapott eredményeket behelyettesítve az eredeti kifejezésbe, a következőket kapjuk: (− 5) + 3 (− 2) : (− 4) − 6 (− 7) = (− 5) + (3 2: 4) − (− 6 7) ). Bontsa ki a zárójeleket: − 5 + 3 2: 4 + 6 7 .
Amikor olyan kifejezésekkel foglalkozunk, amelyek zárójelben zárójelet tartalmaznak, célszerű belülről kifelé végrehajtani az átalakításokat.
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt