Acea parte a ecuației este expresia dintre paranteze. Pentru a deschide parantezele, priviți semnul din fața parantezelor. Dacă există un semn plus, nimic nu se va schimba atunci când extindeți parantezele din înregistrarea expresiei: eliminați doar parantezele. Dacă există semnul minus, la deschiderea parantezelor, este necesar să schimbați toate semnele care sunt inițial între paranteze cu cele opuse. De exemplu, -(2x-3)=-2x+3.
Înmulțirea a două paranteze.
Dacă ecuația conține produsul dintre două paranteze, extinzând parantezele conform regula standard. Fiecare termen din prima paranteză este înmulțit cu fiecare termen din a doua paranteză. Numerele rezultate sunt însumate. În acest caz, produsul a două „plusuri” sau a două „minusuri” dă termenului un semn „plus”, iar dacă factorii au semne diferite, atunci acesta primește un semn „minus”.
Considera .
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
Prin extinderea parantezelor, uneori ridicând o expresie la . Formulele pentru pătrare și cube trebuie cunoscute pe de rost și reținute.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Formulele pentru ridicarea unei expresii mai mari de trei pot fi făcute folosind triunghiul lui Pascal.
Surse:
- formula de deschidere a parantezei
Operațiile matematice cuprinse între paranteze pot conține variabile și expresii de diferite grade de complexitate. Pentru a multiplica astfel de expresii, va trebui să căutați o soluție într-o formă generală, deschizând parantezele și simplificând rezultatul. Dacă parantezele conțin operații fără variabile, doar cu valori numerice, atunci nu este necesară deschiderea parantezelor, deoarece dacă un computer este disponibil utilizatorului său, sunt disponibile resurse de calcul foarte semnificative - este mai ușor să le folosești decât să simplificați expresie.
Instruire
Înmulțiți succesiv fiecare (sau redus din) conținut într-o paranteză cu conținutul tuturor celorlalte paranteze dacă doriți să obțineți un rezultat general. De exemplu, să fie scrisă expresia originală astfel: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Apoi, înmulțirea succesivă (adică extinderea parantezelor) va da următorul rezultat: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗xx∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.
Simplificați după rezultat prin scurtarea expresiilor. De exemplu, expresia obținută în pasul anterior poate fi simplificată astfel: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.
Utilizați un calculator dacă trebuie să înmulțiți x este egal cu 4,75, adică (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). Pentru a calcula această valoare, accesați site-ul web al motorului de căutare Google sau Nigma și introduceți expresia în câmpul de interogare în forma sa originală (5+4,75)*(6-4,75)*(4,75+2). Google va afișa imediat 82.265625 fără a apăsa un buton, în timp ce Nigma trebuie să trimită datele către server printr-o apăsare de buton.
Pretutindeni. Peste tot și peste tot, oriunde te uiți, există astfel de construcții:
Aceste „construcții” la oamenii alfabetizați provoacă o reacție ambiguă. Cel puțin de genul „este chiar așa – nu?”.
În general, personal, nu pot înțelege de unde a venit „moda” de a nu închide ghilimele externe. Prima și singura analogie care apare în acest sens este analogia cu paranteze. Nimeni nu se îndoiește că două paranteze la rând sunt normale. De exemplu: „Plătiți toată tirajul (200 bucăți (din care 100 defecte))”. Dar în normalitatea punerii a două citate la rând, cineva s-a îndoit (mă întreb cine a fost primul?) ... Și acum toată lumea, fără excepție, a început să producă construcții precum SRL Firm Pupkov and Co. cu conștiința curată.
Dar chiar dacă nu ați văzut regula în viața voastră, care va fi discutată mai jos, atunci singura opțiune justificată logic (folosind paranteze ca exemplu) ar fi următoarea: Firma Pupkov and Co LLC.
Deci, regula în sine:
Dacă la începutul sau la sfârșitul unui citat (același lucru este valabil și pentru vorbirea directă) există ghilimele interne și externe, atunci acestea trebuie să difere între ele într-un model (așa-numitele „herringbones” și „drăguț”) , iar ghilimelele externe nu trebuie omise, de exemplu: C Laturile navei au fost transmise prin radio: „Leningradul a intrat în tropice și își continuă cursul”. Despre Jukovski, Belinsky scrie: „Contemporanii tinereții lui Jukovski îl priveau în principal ca pe un autor de balade, iar într-unul dintre mesajele sale Batyushkov l-a numit „jucător de baladă”.
© Reguli de ortografie și punctuație rusă. - Tula: Autograf, 1995. - 192 p.
În consecință... dacă nu aveți ocazia să introduceți ghilimele, „pomi de Crăciun”, atunci ce puteți face, va trebui să utilizați astfel de pictograme „”. Cu toate acestea, imposibilitatea (sau nedorința) de a folosi ghilimele rusești nu este în niciun caz motivul pentru care nu puteți închide ghilimele exterioare.Astfel, infidelitatea designului Firm Pupkov and Co LLC pare să fi fost rezolvată.Există și modele de tip LLC Firm Pupkov and Co.
Din regulă, este destul de clar că astfel de construcții sunt analfabete ... (Corect: SRL Firma Pupkov și Co.Dar!
Milchin's Publisher's and Author's Handbook (ediția 2004) afirmă că două opțiuni de design pot fi utilizate în astfel de cazuri. Folosirea „herringbones” și „labe” și (în lipsa mijloacelor tehnice) folosirea numai „herringbones”: două de deschidere și una de închidere.
Directorul este „proaspăt” și personal am imediat 2 întrebări aici. În primul rând, cu ce bucurie poți folosi în continuare un ghilibat de închidere-herringbone (ei bine, acest lucru este ilogic, vezi mai sus), iar în al doilea rând, expresia „în absența mijloacelor tehnice” atrage în special atenția. Cum e, scuze? Aici, deschide Notepad și tastați „doar brazi de Crăciun: doi de deschidere și unul de închidere” acolo. Nu există astfel de caractere pe tastatură. Imprimarea unui brad de Crăciun nu funcționează... Combinația Shift + 2 produce semnul " (care, după cum știți, nici măcar nu este ghilimele). Acum deschideți Microsoft Word și apăsați din nou Shift + 2. Programul va corecta „la” (sau „ ). Ei bine, se dovedește că regula care a existat de mai bine de o duzină de ani a fost luată și rescrisă sub Microsoft Word? Ca, din moment ce Cuvântul de la „Firm” Pupkov and Co „face” Firm „Pupkov and Co”, atunci acum să fie acceptabil și corect ???
Asa pare. Și dacă da, atunci există toate motivele să ne îndoim de corectitudinea unei astfel de inovații.Da, și încă o precizare... despre însăși „lipsa mijloacelor tehnice”. Faptul este că pe orice computer cu Windows există întotdeauna " mijloace tehnice” pentru a introduce atât „herringbones” cât și „labe”, așa că această nouă „regulă” (pentru mine este între ghilimele) este incorectă inițial!
Toate caracterele speciale dintr-un font pot fi tastate cu ușurință cunoscând numărul corespunzător al caracterului respectiv. Este suficient să țineți apăsat Alt și să tastați pe tastatura NumLock (NumLock este apăsat, indicatorul luminos este aprins) numărul simbolului corespunzător:
„ Alt + 0132 (picior stâng)
„ Alt + 0147 (piciorul drept)
« Alt + 0171 (os de hering stânga)
» Alt + 0187 (os de pește drept)
În aproape orice text, puteți găsi paranteze și liniuțe. Dar utilizatorii nu întotdeauna le desenează corect. De exemplu, nu este neobișnuit să vezi liniuțe fără unul sau două spații atunci când textul se lipește de un caracter. Același lucru este valabil și pentru paranteze, a căror utilizare este deplasată sau fără a ține cont de regulile de scriere supraîncărcă textul. Acest articol discută problemele scrierii parantezelor și liniuțelor în conformitate cu regulile general acceptate.
Regulile pentru paranteze
Când scrieți paranteze, urmați aceleași reguli ca și pentru ghilimele. De exemplu, două paranteze nu sunt plasate pe rând.
Există mai multe cazuri în care sunt folosite paranteze:
Cuvinte separate, grupuri de cuvinte și propoziții întregi care nu au legătură directă cu ideea principală exprimată de autor. Expresii rostite în treacăt, când autorul nu atrage atenția cititorului asupra lor. Expresiile dintre paranteze nu se încadrează în structura sintactică a propoziției.
Exemplu: " Și, deși eu însumi înțeleg că atunci când îmi trage vârtejele, ea le smulge numai din mila inimii ei (căci, repet fără jenă, îmi trage vârtejele, tinere ”, a confirmat el cu o demnitate extremă, auzind un alt chicot) , dar, Doamne, dacă ea măcar o dată... Dar nu! Nu! Toate acestea sunt în zadar și nu este nimic de spus! nu e nimic de spus! .. de mai multe ori s-a întâmplat deja doritul, și de mai multe ori s-au făcut milă de mine, dar ... asta este deja trăsătura mea, și sunt o vite născută!" (F.M. Dostoievski, „Crimă și pedeapsă”)
Remarcile scurte pentru a explica un anumit cuvânt sau expresie dintr-o propoziție sunt plasate între paranteze.
Exemplu: " A mers normal, liniștitoare vorbărie, atunci când, împreună cu simpatie sinceră (toți aparținem aici și toți, în general, suntem oameni buni) există și un indiciu de ușurare batjocoritoare. Nu eu! Nu am făcut prostia asta, - s-a citit pe fețe.„(S. Lukyanenko, „Umbrele viselor”)
Exemplu: " Am întrebat un yoghin bărbătesc
(A bărbierit, a mâncat unghii ca cârnații):
„Ascultă, prietene, deschide-mi, Dumnezeule,
Voi lua secretul cu mine în mormânt!»
(V. Vysotsky, „Un cântec despre yoghini”)
Referințele la formule și ilustrații sunt incluse în paranteze, de exemplu (fig. 2), (fig. 3, p. 184) , « Formulă (1) este o consecință a teoremei lui Pitagora. Formule (2) și (3) sunt obținute din formulă (1) . » și surse de informații (literatură, publicații) între paranteze drepte, de exemplu: , , etc.
Observațiile sunt incluse între paranteze, un exemplu viu sunt scenariile în care întruchiparea verbală a acțiunii continue este indicată în observații, de exemplu:
« Will râde.
SKYLAR (continuă)
Cum faci acest lucru? Nu... Adică, chiar și cei mai deștepți oameni pe care îi cunosc, avem un cuplu la Harvard, trebuie să studiem - multe. Este complicat.
(pauză)
Uite, Will, dacă nu vrei să-mi spui...»
(Scenariu pentru filmul „Good Will Hunting”
Parantezele sunt, de asemenea, folosite atunci când se adaugă cuvinte neterminate în lucrările autorului.
Numerotarea în text se scrie folosind paranteze în următorul format:
1)
A)
*)
În mod similar, sunt întocmite semne de note de subsol (referințe).
Reguli de liniuță
O liniuță se referă la semnele de punctuație; atunci când scrieți înainte și după o liniuță, se scrie întotdeauna un spațiu.
Există câteva excepții când o liniuță este scrisă fără ambele sau un spațiu:
când un paragraf începe cu o liniuță, un spațiu este plasat numai după.
când o liniuță se află între două numere, acționând ca o cratimă. De exemplu: " în fiecare zi site-ul nostru este vizitat de 3000 -
3500 de vizitatori».
De exemplu: " – Oh-oh… Uh… –
numai și a putut să mormăie Paige uluită.(Philip K. Dick, Raportul minorității)
Majoritatea semnelor de punctuație, inclusiv virgulele, semnele de întrebare, semnele de exclamare, sunt plasate înaintea liniuței. Exemplu: " Regiunea muntoasă centrală în care se află munții Pindus , - cele mai slab populate. Cel mai înalt punct din Grecia, Muntele Olimp (2917 m) se află în această regiune. Grecia Centrală este cea mai populată regiune."(Carte de referință eklopedică" Întreaga lume. Țări ")
Linia este utilizată în mai multe moduri:
- ca semn de punctuație;
- ca conector al unei perechi de numere limită, de exemplu: 80-90%
;
- ca semn matematic minus;
- ca simbol separator sau simbol din textul explicativ, de exemplu, când se dă o decodare a simbolurilor incluse în formulă sau se oferă o explicație pentru ilustrație;
- ca o cratimă, cu liniuța scrisă împreună cu partea neportabilă a cuvântului și nu trebuie repetată la începutul rândului următor;
- ca liniuță sau cratimă de legătură.
Funcția principală a parantezelor este de a schimba ordinea acțiunilor la calcularea valorilor. de exemplu, în expresia numerică \(5 3+7\) se va calcula mai întâi înmulțirea, iar apoi adunarea: \(5 3+7 =15+7=22\). Dar în expresia \(5·(3+7)\), se va calcula mai întâi adunarea între paranteze și abia apoi înmulțirea: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Exemplu.
Extindeți paranteza: \(-(4m+3)\).
Soluţie
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Exemplu.
Extindeți paranteza și dați termeni similari \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Soluţie
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Exemplu.
Extindeți parantezele \(5(3-x)\).
Soluţie
: Avem \(3\) și \(-x\) în paranteză și cinci în fața parantezei. Aceasta înseamnă că fiecare membru al parantezei este înmulțit cu \ (5 \) - vă reamintesc că semnul înmulțirii dintre un număr și o paranteză la matematică nu este scris pentru a reduce dimensiunea înregistrărilor.
Exemplu.
Extindeți parantezele \(-2(-3x+5)\).
Soluţie
: Ca și în exemplul anterior, \(-3x\) și \(5\) dintre paranteze sunt înmulțite cu \(-2\).
Exemplu.
Simplificați expresia: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Soluţie
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Rămâne de luat în considerare ultima situație.
Atunci când înmulțiți paranteza cu paranteză, fiecare termen din prima paranteză este înmulțit cu fiecare termen din a doua:
\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)
Exemplu.
Extindeți parantezele \((2-x)(3x-1)\).
Soluţie
: Avem un produs de paranteze și poate fi deschis imediat folosind formula de mai sus. Dar pentru a nu ne încurca, să facem totul pas cu pas.
Pasul 1. Îndepărtați primul parantez - fiecare dintre membrii săi este înmulțit cu al doilea paranteză:
Pasul 2. Extindeți produsele suportului cu factorul descris mai sus:
- primul primul...
Apoi al doilea.
Pasul 3. Acum înmulțim și aducem termeni similari:
Nu este necesar să pictați toate transformările în detaliu, vă puteți înmulți imediat. Dar dacă doar înveți să deschideți paranteze - scrieți în detaliu, vor fi mai puține șanse să faceți o greșeală.
Notă la întreaga secțiune. De fapt, nu trebuie să vă amintiți toate cele patru reguli, trebuie să vă amintiți doar una, aceasta: \(c(a-b)=ca-cb\) . De ce? Pentru că dacă înlocuim unul în loc de c, obținem regula \((a-b)=a-b\) . Și dacă înlocuim minus unu, obținem regula \(-(a-b)=-a+b\) . Ei bine, dacă înlocuiți o altă paranteză în loc de c, puteți obține ultima regulă.
paranteză în paranteză
Uneori, în practică, există probleme cu parantezele imbricate în alte paranteze. Iată un exemplu de astfel de sarcină: pentru a simplifica expresia \(7x+2(5-(3x+y))\).
Pentru a avea succes în aceste sarcini, trebuie să:
- înțelegeți cu atenție imbricarea parantezelor - care este în care;
- deschideți parantezele succesiv, începând, de exemplu, cu cel mai interior.
Este important la deschiderea unuia dintre suporturi nu atinge restul expresiei, doar rescriindu-l așa cum este.
Să luăm ca exemplu sarcina de mai sus.
Exemplu.
Deschideți parantezele și dați termeni similari \(7x+2(5-(3x+y))\).
Soluţie:
Exemplu.
Extindeți parantezele și dați termeni similari \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Soluţie
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Acesta este un triplu cuib de paranteze. Începem cu cel mai interior (evidențiat cu verde). Există un plus în fața parantezei, așa că este pur și simplu eliminat. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Acum trebuie să deschideți al doilea parantez, intermediar. Dar înainte de asta, vom simplifica expresia prin plasarea unor termeni similari în această a doua paranteză. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Acum deschidem al doilea parantez (evidențiat cu albastru). Există un multiplicator în fața parantezei - deci fiecare termen din paranteză este înmulțit cu acesta. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
Și deschide ultima paranteză. Înainte de paranteză minus - deci toate semnele sunt inversate. |
||
Deschiderea parantezei este o abilitate de bază în matematică. Fără această abilitate, este imposibil să ai o notă peste trei în clasele a 8-a și a 9-a. Prin urmare, recomand o bună înțelegere a acestui subiect.
Extinderea bracket-ului este un tip de transformare a expresiei. În această secțiune, vom descrie regulile de extindere a parantezelor și vom lua în considerare cele mai comune exemple de probleme.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ce este extinderea parantezei?
Parantezele sunt folosite pentru a indica ordinea în care sunt efectuate acțiunile în expresii numerice și alfabetice, precum și în expresii cu variabile. Este convenabil să treceți de la o expresie cu paranteze la o expresie identică egală fără paranteze. De exemplu, înlocuiți expresia 2 (3 + 4) cu o expresie ca 2 3 + 2 4 fara paranteze. Această tehnică se numește deschidere a parantezei.
Definiția 1
Sub deschiderea parantezelor, ne referim la metodele de a scăpa de paranteze și sunt de obicei luate în considerare în raport cu expresii care pot conține:
- semnele „+” sau „-” în fața parantezelor care conțin sume sau diferențe;
- produsul unui număr, literă sau mai multor litere și suma sau diferența, care este plasată între paranteze.
Acesta este modul în care obișnuiam să luăm în considerare procesul de extindere a parantezelor în curs curiculumul scolar. Cu toate acestea, nimeni nu ne împiedică să privim această acțiune mai larg. Putem numi extinderea parantezei tranziția de la o expresie care conține numere negative în paranteze la o expresie care nu are paranteze. De exemplu, putem trece de la 5 + (− 3) − (− 7) la 5 − 3 + 7 . De fapt, aceasta este și extinderea parantezei.
În același mod, putem înlocui produsul expresiilor din paranteze de forma (a + b) · (c + d) cu suma a · c + a · d + b · c + b · d . De asemenea, această tehnică nu contrazice sensul extinderii parantezelor.
Iată un alt exemplu. Putem presupune că în expresii, în loc de numere și variabile, se pot folosi orice expresii. De exemplu, expresia x 2 1 a - x + sin (b) va corespunde unei expresii fără paranteze de forma x 2 1 a - x 2 x + x 2 sin (b) .
Încă un punct merită o atenție specială, care se referă la particularitățile soluțiilor de scriere la deschiderea parantezelor. Putem scrie expresia inițială cu paranteze și rezultatul obținut după deschiderea parantezelor ca egalitate. De exemplu, după deschiderea parantezelor, în locul expresiei 3 − (5 − 7) obținem expresia 3 − 5 + 7 . Putem scrie ambele expresii ca egalitatea 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 .
Efectuarea acțiunilor cu expresii greoaie poate necesita înregistrarea rezultatelor intermediare. Atunci soluția va avea forma unui lanț de egalități. De exemplu, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 sau 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .
Reguli pentru deschiderea parantezelor, exemple
Să începem cu regulile de deschidere a parantezelor.
Numerele simple între paranteze
Numerele negative dintre paranteze apar adesea în expresii. De exemplu, (− 4) și 3 + (− 4) . Au loc și numere pozitive între paranteze.
Să formulăm regula pentru deschiderea parantezelor care conțin numere pozitive simple. Să presupunem că a este orice număr pozitiv. Apoi putem înlocui (a) cu a, + (a) cu + a, - (a) cu - a. Dacă în loc de a luăm un anumit număr, atunci conform regulii: numărul (5) se va scrie ca 5 , expresia 3 + (5) fără paranteze va lua forma 3 + 5 , deoarece + (5) este înlocuit cu + 5 , iar expresia 3 + (− 5) este echivalentă cu expresia 3 − 5 , deoarece + (− 5) este înlocuit cu − 5 .
Numerele pozitive sunt scrise de obicei fără a folosi paranteze, deoarece parantezele sunt redundante în acest caz.
Acum luați în considerare regula pentru deschiderea parantezelor care conțin un singur număr negativ. + (−a) inlocuim cu − a, − (− a) se înlocuiește cu + a . Dacă expresia începe cu un număr negativ (-A), care este scris între paranteze, apoi parantezele sunt omise și în loc de (-A) ramane − a.
Aici sunt cateva exemple: (− 5) poate fi scris ca − 5 , (− 3) + 0 , 5 devine − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) devine 4 − 3 , iar − (− 4) − (− 3) după deschiderea parantezelor ia forma 4 + 3 , deoarece − (− 4) și − (− 3) se înlocuiește cu + 4 și + 3 .
Trebuie înțeles că expresia 3 · (− 5) nu poate fi scrisă ca 3 · − 5. Acest lucru va fi discutat în paragrafele următoare.
Să vedem pe ce se bazează regulile de extindere a parantezei.
Conform regulii, diferența a − b este egală cu a + (− b) . Pe baza proprietăților acțiunilor cu numere, putem face un lanț de egalități (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a care va fi corect. Acest lanț de egalități, în virtutea sensului de scădere, demonstrează că expresia a + (− b) este diferența a-b.
Pe baza proprietăților numerelor opuse și a regulilor de scădere a numerelor negative, putem afirma că − (− a) = a , a − (− b) = a + b .
Există expresii care sunt formate dintr-un număr, semne minus și mai multe perechi de paranteze. Utilizarea regulilor de mai sus vă permite să scăpați secvențial de paranteze, trecând de la parantezele interioare la cele exterioare sau invers. Un exemplu de astfel de expresie ar fi − (− ((− (5)))) . Să deschidem parantezele, deplasându-ne din interior spre exterior: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Acest exemplu poate fi analizat și invers: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .
Sub Ași b poate fi înțeles nu numai ca numere, ci și ca expresii numerice sau literale arbitrare cu un „+” în față care nu sunt sume sau diferențe. În toate aceste cazuri, puteți aplica regulile în același mod în care am făcut-o cu numerele simple între paranteze.
De exemplu, după deschiderea parantezelor, expresia − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) ia forma 2 x − x 2 − 1 x − 2 x y 2: z . Cum am făcut-o? Știm că − (− 2 x) este + 2 x , și deoarece această expresie vine mai întâi, atunci + 2 x poate fi scris ca 2 x , - (x 2) = - x 2, + (− 1 x) = − 1 x și − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.
În produsele a două numere
Să începem cu regula pentru extinderea parantezelor în produsul a două numere.
Să ne prefacem că Ași b sunt două numere pozitive. În acest caz, produsul a două numere negative − ași − b de forma (− a) (− b) poate fi înlocuit cu (a b) , iar produsele a două numere cu semne opuse de forma (− a) b și a (− b) pot fi înlocuite cu (− a b). Înmulțirea unui minus cu un minus dă un plus, iar înmulțirea unui minus cu un plus, ca și înmulțirea unui plus cu un minus, dă un minus.
Corectitudinea primei părți a regulii scrise este confirmată de regula de înmulțire a numerelor negative. Pentru a confirma a doua parte a regulii, putem folosi regulile de înmulțire pentru numere cu semne diferite.
Să ne uităm la câteva exemple.
Exemplul 1
Se consideră algoritmul de deschidere a parantezelor în produsul a două numere negative - 4 3 5 și - 2 , de forma (- 2) · - 4 3 5 . Pentru a face acest lucru, înlocuim expresia originală cu 2 · 4 3 5 . Să extindem parantezele și să obținem 2 · 4 3 5 .
Și dacă luăm câtul numerelor negative (− 4) : (− 2) , atunci înregistrarea după deschiderea parantezelor va arăta ca 4: 2
În loc de numere negative − ași − b pot fi orice expresii cu semnul minus care nu sunt sume sau diferențe. De exemplu, acestea pot fi produse, parțiale, fracții, puteri, rădăcini, logaritmi, funcții trigonometrice etc.
Să deschidem parantezele din expresia - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Conform regulii, putem face următoarele transformări: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5 .
Expresie (− 3) 2 poate fi convertit la expresia (− 3 2) . După aceea, puteți deschide parantezele: − 3 2.
2 3 - 4 5 = - 2 3 4 5 = - 2 3 4 5
Împărțirea numerelor cu semne diferite poate necesita, de asemenea, extinderea preliminară a parantezelor: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 și 2 3 4: (- 3 , 5) = - 2 3 4: 3 , 5 = - 2 3 4: 3 , 5 .
Regula poate fi folosită pentru a efectua înmulțirea și împărțirea expresiilor cu semne diferite. Să dăm două exemple.
1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3
sin (x) (- x 2) \u003d (- sin (x) x 2) \u003d - sin (x) x 2
În produsele a trei sau mai multe numere
Să trecem la produse și coeficienti, care conțin un număr mai mare de numere. Pentru parantezele extinse, aici se va aplica următoarea regulă. Cu un număr par de numere negative, puteți omite parantezele, înlocuind numerele cu opuse. După aceea, trebuie să includeți expresia rezultată între paranteze noi. Pentru un număr impar de numere negative, omițând parantezele, înlocuiți numerele cu opuse. După aceea, expresia rezultată trebuie luată între paranteze noi și pune semnul minus în fața ei.
Exemplul 2
De exemplu, să luăm expresia 5 · (− 3) · (− 2) , care este produsul a trei numere. Există două numere negative, așa că putem scrie expresia ca (5 3 2) și apoi deschideți în cele din urmă parantezele, obținând expresia 5 3 2 .
În produsul (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) cinci numere sunt negative. deci (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 . 5 3: 2 4: 1 , 25: 1) . În cele din urmă, deschizând parantezele, obținem −2,5 3:2 4:1.25:1.
Regula de mai sus poate fi justificată după cum urmează. În primul rând, putem rescrie astfel de expresii ca un produs, înlocuind împărțirea cu înmulțirea cu reciprocă. Reprezentăm fiecare număr negativ ca produs al unui multiplicator și înlocuim - 1 sau - 1 cu (− 1) a.
Folosind proprietatea comutativă a înmulțirii, schimbăm factorii și transferăm toți factorii egali cu − 1 , până la începutul expresiei. Produsul unui număr par minus uni este egal cu 1, iar un număr impar este egal cu − 1 , care ne permite să folosim semnul minus.
Dacă nu am folosi regula, atunci lanțul de acțiuni pentru deschiderea parantezelor în expresia - 2 3: (- 2) 4: - 6 7 ar arăta astfel:
2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) 7 6 = = (- 1) (- 1) (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6
Regula de mai sus poate fi folosită la extinderea parantezelor în expresii care sunt produse și coeficiente cu semnul minus care nu sunt sume sau diferențe. Luați de exemplu expresia
x 2 (- x) : (- 1 x) x - 3: 2 .
Poate fi redusă la o expresie fără paranteze x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 .
Paranteze de deschidere precedate de semnul +
Luați în considerare o regulă care poate fi aplicată pentru a extinde parantezele care sunt precedate de un semn plus, iar „conținutul” acelor paranteze nu este înmulțit sau împărțit cu niciun număr sau expresie.
Conform regulii, parantezele împreună cu semnul din fața lor sunt omise, în timp ce semnele tuturor termenilor din paranteze sunt păstrate. Dacă nu există niciun semn în fața primului termen între paranteze, atunci trebuie să puneți un semn plus.
Exemplul 3
De exemplu, dăm expresia (12 − 3 , 5) − 7 . Omitând parantezele, păstrăm semnele termenilor din paranteze și punem semnul plus înaintea primului termen. Intrarea va arăta ca (12 − 3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . În exemplul de mai sus, nu este necesar să puneți un semn în fața primului termen, deoarece + 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7.
Exemplul 4
Să luăm în considerare încă un exemplu. Luați expresia x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x și efectuați acțiuni cu ea x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x
Iată un alt exemplu de extindere a parantezei:
Exemplul 5
2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x2
Cum se extinde parantezele precedate de un semn minus
Luați în considerare cazurile în care există un semn minus în fața parantezelor și care nu sunt înmulțite (sau împărțite) cu niciun număr sau expresie. Conform regulii de extindere a parantezelor precedate de semnul „-”, parantezele cu semnul „-” sunt omise, în timp ce semnele tuturor termenilor din paranteze sunt inversate.
Exemplul 6
De exemplu:
1 2 \u003d 1 2, - 1 x + 1 \u003d - 1 x + 1, - (- x 2) \u003d x 2
Expresiile variabile pot fi convertite folosind aceeași regulă:
X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,
obținem x - x 3 - 3 + 2 x 2 - 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2 .
Deschiderea parantezelor la înmulțirea unui număr cu o paranteză, expresii cu o paranteză
Aici vom lua în considerare cazurile în care este necesar să deschidem paranteze care sunt înmulțite sau împărțite cu orice număr sau expresie. Aici formule de forma (a 1 ± a 2 ± ... ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± ... ± a n b) sau b (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b a 1 ± b a 2 ± … ± b a n), Unde a 1 , a 2 , … , a nși b sunt niște numere sau expresii.
Exemplul 7
De exemplu, să extindem parantezele din expresie (3 − 7) 2. Conform regulii, putem face următoarele transformări: (3 − 7) 2 = (3 2 − 7 2) . Se obține 3 · 2 − 7 · 2 .
Extinderea parantezelor din expresia 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, obținem 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.
Înmulțiți o paranteză cu o paranteză
Se consideră produsul a două paranteze de forma (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Acest lucru ne va ajuta să obținem o regulă pentru extinderea parantezelor atunci când înmulțim o paranteză cu o paranteză.
Pentru a rezolva exemplul de mai sus, notăm expresia (b 1 + b 2) ca b. Acest lucru ne va permite să folosim regula de multiplicare a parantezei-expresie. Se obține (a 1 + a 2) (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) b = (a 1 b + a 2 b) = a 1 b + a 2 b . Făcând o înlocuire inversă b pe (b 1 + b 2), se aplică din nou regula de înmulțire a expresiei cu paranteză: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2
Datorită unui număr de trucuri simple, putem ajunge la suma produselor fiecăruia dintre termenii din prima paranteză și fiecare dintre termenii din a doua paranteză. Regula poate fi extinsă la orice număr de termeni dintre paranteze.
Să formulăm regulile de înmulțire a parantezelor cu paranteze: pentru a înmulți două sume între ele, este necesar să înmulțim fiecare dintre termenii primei sume cu fiecare dintre termenii celei de-a doua sume și să adunăm rezultatele.
Formula va arăta astfel:
(a 1 + a 2 + . . . + a m) (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n
Să extindem parantezele din expresia (1 + x) · (x 2 + x + 6) Este un produs al două sume. Să scriem soluția: (1 + x) (x 2 + x + 6) = = (1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + xx 2 + xx + x 6
Separat, merită să insistăm asupra cazurilor în care există un semn minus între paranteze împreună cu semnele plus. De exemplu, să luăm expresia (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .
În primul rând, reprezentăm expresiile dintre paranteze ca sume: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)). Acum putem aplica regula: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (− 2 x y 3) + (− x) 3 xy + ( − x) (− 2 xy 3))
Să extindem parantezele: 1 3 x y − 1 2 x y 3 − x 3 x y + x 2 x y 3 .
Extinderea parantezelor în produse din mai multe paranteze și expresii
Dacă există trei sau mai multe expresii între paranteze în expresie, este necesar să extindeți parantezele succesiv. Este necesar să începem transformarea cu faptul că primii doi factori sunt luați între paranteze. În interiorul acestor paranteze, putem efectua transformări conform regulilor discutate mai sus. De exemplu, parantezele din expresia (2 + 4) 3 (5 + 7 8) .
Expresia conține trei factori simultan (2 + 4) , 3 și (5 + 7 8) . Vom extinde parantezele secvenţial. Închidem primii doi factori în încă una dintre paranteze, pe care le vom face roșu pentru claritate: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).
În conformitate cu regula înmulțirii unei paranteze cu un număr, putem efectua următoarele acțiuni: ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) .
Înmulțiți paranteză cu paranteză: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .
Paranteză în natură
Gradele, ale căror baze sunt câteva expresii scrise între paranteze, cu indicatori naturali pot fi considerate ca un produs al mai multor paranteze. Mai mult, conform regulilor din cele două paragrafe precedente, acestea pot fi scrise fără aceste paranteze.
Luați în considerare procesul de transformare a expresiei (a + b + c) 2 . Poate fi scris ca un produs din două paranteze (a + b + c) (a + b + c). Înmulțim paranteză cu paranteză și obținem a a + a b + a c + b a + b b + b c + c a + c b + c c .
Să luăm un alt exemplu:
Exemplul 8
1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x 1 x + 1 x 2 1 x + 2 1 x 1 x + 2 2 1 x + 1 x 1 x 2 + + 1 x 2 2 + 2 1 x 2 + 2 2 2
Împărțirea unei paranteze la un număr și a unei paranteze la o paranteză
Împărțirea unei paranteze cu un număr sugerează că trebuie să împărțiți la număr toți termenii cuprinsi între paranteze. De exemplu, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .
Împărțirea poate fi înlocuită anterior prin înmulțire, după care puteți folosi regula corespunzătoare pentru deschiderea parantezelor din produs. Aceeași regulă se aplică la împărțirea unei paranteze la o paranteză.
De exemplu, trebuie să deschidem parantezele din expresia (x + 2): 2 3 . Pentru a face acest lucru, înlocuiți mai întâi împărțirea prin înmulțirea cu reciproca lui (x + 2) : 2 3 = (x + 2) · 2 3 . Înmulțiți paranteza cu numărul (x + 2) 2 3 = x 2 3 + 2 2 3 .
Iată un alt exemplu de împărțire în paranteză:
Exemplul 9
1 x + x + 1: (x + 2) .
Să înlocuim împărțirea cu înmulțirea: 1 x + x + 1 1 x + 2 .
Să facem înmulțirea: 1 x + x + 1 1 x + 2 = 1 x 1 x + 2 + x 1 x + 2 + 1 1 x + 2 .
Ordinea de extindere a suportului
Acum luați în considerare ordinea de aplicare a regulilor discutate mai sus în expresii vedere generala, adică în expresii care conţin sume cu diferenţe, produse cu câte, paranteze în natură.
Ordinea acțiunilor:
- primul pas este ridicarea parantezelor la o putere naturală;
- la a doua etapă, parantezele sunt deschise în lucrări și private;
- pasul final este deschiderea parantezelor în sume și diferențe.
Să considerăm ordinea acțiunilor folosind exemplul expresiei (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Să transformăm din expresiile 3 (− 2) : (− 4) și 6 (− 7) , care ar trebui să ia forma (3 2:4)și (− 6 7) . Înlocuind rezultatele obținute în expresia originală, obținem: (− 5) + 3 (− 2) : (− 4) − 6 (− 7) = (− 5) + (3 2: 4) − (− 6 7) ). Extindeți parantezele: − 5 + 3 2: 4 + 6 7 .
Când aveți de-a face cu expresii care conțin paranteze în paranteze, este convenabil să efectuați transformări din interior spre exterior.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter