Reguli ale progresiei geometrice. Progresie geometrică

>> Matematică: progresie geometrică

Pentru comoditatea cititorului, această secțiune urmează exact același plan pe care l-am urmat în secțiunea anterioară.

1. Concepte de bază.

Definiție. Se numește progresie geometrică o succesiune numerică, a cărei toți membrii sunt diferiți de 0 și fiecare membru al căruia, începând cu al doilea, se obține de la membrul anterior prin înmulțirea lui cu același număr. În acest caz, numărul 5 este numit numitorul unei progresii geometrice.

Astfel, o progresie geometrică este o succesiune numerică (b n) dată recursiv de relații

Este posibil, analizând o succesiune de numere, să se determine dacă este o progresie geometrică? Poate sa. Dacă sunteți convins că raportul oricărui membru al șirului față de membrul anterior este constant, atunci aveți o progresie geometrică.
Exemplul 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Exemplul 2

Aceasta este o progresie geometrică care
Exemplul 3

Aceasta este o progresie geometrică care
Exemplul 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Aceasta este o progresie geometrică în care b 1 - 8, q = 1.

Rețineți că această secvență este și o progresie aritmetică (vezi Exemplul 3 din § 15).

Exemplul 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

Aceasta este o progresie geometrică, în care b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

Evident, o progresie geometrică este o succesiune crescătoare dacă b 1 > 0, q > 1 (vezi Exemplul 1) și o succesiune descrescătoare dacă b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Pentru a indica că șirul (b n) este o progresie geometrică, următoarea notație este uneori convenabilă:

Pictograma înlocuiește expresia „progresie geometrică”.
Observăm o proprietate curioasă și în același timp destul de evidentă a unei progresii geometrice:
Dacă succesiunea este o progresie geometrică, apoi succesiunea de pătrate, adică este o progresie geometrică.
În a doua progresie geometrică, primul termen este egal cu a egal cu q 2.
Dacă aruncăm toți termenii care urmează exponențial pe b n, atunci obținem o progresie geometrică finită
În paragrafele următoare ale acestei secțiuni, vom lua în considerare cele mai importante proprietăți ale unei progresii geometrice.

2. Formula celui de-al n-lea termen al unei progresii geometrice.

Luați în considerare o progresie geometrică numitor q. Noi avem:

Nu este greu de ghicit că pentru orice număr n egalitatea

Aceasta este formula pentru al n-lea termen al unei progresii geometrice.

Cometariu.

Dacă ați citit observația importantă din paragraful anterior și ați înțeles-o, atunci încercați să demonstrați formula (1) prin inducție matematică, așa cum s-a făcut pentru formula celui de-al n-lea termen al unei progresii aritmetice.

Să rescriem formula celui de-al n-lea termen al progresiei geometrice

și introduceți notația: obținem y \u003d mq 2 sau, mai detaliat,
Argumentul x este conținut în exponent, deci o astfel de funcție se numește funcție exponențială. Aceasta înseamnă că o progresie geometrică poate fi considerată ca o funcție exponențială dată pe mulțimea N de numere naturale. Pe fig. 96a prezintă un grafic al funcției din Fig. 966 - graficul funcției În ambele cazuri, avem puncte izolate (cu abscise x = 1, x = 2, x = 3 etc.) situate pe o curbă (ambele figuri arată aceeași curbă, doar diferit situate și reprezentate la scări diferite). Această curbă se numește exponent. Mai multe despre funcția exponențială și graficul acesteia vor fi discutate în cursul de algebră de clasa a XI-a.

Să revenim la exemplele 1-5 din paragraful anterior.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Aceasta este o progresie geometrică, în care b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Să facem o formulă pentru al n-lea termen
2) Aceasta este o progresie geometrică, în care Să formulăm al n-lea termen

Aceasta este o progresie geometrică care Compuneți formula pentru al n-lea termen
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Aceasta este o progresie geometrică, în care b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Să facem o formulă pentru al n-lea termen
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Aceasta este o progresie geometrică, în care b 1 = 2, q = -1. Compuneți formula pentru al n-lea termen

Exemplul 6

Având în vedere o progresie geometrică

În toate cazurile, soluția se bazează pe formula celui de-al n-lea membru al unei progresii geometrice

a) Punând n = 6 în formula celui de-al n-lea termen al progresiei geometrice, obținem

b) Avem

Deoarece 512 \u003d 2 9, obținem n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.

d) Avem

Exemplul 7

Diferența dintre al șaptelea și al cincilea membru al progresiei geometrice este 48, suma celui de-al cincilea și al șaselea membru al progresiei este de asemenea 48. Găsiți al doisprezecelea membru al acestei progresii.

Primul stagiu.Întocmirea unui model matematic.

Condițiile sarcinii pot fi scrise pe scurt după cum urmează:

Folosind formula celui de-al n-lea membru al unei progresii geometrice, obținem:
Atunci a doua condiție a problemei (b 7 - b 5 = 48) poate fi scrisă ca

A treia condiție a problemei (b 5 +b 6 = 48) poate fi scrisă ca

Ca rezultat, obținem un sistem de două ecuații cu două variabile b 1 și q:

care, în combinație cu condiția 1) scrisă mai sus, este modelul matematic al problemei.

Faza a doua.

Lucrul cu modelul compilat. Echivalând părțile din stânga ambelor ecuații ale sistemului, obținem:

(am împărțit ambele părți ale ecuației în expresia b 1 q 4 , care este diferită de zero).

Din ecuația q 2 - q - 2 = 0 găsim q 1 = 2, q 2 = -1. Înlocuind valoarea q = 2 în a doua ecuație a sistemului, obținem
Înlocuind valoarea q = -1 în a doua ecuație a sistemului, obținem b 1 1 0 = 48; această ecuație nu are soluții.

Deci, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - această pereche este soluția sistemului de ecuații compilat.

Acum putem nota progresia geometrică în cauză: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

A treia etapă.

Răspunsul la întrebarea problemă. Este necesar să se calculeze b 12 . Noi avem

Răspuns: b 12 = 2048.

3. Formula pentru suma membrilor unei progresii geometrice finite.

Să existe o progresie geometrică finită

Notăm cu S n suma termenilor săi, adică.

Să derivăm o formulă pentru găsirea acestei sume.

Să începem cu cel mai simplu caz, când q = 1. Atunci progresia geometrică b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn constă din n numere egale cu b 1 , adică. progresia este b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . Suma acestor numere este nb 1 .

Fie acum q = 1 Pentru a găsi S n folosim o metodă artificială: să facem câteva transformări ale expresiei S n q. Noi avem:

Efectuând transformări, am folosit, în primul rând, definiția unei progresii geometrice, conform căreia (vezi a treia linie de raționament); în al doilea rând, au adăugat și au scăzut de ce sensul expresiei, desigur, nu s-a schimbat (vezi a patra linie de raționament); în al treilea rând, am folosit formula celui de-al n-lea membru al unei progresii geometrice:

Din formula (1) găsim:

Aceasta este formula pentru suma a n membri ai unei progresii geometrice (pentru cazul în care q = 1).

Exemplul 8

Având în vedere o progresie geometrică finită

a) suma membrilor progresiei; b) suma pătratelor termenilor săi.

b) Mai sus (vezi p. 132) am observat deja că dacă toți membrii unei progresii geometrice sunt la pătrat, atunci se va obține o progresie geometrică cu primul membru b 2 și numitorul q 2. Apoi suma celor șase termeni ai noii progresii va fi calculată de

Exemplul 9

Găsiți al optulea termen al unei progresii geometrice pentru care

De fapt, am demonstrat următoarea teoremă.

O secvență numerică este o progresie geometrică dacă și numai dacă pătratul fiecăruia dintre termenii săi, cu excepția primului (și ultimului, în cazul unei secvențe finite), este egal cu produsul dintre termenii anteriori și următorii. (o proprietate caracteristică a unei progresii geometrice).

Progresia geometrică, împreună cu aritmetica, este o serie de numere importantă care este studiată în cursul școlar de algebră din clasa a 9-a. În acest articol, vom lua în considerare numitorul unei progresii geometrice și modul în care valoarea acesteia îi afectează proprietățile.

Definiţia geometric progression

Pentru început, dăm definiția acestei serii de numere. O progresie geometrică este o serie de numere raționale care se formează prin înmulțirea succesivă a primului său element cu un număr constant numit numitor.

De exemplu, numerele din seria 3, 6, 12, 24, ... sunt o progresie geometrică, deoarece dacă înmulțim 3 (primul element) cu 2, obținem 6. Dacă înmulțim 6 cu 2, obținem 12 și așa mai departe.

Membrii secvenței luate în considerare sunt de obicei notați prin simbolul ai, unde i este un număr întreg care indică numărul elementului din serie.

Definiția de mai sus a unei progresii poate fi scrisă în limbajul matematicii astfel: an = bn-1 * a1, unde b este numitorul. Este ușor să verificăm această formulă: dacă n = 1, atunci b1-1 = 1 și obținem a1 = a1. Dacă n = 2, atunci an = b * a1 și ajungem din nou la definiția seriei de numere luate în considerare. Raționament similar poate fi continuat pentru valori mari ale lui n.

Numitorul unei progresii geometrice

Numărul b determină complet ce caracter va avea întreaga serie de numere. Numitorul b poate fi pozitiv, negativ sau mai mare sau mai mic decât unu. Toate opțiunile de mai sus conduc la secvențe diferite:

b > 1. Există o serie crescândă de numere raţionale. De exemplu, 1, 2, 4, 8, ... Dacă elementul a1 este negativ, atunci întreaga secvență va crește doar modulo, dar va scădea ținând cont de semnul numerelor.
b = 1. Adesea un astfel de caz nu se numește progresie, deoarece există o serie obișnuită de numere raționale identice. De exemplu, -4, -4, -4.

Formula pentru suma

Înainte de a trece la revizuire sarcini specifice folosind numitorul tipului de progresie luat în considerare, ar trebui dată o formulă importantă pentru suma primelor sale n elemente. Formula este: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Puteți obține această expresie singur dacă luați în considerare o secvență recursivă de membri ai progresiei. De asemenea, rețineți că în formula de mai sus este suficient să cunoașteți doar primul element și numitorul pentru a găsi suma unui număr arbitrar de termeni.

Secvență infinit descrescătoare

Mai sus a fost o explicație a ceea ce este. Acum, cunoscând formula pentru Sn, să o aplicăm acestei serii de numere. Deoarece orice număr al cărui modul nu depășește 1 tinde spre zero atunci când este ridicat la puteri mari, adică b∞ => 0 dacă -1

Deoarece diferența (1 - b) va fi întotdeauna pozitivă, indiferent de valoarea numitorului, semnul sumei unei progresii geometrice infinit descrescătoare S∞ este determinat în mod unic de semnul primului său element a1.

Acum vom lua în considerare câteva probleme, în care vom arăta cum să aplicăm cunoștințele dobândite unor numere specifice.

Sarcina numărul 1. Calculul elementelor necunoscute ale progresiei și ale sumei

Având în vedere o progresie geometrică, numitorul progresiei este 2, iar primul său element este 3. Care va fi al 7-lea și al 10-lea termen și care este suma celor șapte elemente inițiale?

Starea problemei este destul de simplă și implică utilizarea directă a formulelor de mai sus. Deci, pentru a calcula elementul cu numărul n, folosim expresia an = bn-1 * a1. Pentru al 7-lea element avem: a7 = b6 * a1, înlocuind datele cunoscute, obținem: a7 = 26 * 3 = 192. Facem același lucru pentru al 10-lea membru: a10 = 29 * 3 = 1536.

Folosim formula binecunoscută pentru sumă și determinăm această valoare pentru primele 7 elemente ale seriei. Avem: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Sarcina numărul 2. Determinarea sumei elementelor arbitrare ale progresiei

Fie -2 numitorul progresiei exponențiale bn-1 * 4, unde n este un număr întreg. Este necesar să se determine suma de la al 5-lea la al 10-lea element din această serie, inclusiv.

Problema pusă nu poate fi rezolvată direct folosind formule cunoscute. Poate fi rezolvată în 2 moduri diferite. De dragul completității, le prezentăm pe ambele.

Metoda 1. Ideea sa este simplă: trebuie să calculați cele două sume corespunzătoare ale primilor termeni, apoi să scădeți pe celălalt dintr-unul. Calculați suma mai mică: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Acum calculăm o mare cantitate: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Rețineți că în ultima expresie au fost însumați doar 4 termeni, deoarece al 5-lea este deja inclus în suma care trebuie calculată în funcție de starea problemei. În cele din urmă, luăm diferența: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metoda 2. Înainte de a înlocui numere și de a număra, puteți obține o formulă pentru suma dintre termenii m și n ai seriei în cauză. Acționăm exact la fel ca în metoda 1, doar că lucrăm mai întâi cu reprezentarea simbolică a sumei. Avem: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Puteți înlocui numere cunoscute în expresia rezultată și puteți calcula rezultatul final: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Sarcina numărul 3. Care este numitorul?

Fie a1 = 2, găsiți numitorul progresiei geometrice, cu condiția ca suma sa infinită să fie 3 și se știe că aceasta este o serie descrescătoare de numere.

În funcție de starea problemei, nu este greu de ghicit ce formulă ar trebui utilizată pentru a o rezolva. Desigur, pentru suma unei progresii infinit descrescătoare. Avem: S∞ = a1 / (1 - b). De unde exprimăm numitorul: b = 1 - a1 / S∞. Rămâne să înlocuiți valorile cunoscute și să obțineți numărul necesar: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 sau -0,333 (3). Putem verifica acest rezultat calitativ dacă ne amintim că pentru acest tip de secvență, modulul b nu trebuie să depășească 1. După cum puteți vedea, |-1 / 3|

Sarcina numărul 4. Restaurarea unei serii de numere

Să fie date 2 elemente dintr-o serie de numere, de exemplu, al 5-lea este egal cu 30 și al 10-lea este egal cu 60. Este necesar să restabilim întreaga serie din aceste date, știind că satisface proprietățile unei progresii geometrice.

Pentru a rezolva problema, trebuie mai întâi să scrieți expresia corespunzătoare pentru fiecare membru cunoscut. Avem: a5 = b4 * a1 și a10 = b9 * a1. Acum împărțim a doua expresie la prima, obținem: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. De aici determinăm numitorul luând rădăcina de gradul cinci a raportului membrilor cunoscut din condiția problemei, b = 1,148698. Înlocuim numărul rezultat într-una dintre expresiile unui element cunoscut, obținem: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Astfel, am găsit care este numitorul progresiei bn, iar progresia geometrică bn-1 * 17,2304966 = an, unde b = 1,148698.

Unde se folosesc progresiile geometrice?

Dacă nu ar exista aplicarea în practică a acestei serii numerice, atunci studiul ei s-ar reduce la un interes pur teoretic. Dar există o astfel de aplicație.

Cele mai cunoscute 3 exemple sunt enumerate mai jos:

Paradoxul lui Zenon, în care agilul Ahile nu poate ajunge din urmă cu broasca țestoasă lentă, este rezolvat folosind conceptul de succesiune de numere infinit descrescătoare.
Dacă boabele de grâu sunt plasate pe fiecare celulă a tablei de șah, astfel încât 1 bob să fie plasat pe prima celulă, 2 - pe a 2-a, 3 - pe a 3-a și așa mai departe, atunci vor fi necesare 18446744073709551615 boabe pentru a umple toate celulele de tabla!
În jocul „Tower of Hanoi”, pentru a rearanja discurile de la o tijă la alta, este necesar să efectuați 2n - 1 operații, adică numărul lor crește exponențial de la numărul de discuri n utilizate.

Formula pentru al n-lea membru al unei progresii geometrice este un lucru foarte simplu. Atât în sens, cât și în general. Dar există tot felul de probleme pentru formula celui de-al n-lea membru - de la foarte primitive la cele destul de grave. Și în procesul cunoașterii noastre, cu siguranță îi vom lua în considerare pe amândoi. Ei bine, să ne întâlnim?)

Deci, pentru început, de fapt formulăn

Acolo e:

b n = b 1 · q n -1

Formula ca formulă, nimic supranatural. Pare chiar mai simplu și mai compact decât formula similară pentru . Sensul formulei este, de asemenea, simplu, ca o cizmă din pâslă.

Această formulă vă permite să găsiți ORICE membru al unei progresii geometrice PRIN NUMĂRUL SĂU " n".

După cum puteți vedea, semnificația este o analogie completă cu o progresie aritmetică. Cunoaștem numărul n - putem calcula și termenul sub acest număr. Ceea ce vrem. Nu se înmulțește secvențial cu „q” de multe, de multe ori. Asta e toată ideea.)

Înțeleg că la acest nivel de lucru cu progresii ar trebui să vă fie deja clare toate cantitățile incluse în formulă, dar consider că este de datoria mea să le descifrez pe fiecare. Doar în cazul în care.

Deci să mergem:

b 1 – primul membru al unei progresii geometrice;

q – ;

n- numarul membrului;

b n – al n-lea (nal) membru al unei progresii geometrice.

Această formulă leagă cei patru parametri principali ai oricărei progresii geometrice - bn, b 1 , qși n. Și în jurul acestor patru cifre cheie, toate sarcinile în progres se învârt.

„Și cum este afișat?”- Aud o întrebare curioasă... Elementar! Uite!

Ce este egal cu al doilea membru de progres? Nici o problema! Scriem direct:

b 2 = b 1 q

Și al treilea membru? Nici o problemă! Înmulțim al doilea termen din nou peq.

Ca aceasta:

B 3 \u003d b 2 q

Amintiți-vă acum că al doilea termen, la rândul său, este egal cu b 1 q și înlocuiți această expresie în egalitatea noastră:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Primim:

B 3 = b 1 q 2

Acum să citim articolul nostru în rusă: al treilea membru egal cu primul termen înmulțit cu q în al doilea grad. Ai inteles? Nu încă? Bine, încă un pas.

Care este al patrulea termen? Tot la fel! Multiplica anterior(adică al treilea termen) pe q:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

Total:

B 4 = b 1 q 3

Și din nou traducem în rusă: Al patrulea termenul este egal cu primul termen înmulțit cu q în al treilea grad.

etc. Deci cum este? Ai prins modelul? Da! Pentru orice termen cu orice număr, numărul de factori egali q (adică puterea numitorului) va fi întotdeauna cu unul mai puțin decât numărul membrului doritn.

Prin urmare, formula noastră va fi, fără opțiuni:

b n =b 1 · q n -1

Asta e tot.)

Ei bine, hai să rezolvăm problemele, da?)

Rezolvarea problemelor pe o formulănal treilea termen al unei progresii geometrice.

Să începem, ca de obicei, cu o aplicare directă a formulei. Iată o problemă tipică:

Se știe exponențial că b 1 = 512 și q = -1/2. Găsiți al zecelea termen al progresiei.

Desigur, această problemă poate fi rezolvată fără nicio formulă. Exact ca o progresie geometrică. Dar trebuie să ne încălzim cu formula celui de-al n-lea termen, nu? Aici ne despărțim.

Datele noastre pentru aplicarea formulei sunt următoarele.

Primul termen este cunoscut. Acesta este 512.

b 1 = 512.

Numitorul progresiei este de asemenea cunoscut: q = -1/2.

Rămâne doar să ne dăm seama cu ce este egal numărul termenului n. Nici o problema! Ne interesează al zecelea termen? Deci înlocuim zece în loc de n în formula generală.

Și calculați cu atenție aritmetica:

Raspunsul 1

După cum puteți vedea, al zecelea termen al progresiei s-a dovedit a fi cu minus. Nu e de mirare: numitorul progresiei este -1/2, i.e. negativ număr. Și asta ne spune că semnele progresiei noastre alternează, da.)

Totul este simplu aici. Și aici este o problemă similară, dar puțin mai complicată din punct de vedere al calculelor.

În progresia geometrică, știm că:

b 1 = 3

Găsiți al treisprezecelea termen al progresiei.

Totul este la fel, doar că de data aceasta numitorul progresiei - iraţional. Rădăcina din doi. Ei bine, nu e mare lucru. Formula este un lucru universal, face față oricăror numere.

Lucrăm direct după formula:

Formula, desigur, a funcționat așa cum ar trebui, dar... aici se vor agăța unii. Ce să faci în continuare cu rădăcina? Cum să ridici o rădăcină la puterea a douăsprezecea?

Cum-cum... Trebuie să înțelegeți că orice formulă, desigur, este un lucru bun, dar cunoștințele tuturor matematicii anterioare nu sunt anulate! Cum să crești? Da, amintiți-vă proprietățile gradelor! Să schimbăm rădăcina în grad fracționarşi - prin formula ridicării unei puteri la o putere.

Ca aceasta:

Răspuns: 192

Și toate lucrurile.)

Care este principala dificultate în aplicarea directă a formulei a n-a termen? Da! Principala dificultate este lucreaza cu diplome!Și anume, exponențiarea numerelor negative, fracțiilor, rădăcinilor și construcțiilor similare. Deci cei care au probleme cu asta, o cerere urgentă de a repeta gradele și proprietățile lor! În caz contrar, vei încetini în acest subiect, da...)

Acum să rezolvăm problemele tipice de căutare unul dintre elementele formulei dacă toate celelalte sunt date. Pentru rezolvarea cu succes a unor astfel de probleme, rețeta este unică și simplă de groază - scrie formulanal-lea membru în vedere generala! Chiar în caiet de lângă stare. Și apoi, din condiție, ne dăm seama ce ne este dat și ce nu este suficient. Și exprimăm valoarea dorită din formulă. Tot!

De exemplu, o astfel de problemă inofensivă.

Al cincilea termen al unei progresii geometrice cu numitorul 3 este 567. Aflați primul termen al acestei progresii.

Nimic complicat. Lucrăm direct după vrajă.

Scriem formula celui de-al n-lea termen!

b n = b 1 · q n -1

Ce ne este dat? În primul rând, numitorul progresiei este dat: q = 3.

În plus, ni se dă al cincilea termen: b 5 = 567 .

Tot? Nu! Ni se dă și numărul n! Acesta este un cinci: n = 5.

Sper că ați înțeles deja ce este în înregistrare b 5 = 567 doi parametri sunt ascunși simultan - acesta este al cincilea membru în sine (567) și numărul său (5). Într-o lecție similară despre asta am vorbit deja despre asta, dar cred că nu este de prisos să reamintesc aici.)

Acum înlocuim datele noastre în formula:

567 = b 1 3 5-1

Considerăm aritmetica, simplificăm și obținem o ecuație liniară simplă:

81 b 1 = 567

Rezolvăm și obținem:

b 1 = 7

După cum puteți vedea, nu există probleme cu găsirea primului membru. Dar când se caută numitorul q si numere n pot exista surprize. Și, de asemenea, trebuie să fii pregătit pentru ele (surprize), da.)

De exemplu, o astfel de problemă:

Al cincilea termen al unei progresii geometrice cu numitor pozitiv este 162, iar primul termen al acestei progresii este 2. Aflați numitorul progresiei.

De data aceasta ni se oferă primul și al cincilea membru și ni se cere să găsim numitorul progresiei. Aici începem.

Scriem formulanal-lea membru!

b n = b 1 · q n -1

Datele noastre inițiale vor fi următoarele:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Nu este suficientă valoare q. Nici o problema! Să-l găsim acum.) Înlocuim tot ceea ce știm în formulă.

Primim:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

O ecuație simplă de gradul al patrulea. Dar acum - cu grija!În această etapă a soluției, mulți studenți extrag imediat cu bucurie rădăcina (de gradul al patrulea) și obțin răspunsul q=3 .

Ca aceasta:

q4 = 81

q = 3

Dar, în general, acesta este un răspuns neterminat. Sau mai bine zis, incomplet. De ce? Ideea este că răspunsul q = -3 se potrivește și: (-3) 4 ar fi și 81!

Acest lucru se datorează faptului că ecuația puterii x n = Aîntotdeauna are două rădăcini opuse la chiarn . Plus și minus:

Ambele se potrivesc.

De exemplu, rezolvarea (de ex. al doilea grade)

x2 = 9

Din anumite motive nu ești surprins să vezi Două rădăcini x=±3? Este la fel și aici. Și cu oricare altul chiar gradul (al patrulea, al șaselea, al zecelea etc.) va fi același. Detalii - în subiectul despre

Deci soluția corectă ar fi:

q 4 = 81

q= ±3

Bine, avem semnele descoperite. Care dintre ele este corectă - plus sau minus? Ei bine, citim din nou starea problemei în căutarea Informații suplimentare. Desigur, poate să nu existe, dar în această problemă o astfel de informație disponibil.În starea noastră, se afirmă direct că se dă o progresie cu numitor pozitiv.

Deci raspunsul este evident:

q = 3

Totul este simplu aici. Ce credeți că s-ar întâmpla dacă afirmația problemei ar fi așa:

Al cincilea termen al unei progresii geometrice este 162, iar primul termen al acestei progresii este 2. Aflați numitorul progresiei.

Care este diferența? Da! In stare nimic nicio mențiune a numitorului. Nici direct, nici indirect. Și aici problema ar avea deja doua solutii!

q = 3 și q = -3

Da Da! Și cu plus și minus.) Matematic, acest fapt ar însemna că există două progresii care se potrivesc sarcinii. Și pentru fiecare - propriul său numitor. Pentru distracție, exersați și notați primii cinci termeni ai fiecăruia.)

Acum să exersăm să găsim numărul de membru. Acesta este cel mai greu, da. Dar și mai creativ.

Având în vedere o progresie geometrică:

3; 6; 12; 24; …

Ce număr este 768 în această progresie?

Primul pas este același: scrie formulanal-lea membru!

b n = b 1 · q n -1

Și acum, ca de obicei, substituim datele pe care le cunoaștem în el. Hm... nu se potrivește! Unde este primul membru, unde este numitorul, unde este totul?!

Unde, unde... De ce avem nevoie de ochi? Plecarea genelor? De data aceasta progresia ne este dată direct în formular secvente. Putem vedea primul termen? V-om vedea! Acesta este un triplu (b 1 = 3). Dar numitorul? Nu-l vedem încă, dar este foarte ușor de numărat. Dacă, desigur, înțelegi.

Aici luăm în considerare. Direct după semnificația unei progresii geometrice: luăm oricare dintre membrii acesteia (cu excepția primului) și împărțim la cel precedent.

Cel putin asa:

q = 24/12 = 2

Ce mai știm? Cunoaștem și un membru al acestei progresii, egal cu 768. Sub un număr n:

b n = 768

Nu-i știm numărul, dar sarcina noastră este tocmai să-l găsim.) Așa că căutăm. Am descărcat deja toate datele necesare pentru înlocuire în formulă. Pe nesimţite.)

Aici înlocuim:

768 = 3 2n -1

Facem cele elementare - împărțim ambele părți la trei și rescriem ecuația în forma obișnuită: necunoscutul în stânga, cunoscutul în dreapta.

Primim:

2 n -1 = 256

Iată o ecuație interesantă. Trebuie să găsim „n”. Ce este neobișnuit? Da, nu mă cert. De fapt, este cel mai simplu. Se numește așa pentru că necunoscutul (în acest caz acest număr n) stă înăuntru indicator grad.

La etapa de cunoaștere a unei progresii geometrice (aceasta este clasa a IX-a), ecuațiile exponențiale nu sunt învățate să rezolve, da ... Acesta este un subiect pentru liceu. Dar nu este nimic groaznic. Chiar dacă nu știți cum se rezolvă astfel de ecuații, să încercăm să ne găsim n ghidat de simplă logică și bun simț.

Începem să discutăm. În stânga avem un deuce într-o oarecare măsură. Nu știm încă ce este exact acest grad, dar nu este înfricoșător. Dar, pe de altă parte, știm cu siguranță că acest grad este egal cu 256! Așa că ne amintim în ce măsură zeul ne dă 256. Îți amintești? Da! V Al optulea grade!

256 = 2 8

Dacă nu ți-ai amintit sau cu recunoașterea gradelor problemei, atunci este de asemenea în regulă: le ridicăm succesiv pe cele două la pătrat, la cub, la a patra putere, a cincea și așa mai departe. Selecția, de fapt, dar la acest nivel, este destul de o plimbare.

Într-un fel sau altul, vom obține:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Deci 768 este nouălea membru al progresiei noastre. Asta e, problema rezolvată.)

Raspuns: 9

Ce? Plictisitor? Te-ai săturat de elementar? Sunt de acord. Și eu. Să trecem la următorul nivel.)

Sarcini mai complexe.

Și acum rezolvăm puzzle-urile mai brusc. Nu tocmai super-cool, dar la care trebuie să lucrezi puțin pentru a ajunge la răspuns.

De exemplu, așa.

Găsiți al doilea termen al unei progresii geometrice dacă al patrulea termen este -24 și al șaptelea termen este 192.

Acesta este un clasic al genului. Sunt cunoscuți doi membri diferiți ai progresiei, dar trebuie găsit încă un membru. Mai mult, toți membrii NU sunt vecini. Ce derutează la început, da...

Ca și în , luăm în considerare două metode pentru rezolvarea unor astfel de probleme. Prima cale este universală. Algebric. Funcționează perfect cu orice sursă de date. Deci de aici vom începe.)

Pictăm fiecare termen după formula nal-lea membru!

Totul este exact la fel ca în cazul unei progresii aritmetice. Doar că de data aceasta lucrăm un alt formula generala. Asta-i tot.) Dar esența este aceeași: luăm și la rândul său substituim datele noastre inițiale în formula celui de-al n-lea termen. Pentru fiecare membru - al lor.

Pentru al patrulea termen scriem:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Există. O ecuație este completă.

Pentru al șaptelea termen scriem:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

În total, s-au obținut două ecuații pentru aceeasi progresie .

Asamblam un sistem din ele:

În ciuda aspectului său formidabil, sistemul este destul de simplu. Cea mai evidentă modalitate de a rezolva este înlocuirea obișnuită. Ne exprimăm b 1 din ecuația superioară și înlocuiți în ecuația inferioară:

Un pic de joc cu ecuația inferioară (reducerea exponenților și împărțirea la -24) rezultă:

q 3 = -8

Apropo, la aceeași ecuație se poate ajunge într-un mod mai simplu! Ce? Acum vă voi arăta un alt mod secret, dar foarte frumos, puternic și util de a rezolva astfel de sisteme. Astfel de sisteme, în ecuațiile cărora se află doar functioneaza. Cel puțin într-una. numit metoda diviziunii pe termeni o ecuație la alta.

Deci avem un sistem:

În ambele ecuații din stânga - muncă, iar în dreapta este doar un număr. Acesta este un semn foarte bun.) Să luăm și să... împărțim, să zicem, ecuația inferioară la cea superioară! Ce înseamnă, împărți o ecuație la alta? Foarte simplu. Luăm partea stanga o ecuație (inferioară) și ne împărțim ea pe partea stanga o altă ecuație (superioară). Partea dreaptă este asemănătoare: partea dreapta o singură ecuație ne împărțim pe partea dreapta un alt.

Întregul proces de divizare arată astfel:

Acum, reducând tot ceea ce este redus, obținem:

q 3 = -8

Ce este bun la această metodă? Da, pentru că în procesul unei astfel de împărțiri, totul rău și incomod poate fi redus în siguranță și rămâne o ecuație complet inofensivă! De aceea este atât de important să ai numai înmulțiriîn cel puţin una dintre ecuaţiile sistemului. Nu există înmulțire - nu există nimic de redus, da...

În general, această metodă (ca multe alte moduri non-triviale de rezolvare a sistemelor) chiar merită o lecție separată. Cu siguranță o să mă uit mai atent la el. Într-o zi…

Cu toate acestea, indiferent cum rezolvați sistemul, în orice caz, acum trebuie să rezolvăm ecuația rezultată:

q 3 = -8

Nicio problemă: extragem rădăcina (cubică) și - gata!

Vă rugăm să rețineți că nu este necesar să puneți plus/minus aici atunci când extrageți. Avem o rădăcină de grad impar (al treilea). Și răspunsul este același, da.

Deci, se găsește numitorul progresiei. Minus doi. Amenda! Procesul este în curs.)

Pentru primul termen (să zicem din ecuația de sus) obținem:

Amenda! Cunoaștem primul termen, cunoaștem numitorul. Și acum avem ocazia să găsim orice membru al progresiei. Inclusiv al doilea.)

Pentru al doilea membru, totul este destul de simplu:

b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6

Răspuns: -6

Deci, am rezolvat modul algebric de rezolvare a problemei. Greu? Nu mult, sunt de acord. Lung și plictisitor? Da cu siguranta. Dar uneori puteți reduce semnificativ cantitatea de muncă. Pentru asta există mod grafic. Bine vechi și familiar pentru noi de .)

Să desenăm problema!

Da! Exact. Din nou, ne descriem progresia pe axa numerelor. Nu neapărat de către o riglă, nu este necesar să se mențină intervale egale între membri (care, de altfel, nu vor fi aceleași, pentru că progresia este geometrică!), Ci pur și simplu schematic desenează succesiunea noastră.

am prins asa:

Acum uită-te la imagine și gândește-te. Câți factori egali „q” împărtășesc Al patruleași al șaptelea membrii? Așa este, trei!

Prin urmare, avem tot dreptul să scriem:

-24q 3 = 192

De aici este acum ușor să găsiți q:

q 3 = -8

q = -2

Asta e grozav, numitorul este deja în buzunarul nostru. Și acum ne uităm din nou la imagine: câți astfel de numitori stau între al doileași Al patrulea membrii? Două! Prin urmare, pentru a înregistra relația dintre acești membri, vom ridica numitorul pătrat.

Aici scriem:

b 2 · q 2 = -24 , Unde b 2 = -24/ q 2

Înlocuim numitorul nostru găsit în expresia pentru b 2 , numărăm și obținem:

Răspuns: -6

După cum puteți vedea, totul este mult mai simplu și mai rapid decât prin intermediul sistemului. Mai mult, aici nu a fost deloc nevoie să numărăm primul termen! Deloc.)

Iată o lumină atât de simplă și vizuală. Dar are și un dezavantaj serios. Ghicit? Da! Este bun doar pentru piese foarte scurte de progres. Cele la care distanțele dintre membrii care ne interesează nu sunt foarte mari. Dar în toate celelalte cazuri este deja dificil să desenezi o imagine, da... Atunci rezolvăm problema analitic, printr-un sistem.) Și sistemele sunt un lucru universal. Faceți față cu orice număr.

Inca una epica:

Al doilea termen al progresiei geometrice este cu 10 mai mult decât primul, iar al treilea termen este cu 30 mai mult decât al doilea. Găsiți numitorul progresiei.

Ce e tare? Deloc! Tot la fel. Traducem din nou condiția problemei în algebră pură.

1) Pictăm fiecare termen după formula nal-lea membru!

Al doilea termen: b 2 = b 1 q

Al treilea termen: b 3 \u003d b 1 q 2

2) Notăm relația dintre membri din starea problemei.

Citirea condiției: „Al doilea termen al unei progresii geometrice este cu 10 mai mult decât primul.” Opreste-te, asta e valoros!

Deci scriem:

b 2 = b 1 +10

Și traducem această frază în matematică pură:

b 3 = b 2 +30

Avem două ecuații. Le combinăm într-un sistem:

Sistemul pare simplu. Dar există o mulțime de indici diferiți pentru litere. Să înlocuim în loc de al doilea și al treilea membru al expresiei lor prin primul membru și numitor! Degeaba, sau ce, le-am pictat?

Primim:

Dar un astfel de sistem nu mai este un cadou, da... Cum să rezolvi asta? Din păcate, vraja secretă universală pentru a rezolva complex neliniară Nu există sisteme în matematică și nu pot exista. E fantastic! Dar primul lucru care ar trebui să-ți vină în minte atunci când încerci să spargi o nucă atât de dură este să-ți dai seama Dar nu se reduce una dintre ecuațiile sistemului la o formă frumoasă, ceea ce face ușor, de exemplu, exprimarea uneia dintre variabile în termenii alteia?

Să ghicim. Prima ecuație a sistemului este explicit mai usor decat al doilea. Îl vom tortura.) De ce să nu încerci din prima ecuație ceva exprima prin ceva? Din moment ce vrem să găsim numitorul q, atunci cel mai avantajos ar fi pentru noi să ne exprimăm b 1 peste q.

Deci, să încercăm să facem această procedură cu prima ecuație, folosind cele vechi bune:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b 1 (q-1) = 10

Tot! Aici ne-am exprimat inutil us variabila (b 1) prin necesar(q). Da, nu cea mai simplă expresie primită. Un fel de fracțiune... Dar sistemul nostru este la un nivel decent, da.)

Tipic. Ce să facem - știm.

Scriem ODZ (neapărat!) :

q ≠ 1

Înmulțim totul cu numitorul (q-1) și reducem toate fracțiile:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Împărțim totul la zece, deschidem parantezele, colectăm totul din stânga:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Rezolvăm rezultatul și obținem două rădăcini:

q 1 = 1

q 2 = 3

Există un singur răspuns final: q = 3 .

Raspuns: 3

După cum puteți vedea, modalitatea de a rezolva majoritatea problemelor pentru formula celui de-al n-lea membru al unei progresii geometrice este întotdeauna aceeași: citim cu grija condiția problemei și folosind formula celui de-al n-lea termen traducem întregul Informatii utileîn algebră pură.

Și anume:

1) Scriem separat fiecare membru dat în problemă după formulanal-lea membru.

2) Din condiția problemei, traducem legătura dintre membri într-o formă matematică. Compunem o ecuație sau un sistem de ecuații.

3) Rezolvăm ecuația rezultată sau sistemul de ecuații, găsim parametrii necunoscuți ai progresiei.

4) În cazul unui răspuns ambiguu, citim cu atenție starea problemei în căutarea unor informații suplimentare (dacă există). Verificăm și răspunsul primit cu condițiile ODZ (dacă există).

Și acum enumeram principalele probleme care conduc cel mai adesea la erori în procesul de rezolvare a problemelor de progresie geometrică.

1. Aritmetică elementară. Operații cu fracții și numere negative.

2. Dacă cel puțin unul dintre aceste trei puncte este o problemă, atunci inevitabil te vei înșela în acest subiect. Din pacate... Așa că nu fi leneș și repetă cele menționate mai sus. Și urmați linkurile - mergeți. Uneori ajută.)

Formule modificate și recurente.

Și acum să ne uităm la câteva probleme tipice de examen cu o prezentare mai puțin familiară a afecțiunii. Da, da, ai ghicit! Acest modificatși recurent formule ale celui de-al n-lea membru. Am întâlnit deja astfel de formule și am lucrat în progresie aritmetică. Totul este similar aici. Esența este aceeași.

De exemplu, o astfel de problemă de la OGE:

Progresia geometrică este dată de formula b n = 3 2 n . Aflați suma primului și al patrulea termen.

De data aceasta, progresia ne este dată nu chiar ca de obicei. Un fel de formulă. Și ce dacă? Această formulă este de asemenea o formulănal-lea membru!Știm cu toții că formula celui de-al n-lea termen poate fi scrisă atât în formă generală, prin litere, cât și pentru progresie specifică. CU specific primul termen și numitor.

În cazul nostru, ni se oferă, de fapt, o formulă generală a termenului pentru o progresie geometrică cu următorii parametri:

b 1 = 6

q = 2

Să verificăm?) Să scriem formula celui de-al n-lea termen în formă generală și să o substituim b 1 și q. Primim:

b n = b 1 · q n -1

b n= 6 2n -1

Simplificam, folosind factorizarea si proprietatile puterii si obtinem:

b n= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

După cum puteți vedea, totul este corect. Dar scopul nostru cu tine nu este să demonstrăm derivarea unei formule specifice. Așa este, o digresiune lirică. Pur pentru înțelegere.) Scopul nostru este să rezolvăm problema după formula care ne este dată în stare. Îl prinzi?) Deci lucrăm direct cu formula modificată.

Numărăm primul termen. Substitui n=1 în formula generală:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Ca aceasta. Apropo, nu sunt prea leneș și vă voi atrage încă o dată atenția asupra unei gafe tipice cu calculul primului termen. NU te uita la formula b n= 3 2n, grabiti-va imediat sa scrieti ca primul membru este o troica! E o mare greșeală, da...)

Noi continuăm. Substitui n=4 și luați în considerare al patrulea termen:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Și în final, calculăm suma necesară:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Raspuns: 54

Altă problema.

Progresia geometrica este data de conditiile:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Găsiți al patrulea termen al progresiei.

Aici progresia este dată de formula recurentă. Ei bine, bine.) Cum se lucrează cu această formulă - știm și noi.

Aici acționăm. Pas cu pas.

1) numărând doi succesiv membru al progresiei.

Primul termen ne este deja dat. Minus șapte. Dar următorul, al doilea termen, poate fi calculat cu ușurință folosind formula recursivă. Dacă înțelegeți cum funcționează, desigur.)

Aici luăm în considerare al doilea termen conform celebrului primul:

b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21

2) Considerăm numitorul progresiei

De asemenea, nicio problemă. Drept, împărtășește al doilea dick on primul.

Primim:

q = -21/(-7) = 3

3) Scrieți formulanal-lea membru în forma obișnuită și luați în considerare membrul dorit.

Deci, cunoaștem primul termen, și numitorul. Aici scriem:

b n= -7 3n -1

b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

Răspuns: -189

După cum puteți vedea, lucrul cu astfel de formule pentru o progresie geometrică nu este în esență diferit de cel pentru o progresie aritmetică. Este important doar să înțelegi bun simțși sensul acestor formule. Ei bine, trebuie înțeles și semnificația progresiei geometrice, da.) Și atunci nu vor fi greșeli stupide.

Ei bine, hai să decidem singuri?)

Sarcini destul de elementare, pentru încălzire:

1. Având în vedere o progresie geometrică în care b 1 = 243 și q = -2/3. Găsiți al șaselea termen al progresiei.

2. Termenul comun al unei progresii geometrice este dat de formula b n = 5∙2 n +1 . Găsiți numărul ultimului membru format din trei cifre din această progresie.

3. Progresia geometrică este dată de condițiile:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Găsiți al cincilea termen al progresiei.

Puțin mai complicat:

4. Având în vedere o progresie geometrică:

b 1 =2048; q =-0,5

Care este al șaselea termen negativ al acestuia?

Ce pare super dificil? Deloc. Logica și înțelegerea semnificației progresiei geometrice vor economisi. Ei bine, formula celui de-al n-lea termen, desigur.

5. Al treilea termen al progresiei geometrice este -14 iar al optulea termen este 112. Aflați numitorul progresiei.

6. Suma primului și celui de-al doilea termen al unei progresii geometrice este 75, iar suma celui de-al doilea și al treilea termen este 150. Aflați al șaselea termen al progresiei.

Răspunsuri (în dezordine): 6; -3888; -unu; 800; -32; 448.

Asta e aproape tot. Rămâne doar să înveți cum să numere suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice da descoperi progresie geometrică infinit descrescătoare si cuantumul acesteia. Un lucru foarte interesant și neobișnuit, de altfel! Mai multe despre asta în lecțiile ulterioare.)

Progresie geometrică nu mai puţin important în matematică decât în aritmetică. O progresie geometrică este o astfel de succesiune de numere b1, b2,..., b[n] fiecare membru al cărui următor este obținut prin înmulțirea celui precedent cu un număr constant. Acest număr, care caracterizează și rata de creștere sau scădere a progresiei, se numește numitorul unei progresii geometrice si denota

Pentru o atribuire completă a unei progresii geometrice, pe lângă numitor, este necesară cunoașterea sau determinarea primului termen al acesteia. Pentru o valoare pozitivă a numitorului, progresia este o succesiune monotonă, iar dacă această succesiune de numere este monoton descrescătoare și monoton crescândă când. Cazul în care numitorul este egal cu unu nu este luat în considerare în practică, deoarece avem o succesiune de numere identice, iar însumarea lor nu prezintă interes practic.

Termen general al unei progresii geometrice calculate după formula

Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice determinat de formula

Să luăm în considerare soluțiile problemelor clasice de progresie geometrică. Să începem cu cel mai simplu de înțeles.

Exemplul 1. Primul termen al unei progresii geometrice este 27, iar numitorul său este 1/3. Găsiți primii șase termeni ai unei progresii geometrice.

Rezolvare: Scriem starea problemei în formular

Pentru calcule, folosim formula pentru al n-lea membru al unei progresii geometrice

Pe baza acestuia, găsim membri necunoscuți ai progresiei

După cum puteți vedea, calcularea termenilor unei progresii geometrice nu este dificilă. Progresia în sine va arăta astfel

Exemplul 2. Se dau primii trei membri ai unei progresii geometrice: 6; -12; 24. Aflați numitorul și al șaptelea termen.

Rezolvare: Calculăm numitorul progresiei geometrice pe baza definiției acesteia

Avem o progresie geometrică alternativă al cărei numitor este -2. Al șaptelea termen se calculează prin formula

Pe această sarcină este rezolvată.

Exemplul 3. O progresie geometrică este dată de doi dintre membrii săi . Găsiți al zecelea termen al progresiei.

Soluţie:

Să scriem valorile date prin formule

Conform regulilor, ar fi necesar să găsim numitorul și apoi să căutăm valoarea dorită, dar pentru al zecelea termen avem

Aceeași formulă poate fi obținută pe baza unor manipulări simple cu datele de intrare. Împărțim al șaselea termen al seriei la altul, ca rezultat obținem