Harmonická linearizácia nelineárnych prvkov. Táto metóda sa používa na štúdium nelineárnych systémov s lineárnou časťou nad tretím rádom. Vo väčšine systémov je prechodným procesom tlmená oscilácia, preto sa na vstupe nelineárneho prvku cez hlavnú spätnú väzbu (GOF) prenáša periodický signál s pomaly sa meniacou amplitúdou a v prítomnosti vstupného signálu pozdĺž s konštantnou zložkou.
Budeme predpokladať, že na vstupe nelineárneho prvku za určitý malý počiatočný časový úsek sa amplitúda a frekvencia nezmenia, alebo zodpovedajú amplitúde a frekvencii vlastných kmitov systému. Na výstupe NE získame periodickú funkciu, ktorú možno rozšíriť do Fourierovho radu. Pri štúdiu nelineárnych systémov sa najčastejšie používa iba prvá harmonická zložka, od r vo väčšine prípadov je lineárna časť systému dolnopriepustný filter. Ale aby sme to preverili a použiteľnosť tejto metódy výskumu, je potrebné určiť frekvenciu vlastných kmitov v systéme, pomocou ktorej sa v budúcnosti určí schopnosť lineárnej časti odfiltrovať vyššie harmonické. Na tento účel vytvorte frekvenčnú odozvu lineárnej časti (LP).
Nech je LP systému dolnopriepustný filter a budeme predpokladať, že oscilácie na vstupe nelineárneho prvku NE sú sínusové, potom výstupný signál NE je:
kde A to a VK sú koeficienty Fourierovho rozšírenia nelineárnej funkcie:
Ak je nelineárna charakteristika symetrická a neutrálna, potom koeficient expanzie Fourierovho radu VK=0 a v expanzii nie sú žiadne párne harmonické:
Pomocou týchto vzťahov vyjadrujeme hodnotu sínusu a kosínusu v zmysle vstupného signálu
Dosadíme tieto vzťahy do rovnice pre výstup NE a vezmeme do úvahy iba prvú harmonickú.
Túto rovnicu napíšeme vo forme operátora:
Koeficient A 0 - amplitúda vlastných oscilácií; q je koeficient harmonickej linearizácie vzhľadom na sínusovú zložku, závisí od amplitúdy signálu na NE vstupe; b 1 je koeficient harmonickej linearizácie vzhľadom na kosínusovú zložku; ω 0 je amplitúda vlastných oscilácií.
Pri absencii konštantnej zložky na vstupe NE získame rovnicu na opis správania NE:
Toto je rovnica NE harmonickej linearizácie.
Harmonicky linearizovaný NE môže byť reprezentovaný ako:
V tomto prípade môžeme odvodiť prenosovú funkciu pre NE:
pri absencii konštantnej zložky na vstupe.
Koeficient A 0 - amplitúda vlastných oscilácií;
q je koeficient harmonickej linearizácie vzhľadom na sínusovú zložku, závisí od amplitúdy signálu na NE vstupe;
b 1 je koeficient harmonickej linearizácie vzhľadom na kosínusovú zložku;
ω 0 je amplitúda vlastných oscilácií.
Lineárna časť systému je ovplyvnená výstupným signálom NE, ktorý obsahuje celé frekvenčné spektrum Fourierovej expanzie. Na základe princípu superpozície môžeme predpokladať, že každá harmonická pôsobí na lineárnu časť nezávisle od druhej. Preto možno na výstupe systému nastaviť periodické kmity, ktoré budú obsahovať celé spektrum frekvencií zodpovedajúce NE signálu, avšak amplitúda každej harmonickej bude určená prevodným koeficientom pravej strany pre uvažovanú harmonickú ( ).
Nahradením frekvenčnej odozvy lineárnej časti môžete nastaviť pomer zmien amplitúdy pre každú harmonickú a skontrolovať, či je lineárna časť LPF (či vyššie harmonické môžu byť vyradené).
Ak je nastavená frekvencia vlastných kmitov a sú známe koeficienty lineárnej linearizácie NE harmonickej, pričom sa berie do úvahy iba prvá harmonická, potom frekvencia (frekvencia prvej harmonickej). Ak potom môžete vyradiť vyššie harmonické a táto metóda je vhodná. Tie. je možné obmedziť sa na výpočet iba jednej harmonickej na výstupe NE. Potom pre nepárnu charakteristiku s jednou hodnotou bude mať NE:
Pre hysteréznu nepárnu charakteristiku:
V prvom prípade je NE ekvivalentné zotrvačnej väzbe s niektorými zvláštnosťami - koeficient úmernosti závisí od amplitúdy alebo frekvencie signálu na vstupe NE.
V prípade hysteretickej nelinearity je spojenie ekvivalentné zosilňovaciemu odkazu. Zvláštnosť tejto metódy linearizácie umožňuje použiť frekvenčné metódy lineárnej teórie na analýzu nelineárneho systému.
Ministerstvo školstva a vedy Ruskej federácie
Štátna technická univerzita v Saratove
Inštitút inžinierstva, technológie a manažmentu v Balakove
Metóda harmonickej linearizácie
Pokyny pre laboratórnu prácu na predmete "Teória automatického riadenia" pre študentov špecializácie 210100
Schválené
redakčná a vydavateľská rada
Balakovský technologický inštitút,
technológie a manažment
Balakovo 2004
Cieľ práce: Štúdium nelineárnych systémov metódou harmonickej linearizácie (harmonická rovnováha), stanovenie koeficientov harmonickej linearizácie pre rôzne nelineárne väzby. Získanie zručností pri hľadaní parametrov symetrických oscilácií konštantnej amplitúdy a frekvencie (vlastné oscilácie), pomocou algebraických, frekvenčných metód, ako aj pomocou Michajlovovho kritéria.
ZÁKLADNÉ INFORMÁCIE
Metóda harmonickej linearizácie sa vzťahuje na približné metódy na štúdium nelineárnych systémov. Umožňuje pomerne jednoducho a s prijateľnou presnosťou posúdiť stabilitu nelineárnych systémov a určiť frekvenciu a amplitúdu kmitov vytvorených v systéme.
Predpokladá sa, že skúmaný nelineárny ACS môže byť reprezentovaný v nasledujúcej forme
navyše, nelineárna časť musí mať jednu nelinearitu
Táto nelinearita môže byť buď spojitá alebo reléová, jednoznačná alebo hysteretická.
Akákoľvek funkcia alebo signál môže byť rozšírený do série podľa systému lineárne nezávislých, v konkrétnom prípade ortonormálnych funkcií. Fourierov rad možno použiť ako taký ortogonálny rad.
Rozšírme výstupný signál nelineárnej časti systému do Fourierovho radu
,
(2)
tu sú Fourierove koeficienty,
,
,
.
(3)
Signál podľa (2) teda môže byť reprezentovaný ako nekonečný súčet harmonických s rastúcimi frekvenciami 
atď. Tento signál je vstupom do lineárnej časti nelineárneho systému.
Označme prenosovú funkciu lineárnej časti
,
(4)
a stupeň polynómu čitateľa musí byť menší ako stupeň polynómu menovateľa. V tomto prípade má frekvenčná odozva lineárnej časti tvar
kde 1 - nemá žiadne póly, 2 - má pól alebo póly.
Pre frekvenčnú odozvu je fér napísať
Lineárna časť nelineárneho systému je teda hornopriepustný filter. V tomto prípade bude lineárna časť prechádzať iba nízkymi frekvenciami bez útlmu, zatiaľ čo vysoké frekvencie budú výrazne utlmené so zvyšovaním frekvencie.
Metóda harmonickej linearizácie predpokladá, že lineárnou časťou systému bude prechádzať iba jednosmerná zložka signálu a prvá harmonická. Potom bude signál na výstupe lineárnej časti vyzerať
Tento signál prechádza celou uzavretou slučkou systému Obr.1 a na výstupe nelineárneho prvku bez zohľadnenia vyšších harmonických, podľa (2) máme
.
(7)
Pri štúdiu nelineárnych systémov metódou harmonickej linearizácie sú možné prípady symetrických a asymetrických kmitov. Zoberme si prípad symetrických oscilácií. Tu a.
Uvádzame nasledujúci zápis
Ich dosadením do (7) dostaneme . (osem)
Berúc do úvahy skutočnosť, že
.
(9)
Podľa (3) a (8) at
,
.
(10)
Výraz (9) je harmonická linearizácia nelinearity a vytvára lineárny vzťah medzi vstupnou premennou a výstupnou premennou pri . Veličiny a sa nazývajú koeficienty harmonickej linearizácie.
Je potrebné poznamenať, že rovnica (9) je lineárna pre konkrétne hodnoty a (amplitúdy a frekvencie harmonických kmitov v systéme). Ale vo všeobecnosti si zachováva nelineárne vlastnosti, pretože koeficienty sú rôzne pre rôzne a . Táto vlastnosť nám umožňuje skúmať vlastnosti nelineárnych systémov pomocou metódy harmonickej linearizácie [Popov E.P.].
V prípade asymetrických kmitov vedie harmonická linearizácia nelinearity k lineárnej rovnici
,
,
.
(12)
Rovnako ako rovnica (9), aj linearizovaná rovnica (11) si zachováva vlastnosti nelineárneho prvku, pretože koeficienty harmonickej linearizácie , ako aj konštantná zložka závisia od posunu aj amplitúdy harmonických kmitov .
Rovnice (9) a (11) umožňujú získať prenosové funkcie harmonicky linearizovaných nelineárnych prvkov. Teda pre symetrické vibrácie
,
(13)
pričom funkcia prenosu frekvencie
závisí len od amplitúdy a nezávisí od frekvencie kmitov v systéme.
Treba poznamenať, že ak je nepárna symetrická nelinearita jednohodnotová, potom v prípade symetrických oscilácií v súlade s (9) a (10) dostaneme, že (15)
(16)
a linearizovaná nelinearita má tvar
Pre nejednoznačné nelinearity (s hysteréziou) sa integrál vo výraze (16) nerovná nule, kvôli rozdielu v správaní krivky s rastúcim a klesajúcim , preto platí úplný výraz (9).
Nájdite koeficienty harmonickej linearizácie pre niektoré nelineárne charakteristiky. Nech má nelineárna charakteristika formu reléovej charakteristiky s hysterézou a mŕtvou zónou. Zvážte, ako harmonické kmity prechádzajú cez nelineárny prvok s takouto charakteristikou.
Keď je splnená podmienka, teda ak je amplitúda vstupného signálu menšia ako mŕtva zóna, potom na výstupe nelineárneho prvku nie je žiadny signál. Ak je amplitúda , potom relé spína v bodoch A, B, C a D. Označte a .
,
.
(18)
Pri výpočte koeficientov harmonickej linearizácie treba mať na pamäti, že pri symetrických nelineárnych charakteristikách sú integrály vo výrazoch (10) na polcykle (0, ) s následným zvýšením výsledku o faktor dva. . Teda
,
.
(19)
Pre nelineárny prvok s reléovou charakteristikou a mŕtvou zónou
,
Pre nelineárny prvok s reléovou charakteristikou s hysterézou
,
Harmonické linearizačné koeficienty pre iné nelineárne charakteristiky možno získať podobne.
Uvažujme dve metódy na určenie symetrických kmitov konštantnej amplitúdy a frekvencie (samooscilácie) a stability linearizovaných systémov: algebraické a frekvenčné. Najprv sa pozrime na algebraický spôsob. Pre uzavretý systém Obr.1 je prenosová funkcia lineárnej časti rovná
.
Napíšeme harmonicky linearizovanú prenosovú funkciu nelineárnej časti
.
Charakteristická rovnica uzavretého systému má tvar
.
(22)
Ak sa v skúmanom systéme vyskytnú samooscilácie, potom to naznačuje prítomnosť dvoch čisto imaginárnych koreňov v jeho charakteristickej rovnici. Preto do charakteristickej rovnice (22) dosadíme hodnotu odmocniny .
.
(23)
Predstavte si
Získame dve rovnice, ktoré určujú požadovanú amplitúdu a frekvenciu
,
.
(24)
Ak sú v riešení možné skutočné kladné hodnoty amplitúdy a frekvencie, potom sa v systéme môžu vyskytnúť samooscilácie. Ak amplitúda a frekvencia nemajú kladné hodnoty, potom sú samooscilácie v systéme nemožné.
Uvažujme o príklade 1. Nech má skúmaný nelineárny systém tvar
V tomto príklade je nelineárnym prvkom snímací prvok s reléovou charakteristikou, pre ktorú sú koeficienty harmonickej linearizácie
Pohon má prenosovú funkciu formy
Prenosová funkcia regulovaného objektu sa rovná
.
(27)
Prenosová funkcia lineárnej časti systému
,
(28)
Na základe (22), (25) a (28) napíšeme charakteristickú rovnicu uzavretého systému
,
(29)
,
Nechajte 1/s, sek, sek, c.
V tomto prípade sa parametre periodického pohybu rovnajú
7,071
,
Uvažujme o metóde na určenie parametrov vlastných oscilácií v linearizovanom ACS pomocou Michajlovovho kritéria. Metóda je založená na skutočnosti, že keď dôjde k samooscilácii, systém bude na hranici stability a Michajlov hodograf v tomto prípade prejde cez pôvod.
V príklade 2 nájdeme parametre vlastných oscilácií za podmienky, že nelineárny prvok v sústave Obr. 4 je citlivý prvok, ktorý má reléovú charakteristiku s hysteréziou, pre ktorú sú koeficienty harmonickej linearizácie
,
Lineárna časť zostala nezmenená.
Napíšeme charakteristickú rovnicu uzavretého systému
Michajlovský hodograf sa získa nahradením .
Úlohou je zvoliť takú amplitúdu kmitov, pri ktorej hodograf prechádza počiatkom súradníc. Je potrebné poznamenať, že v tomto prípade je aktuálna frekvencia , pretože v tomto prípade bude krivka prechádzať počiatkom.
Výpočty uskutočnené v MATHCAD 7 pri 1/s, sek, sek, in a in poskytli nasledujúce výsledky. Na obr.5 Michajlovov hodograf prechádza počiatkom. Na zlepšenie presnosti výpočtov zväčšíme požadovaný fragment grafu. Obrázok 6 znázorňuje fragment hodografu, zväčšený v blízkosti pôvodu. Krivka prechádza počiatkom súradníc v .
Obr.5. Obr.6.
V tomto prípade možno frekvenciu kmitov zistiť z podmienky, že modul sa rovná nule. Pre frekvencie
hodnoty modulu sú tabuľkové
Frekvencia kmitania je teda 6,38. Treba poznamenať, že presnosť výpočtov sa dá ľahko zvýšiť.
Výsledné periodické riešenie, určené hodnotou amplitúdy a frekvencie, sa musí skúmať na stabilitu. Ak je roztok stabilný, potom v systéme prebieha samooscilačný proces (stabilný limitný cyklus). V opačnom prípade bude limitný cyklus nestabilný.
Najjednoduchší spôsob, ako študovať stabilitu periodického riešenia, je použiť Michajlovovo kritérium stability v grafickej forme. Zistilo sa, že v , Michajlovova krivka prechádza počiatkom súradníc. Ak zadáte malý prírastok, krivka zaujme polohu nad nulou alebo pod. Takže v poslednom príklade zvýšte inkrementáciu, teda a . Poloha Michajlovových kriviek je znázornená na obr.7.
Pri , krivka prechádza nad nulu, čo indikuje stabilitu systému a tlmený prechodový proces. Keď Michajlovova krivka prechádza pod nulu, systém je nestabilný a prechodný jav je divergentný. Periodické riešenie s amplitúdou 6 a frekvenciou kmitov 6,38 je teda stabilné.
Na štúdium stability periodického riešenia možno použiť aj analytické kritérium získané z Michajlovovho grafického kritéria. V skutočnosti, aby sme zistili, či Michajlovova krivka pôjde nad nulu, stačí sa pozrieť, kam sa bude pohybovať bod Michajlovovej krivky, ktorý sa nachádza na začiatku súradníc.
Ak rozšírime posunutie tohto bodu pozdĺž súradnicových osí X a Y, potom pre stabilitu periodického riešenia je vektor určený priemetmi na súradnicové osi.
by sa mala nachádzať napravo od dotyčnice MN k Michajlovovej krivke pri pohľade pozdĺž krivky v smere nárastu, ktorého smer je určený projekciami
Napíšme podmienku analytickej stability v nasledujúcom tvare
V tomto výraze sa parciálne derivácie berú vzhľadom na aktuálny parameter Michajlovovej krivky
,
Je potrebné poznamenať, že analytické vyjadrenie kritéria stability (31) je platné len pre systémy nie vyššie ako štvrtého rádu, pretože napríklad pre systém piateho rádu na začiatku môže byť splnená podmienka (31), a systém bude nestabilný
Na štúdium stability periodického roztoku získaného v príklade 1 použijeme kritérium (31).
,
,
,
,
Účel metódy harmonickej linearizácie.
Myšlienka metódy harmonickej linearizácie bola navrhnutá v roku 1934. N. M. Krylov a N. N. Bogolyubov. Ako aplikovanú na automatické riadiace systémy, túto metódu vyvinuli L. S. Goldfarb a E. P. Popov. Ďalšie názvy pre túto metódu a jej modifikácie sú metóda harmonickej rovnováhy, metóda popisu funkcií, metóda ekvivalentnej linearizácie.
Metóda harmonickej linearizácie je metóda na štúdium vlastných oscilácií. Umožňuje určiť podmienky existencie a parametre možných vlastných oscilácií v nelineárnych systémoch.
Poznanie parametrov vlastných kmitov umožňuje podať obraz o možných procesoch v systéme a najmä určiť podmienky stability. Predpokladajme napríklad, že v dôsledku štúdia vlastných kmitov v nejakom nelineárnom systéme sme získali závislosť amplitúdy týchto vlastných kmitov ALE z prevodného koeficientu k lineárna časť systému, znázornená na obr. 12.1, a vieme, že vlastné oscilácie sú stabilné.
Z grafu vyplýva, že pri veľkej hodnote koeficientu prestupu k, kedy k>k cr, v systéme sú samooscilácie. Ich amplitúda klesá na nulu, keď sa koeficient prenosu znižuje k predtým k cr. Na obr. 12.1 šípky podmienene znázorňujú povahu prechodných procesov pri rôznych hodnotách k: o k>k kr prechodný proces spôsobený počiatočnou odchýlkou sa scvrkne na samooscilácie. Z obrázku je vidieť, že pri k< k cr, systém je stabilný. teda k kr je kritická hodnota koeficientu prenosu podľa podmienok stability. Jeho prebytok vedie k tomu, že počiatočný režim systému sa stáva nestabilným a dochádza v ňom k samoosciláciám. Znalosť podmienok existencie vlastných kmitov v systéme teda umožňuje určiť aj podmienky stability.
Myšlienka harmonickej linearizácie.
Uvažujme nelineárny systém, ktorého schéma je znázornená na obr. 12.2 a . Systém pozostáva z lineárnej časti s prenosovou funkciou W l ( s) a nelineárne prepojenie NL s konkrétnou špecifikáciou . Prepojenie s koeficientom - 1 ukazuje, že spätná väzba v systéme je negatívna. Veríme, že v systéme existujú vlastné oscilácie, ktorých amplitúdu a frekvenciu chceme nájsť. V posudzovanom režime vstupná hodnota X nelineárne prepojenie a výstup Y sú periodické funkcie času.
Metóda harmonickej linearizácie vychádza z predpokladu, že kmity na vstupe nelineárnej väzby sú sínusové, t.j. e. že
, (12.1)
kdeALE– amplitúda a je frekvencia týchto vlastných oscilácií a je možnou konštantnou zložkou vo všeobecnom prípade, keď sú vlastné oscilácie asymetrické.
Vlastné kmity v nelineárnych systémoch sú v skutočnosti vždy nesínusové v dôsledku skreslenia ich tvaru nelineárnym spojením. Preto tento počiatočný predpoklad znamená, že metóda harmonickej linearizácie je zásadne blízko a rozsah jeho aplikácie je obmedzený na prípady, keď sú vlastné oscilácie na vstupe nelineárneho spojenia dostatočne blízke sínusoide. Aby sa tak stalo, lineárna časť systému nesmie prejsť cez vyššie harmonické kmity vlastných kmitov, t.j. dolnopriepustný filter. To posledné je znázornené na obr. 12,2, b . Ak je napríklad frekvencia vlastných oscilácií , potom lineárna časť c znázornená na obr. 12.2, b Frekvenčná odozva bude hrať úlohu dolnopriepustného filtra pre tieto oscilácie, keďže druhá harmonická, ktorej frekvencia sa rovná 2, prakticky neprejde na vstup nelineárneho spoja. Preto je v tomto prípade použiteľná metóda harmonickej linearizácie.
Ak sa frekvencia vlastných kmitov rovná , lineárna časť bude voľne prechádzať cez druhú, tretiu a ďalšie harmonické kmity. V tomto prípade nemožno tvrdiť, že kmity na vstupe nelineárnej väzby budú dostatočne blízke sínusoide, t.j. nie je splnený predpoklad pre aplikáciu metódy harmonickej linearizácie.
Aby bolo možné určiť, či lineárna časť systému je dolnopriepustný filter, a tým určiť použiteľnosť metódy harmonickej linearizácie, je potrebné poznať frekvenciu vlastných oscilácií. Dá sa to však poznať len ako výsledok použitia tejto metódy. teda použiteľnosť metódy harmonickej linearizácie musí byť určená už na konci štúdie ako test.
Upozorňujeme, že ak sa v dôsledku tohto overenia nepotvrdí hypotéza, že lineárna časť systému hrá úlohu dolnopriepustného filtra, neznamená to, že získané výsledky sú nesprávne, aj keď, samozrejme, spochybňuje ich a vyžaduje dodatočné overenie niektorými inou metódou.
Takže za predpokladu, že lineárna časť systému je dolnopriepustný filter, predpokladáme, že vlastné oscilácie na vstupe nelineárneho spojenia sú sínusové, t.j. majú tvar (12.1). V tomto prípade budú oscilácie na výstupe tohto spoja už nesínusové v dôsledku ich skreslenia nelinearitou. Ako príklad na obr. 12.3 je na výstupe nelineárneho spoja vykreslená krivka pre určitú amplitúdu vstupného čisto sínusového signálu podľa charakteristiky spoja uvedenej na tom istom mieste.
Obr.12.3. Prechod harmonického kmitania cez nelineárne spojenie.
Keďže sa však domnievame, že lineárna časť systému prechádza iba základnou harmonickou vlastných oscilácií, má zmysel zaujímať sa iba o túto harmonickú na výstupe nelineárneho spojenia. Preto rozšírime výstupné oscilácie vo Fourierovom rade a zahodíme vyššie harmonické. V dôsledku toho dostaneme:
;
; (12.3)
;
.
Prepíšme výraz (12.2) do vhodnejšej formy pre ďalšie použitie, pričom doň nahradíme nasledujúce výrazy za a získané z (12.1):
Nahradením týchto výrazov do (12.2) dostaneme:
(12.4)
. (12.5)
Tu sú zápisy:
. (12.6)
Diferenciálna rovnica (12.5) platí pre sínusový vstupný signál (12.1) a určuje výstupný signál nelineárneho spojenia bez zohľadnenia vyšších harmonických.
Koeficienty v súlade s výrazmi (12.3) pre Fourierove koeficienty sú funkciami konštantnej zložky , amplitúdy ALE a frekvenciu vlastných oscilácií na vstupe nelineárneho spojenia. Pri pevnom ALE a rovnica (12.5) je lineárna. Ak sa teda vyradia vyššie harmonické, potom pre pevný harmonický signál môže byť pôvodné nelineárne spojenie nahradené ekvivalentným lineárnym opísaným rovnicou (12.5). Táto náhrada je tzv harmonická linearizácia .
Na obr. 12.4 je schematicky znázornená schéma tohto spoja, pozostávajúceho z dvoch paralelných článkov.
Ryža. 12.4. Ekvivalentné lineárne spojenie vyplývajúce z harmonickej linearizácie.
Jedna väzba () prechádza konštantnou zložkou a druhá iba sínusovou zložkou vlastných oscilácií.
Koeficienty sa nazývajú koeficienty harmonickej linearizácie alebo harmonické zisky: - koeficient prenosu konštantnej zložky a - dva koeficienty prenosu sínusovej zložky vlastných kmitov. Tieto koeficienty sú určené nelinearitou a hodnotami a vzorcami (12.3). Existujú hotové výrazy definované týmito vzorcami pre množstvo typických nelineárnych odkazov. Pre tieto a vo všeobecnosti pre všetky inerciálne nelineárne väzby veličiny nezávisia od amplitúdy a sú iba funkciami ALE a .
Keď je na vstup lineárneho systému privedený harmonický signál
na výstupe systému je nastavený aj harmonický signál, ale s inou amplitúdou a fázovo posunutý vzhľadom na vstup. Ak je na vstup nelineárneho prvku privedený sínusový signál, na jeho výstupe sa vytvárajú periodické oscilácie, ktoré sa však vo forme výrazne líšia od sínusových. Ako príklad na obr. 8.17 ukazuje charakter zmeny výstupnej premennej nelineárneho prvku s reléovou charakteristikou (8.14), keď na jeho vstup vstupujú sínusové kmity (8.18).
Rozšírením periodického signálu na výstupe nelineárneho prvku do Fourierovho radu ho predstavujeme ako súčet konštantnej zložky a nekonečnej množiny harmonických zložiek:
,
(8.19)
kde –
konštantné koeficienty Fourierovho radu; – frekvencia kmitov prvej harmonickej (základná frekvencia), rovná frekvencii vstupných sínusových kmitov; T - perióda kmitania prvej harmonickej, rovná perióde vstupných sínusových kmitov.
Výstupný signál nelineárneho prvku sa privádza na vstup lineárnej časti ACS (pozri obr. 8.1), ktorý má spravidla značnú zotrvačnosť. V tomto prípade vysokofrekvenčné zložky signálu (8.19) prakticky neprechádzajú na výstup systému, t.j. lineárna časť je filter vo vzťahu k vysokofrekvenčným harmonickým zložkám. V tomto ohľade a tiež vzhľadom na to, že amplitúdy harmonických zložiek klesajú so zvyšujúcou sa harmonickou frekvenciou, pre približný odhad výstupnej hodnoty nelineárneho prvku vo veľkom počte prípadov stačí vziať do úvahy iba prvá harmonická zložka v .
Preto pri absencii konštantnej zložky vo výstupných osciláciách možno výraz (8.19) približne zapísať ako:
Vyjadrenie zo vzorca (8.20) funkcie , a z derivácie 
- funkcia 
, transformujeme výraz (8.20) takto:
.
(8.21)
Nelineárna závislosť výstupnej hodnoty od vstupnej hodnoty v nelineárnom prvku je teda približne nahradená lineárnou závislosťou opísanou výrazom (8.21).
Po vykonaní Laplaceovej transformácie vo výraze (8.21) dostaneme:
Pokiaľ ide o nepretržité odkazy, uvádzame do úvahy prenosová funkcia nelineárneho harmonicky linearizovaného prvku , ako pomer obrazu výstupnej veličiny k obrazu vstupnej veličiny:
.
(8.22)
Tabuľka 8.1
Koeficienty harmonickej linearizácie typických nelinearit
|
Statická charakteristika nelineárneho prvku | ||
|
Lineárna odozva s pásmom necitlivosti |
| |
|
Lineárna charakteristika s obmedzením |
| |
|
Lineárna odozva s mŕtvym pásmom a orezaním |
| |
|
Charakteristická "odpor" |
| |
|
Ideálna reléová charakteristika | ||
|
Jednoznačná reléová charakteristika s pásmom necitlivosti |
| |
|
Nejednoznačná odozva relé s pásmom necitlivosti |
|
|
|
Kubická parabola: | ||
|
Charakteristická "hysterézna slučka" |
|
|
Prenosová funkcia nelineárneho prvku má podstatný rozdiel od prenosovej funkcie lineárneho systému, ktorý spočíva v tom, že závisí od amplitúdy a frekvencie vstupného signálu.
Výraz (8.22) možno zapísať ako:
q(A) + q 1 (A), (8.23)
kde q(A),q 1 (A) sú koeficienty harmonickej linearizácie, definované ako pomer koeficientov Fourierovho radu pre prvú harmonickú výstupných kmitov k amplitúde vstupných kmitov:
q(A) = q 1 (A) = . (8.24)
Nahradenie vo výraze (8.23) R na , získame výraz pre komplexný zisk nelineárneho prvku :
q(A) +j q 1 (A), (8.25)
ktorý je analógom AFC pre lineárny spoj.
Ako príklad si definujme výraz pre komplexný koeficient prenosu nelineárneho prvku s reléovou statickou charakteristikou (8.14). Koeficienty Fourierových radov A 1 a B 1 pre indikovanú nelinearitu sú:
B 1 .
Je zrejmé, že koeficient B 1 sa bude rovnať nule pre akýkoľvek nelineárny prvok s nepárno-symetrickou statickou nelinearitou.
kde - prenosová funkcia lineárnej časti systému; - prenosová funkcia nelineárneho prvku po jeho linearizácii.
Ak 
, potom výraz (8.26) možno zapísať ako:
Nahradenie vo výraze (8.27) R na , získame komplexný výraz, v ktorom je potrebné oddeliť skutočnú a imaginárnu časť:
[ q(A) +j q 1 (A) ] . (8.28)
V tomto prípade zapíšeme podmienku výskytu periodických kmitov v systéme s frekvenciou a amplitúdou:
(8.29)
Ak sú riešenia sústavy (8.29) zložité alebo záporné, režim vlastných oscilácií v sústave je nemožný. Prítomnosť pozitívnych reálnych riešení pre a indikuje prítomnosť vlastných oscilácií v systéme, ktorých stabilita musí byť skontrolovaná.
Ako príklad nájdime podmienky pre vznik vlastných oscilácií v ACS, ak sa prenosová funkcia jeho lineárnej časti rovná:
(8.30)
a nelineárny prvok typu "hysterézna slučka".
Prenosová funkcia harmonicky linearizovaného nelineárneho prvku (pozri tabuľku 8.1) je:
.
(8.31)
Nahradenie výrazov (8.30) a (8.31) výrazom (8.26) a nahradenie R on , nájdite výraz pre :
Odtiaľ, v súlade s výrazom (8.29), získame nasledujúce podmienky pre výskyt vlastných oscilácií v systéme:
Riešenie sústavy rovníc (8.29) je zvyčajne náročné, keďže koeficienty harmonickej linearizácie majú komplexnú závislosť od amplitúdy vstupného signálu. Okrem toho je okrem určenia amplitúdy a frekvencie potrebné vyhodnotiť stabilitu vlastných kmitov v systéme.
Podmienky pre vznik vlastných oscilácií v nelineárnom systéme a parametre limitných cyklov možno skúmať pomocou kritérií frekvenčnej stability, napríklad Nyquistovo kritérium stability. Podľa tohto kritéria je v prítomnosti auto-oscilácií charakteristika amplitúdy a fázy harmonicky linearizovaného systému s otvorenou slučkou rovná
prechádza bodom (-1, j0). Preto platí pre a nasledujúca rovnosť:
.
(8.32)
Riešenie rovnice (8.32) vzhľadom na frekvenciu a amplitúdu vlastných kmitov môžeme získať graficky. Na to je v komplexnej rovine potrebné, zmenou frekvencie z 0 na , zostrojiť AFC hodograf lineárnej časti systému a zmenou amplitúdy ALE od 0 do zostavte hodograf inverznej charakteristiky nelineárnej časti so znamienkom mínus. Ak sa tieto hodografy nepretínajú, potom režim vlastných oscilácií v skúmanom systéme neexistuje (obr. 8.18, b).
Keď sa hodografy pretínajú (obr. 8.18, a), vznikajú v systéme vlastné oscilácie, ktorých frekvencia a amplitúda sú určené hodnotami a v priesečníku.
Ak a - sa pretínajú v niekoľkých bodoch (obr. 8.18, a), potom to naznačuje prítomnosť niekoľkých limitných cyklov v systéme. V tomto prípade môžu byť oscilácie v systéme stabilné a nestabilné.
Stabilita samooscilačného režimu sa odhaduje nasledovne. Režim vlastnej oscilácie je stabilný, ak bod na hodografe nelineárnej časti, zodpovedajúci amplitúde väčšej ako je hodnota v priesečníku hodografov, nie je pokrytý hodografom frekvenčnej odozvy lineárneho súčasťou systému. V opačnom prípade je samooscilačný režim nestabilný.
Na obr. 8.18, a hodografy sa pretínajú v bodoch 1 a 2. Bod 1 určuje nestabilný režim vlastných oscilácií, pretože bod hodografu zodpovedajúci zvýšenej amplitúde je pokrytý hodografom frekvenčnej odozvy lineárnej časti systému. Bod 2 zodpovedá stabilnému režimu vlastných oscilácií, ktorých amplitúda je určená hodografom a frekvencia - hodografom.
Ako príklad uveďme odhad stability vlastných oscilácií v dvoch nelineárnych systémoch. Budeme predpokladať, že prenosové funkcie lineárnych častí týchto systémov sa zhodujú a sú rovnaké:
,
ale ich nelineárne prvky v nich zahrnuté sú odlišné. Nech prvý systém obsahuje nelineárny prvok "ideálne relé", popísaný systémom (8.14), a druhý - nelineárny prvok so statickou charakteristikou "kubická parabola". Pomocou údajov v tabuľke 8.1 dostaneme:
Na obr. 8.19 sú znázornené hodografy týchto systémov spolu s hodografom AFC lineárnej časti systému. Na základe vyššie uvedeného možno tvrdiť, že v prvom systéme vznikajú stabilné vlastné oscilácie s frekvenciou a amplitúdou a v druhom systéme sú vlastné oscilácie nestabilné.
Metóda harmonickej linearizácie umožňuje študovať stabilitu a presnosť nelineárnych systémov s dostatočnou presnosťou pre prax pomocou metód vyvinutých pre lineárne systémy. Metóda umožňuje určiť prítomnosť vlastných oscilácií, ako aj ich frekvenciu a amplitúdu.
Nelineárny systém je znázornený ako kombinácia lineárnej a nelineárnej časti (obr. 5).
Ryža. 5 Schéma nelineárneho systému
Výstupný signál nelineárnej časti systému je vo všeobecnosti určený výrazom
Označme ako prenosovú funkciu lineárnej časti. Systém rovníc nadobúda tvar
Nájdite podmienky, za ktorých vznikajú harmonické kmity formy na výstupe lineárnej časti systému
V tomto prípade signál y(t) nelineárna časť bude tiež periodická funkcia, ale odlišná od sínusoidy. Táto funkcia môže byť rozšírená do Fourierovho radu
V tomto výraze a i a b i- Fourierove koeficienty. Pre symetrické nelinearity F 0 =0.
Hlavnou podmienkou, ktorú metóda kladie na lineárnu časť systému, je stav dolnopriepustného filtra. Predpokladá sa, že lineárna časť prechádza iba prvou harmonickou oscilácií. Tento predpoklad nám umožňuje považovať vyššie harmonické v (7.19) za nevýznamné a obmedziť sa na zváženie iba prvej harmonickej signálu. y(t).
potom výraz (7.20) možno prepísať ako
Prvá rovnica systému (7.17) má tvar
V tomto výraze
Výsledok nahradenia nelinearity F(x, sx) výraz
a nazýva sa harmonická linearizácia. množstvá q a q 1 sa nazývajú harmonické linearizačné koeficienty alebo jednoducho harmonické koeficienty. Zvyčajne pre nelinearity s jednou hodnotou q 1 =0 . Vzorce pre harmonické koeficienty zodpovedajúce typickým nelinearitám sú uvedené v prílohách.
Základný rozdiel medzi harmonickou linearizáciou a konvenčnou linearizáciou je v tom, že pri konvenčnej linearizácii je nelineárna charakteristika nahradená priamkou s určitým konštantným sklonom a pri harmonickej linearizácii priamkou, ktorej sklon závisí od amplitúdy vstupný signál nelineárneho prvku.
Zvážte metódu určenia amplitúdy a frekvencie vlastných oscilácií.
jeden). V charakteristickej rovnici sústavy získanej z (7.22) vykonáme zmenu s=j a získať
2). Z výsledného vyjadrenia vyberieme skutočnú a imaginárnu časť a prirovnáme ich k nule, čo podľa Michajlovho kritéria zodpovedá systému na hranici oscilačnej stability.
- 3) Riešenie tohto systému udáva frekvenciu a hodnoty harmonických koeficientov. Ak sú tieto hodnoty skutočné a kladné, potom má systém limitný cyklus. Hodnoty harmonických koeficientov možno použiť na určenie amplitúdy limitného cyklu.
- 4). Všeobecným znakom stability limitného cyklu, t.j. existencia vlastných oscilácií, je rovnosť nule predposledného Hurwitzovho determinantu pre získané hodnoty amplitúdy a frekvencie limitného cyklu. Často je vhodnejšie použiť podmienku stability limitného cyklu založenú na Michajlovovom kritériu stability.
Ak je táto nerovnosť splnená, potom je limitný cyklus stabilný a v systéme sú vlastné oscilácie s amplitúdou a frekvenciou definovanou vyššie. Index „*“ znamená, že derivácie sú vypočítané s už známymi hodnotami harmonických koeficientov, amplitúdy a frekvencie.
Príklad. Predpokladajme, že vo vyššie uvažovanom systéme stabilizácie uhla sklonu lietadla je kormidlový mechanizmus nelineárny a jeho bloková schéma má tvar znázornený na obr. 7.6.
Obr.6 Schéma nelineárneho pohonu riadenia
Nastavíme nasledujúce parametre nelinearity rýchlostných charakteristík kormidlového zariadenia: b = 0,12, k 1 = tg = c/b = 6,7. Koeficienty harmonickej linearizácie tejto nelinearity sú určené výrazmi
Nahradením nelineárnej charakteristiky v obvode harmonickým koeficientom získame prenosovú funkciu kormidlového zariadenia
Túto prenosovú funkciu dosadíme do blokovej schémy systému stabilizácie uhla sklonu a určíme prenosovú funkciu uzavretého systému
V charakteristickej rovnici uzavretého systému vykonáme zmenu s = j a vyberte skutočné a vymyslené časti.
Z druhej rovnice sústavy dostaneme výraz pre frekvenciu: a dosadením do prvej rovnice po transformáciách dostaneme
Nahradením vyššie definovaných výrazov pre koeficienty charakteristickej rovnice môžeme získať kvadratickú rovnicu vzhľadom na harmonický koeficient, ktorej riešením nájdeme
Z týchto hodnôt je možné vypočítať pre dva prípady všetky koeficienty charakteristickej rovnice a určiť frekvencie zodpovedajúce každej hodnote q(A). Dostaneme:
Obe hodnoty harmonického koeficientu a zodpovedajúce frekvencie sú skutočné a kladné. Preto sú v systéme dva limitné cykly. Hodnoty amplitúdy limitného cyklu sa určujú numericky výberom takej hodnoty, pri ktorej vzorec pre koeficient harmonickej linearizácie dáva hodnotu rovnú predtým vypočítanej hodnote. V posudzovanom prípade dostaneme
Teraz odhadnime stabilitu limitných cyklov. Používame nerovnosť získanú z Michajlovho kritéria, pre ktoré definujeme
Derivácia koeficientu harmonickej linearizácie obsiahnutá v získaných výrazoch sa vypočíta podľa vzorca
Výpočty pomocou vyššie uvedených vzorcov ukazujú, že prvý limitný cyklus nie je stabilný a nastáva, keď (0) 0.1166(6.7 0 ). Ak je počiatočná odchýlka menšia ako špecifikovaná, potom proces na vstupe nelineárneho prvku zaniká (obr. 7. 7) a systém je stabilný.
Ak je počiatočná hodnota uhla sklonu väčšia ako špecifikovaná hodnota, procesy konvergujú k druhému limitnému cyklu, ktorý je stabilný a v systéme tak dochádza k vlastným osciláciám (obr. 8).
Ryža. osem
Modelovaním sa určuje, že oblasť príťažlivosti stabilného limitného cyklu leží približne vo vnútri (0) 0.1167 - 1.4 (6.71 0 - 80.2 0 ).