Táto časť rovnice je výraz v zátvorkách. Ak chcete otvoriť zátvorky, pozrite sa na znak pred zátvorkami. Ak existuje znamienko plus, pri rozširovaní zátvoriek v zázname výrazu sa nič nezmení: stačí zátvorky odstrániť. Ak je znamienko mínus, pri otváraní zátvoriek je potrebné zmeniť všetky znamienka, ktoré sú pôvodne v zátvorkách, na opačné. Napríklad -(2x-3)=-2x+3.
Násobenie dvoch zátvoriek.
Ak rovnica obsahuje súčin dvoch zátvoriek, rozšírenie zátvoriek podľa štandardné pravidlo. Každý člen prvej zátvorky sa vynásobí každým členom druhej zátvorky. Výsledné čísla sa spočítajú. V tomto prípade súčin dvoch „plusov“ alebo dvoch „mínusov“ dáva výrazu znamienko „plus“, a ak majú faktory rôzne znamienka, dostane znamienko „mínus“.
Zvážte .
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
Rozšírením zátvoriek, niekedy zvýšením výrazu na . Vzorce na kvadratúru a kvadratúru musíte poznať naspamäť a zapamätať si ich.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Vzorce na zvýšenie výrazu väčšieho ako tri možno vykonať pomocou Pascalovho trojuholníka.
Zdroje:
- vzorec na otvorenie zátvoriek
Matematické operácie v zátvorkách môžu obsahovať premenné a výrazy rôzneho stupňa zložitosti. Na znásobenie takýchto výrazov je potrebné hľadať riešenie všeobecný pohľad, rozšírenie zátvoriek a zjednodušenie výsledku. Ak zátvorky obsahujú operácie bez premenných, iba s číselnými hodnotami, potom nie je potrebné otvárať zátvorky, pretože ak má počítač k dispozícii počítač, sú k dispozícii veľmi významné výpočtové zdroje - je jednoduchšie ich použiť ako zjednodušiť výraz.
Poučenie
Ak chcete získať všeobecný výsledok, vynásobte postupne každú (alebo zmenšenú z) obsiahnutú v jednej zátvorke obsahom všetkých ostatných zátvoriek. Napríklad nech je pôvodný výraz napísaný takto: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Potom postupné násobenie (t. j. rozšírenie zátvoriek) dá nasledujúci výsledok: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗xx∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.
Zjednodušte po výsledku skrátením výrazov. Napríklad výraz získaný v predchádzajúcom kroku možno zjednodušiť takto: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.
Ak potrebujete násobiť iba číselné hodnoty bez neznámych premenných, použite kalkulačku. Vstavaný softvér
Hlavnou funkciou zátvoriek je zmeniť poradie akcií pri výpočte hodnôt. napríklad, v číselnom vyjadrení \(5 3+7\) sa najskôr vypočíta násobenie a potom sčítanie: \(5 3+7 =15+7=22\). Ale vo výraze \(5·(3+7)\) sa najskôr vypočíta sčítanie v zátvorkách a až potom násobenie: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Príklad.
Rozbaľte zátvorku: \(-(4m+3)\).
Riešenie
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Príklad.
Rozbaľte zátvorku a zadajte podobné výrazy \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Riešenie
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Príklad.
Rozbaľte zátvorky \(5(3-x)\).
Riešenie
: V zátvorke máme \(3\) a \(-x\) a pred zátvorkou päť. To znamená, že každý člen zátvorky sa vynásobí \ (5 \) - to vám pripomínam znak násobenia medzi číslom a zátvorkou sa v matematike nepíše, aby sa zmenšila veľkosť záznamov.
Príklad.
Rozbaľte zátvorky \(-2(-3x+5)\).
Riešenie
: Rovnako ako v predchádzajúcom príklade sú \(-3x\) a \(5\) v zátvorkách vynásobené \(-2\).
Príklad.
Zjednodušte výraz: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Riešenie
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Zostáva zvážiť poslednú situáciu.
Pri násobení zátvoriek zátvorkami sa každý člen prvej zátvorky vynásobí každým členom druhého:
\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)
Príklad.
Rozbaľte zátvorky \((2-x)(3x-1)\).
Riešenie
: Máme produkt zátvoriek a je možné ho okamžite otvoriť pomocou vyššie uvedeného vzorca. Ale aby sme sa nezmýlili, urobme všetko krok za krokom.
Krok 1. Odstráňte prvú zátvorku - každý z jej členov sa vynásobí druhou zátvorkou:
Krok 2. Rozšírte produkty zátvorky o faktor, ako je popísané vyššie:
- prvý prvý...
Potom druhý.
Krok 3. Teraz vynásobíme a prinesieme podobné výrazy:
Nie je potrebné podrobne maľovať všetky premeny, môžete okamžite množiť. Ale ak sa práve učíte otvárať zátvorky - píšte podrobne, bude menšia šanca, že urobíte chybu.
Poznámka k celej sekcii. V skutočnosti si nemusíte pamätať všetky štyri pravidlá, stačí si zapamätať jedno, toto: \(c(a-b)=ca-cb\) . prečo? Pretože ak namiesto c dosadíme jednotku, dostaneme pravidlo \((a-b)=a-b\) . A ak dosadíme mínus jedna, dostaneme pravidlo \(-(a-b)=-a+b\) . No, ak nahradíte inú zátvorku namiesto c, môžete získať posledné pravidlo.
zátvorka v zátvorke
Niekedy sa v praxi vyskytujú problémy so zátvorkami vnorenými do iných zátvoriek. Tu je príklad takejto úlohy: zjednodušiť výraz \(7x+2(5-(3x+y))\).
Ak chcete byť úspešní v týchto úlohách, musíte:
- pozorne porozumieť vnoreniu zátvoriek - ktorá je v ktorej;
- zátvorky otvárajte postupne, začnite napríklad najvnútornejším.
Je to dôležité pri otváraní jednej zo zátvoriek nedotýkajte sa zvyšku výrazu, len to prepíšem tak, ako je.
Zoberme si úlohu vyššie ako príklad.
Príklad.
Otvorte zátvorky a zadajte podobné výrazy \(7x+2(5-(3x+y))\).
Riešenie:
Príklad.
Rozbaľte zátvorky a zadajte podobné výrazy \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Riešenie
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Ide o trojité vnorenie zátvoriek. Začneme tým najvnútornejším (zvýrazneným zelenou farbou). Pred zátvorkou je plus, takže sa jednoducho odstráni. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Teraz musíte otvoriť druhú zátvorku, strednú. Predtým však zjednodušíme výraz tým, že v tejto druhej zátvorke uvedieme podobné výrazy. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Teraz otvoríme druhú zátvorku (zvýraznenú modrou farbou). Pred zátvorkou je násobiteľ – teda každý člen v zátvorke sa ňou násobí. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
A otvorte poslednú zátvorku. Pred zátvorkou mínus - takže všetky znamienka sú obrátené. |
||
Otváranie zátvoriek je základná zručnosť v matematike. Bez tejto zručnosti nie je možné mať známku nad tri v 8. a 9. ročníku. Preto odporúčam dobré pochopenie tejto témy.
Medzi rôznymi výrazmi, ktoré sa berú do úvahy v algebre, dôležité miesto sú súčty jednočlenov. Tu sú príklady takýchto výrazov:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Súčet monočlenov sa nazýva polynóm. Termíny v polynóme sa nazývajú členy polynómu. Mononomy sa označujú aj ako polynómy, pričom monomizmus považujeme za polynóm pozostávajúci z jedného člena.
Napríklad polynóm
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
možno zjednodušiť.
Všetky výrazy reprezentujeme ako monomály štandardného tvaru:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Vo výslednom polynóme dávame podobné výrazy:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Výsledkom je polynóm, ktorého všetky členy sú monomály štandardného tvaru a medzi nimi nie sú žiadne podobné. Takéto polynómy sa nazývajú polynómy štandardného tvaru.
Za polynomický stupeňštandardná forma preberá najväčšiu z právomocí svojich členov. Takže dvojčlen \(12a^2b - 7b \) má tretí stupeň a trojčlen \(2b^2 -7b + 6 \) má druhý stupeň.
Termíny polynómov štandardnej formy obsahujúce jednu premennú sú zvyčajne usporiadané v zostupnom poradí podľa jej exponentov. Napríklad:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Súčet niekoľkých polynómov možno previesť (zjednodušiť) na polynóm štandardnej formy.
Niekedy je potrebné členy polynómu rozdeliť do skupín, pričom každú skupinu uzatvoríme do zátvoriek. Keďže zátvorky sú opakom zátvoriek, je ľahké ich formulovať pravidlá otvárania zátvoriek:
Ak je znamienko + umiestnené pred zátvorkami, potom sa výrazy v zátvorkách píšu s rovnakými znamienkami.
Ak je pred zátvorkami umiestnený znak "-", potom sa výrazy v zátvorkách píšu s opačnými znakmi.
Transformácia (zjednodušenie) súčinu jednočlenu a mnohočlenu
Pomocou distributívnej vlastnosti násobenia možno súčin jednočlenu a mnohočlenu transformovať (zjednodušiť) na mnohočlen. Napríklad:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Súčin monočlenu a mnohočlenu sa zhodne rovná súčtu súčinov tohto monočlenu a každého z členov mnohočlenu.
Tento výsledok je zvyčajne formulovaný ako pravidlo.
Ak chcete vynásobiť monočlen polynómom, musíte tento monočlen vynásobiť každým z členov polynómu.
Toto pravidlo sme opakovane použili na násobenie súčtom.
Súčin polynómov. Transformácia (zjednodušenie) súčinu dvoch polynómov
Vo všeobecnosti sa súčin dvoch polynómov rovná súčtu súčinu každého člena jedného polynómu a každého člena druhého.
Zvyčajne použite nasledujúce pravidlo.
Ak chcete vynásobiť polynóm polynómom, musíte vynásobiť každý člen jedného polynómu každým členom druhého a pridať výsledné produkty.
Skrátené vzorce násobenia. Štvorce súčtu, rozdielu a rozdielu
Niektoré výrazy v algebraických transformáciách sa musia zaoberať častejšie ako iné. Snáď najbežnejšie výrazy sú \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) a \(a^2 - b^2 \), teda druhá mocnina súčtu, druhá mocnina rozdielu a druhá mocnina rozdielu. Všimli ste si, že názvy týchto výrazov sa zdajú byť neúplné, takže napríklad \((a + b)^2 \) nie je, samozrejme, len druhá mocnina súčtu, ale druhá mocnina súčtu a a b. Druhá mocnina súčtu a a b však nie je taká častá, spravidla namiesto písmen a a b obsahuje rôzne, niekedy dosť zložité výrazy.
Výrazy \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) sa dajú ľahko previesť (zjednodušiť) na polynómy štandardného tvaru, v skutočnosti ste sa už s takouto úlohou stretli pri násobení polynómov :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Výsledné identity je užitočné zapamätať si a použiť ich bez prechodných výpočtov. Pomáhajú tomu krátke slovné formulácie.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - druhá mocnina súčtu sa rovná súčtu druhých mocnín a dvojitého súčinu.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - druhá mocnina rozdielu je súčet druhých mocnín bez zdvojnásobenia súčinu.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - rozdiel štvorcov sa rovná súčinu rozdielu a súčtu.
Tieto tri identity umožňujú pri transformáciách nahradiť ich ľavé časti pravými a naopak - pravé časti ľavými. Najťažšie je v tomto prípade vidieť zodpovedajúce výrazy a pochopiť, čím sú v nich premenné a a b nahradené. Pozrime sa na niekoľko príkladov použitia skrátených vzorcov na násobenie.
V tejto lekcii sa naučíte, ako transformovať výraz, ktorý obsahuje zátvorky, na výraz, ktorý zátvorky neobsahuje. Naučíte sa otvárať zátvorky, pred ktorými je znamienko plus a znamienko mínus. Spomenieme si, ako otvárať zátvorky pomocou distributívneho zákona násobenia. Uvažované príklady umožnia prepojenie nového a predtým študovaného materiálu do jedného celku.
Téma: Riešenie rovnice
Lekcia: Rozšírenie zátvoriek
Ako otvoriť zátvorky, pred ktorými je znak „+“. Použitie asociatívneho zákona sčítania.
Ak potrebujete k číslu pridať súčet dvoch čísel, môžete k tomuto číslu pridať prvý výraz a potom druhý.
Naľavo od znamienka rovnosti je výraz so zátvorkami a napravo výraz bez zátvoriek. To znamená, že pri prechode z ľavej strany rovnosti na pravú stranu došlo k otvoreniu zátvoriek.
Zvážte príklady.
Príklad 1 
Rozšírením zátvoriek sme zmenili poradie operácií. Počítanie sa stalo pohodlnejším.
Príklad 2 
Príklad 3
Všimnite si, že vo všetkých troch príkladoch sme jednoducho odstránili zátvorky. Formulujme pravidlo:
Komentujte.
Ak je prvý výraz v zátvorkách bez znamienka, musí byť napísaný so znamienkom plus.
Môžete postupovať podľa príkladu krok za krokom. Najprv pridajte 445 k 889. Túto mentálnu akciu je možné vykonať, ale nie je to veľmi jednoduché. Otvorme zátvorky a uvidíme, že zmenené poradie operácií výrazne zjednoduší výpočty.
Ak dodržíte uvedené poradie akcií, musíte najskôr odpočítať 345 od 512 a potom k výsledku pridať 1345. Rozbalením zátvoriek zmeníme poradie akcií a výrazne zjednodušíme výpočty.
Názorný príklad a pravidlo.
Zvážte príklad: . Hodnotu výrazu zistíte tak, že sčítate 2 a 5 a potom zoberiete výsledné číslo s opačným znamienkom. Dostávame -7.
Na druhej strane, rovnaký výsledok možno získať sčítaním opačných čísel.
Formulujme pravidlo:
Príklad 1 
Príklad 2
Pravidlo sa nemení, ak v zátvorkách nie sú dva, ale tri alebo viac výrazov.
Príklad 3 
Komentujte. Znamienka sú obrátené iba pred pojmami.
Ak chcete otvoriť zátvorky, tento prípad pamätajte na distribučnú vlastnosť.
Najprv vynásobte prvú zátvorku 2 a druhú 3.
Pred prvou zátvorkou je znamienko „+“, čo znamená, že znamienka musia zostať nezmenené. Pred druhým je znak „-“, preto musia byť všetky znaky obrátené
Bibliografia
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. ročník. - Gymnázium, 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stránkami učebnice matematiky. - Osvietenstvo, 1989.
- Rurukin A.N., Čajkovskij I.V. Úlohy pre kurz matematiky ročník 5-6 - ZSH MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Čajkovskij K.G. Matematika 5-6. Príručka pre žiakov 6. ročníka korešpondenčnej školy MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Učebnica-príhovor pre 5-6 ročníkov SŠ. Knižnica učiteľa matematiky. - Osvietenstvo, 1989.
- Online testy z matematiky ().
- Môžete si stiahnuť tie, ktoré sú uvedené v článku 1.2. knihy ().
Domáca úloha
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika 6. - M .: Mnemosyne, 2012. (pozri odkaz 1.2)
- Domáca úloha: č. 1254, č. 1255, č. 1256 (b, d)
- Ďalšie úlohy: č. 1258(c), č. 1248
V tomto článku podrobne zvážime základné pravidlá pre takú dôležitú tému v kurze matematiky, ako je otváranie zátvoriek. Aby ste správne vyriešili rovnice, v ktorých sa používajú, musíte poznať pravidlá otvárania zátvoriek.
Ako správne otvárať zátvorky pri pridávaní
Rozbaľte zátvorky, pred ktorými je znak „+“.
Toto je najjednoduchší prípad, pretože ak je pred zátvorkami znak pridávania, pri otvorení zátvoriek sa znaky v nich nezmenia. Príklad:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Ako otvoriť zátvorky, pred ktorými je znak "-".
V tomto prípade musíte prepísať všetky výrazy bez zátvoriek, ale zároveň zmeniť všetky znamienka v nich na opačné. Značky sa menia iba pre výrazy z tých zátvoriek, pred ktorými bol znak „-“. Príklad:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Ako otvárať zátvorky pri násobení
Pred zátvorkami je uvedený násobiteľ
V tomto prípade musíte vynásobiť každý výraz koeficientom a otvoriť zátvorky bez zmeny znamienka. Ak má násobiteľ znamienko „-“, pri násobení sa znamienka pojmov obrátia. Príklad:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Ako otvoriť dve zátvorky so znamienkom násobenia medzi nimi
V tomto prípade musíte vynásobiť každý výraz z prvých zátvoriek každým výrazom z druhých zátvoriek a potom pridať výsledky. Príklad:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Ako otvoriť zátvorky v štvorci
Ak je súčet alebo rozdiel dvoch členov umocnený na druhú, zátvorky by sa mali rozšíriť podľa nasledujúceho vzorca:
(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.
V prípade mínus v zátvorkách sa vzorec nemení. Príklad:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Ako otvárať zátvorky v inej miere
Ak sa súčet alebo rozdiel výrazov zvýši napríklad na 3. alebo 4. mocninu, potom stačí rozdeliť stupeň zátvorky na „štvorce“. Sčítajú sa mocniny rovnakých faktorov a pri delení sa od stupňa deliteľa odpočítava stupeň deliteľa. Príklad:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Ako otvoriť 3 zátvorky
Existujú rovnice, v ktorých sú 3 zátvorky vynásobené naraz. V tomto prípade musíte najskôr vynásobiť členy prvých dvoch zátvoriek medzi sebou a potom vynásobiť súčet tohto násobenia členmi tretej zátvorky. Príklad:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Tieto pravidlá otvárania zátvoriek platia rovnako pre lineárne aj trigonometrické rovnice.