Harmonic linearization ng mga nonlinear na elemento. Ang pamamaraang ito ay ginagamit upang pag-aralan ang mga nonlinear system na may linear na bahagi sa itaas ng ikatlong order. Sa karamihan ng mga system, ang lumilipas na proseso ay isang damped oscillation, samakatuwid, sa input ng isang nonlinear na elemento, ang isang periodic signal na may dahan-dahang pagkakaiba-iba ng amplitude ay ipinapadala sa pamamagitan ng pangunahing feedback (GOF) at, sa pagkakaroon ng isang input signal, kasama na may pare-parehong bahagi.
Ipagpalagay namin na sa input ng isang nonlinear na elemento para sa isang tiyak na maliit na paunang yugto ng panahon, ang amplitude at frequency ay hindi nagbabago, o tumutugma sila sa amplitude at dalas ng mga self-oscillations ng system. Sa output ng NE, nakakakuha tayo ng periodic function na maaaring palawakin sa isang Fourier series. Sa pag-aaral ng mga nonlinear system, tanging ang unang harmonic component lamang ang kadalasang ginagamit, dahil sa karamihan ng mga kaso ang linear na bahagi ng system ay isang low pass filter. Ngunit upang masuri ito at ang kakayahang magamit ng pamamaraang ito ng pananaliksik, kinakailangan upang matukoy ang dalas ng mga self-oscillations sa system, kung saan sa hinaharap ay matukoy ang kakayahan ng linear na bahagi upang i-filter ang mas mataas na mga harmonika. Upang gawin ito, buuin ang frequency response ng linear na bahagi (LP).
Hayaan ang LP ng system na maging isang low-pass na filter, at ipagpalagay namin na ang mga oscillations sa input ng non-linear na elemento ng NE ay sinusoidal, pagkatapos ang output signal ng NE ay:
saan A to At VC ay ang mga coefficient ng Fourier expansion ng nonlinear function:
Kung ang nonlinear na katangian ay simetriko at neutral, kung gayon ang expansion coefficient ng Fourier series VC=0 at walang kahit na harmonika sa pagpapalawak:
Gamit ang mga ugnayang ito, ipinapahayag namin ang halaga ng sine at cosine sa mga tuntunin ng input signal
Ipalit natin ang mga ugnayang ito sa equation para sa NE output at isaalang-alang lamang ang unang harmonic.
Isinulat namin ang equation na ito sa operator form:
Coefficient A 0 - amplitude ng self-oscillations; q ay ang coefficient ng harmonic linearization na may paggalang sa sinusoidal component, depende ito sa amplitude ng signal sa NE input; b 1 ay ang coefficient ng harmonic linearization na may paggalang sa bahagi ng cosine; Ang ω 0 ay ang amplitude ng self-oscillations.
Sa kawalan ng isang pare-parehong bahagi sa input ng NE, nakakakuha kami ng isang equation para sa paglalarawan ng pag-uugali ng NE:
Ito ang NE harmonic linearization equation.
Ang isang harmonically linearized NE ay maaaring katawanin bilang:
Sa kasong ito, maaari nating makuha ang transfer function para sa NE:
sa kawalan ng pare-parehong bahagi sa input.
Coefficient A 0 - amplitude ng self-oscillations;
q ay ang coefficient ng harmonic linearization na may paggalang sa sinusoidal component, depende ito sa amplitude ng signal sa NE input;
b 1 ay ang coefficient ng harmonic linearization na may paggalang sa bahagi ng cosine;
Ang ω 0 ay ang amplitude ng self-oscillations.
Ang linear na bahagi ng system ay apektado ng NE output signal, na naglalaman ng buong frequency spectrum ng Fourier expansion. Sa bisa ng prinsipyo ng superposisyon, maaari nating ipagpalagay na ang bawat harmonic ay kumikilos sa linear na bahagi nang hiwalay sa isa. Samakatuwid, ang mga pana-panahong oscillations ay maaaring itakda sa output ng system, na maglalaman ng buong spectrum ng mga frequency na naaayon sa NE signal, ngunit ang amplitude ng bawat harmonic ay matutukoy ng conversion coefficient ng kanang bahagi para sa itinuturing na harmonic ( ).
Sa pamamagitan ng pagpapalit sa frequency response ng linear na bahagi, maaari mong itakda ang ratio ng mga pagbabago sa amplitude para sa bawat harmonic at suriin kung ang linear na bahagi ng LPF ay (kung ang mas mataas na harmonic ay maaaring itapon).
Kung ang dalas ng mga self-oscillations ay nakatakda at ang NE harmonic linearization coefficients ay kilala, na isinasaalang-alang lamang ang unang harmonic, pagkatapos ay ang dalas (ang dalas ng unang harmonic). Kung pagkatapos ay maaari mong itapon ang mas mataas na harmonika at ang pamamaraang ito ay angkop. Yung. posible na ikulong ang sarili sa pagkalkula ng isang harmonic lamang sa output ng NE. Pagkatapos, para sa isang kakaibang katangian na may iisang halaga, ang NE ay magkakaroon ng:
Para sa hysteresis kakaibang katangian:
Sa unang kaso, ang NE ay katumbas ng isang inertialess na link na may ilang mga tampok - ang proportionality coefficient ay nakasalalay sa amplitude o dalas ng signal sa NE input.
Sa kaso ng hysteretic non-linearity, ang link ay katumbas ng boost link. Ang kakaibang paraan ng linearization na ito ay ginagawang posible na gamitin ang frequency method ng linear theory para sa pagsusuri ng isang nonlinear system.
Ministri ng Edukasyon at Agham ng Russian Federation
Saratov State Technical University
Balakovo Institute of Engineering, Teknolohiya at Pamamahala
Paraan ng Harmonic linearization
Mga alituntunin para sa gawaing laboratoryo sa kursong "Teorya ng awtomatikong kontrol" para sa mga mag-aaral ng espesyalidad 210100
Naaprubahan
editoryal at publishing council
Balakovo Institute of Technology,
teknolohiya at pamamahala
Balakovo 2004
Ang layunin ng gawain: Ang pag-aaral ng mga nonlinear system gamit ang paraan ng harmonic linearization (harmonic balance), ang pagtukoy ng mga coefficient ng harmonic linearization para sa iba't ibang nonlinear na link. Pagkuha ng mga kasanayan sa paghahanap ng mga parameter ng simetriko oscillations ng pare-pareho ang amplitude at dalas (self-oscillations), gamit ang algebraic, frequency method, pati na rin ang paggamit ng Mikhailov criterion.
BATAYANG IMPORMASYON
Ang paraan ng harmonic linearization ay tumutukoy sa mga tinatayang pamamaraan para sa pag-aaral ng mga nonlinear system. Ginagawa nitong posible na masuri ang katatagan ng mga nonlinear system na medyo simple at may katanggap-tanggap na katumpakan, at upang matukoy ang dalas at amplitude ng mga oscillations na itinatag sa system.
Ipinapalagay na ang inimbestigahang nonlinear ACS ay maaaring katawanin sa sumusunod na anyo
bukod dito, ang di-linear na bahagi ay dapat magkaroon ng isang hindi linearity
Ang non-linearity na ito ay maaaring tuluy-tuloy o relay, hindi malabo o hysteretic.
Anumang function o signal ay maaaring palawakin sa isang serye ayon sa isang sistema ng linearly independent, sa isang partikular na kaso, orthonormal function. Ang Fourier series ay maaaring gamitin bilang tulad ng orthogonal series.
Palawakin natin ang output signal ng nonlinear na bahagi ng system sa isang seryeng Fourier
,
(2)
narito ang mga Fourier coefficients,
,
,
.
(3)
Kaya, ang signal ayon sa (2) ay maaaring katawanin bilang isang walang katapusang kabuuan ng mga harmonika na may pagtaas ng mga frequency 
atbp. Ang signal na ito ay input sa linear na bahagi ng nonlinear system.
Tukuyin natin ang paglipat ng function ng linear na bahagi
,
(4)
at ang antas ng numerator polynomial ay dapat na mas mababa kaysa sa antas ng denominator polynomial. Sa kasong ito, ang dalas na tugon ng linear na bahagi ay may anyo
kung saan 1 - walang poste, 2 - may poste o poste.
Para sa dalas ng pagtugon, makatarungang magsulat
Kaya, ang linear na bahagi ng nonlinear system ay isang high pass filter. Sa kasong ito, ang linear na bahagi ay papasa lamang ng mga mababang frequency nang walang attenuation, habang ang mga mataas na frequency ay makabuluhang mababawasan habang tumataas ang dalas.
Ipinapalagay ng paraan ng harmonic linearization na ang linear na bahagi ng system ay papasa lamang sa DC component ng signal at ang unang harmonic. Pagkatapos ang signal sa output ng linear na bahagi ay magiging hitsura
Ang signal na ito ay dumadaan sa buong closed loop ng system Fig.1 at sa output ng non-linear na elemento nang hindi isinasaalang-alang ang mas mataas na harmonics, ayon sa (2) mayroon kami
.
(7)
Sa pag-aaral ng mga nonlinear system gamit ang paraan ng harmonic linearization, posible ang mga kaso ng simetriko at asymmetric oscillations. Isaalang-alang natin ang kaso ng simetriko oscillations. Dito at.
Ipinakilala namin ang sumusunod na notasyon
Ang pagpapalit sa kanila sa (7), makuha natin ang . (8)
Isinasaalang-alang ang katotohanan na
.
(9)
Ayon sa (3) at (8) sa
,
.
(10)
Ang expression (9) ay isang harmonic linearization ng nonlinearity at nagtatatag ng linear na relasyon sa pagitan ng input variable at output variable sa . Ang mga dami at tinatawag na harmonic linearization coefficients.
Dapat tandaan na ang equation (9) ay linear para sa mga tiyak na halaga at (mga amplitude at frequency ng harmonic oscillations sa system). Ngunit sa pangkalahatan, pinapanatili nito ang mga hindi linear na katangian, dahil ang mga coefficient ay iba para sa iba't ibang at . Ang tampok na ito ay nagbibigay-daan sa amin upang galugarin ang mga katangian ng nonlinear system gamit ang paraan ng harmonic linearization [Popov E.P.].
Sa kaso ng mga asymmetric oscillations, ang harmonic linearization ng nonlinearity ay humahantong sa linear equation.
,
,
.
(12)
Katulad ng equation (9), ang linearized equation (11) ay nagpapanatili ng mga katangian ng isang nonlinear na elemento, dahil ang harmonic linearization coefficients , , pati na rin ang pare-parehong bahagi ay nakasalalay sa parehong displacement at ang amplitude ng harmonic oscillations .
Ang mga equation (9) at (11) ay nagbibigay-daan sa isa na makuha ang paglipat ng mga function ng harmonically linearized nonlinear na mga elemento. Kaya para sa simetriko vibrations
,
(13)
habang ang frequency transfer function
nakasalalay lamang sa amplitude at hindi nakasalalay sa dalas ng mga oscillations sa system.
Dapat tandaan na kung ang odd-symmetric nonlinearity ay single-valued, kung gayon sa kaso ng simetriko oscillations, alinsunod sa (9) at (10), makuha natin na , (15)
(16)
at ang linearized nonlinearity ay may anyo
Para sa mga hindi malinaw na nonlinearities (na may hysteresis), ang integral sa expression (16) ay hindi katumbas ng zero, dahil sa pagkakaiba sa pag-uugali ng curve na may pagtaas at pagbaba , samakatuwid, ang buong expression (9) ay wasto.
Maghanap tayo ng mga harmonic linearization coefficient para sa ilang di-linear na katangian. Hayaan ang non-linear na katangian na magkaroon ng anyo ng isang relay na katangian na may hysteresis at isang patay na zone. Isaalang-alang kung paano dumaan ang mga harmonic oscillations sa isang nonlinear na elemento na may ganoong katangian.
Kapag natugunan ang kundisyon, iyon ay, kung ang amplitude ng input signal ay mas mababa kaysa sa dead zone, pagkatapos ay walang signal sa output ng non-linear na elemento. Kung ang amplitude ay , pagkatapos ay lumipat ang relay sa mga puntong A, B, C at D. Ipahiwatig at .
,
.
(18)
Kapag kinakalkula ang mga coefficient ng harmonic linearization, dapat tandaan na may simetriko nonlinear na mga katangian, ang mga integral sa mga expression (10) ay nasa kalahating cycle (0, ) na may kasunod na pagtaas sa resulta ng isang factor ng dalawa. . Sa ganitong paraan
,
.
(19)
Para sa isang non-linear na elemento na may katangian ng relay at isang patay na zone
,
Para sa isang non-linear na elemento na may katangian ng relay na may hysteresis
,
Ang mga coefficient ng Harmonic linearization para sa iba pang mga di-linear na katangian ay maaaring makuha nang katulad.
Isaalang-alang natin ang dalawang pamamaraan para sa pagtukoy ng simetriko oscillations ng pare-pareho ang amplitude at dalas (self-oscillations) at katatagan ng mga linearized system: algebraic at frequency. Tingnan muna natin ang algebraic na paraan. Para sa isang closed system Fig.1, ang transfer function ng linear na bahagi ay katumbas ng
.
Isinulat namin ang harmonically linearized transfer function ng nonlinear na bahagi
.
Ang katangiang equation ng isang closed system ay may anyo
.
(22)
Kung ang mga self-oscillations ay nangyayari sa sistemang pinag-aaralan, kung gayon ito ay nagpapahiwatig ng pagkakaroon ng dalawang purong haka-haka na mga ugat sa katangiang equation nito. Samakatuwid, pinapalitan natin sa katangiang equation (22) ang halaga ng ugat .
.
(23)
Imagine
Kumuha kami ng dalawang equation na tumutukoy sa nais na amplitude at frequency
,
.
(24)
Kung ang mga tunay na positibong halaga ng amplitude at dalas ay posible sa solusyon, kung gayon ang mga self-oscillations ay maaaring mangyari sa system. Kung ang amplitude at dalas ay walang mga positibong halaga, kung gayon ang mga self-oscillation sa system ay imposible.
Isaalang-alang ang Halimbawa 1. Hayaang magkaroon ng anyo ang nonlinear system na pinag-aaralan
Sa halimbawang ito, ang non-linear na elemento ay isang sensing element na may relay na katangian, kung saan ang harmonic linearization coefficients
Ang actuator ay may transfer function ng form
Ang paglipat ng function ng regulated object ay katumbas ng
.
(27)
Paglipat ng function ng linear na bahagi ng system
,
(28)
Batay sa (22), (25), at (28), isinusulat namin ang katangiang equation ng isang closed system
,
(29)
,
Hayaan ang 1/sec, sec, sec, c.
Sa kasong ito, ang mga parameter ng pana-panahong paggalaw ay katumbas ng
7,071
,
Isaalang-alang natin ang isang paraan para sa pagtukoy ng mga parameter ng self-oscillations sa isang linearized ACS gamit ang Mikhailov criterion. Ang pamamaraan ay batay sa katotohanan na kapag nangyari ang mga self-oscillations, ang sistema ay nasa hangganan ng katatagan at ang Mikhailov hodograph sa kasong ito ay dadaan sa pinagmulan.
Sa halimbawa 2, nakita namin ang mga parameter ng self-oscillations sa ilalim ng kondisyon na ang nonlinear na elemento sa system Fig. 4 ay isang sensitibong elemento na may katangian ng relay na may hysteresis, kung saan ang harmonic linearization coefficients
,
Ang linear na bahagi ay nanatiling hindi nagbabago.
Isinulat namin ang katangian na equation ng isang saradong sistema
Ang Mikhailov hodograph ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng .
Ang gawain ay upang pumili ng isang amplitude ng mga oscillations kung saan ang hodograph ay dumadaan sa pinagmulan ng mga coordinate. Dapat tandaan na sa kasong ito ang kasalukuyang dalas ay , dahil sa kasong ito na ang curve ay dadaan sa pinanggalingan.
Ang mga kalkulasyon na isinagawa sa MATHCAD 7 sa 1/sec, sec, sec, in at in, ay nagbigay ng mga sumusunod na resulta. Sa Fig.5 ang hodograph ni Mikhailov ay dumadaan sa pinanggalingan. Upang mapabuti ang katumpakan ng mga kalkulasyon, dadagdagan namin ang nais na fragment ng graph. Ang Figure 6 ay nagpapakita ng isang fragment ng hodograph, na pinalaki sa paligid ng pinagmulan. Ang curve ay dumadaan sa pinanggalingan ng mga coordinate sa .
Fig.5. Fig.6.
Sa kasong ito, ang dalas ng oscillation ay matatagpuan mula sa kondisyon na ang modulus ay katumbas ng zero. Para sa mga frequency
Ang mga halaga ng module ay naka-tabulate
Kaya, ang dalas ng oscillation ay 6.38. Dapat tandaan na ang katumpakan ng mga kalkulasyon ay madaling tumaas.
Ang nagreresultang pana-panahong solusyon, na tinutukoy ng halaga ng amplitude at frequency , ay dapat imbestigahan para sa katatagan. Kung ang solusyon ay stable, pagkatapos ay isang self-oscillating na proseso (stable limit cycle) ang magaganap sa system. Kung hindi, ang ikot ng limitasyon ay magiging hindi matatag.
Ang pinakamadaling paraan upang pag-aralan ang katatagan ng isang pana-panahong solusyon ay ang paggamit ng Mikhailov stability criterion sa graphical na anyo. Napag-alaman na sa , ang Mikhailov curve ay dumadaan sa pinanggalingan ng mga coordinate. Kung magbibigay ka ng isang maliit na pagtaas, ang curve ay kukuha ng posisyon sa itaas ng zero o sa ibaba. Kaya sa huling halimbawa, dagdagan natin, iyon ay, at . Ang posisyon ng Mikhailov curves ay ipinapakita sa Fig.7.
Sa , ang curve ay pumasa sa itaas ng zero, na nagpapahiwatig ng katatagan ng system at ang damped transient na proseso. Kapag ang Mikhailov curve ay pumasa sa ibaba ng zero, ang sistema ay hindi matatag at ang lumilipas ay divergent. Kaya, ang isang panaka-nakang solusyon na may amplitude na 6 at isang dalas ng oscillation na 6.38 ay matatag.
Upang pag-aralan ang katatagan ng isang pana-panahong solusyon, ang isang analytical criterion na nakuha mula sa Mikhailov graphical criterion ay maaari ding gamitin. Sa katunayan, upang malaman kung ang Mikhailov curve ay pupunta sa itaas ng zero, ito ay sapat na upang tingnan kung saan ang punto ng Mikhailov curve ay lilipat, na kung saan ay matatagpuan sa pinanggalingan ng mga coordinate.
Kung palawakin natin ang displacement ng puntong ito kasama ang X at Y coordinate axes, pagkatapos ay para sa katatagan ng periodic solution, ang vector ay tinutukoy ng mga projection papunta sa coordinate axes.
dapat na matatagpuan sa kanan ng tangent MN sa Mikhailov curve, kapag tiningnan kasama ang curve sa direksyon ng pagtaas, ang direksyon kung saan ay tinutukoy ng mga projection
Isulat natin ang analytical stability condition sa sumusunod na form
Sa expression na ito, ang mga bahagyang derivatives ay kinuha na may paggalang sa kasalukuyang parameter ng Mikhailov curve
,
Dapat tandaan na ang analytical expression ng stability criterion (31) ay may bisa lamang para sa mga system na hindi mas mataas kaysa sa ika-apat na order, dahil, halimbawa, para sa isang fifth-order system sa pinagmulan, kondisyon (31) ay maaaring masiyahan, at ang sistema ay magiging hindi matatag
Inilapat namin ang pamantayan (31) upang pag-aralan ang katatagan ng pana-panahong solusyon na nakuha sa Halimbawa 1.
,
,
,
,
Layunin ng paraan ng harmonic linearization.
Ang ideya ng paraan ng harmonic linearization ay iminungkahi noong 1934. N. M. Krylov at N. N. Bogolyubov. Tulad ng inilapat sa mga awtomatikong sistema ng kontrol, ang pamamaraang ito ay binuo ni L. S. Goldfarb at E. P. Popov. Ang iba pang mga pangalan para sa pamamaraang ito at ang mga pagbabago nito ay ang paraan ng harmonic balance, ang paraan ng paglalarawan ng mga function, ang paraan ng katumbas na linearization.
Ang harmonic linearization method ay isang paraan para sa pag-aaral ng self-oscillations. Pinapayagan nito ang isa na matukoy ang mga kondisyon para sa pagkakaroon at mga parameter ng mga posibleng self-oscillation sa mga nonlinear system.
Ang pag-alam sa mga parameter ng self-oscillations ay ginagawang posible upang ipakita ang isang larawan ng mga posibleng proseso sa system at, sa partikular, upang matukoy ang mga kondisyon ng katatagan. Ipagpalagay, halimbawa, na bilang isang resulta ng pag-aaral ng mga self-oscillations sa ilang nonlinear system, nakuha natin ang dependence ng amplitude ng mga self-oscillations na ito. PERO mula sa koepisyent ng paglipat k linear na bahagi ng system, na ipinapakita sa Fig. 12.1, at alam natin na ang mga self-oscillations ay matatag.
Mula sa graph ay sumusunod na may malaking halaga ng koepisyent ng paglipat k, kailan k > k cr, may mga self-oscillations sa system. Ang kanilang amplitude ay bumababa sa zero habang ang transmission coefficient ay bumababa k dati k cr. Sa Fig. 12.1, ang mga arrow ay may kondisyong nagpapakita ng likas na katangian ng lumilipas na mga proseso sa iba't ibang mga halaga k: sa k > k kr ang lumilipas na proseso na dulot ng paunang paglihis ay lumiliit sa self-oscillations. Ito ay makikita mula sa pigura na sa k< k cr, stable ang system. Sa ganitong paraan, k kr ay ang kritikal na halaga ng transmission coefficient ayon sa kondisyon ng katatagan. Ang labis nito ay humahantong sa katotohanan na ang paunang mode ng system ay nagiging hindi matatag at ang mga self-oscillations ay nangyayari dito. Dahil dito, ang kaalaman sa mga kondisyon para sa pagkakaroon ng mga self-oscillations sa system ay ginagawang posible upang matukoy din ang mga kondisyon ng katatagan.
Ang ideya ng harmonic linearization.
Isaalang-alang ang isang nonlinear system, ang scheme na kung saan ay ipinapakita sa Fig. 12.2, at . Ang sistema ay binubuo ng isang linear na bahagi na may transfer function W l ( s) at isang nonlinear na link NL na may tiyak na espesipikasyon . Ang isang link na may coefficient - 1 ay nagpapakita na ang feedback sa system ay negatibo. Naniniwala kami na may mga self-oscillations sa system, ang amplitude at frequency na gusto naming hanapin. Sa mode na isinasaalang-alang, ang halaga ng input X nonlinear na link at output Y ay mga panaka-nakang function ng oras.
Ang paraan ng harmonic linearization ay batay sa pagpapalagay na ang mga oscillations sa input ng nonlinear link ay sinusoidal, i.e. e. iyon
, (12.1)
saanPERO– ang amplitude at ang dalas ng mga self-oscillations na ito, at isang posibleng pare-parehong bahagi sa pangkalahatang kaso, kapag ang mga self-oscillations ay walang simetriko.
Sa katunayan, ang mga self-oscillations sa nonlinear system ay palaging non-sinusoidal dahil sa pagbaluktot ng kanilang hugis sa pamamagitan ng isang nonlinear na link. Samakatuwid, ang paunang pagpapalagay na ito ay nangangahulugan na ang harmonic linearization na paraan ay sa panimula malapit at ang saklaw ng aplikasyon nito ay limitado sa mga kaso kung saan ang mga self-oscillation sa input ng isang nonlinear na link ay sapat na malapit sa sinusoidal. Upang ito ay maganap, ang linear na bahagi ng system ay hindi dapat pumasa sa mas mataas na harmonics ng self-oscillations, ibig sabihin, maging mababang pass filter. Ang huli ay inilalarawan sa Fig. 12.2, b . Kung, halimbawa, ang dalas ng mga self-oscillations ay , kung gayon ang linear na bahagi c na ipinapakita sa Fig. 12.2, b Ang frequency response ay gaganap bilang isang low-pass na filter para sa mga oscillations na ito, dahil ang pangalawang harmonic, na ang frequency ay katumbas ng 2, ay halos hindi papasa sa input ng nonlinear na link. Samakatuwid, sa kasong ito, naaangkop ang paraan ng harmonic linearization.
Kung ang dalas ng mga self-oscillations ay katumbas ng , ang linear na bahagi ay malayang papasa sa pangalawa, pangatlo at iba pang harmonic ng self-oscillations. Sa kasong ito, hindi ito mapagtatalunan na ang mga oscillations sa input ng nonlinear link ay magiging sapat na malapit sa sinusoidal, i.e. ang paunang kinakailangan para sa paglalapat ng paraan ng harmonic linearization ay hindi natutugunan.
Upang matukoy kung ang linear na bahagi ng system ay isang low-pass na filter at sa gayon ay matukoy ang applicability ng harmonic linearization method, kinakailangang malaman ang dalas ng self-oscillations. Gayunpaman, malalaman lamang ito bilang resulta ng paggamit ng paraang ito. Sa ganitong paraan, ang applicability ng harmonic linearization method ay kailangang matukoy na sa pagtatapos ng pag-aaral bilang isang pagsubok.
Tandaan na kung, bilang resulta ng pag-verify na ito, ang hypothesis na ang linear na bahagi ng system ay gumaganap ng papel ng isang low-pass na filter ay hindi nakumpirma, hindi ito nangangahulugan na ang mga resulta na nakuha ay hindi tama, bagaman, siyempre, ito nagdududa sa kanila at nangangailangan ng karagdagang pagpapatunay ng ilan sa pamamagitan ng ibang paraan.
Kaya, ipagpalagay na ang linear na bahagi ng system ay isang low-pass na filter, isinasaalang-alang namin na ang mga self-oscillations sa input ng nonlinear na link ay sinusoidal, ibig sabihin, mayroon silang form (12.1). Sa kasong ito, ang mga oscillations sa output ng link na ito ay magiging non-sinusoidal dahil sa kanilang pagbaluktot ng nonlinearity. Bilang halimbawa, sa fig. 12.3, ang isang curve ay naka-plot sa output ng isang non-linear na link para sa isang tiyak na amplitude ng isang input na puro sinusoidal signal ayon sa katangian ng link na ibinigay sa parehong lugar.
Fig.12.3. Ang pagpasa ng isang harmonic oscillation sa pamamagitan ng isang nonlinear na link.
Gayunpaman, dahil naniniwala kami na ang linear na bahagi ng system ay pumasa lamang sa pangunahing harmonic ng self-oscillations, makatuwirang maging interesado lamang sa harmonic na ito sa output ng nonlinear na link. Samakatuwid, pinalawak namin ang mga oscillations ng output sa isang serye ng Fourier at itinatapon ang mas mataas na mga harmonika. Bilang resulta, nakukuha namin ang:
;
; (12.3)
;
.
Isulat muli natin ang expression (12.2) sa isang mas maginhawang anyo para sa kasunod na paggamit, palitan dito ang mga sumusunod na expression para sa at nakuha mula sa (12.1):
Ang pagpapalit ng mga ekspresyong ito sa (12.2), magkakaroon tayo ng:
(12.4)
. (12.5)
Narito ang mga notasyon:
. (12.6)
Ang differential equation (12.5) ay may bisa para sa isang sinusoidal input signal (12.1) at tinutukoy ang output signal ng isang non-linear na link nang hindi isinasaalang-alang ang mas mataas na harmonics.
Ang mga coefficient alinsunod sa mga expression (12.3) para sa Fourier coefficients ay mga function ng constant component , amplitude PERO at ang dalas ng mga self-oscillations sa input ng nonlinear na link. Sa fixed PERO, at ang equation (12.5) ay linear. Kaya, kung ang mas mataas na harmonics ay itatapon, kung gayon para sa isang nakapirming harmonic signal, ang orihinal na non-linear na link ay maaaring palitan ng isang katumbas na linear na inilarawan ng equation (12.5). Ang kapalit na ito ay tinatawag harmonic linearization .
Sa fig. 12.4 eskematiko na nagpapakita ng diagram ng link na ito, na binubuo ng dalawang magkatulad na link.
kanin. 12.4. Katumbas na linear na link na nagreresulta mula sa harmonic linearization.
Ang isang link () ay pumasa sa pare-parehong bahagi, at ang isa ay ang sinusoidal na bahagi lamang ng mga self-oscillations.
Ang mga coefficient ay tinatawag harmonic linearization coefficients o harmonic gains: - transfer coefficient ng pare-parehong bahagi, at - dalawang transfer coefficient ng sinusoidal component ng self-oscillations. Ang mga coefficient na ito ay tinutukoy ng nonlinearity at ang mga halaga ng at ng mga formula (12.3). May mga ready-made na expression na tinukoy ng mga formula na ito para sa isang bilang ng mga tipikal na non-linear na link. Para sa mga ito at sa pangkalahatan para sa lahat ng inertial non-linear na mga link, ang mga dami ay hindi nakadepende at mga function lamang ng amplitude. PERO At .
Kapag ang isang harmonic signal ay inilapat sa input ng isang linear system
ang isang harmonic signal ay nakatakda din sa output ng system, ngunit may ibang amplitude at inilipat sa phase na may paggalang sa input. Kung ang isang sinusoidal signal ay inilapat sa input ng isang non-linear na elemento, pagkatapos ay ang mga pana-panahong oscillations ay nabuo sa output nito, ngunit sa anyo sila ay naiiba nang malaki mula sa mga sinusoidal. Bilang halimbawa, sa fig. 8.17 ay nagpapakita ng likas na katangian ng pagbabago sa output variable ng isang non-linear na elemento na may relay na katangian (8.14) kapag sinusoidal oscillations (8.18) pumasok sa input nito.
Ang pagpapalawak ng periodic signal sa output ng isang nonlinear na elemento sa isang Fourier series, kinakatawan namin ito bilang kabuuan ng isang pare-parehong bahagi at isang walang katapusang hanay ng mga harmonic na bahagi:
,
(8.19)
saan –
pare-pareho ang mga koepisyent ng serye ng Fourier; – dalas ng oscillation ng unang harmonic (pangunahing dalas), katumbas ng dalas ng input sinusoidal oscillations; T - ang panahon ng oscillation ng unang harmonic, katumbas ng panahon ng input sinusoidal oscillations.
Ang output signal ng non-linear na elemento ay pinapakain sa input ng linear na bahagi ng ACS (tingnan ang Fig. 8.1), na, bilang panuntunan, ay may makabuluhang pagkawalang-galaw. Sa kasong ito, ang mga high-frequency na bahagi ng signal (8.19) ay halos hindi pumasa sa output ng system, i.e. ang linear na bahagi ay isang filter na may kaugnayan sa mga high-frequency na harmonic na bahagi. Sa pagsasaalang-alang na ito, at isinasaalang-alang din na ang mga amplitude ng mga harmonic na bahagi ay bumababa sa pagtaas ng harmonic frequency, para sa isang tinatayang pagtatantya ng halaga ng output ng isang nonlinear na elemento, sa isang malaking bilang ng mga kaso ito ay sapat na upang isaalang-alang lamang. ang unang harmonic component sa .
Samakatuwid, sa kawalan ng isang pare-parehong bahagi sa mga oscillations ng output, ang expression (8.19) ay maaaring humigit-kumulang na nakasulat bilang:
Pagpapahayag mula sa formula (8.20) ang function , at mula sa derivative 
- function 
, binabago namin ang expression (8.20) tulad ng sumusunod:
.
(8.21)
Kaya, ang non-linear na dependence ng output value sa input value sa isang non-linear na elemento ay tinatayang pinapalitan ng linear na dependence na inilarawan ng expression (8.21).
Nang maisagawa ang pagbabagong Laplace sa pagpapahayag (8.21), nakuha namin ang:
Tulad ng para sa patuloy na mga link, ipinakilala namin sa pagsasaalang-alang transfer function ng isang nonlinear harmonically linearized na elemento , bilang ratio ng imahe ng dami ng output sa imahe ng dami ng input:
.
(8.22)
Talahanayan 8.1
Coefficients ng harmonic linearization ng mga tipikal na nonlinearities
|
Static na katangian ng isang non-linear na elemento | ||
|
Linear na tugon na may deadband |
| |
|
Linear na katangian na may limitasyon |
| |
|
Linear na tugon na may deadband at clipping |
| |
|
Katangiang "backlash" |
| |
|
Perpektong katangian ng relay | ||
|
Hindi malabo na katangian ng relay na may deadband |
| |
|
Hindi maliwanag na tugon ng relay na may deadband |
|
|
|
Kubiko parabola: | ||
|
Katangiang "hysteresis loop" |
|
|
Ang paglipat ng function ng isang non-linear na elemento ay may makabuluhang pagkakaiba mula sa paglipat ng function ng isang linear system, na nakasalalay sa katotohanan na ito ay nakasalalay sa amplitude at dalas ng input signal.
Ang pagpapahayag (8.22) ay maaaring isulat bilang:
q(A) + q 1 (A), (8.23)
saan q(A),q 1 (A) ay ang mga coefficient ng harmonic linearization, na tinukoy bilang ang ratio ng mga coefficient ng Fourier series para sa unang harmonic ng output oscillations sa amplitude ng input oscillations:
q(A) = q 1 (A) = . (8.24)
Pagpapalit sa expression (8.23) R sa , nakakakuha kami ng expression para sa kumplikadong pakinabang ng di-linear na elemento :
q(A) +j q 1 (A), (8.25)
na isang analogue ng AFC para sa isang linear na link.
Bilang halimbawa, tukuyin natin ang isang expression para sa complex transfer coefficient ng isang non-linear na elemento na may relay static na katangian (8.14). Fourier series coefficients A 1 At B 1 para sa ipinahiwatig na nonlinearity ay:
B 1 .
Ito ay malinaw na ang koepisyent B 1 ay magiging katumbas ng zero para sa anumang non-linear na elemento na may odd-symmetric na static na non-linearity.
saan - paglipat ng function ng linear na bahagi ng system; - paglipat ng function ng isang non-linear na elemento pagkatapos ng linearization nito.
Kung 
, pagkatapos ang expression (8.26) ay maaaring isulat bilang:
Pagpapalit sa expression (8.27) R on , nakakakuha tayo ng isang kumplikadong expression kung saan kinakailangan na paghiwalayin ang tunay at haka-haka na mga bahagi:
[ q(A) +j q 1 (A) ] . (8.28)
Sa kasong ito, isinulat namin ang kondisyon para sa paglitaw ng mga pana-panahong oscillations sa system na may dalas at amplitude:
(8.29)
Kung ang mga solusyon ng system (8.29) ay kumplikado o negatibo, ang mode ng self-oscillations sa system ay imposible. Ang pagkakaroon ng mga positibong tunay na solusyon para sa at nagpapahiwatig ng pagkakaroon ng mga self-oscillations sa system, na dapat suriin para sa katatagan.
Bilang isang halimbawa, hanapin natin ang mga kondisyon para sa paglitaw ng mga self-oscillations sa ACS, kung ang paglipat ng function ng linear na bahagi nito ay katumbas ng:
(8.30)
at isang non-linear na elemento ng uri ng "hysteresis loop."
Ang paglipat ng function ng isang harmonically linearized non-linear na elemento (tingnan ang Talahanayan 8.1) ay:
.
(8.31)
Pinapalitan ang mga expression (8.30) at (8.31) sa expression (8.26) at pinapalitan R sa , hanapin ang expression para sa :
Mula dito, alinsunod sa expression (8.29), nakukuha namin ang mga sumusunod na kondisyon para sa paglitaw ng mga self-oscillations sa system:
Ang solusyon ng sistema ng mga equation (8.29) ay kadalasang mahirap, dahil ang mga harmonic linearization coefficient ay may kumplikadong pag-asa sa amplitude ng input signal. Bilang karagdagan, bilang karagdagan sa pagtukoy ng amplitude at frequency , kinakailangan upang suriin ang katatagan ng mga self-oscillations sa system.
Ang mga kundisyon para sa paglitaw ng mga self-oscillations sa isang nonlinear system at ang mga parameter ng limit cycle ay maaaring maimbestigahan gamit ang frequency stability criteria, halimbawa, ang Nyquist stability criterion. Ayon sa pamantayang ito, sa pagkakaroon ng mga auto-oscillations, ang katangian ng amplitude-phase ng isang open-loop na harmonically linearized system ay katumbas ng
dumadaan sa punto (-1, j0). Samakatuwid, para sa at ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay pinanghahawakan:
.
(8.32)
Ang solusyon ng equation (8.32) na may paggalang sa dalas at amplitude ng self-oscillations ay maaaring makuha sa graphically. Upang gawin ito, sa kumplikadong eroplano, kinakailangan, sa pamamagitan ng pagbabago ng dalas mula 0 hanggang , upang bumuo ng AFC hodograph ng linear na bahagi ng system at, sa pamamagitan ng pagbabago ng amplitude PERO mula 0 hanggang , bumuo ng isang hodograph ng kabaligtaran na katangian ng hindi linear na bahagi , na kinuha gamit ang isang minus sign. Kung ang mga hodograph na ito ay hindi nagsalubong, kung gayon ang mode ng self-oscillations sa sistemang pinag-aaralan ay hindi umiiral (Larawan 8.18, b).
Kapag ang mga hodograph ay bumalandra (Larawan 8.18, a), ang mga self-oscillations ay lumitaw sa system, ang dalas at amplitude nito ay tinutukoy ng mga halaga at sa intersection point.
Kung at - bumalandra sa ilang mga punto (Larawan 8.18, a), kung gayon ito ay nagpapahiwatig ng pagkakaroon ng ilang mga siklo ng limitasyon sa system. Sa kasong ito, ang mga oscillation sa system ay maaaring maging matatag at hindi matatag.
Ang katatagan ng self-oscillatory regime ay tinatantya bilang mga sumusunod. Ang self-oscillation mode ay stable kung ang punto sa hodograph ng non-linear na bahagi , na tumutugma sa isang amplitude na mas malaki kaysa sa halaga sa punto ng intersection ng mga hodograph, ay hindi sakop ng hodograph ng frequency response ng linear bahagi ng sistema. Kung hindi, ang self-oscillatory regime ay hindi matatag.
Sa fig. 8.18, at ang mga hodograph ay nagsalubong sa mga punto 1 at 2. Punto 1 tinutukoy ang hindi matatag na mode ng self-oscillations, dahil ang hodograph point na tumutugma sa tumaas na amplitude ay sakop ng hodograph ng frequency response ng linear na bahagi ng system. Ang punto 2 ay tumutugma sa isang matatag na mode ng self-oscillations, ang amplitude nito ay tinutukoy ng hodograph at ang dalas - ng hodograph.
Bilang halimbawa, tantyahin natin ang katatagan ng mga self-oscillations sa dalawang nonlinear system. Ipagpalagay namin na ang paglipat ng mga function ng mga linear na bahagi ng mga system na ito ay nag-tutugma at pantay-pantay:
,
ngunit ang kanilang mga di-linear na elemento na kasama sa kanila ay iba. Hayaan ang unang system na magsama ng isang non-linear na elemento na "ideal na relay", na inilarawan ng system (8.14), at ang pangalawa - isang non-linear na elemento na may static na katangian na "cubic parabola". Gamit ang data sa Talahanayan 8.1, nakukuha natin ang:
Sa fig. Ipinapakita ng 8.19 ang mga hodograph ng mga system na ito kasama ng AFC hodograph ng linear na bahagi ng system. Batay sa naunang nabanggit, maaari itong pagtalunan na ang mga matatag na self-oscillations na may dalas at amplitude ay nangyayari sa unang sistema, at ang hindi matatag na self-oscillations ay nangyayari sa pangalawang sistema.
Ang paraan ng harmonic linearization ay nagpapahintulot sa isa na pag-aralan ang katatagan at katumpakan ng mga nonlinear system na may sapat na katumpakan para sa pagsasanay, gamit ang mga pamamaraan na binuo para sa mga linear system. Ginagawang posible ng pamamaraan na matukoy ang pagkakaroon ng mga self-oscillation, pati na rin ang kanilang dalas at amplitude.
Ang isang non-linear system ay kinakatawan bilang isang kumbinasyon ng isang linear at isang non-linear na bahagi (Larawan 5).
kanin. lima Diagram ng isang non-linear system
Ang output signal ng nonlinear na bahagi ng system ay karaniwang tinutukoy ng expression
Tukuyin bilang transfer function ng linear na bahagi. Ang sistema ng mga equation ay tumatagal ng anyo
Hanapin natin ang mga kondisyon kung saan lumilitaw ang mga harmonic oscillations ng form sa output ng linear na bahagi ng system
Sa kasong ito, ang signal y(t) ang non-linear na bahagi ay magiging panaka-nakang pag-andar, ngunit iba sa sinusoid. Ang function na ito ay maaaring palawakin sa isang seryeng Fourier
Sa ekspresyong ito a i At b i- Fourier coefficients. Para sa simetriko nonlinearities F 0 =0.
Ang pangunahing kondisyon na ipinapataw ng pamamaraan sa linear na bahagi ng system ay ang kondisyon ng low-pass na filter. Ito ay pinaniniwalaan na ang linear na bahagi ay pumasa lamang sa unang harmonic ng mga oscillations. Ang pagpapalagay na ito ay nagpapahintulot sa amin na isaalang-alang ang mas mataas na harmonic sa (7.19) na hindi gaanong mahalaga at paghigpitan ang ating sarili na isaalang-alang lamang ang unang harmonic ng signal. y(t).
pagkatapos ang expression (7.20) ay maaaring muling isulat bilang
Ang unang equation ng system (7.17) ay nasa anyo
Sa ekspresyong ito
Ang resulta ng pagpapalit ng nonlinearity F(x, sx) pagpapahayag
at tinatawag na harmonic linearization. Dami q At q 1 ay tinatawag na harmonic linearization coefficients o simpleng harmonic coefficients. Para sa single-valued nonlinearities, kadalasan q 1 =0 . Ang mga formula para sa mga harmonic coefficient na tumutugma sa mga tipikal na nonlinearity ay ibinibigay sa mga appendice.
Ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng harmonic linearization at conventional linearization ay na sa conventional linearization, ang nonlinear na katangian ay pinapalitan ng isang tuwid na linya na may isang tiyak na pare-pareho ang slope, at may harmonic linearization, sa pamamagitan ng isang tuwid na linya, ang slope nito ay depende sa amplitude ng input signal ng nonlinear na elemento.
Isaalang-alang ang paraan para sa pagtukoy ng amplitude at dalas ng self-oscillations.
isa). Sa katangiang equation ng sistemang nakuha mula sa (7.22) ginagawa namin ang pagbabago s=j at kumuha
2). Mula sa nagresultang expression, pipiliin namin ang tunay at haka-haka na mga bahagi at itinutumbas ang mga ito sa zero, na, ayon sa pamantayan ng Mikhailov, ay tumutugma sa sistema na nasa hangganan ng katatagan ng oscillatory.
- 3). Ang solusyon ng sistemang ito ay nagbibigay ng dalas at mga halaga ng mga harmonic coefficient. Kung ang mga halagang ito ay totoo at positibo, kung gayon ang sistema ay may limitasyon na ikot. Ang mga halaga ng mga harmonic coefficient ay maaaring gamitin upang matukoy ang amplitude ng limit cycle.
- 4). Isang pangkalahatang tanda ng katatagan ng ikot ng limitasyon, i.e. ang pagkakaroon ng mga self-oscillations, ay ang pagkakapantay-pantay sa zero ng penultimate Hurwitz determinant para sa nakuha na mga halaga ng amplitude at dalas ng limit cycle. Kadalasan ay mas maginhawang gamitin ang kundisyon ng katatagan ng ikot ng limitasyon batay sa pamantayan ng katatagan ni Mikhailov.
Kung ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nasiyahan, kung gayon ang ikot ng limitasyon ay matatag at may mga self-oscillations sa system na may amplitude at frequency na tinukoy sa itaas. Ang index ”*” ay nangangahulugan na ang mga derivative ay kinakalkula na may alam nang mga halaga ng mga harmonic coefficient, amplitude at frequency.
Halimbawa. Ipagpalagay natin na sa aircraft pitch angle stabilization system na isinasaalang-alang na sa itaas, ang steering gear ay non-linear at ang block diagram nito ay may form na ipinapakita sa Fig. 7.6.
Fig.6 Diagram ng isang non-linear steering drive
Itakda natin ang mga sumusunod na parameter ng nonlinearity ng mga katangian ng bilis ng steering drive: b = 0.12, k 1 =tg =c/b = 6.7. Ang mga harmonic linearization coefficient ng nonlinearity na ito ay tinutukoy ng mga expression
Ang pagpapalit ng nonlinear na katangian sa circuit na may harmonic coefficient, nakuha namin ang transfer function ng steering gear
Pinapalitan namin ang transfer function na ito sa block diagram ng pitch angle stabilization system at tinutukoy ang transfer function ng closed system
Sa katangiang equation ng isang closed system, ginagawa namin ang pagbabago s = j at piliin ang tunay at haka-haka na mga bahagi.
Mula sa pangalawang equation ng system, nakakakuha tayo ng expression para sa frequency: , at pinapalitan ito sa unang equation, pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo, nakukuha natin
Ang pagpapalit dito ng naunang tinukoy na mga expression para sa mga coefficient ng characteristic equation, makakakuha tayo ng isang quadratic equation na may paggalang sa harmonic coefficient, paglutas kung saan, nakita natin
Mula sa mga halagang ito posible na kalkulahin para sa dalawang kaso ang lahat ng mga coefficient ng katangian na equation at matukoy ang mga frequency na naaayon sa bawat halaga. q(A). Nakukuha namin:
Ang parehong mga halaga ng harmonic coefficient at ang kaukulang mga frequency ay totoo at positibo. Samakatuwid, mayroong dalawang mga siklo ng limitasyon sa system. Ang mga halaga ng limit cycle amplitude ay tinutukoy ayon sa numero sa pamamagitan ng pagpili ng naturang halaga kung saan ang formula para sa harmonic linearization coefficient ay nagbibigay ng halaga na katumbas ng naunang kinakalkula. Sa kasong isinasaalang-alang, nakukuha namin
Ngayon ay tantiyahin natin ang katatagan ng mga ikot ng limitasyon. Ginagamit namin ang hindi pagkakapantay-pantay na nakuha mula sa Mikhailov criterion, kung saan namin tinukoy
Ang derivative ng harmonic linearization coefficient na kasama sa nakuha na mga expression ay kinakalkula ng formula
Ang mga kalkulasyon gamit ang mga formula sa itaas ay nagpapakita na ang unang ikot ng limitasyon ay hindi matatag at ito ay nangyayari kapag (0) 0.1166(6.7 0 ). Kung ang paunang paglihis ay mas mababa kaysa sa tinukoy, pagkatapos ay ang proseso sa input ng nonlinear na elemento ay nabubulok (Larawan 7. 7) at ang sistema ay matatag.
Kung ang paunang halaga ng anggulo ng pitch ay mas malaki kaysa sa tinukoy na halaga, kung gayon ang mga proseso ay nagtatagpo sa ikalawang limitasyon ng cycle, na kung saan ay matatag at, sa gayon, ang mga self-oscillations ay nangyayari sa system (Fig. 8).
kanin. 8
Sa pamamagitan ng pagmomodelo ay natutukoy na ang lugar ng atraksyon ng isang matatag na ikot ng limitasyon ay nasa loob ng humigit-kumulang (0) 0.1167 - 1.4 (6.71 0 - 80.2 0 ).