Тази част от уравнението е изразът в скоби. За да отворите скоби, погледнете знака пред скобите. Ако има знак плюс, нищо няма да се промени при разширяване на скобите в записа на израза: просто премахнете скобите. Ако има знак минус, при отваряне на скобите е необходимо да промените всички знаци, които първоначално са в скоби, на противоположните. Например, -(2x-3)=-2x+3.
Умножаване на две скоби.
Ако уравнението съдържа произведението на две скоби, разширяване на скобите според стандартно правило. Всеки член от първата скоба се умножава с всеки член от втората скоба. Получените числа се сумират. В този случай произведението на два "плюса" или два "минуса" дава на термина знак "плюс", а ако факторите имат различни знаци, тогава той получава знак "минус".
Обмисли .
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
Чрез разширяване на скоби, понякога повдигане на израз до . Формулите за квадратура и кубиране трябва да се знаят наизуст и да се запомнят.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Формули за издигане на израз, по-голям от три, могат да бъдат направени с помощта на триъгълника на Паскал.
Източници:
- формула за отваряне на скоби
Математическите операции, затворени в скоби, могат да съдържат променливи и изрази с различна степен на сложност. За да умножите такива изрази, ще трябва да потърсите решение в общ изглед, разширяване на скобите и опростяване на резултата. Ако скобите съдържат операции без променливи, само с числови стойности, тогава не е необходимо да отваряте скобите, тъй като ако компютърът е достъпен за неговия потребител, са налични много значителни изчислителни ресурси - по-лесно е да ги използвате, отколкото да опростите изразяване.
Инструкция
Умножете последователно всяка (или намалена от), съдържаща се в една скоба, по съдържанието на всички останали скоби, ако искате да получите общ резултат. Например, нека оригиналният израз се запише така: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Тогава последователното умножение (тоест разширяването на скобите) ще даде следния резултат: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗xx∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.
Опростете след резултата, като съкратите изразите. Например, изразът, получен в предишната стъпка, може да бъде опростен, както следва: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.
Използвайте калкулатор, ако трябва да умножите, съдържащ само числови стойности без неизвестни променливи. Вграден софтуер
Основната функция на скобите е да променят реда на действията при изчисляване на стойности. Например, в числовия израз \(5 3+7\) първо ще се изчисли умножението, а след това събирането: \(5 3+7 =15+7=22\). Но в израза \(5·(3+7)\) първо ще се изчислява събирането в скоби и едва след това умножението: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Пример.
Разгънете скобата: \(-(4m+3)\).
Решение
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Пример.
Разширете скобата и дайте подобни термини \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Пример.
Разгънете скобите \(5(3-x)\).
Решение
: Имаме \(3\) и \(-x\) в скобата и пет пред скобата. Това означава, че всеки член на скобата се умножава по \ (5 \) - напомням ви това знакът за умножение между число и скоба в математиката не се записва, за да намали размера на записите.
Пример.
Разгънете скобите \(-2(-3x+5)\).
Решение
: Както в предишния пример, поставените в скоби \(-3x\) и \(5\) се умножават по \(-2\).
Пример.
Опростете израза: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Решение
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Остава да разгледаме последната ситуация.
При умножаване на скоби по скоби, всеки член от първата скоба се умножава с всеки член от втория:
\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)
Пример.
Разгънете скобите \((2-x)(3x-1)\).
Решение
: Имаме продукт от скоби и той може да се отвори веднага с помощта на формулата по-горе. Но за да не се объркаме, нека направим всичко стъпка по стъпка.
Стъпка 1. Премахнете първата скоба - всеки от нейните членове се умножава по втората скоба:
Стъпка 2. Разширете продуктите на скобата с коефициента, както е описано по-горе:
- първо първият...
След това вторият.
Стъпка 3. Сега умножаваме и извеждаме подобни термини:
Не е необходимо да рисувате подробно всички трансформации, можете веднага да умножите. Но ако просто се учите да отваряте скоби - пишете подробно, ще има по-малък шанс да направите грешка.
Забележка към целия раздел.Всъщност не е нужно да помните всичките четири правила, трябва да запомните само едно, това: \(c(a-b)=ca-cb\) . Защо? Защото ако заместим едно вместо c, получаваме правилото \((a-b)=a-b\) . И ако заместим минус едно, получаваме правилото \(-(a-b)=-a+b\) . Е, ако замените друга скоба вместо c, можете да получите последното правило.
скоби в скоби
Понякога на практика има проблеми със скоби, вложени в други скоби. Ето пример за такава задача: да опрости израза \(7x+2(5-(3x+y))\).
За да постигнете успех в тези задачи, трябва:
- внимателно да разберете влагането на скоби - коя в коя е;
- отворете скобите последователно, като започнете например от най-вътрешната.
Важно е при отваряне на една от скобите не докосвайте останалата част от израза, просто го пренаписвам както е.
Нека вземем задачата по-горе като пример.
Пример.
Отворете скобите и дайте подобни термини \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:
Пример.
Разгънете скобите и дайте подобни термини \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Това е тройно влагане на скоби. Започваме с най-вътрешния (маркиран в зелено). Пред скобите има плюс, така че просто се премахва. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Сега трябва да отворите втората скоба, междинна. Но преди това ще опростим израза, като посочим подобни термини в тази втора скоба. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Сега отваряме втората скоба (маркирана в синьо). Пред скобите има множител - така че всеки член в скобите се умножава по него. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
И отворете последната скоба. Преди скобата минус - значи всички знаци са обърнати. |
||
Отварянето на скоби е основно умение в математиката. Без това умение е невъзможно да имате оценка над три в 8 и 9 клас. Затова препоръчвам добро разбиране на тази тема.
Сред различните изрази, които се разглеждат в алгебрата, важно мястоса суми от мономи. Ето примери за такива изрази:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Сборът от мономи се нарича полином. Членовете в полинома се наричат членове на полинома. Монономите също се наричат полиноми, като се разглежда монономът като полином, състоящ се от един член.
Например, полином
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
може да се опрости.
Представяме всички термини като мономи от стандартната форма:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Даваме подобни термини в получения полином:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Резултатът е полином, всички членове на който са мономи със стандартна форма и сред тях няма подобни. Такива полиноми се наричат полиноми със стандартен вид.
Отзад полиномна степенстандартната форма взема най-големите правомощия на своите членове. И така, биномът \(12a^2b - 7b \) има трета степен, а тричленът \(2b^2 -7b + 6 \) има втората.
Обикновено термините на полиноми със стандартна форма, съдържащи една променлива, са подредени в низходящ ред на нейните експоненти. Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Сборът от няколко полинома може да бъде преобразуван (опростен) в полином със стандартна форма.
Понякога членовете на полинома трябва да бъдат разделени на групи, като всяка група се огражда в скоби. Тъй като скобите са противоположни на скобите, е лесно да се формулира правила за отваряне на скоби:
Ако знакът + се постави пред скобите, тогава термините, затворени в скоби, се изписват със същите знаци.
Ако пред скобите е поставен знак "-", тогава термините, затворени в скоби, се изписват с противоположни знаци.
Преобразуване (опростяване) на произведението на моном и полином
Използвайки разпределителното свойство на умножението, може да се трансформира (опрости) произведението на моном и полином в полином. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Произведението на моном и полином е идентично равно на сбора от произведенията на този моном и всеки от членовете на полинома.
Този резултат обикновено се формулира като правило.
За да се умножи моном по полином, трябва да се умножи този моном по всеки от членовете на полинома.
Многократно сме използвали това правило за умножение по сума.
Произведение на полиноми. Преобразуване (опростяване) на произведението на два полинома
Най-общо, произведението на два полинома е идентично равно на сбора от произведението на всеки член от един полином и всеки член от другия.
Обикновено използвайте следното правило.
За да умножите полином по полином, трябва да умножите всеки член от един полином по всеки член на другия и да добавите получените продукти.
Съкратени формули за умножение. Сума, разлика и квадрати на разлика
Някои изрази в алгебричните трансформации трябва да се обработват по-често от други. Може би най-често срещаните изрази са \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), тоест квадратът на сбора, квадрат на разликата и квадратна разлика. Забелязали сте, че имената на тези изрази изглеждат непълни, така че например \((a + b)^2 \), разбира се, не е просто квадратът на сбора, а квадратът на сбора от а и б. Но квадратът на сбора от a и b не е толкова често срещан, като правило вместо буквите a и b съдържа различни, понякога доста сложни изрази.
Изразите \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) са лесни за преобразуване (опростяване) в полиноми от стандартната форма, всъщност вече сте се сблъсквали с такава задача при умножаването на полиноми :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Получените идентичности са полезни за запомняне и прилагане без междинни изчисления. Кратките словесни формулировки помагат за това.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадратът на сбора е равен на сбора от квадратите и двойното произведение.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадратът на разликата е сумата от квадратите без удвояване на произведението.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разликата на квадратите е равна на произведението на разликата и сбора.
Тези три идентичности позволяват при трансформации левите им части да се заменят с десни и обратно – десните части с левите. Най-трудното в този случай е да видите съответните изрази и да разберете какви променливи a и b са заменени в тях. Нека разгледаме няколко примера за използване на съкратени формули за умножение.
В този урок ще научите как да трансформирате израз, който съдържа скоби, в израз, който не съдържа скоби. Ще научите как да отваряте скоби, предшествани от знак плюс и знак минус. Ще си спомним как да отваряме скоби, използвайки разпределителния закон за умножение. Разгледаните примери ще позволят да се свържат нов и предварително проучен материал в едно цяло.
Тема: Решаване на уравнения
Урок: Разширяване на скоби
Как да отворите скоби, предшествани от знак "+". Използване на асоциативния закон за събиране.
Ако трябва да добавите сбора от две числа към число, тогава можете да добавите първия член към това число, а след това втория.
Вляво от знака за равенство е израз със скоби, а вдясно е израз без скоби. Това означава, че при преминаване от лявата страна на равенството към дясната, скобите са били отворени.
Помислете за примери.
Пример 1 
Разширявайки скобите, променихме реда на операциите. Броенето стана по-удобно.
Пример 2 
Пример 3
Обърнете внимание, че и в трите примера просто премахнахме скобите. Нека формулираме правилото:
Коментирайте.
Ако първият член в скоби е без знак, тогава той трябва да бъде написан със знак плюс.
Можете да следвате примера стъпка по стъпка. Първо добавете 445 към 889. Това умствено действие може да се извърши, но не е много лесно. Нека да отворим скобите и да видим, че промененият ред на операциите значително ще опрости изчисленията.
Ако следвате посочения ред на действията, тогава първо трябва да извадите 345 от 512 и след това да добавите 1345 към резултата. Чрез разширяване на скобите ще променим реда на действията и ще опростим значително изчисленията.
Илюстративен пример и правило.
Помислете за пример: . Можете да намерите стойността на израза, като добавите 2 и 5 и след това вземете полученото число с противоположен знак. Получаваме -7.
От друга страна, същият резултат може да се получи чрез добавяне на противоположни числа.
Нека формулираме правилото:
Пример 1 
Пример 2
Правилото не се променя, ако в скоби има не два, а три или повече термина.
Пример 3 
Коментирайте. Знаците се обръщат само пред термините.
За да отворите скоби, този случайзапомнете разпределителното свойство.
Първо, умножете първата скоба по 2, а втората по 3.
Първата скоба се предхожда от знак „+“, което означава, че знаците трябва да бъдат оставени непроменени. Вторият е предшестван от знак „-“, следователно всички знаци трябва да бъдат обърнати
Библиография
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Математика 6 клас. - Гимназия, 2006г.
- Депман И.Я., Виленкин Н.Я. Зад страниците на учебник по математика. - Просвещение, 1989г.
- Рурукин A.N., Чайковски I.V. Задачи за курса по математика 5-6 клас - ЗШ МИФИ, 2011г.
- Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковски К.Г. Математика 5-6. Ръководство за ученици от 6 клас на задочно училище МИФИ. - ЗШ МИФИ, 2011г.
- Шеврин L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Математика: Учебник-събеседник за 5-6 клас на СОУ. Библиотека на учителя по математика. - Просвещение, 1989г.
- Онлайн тестове по математика ().
- Можете да изтеглите посочените в точка 1.2. книги().
Домашна работа
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М .: Мнемозина, 2012. (виж връзка 1.2)
- Домашна работа: No 1254, No 1255, No 1256 (б, г)
- Други задачи: No 1258(в), No 1248
В тази статия ще разгледаме подробно основните правила за такава важна тема в курса по математика като отварящите скоби. Трябва да знаете правилата за отваряне на скоби, за да решавате правилно уравненията, в които се използват.
Как правилно да отваряте скоби при добавяне
Разгънете скобите, предшествани от знака "+".
Това е най-простият случай, защото ако пред скобите има знак за добавяне, когато скобите се отворят, знаците вътре в тях не се променят. пример:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Как да отворите скоби, предшествани от знак "-".
В този случай трябва да пренапишете всички термини без скоби, но в същото време да промените всички знаци вътре в тях на противоположните. Знаците се променят само за термините от тези скоби, предшествани от знака “-”. пример:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Как да отваряте скоби при умножение
Скобите се предхождат от множител
В този случай трябва да умножите всеки член по коефициент и да отворите скобите, без да променяте знаците. Ако множителят има знак "-", тогава при умножение знаците на термините се обръщат. пример:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Как да отворя две скоби със знак за умножение между тях
В този случай трябва да умножите всеки член от първите скоби с всеки член от вторите скоби и след това да добавите резултатите. пример:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Как да отворите скоби в квадрат
Ако сумата или разликата от два члена е на квадрат, скобите трябва да се разширят съгласно следната формула:
(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.
В случай на минус в скобите, формулата не се променя. пример:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Как да отворите скоби в различна степен
Ако сумата или разликата от термините се повиши, например, на 3-та или 4-та степен, тогава просто трябва да разбиете степента на скобата на „квадрати“. Степените на същите множители се събират, а при деление степента на делителя се изважда от степента на деленото. пример:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Как да отворя 3 скоби
Има уравнения, в които 3 скоби се умножават наведнъж. В този случай първо трябва да умножите членовете на първите две скоби помежду си и след това да умножите сумата от това умножение по условията на третата скоба. пример:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Тези правила за отваряне на скоби се прилагат еднакво както за линейни, така и за тригонометрични уравнения.