Esa parte de la ecuación es la expresión entre paréntesis. Para abrir paréntesis, mire el signo delante de los paréntesis. Si hay un signo más, nada cambiará al expandir los corchetes en el registro de expresión: simplemente elimine los corchetes. Si hay un signo menos, al abrir los corchetes, es necesario cambiar todos los signos que inicialmente están entre paréntesis por los opuestos. Por ejemplo, -(2x-3)=-2x+3.
Multiplicando dos corchetes.
Si la ecuación contiene el producto de dos paréntesis, expandir los paréntesis de acuerdo con regla estándar. Cada término del primer paréntesis se multiplica por cada término del segundo paréntesis. Los números resultantes se suman. En este caso, el producto de dos "más" o dos "menos" le da al término un signo "más", y si los factores tienen signos diferentes, entonces recibe un signo "menos".
Considerar .
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
Al expandir los paréntesis, a veces elevando una expresión a . Las fórmulas para elevar al cuadrado y al cubo deben saberse de memoria y recordarse.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Las fórmulas para elevar una expresión mayor que tres se pueden hacer usando el triángulo de Pascal.
Fuentes:
- fórmula de apertura de paréntesis
Las operaciones matemáticas encerradas entre paréntesis pueden contener variables y expresiones de diversos grados de complejidad. Para multiplicar tales expresiones, uno tendrá que buscar una solución en vista general, expandiendo los paréntesis y simplificando el resultado. Si los corchetes contienen operaciones sin variables, solo con valores numéricos, entonces no es necesario abrir los corchetes, ya que si una computadora está disponible para su usuario, hay recursos informáticos muy importantes disponibles: es más fácil usarlos que simplificar el expresión.
Instrucción
Multiplique sucesivamente cada uno (o reducido de) contenido en un paréntesis por el contenido de todos los demás paréntesis si desea obtener un resultado general. Por ejemplo, escriba la expresión original así: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Luego, la multiplicación sucesiva (es decir, expandir los paréntesis) dará el siguiente resultado: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗xx∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.
Simplifique después del resultado acortando expresiones. Por ejemplo, la expresión obtenida en el paso anterior se puede simplificar de la siguiente manera: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.
Usa una calculadora si quieres multiplicar que contenga solo valores numéricos sin variables desconocidas. software incorporado
La función principal de los corchetes es cambiar el orden de las acciones al calcular valores. por ejemplo, en la expresión numérica \(5 3+7\) se calculará primero la multiplicación, y luego la suma: \(5 3+7 =15+7=22\). Pero en la expresión \(5·(3+7)\), primero se calculará la suma entre paréntesis, y solo después la multiplicación: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Ejemplo.
Expanda el corchete: \(-(4m+3)\).
Solución
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Ejemplo.
Expande el paréntesis y da los términos similares \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Solución
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Ejemplo.
Expanda los corchetes \(5(3-x)\).
Solución
: Tenemos \(3\) y \(-x\) entre paréntesis, y cinco delante del paréntesis. Esto quiere decir que cada miembro del paréntesis se multiplica por \(5\) - les recuerdo que el signo de multiplicación entre un número y un paréntesis en matemáticas no se escribe para reducir el tamaño de los registros.
Ejemplo.
Expanda los corchetes \(-2(-3x+5)\).
Solución
: Como en el ejemplo anterior, \(-3x\) y \(5\) entre paréntesis se multiplican por \(-2\).
Ejemplo.
Simplifica la expresión: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Solución
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Queda por considerar la última situación.
Al multiplicar paréntesis por paréntesis, cada término del primer paréntesis se multiplica por cada término del segundo:
\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)
Ejemplo.
Expanda los corchetes \((2-x)(3x-1)\).
Solución
: Tenemos un producto de paréntesis y se puede abrir inmediatamente usando la fórmula anterior. Pero para no confundirnos, hagamos todo paso a paso.
Paso 1. Retire el primer soporte: cada uno de sus miembros se multiplica por el segundo soporte:
Paso 2. Expande los productos del soporte por el factor como se describe arriba:
- el primero primero...
Luego el segundo.
Paso 3. Ahora multiplicamos y traemos términos semejantes:
No es necesario pintar todas las transformaciones en detalle, puedes multiplicarlas inmediatamente. Pero si solo está aprendiendo a abrir corchetes, escriba en detalle, habrá menos posibilidades de cometer un error.
Nota para toda la sección. De hecho, no necesitas recordar las cuatro reglas, solo necesitas recordar una, esta: \(c(a-b)=ca-cb\) . ¿Por qué? Porque si sustituimos uno en lugar de c, obtenemos la regla \((a-b)=a-b\) . Y si sustituimos menos uno, obtenemos la regla \(-(a-b)=-a+b\) . Bueno, si sustituyes otro paréntesis en lugar de c, puedes obtener la última regla.
paréntesis dentro de paréntesis
A veces, en la práctica, hay problemas con los corchetes anidados dentro de otros corchetes. He aquí un ejemplo de tal tarea: simplificar la expresión \(7x+2(5-(3x+y))\).
Para tener éxito en estas tareas, necesita:
- comprenda cuidadosamente el anidamiento de los soportes: cuál está en cuál;
- abra los paréntesis secuencialmente, empezando, por ejemplo, por el más interior.
Es importante al abrir uno de los soportes no toques el resto de la expresión, simplemente reescribiéndolo como está.
Tomemos la tarea anterior como ejemplo.
Ejemplo.
Abre los paréntesis y da los términos similares \(7x+2(5-(3x+y))\).
Solución:
Ejemplo.
Expande los paréntesis y da términos semejantes \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Solución
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Esta es una anidación triple de paréntesis. Comenzamos con el más interno (resaltado en verde). Hay un signo más delante del paréntesis, por lo que simplemente se elimina. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Ahora necesitas abrir el segundo soporte, intermedio. Pero antes de eso, simplificaremos la expresión ocultando términos similares en este segundo paréntesis. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Ahora abrimos el segundo corchete (resaltado en azul). Hay un multiplicador delante del paréntesis, por lo que cada término del paréntesis se multiplica por él. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
Y abre el último paréntesis. Antes del corchete menos, por lo que todos los signos están invertidos. |
||
La apertura de corchetes es una habilidad básica en matemáticas. Sin esta habilidad, es imposible tener una calificación superior a tres en los grados 8 y 9. Por lo tanto, recomiendo una buena comprensión de este tema.
Entre las diversas expresiones que se consideran en álgebra, lugar importante son sumas de monomios. Aquí hay ejemplos de tales expresiones:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
La suma de monomios se llama polinomio. Los términos de un polinomio se llaman miembros del polinomio. Los mononomios también se conocen como polinomios, considerando un monomio como un polinomio que consta de un miembro.
Por ejemplo, polinomio
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
se puede simplificar
Representamos todos los términos como monomios de la forma estándar:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Damos términos similares en el polinomio resultante:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
El resultado es un polinomio, cuyos miembros son monomios de la forma estándar, y entre ellos no hay otros similares. Tales polinomios se llaman polinomios de forma estándar.
Por grado polinomial tomará de forma estándar la mayor de las facultades de sus integrantes. Entonces, el binomio \(12a^2b - 7b \) tiene el tercer grado, y el trinomio \(2b^2 -7b + 6 \) tiene el segundo.
Por lo general, los términos de los polinomios de forma estándar que contienen una variable se organizan en orden descendente de sus exponentes. Por ejemplo:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
La suma de varios polinomios se puede convertir (simplificar) en un polinomio de forma estándar.
A veces, los miembros de un polinomio deben dividirse en grupos, encerrando cada grupo entre paréntesis. Dado que los paréntesis son lo opuesto a los paréntesis, es fácil formular reglas de apertura de paréntesis:
Si el signo + se coloca antes de los corchetes, los términos encerrados entre paréntesis se escriben con los mismos signos.
Si se coloca un signo "-" delante de los corchetes, los términos encerrados entre paréntesis se escriben con signos opuestos.
Transformación (simplificación) del producto de un monomio y un polinomio
Usando la propiedad distributiva de la multiplicación, uno puede transformar (simplificar) el producto de un monomio y un polinomio en un polinomio. Por ejemplo:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
El producto de un monomio y un polinomio es idénticamente igual a la suma de los productos de este monomio y cada uno de los términos del polinomio.
Este resultado suele formularse como una regla.
Para multiplicar un monomio por un polinomio, hay que multiplicar este monomio por cada uno de los términos del polinomio.
Hemos usado repetidamente esta regla para multiplicar por una suma.
El producto de polinomios. Transformación (simplificación) del producto de dos polinomios
En general, el producto de dos polinomios es idénticamente igual a la suma del producto de cada término de un polinomio y cada término del otro.
Usualmente usa la siguiente regla.
Para multiplicar un polinomio por un polinomio, debes multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otro y sumar los productos resultantes.
Fórmulas de multiplicación abreviadas. Cuadrados de suma, diferencia y diferencia
Algunas expresiones en transformaciones algebraicas deben tratarse con más frecuencia que otras. Quizás las expresiones más comunes son \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) y \(a^2 - b^2 \), es decir, el cuadrado de la suma, el cuadrado de la diferencia y cuadrado de la diferencia. Notaste que los nombres de las expresiones indicadas parecen estar incompletos, así que, por ejemplo, \((a + b)^2 \) es, por supuesto, no solo el cuadrado de la suma, sino el cuadrado de la suma de a y B. Sin embargo, el cuadrado de la suma de a y b no es tan común, por regla general, en lugar de las letras a y b, contiene varias expresiones, a veces bastante complejas.
Las expresiones \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) son fáciles de convertir (simplificar) en polinomios de la forma estándar, de hecho, ya se ha encontrado con esa tarea al multiplicar polinomios :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Las identidades resultantes son útiles para recordar y aplicar sin cálculos intermedios. Las formulaciones verbales breves ayudan en esto.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - el cuadrado de la suma es igual a la suma de los cuadrados y el doble producto.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - el cuadrado de la diferencia es la suma de los cuadrados sin duplicar el producto.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - la diferencia de cuadrados es igual al producto de la diferencia y la suma.
Estas tres identidades permiten en las transformaciones reemplazar sus partes izquierdas por las derechas y viceversa, las partes derechas por las izquierdas. Lo más difícil en este caso es ver las expresiones correspondientes y comprender qué reemplazan las variables a y b en ellas. Veamos algunos ejemplos del uso de fórmulas de multiplicación abreviadas.
En esta lección, aprenderá cómo transformar una expresión que contiene paréntesis en una expresión que no contiene paréntesis. Aprenderá a abrir corchetes precedidos por un signo más y un signo menos. Recordaremos cómo abrir paréntesis usando la ley distributiva de la multiplicación. Los ejemplos considerados permitirán vincular material nuevo y previamente estudiado en un todo único.
Tema: Resolución de ecuaciones
Lección: Expansión de paréntesis
Cómo abrir corchetes precedidos por un signo "+". Uso de la ley asociativa de la suma.
Si necesita sumar la suma de dos números a un número, puede sumar el primer término a este número y luego el segundo.
A la izquierda del signo igual hay una expresión entre paréntesis y a la derecha hay una expresión sin paréntesis. Esto quiere decir que al pasar del lado izquierdo de la igualdad al lado derecho, se abrieron los paréntesis.
Considere ejemplos.
Ejemplo 1 
Expandiendo los paréntesis, cambiamos el orden de las operaciones. Contar se ha vuelto más conveniente.
Ejemplo 2 
Ejemplo 3
Tenga en cuenta que en los tres ejemplos, simplemente eliminamos los paréntesis. Formulemos la regla:
Comentario.
Si el primer término entre paréntesis no tiene signo, debe escribirse con un signo más.
Puedes seguir el ejemplo paso a paso. Primero, suma 445 a 889. Esta acción mental se puede realizar, pero no es muy fácil. Abramos los paréntesis y veamos que el cambio en el orden de las operaciones simplificará enormemente los cálculos.
Si sigue el orden de acciones indicado, primero debe restar 345 de 512 y luego agregar al resultado 1345. Al expandir los corchetes, cambiaremos el orden de las acciones y simplificaremos enormemente los cálculos.
Ejemplo ilustrativo y regla.
Considere un ejemplo: . Puedes encontrar el valor de la expresión sumando 2 y 5, y luego tomando el número resultante con el signo opuesto. Obtenemos -7.
Por otro lado, se puede obtener el mismo resultado sumando los números opuestos.
Formulemos la regla:
Ejemplo 1 
Ejemplo 2
La regla no cambia si no hay dos, sino tres o más términos entre paréntesis.
Ejemplo 3 
Comentario. Los signos se invierten solo delante de los términos.
Para abrir paréntesis, este caso Recuerda la propiedad distributiva.
Primero, multiplica el primer paréntesis por 2 y el segundo por 3.
El primer corchete está precedido por un signo "+", lo que significa que los signos deben dejarse sin cambios. El segundo está precedido por un signo "-", por lo tanto, todos los signos deben invertirse
Bibliografía
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matemáticas 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matemáticas 6to grado. - Gimnasio, 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Detrás de las páginas de un libro de texto de matemáticas. - Ilustración, 1989.
- Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Tareas para el curso de matemáticas grado 5-6 - ZSH MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matemáticas 5-6. Un manual para estudiantes del 6º grado de la escuela por correspondencia MEPhI. - ZSH MEPHI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov IO, Volkov M.V. Matemáticas: Libro de texto-interlocutor para 5-6 grados de bachillerato. Biblioteca del profesor de matemáticas. - Ilustración, 1989.
- Pruebas de matemáticas en línea ().
- Puede descargar los especificados en la cláusula 1.2. libros().
Tarea
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matemáticas 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (ver enlace 1.2)
- Tarea: No. 1254, No. 1255, No. 1256 (b, d)
- Otras asignaciones: No. 1258(c), No. 1248
En este artículo, consideraremos en detalle las reglas básicas para un tema tan importante en un curso de matemáticas como los paréntesis de apertura. Debe conocer las reglas para abrir corchetes para resolver correctamente las ecuaciones en las que se utilizan.
Cómo abrir correctamente los paréntesis al sumar
Expanda los corchetes precedidos por el signo "+"
Este es el caso más simple, porque si hay un signo de adición delante de los corchetes, cuando se abren los corchetes, los signos dentro de ellos no cambian. Ejemplo:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Cómo abrir corchetes precedidos por un signo "-"
En este caso, debe volver a escribir todos los términos sin corchetes, pero al mismo tiempo cambiar todos los signos dentro de ellos por los opuestos. Los signos cambian solo para los términos de aquellos corchetes que fueron precedidos por el signo "-". Ejemplo:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Cómo abrir corchetes al multiplicar
Los paréntesis van precedidos de un multiplicador
En este caso, debe multiplicar cada término por un factor y abrir los paréntesis sin cambiar de signo. Si el multiplicador tiene el signo "-", entonces, al multiplicar, los signos de los términos se invierten. Ejemplo:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Cómo abrir dos corchetes con un signo de multiplicación entre ellos
En este caso, debe multiplicar cada término del primer paréntesis con cada término del segundo paréntesis y luego sumar los resultados. Ejemplo:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Cómo abrir corchetes en un cuadrado
Si la suma o diferencia de dos términos está elevada al cuadrado, los paréntesis deben expandirse de acuerdo con la siguiente fórmula:
(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.
En el caso de un signo menos dentro de los corchetes, la fórmula no cambia. Ejemplo:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Cómo abrir paréntesis en un grado diferente
Si la suma o la diferencia de los términos se eleva, por ejemplo, a la tercera o cuarta potencia, entonces solo necesita dividir el grado del paréntesis en "cuadrados". Se suman las potencias de los mismos factores, y al dividir se resta el grado del divisor al grado del dividendo. Ejemplo:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Cómo abrir 3 corchetes
Hay ecuaciones en las que se multiplican 3 paréntesis a la vez. En este caso, primero debes multiplicar los términos de los dos primeros corchetes entre sí, y luego multiplicar la suma de esta multiplicación por los términos del tercer corchete. Ejemplo:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Estas reglas de apertura de paréntesis se aplican por igual a las ecuaciones lineales y trigonométricas.