Reglas de progresión geométrica. Progresión geométrica

>>Matemáticas: progresión geométrica

Para comodidad del lector, esta sección sigue exactamente el mismo plan que seguimos en la sección anterior.

1. Conceptos básicos.

Definición. Una sucesión numérica, cuyos miembros son todos distintos de 0 y cada miembro, a partir del segundo, se obtiene del miembro anterior multiplicándolo por el mismo número, se denomina progresión geométrica. En este caso, el número 5 se llama denominador de una progresión geométrica.

Así, una progresión geométrica es una sucesión numérica (b n) dada recursivamente por las relaciones

¿Es posible, observando una secuencia de números, determinar si se trata de una progresión geométrica? Poder. Si está convencido de que la razón de cualquier miembro de la sucesión al miembro anterior es constante, entonces tiene una progresión geométrica.
Ejemplo 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Ejemplo 2

Esta es una progresión geométrica que
Ejemplo 3

Esta es una progresión geométrica que
Ejemplo 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Esta es una progresión geométrica donde b 1 - 8, q = 1.

Tenga en cuenta que esta secuencia también es una progresión aritmética (consulte el Ejemplo 3 del § 15).

Ejemplo 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

Esta es una progresión geométrica, en la que b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

Obviamente, una progresión geométrica es una secuencia creciente si b 1 > 0, q > 1 (ver Ejemplo 1), y una secuencia decreciente si b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Para indicar que la secuencia (b n) es una progresión geométrica, a veces es conveniente la siguiente notación:

El icono reemplaza la frase "progresión geométrica".
Notamos una propiedad curiosa y al mismo tiempo bastante obvia de una progresión geométrica:
Si la secuencia es una progresión geométrica, entonces la secuencia de cuadrados, es decir es una progresión geométrica.
En la segunda progresión geométrica, el primer término es igual a igual a q 2.
Si descartamos todos los términos que siguen a b n exponencialmente, entonces obtenemos una progresión geométrica finita
En los siguientes párrafos de esta sección, consideraremos las propiedades más importantes de una progresión geométrica.

2. Fórmula del término n-ésimo de una progresión geométrica.

Considere una progresión geométrica denominador q. Tenemos:

No es difícil adivinar que para cualquier número n la igualdad

Esta es la fórmula para el enésimo término de una progresión geométrica.

Comentario.

Si ha leído la observación importante del párrafo anterior y la ha entendido, intente probar la fórmula (1) por inducción matemática, tal como se hizo con la fórmula del término n de una progresión aritmética.

Reescribamos la fórmula del enésimo término de la progresión geométrica

e introduzca la notación: Obtenemos y \u003d mq 2, o, con más detalle,
El argumento x está contenido en el exponente, por lo que dicha función se llama función exponencial. Esto significa que una progresión geométrica puede considerarse como una función exponencial dada sobre el conjunto N de números naturales. En la fig. 96a muestra un gráfico de la función de la Fig. 966 - gráfico de función En ambos casos, tenemos puntos aislados (con abscisas x = 1, x = 2, x = 3, etc.) que se encuentran en alguna curva (ambas figuras muestran la misma curva, solo que ubicadas de manera diferente y representadas en escalas diferentes). Esta curva se llama exponente. Se discutirá más sobre la función exponencial y su gráfico en el curso de álgebra de grado 11.

Volvamos a los ejemplos 1-5 del párrafo anterior.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Esta es una progresión geométrica, en la que b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Hagamos una fórmula para el enésimo término
2) Esta es una progresión geométrica, en la que vamos a formular el n-ésimo término

Esta es una progresión geométrica que Componer la fórmula para el n-ésimo término
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Esta es una progresión geométrica, en la que b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Hagamos una fórmula para el enésimo término
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Esta es una progresión geométrica, en la que b 1 = 2, q = -1. Componer la fórmula para el n-ésimo término

Ejemplo 6

Dada una progresión geométrica

En todos los casos, la solución se basa en la fórmula del n-ésimo miembro de una progresión geométrica

a) Poniendo n = 6 en la fórmula del n-ésimo término de la progresión geométrica, obtenemos

b) tenemos

Como 512 \u003d 2 9, obtenemos n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.

d) tenemos

Ejemplo 7

La diferencia entre los miembros séptimo y quinto de la progresión geométrica es 48, la suma de los miembros quinto y sexto de la progresión también es 48. Encuentra el duodécimo miembro de esta progresión.

Primera etapa. Elaboración de un modelo matemático.

Las condiciones de la tarea se pueden escribir brevemente de la siguiente manera:

Usando la fórmula del n-ésimo miembro de una progresión geométrica, obtenemos:
Entonces la segunda condición del problema (b 7 - b 5 = 48) se puede escribir como

La tercera condición del problema (b 5 +b 6 = 48) se puede escribir como

Como resultado, obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos variables b 1 y q:

que, en combinación con la condición 1) escrita anteriormente, es el modelo matemático del problema.

Segunda fase.

Trabajando con el modelo compilado. Igualando las partes izquierdas de ambas ecuaciones del sistema, obtenemos:

(Hemos dividido ambos lados de la ecuación en la expresión b 1 q 4 , que es diferente de cero).

De la ecuación q 2 - q - 2 = 0 encontramos q 1 = 2, q 2 = -1. Sustituyendo el valor q = 2 en la segunda ecuación del sistema, obtenemos
Sustituyendo el valor q = -1 en la segunda ecuación del sistema, obtenemos b 1 1 0 = 48; esta ecuación no tiene soluciones.

Entonces, b 1 \u003d 1, q \u003d 2: este par es la solución al sistema de ecuaciones compilado.

Ahora podemos escribir la progresión geométrica en cuestión: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Tercera etapa.

La respuesta a la pregunta del problema. Se requiere calcular b 12 . Tenemos

Respuesta: b 12 = 2048.

3. La fórmula de la suma de los miembros de una progresión geométrica finita.

Sea una progresión geométrica finita

Denotar por S n la suma de sus términos, i.e.

Vamos a derivar una fórmula para encontrar esta suma.

Comencemos con el caso más simple, cuando q = 1. Entonces la progresión geométrica b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn consta de n números iguales a b 1 , es decir la progresión es b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . La suma de estos números es nb 1 .

Sea ahora q = 1 Para encontrar S n, usamos un truco artificial: realicemos algunas transformaciones de la expresión S n q. Tenemos:

Realizando transformaciones, en primer lugar, utilizamos la definición de una progresión geométrica, según la cual (ver la tercera línea de razonamiento); en segundo lugar, sumaron y restaron por qué el significado de la expresión, por supuesto, no cambió (ver la cuarta línea de razonamiento); en tercer lugar, usamos la fórmula del n-ésimo miembro de una progresión geométrica:

De la fórmula (1) encontramos:

Esta es la fórmula para la suma de n miembros de una progresión geométrica (para el caso cuando q = 1).

Ejemplo 8

Dada una progresión geométrica finita

a) la suma de los miembros de la progresión; b) la suma de los cuadrados de sus términos.

b) Arriba (ver p. 132) ya hemos señalado que si todos los miembros de una progresión geométrica se elevan al cuadrado, entonces se obtendrá una progresión geométrica con el primer miembro b 2 y el denominador q 2. Entonces la suma de los seis términos de la nueva progresión será calculada por

Ejemplo 9

Encuentre el octavo término de una progresión geométrica para la cual

De hecho, hemos probado el siguiente teorema.

Una sucesión numérica es una progresión geométrica si y solo si el cuadrado de cada uno de sus términos, excepto el primero (y el último, en el caso de una sucesión finita), es igual al producto de los términos anterior y posterior (una propiedad característica de una progresión geométrica).

La progresión geométrica, junto con la aritmética, es una serie de números importante que se estudia en el curso de álgebra escolar en el grado 9. En este artículo, consideraremos el denominador de una progresión geométrica y cómo su valor afecta sus propiedades.

Definición de progresión geométrica

Para empezar, damos la definición de esta serie de números. Una progresión geométrica es una serie de números racionales que se forma multiplicando sucesivamente su primer elemento por un número constante llamado denominador.

Por ejemplo, los números de la serie 3, 6, 12, 24,... son una progresión geométrica, porque si multiplicamos 3 (el primer elemento) por 2, obtenemos 6. Si multiplicamos 6 por 2, obtenemos 12, y así sucesivamente.

Los miembros de la secuencia bajo consideración generalmente se denotan con el símbolo ai, donde i es un número entero que indica el número del elemento en la serie.

La definición anterior de una progresión se puede escribir en el lenguaje matemático de la siguiente manera: an = bn-1 * a1, donde b es el denominador. Es fácil verificar esta fórmula: si n = 1, entonces b1-1 = 1, y obtenemos a1 = a1. Si n = 2, entonces an = b * a1, y nuevamente llegamos a la definición de la serie de números bajo consideración. Se puede continuar con un razonamiento similar para valores grandes de n.

El denominador de una progresión geométrica.

El número b determina completamente qué carácter tendrá toda la serie numérica. El denominador b puede ser positivo, negativo, mayor o menor que uno. Todas las opciones anteriores conducen a diferentes secuencias:

b > 1. Hay una serie creciente de números racionales. Por ejemplo, 1, 2, 4, 8, ... Si el elemento a1 es negativo, toda la secuencia aumentará solo en módulo, pero disminuirá teniendo en cuenta el signo de los números.
b = 1. A menudo, este caso no se denomina progresión, ya que existe una serie ordinaria de números racionales idénticos. Por ejemplo, -4, -4, -4.

fórmula para la suma

Antes de proceder a revisar Tareas específicas utilizando el denominador del tipo de progresión en consideración, se debe dar una fórmula importante para la suma de sus primeros n elementos. La fórmula es: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Puede obtener esta expresión usted mismo si considera una secuencia recursiva de miembros de la progresión. También tenga en cuenta que en la fórmula anterior, es suficiente conocer solo el primer elemento y el denominador para encontrar la suma de un número arbitrario de términos.

Secuencia infinitamente decreciente

Arriba había una explicación de lo que es. Ahora, conociendo la fórmula de Sn, apliquémosla a esta serie de números. Dado que cualquier número cuyo módulo no exceda de 1 tiende a cero cuando se eleva a grandes potencias, es decir, b∞ => 0 si -1

Dado que la diferencia (1 - b) siempre será positiva, independientemente del valor del denominador, el signo de la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente S∞ está determinado únicamente por el signo de su primer elemento a1.

Ahora consideraremos varios problemas, donde mostraremos cómo aplicar el conocimiento adquirido a números específicos.

Tarea número 1. Cálculo de elementos desconocidos de la progresión y la suma.

Dada una progresión geométrica, el denominador de la progresión es 2 y su primer elemento es 3. ¿Cuáles serán sus términos 7 y 10 y cuál es la suma de sus siete elementos iniciales?

La condición del problema es bastante simple e implica el uso directo de las fórmulas anteriores. Entonces, para calcular el elemento de número n, usamos la expresión an = bn-1 * a1. Para el 7º elemento tenemos: a7 = b6 * a1, sustituyendo los datos conocidos, obtenemos: a7 = 26 * 3 = 192. Hacemos lo mismo para el 10º miembro: a10 = 29 * 3 = 1536.

Usamos la conocida fórmula de la suma y determinamos este valor para los primeros 7 elementos de la serie. Tenemos: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Tarea número 2. Determinar la suma de elementos arbitrarios de la progresión.

Sea -2 el denominador de la progresión exponencial bn-1 * 4, donde n es un número entero. Es necesario determinar la suma del 5° al 10° elemento de esta serie, inclusive.

El problema planteado no puede resolverse directamente utilizando fórmulas conocidas. Se puede resolver de 2 maneras diferentes. En aras de la exhaustividad, presentamos ambos.

Método 1. Su idea es simple: debe calcular las dos sumas correspondientes de los primeros términos y luego restar el otro de uno. Calcula la suma menor: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Ahora calculamos una cantidad grande: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Tenga en cuenta que en la última expresión, solo se sumaron 4 términos, ya que el quinto ya está incluido en la suma que debe calcularse según la condición del problema. Finalmente, sacamos la diferencia: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Método 2. Antes de sustituir números y contar, puedes obtener una fórmula para la suma entre los términos m y n de la serie en cuestión. Actuamos exactamente de la misma manera que en el método 1, solo que trabajamos primero con la representación simbólica de la suma. Tenemos: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Puede sustituir números conocidos en la expresión resultante y calcular el resultado final: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Tarea número 3. ¿Cuál es el denominador?

Sea a1 = 2, encuentre el denominador de la progresión geométrica, siempre que su suma infinita sea 3, y se sepa que esta es una serie decreciente de números.

De acuerdo con la condición del problema, no es difícil adivinar qué fórmula se debe utilizar para resolverlo. Por supuesto, por la suma de una progresión infinitamente decreciente. Tenemos: S∞ = a1 / (1 - b). De donde expresamos el denominador: b = 1 - a1 / S∞. Queda por sustituir los valores conocidos y obtener el número requerido: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 o -0.333 (3). Este resultado lo podemos comprobar cualitativamente si recordamos que para este tipo de sucesiones el módulo b no debe ir más allá de 1. Como ves, |-1 / 3|

Tarea número 4. Restaurar una serie de números.

Sean dados 2 elementos de una serie numérica, por ejemplo, el 5º es igual a 30 y el 10º es igual a 60. Es necesario restituir toda la serie a partir de estos datos, sabiendo que cumple las propiedades de una progresión geométrica.

Para resolver el problema, primero debes escribir la expresión correspondiente para cada miembro conocido. Tenemos: a5 = b4 * a1 y a10 = b9 * a1. Ahora dividimos la segunda expresión por la primera, obtenemos: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. A partir de aquí determinamos el denominador tomando la raíz de quinto grado de la razón de los miembros conocidos de la condición del problema, b = 1.148698. Sustituimos el número resultante en una de las expresiones de un elemento conocido, obtenemos: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Así, hemos encontrado cuál es el denominador de la progresión bn, y la progresión geométrica bn-1 * 17,2304966 = an, donde b = 1,148698.

¿Dónde se usan las progresiones geométricas?

Si no hubiera aplicación de esta serie numérica en la práctica, entonces su estudio quedaría reducido a un interés puramente teórico. Pero existe tal aplicación.

Los 3 ejemplos más famosos se enumeran a continuación:

La paradoja de Zenón, en la que el ágil Aquiles no puede alcanzar a la lenta tortuga, se resuelve utilizando el concepto de una secuencia de números infinitamente decreciente.
Si se colocan granos de trigo en cada celda del tablero de ajedrez de modo que se coloque 1 grano en la primera celda, 2 en la segunda, 3 en la tercera y así sucesivamente, se necesitarán 18446744073709551615 granos para llenar todas las celdas de ¡el tablero!
En el juego "Tower of Hanoi", para reorganizar los discos de una barra a otra, es necesario realizar operaciones 2n - 1, es decir, su número crece exponencialmente a partir de la cantidad de discos n utilizados.

La fórmula para el n-ésimo miembro de una progresión geométrica es algo muy simple. Tanto en significado como en general. Pero hay todo tipo de problemas para la fórmula del n-ésimo miembro, desde muy primitivos hasta bastante serios. Y en el proceso de nuestro conocimiento, definitivamente los consideraremos a ambos. Bueno, ¿nos vemos?)

Entonces, para empezar, en realidad fórmulanorte

Ahí está ella:

segundo norte = B 1 · q norte -1

Fórmula como fórmula, nada sobrenatural. Parece aún más simple y compacto que la fórmula similar para . El significado de la fórmula también es simple, como una bota de fieltro.

Esta fórmula le permite encontrar CUALQUIER miembro de una progresión geométrica POR SU NÚMERO " norte".

Como puedes ver, el significado es una completa analogía con una progresión aritmética. Conocemos el número n; también podemos calcular el término bajo este número. Lo que nosotros queremos. No multiplicando secuencialmente por "q" muchas, muchas veces. Ese es todo el punto.)

Entiendo que a este nivel de trabajo con progresiones, todas las cantidades incluidas en la fórmula ya te deben quedar claras, pero considero mi deber descifrar cada una. Por si acaso.

Entonces vamos:

B 1 – primero miembro de una progresión geométrica;

q – ;

norte- número de miembro;

segundo norte – enésimo (norteth) miembro de una progresión geométrica.

Esta fórmula vincula los cuatro parámetros principales de cualquier progresión geométrica: Bnorte, B 1 , q y norte. Y alrededor de estas cuatro figuras clave, giran todas las tareas en progresión.

"¿Y cómo se muestra?"- Escucho una pregunta curiosa... ¡Elemental! ¡Mirar!

que es igual a segundo miembro de progresión? ¡No hay problema! Escribimos directamente:

segundo 2 = segundo 1 q

¿Y el tercer miembro? ¡Tampoco hay problema! Multiplicamos el segundo término de nuevo enq.

Como esto:

segundo 3 \u003d segundo 2 q

Recuerda ahora que el segundo término, a su vez, es igual a b 1 q y sustituye esta expresión en nuestra igualdad:

segundo 3 = segundo 2 q = (segundo 1 q) q = segundo 1 q q = segundo 1 q 2

Obtenemos:

B 3 = segundo 1 q 2

Ahora leamos nuestra entrada en ruso: tercera miembro igual al primero término multiplicado por q en segundo la licenciatura. ¿Lo entiendes? ¿Aún no? Bien, un paso más.

¿Cuál es el cuarto término? ¡Todos iguales! Multiplicar anterior(es decir, el tercer término) en q:

segundo 4 \u003d segundo 3 q \u003d (segundo 1 q 2) q \u003d segundo 1 q 2 q \u003d segundo 1 q 3

Total:

B 4 = segundo 1 q 3

Y nuevamente traducimos al ruso: cuatro término es igual al primer término multiplicado por q en tercera la licenciatura.

Etc ¿Entonces, cómo es eso? ¿Captaste el patrón? ¡Sí! Para cualquier término con cualquier número, el número de factores iguales q (es decir, la potencia del denominador) siempre será uno menos que el número del miembro deseadonorte.

Por tanto, nuestra fórmula será, sin opciones:

segundo norte =B 1 · q norte -1

Eso es todo.)

Bueno, resolvamos los problemas, ¿de acuerdo?)

Resolver problemas en una fórmulanorteth término de una progresión geométrica.

Comencemos, como de costumbre, con una aplicación directa de la fórmula. Aquí hay un problema típico:

Se sabe exponencialmente que B 1 = 512 y q = -1/2. Encuentre el décimo término de la progresión.

Por supuesto, este problema se puede resolver sin ninguna fórmula. Como una progresión geométrica. Pero necesitamos entrar en calor con la fórmula del término n, ¿no? Aquí estamos rompiendo.

Nuestros datos para aplicar la fórmula son los siguientes.

El primer término es conocido. Este es el 512.

B 1 = 512.

También se conoce el denominador de la progresión: q = -1/2.

Solo queda averiguar a qué es igual el número del término n. ¡No hay problema! ¿Nos interesa el décimo término? Así que sustituimos diez en lugar de n en la fórmula general.

Y calcula cuidadosamente la aritmética:

Respuesta 1

Como puedes ver, el décimo término de la progresión resultó ser con menos. No es de extrañar: el denominador de la progresión es -1/2, es decir, negativo número. Y esto nos dice que los signos de nuestra progresión se alternan, sí.)

Todo es simple aquí. Y aquí hay un problema similar, pero un poco más complicado en términos de cálculos.

En progresión geométrica, sabemos que:

B 1 = 3

Encuentre el decimotercer término de la progresión.

Todo es igual, solo que esta vez el denominador de la progresión - irracional. Raíz de dos. Bueno, no es gran cosa. La fórmula es algo universal, se adapta a cualquier número.

Trabajamos directamente según la fórmula:

La fórmula, por supuesto, funcionó como debería, pero... aquí es donde algunos colgarán. ¿Qué hacer a continuación con la raíz? ¿Cómo elevar una raíz a la duodécima potencia?

Cómo, cómo ... Debe comprender que cualquier fórmula, por supuesto, es algo bueno, ¡pero el conocimiento de todas las matemáticas anteriores no se cancela! ¿Cómo criar? ¡Sí, recuerda las propiedades de los grados! Cambiemos la raíz a grado fraccionario y - por la fórmula de elevar una potencia a una potencia.

Como esto:

Respuesta: 192

y todas las cosas).

¿Cuál es la principal dificultad en la aplicación directa de la fórmula del n-ésimo término? ¡Sí! La principal dificultad es trabajar con grados! A saber, la exponenciación de números negativos, fracciones, raíces y construcciones similares. Entonces, aquellos que tengan problemas con esto, ¡una solicitud urgente para repetir los grados y sus propiedades! De lo contrario, disminuirá la velocidad en este tema, sí ...)

Ahora resolvamos problemas típicos de búsqueda uno de los elementos de la formula si todos los demás están dados. Para la solución exitosa de tales problemas, la receta es única y simple para el horror: escribir la fórmulanortemiembro en vista general! Justo en el cuaderno junto a la condición. Y luego, a partir de la condición, averiguamos qué se nos da y qué no es suficiente. Y expresamos el valor deseado de la fórmula. ¡Todo!

Por ejemplo, un problema tan inofensivo.

El quinto término de una progresión geométrica con denominador 3 es 567. Encuentra el primer término de esta progresión.

Nada complicado. Trabajamos directamente según el hechizo.

¡Escribimos la fórmula del término n!

segundo norte = B 1 · q norte -1

¿Qué se nos da? Primero, se da el denominador de la progresión: q = 3.

Además, se nos da quinto miembro: B 5 = 567 .

¿Todo? ¡No! ¡También nos dan el número n! Este es un cinco: n = 5.

Espero que ya entiendas lo que hay en el registro. B 5 = 567 dos parámetros están ocultos a la vez: este es el quinto miembro (567) y su número (5). En una lección similar ya hablé sobre esto, pero creo que no está de más recordarlo aquí).

Ahora sustituimos nuestros datos en la fórmula:

567 = B 1 3 5-1

Consideramos aritmética, simplificamos y obtenemos una ecuación lineal simple:

81 B 1 = 567

Resolvemos y obtenemos:

B 1 = 7

Como puede ver, no hay problemas para encontrar el primer miembro. Pero al buscar el denominador q y numeros norte puede haber sorpresas. Y también debes estar preparado para ellos (sorpresas), sí).

Por ejemplo, tal problema:

El quinto término de una progresión geométrica con denominador positivo es 162, y el primer término de esta progresión es 2. Encuentra el denominador de la progresión.

Esta vez se nos dan los miembros primero y quinto, y se nos pide encontrar el denominador de la progresión. Aquí empezamos.

Escribimos la fórmulanortemiembro!

segundo norte = B 1 · q norte -1

Nuestros datos iniciales serán los siguientes:

B 5 = 162

B 1 = 2

norte = 5

No hay suficiente valor q. ¡No hay problema! Encontrémoslo ahora.) Sustituimos todo lo que sabemos en la fórmula.

Obtenemos:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Una ecuación simple de cuarto grado. Pero ahora - ¡con cuidado! En esta etapa de la solución, muchos estudiantes inmediatamente extraen con alegría la raíz (de cuarto grado) y obtienen la respuesta q=3 .

Como esto:

q4 = 81

q = 3

Pero en general, esta es una respuesta inconclusa. O mejor dicho, incompleto. ¿Por qué? El punto es que la respuesta q = -3 también cabe: (-3) 4 también sería 81!

Esto se debe a que la ecuación de potencia x norte = a siempre ha dos raíces opuestas en inclusonorte . Más y menos:

Ambos encajan.

Por ejemplo, resolver (es decir, segundo grados)

x2 = 9

Por alguna razón no te sorprende la apariencia. dos raíces x=±3? Es lo mismo aqui. y con cualquier otro incluso grado (cuarto, sexto, décimo, etc.) será el mismo. Detalles - en el tema sobre

Entonces la solución correcta sería:

q 4 = 81

q= ±3

Bien, tenemos las señales resueltas. ¿Cuál es la correcta, más o menos? Bueno, volvemos a leer la condición del problema en busca de información adicional. Por supuesto, puede que no exista, pero en este problema tal información disponible. En nuestra condición, se afirma directamente que se da una progresión con denominador positivo.

Así que la respuesta es obvia:

q = 3

Todo es simple aquí. ¿Qué crees que pasaría si el enunciado del problema fuera así?

El quinto término de una progresión geométrica es 162 y el primer término de esta progresión es 2. Encuentra el denominador de la progresión.

¿Cual es la diferencia? ¡Sí! en la condición nada sin mención del denominador. Ni directa ni indirectamente. Y aquí el problema ya tendría dos soluciones!

q = 3 y q = -3

¡Sí Sí! Y con más y menos.) Matemáticamente, este hecho significaría que hay dos progresiones que se ajusten a la tarea. Y para cada uno, su propio denominador. Para divertirse, practique y escriba los primeros cinco términos de cada uno).

Ahora vamos a practicar para encontrar el número de miembro. Este es el más difícil, sí. Pero también más creativo.

Dada una progresión geométrica:

3; 6; 12; 24; …

¿Qué número es 768 en esta progresión?

El primer paso es el mismo: escribir la fórmulanortemiembro!

segundo norte = B 1 · q norte -1

Y ahora, como de costumbre, reemplazamos los datos que conocemos. Hm... ¡no encaja! ¿Dónde está el primer miembro, dónde está el denominador, dónde está todo lo demás?

Dónde, dónde... ¿Por qué necesitamos ojos? ¿Pestañas aleteando? Esta vez la progresión se nos da directamente en la forma secuencias.¿Podemos ver el primer término? ¡Vemos! Este es un triple (b 1 = 3). ¿Qué pasa con el denominador? Todavía no lo vemos, pero es muy fácil de contar. Si, por supuesto, usted entiende.

Aquí consideramos. Directamente según el significado de una progresión geométrica: tomamos cualquiera de sus miembros (excepto el primero) y lo dividimos por el anterior.

Al menos así:

q = 24/12 = 2

¿Qué más sabemos? También conocemos algún miembro de esta progresión, igual a 768. Bajo algún número n:

segundo norte = 768

No sabemos su número, pero nuestra tarea es precisamente encontrarlo). Así que estamos buscando. Ya hemos descargado todos los datos necesarios para la sustitución en la fórmula. imperceptiblemente.)

Aquí sustituimos:

768 = 3 2norte -1

Hacemos elementales: dividimos ambas partes por tres y reescribimos la ecuación en la forma habitual: lo desconocido a la izquierda, lo conocido a la derecha.

Obtenemos:

2 norte -1 = 256

Aquí hay una ecuación interesante. Necesitamos encontrar "n". ¿Qué es inusual? Sí, no discuto. En realidad, es el más simple. Se llama así porque lo desconocido (en este caso este número norte) se encuentra en indicador la licenciatura.

En la etapa de familiarización con una progresión geométrica (este es el noveno grado), no se enseña a resolver ecuaciones exponenciales, sí ... Este es un tema para la escuela secundaria. Pero no hay nada terrible. Incluso si no sabe cómo se resuelven tales ecuaciones, tratemos de encontrar nuestro norte guiada por la lógica simple y el sentido común.

Empezamos a discutir. A la izquierda tenemos un deuce hasta cierto punto. Todavía no sabemos qué es exactamente este grado, pero esto no da miedo. ¡Pero por otro lado, sabemos firmemente que este grado es igual a 256! Entonces recordemos hasta qué punto el dos nos da 256. ¿Recuerdas? ¡Sí! V octavo grados!

256 = 2 8

Si no recordaste o con el reconocimiento de los grados del problema, entonces también está bien: elevamos sucesivamente los dos al cuadrado, al cubo, a la cuarta potencia, a la quinta, y así sucesivamente. La selección, de hecho, pero a este nivel, es todo un paseo.

De una forma u otra, obtendremos:

2 norte -1 = 2 8

norte-1 = 8

norte = 9

Entonces 768 es noveno miembro de nuestra progresión. Eso es todo, problema resuelto.)

Respuesta: 9

¿Qué? ¿Aburrido? ¿Cansado de la primaria? Estoy de acuerdo. Yo también. Pasemos al siguiente nivel.)

Tareas más complejas.

Y ahora resolvemos los acertijos más abruptamente. No es exactamente genial, pero en el que tienes que trabajar un poco para llegar a la respuesta.

Por ejemplo, así.

Encuentra el segundo término de una progresión geométrica si su cuarto término es -24 y el séptimo término es 192.

Este es un clásico del género. Se conocen dos miembros diferentes de la progresión, pero se debe encontrar un miembro más. Además, todos los miembros NO son vecinos. Lo que confunde al principio, sí...

Como en , consideramos dos métodos para resolver tales problemas. La primera forma es universal. Algebraico. Funciona perfectamente con cualquier fuente de datos. Así que ahí es donde vamos a empezar.)

Pintamos cada término según la fórmula nortemiembro!

Todo es exactamente igual que con una progresión aritmética. Solo que esta vez estamos trabajando con otro formula general. Eso es todo.) Pero la esencia es la misma: tomamos y en turno sustituimos nuestros datos iniciales en la fórmula del n-ésimo término. Para cada miembro - el suyo propio.

Para el cuarto término escribimos:

B 4 = B 1 · q 3

-24 = B 1 · q 3

Hay. Una ecuación está completa.

Para el séptimo término escribimos:

B 7 = B 1 · q 6

192 = B 1 · q 6

En total, se obtuvieron dos ecuaciones para la misma progresión .

Montamos un sistema a partir de ellos:

A pesar de su formidable apariencia, el sistema es bastante simple. La forma más obvia de resolver es la sustitución habitual. expresamos B 1 de la ecuación superior y sustituir en la inferior:

Jugando un poco con la ecuación inferior (reduciendo los exponentes y dividiendo por -24) se obtiene:

q 3 = -8

Por cierto, ¡se puede llegar a la misma ecuación de una manera más simple! ¿Qué? Ahora les mostraré otra forma secreta, pero muy hermosa, poderosa y útil de resolver tales sistemas. Tales sistemas, en cuyas ecuaciones se asientan solo funciona Al menos en uno. llamado método de división de términos una ecuación a otra.

Entonces tenemos un sistema:

En ambas ecuaciones de la izquierda - trabajo, y a la derecha hay solo un número. Esta es una muy buena señal.) ¡Tomemos y ... dividamos, digamos, la ecuación inferior por la superior! Que significa, dividir una ecuacion por otra? Muy simple. Nosotros tomamos lado izquierdo una ecuación (inferior) y dividimos ella en lado izquierdo otra ecuación (superior). El lado derecho es similar: lado derecho una ecuacion dividimos sobre el lado derecho otro.

Todo el proceso de división se ve así:

Ahora, reduciendo todo lo que se reduce, obtenemos:

q 3 = -8

¿Qué tiene de bueno este método? ¡Sí, porque en el proceso de tal división, todo lo malo e inconveniente se puede reducir de manera segura y queda una ecuación completamente inofensiva! Por eso es tan importante tener solo multiplicaciones en al menos una de las ecuaciones del sistema. No hay multiplicación, no hay nada que reducir, sí...

En general, este método (como muchas otras formas no triviales de resolver sistemas) incluso merece una lección aparte. Definitivamente lo miraré más de cerca. Algún día…

Sin embargo, no importa cómo resuelva el sistema, en cualquier caso, ahora necesitamos resolver la ecuación resultante:

q 3 = -8

No hay problema: extraemos la raíz (cúbica) y ¡listo!

Tenga en cuenta que no es necesario poner más / menos aquí al extraer. Tenemos una raíz de tercer grado impar. Y la respuesta es la misma, sí.

Entonces, se encuentra el denominador de la progresión. menos dos ¡Multa! El proceso está en marcha.)

Para el primer término (digamos de la ecuación superior) obtenemos:

¡Multa! Conocemos el primer término, conocemos el denominador. Y ahora tenemos la oportunidad de encontrar a cualquier miembro de la progresión. Incluido el segundo).

Para el segundo miembro, todo es bastante simple:

B 2 = B 1 · q= 3 (-2) = -6

Respuesta: -6

Entonces, hemos resuelto la forma algebraica de resolver el problema. ¿Duro? No mucho, estoy de acuerdo. ¿Largo y aburrido? Sí definitivamente. Pero a veces puede reducir significativamente la cantidad de trabajo. Para esto hay manera gráfica. Bueno viejo y familiar para nosotros por .)

¡Dibujemos el problema!

¡Sí! Exactamente. Una vez más representamos nuestra progresión en el eje numérico. No necesariamente por una regla, no es necesario mantener intervalos iguales entre los miembros (que, por cierto, ¡no serán iguales, porque la progresión es geométrica!), sino simplemente esquemáticamente dibujar nuestra secuencia.

Lo tengo así:

Ahora mira la imagen y piensa. ¿Cuántos factores iguales "q" comparten cuatro y séptimo miembros? ¡Así es, tres!

Por lo tanto, tenemos todo el derecho de escribir:

-24q 3 = 192

Desde aquí ahora es fácil encontrar q:

q 3 = -8

q = -2

Eso es genial, el denominador ya está en nuestro bolsillo. Y ahora volvemos a mirar la imagen: ¿cuántos denominadores de este tipo se encuentran entre segundo y cuatro miembros? ¡Dos! Por lo tanto, para registrar la relación entre estos miembros, elevaremos el denominador al cuadrado.

Aquí escribimos:

B 2 · q 2 = -24 , donde B 2 = -24/ q 2

Sustituimos nuestro denominador encontrado en la expresión para b 2 , contamos y obtenemos:

Respuesta: -6

Como puede ver, todo es mucho más simple y rápido que a través del sistema. ¡Además, aquí ni siquiera necesitábamos contar el primer término! En absoluto.)

Aquí hay una luz de camino tan simple y visual. Pero también tiene un serio inconveniente. ¿Adivinado? ¡Sí! Solo es bueno para piezas muy cortas de progresión. Aquellos donde las distancias entre los miembros que nos interesan no son muy grandes. Pero en todos los demás casos ya es difícil dibujar una imagen, sí ... Entonces resolvemos el problema analíticamente, a través de un sistema). Y los sistemas son algo universal. Trato con cualquier número.

Otra épica:

El segundo término de la progresión geométrica es 10 más que el primero, y el tercer término es 30 más que el segundo. Encuentre el denominador de la progresión.

¿Qué es genial? ¡Para nada! Todos iguales. Volvemos a traducir la condición del problema a álgebra pura.

1) Pintamos cada término según la fórmula nortemiembro!

Segundo término: b 2 = b 1 q

Tercer término: b 3 \u003d b 1 q 2

2) Anotamos la relación entre los miembros a partir de la condición del problema.

Leyendo la condición: "El segundo término de una progresión geométrica es 10 más que el primero".¡Detente, esto es valioso!

Entonces escribimos:

B 2 = B 1 +10

Y traducimos esta frase a pura matemática:

B 3 = B 2 +30

Tenemos dos ecuaciones. Los combinamos en un sistema:

El sistema parece simple. Pero hay muchos índices diferentes para las letras. ¡Sustituyamos en lugar del segundo y tercer miembro de su expresión por el primer miembro y denominador! ¿En vano, o qué, los pintamos?

Obtenemos:

Pero tal sistema ya no es un regalo, sí... ¿Cómo solucionar esto? Desafortunadamente, el hechizo secreto universal para resolver complejos no lineal No hay sistemas en matemáticas y no puede haberlos. ¡Es fantástico! Pero lo primero que debe venir a su mente al tratar de romper una nuez tan dura es averiguar Pero, ¿no se reduce una de las ecuaciones del sistema a una forma hermosa, que facilita, por ejemplo, expresar una de las variables en términos de otra?

Adivinemos. La primera ecuación del sistema es explícitamente más fácil que el segundo. Lo torturaremos.) ¿Por qué no intentar desde la primera ecuación? algo expresar a través ¿algo? Como queremos encontrar el denominador q, entonces sería más ventajoso para nosotros expresar B 1 a través de q.

Así que intentemos hacer este procedimiento con la primera ecuación, usando las buenas y antiguas:

segundo 1 q = segundo 1 +10

segundo 1 q - segundo 1 \u003d 10

b 1 (q-1) = 10

¡Todo! Aquí hemos expresado innecesario nosotros la variable (b 1) a través de necesario(q). Sí, no es la expresión más simple recibida. Algún tipo de fracción ... Pero nuestro sistema es de un nivel decente, sí).

Típico. Qué hacer, lo sabemos.

Escribimos ODZ (¡necesariamente!) :

q ≠ 1

Multiplicamos todo por el denominador (q-1) y reducimos todas las fracciones:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Dividimos todo por diez, abrimos los corchetes, recogemos todo a la izquierda:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Resolvemos la resultante y obtenemos dos raíces:

q 1 = 1

q 2 = 3

Solo hay una respuesta final: q = 3 .

Respuesta: 3

Como puedes ver, la forma de resolver la mayoría de los problemas para la fórmula del n-ésimo miembro de una progresión geométrica es siempre la misma: leemos con cuidado condición del problema y usando la fórmula del término n traducimos la totalidad información útil en álgebra pura.

A saber:

1) Escribimos por separado cada miembro dado en el problema según la fórmulanortemiembro.

2) A partir de la condición del problema, traducimos la conexión entre los miembros a una forma matemática. Componemos una ecuación o un sistema de ecuaciones.

3) Resolvemos la ecuación o sistema de ecuaciones resultante, encontramos los parámetros desconocidos de la progresión.

4) En caso de una respuesta ambigua, leemos cuidadosamente la condición del problema en busca de información adicional (si la hay). También verificamos la respuesta recibida con las condiciones de la ODZ (si corresponde).

Y ahora enumeramos los principales problemas que con mayor frecuencia conducen a errores en el proceso de resolución de problemas de progresión geométrica.

1. Aritmética elemental. Operaciones con fracciones y números negativos.

2. Si al menos uno de estos tres puntos es un problema, inevitablemente se equivocará en este tema. Desafortunadamente... Así que no seas perezoso y repite lo que se mencionó anteriormente. Y siga los enlaces - vaya. A veces ayuda.)

Fórmulas modificadas y recurrentes.

Y ahora veamos un par de problemas de examen típicos con una presentación menos familiar de la condición. ¡Sí, sí, lo has adivinado! Esta modificado y recurrente fórmulas del n-ésimo miembro. Ya hemos encontrado tales fórmulas y trabajado en progresión aritmética. Aquí todo es parecido. La esencia es la misma.

Por ejemplo, tal problema de la OGE:

La progresión geométrica viene dada por la fórmula segundo norte = 3 2 norte . Encuentre la suma del primer y cuarto término.

Esta vez la progresión se nos da no del todo como de costumbre. Una especie de fórmula. ¿Y qué? Esta fórmula es también una fórmulanortemiembro! Todos sabemos que la fórmula del término n se puede escribir tanto en forma general, mediante letras, como para progresión específica. CON específico primer término y denominador.

En nuestro caso, de hecho, se nos da una fórmula de término general para una progresión geométrica con los siguientes parámetros:

B 1 = 6

q = 2

¿Vamos a comprobar?) Escribamos la fórmula del n-ésimo término en forma general y sustituyamos en ella B 1 y q. Obtenemos:

segundo norte = B 1 · q norte -1

segundo norte= 6 2norte -1

Simplificamos, usando factorización y propiedades de potencia, y obtenemos:

segundo norte= 6 2norte -1 = 3 2 2norte -1 = 3 2norte -1+1 = 3 2norte

Como puedes ver, todo es justo. Pero nuestro objetivo contigo no es demostrar la derivación de una fórmula específica. Esto es así, una digresión lírica. Puramente para entender.) Nuestro objetivo es resolver el problema de acuerdo con la fórmula que se nos da en la condición. ¿Lo captas?) Así que estamos trabajando con la fórmula modificada directamente.

Contamos el primer término. Sustituir norte=1 en la fórmula general:

B 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Como esto. Por cierto, no soy demasiado perezoso y una vez más llamaré su atención sobre un error típico con el cálculo del primer término. NO mires la fórmula segundo norte= 3 2norte, ¡apresúrate inmediatamente a escribir que el primer miembro es una troika! Es un gran error, sí...)

Continuamos. Sustituir norte=4 y considere el cuarto término:

B 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Y finalmente, calculamos la cantidad requerida:

B 1 + B 4 = 6+48 = 54

Respuesta: 54

Otro problema.

La progresión geométrica viene dada por las condiciones:

B 1 = -7;

segundo norte +1 = 3 segundo norte

Encuentre el cuarto término de la progresión.

Aquí la progresión viene dada por la fórmula recurrente. Bueno esta bien.) Cómo trabajar con esta fórmula - También lo sabemos.

Aquí estamos actuando. Paso a paso.

1) contando dos sucesivo miembro de la progresión.

El primer término ya se nos da. menos siete. Pero el segundo término siguiente se puede calcular fácilmente usando la fórmula recursiva. Si entiendes cómo funciona, por supuesto.)

Aquí consideramos el segundo término según el famoso primero:

B 2 = 3 B 1 = 3 (-7) = -21

2) Consideramos el denominador de la progresión

También no hay problema. Directo, comparte segundo polla en primero.

Obtenemos:

q = -21/(-7) = 3

3) Escribe la fórmulanorteth miembro en la forma habitual y considere el miembro deseado.

Entonces, conocemos el primer término, el denominador también. Aquí escribimos:

segundo norte= -7 3norte -1

B 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

Respuesta: -189

Como puede ver, trabajar con tales fórmulas para una progresión geométrica no es esencialmente diferente de trabajar con una progresión aritmética. Solo es importante entender sentido común y el significado de estas fórmulas. Bueno, el significado de la progresión geométrica también debe entenderse, sí). Y entonces no habrá errores estúpidos.

Bueno, ¿vamos a decidir por nuestra cuenta?)

Tareas bastante elementales, para el calentamiento:

1. Dada una progresión geométrica en la que B 1 = 243, y q = -2/3. Encuentre el sexto término de la progresión.

2. El término común de una progresión geométrica viene dado por la fórmula segundo norte = 5∙2 norte +1 . Encuentra el número del último miembro de tres dígitos de esta progresión.

3. La progresión geométrica viene dada por las condiciones:

B 1 = -3;

segundo norte +1 = 6 segundo norte

Encuentre el quinto término de la progresión.

Un poco más complicado:

4. Dada una progresión geométrica:

B 1 =2048; q =-0,5

¿Cuál es el sexto término negativo de la misma?

¿Qué parece súper difícil? Para nada. La lógica y la comprensión del significado de la progresión geométrica salvarán. Bueno, la fórmula del enésimo término, por supuesto.

5. El tercer término de la progresión geométrica es -14 y el octavo término es 112. Encuentra el denominador de la progresión.

6. La suma del primer y segundo término de una progresión geométrica es 75, y la suma del segundo y tercer término es 150. Encuentra el sexto término de la progresión.

Respuestas (en desorden): 6; -3888; -una; 800; -32; 448.

Eso es casi todo. Solo queda aprender a contar. la suma de los primeros n términos de una progresión geométrica si descubrir progresión geométrica infinitamente decreciente y su cantidad. ¡Algo muy interesante e inusual, por cierto! Más sobre eso en lecciones posteriores.)

Progresión geométrica no menos importante en matemáticas que en aritmética. Una progresión geométrica es una secuencia de números b1, b2,..., b[n] cada uno de los siguientes miembros se obtiene multiplicando el anterior por un número constante. Este número, que también caracteriza la tasa de crecimiento o disminución de la progresión, se llama denominador de una progresión geométrica y denota

Para una asignación completa de una progresión geométrica, además del denominador, es necesario conocer o determinar su primer término. Para un valor positivo del denominador, la progresión es una secuencia monótona, y si esta secuencia de números es monótonamente decreciente y monótonamente creciente cuando. El caso en que el denominador es igual a uno no se considera en la práctica, ya que tenemos una secuencia de números idénticos y su suma no tiene interés práctico.

Término general de una progresión geométrica calculado según la fórmula

La suma de los primeros n términos de una progresión geométrica determinado por la fórmula

Consideremos soluciones de problemas clásicos de progresión geométrica. Comencemos con el más simple de entender.

Ejemplo 1. El primer término de una progresión geométrica es 27 y su denominador es 1/3. Encuentra los primeros seis términos de una progresión geométrica.

Solución: Escribimos la condición del problema en la forma

Para los cálculos, usamos la fórmula para el n-ésimo miembro de una progresión geométrica

Basado en esto, encontramos miembros desconocidos de la progresión.

Como puedes ver, calcular los términos de una progresión geométrica no es difícil. La progresión en sí se verá así

Ejemplo 2. Se dan los tres primeros miembros de una progresión geométrica: 6; -12; 24. Encuentra el denominador y el séptimo término.

Solución: Calculamos el denominador de la progresión geométrica en base a su definición

Obtuvimos una progresión geométrica alterna cuyo denominador es -2. El séptimo término se calcula mediante la fórmula

En esta tarea se resuelve.

Ejemplo 3. Una progresión geométrica viene dada por dos de sus miembros . Encuentre el décimo término de la progresión.

Solución:

Escribamos los valores dados a través de las fórmulas

De acuerdo con las reglas, sería necesario encontrar el denominador y luego buscar el valor deseado, pero para el décimo término tenemos

La misma fórmula se puede obtener sobre la base de manipulaciones simples con los datos de entrada. Dividimos el sexto término de la serie por otro, como resultado obtenemos