A geometriai progresszió szabályai. Geometriai progresszió

>>Matek: Geometriai progresszió

Az olvasó kényelme érdekében ez a rész pontosan ugyanazt a tervet követi, mint az előző részben.

1. Alapfogalmak.

Meghatározás. Geometriai progressziónak nevezzük azt a numerikus sorozatot, amelynek minden tagja különbözik 0-tól, és amelynek minden tagja a másodiktól kezdve az előző tagból származik, ugyanazzal a számmal szorozva. Ebben az esetben az 5-ös számot a geometriai progresszió nevezőjének nevezzük.

Így a geometriai progresszió egy numerikus sorozat (b n), amelyet a relációk rekurzív módon adnak meg

Meg lehet-e állapítani egy számsorozat vizsgálatával, hogy geometriai progresszióról van-e szó? Tud. Ha meg van győződve arról, hogy a sorozat bármely tagjának az előző taghoz viszonyított aránya állandó, akkor geometriai progressziója van.
1. példa

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

2. példa

Ez egy geometriai progresszió, amely
3. példa

Ez egy geometriai progresszió, amely
4. példa

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Ez egy geometriai progresszió, ahol b 1 - 8, q = 1.

Vegye figyelembe, hogy ez a sorozat egyben aritmetikai sorozat is (lásd a 3. példát a 15. §-ból).

5. példa

2,-2,2,-2,2,-2.....

Ez egy geometriai progresszió, amelyben b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

Nyilvánvaló, hogy a geometriai progresszió növekvő sorozat, ha b 1 > 0, q > 1 (lásd az 1. példát), és csökkenő sorozat, ha b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Annak jelzésére, hogy a (b n) sorozat geometriai progresszió, a következő jelölés néha kényelmes:

Az ikon helyettesíti a „geometriai progresszió” kifejezést.
Megjegyezzük a geometriai progresszió egy furcsa és egyben nyilvánvaló tulajdonságát:
Ha a sorrend egy geometriai progresszió, akkor a négyzetek sorozata, azaz. egy geometriai progresszió.
A második geometriai sorozatban az első tag egyenlő a q 2-vel.
Ha a b n utáni összes tagot exponenciálisan elvetjük, akkor véges geometriai progressziót kapunk
A szakasz következő bekezdéseiben a geometriai progresszió legfontosabb tulajdonságait fogjuk megvizsgálni.

2. Egy geometriai folyamat n-edik tagjának képlete.

Tekintsünk egy geometriai progressziót nevező q. Nekünk van:

Nem nehéz kitalálni, hogy bármely n szám esetén az egyenlőség

Ez a geometriai progresszió n-edik tagjának képlete.

Megjegyzés.

Ha elolvasta az előző bekezdés fontos megjegyzését, és megértette, akkor próbálja meg matematikai indukcióval igazolni az (1) képletet, ahogyan azt egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának képleténél tették.

Írjuk át a geometriai progresszió n-edik tagjának képletét

és vezesse be a jelölést: y \u003d mq 2-t kapunk, vagy részletesebben,
Az x argumentum a kitevőben található, ezért az ilyen függvényt exponenciális függvénynek nevezzük. Ez azt jelenti, hogy a geometriai folyamatot tekinthetjük a természetes számok N halmazán adott exponenciális függvénynek. ábrán A 96a. ábra az 1. ábra függvényének grafikonját mutatja. 966 - függvénygrafikon Mindkét esetben vannak izolált pontjaink (abszcisszákkal x = 1, x = 2, x = 3 stb.), amelyek valamilyen görbén fekszenek (mindkét ábra ugyanazt a görbét mutatja, csak eltérően elhelyezve és más léptékben ábrázolva). Ezt a görbét kitevőnek nevezzük. Az exponenciális függvényről és grafikonjáról bővebben a 11. osztályos algebra tanfolyamon lesz szó.

Térjünk vissza az előző bekezdés 1-5. példáihoz.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Ez egy geometriai progresszió, amelyben b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Készítsünk egy képletet az n-edik tagra
2) Ez egy geometriai progresszió, amelyben Fogalmazzuk meg az n-edik tagot

Ez egy geometriai progresszió, amely Állítsa össze az n-edik tag képletét!
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Ez egy geometriai progresszió, amelyben b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Készítsünk egy képletet az n-edik tagra
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Ez egy geometriai progresszió, amelyben b 1 = 2, q = -1. Állítsa össze az n-edik tag képletét!

6. példa

Adott egy geometriai progresszió

A megoldás minden esetben egy geometriai sorozat n-edik tagjának képletén alapul

a) Ha a geometriai haladás n-edik tagjának képletébe n = 6-ot teszünk, azt kapjuk

b) Van

Mivel 512 \u003d 2 9, n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.

d) Van

7. példa

A geometriai sorozat hetedik és ötödik tagja között a különbség 48, a haladás ötödik és hatodik tagjának összege szintén 48. Keresse meg ennek a progressziónak a tizenkettedik tagját!

Első fázis. Matematikai modell készítése.

A feladat feltételeit röviden így írhatjuk le:

Egy geometriai progresszió n-edik tagjának képletét használva a következőt kapjuk:
Ekkor a feladat második feltétele (b 7 - b 5 = 48) így írható fel

A feladat harmadik feltétele (b 5 +b 6 = 48) így írható fel

Ennek eredményeként egy két egyenletrendszert kapunk két b 1 és q változóval:

amely a fent leírt 1) feltétellel együtt a probléma matematikai modellje.

Második fázis.

Munka az összeállított modellel. A rendszer mindkét egyenletének bal oldali részét egyenlővé téve a következőt kapjuk:

(az egyenlet mindkét oldalát a nullától eltérő b 1 q 4 kifejezésre osztottuk).

A q 2 - q - 2 = 0 egyenletből azt kapjuk, hogy q 1 = 2, q 2 = -1. A q = 2 értéket behelyettesítve a rendszer második egyenletébe, megkapjuk
A q = -1 értéket a rendszer második egyenletébe behelyettesítve b 1 1 0 = 48-at kapunk; ennek az egyenletnek nincs megoldása.

Tehát b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - ez a pár a megoldás az összeállított egyenletrendszerre.

Most már felírhatjuk a kérdéses geometriai progressziót: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Harmadik szakasz.

A válasz a probléma kérdésére. Ki kell számítani b 12 -t. Nekünk van

Válasz: b 12 = 2048.

3. Egy véges geometriai sorozat tagjainak összegének képlete.

Legyen véges geometriai progresszió

Jelölje S n annak tagjainak összegét, azaz.

Vezessünk egy képletet ennek az összegnek a meghatározásához.

Kezdjük a legegyszerűbb esettel, amikor q = 1. Ekkor a b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn geometriai haladás n számból áll, amelyek egyenlőek b 1 -el, azaz. a progresszió b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . Ezeknek a számoknak az összege nb 1.

Legyen most q = 1 Az S n meghatározásához mesterséges módszert használunk: hajtsuk végre az S n q kifejezés néhány transzformációját. Nekünk van:

A transzformációk végrehajtása során először is a geometriai progresszió definícióját használtuk, amely szerint (lásd a harmadik gondolatmenetet); másodszor összeadták és kivonták, hogy a kifejezés jelentése természetesen miért nem változott (lásd a negyedik gondolatsort); harmadszor egy geometriai progresszió n-edik tagjának képletét használtuk:

Az (1) képletből a következőket kapjuk:

Ez a képlet egy geometriai sorozat n tagjának összegére (abban az esetben, ha q = 1).

8. példa

Adott egy véges geometriai progresszió

a) a haladás tagjainak összege; b) tagjainak négyzetösszege.

b) Fentebb (ld. 132. o.) már megjegyeztük, hogy ha egy geometriai sorozat minden tagját négyzetre emeljük, akkor az első b 2 taggal és q 2 nevezővel rendelkező geometriai haladást kapunk. Ekkor az új progresszió hat tagjának összegét a rendszer kiszámítja

9. példa

Keresse meg annak a geometriai sorozatnak a 8. tagját, amelyre

Valójában a következő tételt igazoltuk.

Egy numerikus sorozat akkor és csak akkor geometriai haladás, ha minden tagjának négyzete, kivéve az elsőt (és az utolsót, véges sorozat esetén), egyenlő az előző és az azt követő tagok szorzatával. (egy geometriai progresszió jellemző tulajdonsága).

A geometriai progresszió az aritmetikával együtt fontos számsor, amelyet az iskolai algebra tanfolyamon tanulnak a 9. osztályban. Ebben a cikkben megvizsgáljuk a geometriai progresszió nevezőjét, és azt, hogy az értéke hogyan befolyásolja tulajdonságait.

A geometriai progresszió definíciója

Először megadjuk ennek a számsornak a definícióját. A geometriai progresszió racionális számok sorozata, amely úgy jön létre, hogy az első elemét egymás után megszorozzuk egy nevezőnek nevezett állandó számmal.

Például a 3, 6, 12, 24, ... sorozatban lévő számok egy geometriai haladás, mert ha 3-at (az első elemet) megszorozunk 2-vel, akkor 6-ot kapunk. Ha 6-ot megszorozunk 2-vel, akkor azt kapjuk, hogy 12, és így tovább.

A vizsgált sorozat tagjait általában ai szimbólummal jelöljük, ahol i egy egész szám, amely a sorozat elemének számát jelöli.

A progresszió fenti definíciója a matematika nyelvén a következőképpen írható fel: an = bn-1 * a1, ahol b a nevező. Ezt a képletet könnyű ellenőrizni: ha n = 1, akkor b1-1 = 1, és azt kapjuk, hogy a1 = a1. Ha n = 2, akkor an = b * a1, és ismét elérkezünk a vizsgált számsor definíciójához. Hasonló érvelés folytatható az n nagy értékeire is.

A geometriai progresszió nevezője

A b szám teljesen meghatározza, hogy a teljes számsor milyen karakterű lesz. A b nevező lehet pozitív, negatív, vagy nagyobb vagy kisebb, mint egy. A fenti lehetőségek mindegyike különböző sorozatokhoz vezet:

b > 1. Egyre nő a racionális számok sorozata. Például 1, 2, 4, 8, ... Ha az a1 elem negatív, akkor az egész sorozat csak modulo növekszik, de a számok előjelét figyelembe véve csökken.
b = 1. Az ilyen eseteket gyakran nem progressziónak nevezik, mivel létezik egy azonos racionális számokból álló közönséges sorozat. Például -4, -4, -4.

Az összeg képlete

Mielőtt folytatná a felülvizsgálatot konkrét feladatokat a vizsgált progressziótípus nevezőjét használva fontos képletet kell adni annak első n elemének összegére. A képlet a következő: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Ezt a kifejezést saját maga is megkaphatja, ha figyelembe vesszük a progresszió tagjainak rekurzív sorozatát. Azt is vegyük figyelembe, hogy a fenti képletben elég csak az első elemet és a nevezőt ismerni ahhoz, hogy tetszőleges számú tag összegét megtaláljuk.

Végtelenül csökkenő sorrend

Fentebb volt egy magyarázat, hogy mi ez. Most pedig, ismerve az Sn képletét, alkalmazzuk erre a számsorra. Mivel minden szám, amelynek modulusa nem haladja meg az 1-et, nullára hajlamos nagy hatványra emelve, azaz b∞ => 0, ha -1

Mivel az (1 - b) különbség a nevező értékétől függetlenül mindig pozitív lesz, egy végtelenül csökkenő S∞ geometriai progresszió összegének előjelét az első elemének a1 előjele egyértelműen meghatározza.

Most több problémát is megvizsgálunk, ahol megmutatjuk, hogyan lehet a megszerzett tudást konkrét számokra alkalmazni.

1. számú feladat. A haladás és az összeg ismeretlen elemeinek kiszámítása

Adott egy geometriai progresszió, a progresszió nevezője 2, az első eleme pedig 3. Mi lesz a 7. és 10. tagja, és mennyi a hét kezdőelemének összege?

A probléma feltétele meglehetősen egyszerű, és magában foglalja a fenti képletek közvetlen használatát. Tehát az n számú elem kiszámításához az an = bn-1 * a1 kifejezést használjuk. A 7. elemhez a következőt kapjuk: a7 = b6 * a1, az ismert adatokat behelyettesítve a következőt kapjuk: a7 = 26 * 3 = 192. Ugyanígy járunk el a 10. taggal is: a10 = 29 * 3 = 1536.

Az összeghez a jól ismert képletet használjuk, és ezt az értéket a sorozat első 7 elemére határozzuk meg. A következőt kaptuk: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

2. számú feladat A haladás tetszőleges elemeinek összegének meghatározása

Legyen -2 a bn-1 * 4 exponenciális haladás nevezője, ahol n egész szám. Meg kell határozni az összeget ennek a sorozatnak az 5. és 10. eleme között.

A feltett probléma nem oldható meg közvetlenül ismert képletekkel. 2 féleképpen lehet megoldani. A teljesség kedvéért mindkettőt bemutatjuk.

1. módszer. Az ötlete egyszerű: ki kell számítani az első tagok két megfelelő összegét, majd ki kell vonni az egyikből a másikat. Számítsa ki a kisebb összeget: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Most számolunk egy nagy mennyiség: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Vegyük észre, hogy az utolsó kifejezésben csak 4 tag volt összeadva, mivel az 5. már benne van abban az összegben, amelyet a feladat feltétele szerint kell kiszámítani. Végül vesszük a különbséget: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

2. módszer. A számok behelyettesítése és a számolás előtt képletet kaphatunk a kérdéses sorozat m és n tagjai közötti összegre. Pontosan ugyanúgy járunk el, mint az 1. módszernél, csak először az összeg szimbolikus ábrázolásával dolgozunk. Van: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Ismert számokat behelyettesíthet a kapott kifejezésbe, és kiszámíthatja a végeredményt: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

3. számú feladat Mi a nevező?

Legyen a1 = 2, keressük meg a geometriai haladás nevezőjét, feltéve, hogy végtelen összege 3, és tudjuk, hogy ez egy csökkenő számsor.

A probléma feltétele szerint nem nehéz kitalálni, hogy melyik képletet érdemes használni a megoldáshoz. Természetesen egy végtelenül csökkenő progresszió összegére. Van: S∞ = a1 / (1 - b). Innen fejezzük ki a nevezőt: b = 1 - a1 / S∞. Marad az ismert értékek helyettesítése és a szükséges szám megszerzése: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 vagy -0,333 (3). Ezt az eredményt minőségileg ellenőrizhetjük, ha emlékezünk arra, hogy ennél a sorozattípusnál a b modulus nem haladhatja meg az 1-et. Mint látható, |-1 / 3|

4. számú feladat Számsor visszaállítása

Legyen adott egy számsor 2 eleme, például az 5. egyenlő 30-al, a 10. pedig 60. Ezekből az adatokból kell a teljes sorozatot visszaállítani, tudva, hogy az kielégíti a geometriai haladás tulajdonságait.

A probléma megoldásához először minden ismert taghoz le kell írni a megfelelő kifejezést. Van: a5 = b4 * a1 és a10 = b9 * a1. Most elosztjuk a második kifejezést az elsővel, így kapjuk: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Innen a nevezőt úgy határozzuk meg, hogy a feladat feltételéből ismert tagok arányának ötödfokú gyökét vesszük, b = 1,148698. A kapott számot behelyettesítjük egy ismert elem kifejezésébe, így kapjuk: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Így megtaláltuk, hogy mi a bn haladás nevezője, és a bn-1 * 17,2304966 = an geometriai haladás, ahol b = 1,148698.

Hol használják a geometriai progressziót?

Ha ezt a numerikus sorozatot nem alkalmaznák a gyakorlatban, akkor tanulmányozása pusztán elméleti érdeklődésre korlátozódna. De van ilyen alkalmazás.

Az alábbiakban felsoroljuk a 3 leghíresebb példát:

Zénón paradoxonát, amelyben a mozgékony Akhilleusz nem tudja utolérni a lassú teknősbékát, a végtelenül csökkenő számsorozat fogalmával oldják meg.
Ha a sakktábla minden cellájára búzaszemet helyezünk úgy, hogy 1 szem kerül az 1. cellába, 2 - a 2., 3 - a 3. és így tovább, akkor 18446744073709551615 szemre lesz szükség a sakktábla összes cellájának kitöltéséhez. a tábla!
A "Tower of Hanoi" játékban a lemezek egyik rúdról a másikra való átrendezéséhez 2n - 1 műveletet kell végrehajtani, azaz számuk exponenciálisan nő az n használt lemezek számától.

A geometriai progresszió n-edik tagjának képlete nagyon egyszerű dolog. Értelemben és általánosságban egyaránt. De mindenféle probléma adódik az n-edik tag képletével – a nagyon primitívtől az egészen komolyig. Ismerkedésünk során pedig mindenképpen figyelembe vesszük mindkettőt. Nos, találkozzunk?)

Szóval kezdésnek tulajdonképpen képletn

Ott van:

b n = b 1 · q n -1

Képlet mint képlet, semmi természetfeletti. Még egyszerűbbnek és kompaktabbnak tűnik, mint a . A képlet jelentése is egyszerű, mint egy filccsizma.

Ez a képlet lehetővé teszi, hogy megtalálja a geometriai progresszió BÁRMELY tagját A SZÁMA SZERINT n".

Amint láthatja, a jelentés teljes analógia a számtani progresszióval. Ismerjük az n számot – ez alatt a szám alatt kiszámolhatjuk a tagot is. Amit akarunk. Nem szorozva szekvenciálisan "q"-val sokszor-sokszor. Ez az egész lényeg.)

Megértem, hogy a progressziókkal végzett munka ezen a szintjén a képletben szereplő összes mennyiségnek már világosnak kell lennie az Ön számára, de kötelességemnek tartom mindegyiket megfejteni. Csak abban az esetben.

Akkor gyerünk:

b 1 – első egy geometriai progresszió tagja;

q – ;

n- tag szám;

b n – nth (nth) geometriai progresszió tagja.

Ez a képlet összekapcsolja bármely geometriai progresszió négy fő paraméterét - bn, b 1 , qés n. E négy kulcsfigura körül pedig minden folyamatban lévő feladat forog.

– És hogyan jelenik meg?- Hallok egy kíváncsi kérdést... Elemi! Néz!

Amivel egyenlő második progresszió tagja? Nincs mit! Közvetlenül írjuk:

b 2 = b 1 q

És a harmadik tag? Nem is probléma! A második tagot megszorozzuk újra bekapcsolvaq.

Mint ez:

B 3 \u003d b 2 q

Emlékezzünk most vissza, hogy a második tag viszont egyenlő b 1 q-val, és helyettesítsük ezt a kifejezést az egyenlőségünkkel:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Kapunk:

B 3 = b 1 q 2

Most pedig olvassuk el orosz nyelvű bejegyzésünket: harmadik tag egyenlő az elsővel tag szorozva q-vel második fokozat. Érted? Még nem? Oké, még egy lépés.

Mi a negyedik kifejezés? Minden a régi! Szorozni előző(azaz a harmadik tag) a q-n:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Teljes:

B 4 = b 1 q 3

És ismét lefordítjuk oroszra: negyedik tag egyenlő az első taggal, megszorozva q in-vel harmadik fokozat.

Stb. Szóval hogy is van ez? Elkaptad a mintát? Igen! Bármilyen számmal rendelkező tag esetén az egyenlő q tényezők száma (azaz a nevező hatványa) mindig eggyel kevesebb, mint a kívánt tag száman.

Ezért a képletünk a következő lesz, opciók nélkül:

b n =b 1 · q n -1

Ez minden.)

Nos, oldjuk meg a problémákat, jó?)

Feladatok megoldása képlet alapjánnegy geometriai progresszív tag.

Kezdjük szokás szerint a képlet közvetlen alkalmazásával. Itt van egy tipikus probléma:

Exponenciálisan ismert, hogy b 1 = 512 és q = -1/2. Keresse meg a progresszió tizedik tagját.

Természetesen ez a probléma képletek nélkül is megoldható. Mint egy geometriai progresszió. De be kell melegednünk az n-edik tag képletével, nem? Itt szakítunk.

Adataink a képlet alkalmazásához a következők.

Az első kifejezés ismert. Ez az 512.

b 1 = 512.

A progresszió nevezője is ismert: q = -1/2.

Már csak azt kell kitalálni, hogy mennyivel egyenlő az n tag száma. Nincs mit! Érdekel minket a tizedik ciklus? Tehát az általános képletben n helyett tízet helyettesítünk.

És gondosan számolja ki az aritmetikát:

Válasz: -1

Mint látható, a progresszió tizedik tagja mínuszosnak bizonyult. Nem csoda: a progresszió nevezője -1/2, azaz. negatív szám. És ez azt mutatja, hogy a fejlődésünk jelei váltakoznak, igen.)

Itt minden egyszerű. És itt van egy hasonló probléma, de egy kicsit bonyolultabb a számítások szempontjából.

A geometriai progresszióban tudjuk, hogy:

b 1 = 3

Keresse meg a progresszió tizenharmadik tagját.

Minden a régi, csak ezúttal a progresszió nevezője - irracionális. Kettő gyökere. Hát nem nagy ügy. A képlet univerzális dolog, bármilyen számmal megbirkózik.

Közvetlenül a következő képlet szerint dolgozunk:

A képlet természetesen úgy működött, ahogy kell, de... néhányan itt fognak lógni. Mi a teendő ezután a gyökérrel? Hogyan emeljünk gyökeret a tizenkettedik hatványra?

Hogyan-hogyan... Meg kell értened, hogy minden képlet természetesen jó dolog, de az összes korábbi matematika tudása nem szűnik meg! Hogyan neveljünk? Igen, emlékezz a fokok tulajdonságaira! Változtassuk meg a gyökeret erre töredékes fokés - a hatalom hatalommá emelésének képletével.

Mint ez:

Válasz: 192

És minden.)

Mi a fő nehézség az n-edik tagképlet közvetlen alkalmazásában? Igen! A fő nehézség az diplomával dolgozz! Mégpedig a negatív számok, törtek, gyökök és hasonló konstrukciók hatványozása. Tehát akinek ezzel gondja van, annak sürgős kérése a fokozatok és tulajdonságaik ismételgetése! Különben lelassul ebben a témában, igen...)

Most oldjuk meg a tipikus keresési problémákat a képlet egyik eleme ha az összes többi adott. Az ilyen problémák sikeres megoldásához a recept egyszerű és borzalomig egyszerű - írd le a képletetnth tag be Általános nézet! Közvetlenül a füzetben az állapot mellett. Aztán a feltételből kitaláljuk, hogy mi adatik nekünk és mi nem elég. És a képletből fejezzük ki a kívánt értéket. Minden!

Például egy ilyen ártalmatlan probléma.

A 3-as nevezővel rendelkező geometriai sorozat ötödik tagja 567. Keresse meg ennek a haladásnak az első tagját.

Semmi bonyolult. Közvetlenül a varázslat szerint dolgozunk.

Felírjuk az n-edik tag képletét!

b n = b 1 · q n -1

Mi adatik nekünk? Először is megadjuk a progresszió nevezőjét: q = 3.

Ezen kívül megadatott nekünk ötödik tagja: b 5 = 567 .

Minden? Nem! Nekünk is az n számot adjuk! Ez egy ötös: n = 5.

Remélem, már érted, mi van a jegyzőkönyvben b 5 = 567 két paraméter egyszerre el van rejtve - ez maga az ötödik tag (567) és annak száma (5). Egy hasonló leckében már beszéltem erről, de úgy gondolom, hogy nem felesleges itt emlékeztetni.)

Most behelyettesítjük adatainkat a képletbe:

567 = b 1 3 5-1

Figyelembe vesszük az aritmetikát, egyszerűsítjük és egy egyszerű lineáris egyenletet kapunk:

81 b 1 = 567

Megoldjuk és megkapjuk:

b 1 = 7

Mint látható, nincs probléma az első tag megtalálásával. De amikor a nevezőt keresem qés számok n lehetnek meglepetések. És ezekre is fel kell készülni (meglepetések), igen.)

Például egy ilyen probléma:

Egy pozitív nevezővel rendelkező geometriai haladás ötödik tagja 162, ennek a haladásnak az első tagja pedig 2. Keresse meg a haladás nevezőjét!

Ezúttal az első és az ötödik tagot kapjuk, és megkérjük, hogy találjuk meg a progresszió nevezőjét. Itt kezdjük.

Felírjuk a képletetntag!

b n = b 1 · q n -1

Kiinduló adataink a következők lesznek:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Nem elég érték q. Nincs mit! Most keressük meg.) Mindent behelyettesítünk a képletbe, amit tudunk.

Kapunk:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Egy egyszerű negyedik fokú egyenlet. De most - gondosan! A megoldásnak ebben a szakaszában sok diák azonnal örömmel vonja ki a gyökeret (a negyedik fokozatból), és megkapja a választ q=3 .

Mint ez:

q4 = 81

q = 3

De általában ez egy befejezetlen válasz. Vagy inkább hiányos. Miért? A lényeg az, hogy a válasz q = -3 is illik: (-3) 4 is 81 lenne!

Ez azért van, mert a hatványegyenlet x n = a mindig van két ellentétes gyökér nál nél mégn . Plusz és mínusz:

Mindkettő passzol.

Például a megoldás (pl. második fok)

x2 = 9

Valamilyen oknál fogva nem lepődik meg kettő gyökök x=±3? Ez itt is ugyanaz. És bármely mással még fokozat (negyedik, hatodik, tizedik stb.) ugyanaz lesz. Részletek - a témában kb

Tehát a helyes megoldás a következő lenne:

q 4 = 81

q= ±3

Oké, kitaláltuk a jeleket. Melyik a helyes - plusz vagy mínusz? Nos, keresve újra elolvastuk a probléma feltételét további információ. Természetesen lehet, hogy nem létezik, de ebben a problémában ilyen információ elérhető. A mi állapotunkban közvetlenül ki van írva, hogy progressziót adnak pozitív nevező.

A válasz tehát egyértelmű:

q = 3

Itt minden egyszerű. Mit gondolsz, mi történne, ha a problémafelvetés a következő lenne:

Egy geometriai sorozat ötödik tagja 162, és ennek a haladásnak az első tagja 2. Keresse meg a progresszió nevezőjét!

Mi a különbség? Igen! Az állapotában semmi szó sincs a nevezőről. Sem közvetlenül, sem közvetve. És itt már meg is lenne a probléma két megoldás!

q = 3 és q = -3

Igen igen! És pluszban és mínuszban.) Matematikailag ez a tény azt jelentené, hogy vannak két progresszió amelyek megfelelnek a feladatnak. És mindegyiknek - a saját nevezője. A szórakozás kedvéért gyakorold, és írd le mindegyik első öt kifejezését.)

Most gyakoroljuk a tagszám megtalálását. Ez a legnehezebb, igen. De kreatívabb is.

Adott egy geometriai progresszió:

3; 6; 12; 24; …

Milyen szám a 768 ebben a folyamatban?

Az első lépés ugyanaz: írd le a képletetntag!

b n = b 1 · q n -1

És most szokás szerint behelyettesítjük az általunk ismert adatokat. Hm... nem illik! Hol az első tag, hol a nevező, hol van minden más?!

Hol, hol... Miért van szükségünk szemre? Rebbenő szempillák? Ezúttal közvetlenül a formában kapjuk meg a progressziót sorozatok. Láthatjuk az első kifejezést? Látjuk! Ez egy hármas (b 1 = 3). Mi a helyzet a nevezővel? Még nem látjuk, de nagyon könnyű megszámolni. Ha persze megérted.

Itt mérlegeljük. Közvetlenül a geometriai progresszió jelentése szerint: vesszük bármelyik tagját (az első kivételével), és elosztjuk az előzővel.

Legalábbis így:

q = 24/12 = 2

Mit tudunk még? Ismerünk ennek a haladásnak néhány tagját is, ami egyenlő 768-cal. Valamely n szám alatt:

b n = 768

Nem tudjuk a számát, de a mi feladatunk pontosan az, hogy megtaláljuk.) Tehát keressük. A képletben már letöltöttük a helyettesítéshez szükséges összes adatot. Észrevehetetlenül.)

Itt helyettesítjük:

768 = 3 2n -1

Elemieket készítünk - mindkét részt elosztjuk hárommal, és átírjuk az egyenletet a szokásos formában: az ismeretlen a bal oldalon, az ismert a jobb oldalon.

Kapunk:

2 n -1 = 256

Itt van egy érdekes egyenlet. Meg kell találnunk az "n"-t. Mi a szokatlan? Igen, nem vitatkozom. Valójában ez a legegyszerűbb. Azért hívják, mert az ismeretlen (in ez az eset ez a szám n) áll be indikátor fokozat.

A geometriai haladással való ismerkedés szakaszában (ez a kilencedik osztály) az exponenciális egyenleteket nem tanítják megoldani, igen... Ez egy középiskolai téma. De nincs semmi szörnyű. Még ha nem is tudja, hogyan oldják meg az ilyen egyenleteket, próbáljuk meg megtalálni a miénket n egyszerű logika és józan ész vezérli.

Elkezdünk tárgyalni. A bal oldalon van egy kettőnk bizonyos mértékig. Még nem tudjuk, hogy pontosan mi ez a diploma, de ez nem ijesztő. De másrészt határozottan tudjuk, hogy ez a fok egyenlő 256-tal! Emlékszünk tehát, hogy a kettes milyen mértékben ad nekünk 256-ot. Emlékszel? Igen! V nyolcadik fokok!

256 = 2 8

Ha nem emlékszel vagy a probléma fokozatainak felismerésével, akkor az sem baj: csak egymás után emeljük a kettőt négyzetre, kockára, negyedik hatványra, ötödikre stb. Valójában a választék, de ezen a szinten, elég nagy menet.

Így vagy úgy, a következőket kapjuk:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Tehát a 768 kilencedik fejlődésünk tagja. Ennyi, a probléma megoldva.)

Válasz: 9

Mit? Unalmas? Eleged van az elemiből? Egyetértek. Én is. Lépjünk a következő szintre.)

Bonyolultabb feladatok.

És most már gyorsabban oldjuk meg a rejtvényeket. Nem éppen szupermenő, de amin kicsit dolgoznod kell, hogy megkapd a választ.

Például így.

Határozzuk meg egy geometriai progresszió második tagját, ha a negyedik tagja -24, a hetedik tagja pedig 192.

Ez a műfaj klasszikusa. A progresszió két különböző tagja ismert, de még egy tagot kell találni. Ráadásul minden tag NEM szomszéd. Ami elsőre zavar, igen...

Ahogyan itt is, az ilyen problémák megoldására két módszert vizsgálunk. Az első út univerzális. Algebrai. Hibátlanul működik bármilyen forrásadattal. Tehát itt kezdjük.)

Minden kifejezést a képlet szerint festünk ntag!

Minden pontosan ugyanaz, mint az aritmetikai sorozatnál. Ezúttal csak együtt dolgozunk egy másikáltalános képlet. Ennyi.) De a lényeg ugyanaz: veszünk és viszont kiinduló adatainkat behelyettesítjük az n-edik tag képletébe. Minden tagnak - a saját.

A negyedik kifejezésre ezt írjuk:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Van. Egy egyenlet teljes.

A hetedik tagra ezt írjuk:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Összesen két egyenletet kaptunk a ugyanaz a progresszió .

Összeállítunk belőlük egy rendszert:

Félelmetes megjelenése ellenére a rendszer meglehetősen egyszerű. A megoldás legkézenfekvőbb módja a szokásos helyettesítés. kifejezzük b 1 a felső egyenletből, és helyettesítse az alsóval:

Egy kis babrálás az alsó egyenlettel (a kitevők csökkentése és -24-gyel való osztás) a következő eredményt kapja:

q 3 = -8

Ugyanezt az egyenletet egyébként egyszerűbben is meg lehet kapni! Mit? Most egy másik titkos, de nagyon szép, erőteljes és hasznos módszert mutatok be az ilyen rendszerek megoldására. Olyan rendszerek, amelyek egyenleteiben ülnek csak működik. Legalábbis az egyikben. hívott terminus felosztás módszere egyik egyenlet a másikhoz.

Tehát van egy rendszerünk:

Mindkét egyenletben a bal oldalon - munka, a jobb oldalon pedig csak egy szám. Ez nagyon jó jel.) Vegyük és ... osszuk el mondjuk az alsó egyenletet a felsővel! Mit jelent, elosztjuk az egyik egyenletet a másikkal? Nagyon egyszerű. Veszünk bal oldal egy egyenlet (alsó) és osztunk rajta bal oldal egy másik egyenlet (felső). A jobb oldal hasonló: jobb oldal egy egyenlet osztunk a jobb oldal egy másik.

A teljes felosztási folyamat így néz ki:

Most mindent lecsökkentve, ami csökkent, a következőket kapjuk:

q 3 = -8

Mi a jó ebben a módszerben? Igen, mert egy ilyen felosztás során minden rossz és kellemetlen biztonságosan csökkenthető, és egy teljesen ártalmatlan egyenlet marad! Ezért olyan fontos, hogy legyen csak szorzások a rendszer legalább egyik egyenletében. Nincs szorzás - nincs mit csökkenteni, igen ...

Általánosságban elmondható, hogy ez a módszer (mint sok más nem triviális rendszermegoldási mód) még egy külön leckét is megérdemel. Mindenképpen meg fogom nézni közelebbről. Majd egyszer…

Azonban nem számít, hogyan oldja meg a rendszert, mindenesetre most meg kell oldanunk a kapott egyenletet:

q 3 = -8

Nem probléma: kivonjuk a gyökeret (köbös) és - kész!

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a kibontáskor nem szükséges ide plusz/mínusz jelet tenni. Van egy páratlan (harmadik) fokú gyökünk. És a válasz ugyanaz, igen.

Tehát megvan a progresszió nevezője. Mínusz kettő. Bírság! A folyamat folyamatban van.)

Az első tagra (mondjuk a felső egyenletből) a következőket kapjuk:

Bírság! Ismerjük az első tagot, ismerjük a nevezőt. És most lehetőségünk van megtalálni a progresszió bármely tagját. Beleértve a másodikat is.)

A második tag esetében minden nagyon egyszerű:

b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6

Válasz: -6

Tehát megválasztottuk a probléma megoldásának algebrai módját. Kemény? Nem sok, egyetértek. Hosszú és unalmas? Igen határozottan. De néha jelentősen csökkentheti a munka mennyiségét. Erre van grafikus módon. Régi jó és ismerős számunkra.)

Rajzoljuk le a problémát!

Igen! Pontosan. Ismét ábrázoljuk a haladást a számtengelyen. Nem feltétlenül vonalzóval, nem szükséges egyenlő távolságokat tartani a tagok között (ami egyébként nem lesz ugyanaz, mert a progresszió geometriai!), hanem egyszerűen sematikusan rajzold le a sorozatunkat.

Én így kaptam:

Most nézd meg a képet és gondolkozz. Hány egyenlő tényező osztozik a "q"-on negyedikés hetedik tagok? Így van, három!

Ezért minden jogunk megvan ahhoz, hogy ezt írjuk:

-24q 3 = 192

Innen már könnyű megtalálni a q-t:

q 3 = -8

q = -2

Ez remek, a nevező már a zsebünkben van. És most újra megnézzük a képet: hány ilyen nevező között ül másodikés negyedik tagok? Kettő! Ezért a tagok közötti kapcsolat rögzítéséhez emeljük a nevezőt négyzet alakú.

Itt írjuk:

b 2 · q 2 = -24 , ahol b 2 = -24/ q 2

A talált nevezőnket behelyettesítjük a b 2 kifejezésbe, megszámoljuk és megkapjuk:

Válasz: -6

Mint látható, minden sokkal egyszerűbb és gyorsabb, mint a rendszeren keresztül. Ráadásul itt egyáltalán nem is kellett az első tagot számolnunk! Egyáltalán.)

Itt van egy ilyen egyszerű és vizuális út-fény. De van egy komoly hátránya is. Kitalálta? Igen! Csak nagyon rövid szakaszokra jó. Azok, ahol nem túl nagyok a távolságok a számunkra érdekes tagok között. De minden más esetben már nehéz képet rajzolni, igen... Akkor analitikusan, rendszeren keresztül oldjuk meg a problémát.) A rendszerek pedig egyetemes dolog. Bármely számmal foglalkozz.

Még egy epikus:

A geometriai progresszió második tagja 10-zel több, mint az első, a harmadik tagja pedig 30-zal több, mint a második. Keresse meg a progresszió nevezőjét!

Mi a menő? Egyáltalán nem! Minden a régi. Ismét lefordítjuk a feladat feltételét tiszta algebrára.

1) Minden kifejezést a képlet szerint festünk ntag!

Második tag: b 2 = b 1 q

Harmadik tag: b 3 \u003d b 1 q 2

2) Felírjuk a tagok közötti kapcsolatot a probléma feltételéből.

A feltétel elolvasása: "A geometriai progresszió második tagja 10-zel több, mint az első."Állj, ez értékes!

Tehát ezt írjuk:

b 2 = b 1 +10

És ezt a kifejezést lefordítjuk tiszta matematikára:

b 3 = b 2 +30

Két egyenletet kaptunk. Ezeket egy rendszerré egyesítjük:

A rendszer egyszerűnek tűnik. De nagyon sok különböző index létezik a betűkre. Kifejezésük második és harmadik tagja helyett helyettesítsük az első taggal és nevezővel! Hiába, vagy mi, lefestettük őket?

Kapunk:

De egy ilyen rendszer már nem ajándék, igen... Hogyan lehet ezt megoldani? Sajnos, az univerzális titkos varázslat megoldani bonyolult nem lineáris A matematikában nincsenek rendszerek, és nem is lehetnek. Ez fantasztikus! De az első dolog, ami eszébe kell jutnia, amikor egy ilyen kemény diót próbál feltörni, az az, hogy rájön De vajon nem redukálódik-e a rendszer egyik egyenlete szép formára, ami megkönnyíti például az egyik változó kifejezését a másikkal?

Tippeljünk. A rendszer első egyenlete kifejezetten könnyebb, mint a második. Megkínozzuk.) Miért ne próbálhatnánk meg az első egyenletből valami keresztül kifejezni valami? Mivel meg akarjuk találni a nevezőt q, akkor számunkra a legelőnyösebb lenne kifejezni b 1 át q.

Tehát próbáljuk meg ezt az eljárást az első egyenlettel elvégezni, a régi jó egyenletekkel:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b 1 (q-1) = 10

Minden! Itt fejeztük ki szükségtelen nekünk a változót (b 1) keresztül szükséges(q). Igen, nem a legegyszerűbb kifejezés. Valamiféle töredék... De a rendszerünk megfelelő szintű, igen.)

Tipikus. Mit tegyünk – tudjuk.

ODZ-t írunk (szükségszerűen!) :

q ≠ 1

Mindent megszorozunk a nevezővel (q-1), és csökkentjük az összes törtet:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Mindent elosztunk tízzel, kinyitjuk a zárójeleket, összegyűjtünk mindent a bal oldalon:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Megoldjuk az eredményt, és két gyökeret kapunk:

q 1 = 1

q 2 = 3

Csak egy végső válasz van: q = 3 .

Válasz: 3

Amint láthatja, a legtöbb probléma megoldásának módja a geometriai progresszió n-edik tagjának képletére mindig ugyanaz: olvassuk gondosan a probléma feltételét és az n-edik tag képletével lefordítjuk az egészet hasznos információ a tiszta algebrába.

Ugyanis:

1) A feladatban megadott tagokat külön-külön írjuk a képlet szerintnth tagja.

2) A feladat feltételéből a tagok közötti kapcsolatot lefordítjuk matematikai formára. Összeállítunk egy egyenletet vagy egyenletrendszert.

3) Megoldjuk a kapott egyenletet vagy egyenletrendszert, megkeressük a progresszió ismeretlen paramétereit.

4) Félreérthető válasz esetén figyelmesen olvassuk el a probléma feltételét, hogy további információkat keressünk (ha van ilyen). A kapott választ az ODZ feltételeivel is ellenőrizzük (ha van ilyen).

És most felsoroljuk azokat a fő problémákat, amelyek leggyakrabban hibákhoz vezetnek a geometriai progressziós problémák megoldása során.

1. Elemi számtan. Műveletek törtekkel és negatív számokkal.

2. Ha e három pont közül legalább egy probléma, akkor elkerülhetetlenül tévedsz ebben a témában. Sajnos... Szóval ne légy lusta, és ismételd meg a fentebb említetteket. És kövesse a linkeket - menjen. Néha segít.)

Módosított és ismétlődő képletek.

És most nézzünk meg néhány tipikus vizsgaproblémát a feltétel kevésbé ismert bemutatásával. Igen, igen, kitaláltad! Ez módosítottés visszatérő az n-edik tag képletei. Találkoztunk már ilyen képletekkel, és dolgoztunk aritmetikai haladásban. Itt minden hasonló. A lényeg ugyanaz.

Például egy ilyen probléma az OGE-től:

A geometriai progressziót a képlet adja meg b n = 3 2 n . Keresse meg az első és a negyedik tag összegét!

Ezúttal nem egészen a megszokott módon kapjuk meg a továbbjutást. Valamiféle képlet. És akkor mi van? Ez a képlet az képlet isntag! Mindannyian tudjuk, hogy az n-edik tag képlete felírható általános formában, betűkkel és for-ral is specifikus progresszió. VAL VEL különleges első tag és nevező.

Esetünkben tulajdonképpen egy általános képletet kapunk egy geometriai progresszióhoz a következő paraméterekkel:

b 1 = 6

q = 2

Ellenőrizzük?) Írjuk fel általános alakban az n-edik tag képletét, és cseréljük be b 1 és q. Kapunk:

b n = b 1 · q n -1

b n= 6 2n -1

Leegyszerűsítjük a faktorizáció és a teljesítmény tulajdonságok felhasználásával, és megkapjuk:

b n= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Amint látja, minden igazságos. De a mi célunk veled nem egy konkrét képlet származtatásának bemutatása. Ez így van, lírai kitérő. Pusztán a megértés kedvéért.) Célunk a probléma megoldása a feltételben adott képlet szerint. Felfogod?) Tehát közvetlenül a módosított képlettel dolgozunk.

Az első tagot számoljuk. Helyettes n=1 az általános képletbe:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Mint ez. Egyébként nem vagyok lusta, és ismét felhívom a figyelmet egy tipikus baklövésre az első tag számításánál. NE nézd a képletet b n= 3 2n, azonnal rohanj leírni, hogy az első tag trojka! Ez nagy hiba, igen...)

Folytatjuk. Helyettes n=4 és vegyük figyelembe a negyedik kifejezést:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Végül kiszámítjuk a szükséges mennyiséget:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Válasz: 54

Még egy probléma.

A geometriai progressziót a következő feltételek adják meg:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Keresse meg a progresszió negyedik tagját.

Itt a progressziót az ismétlődő képlet adja meg. Hát rendben.) Hogyan kell dolgozni ezzel a képlettel - mi is tudjuk.

Itt cselekszünk. Lépésről lépésre.

1) kettőt számolva egymást követő a progresszió tagja.

Az első kifejezés már adott nekünk. Mínusz hét. De a következő, második tag könnyen kiszámítható a rekurzív képlet segítségével. Természetesen, ha érti a működését.)

Itt a második kifejezést vesszük figyelembe a híres első szerint:

b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21

2) Tekintsük a progresszió nevezőjét

Szintén nem probléma. Egyenesen, oszd meg második fasz első.

Kapunk:

q = -21/(-7) = 3

3) Írd le a képletet!nth tag a szokásos formában, és vegye figyelembe a kívánt tagot.

Tehát ismerjük az első tagot, a nevezőt is. Itt írjuk:

b n= -7 3n -1

b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

Válasz: -189

Amint láthatja, az ilyen képletekkel való munkavégzés a geometriai sorozathoz lényegében nem különbözik az aritmetikai folyamatokétól. Csak az a fontos, hogy megértsük józan észés ezeknek a képleteknek a jelentése. Nos, a geometriai progresszió jelentését is meg kell érteni, igen.) És akkor nem lesznek hülye hibák.

Nos, döntsünk mi magunk?)

Egészen elemi feladatok, bemelegítéshez:

1. Adott egy geometriai progresszió, amelyben b 1 = 243, és q = -2/3. Keresse meg a progresszió hatodik tagját.

2. A geometriai progresszió közös tagját a képlet adja meg b n = 5∙2 n +1 . Keresse meg a haladás utolsó háromjegyű tagjának számát!

3. A geometriai progressziót a feltételek adják meg:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Keresse meg a progresszió ötödik tagját.

Kicsit bonyolultabb:

4. Adott egy geometriai progresszió:

b 1 =2048; q =-0,5

Mi ennek a hatodik negatív tagja?

Mi tűnik rendkívül nehéznek? Egyáltalán nem. A logika és a geometriai progresszió jelentésének megértése megment. Nos, természetesen az n-edik tag képlete.

5. A geometriai haladás harmadik tagja -14, a nyolcadik tagja pedig 112. Keresse meg a haladás nevezőjét!

6. Egy geometriai sorozat első és második tagjának összege 75, a második és harmadik tag összege 150. Határozzuk meg a haladás hatodik tagját!

Válaszok (rendetlenségben): 6; -3888; -egy; 800; -32; 448.

Ez majdnem minden. Már csak meg kell tanulni számolni egy geometriai sorozat első n tagjának összege igen felfedezni végtelenül csökkenő geometriai progresszióés annak mennyisége. Amúgy nagyon érdekes és szokatlan dolog! Erről bővebben a későbbi leckékben.)

Geometriai progresszió nem kevésbé fontos a matematikában, mint az aritmetikában. A geometriai progresszió olyan b1, b2,..., b[n] számsorozat, amelynek minden következő tagját úgy kapjuk meg, hogy az előzőt megszorozzuk egy állandó számmal. Ezt a számot, amely a progresszió növekedésének vagy csökkenésének ütemét is jellemzi, ún geometriai progresszió nevezőjeés jelöljük

Egy geometriai progresszió teljes hozzárendeléséhez a nevezőn kívül ismerni vagy meghatározni kell az első tagját is. A nevező pozitív értéke esetén a progresszió monoton sorozat, és ha ez a számsorozat monoton csökkenő és monoton növekvő, mikor. Azt az esetet, amikor a nevező eggyel egyenlő, a gyakorlatban nem veszik figyelembe, mivel azonos számsorral rendelkezünk, és ezek összegzése gyakorlati szempontból nem érdekes

A geometriai progresszió általános tagja képlet alapján számítjuk ki

Egy geometriai sorozat első n tagjának összege képlet határozza meg

Nézzük a klasszikus geometriai progressziós feladatok megoldásait. Kezdjük a legegyszerűbben érthetővel.

1. példa Egy geometriai sorozat első tagja 27, nevezője pedig 1/3. Keresse meg a geometriai progresszió első hat tagját.

Megoldás: Az űrlapba írjuk a feladat feltételét

A számításokhoz a geometriai sorozat n-edik tagjának képletét használjuk

Ennek alapján a progresszió ismeretlen tagjait találjuk

Mint látható, a geometriai progresszió feltételeinek kiszámítása nem nehéz. Maga a haladás így fog kinézni

2. példa Adott egy geometriai sorozat első három tagja: 6; -12; 24. Keresse meg a nevezőt és a hetedik tagot!

Megoldás: Meghatározása alapján számítjuk ki a geometriai progresszió nevezőjét

Kaptunk egy váltakozó geometriai progressziót, amelynek a nevezője -2. A hetedik tagot a képlet számítja ki

Ezen a feladaton meg van oldva.

3. példa Egy geometriai progressziót ad meg annak két tagja . Keresse meg a progresszió tizedik tagját.

Megoldás:

Írjuk fel a megadott értékeket a képletekkel

A szabályok szerint meg kellene találni a nevezőt, majd megkeresni a kívánt értéket, de a tizedik tagra megvan

Ugyanez a képlet nyerhető a bemeneti adatokkal végzett egyszerű manipulációk alapján. A sorozat hatodik tagját elosztjuk egy másikkal, eredményül kapjuk