Acea parte a ecuației este expresia dintre paranteze. Pentru a deschide parantezele, priviți semnul din fața parantezelor. Dacă există un semn plus, nimic nu se va schimba atunci când extindeți parantezele din înregistrarea expresiei: eliminați doar parantezele. Dacă există semnul minus, la deschiderea parantezelor, este necesar să schimbați toate semnele care sunt inițial între paranteze cu cele opuse. De exemplu, -(2x-3)=-2x+3.
Înmulțirea a două paranteze.
Dacă ecuația conține produsul dintre două paranteze, extinzând parantezele conform regula standard. Fiecare termen din prima paranteză este înmulțit cu fiecare termen din a doua paranteză. Numerele rezultate sunt însumate. În acest caz, produsul dintre două „plusuri” sau două „minusuri” dă termenului un semn „plus”, iar dacă factorii au semne diferite, atunci acesta primește un semn „minus”.
Considera .
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
Prin extinderea parantezelor, uneori ridicând o expresie la . Formulele pentru pătrare și cube trebuie cunoscute pe de rost și reținute.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Formulele pentru ridicarea unei expresii mai mari de trei pot fi făcute folosind triunghiul lui Pascal.
Surse:
- formula de deschidere a parantezei
Operațiile matematice cuprinse între paranteze pot conține variabile și expresii de diferite grade de complexitate. Pentru a multiplica astfel de expresii, va trebui să căutați o soluție în vedere generala, extinzând parantezele și simplificând rezultatul. Dacă parantezele conțin operații fără variabile, doar cu valori numerice, atunci nu este necesară deschiderea parantezelor, deoarece dacă un computer este disponibil utilizatorului său, sunt disponibile resurse de calcul foarte semnificative - este mai ușor să le folosiți decât să simplificați expresie.
Instruire
Înmulțiți succesiv fiecare (sau redus din) conținut într-o paranteză cu conținutul tuturor celorlalte paranteze dacă doriți să obțineți un rezultat general. De exemplu, să fie scrisă expresia originală astfel: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Apoi, înmulțirea succesivă (adică extinderea parantezelor) va da următorul rezultat: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗xx∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.
Simplificați după rezultat prin scurtarea expresiilor. De exemplu, expresia obținută în pasul precedent poate fi simplificată astfel: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.
Folosiți un calculator dacă trebuie să înmulțiți care conține doar valori numerice fără variabile necunoscute. Software încorporat
Funcția principală a parantezelor este de a schimba ordinea acțiunilor la calcularea valorilor. de exemplu, în expresia numerică \(5 3+7\) se va calcula mai întâi înmulțirea, iar apoi adunarea: \(5 3+7 =15+7=22\). Dar în expresia \(5·(3+7)\), se va calcula mai întâi adunarea între paranteze și abia apoi înmulțirea: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Exemplu.
Extindeți paranteza: \(-(4m+3)\).
Soluţie
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Exemplu.
Extindeți paranteza și dați termeni similari \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Soluţie
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Exemplu.
Extindeți parantezele \(5(3-x)\).
Soluţie
: Avem \(3\) și \(-x\) în paranteză și cinci în fața parantezei. Aceasta înseamnă că fiecare membru al parantezei este înmulțit cu \ (5 \) - vă reamintesc că semnul înmulțirii dintre un număr și o paranteză la matematică nu este scris pentru a reduce dimensiunea înregistrărilor.
Exemplu.
Extindeți parantezele \(-2(-3x+5)\).
Soluţie
: Ca și în exemplul anterior, \(-3x\) și \(5\) dintre paranteze sunt înmulțite cu \(-2\).
Exemplu.
Simplificați expresia: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Soluţie
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Rămâne de luat în considerare ultima situație.
Atunci când înmulțiți paranteza cu paranteză, fiecare termen din prima paranteză este înmulțit cu fiecare termen din a doua:
\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)
Exemplu.
Extindeți parantezele \((2-x)(3x-1)\).
Soluţie
: Avem un produs de paranteze și poate fi deschis imediat folosind formula de mai sus. Dar pentru a nu ne încurca, să facem totul pas cu pas.
Pasul 1. Îndepărtați primul parantez - fiecare dintre membrii săi este înmulțit cu al doilea paranteză:
Pasul 2. Extindeți produsele suportului cu factorul descris mai sus:
- primul primul...
Apoi al doilea.
Pasul 3. Acum înmulțim și aducem termeni similari:
Nu este necesar să pictați toate transformările în detaliu, vă puteți înmulți imediat. Dar dacă doar înveți să deschideți paranteze - scrieți în detaliu, vor fi mai puține șanse să faceți o greșeală.
Notă la întreaga secțiune. De fapt, nu trebuie să vă amintiți toate cele patru reguli, trebuie să vă amintiți doar una, aceasta: \(c(a-b)=ca-cb\) . De ce? Pentru că dacă înlocuim unul în loc de c, obținem regula \((a-b)=a-b\) . Și dacă înlocuim minus unu, obținem regula \(-(a-b)=-a+b\) . Ei bine, dacă înlocuiți o altă paranteză în loc de c, puteți obține ultima regulă.
paranteză în paranteză
Uneori, în practică, există probleme cu parantezele imbricate în alte paranteze. Iată un exemplu de astfel de sarcină: pentru a simplifica expresia \(7x+2(5-(3x+y))\).
Pentru a avea succes în aceste sarcini, trebuie să:
- înțelegeți cu atenție imbricarea parantezelor - care este în care;
- deschideți parantezele succesiv, începând, de exemplu, cu cel mai interior.
Este important la deschiderea unuia dintre suporturi nu atingeți restul expresiei, doar rescriindu-l așa cum este.
Să luăm ca exemplu sarcina de mai sus.
Exemplu.
Deschideți parantezele și dați termeni similari \(7x+2(5-(3x+y))\).
Soluţie:
Exemplu.
Extindeți parantezele și dați termeni similari \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Soluţie
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Acesta este un triplu cuib de paranteze. Începem cu cel mai interior (evidențiat cu verde). Există un plus în fața parantezei, așa că este pur și simplu eliminat. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Acum trebuie să deschideți al doilea parantez, intermediar. Dar înainte de asta, vom simplifica expresia prin plasarea unor termeni similari în această a doua paranteză. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Acum deschidem al doilea parantez (evidențiat cu albastru). Există un multiplicator în fața parantezei - deci fiecare termen din paranteză este înmulțit cu acesta. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
Și deschide ultima paranteză. Înainte de paranteză minus - deci toate semnele sunt inversate. |
||
Deschiderea parantezei este o abilitate de bază în matematică. Fără această abilitate, este imposibil să ai o notă peste trei în clasele a 8-a și a 9-a. Prin urmare, recomand o bună înțelegere a acestui subiect.
Printre diferitele expresii care sunt luate în considerare în algebră, loc important sunt sume de monomii. Iată exemple de astfel de expresii:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Suma monomiilor se numește polinom. Termenii dintr-un polinom sunt numiți membri ai polinomului. Mononoamele sunt denumite și polinoame, considerând un monom ca un polinom format dintr-un membru.
De exemplu, polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
poate fi simplificat.
Reprezentăm toți termenii ca monomii ale formei standard:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Dăm termeni similari în polinomul rezultat:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultatul este un polinom, toți membrii căruia sunt monomii ale formei standard, iar printre ele nu există altele similare. Astfel de polinoame se numesc polinoame de formă standard.
Pe gradul polinom forma standard ia cea mai mare dintre puterile membrilor săi. Deci, binomul \(12a^2b - 7b \) are al treilea grad, iar trinomul \(2b^2 -7b + 6 \) are al doilea.
De obicei, termenii polinoamelor de formă standard care conțin o variabilă sunt aranjați în ordinea descrescătoare a exponenților săi. De exemplu:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Suma mai multor polinoame poate fi convertită (simplificată) într-o formă standard de polinom.
Uneori, membrii unui polinom trebuie împărțiți în grupuri, încadrând fiecare grup între paranteze. Deoarece parantezele sunt opusul parantezelor, este ușor de formulat reguli de deschidere a parantezelor:
Dacă semnul + este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii încadrați între paranteze se scriu cu aceleași semne.
Dacă un semn „-” este plasat în fața parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu semne opuse.
Transformarea (simplificarea) a produsului dintre un monom și un polinom
Folosind proprietatea distributivă a înmulțirii, se poate transforma (simplifica) produsul dintre un monom și un polinom într-un polinom. De exemplu:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Produsul unui monom și al unui polinom este identic egal cu suma produselor acestui monom și a fiecăruia dintre termenii polinomului.
Acest rezultat este de obicei formulat ca o regulă.
Pentru a înmulți un monom cu un polinom, trebuie să înmulțim acest monom cu fiecare dintre termenii polinomului.
Am folosit în mod repetat această regulă pentru înmulțirea cu o sumă.
Produsul polinoamelor. Transformarea (simplificarea) produsului a două polinoame
În general, produsul a două polinoame este identic egal cu suma produsului fiecărui termen al unui polinom și al fiecărui termen al celuilalt.
Utilizați de obicei următoarea regulă.
Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt și să adăugați produsele rezultate.
Formule de înmulțire prescurtate. Sumă, diferență și pătrate diferențe
Unele expresii din transformările algebrice trebuie tratate mai des decât altele. Poate că cele mai comune expresii sunt \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) și \(a^2 - b^2 \), adică pătratul sumei, pătratul diferenței și pătratul diferenței. Ați observat că numele acestor expresii par a fi incomplete, deci, de exemplu, \((a + b)^2 \) este, desigur, nu doar pătratul sumei, ci pătratul sumei lui a și b. Cu toate acestea, pătratul sumei lui a și b nu este atât de comun, de regulă, în loc de literele a și b, conține expresii diverse, uneori destul de complexe.
Expresiile \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) sunt ușor de convertit (simplificat) în polinoame de forma standard, de fapt, ați întâlnit deja o astfel de sarcină atunci când înmulțiți polinoame :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Identitățile rezultate sunt utile de reținut și aplicate fără calcule intermediare. Formulări verbale scurte ajută acest lucru.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - pătratul sumei este egal cu suma pătratelor și a produsului dublu.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - pătratul diferenței este suma pătratelor fără a dubla produsul.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - diferența de pătrate este egală cu produsul dintre diferență și suma.
Aceste trei identități permit transformărilor să înlocuiască părțile din stânga cu cele din dreapta și invers - părțile din dreapta cu cele din stânga. Cel mai dificil lucru în acest caz este să vedeți expresiile corespunzătoare și să înțelegeți ce variabilele a și b sunt înlocuite în ele. Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a formulelor de înmulțire abreviate.
În această lecție, veți învăța cum să transformați o expresie care conține paranteze într-o expresie care nu conține paranteze. Veți învăța cum să deschideți paranteze precedate de un semn plus și un semn minus. Ne vom aminti cum să deschidem paranteze folosind legea distributivă a înmulțirii. Exemplele luate în considerare vor permite legarea materialelor noi și studiate anterior într-un singur întreg.
Subiect: Rezolvarea ecuațiilor
Lecția: Extinderea parantezelor
Cum să deschideți parantezele precedate de semnul „+”. Utilizarea legii asociative a adunării.
Dacă trebuie să adăugați suma a două numere la un număr, atunci puteți adăuga primul termen la acest număr și apoi al doilea.
În stânga semnului egal este o expresie cu paranteze, iar în dreapta este o expresie fără paranteze. Aceasta înseamnă că la trecerea din partea stângă a egalității în partea dreaptă, parantezele au fost deschise.
Luați în considerare exemple.
Exemplul 1 
Lărgând parantezele, am schimbat ordinea operațiilor. Numărarea a devenit mai convenabilă.
Exemplul 2 
Exemplul 3
Rețineți că în toate cele trei exemple, pur și simplu am eliminat parantezele. Să formulăm regula:
Cometariu.
Dacă primul termen dintre paranteze este nesemnat, atunci trebuie scris cu semnul plus.
Puteți urma exemplul pas cu pas. Mai întâi, adăugați 445 la 889. Această acțiune mentală poate fi efectuată, dar nu este foarte ușor. Să deschidem parantezele și să vedem că ordinea schimbată a operațiilor va simplifica foarte mult calculele.
Dacă urmați ordinea indicată a acțiunilor, atunci trebuie mai întâi să scădeți 345 din 512, apoi să adăugați la rezultat 1345. Prin extinderea parantezelor, vom schimba ordinea acțiunilor și vom simplifica foarte mult calculele.
Exemplu și regulă ilustrative.
Luați în considerare un exemplu: . Puteți găsi valoarea expresiei adunând 2 și 5, apoi luând numărul rezultat cu semnul opus. Primim -7.
Pe de altă parte, același rezultat poate fi obținut prin adăugarea numerelor opuse.
Să formulăm regula:
Exemplul 1 
Exemplul 2
Regula nu se schimbă dacă nu sunt doi, ci trei sau mai mulți termeni între paranteze.
Exemplul 3 
Cometariu. Semnele sunt inversate numai în fața termenilor.
Pentru a deschide paranteze, acest caz amintiți-vă proprietatea distributivă.
În primul rând, înmulțiți prima paranteză cu 2 și a doua cu 3.
Prima paranteză este precedată de semnul „+”, ceea ce înseamnă că semnele trebuie lăsate neschimbate. Al doilea este precedat de un semn „-”, prin urmare, toate semnele trebuie inversate
Bibliografie
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematica clasa a VI-a. - Gimnaziul, 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. În spatele paginilor unui manual de matematică. - Iluminismul, 1989.
- Rurukin A.N., Ceaikovski I.V. Sarcini pentru cursul de matematică clasa 5-6 - ZSH MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Ceaikovski K.G. Matematică 5-6. Un manual pentru elevii clasei a VI-a ai școlii de corespondență MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematică: Manual-interlocutor pentru clasele 5-6 de liceu. Biblioteca profesorului de matematică. - Iluminismul, 1989.
- Teste online de matematică ().
- Le puteți descărca pe cele specificate în clauza 1.2. cărți ().
Teme pentru acasă
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică 6. - M .: Mnemosyne, 2012. (vezi linkul 1.2)
- Tema pentru acasă: nr. 1254, nr. 1255, nr. 1256 (b, d)
- Alte sarcini: nr. 1258(c), nr. 1248
În acest articol, vom analiza în detaliu regulile de bază pentru un subiect atât de important în cursul matematicii precum parantezele de deschidere. Trebuie să cunoașteți regulile de extindere a parantezelor pentru a rezolva corect ecuațiile în care sunt utilizate.
Cum să deschideți corect parantezele atunci când adăugați
Extindeți parantezele precedate de semnul „+”.
Acesta este cel mai simplu caz, deoarece dacă în fața parantezelor există un semn de adunare, atunci când parantezele sunt deschise, semnele din interiorul lor nu se schimbă. Exemplu:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Cum să deschideți parantezele precedate de semnul „-”.
În acest caz, trebuie să rescrieți toți termenii fără paranteze, dar în același timp să schimbați toate semnele din interiorul lor cu cele opuse. Semnele se schimbă numai pentru termenii din acele paranteze care au fost precedate de semnul „-”. Exemplu:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Cum să deschideți parantezele la înmulțire
Parantezele sunt precedate de un multiplicator
În acest caz, trebuie să înmulțiți fiecare termen cu un factor și să deschideți parantezele fără a schimba semnele. Dacă multiplicatorul are semnul „-”, atunci la înmulțire, semnele termenilor sunt inversate. Exemplu:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Cum să deschideți două paranteze cu un semn de înmulțire între ele
În acest caz, trebuie să înmulțiți fiecare termen din primele paranteze cu fiecare termen din a doua paranteză și apoi să adăugați rezultatele. Exemplu:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Cum să deschideți paranteze într-un pătrat
Dacă suma sau diferența dintre doi termeni este pătrată, parantezele trebuie extinse conform următoarei formule:
(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.
În cazul unui minus între paranteze, formula nu se modifică. Exemplu:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Cum să deschideți parantezele într-un grad diferit
Dacă suma sau diferența termenilor este ridicată, de exemplu, la a 3-a sau a 4-a putere, atunci trebuie doar să spargeți gradul parantezei în „pătrate”. Se adună puterile acelorași factori, iar la împărțire se scade gradul divizorului din gradul dividendului. Exemplu:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Cum se deschide 3 paranteze
Există ecuații în care 3 paranteze sunt înmulțite deodată. În acest caz, trebuie să înmulțiți mai întâi termenii primelor două paranteze între ei, apoi să înmulțiți suma acestei înmulțiri cu termenii celui de-al treilea paranteză. Exemplu:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Aceste reguli de deschidere a parantezei se aplică în mod egal atât ecuațiilor liniare, cât și trigonometrice.