>>Matematika: Geometrická postupnosť
Pre pohodlie čitateľa sa táto časť riadi presne rovnakým plánom, ako sme postupovali v predchádzajúcej časti.
1. Základné pojmy.
Definícia.Číselná postupnosť, ktorej všetky členy sú odlišné od 0 a ktorej každý člen, počnúc druhým, sa získa z predchádzajúceho člena vynásobením rovnakým číslom, sa nazýva geometrická postupnosť. V tomto prípade sa číslo 5 nazýva menovateľ geometrickej progresie.
Geometrická postupnosť je teda číselná postupnosť (b n) daná rekurzívne vzťahmi
Je možné pri pohľade na číselnú postupnosť určiť, či ide o geometrickú postupnosť? Môcť. Ak ste presvedčení, že pomer ktoréhokoľvek člena postupnosti k predchádzajúcemu členu je konštantný, potom máte geometrickú progresiu.
Príklad 1
1, 3, 9, 27, 81,... .
b1 = 1, q = 3.
Príklad 2
Toto je geometrický postup
Príklad 3
Toto je geometrický postup
Príklad 4
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
Ide o geometrickú postupnosť, kde b 1 - 8, q = 1.
Upozorňujeme, že táto postupnosť je tiež aritmetickým postupom (pozri príklad 3 z § 15).
Príklad 5
2,-2,2,-2,2,-2.....
Toto je geometrická progresia, v ktorej b 1 \u003d 2, q \u003d -1.
Je zrejmé, že geometrická postupnosť je rastúca postupnosť, ak b 1 > 0, q > 1 (pozri príklad 1), a klesajúca postupnosť, ak b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).
Na označenie, že postupnosť (b n) je geometrická progresia, je niekedy vhodný nasledujúci zápis:
Ikona nahrádza frázu „geometrická progresia“.
Všimli sme si jednu zvláštnu a zároveň celkom zjavnú vlastnosť geometrickej postupnosti:
Ak postupnosť 
je geometrická postupnosť, potom postupnosť štvorcov, t.j. 
je geometrická progresia.
V druhej geometrickej postupnosti sa prvý člen rovná q 2.
Ak zahodíme všetky členy nasledujúce po b n exponenciálne, dostaneme konečnú geometrickú postupnosť 
V nasledujúcich odsekoch tejto časti sa budeme zaoberať najdôležitejšími vlastnosťami geometrickej progresie.
2. Vzorec n-tého člena geometrickej postupnosti.
Zvážte geometrický postup 
menovateľ q. Máme:
Nie je ťažké uhádnuť, že pre akékoľvek číslo je n rovnosť
Toto je vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti.
Komentujte.
Ak ste si prečítali dôležitú poznámku z predchádzajúceho odseku a porozumeli ste jej, skúste vzorec (1) dokázať matematickou indukciou, rovnako ako to bolo pri vzorci n-tého člena aritmetickej postupnosti.
Prepíšme vzorec n-tého člena geometrickej postupnosti
a zaveďte notáciu: Dostaneme y \u003d mq 2, alebo podrobnejšie, 
Argument x je obsiahnutý v exponente, preto sa takáto funkcia nazýva exponenciálna funkcia. To znamená, že geometrickú postupnosť možno považovať za exponenciálnu funkciu danú na množine N prirodzených čísel. Na obr. 96a znázorňuje graf funkcie z obr. 966 - funkčný graf 
V oboch prípadoch máme izolované body (s x = 1, x = 2, x = 3 atď.) ležiace na nejakej krivke (oba obrázky znázorňujú rovnakú krivku, len inak umiestnenú a znázornenú v rôznych mierkach). Táto krivka sa nazýva exponent. Viac o exponenciálnej funkcii a jej grafe si povieme na kurze algebry pre 11. ročník.
Vráťme sa k príkladom 1-5 z predchádzajúceho odseku.
1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Toto je geometrická progresia, v ktorej b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Urobme vzorec pre n-tý člen 
2) 
Ide o geometrickú postupnosť, v ktorej sformulujme n-tý člen 
Toto je geometrický postup 
Zostavte vzorec pre n-tý člen 
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Toto je geometrická progresia, v ktorej b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Urobme vzorec pre n-tý člen 
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Ide o geometrickú postupnosť, v ktorej b 1 = 2, q = -1. Zostavte vzorec pre n-tý člen 
Príklad 6
Vzhľadom na geometrický priebeh
Vo všetkých prípadoch je riešenie založené na vzorci n-tého člena geometrickej postupnosti
a) Ak do vzorca n-tého člena geometrickej postupnosti dosadíme n = 6, dostaneme
b) Máme
Od 512 \u003d 2 9 dostaneme n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.
d) Máme
Príklad 7
Rozdiel medzi siedmym a piatym členom geometrickej postupnosti je 48, súčet piateho a šiesteho člena postupnosti je tiež 48. Nájdite dvanásty člen tejto postupnosti.
Prvé štádium. Zostavenie matematického modelu.
Podmienky úlohy možno stručne napísať takto:
Pomocou vzorca n-tého člena geometrickej postupnosti dostaneme:
Potom druhú podmienku úlohy (b 7 - b 5 = 48) možno zapísať ako
Tretiu podmienku úlohy (b 5 +b 6 = 48) možno zapísať ako
Výsledkom je systém dvoch rovníc s dvoma premennými b 1 a q:
čo je v kombinácii s podmienkou 1) napísanou vyššie matematickým modelom problému.
Druhá fáza.
Práca so zostaveným modelom. Porovnaním ľavých častí oboch rovníc systému dostaneme:
(obe strany rovnice sme rozdelili na výraz b 1 q 4 , ktorý je odlišný od nuly).
Z rovnice q 2 - q - 2 = 0 zistíme q 1 = 2, q 2 = -1. Dosadením hodnoty q = 2 do druhej rovnice sústavy dostaneme 
Dosadením hodnoty q = -1 do druhej rovnice sústavy dostaneme b 1 1 0 = 48; táto rovnica nemá riešenia.
Takže, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - tento pár je riešením zostaveného systému rovníc.
Teraz môžeme zapísať predmetnú geometrickú postupnosť: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .
Tretia etapa.
Odpoveď na problémovú otázku. Je potrebné vypočítať b 12 . Máme
Odpoveď: b 12 = 2048.
3. Vzorec pre súčet členov konečnej geometrickej postupnosti.
Nech existuje konečná geometrická postupnosť
Označme S n súčet jeho členov, t.j.
Odvoďme vzorec na zistenie tohto súčtu.
Začnime s najjednoduchším prípadom, keď q = 1. Potom geometrická postupnosť b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn pozostáva z n čísel rovných b 1, t.j. progresia je b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . Súčet týchto čísel je nb 1 .
Nech teraz q = 1 Na nájdenie S n použijeme umelú metódu: vykonajte niekoľko transformácií výrazu S n q. Máme:
Pri vykonávaní transformácií sme najprv použili definíciu geometrickej progresie, podľa ktorej (pozri tretí spôsob uvažovania); po druhé, pridali a ubrali, prečo sa význam výrazu, samozrejme, nezmenil (pozri štvrtý riadok úvahy); po tretie, použili sme vzorec n-tého člena geometrickej postupnosti:
Zo vzorca (1) zistíme:
Toto je vzorec pre súčet n členov geometrickej postupnosti (pre prípad, keď q = 1).
Príklad 8
Daná konečná geometrická progresia
a) súčet členov postupu; b) súčet druhých mocnín jeho členov.
b) Vyššie (pozri s. 132) sme si už všimli, že ak sú všetky členy geometrickej postupnosti odmocnené, získame geometrickú postupnosť s prvým členom b 2 a menovateľom q 2. Potom sa vypočíta súčet šiestich termínov nového postupu
Príklad 9
Nájdite 8. člen geometrickej postupnosti, pre ktorú
V skutočnosti sme dokázali nasledujúcu vetu.
Číselná postupnosť je geometrická postupnosť vtedy a len vtedy, ak druhá mocnina každého z jej členov, okrem prvého (a posledného, v prípade konečnej postupnosti), sa rovná súčinu predchádzajúcich a nasledujúcich členov. (charakteristická vlastnosť geometrickej progresie).
Geometrická progresia je spolu s aritmetikou dôležitým číselným radom, ktorý sa študuje v kurze školskej algebry v 9. ročníku. V tomto článku sa budeme zaoberať menovateľom geometrickej progresie a tým, ako jej hodnota ovplyvňuje jej vlastnosti.
Definícia geometrickej progresie
Na začiatok uvádzame definíciu tohto číselného radu. Geometrická postupnosť je séria racionálnych čísel, ktorá vzniká postupným násobením jej prvého prvku konštantným číslom nazývaným menovateľ.
Napríklad čísla v rade 3, 6, 12, 24, ... sú geometrickou postupnosťou, pretože ak vynásobíme 3 (prvý prvok) 2, dostaneme 6. Ak 6 vynásobíme 2, dostaneme 12 a tak ďalej.
Členy uvažovanej postupnosti sa zvyčajne označujú symbolom ai, kde i je celé číslo označujúce číslo prvku v rade.
Vyššie uvedená definícia progresie môže byť napísaná v jazyku matematiky takto: an = bn-1 * a1, kde b je menovateľ. Je ľahké skontrolovať tento vzorec: ak n = 1, potom b1-1 = 1 a dostaneme a1 = a1. Ak n = 2, potom an = b * a1 a opäť sa dostávame k definícii uvažovaného radu čísel. Podobná úvaha môže pokračovať pre veľké hodnoty n.
Menovateľ geometrickej progresie
Číslo b úplne určuje, aký charakter bude mať celý číselný rad. Menovateľ b môže byť kladný, záporný alebo väčší alebo menší ako jedna. Všetky vyššie uvedené možnosti vedú k rôznym sekvenciám:
- b > 1. Existuje rastúci rad racionálnych čísel. Napríklad 1, 2, 4, 8, ... Ak je prvok a1 záporný, potom sa celá postupnosť zvýši iba modulo, ale zníži sa s prihliadnutím na znamienko čísel.
- b = 1. Takýto prípad sa často nenazýva progresia, pretože existuje obyčajný rad rovnakých racionálnych čísel. Napríklad -4, -4, -4.
Vzorec pre sumu
Pred pokračovaním v kontrole konkrétne úlohy pri použití menovateľa typu uvažovanej progresie by sa mal uviesť dôležitý vzorec pre súčet jej prvých n prvkov. Vzorec je: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Tento výraz môžete získať sami, ak vezmete do úvahy rekurzívnu postupnosť členov progresie. Všimnite si tiež, že vo vyššie uvedenom vzorci stačí poznať iba prvý prvok a menovateľ, aby ste našli súčet ľubovoľného počtu členov.
Nekonečne klesajúca sekvencia
Vyššie bolo vysvetlenie, čo to je. Teraz, keď poznáme vzorec pre Sn, aplikujme ho na tento číselný rad. Pretože každé číslo, ktorého modul nepresahuje 1, má sklon k nule, keď sa zvýši na veľké mocniny, to znamená, že b∞ => 0, ak -1
Keďže rozdiel (1 - b) bude vždy kladný, bez ohľadu na hodnotu menovateľa, znamienko súčtu nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti S∞ je jednoznačne určené znamienkom jej prvého prvku a1.
Teraz zvážime niekoľko problémov, kde si ukážeme, ako aplikovať získané poznatky na konkrétne čísla.
Úloha číslo 1. Výpočet neznámych prvkov postupu a súčtu
Pri geometrickej postupnosti je menovateľ postupnosti 2 a jej prvý prvok je 3. Aký bude jej 7. a 10. člen a aký je súčet jej siedmich počiatočných prvkov?
Podmienka problému je pomerne jednoduchá a zahŕňa priame použitie vyššie uvedených vzorcov. Na výpočet prvku s číslom n teda použijeme výraz an = bn-1 * a1. Pre 7. prvok máme: a7 = b6 * a1, dosadením známych údajov dostaneme: a7 = 26 * 3 = 192. To isté urobíme pre 10. člen: a10 = 29 * 3 = 1536.
Pre súčet použijeme známy vzorec a určíme túto hodnotu pre prvých 7 prvkov série. Máme: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Úloha číslo 2. Určenie súčtu ľubovoľných prvkov postupu
Nech -2 je menovateľ exponenciálneho postupu bn-1 * 4, kde n je celé číslo. Je potrebné určiť súčet od 5. do 10. prvku tohto radu vrátane.
Nastolený problém nemožno vyriešiť priamo pomocou známych vzorcov. Dá sa to vyriešiť 2 rôznymi spôsobmi. Pre úplnosť uvádzame oboje.
Metóda 1. Jej myšlienka je jednoduchá: musíte vypočítať dva zodpovedajúce súčty prvých členov a potom od jedného odpočítať druhý. Vypočítajte menší súčet: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Teraz počítame veľké množstvo: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Všimnite si, že v poslednom výraze boli sčítané iba 4 výrazy, keďže 5. je už zahrnutý v súčte, ktorý je potrebné vypočítať podľa stavu problému. Nakoniec vezmeme rozdiel: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Metóda 2. Pred dosadením čísel a počítaním môžete získať vzorec pre súčet medzi členmi m a n príslušného radu. Postupujeme presne tak, ako pri metóde 1, len najprv pracujeme so symbolickým znázornením súčtu. Máme: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Do výsledného výrazu môžete dosadiť známe čísla a vypočítať konečný výsledok: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Úloha číslo 3. Aký je menovateľ?
Nech a1 = 2, nájdite menovateľa geometrickej postupnosti za predpokladu, že jej nekonečný súčet je 3 a je známe, že ide o klesajúci rad čísel.
Podľa stavu problému nie je ťažké uhádnuť, ktorý vzorec by sa mal použiť na jeho vyriešenie. Samozrejme, za súčet nekonečne klesajúcej progresie. Máme: S∞ = a1 / (1 - b). Odkiaľ vyjadrujeme menovateľa: b = 1 - a1 / S∞. Zostáva nahradiť známe hodnoty a získať požadované číslo: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 alebo -0,333 (3). Tento výsledok môžeme kvalitatívne skontrolovať, ak si zapamätáme, že pre tento typ sekvencie modul b nesmie prekročiť hodnotu 1. Ako vidíte, |-1 / 3|
Úloha číslo 4. Obnovenie série čísel
Nech sú dané 2 prvky číselného radu, napríklad 5. sa rovná 30 a 10. sa rovná 60. Z týchto údajov je potrebné obnoviť celý rad s vedomím, že spĺňa vlastnosti geometrickej postupnosti.
Ak chcete problém vyriešiť, musíte si najprv zapísať zodpovedajúci výraz pre každý známy člen. Máme: a5 = b4 * a1 a a10 = b9 * a1. Teraz vydelíme druhý výraz prvým, dostaneme: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Odtiaľ určíme menovateľa tak, že odmocninu piateho stupňa z podielu členov známych z podmienky úlohy, b = 1,148698. Výsledné číslo dosadíme do jedného z výrazov pre známy prvok, dostaneme: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.
Zistili sme teda, čo je menovateľom progresie bn a geometrickej postupnosti bn-1 * 17,2304966 = an, kde b = 1,148698.
Kde sa používajú geometrické postupnosti?
Ak by neexistovala aplikácia tohto číselného radu v praxi, potom by sa jeho štúdium zredukovalo na čisto teoretický záujem. Ale existuje taká aplikácia.
Nižšie sú uvedené 3 najznámejšie príklady:
- Zenónov paradox, v ktorom agilný Achilles nestíha pomalú korytnačku, je riešený konceptom nekonečne klesajúcej postupnosti čísel.
- Ak sú pšeničné zrná umiestnené na každej bunke šachovnice tak, že 1 zrnko je umiestnené na 1. bunke, 2 - na 2., 3 - na 3. atď., potom bude potrebných 18446744073709551615 zŕn na vyplnenie všetkých buniek doska!
- V hre „Hanojská veža“ je na preskupenie diskov z jednej tyče na druhú potrebné vykonať 2n - 1 operácií, to znamená, že ich počet rastie exponenciálne od počtu použitých diskov n.
Vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti je veľmi jednoduchá vec. Aj vo význame, aj vo všeobecnosti. Ale pre vzorec n-tého člena sú najrôznejšie problémy – od veľmi primitívnych až po celkom vážne. A v procese nášho zoznámenia určite zvážime oboch. No, stretneme sa?)
Takže pre začiatok vlastne vzorecn
Tu je:
b n = b 1 · q n -1
Vzorec ako vzorec, nič nadprirodzené. Vyzerá ešte jednoduchšie a kompaktnejšie ako podobný vzorec pre . Význam vzorca je tiež jednoduchý, ako plstená čižma.
Tento vzorec vám umožňuje nájsť AKÝKOĽVEK člen geometrickej progresie PODĽA JEHO ČÍSLA “ n".
Ako vidíte, význam je úplná analógia s aritmetickým postupom. Poznáme číslo n – pod týmto číslom vieme vypočítať aj člen. Čo chceme. Nenásobenie sekvenčne "q" mnohokrát. To je celá pointa.)
Chápem, že na tejto úrovni práce s postupmi by vám už mali byť jasné všetky množstvá zahrnuté vo vzorci, ale považujem za svoju povinnosť každé rozlúštiť. Keby niečo.
Tak, poďme:
b 1 – najprvčlen geometrickej progresie;
q – ;
n– členské číslo;
b n – n-tý (nth)člen geometrickej postupnosti.
Tento vzorec spája štyri hlavné parametre akejkoľvek geometrickej progresie - bn, b 1 , q a n. A okolo týchto štyroch kľúčových postáv sa točia všetky úlohy.
"A ako sa zobrazuje?"- Počujem zvedavú otázku... Základná! Pozri!
Čo sa rovná druhý postupový člen? Žiaden problém! Píšeme priamo:
b 2 = b 1 q
A tretí člen? Tiež nie je problém! Vynásobíme druhý člen opäť zapnutéq.
Páči sa ti to:
B 3 \u003d b 2 q
Pripomeňme si teraz, že druhý člen sa rovná b 1 q a dosaďte tento výraz do našej rovnosti:
B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2
Dostaneme:
B 3 = b 1 q 2
Teraz si prečítajme náš záznam v ruštine: tretíčlenom rovná prvémučlen vynásobený q in druhý stupňa. Máš to? Ešte nie? Dobre, ešte jeden krok.
Aký je štvrtý termín? Všetky rovnaké! Vynásobte predchádzajúce(t. j. tretí termín) dňa q:
B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3
Celkom:
B 4 = b 1 q 3
A opäť prekladáme do ruštiny: štvrtýčlen sa rovná prvému členu vynásobenému q in tretí stupňa.
Atď. Ako to teda je? Zachytili ste vzor? Áno! Pre každý člen s ľubovoľným číslom bude počet rovnakých faktorov q (t. j. mocnina menovateľa) vždy o jeden menej ako je počet požadovaného členan.
Náš vzorec preto bude bez možností:
b n =b 1 · q n -1
To je všetko.)
No, poďme riešiť problémy, dobre?)
Riešenie úloh na vzorcinčlen geometrickej progresie.
Začnime ako obvykle priamou aplikáciou vzorca. Tu je typický problém:
Je známe exponenciálne, že b 1 = 512 a q = -1/2. Nájdite desiaty termín postupu.
Samozrejme, tento problém sa dá vyriešiť úplne bez vzorcov. Rovnako ako geometrický postup. Ale musíme sa zahriať vzorcom n-tého termínu, však? Tu sa rozchádzame.
Naše údaje na aplikáciu vzorca sú nasledovné.
Prvý termín je známy. Toto je 512.
b 1 = 512.
Známy je aj menovateľ progresie: q = -1/2.
Zostáva len zistiť, čomu sa rovná číslo člena n. Žiaden problém! Máme záujem o desiaty termín? Vo všeobecnom vzorci teda dosadíme desať namiesto n.
A starostlivo vypočítajte aritmetiku:
odpoveď: -1
Ako vidíte, desiaty termín postupu dopadol s mínusom. Nečudo: menovateľ progresie je -1/2, t.j. negatívnečíslo. A to nám hovorí, že znaky našej progresie sa striedajú, áno.)
Všetko je tu jednoduché. A tu je podobný problém, ale trochu komplikovanejší z hľadiska výpočtov.
Pri geometrickom postupe vieme, že:
b 1 = 3
Nájdite trinásty termín postupu.
Všetko je rovnaké, len tentoraz menovateľ postupu - iracionálny. Koreň dvoch. No nič veľké. Vzorec je univerzálna vec, poradí si s akýmikoľvek číslami.
Pracujeme priamo podľa vzorca:
Vzorec samozrejme fungoval tak, ako mal, ale ... tu budú niektoré visieť. Čo ďalej robiť s koreňom? Ako pozdvihnúť koreň do dvanástej moci?
Ako-ako ... Musíte pochopiť, že akýkoľvek vzorec je, samozrejme, dobrá vec, ale znalosti všetkej predchádzajúcej matematiky nie sú zrušené! Ako zvýšiť? Áno, pamätajte na vlastnosti stupňov! Zmeňme koreň na zlomkový stupeň a - podľa vzorca pozdvihnutia moci na moc.
Páči sa ti to:
odpoveď: 192
A všetky veci.)
Aký je hlavný problém priameho použitia vzorca n-tého členu? Áno! Hlavnou ťažkosťou je pracujte s titulmi! A to umocňovanie záporných čísel, zlomkov, odmocniny a podobné konštrukcie. Takže tí, ktorí s tým majú problémy, naliehavá žiadosť o opakovanie stupňov a ich vlastností! Inak v tejto téme spomalíš, áno ...)
Teraz poďme vyriešiť typické problémy s vyhľadávaním jeden z prvkov vzorca ak sú dané všetky ostatné. Na úspešné riešenie takýchto problémov je recept jednoduchý a jednoduchý až hrôza - napíš vzorecnčlen v všeobecný pohľad! Hneď v zošite vedľa stavu. A potom z podmienky prídeme na to, čo nám je dané a čo nestačí. A zo vzorca vyjadríme požadovanú hodnotu. Všetko!
Napríklad taký neškodný problém.
Piaty člen geometrickej postupnosti s menovateľom 3 je 567. Nájdite prvý člen tejto postupnosti.
Nič zložité. Pracujeme priamo podľa kúzla.
Napíšeme vzorec n-tého člena!
b n = b 1 · q n -1
Čo je nám dané? Najprv je daný menovateľ progresie: q = 3.
Navyše sme dané piaty člen: b 5 = 567 .
Všetko? nie! Je nám dané aj číslo n! Toto je päťka: n = 5.
Dúfam, že ste už pochopili, čo je v zázname b 5 = 567 dva parametre sú skryté naraz - toto je samotný piaty člen (567) a jeho číslo (5). V podobnej lekcii som o tom už hovoril, ale myslím, že nie je zbytočné to tu pripomínať.)
Teraz dosadíme naše údaje do vzorca:
567 = b 1 3 5-1
Zvažujeme aritmetiku, zjednodušíme a získame jednoduchú lineárnu rovnicu:
81 b 1 = 567
Riešime a dostaneme:
b 1 = 7
Ako vidíte, s nájdením prvého člena nie sú žiadne problémy. Ale pri hľadaní menovateľa q a čísla n môžu nastať prekvapenia. A tiež musíte byť na ne pripravení (prekvapenia), áno.)
Napríklad takýto problém:
Piaty člen geometrickej postupnosti s kladným menovateľom je 162 a prvý člen tejto postupnosti je 2. Nájdite menovateľa postupnosti.
Tentoraz dostaneme prvého a piateho člena a požiadame, aby sme našli menovateľa postupu. Tu začíname.
Napíšeme vzorecnčlen!
b n = b 1 · q n -1
Naše počiatočné údaje budú nasledovné:
b 5 = 162
b 1 = 2
n = 5
Nedostatočná hodnota q. Žiaden problém! Poďme to teraz nájsť.) Do vzorca dosadíme všetko, čo vieme.
Dostaneme:
162 = 2q 5-1
2 q 4 = 162
q 4 = 81
Jednoduchá rovnica štvrtého stupňa. Ale teraz - opatrne! V tejto fáze riešenia mnohí študenti okamžite s radosťou vytiahnu koreň (štvrtého stupňa) a dostanú odpoveď q=3 .
Páči sa ti to:
q4 = 81
q = 3
Ale vo všeobecnosti je to nedokončená odpoveď. Alebo skôr neúplné. prečo? Ide o to, že odpoveď q = -3 tiež sa hodí: (-3) 4 by bolo tiež 81!
Je to kvôli mocenskej rovnici x n = a vždy má dva protiľahlé korene pri dokoncan . Plus a mínus:
Obaja sa hodia.
Napríklad riešenie (t.j. druhý stupne)
x2 = 9
Z nejakého dôvodu nie ste prekvapení, keď to vidíte dva korene x=±3? Tu je to rovnaké. A s akoukoľvek inou dokonca stupňa (štvrtého, šiesteho, desiateho atď.) budú rovnaké. Podrobnosti - v téme o
Takže správne riešenie by bolo:
q 4 = 81
q= ±3
Dobre, znamenia sme zistili. Ktorá je správna - plus alebo mínus? Pri hľadaní sme si znova prečítali stav problému Ďalšie informácie. To, samozrejme, nemusí existovať, ale v tomto probléme takéto informácie k dispozícii. V našom stave je priamo uvedené, že progresia je daná s kladný menovateľ.
Takže odpoveď je jasná:
q = 3
Všetko je tu jednoduché. Čo si myslíte, že by sa stalo, keby problémové vyhlásenie bolo takéto:
Piaty člen geometrickej postupnosti je 162 a prvý člen tejto postupnosti je 2. Nájdite menovateľa postupnosti.
Aký je rozdiel? Áno! V stave ničžiadna zmienka o menovateli. Ani priamo, ani nepriamo. A tu by už problém nastal dve riešenia!
q = 3 a q = -3
Áno áno! A s plusom a mínusom.) Matematicky by tento fakt znamenal, že existujú dve progresie ktoré zodpovedajú úlohe. A pre každého - jeho vlastný menovateľ. Pre zábavu si precvičte a zapíšte si prvých päť termínov každého z nich.)
Teraz si precvičme hľadanie čísla člena. Toto je najťažšie, áno. Ale aj kreatívnejší.
Vzhľadom na geometrický priebeh:
3; 6; 12; 24; …
Aké číslo je 768 v tomto postupe?
Prvý krok je rovnaký: napíš vzorecnčlen!
b n = b 1 · q n -1
A teraz, ako obvykle, do nej dosadíme nám známe údaje. Hm... to nesedí! Kde je prvý člen, kde je menovateľ, kde je všetko ostatné?!
Kde, kde... Prečo potrebujeme oči? Mihalnice? Tentoraz nám je postup daný priamo vo formulári sekvencie. Môžeme vidieť prvý termín? Vidíme! Toto je trojica (b 1 = 3). A čo menovateľ? Zatiaľ to nevidíme, ale dá sa to veľmi ľahko spočítať. Ak, samozrejme, rozumiete.
Tu uvažujeme. Priamo podľa významu geometrickej postupnosti: vezmeme ktorýkoľvek z jej členov (okrem prvého) a vydelíme predchádzajúcim.
Aspoň takto:
q = 24/12 = 2
Čo ešte vieme? Tiež poznáme nejaký člen tejto postupnosti, rovný 768. Pod nejakým číslom n:
b n = 768
Nepoznáme jeho číslo, ale našou úlohou je práve ho nájsť.) Takže hľadáme. Vo vzorci sme už stiahli všetky potrebné údaje na substitúciu. Nebadane.)
Tu nahrádzame:
768 = 3 2n -1
Urobíme elementárne - obe časti vydelíme tromi a rovnicu prepíšeme do zaužívaného tvaru: vľavo neznáma, vpravo známa.
Dostaneme:
2 n -1 = 256
Tu je zaujímavá rovnica. Musíme nájsť "n". čo je nezvyčajné? Áno, nehádam sa. V skutočnosti je to najjednoduchšie. Nazýva sa tak preto, že neznáme (in tento prípad toto číslo n) zastáva indikátor stupňa.
V štádiu oboznamovania sa s geometrickým postupom (to je deviaty ročník) sa exponenciálne rovnice neučia riešiť, áno... Toto je téma pre strednú školu. Ale nie je nič strašné. Aj keď neviete, ako sa takéto rovnice riešia, skúsme nájsť naše n vedený jednoduchou logikou a zdravým rozumom.
Začíname diskutovať. Na ľavej strane máme dvojku do istej miery. Zatiaľ nevieme, čo presne je tento stupeň, ale nie je to strašidelné. Ale na druhej strane pevne vieme, že tento stupeň sa rovná 256! Pamätáme si teda, do akej miery nám dvojka dáva 256. Pamätáte si? Áno! V ôsmy stupňa!
256 = 2 8
Ak ste si nepamätali alebo s rozpoznaním stupňov problému, potom je to tiež v poriadku: jednoducho postupne zvyšujeme dvojku na štvorec, na kocku, na štvrtú mocninu, piatu atď. Výber je v skutočnosti, ale na tejto úrovni, celkom jazda.
Tak či onak dostaneme:
2 n -1 = 2 8
n-1 = 8
n = 9
Takže 768 je deviatyčlenom našej progresie. To je všetko, problém vyriešený.)
odpoveď: 9
Čo? nuda? Ste unavení zo základnej? Súhlasím. Ja tiež. Poďme na ďalšiu úroveň.)
Zložitejšie úlohy.
A teraz riešime hádanky prudšie. Nie úplne super-cool, ale na ktorom musíte trochu popracovať, aby ste sa dostali k odpovedi.
Napríklad takto.
Nájdite druhý člen geometrickej postupnosti, ak jej štvrtý člen je -24 a siedmy člen je 192.
Toto je klasika žánru. Niektorí dvaja rôzni členovia progresie sú známi, ale musí sa nájsť ešte jeden člen. Navyše všetci členovia NIE SÚ susedia. Čo na prvý pohľad zmätie, áno...
Rovnako ako v , uvažujeme o dvoch spôsoboch riešenia takýchto problémov. Prvý spôsob je univerzálny. Algebraické. Funguje bezchybne s akýmikoľvek zdrojovými údajmi. Takže tam začneme.)
Každý výraz namaľujeme podľa vzorca nčlen!
Všetko je úplne rovnaké ako pri aritmetickom postupe. Iba tentoraz pracujeme ďalší všeobecný vzorec. To je všetko.) Ale podstata je rovnaká: berieme a v poradí dosadíme naše počiatočné údaje do vzorca n-tého člena. Pre každého člena - ich vlastné.
Pre štvrtý termín píšeme:
b 4 = b 1 · q 3
-24 = b 1 · q 3
existuje. Jedna rovnica je hotová.
Pre siedmy termín píšeme:
b 7 = b 1 · q 6
192 = b 1 · q 6
Celkovo boli získané dve rovnice pre rovnaký progres .
Z nich zostavíme systém:
Napriek svojmu impozantnému vzhľadu je systém pomerne jednoduchý. Najzrejmejším spôsobom riešenia je obvyklá substitúcia. Vyjadrujeme sa b 1 z hornej rovnice a dosaďte do spodnej rovnice:
Malé pohrávanie sa s nižšou rovnicou (zníženie exponentov a delenie číslom -24) vedie k:
q 3 = -8
Mimochodom, k rovnakej rovnici sa dá dospieť aj jednoduchším spôsobom! Čo? Teraz vám ukážem ďalší tajný, ale veľmi krásny, výkonný a užitočný spôsob riešenia takýchto systémov. Takéto sústavy, v rovniciach ktorých sedia iba funguje. Aspoň v jednom. volal metóda delenia termínov jedna rovnica k druhej.
Takže máme systém:
V oboch rovniciach vľavo - práca a na pravej strane je len číslo. Toto je veľmi dobré znamenie.) Zoberme a ... vydeľme, povedzme, spodnú rovnicu hornou! Čo znamená, rozdeliť jednu rovnicu druhou? Veľmi jednoduché. Berieme ľavá strana jedna rovnica (nižšia) a delíme sa ju na ľavá strana iná rovnica (horná). Pravá strana je podobná: pravá strana jedna rovnica delíme sa na pravá stranaďalší.
Celý proces rozdelenia vyzerá takto:
Teraz, znížením všetkého, čo je znížené, dostaneme:
q 3 = -8
Čo je na tejto metóde dobré? Áno, pretože v procese takéhoto delenia sa dá všetko zlé a nepohodlné bezpečne zredukovať a zostane úplne neškodná rovnica! Preto je také dôležité mať iba násobenia aspoň v jednej z rovníc systému. Neexistuje žiadne násobenie - nie je čo znižovať, áno ...
Vo všeobecnosti si táto metóda (ako mnohé iné netriviálne spôsoby riešenia systémov) dokonca zaslúži samostatnú lekciu. Určite sa na to pozriem bližšie. Jedného dňa…
Bez ohľadu na to, ako vyriešite systém, v každom prípade teraz musíme vyriešiť výslednú rovnicu:
q 3 = -8
Žiadny problém: vytiahneme koreň (kubický) a - hotovo!
Upozorňujeme, že pri extrakcii tu nie je potrebné zadávať plus/mínus. Máme nepárny (tretí) koreň. A odpoveď je rovnaká, áno.
Nájdeme teda menovateľa progresie. Mínus dva. Dobre! Proces prebieha.)
Pre prvý člen (povedzme z hornej rovnice) dostaneme:
Dobre! Poznáme prvý člen, poznáme menovateľa. A teraz máme možnosť nájsť ktoréhokoľvek člena progresie. Vrátane toho druhého.)
Pre druhého člena je všetko celkom jednoduché:
b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6
Odpoveď: -6
Takže sme vyriešili algebraický spôsob riešenia problému. Ťažko? Nič moc, súhlasím. Dlhé a nudné? Rozhodne áno. Ale niekedy môžete výrazne znížiť množstvo práce. Pre toto existuje grafickým spôsobom. Staré dobré a známe od .)
Nakreslíme problém!
Áno! presne tak. Opäť znázorňujeme náš postup na číselnej osi. Nie nevyhnutne pravítkom, nie je potrebné udržiavať rovnaké intervaly medzi členmi (ktoré, mimochodom, nebudú rovnaké, pretože postup je geometrický!), Ale jednoducho schematicky nakreslite našu postupnosť.
Mám to takto:
Teraz sa pozrite na obrázok a premýšľajte. Koľko rovnakých faktorov zdieľa "q". štvrtý a siedmyčlenov? Správne, tri!
Preto máme plné právo napísať:
-24q 3 = 192
Odtiaľto je teraz ľahké nájsť q:
q 3 = -8
q = -2
To je skvelé, menovateľ už máme vo vrecku. A teraz sa znova pozrieme na obrázok: koľko takýchto menovateľov sedí medzi nimi druhý a štvrtýčlenov? Dva! Preto, aby sme zaznamenali vzťah medzi týmito členmi, zdvihneme menovateľa štvorec.
Tu píšeme:
b 2 · q 2 = -24 , kde b 2 = -24/ q 2
Náš nájdený menovateľ dosadíme do výrazu pre b 2 , spočítame a dostaneme:
Odpoveď: -6
Ako vidíte, všetko je oveľa jednoduchšie a rýchlejšie ako cez systém. Navyše, tu sme vôbec nemuseli počítať prvý termín! Vôbec.)
Tu je taký jednoduchý a vizuálny spôsob svetla. Má to však aj vážnu nevýhodu. Uhádli ste? Áno! Je to dobré len pre veľmi krátke úseky progresie. Tie, kde vzdialenosti medzi členmi, ktoré nás zaujímajú, nie sú príliš veľké. Ale vo všetkých ostatných prípadoch je už ťažké nakresliť obrázok, áno... Potom problém riešime analyticky, cez systém.) A systémy sú univerzálna vec. Vyrovnajte sa s ľubovoľným číslom.
Ďalší epický:
Druhý člen geometrickej postupnosti je o 10 viac ako prvý a tretí člen je o 30 viac ako druhý. Nájdite menovateľa postupu.
čo je super? Vôbec nie! Všetky rovnaké. Opäť preložíme podmienku problému do čistej algebry.
1) Každý výraz namaľujeme podľa vzorca nčlen!
Druhý člen: b 2 = b 1 q
Tretí termín: b 3 \u003d b 1 q 2
2) Vypíšeme vzťah medzi členmi z podmienky problému.
Čítanie stavu: "Druhý člen geometrickej progresie je o 10 viac ako prvý." Prestaňte, toto je cenné!
Takže píšeme:
b 2 = b 1 +10
A túto frázu preložíme do čistej matematiky:
b 3 = b 2 +30
Dostali sme dve rovnice. Spájame ich do systému:
Systém vyzerá jednoducho. Ale existuje veľa rôznych indexov pre písmená. Dosadme namiesto druhého a tretieho člena ich vyjadrenie cez prvý člen a menovateľ! Darmo, alebo čo, namaľovali sme ich?
Dostaneme:
Ale taký systém už nie je dar, áno ... Ako to vyriešiť? Bohužiaľ, univerzálne tajné kúzlo na vyriešenie komplexu nelineárne V matematike systémy neexistujú a ani nemôžu byť. To je fantastické! Prvá vec, ktorá by vás však mala napadnúť pri pokuse o rozlúsknutie takéhoto tvrdého orieška, je prísť na to Nie je však jedna z rovníc systému zredukovaná do krásnej podoby, ktorá uľahčuje napríklad vyjadrenie jednej z premenných pomocou inej?
Poďme hádať. Prvá rovnica systému je explicitne ľahšie ako to druhé. Budeme ho mučiť.) Prečo to neskúsiť z prvej rovnice niečo vyjadriť cez niečo? Keďže chceme nájsť menovateľa q, vtedy by bolo pre nás najvýhodnejšie vyjadrenie b 1 naprieč q.
Skúsme teda urobiť tento postup s prvou rovnicou, pričom použijeme tie staré dobré:
b1q = b1 +10
b 1 q - b 1 \u003d 10
b1 (q-1) = 10
Všetko! Tu sme sa vyjadrili zbytočné nám premennú (b 1) cez nevyhnutné(q). Áno, nie práve najjednoduchší výraz. Nejaký zlomok... Ale náš systém má slušnú úroveň, áno.)
Typické. Čo robiť - vieme.
Píšeme ODZ (nevyhnutne!) :
q ≠ 1
Všetko vynásobíme menovateľom (q-1) a zredukujeme všetky zlomky:
10 q 2 = 10 q + 30(q-1)
Všetko rozdelíme desiatimi, otvoríme zátvorky, zhromaždíme všetko vľavo:
q 2 – 4 q + 3 = 0
Vyriešime výsledok a získame dva korene:
q 1 = 1
q 2 = 3
Existuje len jedna konečná odpoveď: q = 3 .
odpoveď: 3
Ako vidíte, spôsob riešenia väčšiny problémov pre vzorec n-tého člena geometrickej postupnosti je vždy rovnaký: čítame opatrne stav problému a pomocou vzorca n-tého členu preložíme celé užitočná informácia do čistej algebry.
menovite:
1) Každý člen uvedený v úlohe píšeme samostatne podľa vzorcančlen.
2) Z podmienky úlohy preložíme spojenie medzi členmi do matematického tvaru. Zostavíme rovnicu alebo sústavu rovníc.
3) Vyriešime výslednú rovnicu alebo sústavu rovníc, nájdeme neznáme parametre postupu.
4) V prípade nejednoznačnej odpovede si pozorne prečítame stav problému pri hľadaní dodatočných informácií (ak existujú). Prijatú odpoveď kontrolujeme aj s podmienkami ODZ (ak existujú).
A teraz uvádzame hlavné problémy, ktoré najčastejšie vedú k chybám v procese riešenia úloh geometrickej progresie.
1. Základná aritmetika. Operácie so zlomkami a zápornými číslami.
2. Ak je aspoň jeden z týchto troch bodov problém, potom sa v tejto téme nevyhnutne pomýlite. Bohužiaľ... Nebuďte preto leniví a zopakujte to, čo bolo spomenuté vyššie. A postupujte podľa odkazov - choďte. Niekedy to pomôže.)
Upravené a opakujúce sa vzorce.
A teraz sa pozrime na pár typických problémov pri skúške s menej známou prezentáciou stavu. Áno, áno, uhádli ste! Toto upravené a opakujúci vzorce n-tého člena. S takýmito vzorcami sme sa už stretli a pracovali sme v aritmetickom postupe. Všetko je tu podobné. Podstata je rovnaká.
Napríklad taký problém od OGE:
Geometrická postupnosť je daná vzorcom b n = 32 n . Nájdite súčet prvého a štvrtého člena.
Tentoraz sa nám postup priznáva nie celkom ako obvykle. Nejaký druh vzorca. No a čo? Tento vzorec je aj vzorecnčlen! Všetci vieme, že vzorec n-tého členu môže byť napísaný vo všeobecnej forme, prostredníctvom písmen a pre špecifická progresia. S špecifické prvý termín a menovateľ.
V našom prípade sme v skutočnosti dostali všeobecný termínový vzorec pre geometrickú postupnosť s nasledujúcimi parametrami:
b 1 = 6
q = 2
Skontrolujeme?) Napíšeme vzorec n-tého člena vo všeobecnom tvare a dosadíme do neho b 1 a q. Dostaneme:
b n = b 1 · q n -1
b n= 62n -1
Zjednodušíme pomocou faktorizácie a mocninových vlastností a získame:
b n= 62n -1 = 3 2 2n -1 = 32n -1+1 = 32n
Ako vidíte, všetko je fér. Ale naším cieľom s vami nie je demonštrovať odvodenie konkrétneho vzorca. Toto je taká lyrická odbočka. Čisto pre pochopenie.) Naším cieľom je vyriešiť problém podľa vzorca, ktorý nám je daný v podmienke. Chytáte to?) Takže pracujeme priamo s upraveným vzorcom.
Počítame prvý termín. Náhradník n=1 do všeobecného vzorca:
b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6
Páči sa ti to. Mimochodom, nie som lenivý a ešte raz vás upozorním na typický trapas s výpočtom prvého termínu. NEPOZERAJTE sa na vzorec b n= 32n, hneď sa ponáhľaj napísať, že prvým členom je trojka! Je to veľká chyba, áno...)
Pokračujeme ďalej. Náhradník n=4 a zvážte štvrtý výraz:
b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48
A nakoniec vypočítame požadované množstvo:
b 1 + b 4 = 6+48 = 54
odpoveď: 54
Iný problém.
Geometrická postupnosť je daná podmienkami:
b 1 = -7;
b n +1 = 3 b n
Nájdite štvrtý termín postupu.
Tu je progresia daná opakujúcim sa vzorcom. No dobre.) Ako pracovať s týmto vzorcom - tiež vieme.
Tu konáme. Krok za krokom.
1) počítanie dvoch postupnéčlen progresu.
Prvý termín je nám už daný. Mínus sedem. Ale ďalší, druhý člen, sa dá ľahko vypočítať pomocou rekurzívneho vzorca. Ak rozumiete, ako to funguje, samozrejme.)
Tu uvažujeme o druhom termíne podľa slávneho prvého:
b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21
2) Berieme do úvahy menovateľa progresie
Tiež žiadny problém. Priamo, zdieľaj druhýčurák na najprv.
Dostaneme:
q = -21/(-7) = 3
3) Napíšte vzorecnčlen v obvyklom tvare a zvážte požadovaný člen.
Takže poznáme prvý výraz, aj menovateľa. Tu píšeme:
b n= -7 3n -1
b 4 = -7 3 3 = -727 = -189
Odpoveď: -189
Ako vidíte, práca s takýmito vzorcami pre geometrickú progresiu sa v podstate nelíši od tej pre aritmetickú progresiu. Dôležité je len pochopiť zdravý rozum a význam týchto vzorcov. Nuž, význam geometrickej postupnosti tiež treba pochopiť, áno.) A potom nebudú žiadne hlúpe chyby.
No, poďme sa rozhodnúť sami?)
Celkom základné úlohy na zahriatie:
1. Vzhľadom na geometrickú postupnosť, v ktorej b 1 = 243 a q = -2/3. Nájdite šiesty termín postupu.
2. Spoločný člen geometrickej postupnosti je daný vzorcom b n = 5∙2 n +1 . Nájdite číslo posledného trojciferného člena tohto postupu.
3. Geometrická postupnosť je daná podmienkami:
b 1 = -3;
b n +1 = 6 b n
Nájdite piaty termín postupu.
Trochu komplikovanejšie:
4. Daná geometrická postupnosť:
b 1 =2048; q =-0,5
Aký je jej šiesty negatívny výraz?
Čo sa zdá byť super ťažké? Vôbec nie. Logika a pochopenie významu geometrickej progresie ušetrí. No, vzorec n-tého členu, samozrejme.
5. Tretí člen geometrickej postupnosti je -14 a ôsmy člen je 112. Nájdite menovateľa postupnosti.
6. Súčet prvého a druhého člena geometrickej postupnosti je 75 a súčet druhého a tretieho člena geometrickej postupnosti je 150. Nájdite šiesty člen postupnosti.
Odpovede (v neporiadku): 6; -3888; - jeden; 800; -32; 448.
To je skoro všetko. Zostáva len naučiť sa počítať súčet prvých n členov geometrickej postupnostiáno objaviť nekonečne klesajúca geometrická progresia a jeho množstvo. Mimochodom, veľmi zaujímavá a nezvyčajná vec! Viac o tom v ďalších lekciách.)
Geometrická progresia nemenej dôležité v matematike ako v aritmetike. Geometrická postupnosť je taká postupnosť čísel b1, b2,..., b[n], ktorej každý ďalší člen sa získa vynásobením predchádzajúceho konštantným číslom. Toto číslo, ktoré tiež charakterizuje rýchlosť rastu alebo poklesu progresie, sa nazýva menovateľ geometrickej postupnosti a označujú
Pre úplné priradenie geometrickej postupnosti je okrem menovateľa potrebné poznať alebo určiť jej prvý člen. Pre kladnú hodnotu menovateľa je postupnosť monotónna postupnosť a ak táto postupnosť čísel monotónne klesá a kedy monotónne rastie. Prípad, keď sa menovateľ rovná jednej, sa v praxi neuvažuje, pretože máme postupnosť rovnakých čísel a ich súčet nie je praktický.
Všeobecný pojem geometrickej postupnosti vypočítané podľa vzorca
Súčet prvých n členov geometrickej postupnosti určený vzorcom
Uvažujme o riešeniach klasických úloh geometrickej postupnosti. Začnime tým najjednoduchším na pochopenie.
Príklad 1. Prvý člen geometrickej postupnosti je 27 a jej menovateľ je 1/3. Nájdite prvých šesť členov geometrickej postupnosti.
Riešenie: Do formulára napíšeme podmienku úlohy
Na výpočty používame vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti
Na základe nej nachádzame neznámych členov progresie
Ako vidíte, výpočet podmienok geometrickej progresie nie je zložitý. Samotný postup bude vyzerať takto
Príklad 2. Prvé tri členy geometrickej postupnosti sú dané: 6; -12; 24. Nájdite menovateľa a siedmy člen.
Riešenie: Menovateľa geometrickej postupnosti vypočítame na základe jej definície
Dostali sme striedavý geometrický postup, ktorého menovateľ je -2. Siedmy člen sa vypočíta podľa vzorca
Na tejto úlohe je vyriešená.
Príklad 3. Geometrická postupnosť je daná dvoma jej členmi 
. Nájdite desiaty termín postupu.
Riešenie:
Napíšme dané hodnoty cez vzorce
Podľa pravidiel by bolo potrebné nájsť menovateľa a potom hľadať požadovanú hodnotu, ale pre desiaty člen máme
Rovnaký vzorec možno získať na základe jednoduchých manipulácií so vstupnými údajmi. Šiesty termín série delíme ďalším, ako výsledok dostaneme
Ak sa výsledná hodnota vynásobí šiestym členom, dostaneme desiaty
Na takéto problémy teda pomocou rýchlych jednoduchých transformácií môžete nájsť správne riešenie.
Príklad 4. Geometrická postupnosť je daná opakujúcimi sa vzorcami
Nájdite menovateľa geometrickej postupnosti a súčet prvých šiestich členov.
Riešenie:
Uvedené údaje zapisujeme vo forme sústavy rovníc
Vyjadrite menovateľ tak, že druhú rovnicu vydelíte prvou
Nájdite prvý člen postupu z prvej rovnice
Vypočítajte nasledujúcich päť členov, aby ste našli súčet geometrickej postupnosti
