То частини рівняння виявляється у дужках. Щоб розкрити дужки, перегляньте знак перед дужками. Якщо стоїть знак плюс, при розкриванні дужок у записі висловлювання нічого не зміниться: просто заберіть дужки. Якщо стоїть знак мінус, при розкритті дужок необхідно поміняти всі знаки, що стоять спочатку в дужках, на протилежні. Наприклад, -(2х-3)=-2х+3.
Перемноження двох дужок.
Якщо у рівнянні присутній твір двох дужок, розкриття дужок по стандартному правилу. Кожен член першої дужки перемножується з кожним членом другої дужки. Отримані числа підсумовуються. У цьому твір двох " плюсів " чи двох " мінусів " дає доданку знак " плюс " , і якщо множники мають різні знаки, то отримує знак " мінус " .
Розглянемо.
(5х+1)(3х-4)=5х*3х-5х*4+1*3х-1*4=15х^2-20х+3х-4=15х^2-17х-4.
Розкриттям дужок іноді зведення виразу. Формули зведення в квадрат і куб треба знати напам'ять і пам'ятати.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Формули зведення виразу більше трьох можна за допомогою трикутника Паскаля.
Джерела:
- формула розкриття дужок
В'язні в дужки математичні дії можуть містити змінні та вирази різного ступеня складності. Для перемноження таких виразів доведеться шукати рішення у загальному вигляді, розкриваючи дужки та спрощуючи отриманий результат. Якщо ж у дужках містяться операції без змінних, тільки з чисельними значеннями, то розкривати дужки не обов'язково, тому що за наявності комп'ютера користувачу доступні дуже значні обчислювальні ресурси - простіше скористатися ними, ніж спрощувати вираз.
Інструкція
Перемножуйте послідовно кожне (або зменшується з ), що міститься в одній дужці, на вміст решти всіх дужок, якщо потрібно отримати результат у загальному вигляді. Наприклад, нехай вихідний вираз записано так: (5+x)∗(6-х)∗(x+2). Тоді послідовне перемноження (тобто розкриття дужок) дасть наступний результат: (5+x)∗(6-х)∗(x+2) = (5∗6-5∗х)∗(5∗x+5∗2) + (6∗x-х∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗х∗5∗x+5∗ х∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (х∗x∗x∗x+х∗x∗2∗x) = 5∗6∗5∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗х∗5∗x - 5∗х∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - х∗x∗x∗x - х ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.
Спрощуйте після результат, скорочуючи вирази. Наприклад, отриманий на попередньому кроці вираз можна спростити таким чином: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 30 x² - 8∗x³ - x∗x³.
Скористайтеся калькулятором, якщо потрібно перемножити , що містить лише чисельні значення, без невідомих змінних. Вбудований програмний
Основна функція дужок - змінювати порядок дій при обчисленні значень. Наприклад, У числовому вираженні \ (5 · 3 +7 \) спочатку буде обчислюватися множення, а потім додавання: \ (5 · 3 +7 = 15 +7 = 22 \). А ось у виразі \(5·(3+7)\) спочатку буде обчислено додавання у дужці, і лише потім множення: \(5·(3+7)=5·10=50\).
приклад.
Розкрийте дужку: \(-(4m+3)\).
Рішення
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
приклад.
Розкрийте дужку і наведіть подібні доданки \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Рішення
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
приклад.
Розкрийте дужки \(5(3-x)\).
Рішення
: У дужці у нас стоять \(3\) і \(-x\), а перед дужкою - п'ятірка Отже, кожен член дужки множиться на (5) - нагадую, що знак множення між числом та дужкою в математиці не пишуть для скорочення розмірів записів.
приклад.
Розкрийте дужки \(-2(-3x+5)\).
Рішення
: Як і в попередньому прикладі, що стоять у дужці \(-3x\) і \(5\) множаться на \(-2\)
приклад.
Спростити вираз: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Рішення
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Залишилося розглянути останню ситуацію.
При множенні дужки на дужку кожен член першої дужки перемножується з кожним членом другої:
\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)
приклад.
Розкрийте дужки \((2-x)(3x-1)\).
Рішення
: У нас твір дужок і його можна розкрити відразу за формулою вище Але щоб не плутатися, давайте зробимо все кроками.
Крок 1. Забираємо першу дужку - кожен її член множимо на дужку другу:
Крок 2. Розкриваємо твори дужки на множник як описано вище:
- Спочатку перше ...
Потім друге.
Крок 3. Тепер перемножуємо і наводимо такі доданки:
Так докладно розписувати всі перетворення необов'язково, можна відразу перемножувати. Але якщо ви тільки вчитеся розкривати дужок - пишіть докладно, менше шанс помилитися.
Примітка до всього розділу.Насправді, вам не потрібно запам'ятовувати всі чотири правила, досить пам'ятати тільки одне, ось це: \(c(a-b)=ca-cb\) . Чому? Тому що якщо в нього замість c підставити одиницю, вийде правило \((a-b)=a-b\) . Якщо ж підставити мінус одиницю, отримаємо правило \(-(a-b)=-a+b\) . Ну, а якщо замість підставити іншу дужку – можна отримати останнє правило.
Дужка у дужці
Іноді на практиці зустрічаються завдання з дужками, вкладеними всередину інших дужок. Ось приклад такого завдання: спростити вираз \(7x+2(5-(3x+y))\).
Щоб успішно вирішувати подібні завдання, потрібно:
- уважно розібратися у вкладеності дужок – яка у якій перебувати;
- розкривати дужки послідовно, починаючи, наприклад, із самої внутрішньої.
При цьому важливо при розкритті однієї з дужок не чіпати все інше виразпросто переписуючи його як є.
Давайте, наприклад, розберемо написане вище завдання.
приклад.
Розкрийте дужки і наведіть подібні доданки \(7x+2(5-(3x+y))\).
Рішення:
приклад.
Розкрийте дужки і наведіть подібні доданки \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Рішення
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Тут потрійна вкладеність дужок. Починаємо з самої внутрішньої (виділено зеленим). Перед дужкою плюс, тому вона просто знімається. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Тепер слід розкрити другу дужку, проміжну. Але ми перед цим спростимо вираз привидом подібних доданків у цій другій дужці. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Ось зараз розкриваємо другу дужку (виділено блакитним). Перед дужкою множник – отже кожен член дужці множиться нею. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
І розкриваємо останню дужку. Перед дужкою мінус – тому всі знаки змінюються протилежними. |
||
Розкриття дужок – це базове вміння в математиці. Без цього вміння неможливо мати оцінку вище за трійку у 8 та 9 класі. Тому рекомендую добре розібратися у цій темі.
Серед різних виразів, що розглядаються в алгебрі, важливе місцезаймають суми одночленів. Наведемо приклади таких виразів:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Суму одночленів називають багаточленом. Доданки в многочлен називають членами многочлена. Одночлени також відносять до многочленів, вважаючи одночлен, що складається з одного члена.
Наприклад, багаточлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можна спростити.
Представимо всі доданки у вигляді одночленів стандартного вигляду:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Наведемо в отриманому багаточлені такі члени:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Вийшов багаточлен, усі члени якого є одночленами стандартного виду, причому серед них немає подібних. Такі багаточлени називають багаточленами стандартного виду.
За ступінь багаточленастандартного виду приймають найбільший із ступенів його членів. Так, двочлен \(12a^2b - 7b \) має третій ступінь, а тричлен \(2b^2 -7b + 6 \) - другий.
Зазвичай члени багаточленів стандартного виду, що містять одну змінну, розташовують у порядку зменшення показників її ступеня. Наприклад:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Суму кількох багаточленів можна перетворити (спростити) на багаточлен стандартного виду.
Іноді члени багаточлена слід розбити на групи, укладаючи кожну групу в дужки. Оскільки висновок у дужки - це перетворення, зворотне розкриття дужок, легко сформулювати правила розкриття дужок:
Якщо перед дужками ставиться знак «+», то члени, укладені в дужки, записуються з тими самими знаками.
Якщо перед дужками ставиться знак "-", то члени, що укладаються у дужки, записуються з протилежними знаками.
Перетворення (спрощення) твору одночлена та багаточлена
За допомогою розподільної властивості множення можна перетворити (спростити) на багаточлен твір одночлена та багаточлена. Наприклад:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Твір одночлена та багаточлена тотожно дорівнює сумі творів цього одночлена та кожного з членів багаточлена.
Цей результат зазвичай формулюють як правила.
Щоб помножити одночлен на багаточлен, треба помножити цей одночлен на кожен із членів багаточлена.
Ми вже не раз використовували це правило для множення на суму.
Твір багаточленів. Перетворення (спрощення) твору двох багаточленів
Взагалі, добуток двох багаточленів тотожно дорівнює сумі твору кожного члена одного багаточлена та кожного члена іншого.
Зазвичай користуються наступним правилом.
Щоб помножити багаточлен на багаточлен, треба кожен член одного помножити на кожен член іншого і скласти отримані твори.
Формули скороченого множення. Квадрати суми, різниці та різниця квадратів
З деякими висловлюваннями в перетвореннях алгебри доводиться мати справу частіше, ніж з іншими. Мабуть, найчастіше зустрічаються вирази \((a + b)^2, \;(a - b)^2 \) і \(a^2 - b^2 \), тобто квадрат суми, квадрат різниці та різницю квадратів. Ви помітили, що назви зазначених виразів як би не закінчені, так, наприклад, \((a + b)^2 \) - це, звичайно, не просто квадрат суми, а квадрат суми а та b. Однак квадрат суми а і b зустрічається не так часто, як правило, замість букв а і b в ньому виявляються різні, іноді досить складні вирази.
Вирази \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) неважко перетворити (спростити) на багаточлени стандартного вигляду, власне, ви вже зустрічалися з таким завданням при множенні багаточленів:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Отримані тотожності корисно запам'ятати та застосовувати без проміжних викладок. Допомагають цьому короткі словесні формулювання.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суми дорівнює сумі квадратів та подвоєного твору.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадрат різниці дорівнює сумі квадратів без подвоєного добутку.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - різниця квадратів дорівнює добутку різниці на суму.
Ці три тотожності дозволяють у перетвореннях замінювати свої ліві частини правими і назад - праві частини лівими. Найважче при цьому - побачити відповідні вирази та зрозуміти, чим у них замінені змінні а та b. Розглянемо кілька прикладів використання формул скороченого множення.
На цьому уроці ви дізнаєтеся, як з виразу, що містить дужки шляхом перетворення отримати вираз, в якому дужок немає. Ви навчитеся розкривати дужки, перед якими стоїть знак плюс та знак мінус. Ми згадаємо, як розкривати дужки, використовуючи розподільний закон множення. Розглянуті приклади дозволять пов'язати новий і раніше вивчений матеріал у єдине ціле.
Тема: Розв'язання рівнянь
Урок: Розкриття дужок
Як розкрити дужки, перед якими стоїть знак +. Використання сполучного закону складання.
Якщо до потрібно додати суму двох чисел, то можна до цього додати спочатку перше доданок, а потім друге.
Зліва від знака одно вираз із дужками, а праворуч - вираз без дужок. Отже, під час переходу від лівої частини рівності до правої відбулося розкриття дужок.
Розглянемо приклади.
приклад 1. 
Розкривши дужки, ми змінили порядок дій. Вважати стало зручніше.
приклад 2. 
Приклад 3.
Зауважимо, що у всіх трьох прикладах ми просто прибирали дужки. Сформулюємо правило:
Зауваження.
Якщо перший доданок у дужках стоїть без знака, його треба записати зі знаком «плюс».
Можна виконати приклад з дій. Спочатку до 889 додати 445. Цю дію в умі виконати можна, але це не дуже просто. Розкриємо дужки та побачимо, що змінений порядок дій значно спростить обчислення.
Якщо слідувати зазначеному порядку дій, то потрібно спочатку з 512 відняти 345, а потім до результату додати 1345. Розкривши дужки, ми змінимо порядок дій і значно спростимо обчислення.
Ілюструючий приклад та правило.
Розглянемо приклад: . Знайти значення виразу можна, склавши 2 та 5, а потім взяти отримане число з протилежним знаком. Отримаємо -7.
З іншого боку, той самий результат можна отримати, склавши числа, протилежні вихідним.
Сформулюємо правило:
приклад 1. 
приклад 2.
Правило не змінюється, якщо у дужках не два, а три або більше доданків.
Приклад 3. 
Зауваження. Знаки змінюються на протилежні лише перед доданками.
Для того щоб розкрити дужки, даному випадкуНеобхідно згадати розподільну якість.
Спочатку помножимо першу дужку на 2, а другу – на 3.
Перед першою дужкою стоїть знак «+», отже знаки потрібно залишити без зміни. Перед другою стоїть знак «-», отже, всі знаки слід поміняти на протилежні
Список літератури
- Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. Математика 6. – М.: Мнемозіна, 2012.
- Мерзляк А.Г., Полонський В.В., Якір М.С. Математика 6 клас. – Гімназія, 2006.
- Депман І.Я., Віленкін Н.Я. За сторінками підручника з математики. – Просвітництво, 1989.
- Рурукін А.М., Чайковський І.В. Завдання з курсу математика 5-6 клас – ЗШ МІФІ, 2011.
- Рурукін О.М., Сочілов С.В., Чайковський К.Г. Математика 5-6. Посібник для учнів 6-х класів заочної школи МІФД. – ЗШ МІФІ, 2011.
- Шеврін Л.М., Гейн А.Г., Коряков І.О., Волков М.В. Математика: Підручник-співрозмовник для 5-6 класів середньої школи. Бібліотека учителя математики. – Просвітництво, 1989.
- Онлайн тести з математики ().
- Можна завантажити зазначені у п. 1.2. книги ().
Домашнє завдання
- Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. Математика 6. – М.: Мнемозіна, 2012. (посилання див. 1.2)
- Домашнє завдання: № 1254, № 1255, № 1256 (б, г)
- Інші завдання: № 1258(в), № 1248
У статті ми докладно розглянемо основні правила такої важливої теми курсу математики, як розкриття дужок. Знати правила розкриття дужок необхідно для того, щоб правильно вирішувати рівняння, в яких вони використовуються.
Як правильно розкривати дужки під час додавання
Розкриваємо дужки, перед якими стоїть знак.
Це найпростіший випадок, бо якщо перед дужками стоїть знак додавання, при розкритті дужок знаки всередині них не змінюються. Приклад:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Як розкрити дужки, перед якими стоїть знак
В даному випадку потрібно переписати всі доданки без дужок, але при цьому змінити всі знаки всередині них на протилежні. Знаки змінюються лише у доданків із тих дужок, перед якими стояв знак «-». Приклад:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Як розкрити дужки при множенні
Перед дужками стоїть число-множник
У разі потрібно помножити кожне доданок на множник і розкрити дужки, не змінюючи знаків. Якщо множник має знак "-", то при перемноженні знаки доданків змінюються на протилежні. Приклад:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Як розкрити дві дужки зі знаком множення між ними
В даному випадку потрібно кожне доданок з перших дужок перемножити з кожним доданком з других дужок і потім скласти отримані результати. Приклад:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Як розкрити дужки у квадраті
У випадку, якщо суму або різницю двох доданків зведено в квадрат, дужки слід розкривати за такою формулою:
(х + у) ^ 2 = х ^ 2 + 2 * х * у + у ^ 2.
У разі мінусу всередині дужок формула не змінюється. Приклад:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Як розкрити дужки в іншому ступені
Якщо сума або різниця доданків зводиться, наприклад, в 3 або 4-й ступінь, то потрібно просто розбити ступінь дужки на «квадрати». Ступені однакових множників складаються, а при розподілі зі ступеня поділеного віднімається ступінь дільника. Приклад:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Як розкрити 3 дужки
Бувають рівняння, у яких перемножуються одразу 3 дужки. У такому випадку потрібно спочатку перемножити між собою доданки перших двох дужок, а потім суму цього перемноження помножити на складові третьої дужки. Приклад:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Дані правила розкриття дужок однаково поширюються на вирішення як лінійних, і тригонометричних рівнянь.