Esa parte de la ecuación es la expresión entre paréntesis. Para abrir paréntesis, mire el signo delante de los paréntesis. Si hay un signo más, nada cambiará al expandir los corchetes en el registro de expresión: simplemente elimine los corchetes. Si hay un signo menos, al abrir los corchetes, es necesario cambiar todos los signos que inicialmente están entre paréntesis por los opuestos. Por ejemplo, -(2x-3)=-2x+3.
Multiplicando dos corchetes.
Si la ecuación contiene el producto de dos paréntesis, expandir los paréntesis de acuerdo con regla estándar. Cada término del primer paréntesis se multiplica por cada término del segundo paréntesis. Los números resultantes se suman. En este caso, el producto de dos "más" o dos "menos" le da al término un signo "más", y si los factores tienen signos diferentes, entonces recibe un signo "menos".
Considerar .
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
Al expandir los paréntesis, a veces elevando una expresión a . Las fórmulas para elevar al cuadrado y al cubo deben saberse de memoria y recordarse.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Las fórmulas para elevar una expresión mayor que tres se pueden hacer usando el triángulo de Pascal.
Fuentes:
- fórmula de apertura de paréntesis
Las operaciones matemáticas encerradas entre paréntesis pueden contener variables y expresiones de diversos grados de complejidad. Para multiplicar tales expresiones, deberá buscar una solución en forma general, abriendo los paréntesis y simplificando el resultado. Si los corchetes contienen operaciones sin variables, solo con valores numéricos, entonces no es necesario abrir los corchetes, ya que si una computadora está disponible para su usuario, hay recursos informáticos muy importantes disponibles: es más fácil usarlos que simplificar el expresión.
Instrucción
Multiplique sucesivamente cada uno (o reducido de) contenido en un paréntesis por el contenido de todos los demás paréntesis si desea obtener un resultado general. Por ejemplo, escriba la expresión original así: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Luego, la multiplicación sucesiva (es decir, expandir los paréntesis) dará el siguiente resultado: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗xx∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.
Simplifique después del resultado acortando expresiones. Por ejemplo, la expresión obtenida en el paso anterior se puede simplificar de la siguiente manera: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.
Usa una calculadora si necesitas multiplicar x igual a 4,75, es decir, (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). Para calcular este valor, vaya al sitio web del motor de búsqueda de Google o Nigma e ingrese la expresión en el campo de consulta en su forma original (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2). Google mostrará 82.265625 inmediatamente sin presionar un botón, mientras que Nigma necesita enviar los datos al servidor con solo presionar un botón.
En todos lados. En todas partes y en todas partes, donde quiera que mires, hay tales construcciones:
Estas "construcciones" en personas alfabetizadas provocan una reacción ambigua. Al menos como "¿es realmente así, verdad?".
En general, personalmente, no puedo entender de dónde vino la “moda” de no cerrar citas externas. La primera y única analogía que surge a este respecto es la analogía con los corchetes. Nadie duda de que dos corchetes seguidos son normales. Por ejemplo: "Pagar por toda la circulación (200 piezas (de las cuales 100 son defectuosas))". Pero en la normalidad de establecer dos cotizaciones seguidas, alguien dudó (me pregunto quién fue el primero) ... Y ahora todos, sin excepción, comenzaron a producir construcciones como LLC Firm Pupkov and Co. con la conciencia tranquila.
Pero incluso si no ha visto la regla en su vida, que se discutirá a continuación, entonces la única opción lógicamente justificada (usando los corchetes como ejemplo) sería la siguiente: Firm Pupkov and Co LLC.
Entonces, la regla en sí:
Si al principio o al final de una cita (lo mismo se aplica al estilo directo) hay comillas internas y externas, entonces deben diferir entre sí en un patrón (los llamados "árboles de Navidad" y "cutes" ), y no deben omitirse las comillas externas, por ejemplo: C Los costados del barco fueron comunicados por radio: "Leningrado ha entrado en los trópicos y continúa su curso". Sobre Zhukovsky, Belinsky escribe: “Los contemporáneos de la juventud de Zhukovsky lo veían principalmente como un autor de baladas, y en uno de sus mensajes, Batyushkov lo llamó un “jugador de baladas”.
© Reglas de ortografía y puntuación rusas. - Tula: Autógrafo, 1995. - 192 p.
En consecuencia ... si no tiene la oportunidad de escribir entre comillas, "árboles de Navidad", entonces, ¿qué puede hacer? Tendrá que usar dichos íconos "". Sin embargo, la imposibilidad (o falta de voluntad) de usar comillas rusas no es en modo alguno la razón por la que no puede cerrar las comillas externas.Por lo tanto, parece que descubrieron el diseño incorrecto de Firm Pupkov and Co LLC También hay construcciones del tipo LLC Firm Pupkov and Co.
De la regla, está bastante claro que tales construcciones son analfabetas ... (Correcto: LLC Firm Pupkov and Co.¡Pero!
El Manual del editor y del autor de Milchin (edición de 2004) establece que en tales casos se pueden utilizar dos opciones de diseño. El uso de "espigas" y "patas" y (en ausencia de medios técnicos) el uso de solo "espigas": dos de apertura y una de cierre.
El directorio es "fresco" y personalmente tengo 2 preguntas aquí de inmediato. En primer lugar, con qué alegría todavía puede usar una cita de cierre en espiga (bueno, esto es ilógico, ver arriba), y en segundo lugar, la frase "en ausencia de medios técnicos" llama especialmente la atención. ¿Cómo es eso, lo siento? Aquí, abra el Bloc de notas y escriba "solo árboles de Navidad: dos abriendo y uno cerrando" allí. No hay tales caracteres en el teclado. Imprimir un árbol de Navidad no funciona... La combinación Shift + 2 produce el signo " (que, como saben, ni siquiera son comillas). Ahora abra Microsoft Word y presione Shift + 2 nuevamente. El programa corregirá "a" (o " ). Bueno, resulta que la regla que existió durante más de una docena de años fue tomada y reescrita en Microsoft Word. Como, dado que la Palabra de "Firma" Pupkov and Co "hace" Firma "Pupkov and Co", ¿entonces ahora que sea aceptable y correcto?
Así parece. Y si es así, entonces hay muchas razones para dudar de la corrección de tal innovación.Sí, y una aclaración más... sobre la propia "falta de medios técnicos". El caso es que en cualquier ordenador con Windows siempre hay " medios tecnicos” para ingresar tanto “espiga” como “patas”, por lo que esta nueva “regla” (para mí está entre comillas) es incorrecta inicialmente.
Todos los caracteres especiales de una fuente se pueden escribir fácilmente sabiendo el número correspondiente de ese carácter. Basta con mantener presionada la tecla Alt y escribir en el teclado NumLock (NumLock está presionado, la luz indicadora está encendida) el número de símbolo correspondiente:
„ Alt + 0132 (pie izquierdo)
“ Alt + 0147 (pie derecho)
« Alt + 0171 (espiga izquierda)
» Alt + 0187 (espiga derecha)
En casi cualquier texto, puede encontrar corchetes y guiones. Pero los usuarios no siempre los dibujan correctamente. Por ejemplo, no es raro ver guiones sin uno o dos espacios cuando el texto se adhiere a un carácter. Lo mismo ocurre con los corchetes, cuyo uso está fuera de lugar o sin tener en cuenta las reglas de escritura sobrecarga el texto. Este artículo analiza los problemas de escritura de corchetes y guiones de acuerdo con las reglas generalmente aceptadas.
Reglas de paréntesis
Al escribir corchetes, siga las mismas reglas que para las comillas. Por ejemplo, dos paréntesis no se colocan en una fila.
Hay varios casos en los que se utilizan corchetes:
Palabras separadas, grupos de palabras y oraciones completas que no estén directamente relacionadas con la idea principal expresada por el autor. Frases pronunciadas de pasada, cuando el autor no llama la atención del lector sobre ellas. Las expresiones entre paréntesis quedan fuera de la estructura sintáctica de la oración.
Ejemplo: " Y aunque yo mismo entiendo que cuando ella tira de mis torbellinos, los saca sólo por lastima de su corazón (pues, repito sin vergüenza, ella tira de mis torbellinos, jovencito”, confirmó con extrema dignidad, al escuchar otra risita) , pero, Dios, que tal si ella aunque sea una vez... ¡Pero no! ¡No! ¡Todo esto es en vano, y no hay nada que decir! no hay nada que decir!.. pues mas de una vez ya ha pasado lo deseado, y mas de una vez me han tenido lástima, pero... tal es ya mi rasgo, y soy un ganado nato!" (F.M. Dostoievski, "Crimen y Castigo")
Los comentarios breves para explicar una palabra o frase en particular en una oración se colocan entre paréntesis.
Ejemplo: " Fue normal, charla relajante, cuando, junto con sincera simpatía (todos pertenecemos aquí, y todos, en general, son personas amables) también hay un toque de alivio burlón. ¡Yo no! No hice esta estupidez, - se leyó en los rostros."(S. Lukyanenko, "Sombras de los sueños")
Ejemplo: " Le pregunté a un yogui borracho
(Se navaja, se comía las uñas como chorizo):
"Escucha, amigo, ábreme - por Dios,
¡Me llevaré el secreto a la tumba!»
(V. Vysotsky, "Una canción sobre yoguis")
Las referencias a fórmulas e ilustraciones se incluyen entre paréntesis, por ejemplo (fig. 2), (diag. 3, pág. 184) , « Fórmula (1) es una consecuencia del teorema de Pitágoras. fórmulas (2) y (3) se obtienen de la formula (1) . » y fuentes de información (bibliografía, publicaciones) entre corchetes, por ejemplo: , , etc
Los comentarios están entre paréntesis, un ejemplo vívido son los escenarios donde la encarnación verbal de la acción continua se indica en los comentarios, por ejemplo:
« Will se ríe.
SKYLAR (continúa)
¿Cómo haces esto? Yo no... quiero decir, incluso las personas más inteligentes que conozco, tenemos un par en Harvard, tenemos que estudiar - mucho. Es complicado.
(pausa)
Mira, Will, si no quieres decírmelo...»
(Guión de la película "Good Will Hunting"
Los corchetes también se usan cuando se agregan palabras sin terminar en los trabajos del autor.
La numeración en el texto se escribe usando corchetes en el siguiente formato:
1)
a)
*)
De manera similar, se redactan signos de notas al pie (referencias).
Reglas de guión
Un guión se refiere a los signos de puntuación; cuando se escribe antes y después de un guión, siempre se escribe un espacio.
Hay algunas excepciones cuando un guión se escribe sin ambos o un espacio:
cuando un párrafo comienza con un guión, se coloca un espacio solo después.
cuando un guión se encuentra entre dos números, actuando como un guión. Por ejemplo: " cada día nuestro sitio es visitado por 3000 -
3500 visitantes».
Por ejemplo: " – Oh-oh… Eh… –
solo y fue capaz de murmurar estupefacta Paige.(Philip K. Dick, Minority Report)
La mayoría de los signos de puntuación, incluidas las comas, los signos de interrogación y los signos de exclamación, se colocan antes del guión. Ejemplo: " La región montañosa central en la que se encuentran las montañas Pindus. , - los más escasamente poblados. El punto más alto de Grecia, el Monte Olimpo (2917 m) se encuentra en esta región. Grecia central es la región más poblada."(Libro de referencia de Eklopedic" Todo el mundo. Países ")
El guión se usa de varias maneras:
- como signo de puntuación;
- como conector de un par de números límite, por ejemplo: 80-90%
;
- como signo menos matemático;
- como símbolo separador o símbolo del texto explicativo, por ejemplo, cuando se da una decodificación de los símbolos incluidos en la fórmula, o se da una explicación de la ilustración;
- como guión, con el guión escrito junto con la parte no portátil de la palabra y no debe repetirse al comienzo de la siguiente línea;
- como un guión o guión de conexión.
La función principal de los corchetes es cambiar el orden de las acciones al calcular valores. por ejemplo, en la expresión numérica \(5 3+7\) se calculará primero la multiplicación, y luego la suma: \(5 3+7 =15+7=22\). Pero en la expresión \(5·(3+7)\), primero se calculará la suma entre paréntesis, y solo después la multiplicación: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Ejemplo.
Expanda el corchete: \(-(4m+3)\).
Solución
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Ejemplo.
Expande el paréntesis y da los términos similares \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Solución
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Ejemplo.
Expanda los corchetes \(5(3-x)\).
Solución
: Tenemos \(3\) y \(-x\) entre paréntesis, y cinco delante del paréntesis. Esto quiere decir que cada miembro del paréntesis se multiplica por \(5\) - les recuerdo que el signo de multiplicación entre un número y un paréntesis en matemáticas no se escribe para reducir el tamaño de los registros.
Ejemplo.
Expanda los corchetes \(-2(-3x+5)\).
Solución
: Como en el ejemplo anterior, \(-3x\) y \(5\) entre paréntesis se multiplican por \(-2\).
Ejemplo.
Simplifica la expresión: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Solución
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Queda por considerar la última situación.
Al multiplicar paréntesis por paréntesis, cada término del primer paréntesis se multiplica por cada término del segundo:
\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)
Ejemplo.
Expanda los corchetes \((2-x)(3x-1)\).
Solución
: Tenemos un producto de paréntesis y se puede abrir inmediatamente usando la fórmula anterior. Pero para no confundirnos, hagamos todo paso a paso.
Paso 1. Retire el primer soporte: cada uno de sus miembros se multiplica por el segundo soporte:
Paso 2. Expande los productos del soporte por el factor como se describe arriba:
- el primero primero...
Luego el segundo.
Paso 3. Ahora multiplicamos y traemos términos semejantes:
No es necesario pintar todas las transformaciones en detalle, puedes multiplicarlas inmediatamente. Pero si solo está aprendiendo a abrir corchetes, escriba en detalle, habrá menos posibilidades de cometer un error.
Nota para toda la sección. De hecho, no necesitas recordar las cuatro reglas, solo necesitas recordar una, esta: \(c(a-b)=ca-cb\) . ¿Por qué? Porque si sustituimos uno en lugar de c, obtenemos la regla \((a-b)=a-b\) . Y si sustituimos menos uno, obtenemos la regla \(-(a-b)=-a+b\) . Bueno, si sustituyes otro paréntesis en lugar de c, puedes obtener la última regla.
paréntesis dentro de paréntesis
A veces, en la práctica, hay problemas con los corchetes anidados dentro de otros corchetes. He aquí un ejemplo de tal tarea: simplificar la expresión \(7x+2(5-(3x+y))\).
Para tener éxito en estas tareas, necesita:
- comprenda cuidadosamente el anidamiento de los soportes: cuál está en cuál;
- abra los paréntesis secuencialmente, empezando, por ejemplo, por el más interior.
Es importante al abrir uno de los soportes no toques el resto de la expresión, simplemente reescribiéndolo como está.
Tomemos la tarea anterior como ejemplo.
Ejemplo.
Abre los paréntesis y da los términos similares \(7x+2(5-(3x+y))\).
Solución:
Ejemplo.
Expande los paréntesis y da términos semejantes \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Solución
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Esta es una anidación triple de paréntesis. Comenzamos con el más interno (resaltado en verde). Hay un signo más delante del paréntesis, por lo que simplemente se elimina. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Ahora necesitas abrir el segundo soporte, intermedio. Pero antes de eso, simplificaremos la expresión ocultando términos similares en este segundo paréntesis. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Ahora abrimos el segundo corchete (resaltado en azul). Hay un multiplicador delante del paréntesis, por lo que cada término del paréntesis se multiplica por él. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
Y abre el último paréntesis. Antes del corchete menos, por lo que todos los signos están invertidos. |
||
La apertura de corchetes es una habilidad básica en matemáticas. Sin esta habilidad, es imposible tener una calificación superior a tres en los grados 8 y 9. Por lo tanto, recomiendo una buena comprensión de este tema.
La expansión de corchetes es un tipo de transformación de expresión. En esta sección, describiremos las reglas para expandir corchetes, y consideraremos los ejemplos más comunes de tareas.
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¿Qué es la expansión de paréntesis?
Los paréntesis se utilizan para indicar el orden en que se realizan las acciones en expresiones numéricas y alfabéticas, así como en expresiones con variables. Es conveniente pasar de una expresión con corchetes a una expresión idénticamente igual sin corchetes. Por ejemplo, reemplace la expresión 2 (3 + 4) con una expresión como 2 3 + 2 4 sin paréntesis. Esta técnica se llama apertura de paréntesis.
Definición 1
Bajo la apertura de corchetes, nos referimos a los métodos para deshacerse de los corchetes y generalmente se consideran en relación con expresiones que pueden contener:
- signos "+" o "-" delante de corchetes que contienen sumas o diferencias;
- el producto de un número, letra o varias letras, y la suma o diferencia, que se pone entre paréntesis.
Así es como solíamos considerar el proceso de expansión de paréntesis en el curso. currículum escolar. Sin embargo, nadie nos impide mirar esta acción más ampliamente. Podemos llamar expansión de paréntesis a la transición de una expresión que contiene números negativos entre paréntesis a una expresión que no tiene paréntesis. Por ejemplo, podemos pasar de 5 + (− 3) − (− 7) a 5 − 3 + 7 . De hecho, esto también es una expansión de paréntesis.
De la misma forma, podemos reemplazar el producto de expresiones entre paréntesis de la forma (a + b) · (c + d) por la suma a · c + a · d + b · c + b · d . Esta técnica tampoco contradice el significado de la expansión de paréntesis.
Aquí hay otro ejemplo. Podemos suponer que en las expresiones, en lugar de números y variables, se puede usar cualquier expresión. Por ejemplo, la expresión x 2 1 a - x + sin (b) corresponderá a una expresión sin paréntesis de la forma x 2 1 a - x 2 x + x 2 sin (b) .
Un punto más merece especial atención, que se refiere a las peculiaridades de escribir soluciones al abrir corchetes. Podemos escribir la expresión inicial entre paréntesis y el resultado obtenido tras abrir los paréntesis como igualdad. Por ejemplo, después de abrir los paréntesis, en lugar de la expresión 3 − (5 − 7) obtenemos la expresión 3 − 5 + 7 . Podemos escribir ambas expresiones como la igualdad 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 .
La realización de acciones con expresiones engorrosas puede requerir el registro de resultados intermedios. Entonces la solución tendrá la forma de una cadena de igualdades. Por ejemplo, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 o 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .
Reglas para abrir corchetes, ejemplos
Comencemos con las reglas para abrir paréntesis.
Números únicos entre paréntesis
Los números negativos entre paréntesis suelen aparecer en las expresiones. Por ejemplo, (− 4) y 3 + (− 4) . Los números positivos entre paréntesis también tienen lugar.
Formulemos la regla para abrir corchetes que contienen números positivos únicos. Supongamos que a es cualquier número positivo. Entonces podemos reemplazar (a) con a, + (a) con + a, - (a) con - a. Si en lugar de a tomamos un número específico, entonces de acuerdo con la regla: el número (5) se escribirá como 5 , la expresión 3 + (5) sin paréntesis tomará la forma 3 + 5 , ya que + (5) se sustituye por + 5 , y la expresión 3 + (− 5) es equivalente a la expresión 3 − 5 , porque + (− 5) es reemplazado por − 5 .
Los números positivos generalmente se escriben sin usar paréntesis, ya que los paréntesis son redundantes en este caso.
Ahora considere la regla para abrir corchetes que contienen un solo número negativo. + (−a) reemplazamos con − un, − (− a) se sustituye por + a . Si la expresión comienza con un número negativo (-a), que se escribe entre corchetes, entonces se omiten los corchetes y en lugar de (-a) restos − un.
Aquí hay unos ejemplos: (− 5) se puede escribir como − 5 , (− 3) + 0 , 5 se convierte en − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) se convierte en 4 − 3 , y − (− 4) − (− 3) después de abrir los corchetes toma la forma 4 + 3 , ya que − (− 4) y − (− 3) se reemplaza por + 4 y + 3 .
Debe entenderse que la expresión 3 · (− 5) no se puede escribir como 3 · − 5. Esto será discutido en los siguientes párrafos.
Veamos en qué se basan las reglas de expansión de paréntesis.
Según la regla, la diferencia a − b es igual a a + (− b) . En base a las propiedades de las acciones con números, podemos hacer una cadena de igualdades (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a que será justo. Esta cadena de igualdades, en virtud del significado de la resta, prueba que la expresión a + (− b) es la diferencia a-b.
Con base en las propiedades de los números opuestos y las reglas para restar números negativos, podemos afirmar que − (− a) = a , a − (− b) = a + b .
Hay expresiones que se componen de un número, signos menos y varios pares de corchetes. El uso de las reglas anteriores le permite deshacerse secuencialmente de los corchetes, pasando de los corchetes internos a los externos o viceversa. Un ejemplo de tal expresión sería − (− ((− (5)))) . Abramos los paréntesis, moviéndonos de adentro hacia afuera: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Este ejemplo también se puede analizar a la inversa: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .
Bajo a y b pueden entenderse no solo como números, sino también como expresiones numéricas o literales arbitrarias con un "+" delante que no son sumas ni diferencias. En todos estos casos, puede aplicar las reglas de la misma manera que lo hicimos con números únicos entre paréntesis.
Por ejemplo, después de abrir los corchetes, la expresión − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) toma la forma 2 x − x 2 − 1 x − 2 x y 2: z . ¿Cómo lo hicimos? Sabemos que − (− 2 x) es + 2 x , y dado que esta expresión viene primero, entonces + 2 x se puede escribir como 2 x , - (x2) = -x2, + (− 1 x) = − 1 x y − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.
En los productos de dos números
Comencemos con la regla para expandir paréntesis en el producto de dos números.
pretendamos que a yb son dos números positivos. En este caso, el producto de dos números negativos − un y − b de la forma (− a) (− b) se pueden reemplazar por (a b) , y los productos de dos números con signos opuestos de la forma (− a) b y a (− b) se pueden reemplazar por (− un segundo). Multiplicar un menos por un menos da un más, y multiplicar un menos por un más, como multiplicar un más por un menos, da un menos.
La corrección de la primera parte de la regla escrita está confirmada por la regla para multiplicar números negativos. Para confirmar la segunda parte de la regla, podemos usar las reglas de multiplicación para números con diferentes signos.
Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 1
Considere el algoritmo para abrir paréntesis en el producto de dos números negativos - 4 3 5 y - 2 , de la forma (- 2) · - 4 3 5 . Para hacer esto, reemplazamos la expresión original con 2 · 4 3 5 . Expandamos los paréntesis y obtengamos 2 · 4 3 5 .
Y si tomamos el cociente de números negativos (− 4) : (− 2) , entonces el registro después de abrir los corchetes se verá como 4: 2
En lugar de números negativos − un y − b puede ser cualquier expresión con un signo menos inicial que no sea suma o diferencia. Por ejemplo, estos pueden ser productos, parciales, fracciones, potencias, raíces, logaritmos, funciones trigonométricas, etc.
Abramos los paréntesis en la expresión - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Según la regla, podemos hacer las siguientes transformaciones: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5 .
Expresión (−3) 2 se puede convertir a la expresión (− 3 2) . Después de eso, puede abrir los corchetes: − 3 2.
2 3 - 4 5 = - 2 3 4 5 = - 2 3 4 5
La división de números con diferentes signos también puede requerir la expansión preliminar de corchetes: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 y 2 3 4: (- 3 , 5) = - 2 3 4: 3 , 5 = - 2 3 4: 3 , 5 .
La regla se puede utilizar para realizar multiplicaciones y divisiones de expresiones con diferentes signos. Pongamos dos ejemplos.
1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3
sen (x) (- x 2) \u003d (- sen (x) x 2) \u003d - sen (x) x 2
En los productos de tres o más números
Pasemos a los productos y cocientes, que contienen una mayor cantidad de números. Para los corchetes de expansión, se aplicará la siguiente regla aquí. Con un número par de números negativos, puede omitir los paréntesis, reemplazando los números con sus opuestos. Después de eso, debe encerrar la expresión resultante entre corchetes nuevos. Para un número impar de números negativos, omitiendo los corchetes, reemplace los números con sus opuestos. Después de eso, la expresión resultante debe tomarse entre paréntesis nuevos y colocarse un signo menos delante.
Ejemplo 2
Por ejemplo, tomemos la expresión 5 · (− 3) · (− 2) , que es el producto de tres números. Hay dos números negativos, entonces podemos escribir la expresión como (5 3 2) y finalmente abre los corchetes, obteniendo la expresión 5 3 2 .
En el producto (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) cinco números son negativos. entonces (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 . 5 3: 2 4: 1 , 25: 1) . Finalmente abriendo los paréntesis, obtenemos −2,5 3:2 4:1,25:1.
La regla anterior se puede justificar de la siguiente manera. Primero, podemos reescribir tales expresiones como un producto, reemplazando la división con la multiplicación por el recíproco. Representamos cada número negativo como el producto de un multiplicador y reemplazamos - 1 o - 1 con (− 1) un.
Usando la propiedad conmutativa de la multiplicación, intercambiamos los factores y transferimos todos los factores iguales a − 1 , al principio de la expresión. El producto de un número par menos unos es igual a 1, y un número impar es igual a − 1 , que nos permite usar el signo menos.
Si no usáramos la regla, entonces la cadena de acciones para abrir corchetes en la expresión - 2 3: (- 2) 4: - 6 7 se vería así:
2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) 7 6 = = (- 1) (- 1) (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6
La regla anterior se puede usar cuando se expanden corchetes en expresiones que son productos y cocientes con un signo menos que no son sumas ni diferencias. Tomemos por ejemplo la expresión
x 2 (- x) : (- 1 x) x - 3: 2 .
Se puede reducir a una expresión sin paréntesis x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 .
Paréntesis de apertura precedidos por un signo +
Considere una regla que se puede aplicar para expandir corchetes que están precedidos por un signo más y los "contenidos" de esos corchetes no se multiplican ni dividen por ningún número o expresión.
De acuerdo con la regla, se omiten los paréntesis junto con el signo que los antecede, mientras que se conservan los signos de todos los términos entre paréntesis. Si no hay ningún signo delante del primer término entre paréntesis, debe colocar un signo más.
Ejemplo 3
Por ejemplo, damos la expresión (12 − 3 , 5) − 7 . Al omitir los corchetes, mantenemos los signos de los términos entre paréntesis y ponemos un signo más delante del primer término. La entrada se verá como (12 − 3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . En el ejemplo anterior, no es necesario anteponer un signo al primer término, ya que + 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7.
Ejemplo 4
Consideremos un ejemplo más. Toma la expresión x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x y realiza acciones con ella x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x
Aquí hay otro ejemplo de paréntesis expansivos:
Ejemplo 5
2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x2
Cómo expandir paréntesis precedidos por un signo menos
Considere los casos en los que hay un signo menos delante de los corchetes y que no se multiplican (o dividen) por ningún número o expresión. De acuerdo con la regla para expandir los corchetes precedidos por el signo “-”, se omiten los corchetes con el signo “-”, mientras que se invierten los signos de todos los términos dentro de los corchetes.
Ejemplo 6
Por ejemplo:
1 2 \u003d 1 2, - 1 x + 1 \u003d - 1 x + 1, - (- x 2) \u003d x 2
Las expresiones variables se pueden convertir usando la misma regla:
X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,
obtenemos x - x 3 - 3 + 2 x 2 - 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2 .
Abrir paréntesis al multiplicar un número por un paréntesis, expresiones por un paréntesis
Aquí consideraremos casos en los que es necesario abrir corchetes que se multiplican o dividen por cualquier número o expresión. Aquí fórmulas de la forma (a 1 ± a 2 ± ... ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± ... ± a n b) o b (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b a 1 ± b a 2 ± … ± b a n), donde un 1 , un 2 , ... , un norte y b son algunos números o expresiones.
Ejemplo 7
Por ejemplo, expandamos los paréntesis en la expresión (3 - 7) 2. De acuerdo con la regla, podemos hacer las siguientes transformaciones: (3 − 7) 2 = (3 2 − 7 2) . Obtenemos 3 · 2 − 7 · 2 .
Expandiendo los paréntesis en la expresión 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, obtenemos 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.
Multiplicar un paréntesis por un paréntesis
Considere el producto de dos corchetes de la forma (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Esto nos ayudará a obtener una regla para expandir paréntesis al multiplicar un paréntesis por otro paréntesis.
Para resolver el ejemplo anterior, denotamos la expresión (b 1 + b 2) como b. Esto nos permitirá usar la regla de multiplicación de paréntesis-expresión. Obtenemos (a 1 + a 2) (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) b = (a 1 b + a 2 b) = a 1 b + a 2 b . Haciendo una sustitución inversa B en (b 1 + b 2), aplique nuevamente la regla para multiplicar la expresión por el paréntesis: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (un 1 segundo 1 + un 1 segundo 2) + (un 2 segundo 1 + un 2 segundo 2) = = un 1 segundo 1 + un 1 segundo 2 + un 2 segundo 1 + un 2 segundo 2
Gracias a una serie de trucos sencillos, podemos llegar a la suma de los productos de cada uno de los términos del primer paréntesis y cada uno de los términos del segundo paréntesis. La regla se puede extender a cualquier número de términos dentro de los corchetes.
Formulemos las reglas para multiplicar paréntesis por paréntesis: para multiplicar dos sumas entre sí, es necesario multiplicar cada uno de los términos de la primera suma por cada uno de los términos de la segunda suma y sumar los resultados.
La fórmula se verá así:
(un 1 + un 2 + . . . + un metro) (segundo 1 + segundo 2 + . . . + segundo norte) = = un 1 segundo 1 + un 1 segundo 2 + . . . + un 1 segundo norte + + un 2 segundo 1 + un 2 segundo 2 + . . . + un 2 segundo norte + + . . . + + un metro segundo 1 + un metro segundo 1 + . . . un m b n
Expandamos los paréntesis en la expresión (1 + x) · (x 2 + x + 6) Es un producto de dos sumas. Escribamos la solución: (1 + x) (x 2 + x + 6) = = (1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + xx 2 + xx + x 6
Por separado, vale la pena detenerse en aquellos casos en los que hay un signo menos entre paréntesis junto con signos más. Por ejemplo, tomemos la expresión (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .
Primero, representamos las expresiones entre paréntesis como sumas: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)). Ahora podemos aplicar la regla: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (− 2 x y 3) + (− x) 3 xy + ( − x) (− 2 xy 3))
Expandamos los paréntesis: 1 3 x y − 1 2 x y 3 − x 3 x y + x 2 x y 3 .
Expansión de paréntesis en productos de varios corchetes y expresiones
Si hay tres o más expresiones entre corchetes en la expresión, es necesario expandir los corchetes secuencialmente. Es necesario comenzar la transformación con el hecho de que los dos primeros factores se toman entre paréntesis. Dentro de estos corchetes, podemos realizar transformaciones de acuerdo con las reglas discutidas anteriormente. Por ejemplo, los paréntesis en la expresión (2 + 4) 3 (5 + 7 8) .
La expresión contiene tres factores a la vez. (2 + 4) , 3 y (5 + 7 8) . Ampliaremos los paréntesis secuencialmente. Encerramos los dos primeros factores en un paréntesis más, que pondremos en rojo para mayor claridad: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).
De acuerdo con la regla de multiplicar un paréntesis por un número, podemos realizar las siguientes acciones: ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) .
Multiplica paréntesis por paréntesis: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .
paréntesis en especie
Los grados, cuyas bases son algunas expresiones escritas entre paréntesis, con indicadores naturales pueden considerarse como un producto de varios paréntesis. Además, según las reglas de los dos párrafos anteriores, pueden escribirse sin estos corchetes.
Considere el proceso de transformar la expresión (a + b + c) 2 . Se puede escribir como producto de dos corchetes (a + b + c) (a + b + c). Multiplicamos paréntesis por paréntesis y obtenemos a a + a b + a c + b a + b b + b c + c a + c b + c c .
Tomemos otro ejemplo:
Ejemplo 8
1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x 1 x + 1 x 2 1 x + 2 1 x 1 x + 2 2 1 x + 1 x 1 x 2 + + 1 x 2 2 + 2 1 x 2 + 2 2 2
Dividir un paréntesis entre un número y un paréntesis entre paréntesis
Dividir un paréntesis por un número sugiere que debe dividir por el número todos los términos encerrados entre paréntesis. Por ejemplo, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .
La división se puede reemplazar preliminarmente por la multiplicación, después de lo cual puede usar la regla apropiada para abrir corchetes en el producto. La misma regla se aplica al dividir un paréntesis por un paréntesis.
Por ejemplo, necesitamos abrir los corchetes en la expresión (x + 2) : 2 3 . Para hacer esto, primero reemplaza la división multiplicando por el recíproco de (x + 2) : 2 3 = (x + 2) · 2 3 . Multiplica el paréntesis por el número (x + 2) 2 3 = x 2 3 + 2 2 3 .
Aquí hay otro ejemplo de división entre paréntesis:
Ejemplo 9
1 x + x + 1: (x + 2) .
Reemplacemos la división con la multiplicación: 1 x + x + 1 1 x + 2 .
Hagamos la multiplicación: 1 x + x + 1 1 x + 2 = 1 x 1 x + 2 + x 1 x + 2 + 1 1 x + 2 .
Orden de expansión del soporte
Ahora considere el orden de aplicación de las reglas discutidas anteriormente en las expresiones vista general, es decir. en expresiones que contienen sumas con diferencias, productos con cocientes, paréntesis en especie.
El orden de las acciones:
- el primer paso es elevar los paréntesis a una potencia natural;
- en la segunda etapa se abren tramos en obras y privados;
- el paso final es abrir los paréntesis en las sumas y diferencias.
Consideremos el orden de las acciones usando el ejemplo de la expresión (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Transformemos las expresiones 3 (− 2) : (− 4) y 6 (− 7) , que deben tomar la forma (32:4) y (− 6 7) . Sustituyendo los resultados obtenidos en la expresión original, obtenemos: (− 5) + 3 (− 2) : (− 4) − 6 (− 7) = (− 5) + (3 2: 4) − (− 6 7 ). Expande los paréntesis: − 5 + 3 2: 4 + 6 7 .
Cuando se trata de expresiones que contienen paréntesis dentro de paréntesis, es conveniente realizar transformaciones de adentro hacia afuera.
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